Aus den Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse, die sich nicht gegenseitig beeinflussen (unabhängige Ereignisse), berechnet der Rechner auf einmal, wie wahrscheinlich es ist, dass beide eintreten, dass mindestens eines eintritt und mehr. Geben Sie jede Wahrscheinlichkeit als Zahl von 0 bis 1 ein (zum Beispiel 0,3 für 30 %).
Geben Sie jede Wahrscheinlichkeit als Zahl von 0 bis 1 ein (zum Beispiel 0,3 für 30 %).
Ergebnis und Figur
Geben Sie links die beiden Wahrscheinlichkeiten ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
-
So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Sie geben nur die Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse ein und sehen sofort, wie wahrscheinlich es ist, dass beide eintreten, \(P(A \cap B)\), und dass mindestens eines eintritt, \(P(A \cup B)\)
- Gleichzeitig berechnet der Rechner die Wahrscheinlichkeit, dass genau eines eintritt, \(P(A \Delta B)\), dass keines eintritt, dass nur A eintritt, und mehr
- Fragen wie „Am ersten Urlaubstag scheint mit 50 % Wahrscheinlichkeit die Sonne, am zweiten mit 30 %. Wie wahrscheinlich ist an beiden Tagen Sonne?“ sind mit einem Klick gelöst
- Außerdem finden Sie hier eine leicht verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Der Rechner gilt nur, wenn sich die beiden Ereignisse nicht gegenseitig beeinflussen (unabhängige Ereignisse). Würfel und Münze, bei denen das eine Ergebnis nichts mit dem anderen zu tun hat, sind in Ordnung. Ändert dagegen ein Ergebnis die Wahrscheinlichkeit des anderen – etwa beim zweimaligen Ziehen eines Loses ohne Zurücklegen –, passt der Rechner nicht.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Abschätzen, wie wahrscheinlich an beiden Tagen eines Ausflugs oder Festes die Sonne scheint
Liegt die Sonnenwahrscheinlichkeit am ersten Tag bei 50 % und am zweiten bei 30 %, scheint an beiden Tagen nur mit \(0{,}5 \times 0{,}3 = 0{,}15\) (15 %) Wahrscheinlichkeit die Sonne. (Eine grobe Schätzung, die das Wetter der beiden Tage als unabhängig betrachtet.)
Weil Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden, ist die Chance, dass „beides klappt“, oft viel kleiner als gedacht. Wer dafür ein Gefühl hat, plant anders.
Die Chance auf mindestens eine Zusage bei zwei Bewerbungen (Studienplatz, Job, Verlosung)
Haben Sie bei Ihrer Wunschhochschule eine Zusagechance von 50 % und bei einer zweiten Hochschule von 30 %, bekommen Sie mit \(0{,}5 + 0{,}3 - 0{,}15 = 0{,}65\) (65 %) Wahrscheinlichkeit mindestens eine Zusage. (Dabei werden die beiden Entscheidungen als unabhängig angenommen.)
So prüfen Sie bei wichtigen Lebensentscheidungen mit Zahlen statt aus dem Bauch heraus, wie stark eine weitere Bewerbung Ihre Gesamtchance erhöht.
Prüfen, wie sicher Ihre Datensicherung ist (Daten und Notfallvorsorge)
Speichern Sie dieselben Daten auf zwei Festplatten, die jeweils mit 1 % Wahrscheinlichkeit innerhalb eines Jahres ausfallen, sinkt die Wahrscheinlichkeit, beide gleichzeitig zu verlieren, auf \(0{,}01 \times 0{,}01 = 0{,}0001\) (1 zu 10.000) – vorausgesetzt, die Ausfälle sind unabhängig.
„Doppelte Vorsorge – das Risiko schrumpft durch Multiplikation.“ Dieser Gedanke steckt hinter jeder Art von Vorsorge, von der Sicherung Ihrer Fotos bis zum Notvorrat an mehreren Orten.
Ärztliche Aufklärung richtig verstehen (kombinierte Risiken bei Operation und Behandlung)
Heißt es „Die Operation gelingt in 90 % der Fälle, und mit 95 % Wahrscheinlichkeit treten danach keine Komplikationen auf“, so geht beides mit \(0{,}9 \times 0{,}95 = 0{,}855\) (85,5 %) Wahrscheinlichkeit gut. (Ein Richtwert, der beides als unabhängig betrachtet.)
