Rechtwinkliges Dreieck berechnen – Seiten, Winkel, Fläche und Höhe aus zwei Werten

Geben Sie von den acht Größen des rechtwinkligen Dreiecks (drei Seiten, zwei Winkel, Höhe auf die Hypotenuse, Fläche und Umfang) genau die zwei bekannten ein. Mit dem Satz des Pythagoras und den Winkelfunktionen wird alles andere samt Rechenweg berechnet.

Seite a (Kathete, gegenüber α)

Seite b (Kathete, gegenüber β)

Seite c (Hypotenuse)

Höhe h auf die Hypotenuse

Winkel α in Grad (gegenüber a)

Winkel β in Grad (gegenüber b)

Flächeninhalt S

Umfang L (Summe der drei Seiten)

Geben Sie nur zwei Werte ein (die übrigen Felder bleiben leer). Winkel in Grad (°) eingeben; das Ergebnis zeigt zusätzlich das Bogenmaß. Die Winkel α und β zusammen reichen nicht, weil sie die Größe nicht festlegen. Alle Längen in derselben Einheit (z. B. alle in m).

Ergebnis und Figur

Geben Sie links die zwei bekannten Werte ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Das können Sie auf dieser Seite

Von den acht Größen eines rechtwinkligen Dreiecks (die drei Seiten \(a\), \(b\), \(c\), die beiden Winkel \(\alpha\), \(\beta\), die Höhe \(h\) auf die Hypotenuse, der Flächeninhalt \(S\) und der Umfang \(L\)) geben Sie zwei bekannte ein – alle anderen erscheinen sofort
Jede Kombination funktioniert, etwa „Seiten aus Hypotenuse und Winkel“, „Seite aus Fläche und einer Seite“ oder „drei Seiten aus dem Umfang und einem weiteren Wert“ (nur zwei Winkel allein reichen nicht)
Winkel erscheinen in Grad (°) und im Bogenmaß. Der Rechenweg zeigt, mit welchen Formeln gerechnet wurde
Dazu: verständliche Erklärung zum Satz des Pythagoras und zu den Winkelfunktionen (sin, cos, tan) sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python

Diese Seite gilt nur für rechtwinklige Dreiecke (ein Winkel ist genau 90°). Geben Sie Winkel in Grad (°) ein. Für allgemeine Dreiecke ohne rechten Winkel ist sie nicht geeignet.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Dachneigung und Sparrenlänge (Zimmerei und Bau)

In Deutschland wird die Dachneigung meist in Grad angegeben, zum Beispiel 35°. Dach und Dachboden bilden ein rechtwinkliges Dreieck: Bei 4 m waagerechter Länge ist der Sparren als Hypotenuse \(4 : \cos 35^\circ \approx 4{,}88\) m lang – deutlich länger als die waagerechte Strecke –, und der First liegt \(4 \times \tan 35^\circ \approx 2{,}80\) m höher.
Ob Sparren, Dachlatten oder Dachfenster: Zimmerei und Dachdeckerhandwerk kommen seit jeher nicht ohne die Berechnung rechtwinkliger Dreiecke aus.

Höhe von Bäumen und Gebäuden aus der Entfernung messen (Vermessung und Forst)

Was zu hoch zum direkten Messen ist, misst man über den Höhenwinkel aus der Entfernung. Stehen Sie 10 m vor einem Baum und sehen die Spitze unter 40°, liegt sie \(10 \times \tan 40^\circ \approx 8{,}4\) m über Augenhöhe. Mit 1,5 m Augenhöhe ist der Baum also etwa 9,9 m hoch.
Die Vermessung mit dem Theodolit (einem Gerät, das Winkel genau misst) und die Baumhöhenmessung im Forst sind genau diese Rechnung: aus einer Seite und einem Winkel die übrigen Seiten bestimmen.

