Rechtwinkliges Dreieck berechnen (Katheten, Hypotenuse, Winkel, Fläche und Höhe aus zwei Werten)

Von den acht Größen eines rechtwinkligen Dreiecks (drei Seiten, zwei Winkel, Höhe auf die Hypotenuse, Flächeninhalt und Umfang) füllen Sie genau die zwei aus, die Sie kennen. Mit dem Satz des Pythagoras und den Winkelfunktionen wird alles Übrige mit Rechenweg berechnet.

Kathete a (Gegenkathete des Winkels α)

Kathete b (Gegenkathete des Winkels β)

Hypotenuse c (längste Seite)

Höhe h auf die Hypotenuse

Winkel α (Grad, gegenüber von Kathete a)

Winkel β (Grad, gegenüber von Kathete b)

Flächeninhalt S

Umfang L (Summe der drei Seiten)

Geben Sie nur zwei Werte ein (lassen Sie die übrigen Felder leer). Geben Sie Winkel in Grad (°) ein, das Ergebnis zeigt auch Radiant. Die Winkel α und β zusammen reichen nicht, weil sie die Größe nicht festlegen. Verwenden Sie für alle Längen dieselbe Einheit (zum Beispiel alle in Metern).

Ergebnis und Figur

Geben Sie links die zwei bekannten Werte ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Von den acht Größen eines rechtwinkligen Dreiecks (den drei Seiten \(a\), \(b\), \(c\), den zwei Winkeln \(\alpha\), \(\beta\), der Höhe auf die Hypotenuse \(h\), dem Flächeninhalt \(S\) und dem Umfang \(L\)) geben Sie die beiden ein, die Sie kennen, und erhalten sofort alle übrigen
Jedes Paar funktioniert, etwa „die übrigen Seiten aus der Hypotenuse und einem Winkel“, „eine Seite aus dem Flächeninhalt und einer Seite“ oder „die drei Seiten aus dem Umfang und einem weiteren Wert“ (außer zwei Winkeln allein)
Winkel werden in Grad (°) und in Radiant angezeigt. Der Rechenweg zeigt, welche Formeln verwendet wurden
Eine leicht verständliche Erklärung des Satzes des Pythagoras und der Winkelfunktionen (sin, cos, tan) sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Diese Seite funktioniert nur für rechtwinklige Dreiecke (Dreiecke mit einem Winkel von genau 90°). Geben Sie Winkel in Grad (°) ein. Für allgemeine Dreiecke ohne rechten Winkel lässt sie sich nicht verwenden.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Dachneigung und Sparrenlänge (Zimmerei und Bau)

In Deutschland wird die Steilheit eines Daches als Dachneigung in Grad angegeben, etwa 35°. Das ist genau ein rechtwinkliges Dreieck. Bei einer halben Gebäudebreite von 5 m (der waagerechten Strecke von der Traufe bis unter den First) und einer Dachneigung von 35° steigt das Dach um \(5 \times \tan 35^\circ \approx 3{,}50\) m an. Der Sparren ist die Hypotenuse und braucht \(5 \div \cos 35^\circ \approx 6{,}10\) m, länger als die waagerechte Strecke.
Zimmerleute berechnen Sparrenlängen und Winkel seit jeher mit solchen Dreiecken. Bauarbeiten gehen von jeher Hand in Hand mit Rechnungen am rechtwinkligen Dreieck.

Die Höhe eines Baums oder Gebäudes aus der Entfernung messen (Vermessung und Forstwirtschaft)

Etwas, das zu hoch ist, um es direkt zu messen, lässt sich über den Winkel bestimmen, unter dem man aus der Entfernung hinaufblickt. Stehen Sie 10 m von einem Baum entfernt und beträgt der Höhenwinkel 40°, ist der Teil über Ihren Augen \(10 \times \tan 40^\circ \approx 8{,}39\) m. Addieren Sie Ihre Augenhöhe von 1,6 m, und der Baum ist etwa 10 m hoch.
Die Vermessung mit dem Theodolit (einem Instrument, das Winkel genau misst) und die Höhenmessung stehender Bäume in der Forstwirtschaft sind genau diese Rechnung, nämlich aus einer Seite und einem Winkel die anderen Seiten zu bestimmen.