Bei wichtigen Entscheidungen wie der Wahl einer Behandlung hilft es, die Gesamtaussicht bei mehreren zusammenwirkenden Wahrscheinlichkeiten selbst berechnen zu können – so entscheiden Sie mit gutem Gefühl.
Qualitätskontrolle (Wahrscheinlichkeit, dass alle Teile in Ordnung sind)
Besteht ein Produkt aus zwei Teilen, die jeweils zu 99 % fehlerfrei sind, so sind mit \(0{,}99 \times 0{,}99 = 0{,}9801\) (98,01 %) Wahrscheinlichkeit beide Teile in Ordnung.
In der Fertigung wiederholt die Qualitätssicherung diese Rechnung für jedes Teil, schätzt so die Gutquote des ganzen Produkts ab und rechnet zurück, welche Fehlerquote pro Teil zulässig ist.
Formeln und Abbildungen
Gegenereignis (Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(P(\overline{A})\)
\(=\)
\(1\)
\(-\)
\(P(A)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(P(\overline{A})\): Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt
\(=\)
①
\(1\): Gesamtwahrscheinlichkeit
\(-\)
②
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt
Die Formel in Worten
①
Von der
\(1\): Gesamtwahrscheinlichkeit
②
ziehen Sie die
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt
ab
③
und erhalten die
\(P(\overline{A})\): Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt
Einfaches Beispiel
Gewinnt ein Los mit der Wahrscheinlichkeit 0,2, so ist die Wahrscheinlichkeit für eine Niete
\(P(\overline{A})\): Niete
\(=\)
\(1\): Gesamtwahrscheinlichkeit
\(-\)
Gewinn (0,2)
\(1 - 0{,}2 = 0{,}8\ \ (80\,\%)\)
Der Grundgedanke
Die Wahrscheinlichkeit, dass etwas eintritt, und die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt, ergeben zusammen immer die Gesamtwahrscheinlichkeit 1. Zieht man also die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von 1 ab, erhält man die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt (die Gegenwahrscheinlichkeit). Das A mit dem Strich darüber, \(\overline{A}\) (gelesen „A quer“), steht für das Ereignis „A tritt nicht ein“, das Gegenereignis von A.
Schnittmenge (Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(P(A \cap B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(\times\)
\(P(B)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(P(A \cap B)\): Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten
\(=\)
①
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt
\(\times\)
②
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt
Die Formel in Worten
①
Multiplizieren Sie die
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt
②
mit der
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt
③
und Sie erhalten die
\(P(A \cap B)\): Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten
Einfaches Beispiel
Scheint im Urlaub am ersten Tag mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 die Sonne und am zweiten Tag mit 0,3, so ist die Wahrscheinlichkeit für Sonne an beiden Tagen
\(P(A \cap B)\): Sonne an beiden Tagen
\(=\)
Sonne am 1. Tag (0,5)
\(\times\)
Sonne am 2. Tag (0,3)
\(0{,}5 \times 0{,}3 = 0{,}15\ \ (15\,\%)\)
Der Grundgedanke
Warum wird bei „und“ multipliziert? A tritt in einem Anteil \(P(A)\) aller Fälle ein, und innerhalb dieses Anteils tritt B wiederum mit dem Anteil \(P(B)\) ein. Es ist also ein „Anteil vom Anteil“ – deshalb multipliziert man. 30 % von 50 % sind \(0{,}5 \times 0{,}3 = 0{,}15\) (15 %).
Das Quadrat rechts in der Abbildung oben stellt das Ganze als Quadrat mit der Fläche 1 dar, mit der Breite \(P(A)\) und der Höhe \(P(B)\). Der Fall „A und B treten beide ein“ ist das Rechteck unten links, seine Fläche ist \(P(A) \times P(B)\). Das Venn-Diagramm links zeigt nur, welcher Teil welcher ist; die Flächen seiner Kreise entsprechen nicht der Größe der Wahrscheinlichkeiten.
Diese Formel gilt nur, wenn sich A und B nicht gegenseitig beeinflussen (unabhängige Ereignisse). Sie gilt nicht, wenn ein Ergebnis die Wahrscheinlichkeit des anderen verändert, etwa beim zweimaligen Ziehen eines Loses ohne Zurücklegen.