Leiter im sicheren Winkel anlegen (Arbeitsschutz)

Eine Leiter ist zu steil ebenso gefährlich wie zu flach. Die Berufsgenossenschaften empfehlen für Anlegeleitern einen Anstellwinkel von 65° bis 75° (Ellenbogenprobe). Eine 6 m lange Leiter mit 70° steht \(6 \times \cos 70^\circ \approx 2{,}05\) m von der Wand entfernt und reicht \(6 \times \sin 70^\circ \approx 5{,}64\) m hoch.
„Wie hoch reicht diese Leiter?“ und „Wie weit muss der Fuß von der Wand weg?“ sind Rechnungen mit Winkelfunktionen, wie sie auf Baustellen täglich vorkommen.

Steigung in Prozent auf Verkehrsschildern als Winkel verstehen (Autofahren und Geografie)

Die „10 %“ auf den Schildern für Steigung und Gefälle bedeuten: auf 100 m waagerechter Strecke 10 m Höhenunterschied – das ist genau der Tangenswert. Als Winkel sind das \(\tan^{-1} 0{,}1 \approx 5{,}7^\circ\). Das klingt flacher, als es sich anfühlt, ist für Autos und Fahrräder aber schon ein kräftiger Anstieg.
Wer den Zusammenhang zwischen Prozent und Winkel kennt, kann aus den Höhenangaben einer Karten-App die Steilheit abschätzen oder Bahnsteigungen in Promille (‰) einordnen.

Rollstuhlrampe planen (Barrierefreiheit)

Nach DIN 18040 dürfen Rampen für Rollstühle höchstens 6 % Längsneigung haben; nach spätestens 6 m Rampenlänge ist ein Zwischenpodest nötig. Für 30 cm Höhenunterschied braucht die Rampe bei 6 % also \(30 : 0{,}06 = 500\) cm waagerechte Länge. Die Rampenfläche selbst ist die Hypotenuse mit \(\sqrt{500^2 + 30^2} \approx 500{,}9\) cm, der Neigungswinkel beträgt etwa 3,4°.
„Reicht der Platz?“ und „Ist eine fertige Rampe lang genug?“ prüfen Sie mit der Berechnung des rechtwinkligen Dreiecks sofort vor Ort.

Formeln und Abbildungen

Katheten mit den Winkelfunktionen berechnen (Winkel und Hypotenuse bekannt)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(a\) \(=\) \(c\) \(\times\) \(\sin\alpha\)

\(b\) \(=\) \(c\) \(\times\) \(\cos\alpha\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(a\): Gegenkathete von \(\alpha\) \(=\) ① \(c\): Hypotenuse \(\times\) ② \(\sin\alpha\): Sinus

⑤ \(b\): Ankathete von \(\alpha\) \(=\) \(c\): Hypotenuse \(\times\) ④ \(\cos\alpha\): Kosinus

Die Formel in Worten

① Multipliziert man die Hypotenuse \(c\)

② mit dem Sinus \(\sin\alpha\) (Anteil der Gegenkathete an der Hypotenuse) ,

③ erhält man die Gegenkathete \(a\) von \(\alpha\)

④ Multipliziert man dieselbe Hypotenuse mit dem Kosinus \(\cos\alpha\) (Anteil der Ankathete an der Hypotenuse) ,

⑤ erhält man die Ankathete \(b\) von \(\alpha\)

Einfaches Beispiel

Bei einer Hypotenuse von 10 und α = 30° sind die beiden anderen Seiten

Seite \(a\) \(=\) Hypotenuse (10) \(\times\) sin 30° (= 0,5)

Seite \(b\) \(=\) Hypotenuse (10) \(\times\) cos 30° (≈ 0,866)

\(a = 10 \times \sin 30^\circ = 10 \times 0{,}5 = 5\)

\(b = 10 \times \cos 30^\circ = 10 \times 0{,}8660\ldots \approx 8{,}66\)