Eine Leiter im sicheren Winkel anlegen (Arbeitsschutz)

Eine Leiter ist gefährlich, wenn sie zu steil oder zu flach steht. Für Anlegeleitern gilt in Deutschland ein Anstellwinkel von 65° bis 75° (Technische Regel für Betriebssicherheit TRBS 2121). Als Faustregel steht der Leiterfuß in einem Abstand von einem Viertel der Leiterlänge von der Wand, das sind etwa 75°. Eine 6 m lange Leiter im Winkel von 75° steht \(6 \times \cos 75^\circ \approx 1{,}55\) m von der Wand entfernt und reicht \(6 \times \sin 75^\circ \approx 5{,}80\) m hoch.
„Wie hoch reicht diese Leiter?“ und „Wie weit muss der Fuß von der Wand weg?“ sind Rechnungen mit Winkelfunktionen, die täglich auf Baustellen gebraucht werden.

Das „Gefälle in %“ auf einem Verkehrsschild als Winkel verstehen (Autofahren und Geografie)

Ein „Gefälle 10 %“ auf einem Verkehrsschild bedeutet, dass die Straße auf 100 m Strecke 10 m absinkt, und das ist der Tangenswert selbst. Als Winkel ist es \(\tan^{-1} 0{,}10 \approx 5{,}7^\circ\). Das klingt flach, ist für schwere Lkw aber ein steiles Gefälle, und die Warnschilder sind für sie da.
Wer versteht, wie Prozent-Gefälle und Winkel zusammenhängen, kann die Steilheit eines Hangs aus den Höhenunterschieden einer Karten-App abschätzen oder Eisenbahnsteigungen einordnen, bei denen schon 2 % (20 ‰) für einen Zug steil sind.

Eine Rollstuhlrampe planen (Barrierefreiheit)

Nach DIN 18040-1 darf die Längsneigung einer Rampe höchstens 6 % betragen (6 cm Anstieg auf 1 m Länge). Um eine Stufe von 30 cm mit 6 % zu überwinden, braucht die Rampe \(30 \div 0{,}06 = 500\) cm (5 m) waagerechte Länge. Die tatsächliche Rampenfläche ist die Hypotenuse, \(\sqrt{500^2 + 30^2} \approx 500{,}9\) cm, und der Winkel beträgt etwa 3,4°.
„Ist genug Platz da?“ und „Reicht eine fertige Rampe in dieser Länge?“ lassen sich vor Ort mit einer Rechnung am rechtwinkligen Dreieck prüfen. Nach jeweils 6 m Rampenlänge verlangt die Norm ein Zwischenpodest.

Formeln und Abbildungen

Katheten mit Winkelfunktionen bestimmen (wenn Sie einen Winkel und die Hypotenuse kennen)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(a\) \(=\) \(c\) \(\times\) \(\sin\alpha\)

\(b\) \(=\) \(c\) \(\times\) \(\cos\alpha\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(a\): Gegenkathete des Winkels \(\alpha\) \(=\) ① \(c\): Hypotenuse \(\times\) ② \(\sin\alpha\): Sinus

⑤ \(b\): Ankathete des Winkels \(\alpha\) \(=\) \(c\): Hypotenuse \(\times\) ④ \(\cos\alpha\): Kosinus

Die Formel in Worten

① Multiplizieren Sie die Hypotenuse \(c\)

② mit dem Sinus \(\sin\alpha\) (Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse)

③ und Sie erhalten die Gegenkathete \(a\) des Winkels \(\alpha\)

④ Multiplizieren Sie dieselbe Hypotenuse mit dem Kosinus \(\cos\alpha\) (Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse)

⑤ und Sie erhalten die Ankathete \(b\) des Winkels \(\alpha\)

Einfaches Beispiel

Bei einer Hypotenuse von 10 und einem Winkel α = 30° sind die beiden anderen Seiten