Vereinigungsmenge (Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines von A und B eintritt)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(P(A \cup B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(+\)
\(P(B)\)
\(-\)
\(P(A \cap B)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(P(A \cup B)\): Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines eintritt
\(=\)
①
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt
\(+\)
②
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt
\(-\)
③
\(P(A \cap B)\): Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten
Die Formel in Worten
①
Addieren Sie zur
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt
②
die
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt
③
ziehen Sie die
\(P(A \cap B)\): Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten
einmal ab
④
und Sie erhalten die
\(P(A \cup B)\): Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines eintritt
Einfaches Beispiel
Scheint am ersten Tag mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 die Sonne und am zweiten Tag mit 0,3 (Sonne an beiden Tagen also 0,5 × 0,3 = 0,15), so ist die Wahrscheinlichkeit für Sonne an mindestens einem der beiden Tage
\(P(A \cup B)\): Sonne an mindestens einem Tag
\(=\)
Sonne am 1. Tag (0,5)
\(+\)
Sonne am 2. Tag (0,3)
\(-\)
Sonne an beiden Tagen (0,15)
\(0{,}5 + 0{,}3 - 0{,}15 = 0{,}65\ \ (65\,\%)\)
Der Grundgedanke
Warum zieht man \(P(A \cap B)\) ab? Addiert man einfach \(P(A) + P(B)\), wird der Fall „beide treten ein“ doppelt gezählt – einmal bei A und einmal bei B. Zieht man die Überschneidung \(P(A \cap B)\) einmal ab, ist die doppelte Zählung korrigiert. Diese Zählregel heißt Siebformel (Additionssatz).
Symmetrische Differenz (Wahrscheinlichkeit, dass genau eines eintritt)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(P(A \Delta B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(+\)
\(P(B)\)
\(-\)
\(2P(A \cap B)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(P(A \Delta B)\): Wahrscheinlichkeit, dass genau eines eintritt
\(=\)
①
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt
\(+\)
②
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt
\(-\)
③
\(2P(A \cap B)\): doppelte Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten
Die Formel in Worten
①
Addieren Sie zur
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt
②
die
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt
③
ziehen Sie die
\(2P(A \cap B)\): doppelte Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten
ab
④
und Sie erhalten die
\(P(A \Delta B)\): Wahrscheinlichkeit, dass genau eines eintritt
Einfaches Beispiel
Hat Ereignis A die Wahrscheinlichkeit 0,5 und Ereignis B die Wahrscheinlichkeit 0,4 (beide zusammen also 0,5 × 0,4 = 0,2), so ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eines eintritt,
\(P(A \Delta B)\): genau eines tritt ein
\(=\)
A tritt ein (0,5)
\(+\)
B tritt ein (0,4)
\(-\)
beide treten ein (0,2), doppelt
\(0{,}5 + 0{,}4 - 2 \times 0{,}2 = 0{,}5\ \ (50\,\%)\)
Der Grundgedanke
Bei der Vereinigungsmenge (mindestens eines) wurde die Überschneidung nur einmal abgezogen, der Fall „beide treten ein“ blieb also enthalten. Bei der symmetrischen Differenz soll dieser Fall ganz wegfallen. Deshalb zieht man die doppelt gezählte Überschneidung zweimal ab.