Der Grundgedanke

Die Winkelfunktionen (sin, cos, tan) sind Verhältnisse zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Legt man den Winkel \(\alpha\) fest, steht die Form des Dreiecks fest – und damit haben \(\sin\alpha =\) Gegenkathete \(a\) : Hypotenuse \(c\) und \(\cos\alpha =\) Ankathete \(b\) : Hypotenuse \(c\) jeweils genau einen Wert. Häufige Winkel lohnt es sich zu merken: Das Dreieck mit 30°, 60° und 90° (ein halbes gleichseitiges Dreieck) hat das Seitenverhältnis \(1 : \sqrt{3} : 2\), das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck mit 45°, 45° und 90° (die Form des Geodreiecks) das Verhältnis \(1 : 1 : \sqrt{2}\).

Winkel berechnen (zwei Seiten bekannt)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\tan\alpha\) \(=\) \(a\) \(\div\) \(b\)

\(\beta\) \(=\) \(90^\circ\) \(-\) \(\alpha\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\tan\alpha\): Tangens des Winkels \(\alpha\) \(=\) ① \(a\): Gegenkathete \(\div\) ② \(b\): Ankathete

⑥ \(\beta\): der andere Winkel \(=\) ④ \(90^\circ\): Summe der beiden spitzen Winkel \(-\) ⑤ \(\alpha\): Winkel Alpha

Die Formel in Worten

① Teilt man die Gegenkathete \(a\) von \(\alpha\)

② durch die Ankathete \(b\) ,

③ erhält man den Tangens \(\tan\alpha\) (mit der Taste \(\tan^{-1}\) des Taschenrechners wird daraus wieder der Winkel \(\alpha\))

④ Zieht man von der Summe der beiden spitzen Winkel, \(90^\circ\),

⑤ den Winkel \(\alpha\)

⑥ ab, erhält man den anderen Winkel \(\beta\)

Einfaches Beispiel

Sind die beiden Katheten 3 und 4 lang, sind die Winkel α und β

Tangens des Winkels \(\alpha\) \(=\) Gegenkathete (3) \(\div\) Ankathete (4)

\(\tan\alpha = 3 \div 4 = 0{,}75\)

\(\alpha = \tan^{-1} 0{,}75 \approx 36{,}87^\circ\)

\(\beta = 90^\circ - 36{,}87^\circ = 53{,}13^\circ\)

Der Grundgedanke

\(\tan^{-1}\) (Umkehrfunktion des Tangens, Arkustangens) rechnet aus einem Tangenswert den Winkel zurück. Wissenschaftliche Taschenrechner, Excel und Handy-Rechner (im wissenschaftlichen Modus) haben diese Funktion. Kennen Sie die Hypotenuse, liefert \(\alpha = \sin^{-1}(a : c)\) denselben Winkel. Die beiden spitzen Winkel ergeben zusammen immer 90°, denn die Innenwinkel eines Dreiecks ergeben 180°. Zieht man den rechten Winkel ab, bleiben 90° für die beiden anderen. Kennt man einen Winkel, ist der andere also nur eine Subtraktion.

Flächeninhalt berechnen

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(S\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(b\) \(\div\) \(2\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(S\): Flächeninhalt \(=\) ① \(a\): Seite a (Grundseite) \(\times\) ② \(b\): Seite b (Höhe) \(\div\) ③ \(2\) (halbieren)

Die Formel in Worten

① Multipliziert man die Kathete \(a\) (Grundseite)

② mit der anderen Kathete \(b\) (Höhe)

③ und teilt durch \(2\) ,

④ erhält man den Flächeninhalt \(S\)

Einfaches Beispiel

Sind die beiden Katheten 3 und 4 lang, ist der Flächeninhalt

Flächeninhalt \(S\) \(=\) Grundseite (3) \(\times\) Höhe (4) \(\div\) 2

\(S = 3 \times 4 \div 2 = 6\)

Der Grundgedanke

Die Flächenformel für Dreiecke lautet „Grundseite × Höhe : 2“. Im rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten \(a\) und \(b\) direkt Grundseite und Höhe, also reichen diese zwei Seiten für die Fläche (das „: 2“ kommt daher, dass das Dreieck ein Rechteck mit den Seiten \(a\) und \(b\) ist, das entlang der Diagonale halbiert wurde). Kennen Sie die Hypotenuse \(c\) und die Höhe \(h\) auf die Hypotenuse, ergibt \(S = c \times h \div 2\) dieselbe Fläche.