Kathete \(a\) \(=\) Hypotenuse (10) \(\times\) sin 30° (= 0,5)

Kathete \(b\) \(=\) Hypotenuse (10) \(\times\) cos 30° (≈ 0,866)

\(a = 10 \times \sin 30^\circ = 10 \times 0{,}5 = 5\)

\(b = 10 \times \cos 30^\circ = 10 \times 0{,}8660\cdots \approx 8{,}66\)

Der Kerngedanke

Die Winkelfunktionen (sin, cos, tan) sind Verhältnisse zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Mit dem Winkel \(\alpha\) ist die Form des Dreiecks festgelegt, also haben \(\sin\alpha =\) (Gegenkathete \(a\)) ÷ (Hypotenuse \(c\)) und \(\cos\alpha =\) (Ankathete \(b\)) ÷ (Hypotenuse \(c\)) jeweils einen festen Wert. Es hilft, die gängigen Winkel zu kennen. Im 30-60-90-Dreieck (dem halben gleichseitigen Dreieck) verhalten sich die Seiten wie \(1 : \sqrt{3} : 2\), und im 45-45-90-Dreieck (dem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck) wie \(1 : 1 : \sqrt{2}\).

Winkel bestimmen (wenn Sie zwei Seiten kennen)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\tan\alpha\) \(=\) \(a\) \(\div\) \(b\)

\(\beta\) \(=\) \(90^\circ\) \(-\) \(\alpha\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\tan\alpha\): Tangens des Winkels \(\alpha\) \(=\) ① \(a\): Gegenkathete \(\div\) ② \(b\): Ankathete

⑥ \(\beta\): der andere Winkel \(=\) ④ \(90^\circ\): Summe der beiden spitzen Winkel \(-\) ⑤ \(\alpha\): Winkel alpha

Die Formel in Worten

① Teilen Sie die Gegenkathete \(a\) des Winkels \(\alpha\)

② durch die Ankathete \(b\)

③ und Sie erhalten den Tangens \(\tan\alpha\) (mit der Taste \(\tan^{-1}\) des Taschenrechners erhalten Sie daraus wieder den Winkel \(\alpha\))

④ Ziehen Sie von der Summe der beiden spitzen Winkel, \(90^\circ\)

⑤ den Winkel \(\alpha\)

⑥ ab, dann erhalten Sie den anderen Winkel \(\beta\)

Einfaches Beispiel

Sind die beiden Katheten 3 und 4, so sind die Winkel α und β

Tangens des Winkels \(\alpha\) \(=\) Gegenkathete (3) \(\div\) Ankathete (4)

\(\tan\alpha = 3 \div 4 = 0{,}75\)

\(\alpha = \tan^{-1} 0{,}75 \approx 36{,}87^\circ\)

\(\beta = 90^\circ - 36{,}87^\circ = 53{,}13^\circ\)

Der Kerngedanke

\(\tan^{-1}\) (Umkehrfunktion des Tangens, Arkustangens) geht vom Tangenswert rückwärts zum Winkel. Wissenschaftliche Taschenrechner, Excel und Taschenrechner-Apps (im wissenschaftlichen Modus) haben sie. Kennen Sie die Hypotenuse, liefert \(\alpha = \sin^{-1}(a \div c)\) denselben Winkel. Die beiden spitzen Winkel ergeben immer zusammen 90°, weil die Winkel eines Dreiecks zusammen 180° ergeben und nach Abzug des rechten Winkels 90° auf beide verteilt bleiben. Kennen Sie also einen Winkel, ist der andere nur eine Subtraktion.