Für zwei unabhängige Ereignisse gilt als Grundregel: Bei „und“ (beide) wird multipliziert, bei „oder“ (mindestens eines) wird addiert und die Überschneidung abgezogen.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(P(A)\) | P von A | Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt. P ist der Anfangsbuchstabe von „probabilitas“ (lateinisch, englisch „probability“). |
| \(\overline{A}\) | A quer (Gegenereignis) | Der Strich über dem A steht für das Ereignis „A tritt nicht ein“, das Gegenereignis von A. Man berechnet es mit \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\). |
| \(\cap\) | geschnitten (Schnittmenge) | Das Zeichen für „und“. \(A \cap B\) ist das Ereignis „A und B treten beide ein“. Im Venn-Diagramm ist das der Bereich, in dem sich die beiden Kreise überschneiden. |
| \(\cup\) | vereinigt (Vereinigungsmenge) | Das Zeichen für „oder“. \(A \cup B\) ist das Ereignis „mindestens eines von A und B tritt ein“. Im Venn-Diagramm ist das alles, was innerhalb der beiden Kreise liegt. |
| \(\Delta\) | Delta (symmetrische Differenz) | Das Zeichen für „genau eines“. \(A \Delta B\) ist das Ereignis „genau eines von A und B tritt ein (nicht beide)“. |
Begriffe
| Ereignis | Etwas, das eintreten kann oder nicht, etwa „mit einem Würfel eine 6 werfen“ oder „morgen regnet es“. In der Mathematik heißt so etwas Ereignis und bekommt einen Namen wie A oder B. |
| unabhängige Ereignisse | Das Ergebnis des einen Ereignisses ändert nicht, wie wahrscheinlich das andere ist. Würfelwurf und Münzwurf sind zum Beispiel unabhängig. Zieht man Lose ohne Zurücklegen, sind die Ziehungen nicht unabhängig, denn das erste Ergebnis verändert die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Mal. Dieser Rechner ist nur für unabhängige Ereignisse gedacht. |
| Gegenereignis | Das entgegengesetzte Ereignis, also dass das Ereignis nicht eintritt. Ist die Wahrscheinlichkeit, dass es eintritt, 0,2, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt (die Gegenwahrscheinlichkeit), \(1 - 0{,}2 = 0{,}8\). |
| Schnittmenge | Beide Ereignisse treten ein. Das Zeichen ist \(A \cap B\) (gelesen „A geschnitten B“ oder „A und B“). Bei unabhängigen Ereignissen ist die Wahrscheinlichkeit das Produkt \(P(A) \times P(B)\). |
| Vereinigungsmenge | Mindestens eines der beiden Ereignisse tritt ein. Das Zeichen ist \(A \cup B\) (gelesen „A vereinigt B“ oder „A oder B“). Die Wahrscheinlichkeit ist die Summe minus der Überschneidung \(P(A \cap B)\), die einmal abgezogen wird. |
| symmetrische Differenz | Genau eines der beiden Ereignisse tritt ein (nicht beide). Das Zeichen ist \(A \Delta B\). In der Logik heißt das „exklusives Oder“ (XOR, „entweder – oder“). |
| unvereinbare Ereignisse | Zwei Ereignisse, die nicht gleichzeitig eintreten können (auch „disjunkt“). Bei einem Würfelwurf sind zum Beispiel „gerade Zahl“ und „ungerade Zahl“ unvereinbar. Achtung – das ist etwas anderes als „unabhängig“. |
| Siebformel | Zählregel für Wahrscheinlichkeiten mit „oder“ (auch Additionssatz oder Prinzip von Inklusion und Exklusion). Addiert man einfach, wird der Fall „beide treten ein“ doppelt gezählt, deshalb zieht man die Überschneidung einmal ab. Sie ist die Grundlage der Formel für die Vereinigungsmenge \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit Verständnis nutzen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es am schnellsten, die Themen dieser Liste noch einmal zu wiederholen.
| Grundlagen der Wahrscheinlichkeit (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Prozente und Dezimalzahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Brüche multiplizieren (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
| Mengen und Venn-Diagramme (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt (Gegenereignis)
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,2 |
| A tritt nicht ein, P(A̅) | =1-B1 |
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,5 |
| Wahrscheinlichkeit von B, P(B) | 0,3 |
| Beide treten ein, P(A∩B) | =B1*B2 |
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines von A und B eintritt
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,5 |
| Wahrscheinlichkeit von B, P(B) | 0,3 |
| Mindestens eines tritt ein, P(A∪B) | =B1+B2-B1*B2 |
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit, dass genau eines eintritt (symmetrische Differenz)
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,5 |
| Wahrscheinlichkeit von B, P(B) | 0,3 |
| Genau eines tritt ein, P(AΔB) | =B1+B2-2*B1*B2 |
Nach dem Einfügen stehen in Spalte A die Bezeichnungen und in Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind Ihre Eingaben, die Formel in der letzten Zeile berechnet daraus das Ergebnis.
„B1“ und „B2“ in der Formel bedeuten „die Zahl aus dieser Zelle verwenden“, „*“ ist das Malzeichen. Ersetzen Sie einfach die Eingabewerte durch Ihre eigenen Wahrscheinlichkeiten.
In der zweiten Tabelle zeigt B3 zum Beispiel 0,5 × 0,3 = 0,15 an. Nur die erste Tabelle (Gegenereignis) hat eine einzige Eingabe in B1, das Ergebnis steht in B2.