Höhe auf die Hypotenuse berechnen

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(h\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(b\) \(\div\) \(c\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(h\): Höhe auf die Hypotenuse \(=\) ① \(a\): Seite a \(\times\) ② \(b\): Seite b \(\div\) ③ \(c\): Hypotenuse

Die Formel in Worten

① Multipliziert man die Kathete \(a\)

② mit der anderen Kathete \(b\)

③ und teilt durch die Hypotenuse \(c\) ,

④ erhält man die Höhe \(h\) mit der Hypotenuse als Grundseite

Einfaches Beispiel

Im rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 ist die Höhe auf die Hypotenuse 5

Höhe auf die Hypotenuse \(h\) \(=\) Seite a (3) \(\times\) Seite b (4) \(\div\) Hypotenuse (5)

\(h = 3 \times 4 \div 5 = 2{,}4\)

Der Grundgedanke

Schreibt man die Fläche desselben Dreiecks auf zwei Arten, erhält man \(a \times b \div 2 = c \times h \div 2\). Vergleicht man beide Seiten, folgt \(a \times b = c \times h\), also \(h = a \times b \div c\). Diese Höhe (das Lot vom Scheitel des rechten Winkels auf die Hypotenuse) teilt das Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke, die beide zum ursprünglichen ähnlich sind. Daraus folgen der Höhensatz \(h^2 = p \cdot q\) und der Kathetensatz – beliebte Themen in Klasse 9 (14–15 Jahre).

Umfang berechnen

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(L\) \(=\) \(a\) \(+\) \(b\) \(+\) \(c\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(L\): Umfang \(=\) ① \(a\): Seite a \(+\) ② \(b\): Seite b \(+\) ③ \(c\): Hypotenuse

Die Formel in Worten

① Addiert man die Kathete \(a\) ,

② die andere Kathete \(b\)

③ und die Hypotenuse \(c\) ,

④ erhält man den Umfang \(L\)

Einfaches Beispiel

Der Umfang des rechtwinkligen Dreiecks mit den Seiten 3, 4 und 5 ist

Umfang \(L\) \(=\) Seite a (3) \(+\) Seite b (4) \(+\) Hypotenuse (5)

\(L = 3 + 4 + 5 = 12\)

Der Grundgedanke

Einfach alle drei Seiten addieren. Kennen Sie nur zwei Werte, bestimmen Sie zuerst die fehlenden Seiten mit dem Satz des Pythagoras oder den Winkelfunktionen und addieren dann. Zahlen wie 3, 4, 5 oder 5, 12, 13 oder 8, 15, 17, bei denen alle drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ganzzahlig sind, heißen pythagoreische Tripel. Sie kommen in Rechenaufgaben vor und in der alten Methode, mit einem im Verhältnis 3 : 4 : 5 markierten Seil einen rechten Winkel abzustecken (die 3-4-5-Regel, die auf Baustellen bis heute genutzt wird).