Formel für den Flächeninhalt

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(S\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(b\) \(\div\) \(2\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(S\): Flächeninhalt \(=\) ① \(a\): Kathete a (Grundseite) \(\times\) ② \(b\): Kathete b (Höhe) \(\div\) ③ \(2\) (um die Hälfte zu nehmen)

Die Formel in Worten

① Multiplizieren Sie die Kathete \(a\) (die Grundseite)

② mit der anderen Kathete \(b\) (der Höhe)

③ teilen Sie durch \(2\)

④ und Sie erhalten den Flächeninhalt \(S\)

Einfaches Beispiel

Sind die beiden Katheten 3 und 4, ist der Flächeninhalt

Flächeninhalt \(S\) \(=\) Grundseite (3) \(\times\) Höhe (4) \(\div\) 2

\(S = 3 \times 4 \div 2 = 6\)

Der Kerngedanke

Die Flächenformel für ein Dreieck ist Grundseite × Höhe ÷ 2. Im rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten \(a\) und \(b\) unmittelbar Grundseite und Höhe, diese beiden Seiten allein liefern also den Flächeninhalt (das ÷ 2 steht da, weil das Dreieck ein Rechteck aus \(a\) mal \(b\) ist, das an der Diagonale halbiert wurde). Kennen Sie die Hypotenuse \(c\) und die Höhe \(h\) auf die Hypotenuse, liefert \(S = c \times h \div 2\) denselben Flächeninhalt.

Formel für die Höhe auf die Hypotenuse

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(h\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(b\) \(\div\) \(c\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(h\): Höhe auf die Hypotenuse \(=\) ① \(a\): Kathete a \(\times\) ② \(b\): Kathete b \(\div\) ③ \(c\): Hypotenuse

Die Formel in Worten

① Multiplizieren Sie die Kathete \(a\)

② mit der anderen Kathete \(b\)

③ teilen Sie durch die Hypotenuse \(c\)

④ und Sie erhalten die Höhe \(h\) mit der Hypotenuse als Grundseite

Einfaches Beispiel

Im rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 ist die Höhe mit der Hypotenuse 5 als Grundseite

Höhe auf die Hypotenuse \(h\) \(=\) Kathete a (3) \(\times\) Kathete b (4) \(\div\) Hypotenuse (5)

\(h = 3 \times 4 \div 5 = 2{,}4\)

Der Kerngedanke

Schreibt man den Flächeninhalt desselben Dreiecks auf zwei Arten, ergibt sich \(a \times b \div 2 = c \times h \div 2\). Der Vergleich beider Seiten liefert \(a \times b = c \times h\), also \(h = a \times b \div c\). Diese Höhe (die Höhe von der Ecke am rechten Winkel auf die Hypotenuse) zerlegt das ursprüngliche Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke, die beide dem ursprünglichen ähnlich sind. Sie ist ein Lieblingsthema der Geometrie (Höhensatz und Kathetensatz).

Formel für den Umfang

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(L\) \(=\) \(a\) \(+\) \(b\) \(+\) \(c\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(L\): Umfang \(=\) ① \(a\): Kathete a \(+\) ② \(b\): Kathete b \(+\) ③ \(c\): Hypotenuse

Die Formel in Worten

① Addieren Sie die Kathete \(a\)

② die andere Kathete \(b\)

③ und die Hypotenuse \(c\)

④ und Sie erhalten den Umfang \(L\)

Einfaches Beispiel

Der Umfang des rechtwinkligen Dreiecks mit den Seiten 3, 4 und 5 ist

Umfang \(L\) \(=\) Kathete a (3) \(+\) Kathete b (4) \(+\) Hypotenuse (5)

\(L = 3 + 4 + 5 = 12\)

Der Kerngedanke

Sie addieren einfach alle drei Seiten. Kennen Sie nur zwei Werte, bestimmen Sie zuerst die fehlenden Seiten mit dem Satz des Pythagoras oder den Winkelfunktionen und addieren dann. Zahlengruppen wie 3, 4, 5 oder 5, 12, 13 oder 8, 15, 17, bei denen alle drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ganze Zahlen sind, heißen pythagoreische Tripel. Sie kommen in Rechenaufgaben vor und in der alten Methode, mit einer Schnur, die in Längen von 3 : 4 : 5 markiert ist, einen rechten Winkel abzustecken (die 3-4-5-Regel, die Bauleute noch heute kennen).