„B1“ und „B2“ in der Formel bedeuten „die Zahl aus dieser Zelle verwenden“, „*“ ist das Malzeichen. Ersetzen Sie einfach die Eingabewerte durch Ihre eigenen Wahrscheinlichkeiten.
In der zweiten Tabelle zeigt B3 zum Beispiel 0,5 × 0,3 = 0,15 an. Nur die erste Tabelle (Gegenereignis) hat eine einzige Eingabe in B1, das Ergebnis steht in B2.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt (Gegenereignis)
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,2 |
| A tritt nicht ein, P(A̅) | =1-B1 |
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,5 |
| Wahrscheinlichkeit von B, P(B) | 0,3 |
| Beide treten ein, P(A∩B) | =B1*B2 |
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines von A und B eintritt
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,5 |
| Wahrscheinlichkeit von B, P(B) | 0,3 |
| Mindestens eines tritt ein, P(A∪B) | =B1+B2-B1*B2 |
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit, dass genau eines eintritt (symmetrische Differenz)
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,5 |
| Wahrscheinlichkeit von B, P(B) | 0,3 |
| Genau eines tritt ein, P(AΔB) | =B1+B2-2*B1*B2 |
Es funktionieren dieselben Formeln wie in Excel. Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 ein. Die oberen Zeilen sind Ihre Eingaben, die letzte Zeile ist das berechnete Ergebnis.
Ersetzen Sie einfach die Eingabewerte durch Ihre eigenen Wahrscheinlichkeiten.
Ersetzen Sie einfach die Eingabewerte durch Ihre eigenen Wahrscheinlichkeiten.
So berechnen Sie es in Python
p_a = 0.5 # Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt
p_b = 0.3 # Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintritt
p_both = p_a * p_b # beide treten ein, P(A∩B)
p_at_least_one = p_a + p_b - p_both # mindestens eines, P(A∪B)
p_exactly_one = p_a + p_b - 2 * p_both # genau eines, P(AΔB)
p_neither = 1 - p_at_least_one # keines tritt ein
print(f"Beide treten ein: {p_both}")
print(f"Mindestens eines tritt ein: {p_at_least_one}")
print(f"Genau eines tritt ein: {p_exactly_one}")
print(f"Keines tritt ein: {p_neither}")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. Ändern Sie oben die Werte von p_a und p_b in die gewünschten Wahrscheinlichkeiten und führen Sie den Code aus. (In Python schreibt man Dezimalzahlen mit Punkt statt mit Komma.)
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Gegenereignis (Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt)
P(A̅) = 1 − P(A)
P(\overline{A}) = 1 - P(A)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo>
<mover><mi>A</mi><mo>¯</mo></mover>
<mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
<mo>−</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(bar A) = 1 - P(A)
1 - pA
pNotA := 1 - pA;
p_not_a = 1 - p_a;
P(A̅) = 1 - P(A)
Schnittmenge (Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten)
P(A∩B) = P(A) × P(B)
P(A \cap B) = P(A) \times P(B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A nn B) = P(A) xx P(B)
pA*pB
pAandB := pA*pB;
p_a_and_b = p_a*p_b;
P(A∩B) = P(A) × P(B)
Vereinigungsmenge (Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines von A und B eintritt)
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∪</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A uu B) = P(A) + P(B) - P(A nn B)
pA + pB - pA*pB
pAorB := pA + pB - pA*pB;
p_a_or_b = p_a + p_b - p_a*p_b;
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Symmetrische Differenz (Wahrscheinlichkeit, dass genau eines eintritt)
P(AΔB) = P(A) + P(B) − 2P(A∩B)
P(A \Delta B) = P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>Δ</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mn>2</mn>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A Delta B) = P(A) + P(B) - 2 P(A nn B)
pA + pB - 2*pA*pB
pAxorB := pA + pB - 2*pA*pB;
p_a_xor_b = p_a + p_b - 2*p_a*p_b;
P(AΔB) = P(A) + P(B) - 2P(A∩B)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Assistent für Wahrscheinlichkeitsrechnung. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Ereignis A tritt mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 ein, Ereignis B mit der Wahrscheinlichkeit 0,3. A und B sind unabhängig. Berechnen Sie Folgendes: 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten, P(A∩B) 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass A oder B (mindestens eines) eintritt, P(A∪B) 3. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau eines von beiden eintritt, P(AΔB) 4. Die Wahrscheinlichkeit, dass keines eintritt Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis in einer Tabelle.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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