Das rechtwinklige Dreieck ruht auf zwei Säulen: dem Satz des Pythagoras \(a^2 + b^2 = c^2\) und den Winkelfunktionen (sin, cos, tan). Kennen Sie zwei Werte, lässt sich alles andere berechnen. Die Fläche ist \(a \times b \div 2\), die Höhe auf die Hypotenuse \(a \times b \div c\) und der Umfang die Summe der drei Seiten.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(a\)	a	Eine der beiden Seiten am rechten Winkel (Kathete). Sie liegt dem Winkel \(\alpha\) gegenüber.
\(b\)	b	Die andere Seite am rechten Winkel (Kathete). Sie liegt dem Winkel \(\beta\) gegenüber.
\(c\)	c	Die Hypotenuse, die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck, gegenüber dem rechten Winkel.
\(\alpha\)	Alpha	Der Winkel gegenüber der Seite \(a\). Ein griechischer Buchstabe, mit dem man oft Winkel bezeichnet.
\(\beta\)	Beta	Der Winkel gegenüber der Seite \(b\). Es gilt \(\alpha + \beta = 90^\circ\).
\(h\)	h	Die Höhe mit der Hypotenuse als Grundseite: die Länge des Lots vom Scheitel des rechten Winkels auf die Hypotenuse. \(h = a \times b \div c\). In Schulbüchern oft \(h_c\).
\(S\)	S	Der Flächeninhalt, \(S = a \times b \div 2\). (In deutschen Schulbüchern meist \(A\).)
\(L\)	L	Der Umfang (Summe der drei Seiten), \(L = a + b + c\). (In deutschen Schulbüchern meist \(u\).)
\(\sin\alpha\)	Sinus Alpha	Gegenkathete : Hypotenuse, also \(\sin\alpha = a : c\) (Beispiel \(\sin 30^\circ = 0{,}5\)).
\(\cos\alpha\)	Kosinus Alpha	Ankathete : Hypotenuse, also \(\cos\alpha = b : c\) (Beispiel \(\cos 60^\circ = 0{,}5\)).
\(\tan\alpha\)	Tangens Alpha	Gegenkathete : Ankathete, also \(\tan\alpha = a : b\) (Beispiel \(\tan 45^\circ = 1\)).
\(\tan^{-1}\)	Arkustangens (tan hoch minus 1)	Rechnet aus einem Tangenswert den Winkel zurück. Auf dem Taschenrechner ist es die Taste tan⁻¹. Die „hoch minus 1“ bedeutet hier die Umkehrfunktion, nicht den Kehrwert.

Begriffe

rechtwinkliges Dreieck	Ein Dreieck mit einem Winkel von genau 90° (rechter Winkel). Die beiden anderen Winkel sind immer spitz (kleiner als 90°) und ergeben zusammen 90°.
Hypotenuse	Die Seite gegenüber dem rechten Winkel. Sie ist immer die längste der drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.
Satz des Pythagoras	Die Beziehung \(a^2 + b^2 = c^2\) zwischen den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Er steht meist in Klasse 8–9 (13–15 Jahre) auf dem Lehrplan. Kennt man zwei Seiten, lässt sich die dritte berechnen.
Winkelfunktion	Ein Verhältnis zweier Seiten im rechtwinkligen Dreieck (Sinus, Kosinus oder Tangens). Der Winkel bestimmt das Verhältnis, deshalb lassen sich aus einem Winkel und einer Seite die übrigen Seiten berechnen. Meist Thema in Klasse 9–10 (14–16 Jahre).
Bogenmaß	Eine andere Angabe für Winkel (Einheit Radiant, rad). Der Mittelpunktswinkel, dessen Bogen so lang ist wie der Radius, ist 1 rad, und \(180^\circ = \pi\) rad. Von Grad rechnet man mit „Grad · π : 180“ um.
pythagoreisches Tripel	Drei natürliche Zahlen, die die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sein können. Bekannt sind (3 \| 4 \| 5), (5 \| 12 \| 13) und (8 \| 15 \| 17).
gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck	Ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei gleich langen Katheten. Beide spitzen Winkel sind 45°, das Seitenverhältnis ist \(1 : 1 : \sqrt{2}\). Das Geodreieck hat diese Form.

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur ausführen, sondern auch verstehen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.