Ein rechtwinkliges Dreieck ruht auf zwei Säulen, dem Satz des Pythagoras \(a^2 + b^2 = c^2\) und den Winkelfunktionen (sin, cos, tan). Kennen Sie zwei beliebige Werte, können Sie alles Übrige berechnen. Der Flächeninhalt ist \(a \times b \div 2\), die Höhe auf die Hypotenuse ist \(a \times b \div c\), und der Umfang ist die Summe der drei Seiten.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(a\)	a	Eine der beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden (eine Kathete). Es ist die Seite, die dem Winkel \(\alpha\) gegenüberliegt (die Gegenkathete).
\(b\)	b	Die andere der beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden (eine Kathete). Es ist die Seite, die dem Winkel \(\beta\) gegenüberliegt.
\(c\)	c	Die Hypotenuse, die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, dem rechten Winkel gegenüber.
\(\alpha\)	Alpha	Der Winkel, der der Seite \(a\) gegenüberliegt. Ein griechischer Buchstabe, der oft für Winkel verwendet wird.
\(\beta\)	Beta	Der Winkel, der der Seite \(b\) gegenüberliegt. Es gilt \(\alpha + \beta = 90^\circ\).
\(h\)	h	Die Höhe mit der Hypotenuse als Grundseite, die Länge der Senkrechten von der Ecke am rechten Winkel auf die Hypotenuse. \(h = a \times b \div c\).
\(S\)	S	Der Flächeninhalt. \(S = a \times b \div 2\). (In Schulbüchern steht dafür oft \(A\).)
\(L\)	L	Der Umfang (die Summe der drei Seiten). \(L = a + b + c\). (In Schulbüchern steht dafür oft \(u\).)
\(\sin\alpha\)	Sinus Alpha	Das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse. \(\sin\alpha = a \div c\). (Zum Beispiel \(\sin 30^\circ = 0{,}5\))
\(\cos\alpha\)	Kosinus Alpha	Das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse. \(\cos\alpha = b \div c\). (Zum Beispiel \(\cos 60^\circ = 0{,}5\))
\(\tan\alpha\)	Tangens Alpha	Das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete. \(\tan\alpha = a \div b\). (Zum Beispiel \(\tan 45^\circ = 1\))
\(\tan^{-1}\)	Umkehrfunktion des Tangens (Arkustangens)	Die Rechnung, die vom Tangenswert rückwärts zum Winkel führt. Auf einem wissenschaftlichen Taschenrechner ist es die Taste tan⁻¹. Sie wird mit „−1“ geschrieben, meint aber „die umgekehrte Rechnung“, nicht den Kehrwert.

Begriffe

rechtwinkliges Dreieck	Ein Dreieck mit einem Winkel von genau 90° (einem rechten Winkel). Die beiden anderen Winkel sind immer spitz (kleiner als 90°) und ergeben zusammen 90°.
Hypotenuse	Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Sie ist immer die längste der drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.
Satz des Pythagoras	Die Beziehung \(a^2 + b^2 = c^2\) zwischen den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Er wird in Klasse 8–9 behandelt. Kennen Sie zwei Seiten, können Sie die dritte berechnen.
Winkelfunktion	Ein Verhältnis zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks (Sinus, Kosinus oder Tangens). Der Winkel bestimmt das Verhältnis, deshalb lassen sich aus einem Winkel und einer Seite die anderen Seiten berechnen. Sie werden in Klasse 9–10 behandelt.
Radiant	Eine weitere Einheit für Winkel. Der Mittelpunktswinkel, dessen Kreisbogen so lang ist wie der Radius, ist 1 Radiant, und \(180^\circ = \pi\) Radiant. Von Grad rechnen Sie mit Grad × π ÷ 180 um.
pythagoreisches Tripel	Drei ganze Zahlen, die die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind. Bekannt sind 3, 4, 5 und 5, 12, 13 und 8, 15, 17.
gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck	Ein rechtwinkliges Dreieck, dessen beide Katheten gleich lang sind. Beide spitzen Winkel sind 45°, und das Seitenverhältnis ist \(1 : 1 : \sqrt{2}\). Es heißt auch 45-45-90-Dreieck und ist eines der besonderen rechtwinkligen Dreiecke (das Geodreieck hat diese Form).

Was Sie vorab wissen sollten

Hier ist zusammengefasst, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.

Flächeninhalt eines Dreiecks (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Wissen, dass der Flächeninhalt eines Dreiecks Grundseite × Höhe ÷ 2 ist Wissen, dass im rechtwinkligen Dreieck die beiden Katheten unmittelbar Grundseite und Höhe sind
Winkelsumme im Dreieck (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Wissen, dass die drei Winkel eines Dreiecks zusammen 180° ergeben Erklären können, warum die beiden Winkel außer dem rechten Winkel im rechtwinkligen Dreieck zusammen 90° ergeben
Der Satz des Pythagoras und Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Wissen, dass die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks \(a^2 + b^2 = c^2\) erfüllen (\(c\) ist die Hypotenuse) Eine Quadratwurzel bestimmen können, den Wert, der quadriert die ursprüngliche Zahl ergibt, etwa \(\sqrt{25} = 5\)
Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Erklären können, dass sin, cos und tan Verhältnisse zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind Wissen, dass man aus einem Winkel und einer Seite mit Winkelfunktionen die anderen Seiten erhält Die Werte der Winkelfunktionen für 30°, 45° und 60° angeben können, etwa \(\sin 30^\circ = 0{,}5\)

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung der beiden Katheten aus einem Winkel und der Hypotenuse

Hypotenuse c	10
Winkel α (Grad)	30
Kathete a	=B1*SIN(BOGENMASS(B2))
Kathete b	=B1*COS(BOGENMASS(B2))

Tabelle zur Berechnung der Winkel aus zwei Seiten

Kathete a	3
Kathete b	4
Winkel α (Grad)	=GRAD(ARCTAN(B1/B2))
Winkel β (Grad)	=90-B3

Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts

Kathete a	3
Kathete b	4
Flächeninhalt S	=B1*B2/2

Tabelle zur Berechnung der Höhe auf die Hypotenuse

Kathete a	3
Kathete b	4
Hypotenuse c	5
Höhe h	=B1*B2/B3

Tabelle zur Berechnung des Umfangs

Kathete a	3
Kathete b	4
Hypotenuse c	5
Umfang L	=B1+B2+B3

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, und die unterste Zeile (manchmal mehrere) wird automatisch berechnet.
Die Excel-Funktionen SIN und COS erwarten Radiant, deshalb wird ein in Grad eingegebener Winkel mit der Funktion BOGENMASS umgerechnet. Umgekehrt liefert ARCTAN Radiant, und die Funktion GRAD rechnet zurück in Grad.
Die erste Tabelle zeigt 5 für Kathete a und etwa 8,66 für Kathete b. Die zweite zeigt etwa 36,87 für den Winkel α und etwa 53,13 für den Winkel β. Ersetzen Sie einfach die Eingaben in Spalte B durch Ihre eigenen Zahlen.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung der beiden Katheten aus einem Winkel und der Hypotenuse

Hypotenuse c	10
Winkel α (Grad)	30
Kathete a	=B1*SIN(BOGENMASS(B2))
Kathete b	=B1*COS(BOGENMASS(B2))

Tabelle zur Berechnung der Winkel aus zwei Seiten

Kathete a	3
Kathete b	4
Winkel α (Grad)	=GRAD(ARCTAN(B1/B2))
Winkel β (Grad)	=90-B3

Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts

Kathete a	3
Kathete b	4
Flächeninhalt S	=B1*B2/2

Tabelle zur Berechnung der Höhe auf die Hypotenuse

Kathete a	3
Kathete b	4
Hypotenuse c	5
Höhe h	=B1*B2/B3

Tabelle zur Berechnung des Umfangs

Kathete a	3
Kathete b	4
Hypotenuse c	5
Umfang L	=B1+B2+B3

Dieselben Formeln wie in Excel (SIN, COS, ARCTAN, BOGENMASS, GRAD) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben in Spalte B durch Ihre eigenen Zahlen.