Flächeninhalt von Dreiecken (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, dass der Flächeninhalt eines Dreiecks „Grundseite × Höhe : 2“ ist Wissen, dass im rechtwinkligen Dreieck die beiden Katheten direkt Grundseite und Höhe sind
Winkelsumme im Dreieck (Klasse 7, 12–13 Jahre)	Wissen, dass die drei Innenwinkel eines Dreiecks zusammen 180° ergeben Erklären können, warum im rechtwinkligen Dreieck die beiden anderen Winkel zusammen 90° ergeben
Satz des Pythagoras und Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Wissen, dass für die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks \(a^2 + b^2 = c^2\) gilt (\(c\) ist die Hypotenuse) Die Quadratwurzel bestimmen können, also die Zahl, die quadriert die Ausgangszahl ergibt, wie bei \(\sqrt{25} = 5\)
Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Erklären können, dass sin, cos und tan Verhältnisse zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind Wissen, dass sich aus einem Winkel und einer Seite mit den Winkelfunktionen die übrigen Seiten ergeben Die Werte für 30°, 45° und 60° kennen, etwa \(\sin 30^\circ = 0{,}5\)

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die beiden Katheten aus Winkel und Hypotenuse

Hypotenuse c	10
Winkel α (Grad)	30
Seite a	=B1*SIN(BOGENMASS(B2))
Seite b	=B1*COS(BOGENMASS(B2))

Tabelle für die Winkel aus zwei Seiten

Seite a	3
Seite b	4
Winkel α (Grad)	=GRAD(ARCTAN(B1/B2))
Winkel β (Grad)	=90-B3

Tabelle für den Flächeninhalt

Seite a	3
Seite b	4
Flächeninhalt S	=B1*B2/2

Tabelle für die Höhe auf die Hypotenuse

Seite a	3
Seite b	4
Hypotenuse c	5
Höhe h	=B1*B2/B3

Tabelle für den Umfang

Seite a	3
Seite b	4
Hypotenuse c	5
Umfang L	=B1+B2+B3

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen die Eingaben, die unterste Zeile (manchmal mehrere) rechnet automatisch.
Die Excel-Funktionen SIN und COS erwarten das Bogenmaß; ein Winkel in Grad wird deshalb mit BOGENMASS umgerechnet. Umgekehrt liefert ARCTAN das Bogenmaß, das GRAD wieder in Grad umrechnet.
Die erste Tabelle zeigt für Seite a die 5 und für Seite b etwa 8,66, die zweite für α etwa 36,87 und für β etwa 53,13. Ersetzen Sie einfach die Eingaben in Spalte B durch Ihre eigenen Zahlen.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die beiden Katheten aus Winkel und Hypotenuse

Hypotenuse c	10
Winkel α (Grad)	30
Seite a	=B1*SIN(BOGENMASS(B2))
Seite b	=B1*COS(BOGENMASS(B2))

Tabelle für die Winkel aus zwei Seiten

Seite a	3
Seite b	4
Winkel α (Grad)	=GRAD(ARCTAN(B1/B2))
Winkel β (Grad)	=90-B3

Tabelle für den Flächeninhalt

Seite a	3
Seite b	4
Flächeninhalt S	=B1*B2/2

Tabelle für die Höhe auf die Hypotenuse

Seite a	3
Seite b	4
Hypotenuse c	5
Höhe h	=B1*B2/B3

Tabelle für den Umfang

Seite a	3
Seite b	4
Hypotenuse c	5
Umfang L	=B1+B2+B3

Dieselben Formeln wie in Excel (SIN, COS, ARCTAN, BOGENMASS, GRAD) funktionieren in der deutschen Oberfläche von Google Tabellen unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben in Spalte B durch Ihre eigenen Zahlen.