Mit Python berechnen

import math

side_a = 3.0  # Kathete a
side_b = 4.0  # Kathete b

side_c = math.sqrt(side_a ** 2 + side_b ** 2)      # Hypotenuse (Satz des Pythagoras)
angle_alpha = math.degrees(math.atan(side_a / side_b))  # Winkel α (Grad)
angle_beta = 90 - angle_alpha                       # Winkel β (Grad)
height = side_a * side_b / side_c                   # Höhe auf die Hypotenuse
area = side_a * side_b / 2                          # Flächeninhalt
perimeter = side_a + side_b + side_c                # Umfang

print(f"Hypotenuse c: {side_c}")
print(f"Winkel α: {angle_alpha} Grad = {math.radians(angle_alpha)} Radiant")
print(f"Winkel β: {angle_beta} Grad = {math.radians(angle_beta)} Radiant")
print(f"Höhe h: {height}")
print(f"Flächeninhalt S: {area}")
print(f"Umfang L: {perimeter}")

Funktioniert allein mit math aus der Standardbibliothek. Winkelfunktionen wie math.sin und math.atan arbeiten mit Radiant, deshalb kommt es darauf an, mit math.degrees (Radiant in Grad) und math.radians (Grad in Radiant) umzurechnen. Ersetzen Sie die beiden Seiten am Anfang durch Ihre eigenen Zahlen und führen Sie den Code aus (Python schreibt Dezimalzahlen mit Punkt statt Komma).

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Katheten mit Winkelfunktionen bestimmen (wenn Sie einen Winkel und die Hypotenuse kennen)

a = c·sin α,  b = c·cos α

a = c \sin\alpha, \quad b = c \cos\alpha

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mo>=</mo><mi>c</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B1;</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>b</mi><mo>=</mo><mi>c</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>cos</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B1;</mi>
  </mrow>
</math>

a = c sin(alpha), b = c cos(alpha)

a == c Sin[α] && b == c Cos[α]

a := c*sin(alpha); b := c*cos(alpha);

a = c*sind(alpha); b = c*cosd(alpha);

a = c sin α,  b = c cos α

Winkel bestimmen (wenn Sie zwei Seiten kennen)

α = tan⁻¹(a ÷ b),  β = 90° − α

\alpha = \tan^{-1}\frac{a}{b}, \quad \beta = 90^\circ - \alpha

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x3B1;</mi><mo>=</mo>
    <msup><mi>tan</mi><mrow><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
    <mo>&#x2061;</mo>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mi>&#x3B2;</mi><mo>=</mo><mrow><mn>90</mn><mo>&#xB0;</mo></mrow><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x3B1;</mi>
  </mrow>
</math>

alpha = arctan(a/b), beta = 90 - alpha

α == ArcTan[a/b] && β == Pi/2 - α

alpha := arctan(a/b); beta := Pi/2 - alpha;

alpha = atand(a/b); beta = 90 - alpha;

α = tan^(-1)(a/b),  β = 90° - α

Formel für den Flächeninhalt

S = a × b ÷ 2

S = \frac{1}{2}ab

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi><mo>=</mo>
    <mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>b</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac>
  </mrow>
</math>

S = (a b)/2

a b / 2

S := a*b/2;

S = a*b/2;

S = ab/2

Formel für die Höhe auf die Hypotenuse

h = a × b ÷ c

h = \frac{ab}{c}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>h</mi><mo>=</mo>
    <mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>b</mi></mrow><mi>c</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

h = (a b)/c

a b / c

h := a*b/c;

h = a*b/c;

h = ab/c

Formel für den Umfang

L = a + b + c

L = a + b + c

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>L</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi>
  </mrow>
</math>

L = a + b + c

a + b + c

L := a + b + c;

L = a + b + c;

L = a + b + c

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Kathete a gleich 3 und die Hypotenuse c gleich 5.
Bestimmen Sie jeweils Folgendes:
1. Die andere Kathete b (Satz des Pythagoras)
2. Die Winkel α und β (in Grad und im Bogenmaß)
3. Die Höhe h mit der Hypotenuse als Grundseite
4. Den Flächeninhalt S und den Umfang L

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

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