So berechnen Sie es in Python

import math

side_a = 3.0  # Kathete a
side_b = 4.0  # Kathete b

side_c = math.sqrt(side_a ** 2 + side_b ** 2)      # Hypotenuse (Satz des Pythagoras)
angle_alpha = math.degrees(math.atan(side_a / side_b))  # Winkel α (Grad)
angle_beta = 90 - angle_alpha                       # Winkel β (Grad)
height = side_a * side_b / side_c                   # Höhe auf die Hypotenuse
area = side_a * side_b / 2                          # Flächeninhalt
perimeter = side_a + side_b + side_c                # Umfang

print(f"Hypotenuse c: {side_c}")
print(f"Winkel α: {angle_alpha} Grad = {math.radians(angle_alpha)} rad")
print(f"Winkel β: {angle_beta} Grad = {math.radians(angle_beta)} rad")
print(f"Höhe h: {height}")
print(f"Flächeninhalt S: {area}")
print(f"Umfang L: {perimeter}")

Läuft nur mit math aus der Standardbibliothek. Winkelfunktionen wie math.sin und math.atan rechnen im Bogenmaß; entscheidend ist daher das Umrechnen mit math.degrees (Bogenmaß in Grad) und math.radians (Grad in Bogenmaß). Ersetzen Sie oben die beiden Seiten durch Ihre Werte (in Python mit Punkt als Dezimaltrennzeichen) und führen Sie den Code aus.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Katheten mit den Winkelfunktionen berechnen (Winkel und Hypotenuse bekannt)

a = c·sin α,  b = c·cos α

a = c \sin\alpha, \quad b = c \cos\alpha

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mo>=</mo><mi>c</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B1;</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>b</mi><mo>=</mo><mi>c</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>cos</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B1;</mi>
  </mrow>
</math>

a = c sin(alpha), b = c cos(alpha)

a == c Sin[α] && b == c Cos[α]

a := c*sin(alpha); b := c*cos(alpha);

a = c*sind(alpha); b = c*cosd(alpha);

a = c sin α,  b = c cos α

Winkel berechnen (zwei Seiten bekannt)

α = tan⁻¹(a ÷ b),  β = 90° − α

\alpha = \tan^{-1}\frac{a}{b}, \quad \beta = 90^\circ - \alpha

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x3B1;</mi><mo>=</mo>
    <msup><mi>tan</mi><mrow><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
    <mo>&#x2061;</mo>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mi>&#x3B2;</mi><mo>=</mo><mrow><mn>90</mn><mo>&#xB0;</mo></mrow><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x3B1;</mi>
  </mrow>
</math>

alpha = arctan(a/b), beta = 90 - alpha

α == ArcTan[a/b] && β == Pi/2 - α

alpha := arctan(a/b); beta := Pi/2 - alpha;

alpha = atand(a/b); beta = 90 - alpha;

α = tan^(-1)(a/b),  β = 90° - α

Flächeninhalt berechnen

S = a × b ÷ 2

S = \frac{1}{2}ab

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi><mo>=</mo>
    <mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>b</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac>
  </mrow>
</math>

S = (a b)/2

a b / 2

S := a*b/2;

S = a*b/2;

S = ab/2

Höhe auf die Hypotenuse berechnen

h = a × b ÷ c

h = \frac{ab}{c}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>h</mi><mo>=</mo>
    <mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>b</mi></mrow><mi>c</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

h = (a b)/c

a b / c

h := a*b/c;

h = a*b/c;

h = ab/c

Umfang berechnen

L = a + b + c

L = a + b + c

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>L</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi>
  </mrow>
</math>

L = a + b + c

a + b + c

L := a + b + c;

L = a + b + c;

L = a + b + c

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Schätzen).

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Kathete a = 3 und die Hypotenuse c = 5.
Berechnen Sie:
1. die andere Kathete b (Satz des Pythagoras)
2. die Winkel α und β (in Grad und im Bogenmaß)
3. die Höhe h auf die Hypotenuse
4. den Flächeninhalt S und den Umfang L

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel