Aus den Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse, die sich nicht gegenseitig beeinflussen (unabhängige Ereignisse), berechnet der Rechner die Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten, dass mindestens eines eintritt und mehr. Geben Sie jede Wahrscheinlichkeit als Zahl von 0 bis 1 ein (zum Beispiel 30 % als 0,3).
Geben Sie jede Wahrscheinlichkeit als Zahl von 0 bis 1 ein (zum Beispiel 30 % als 0,3).
Ergebnis und Figur
Geben Sie die beiden Wahrscheinlichkeiten in die Felder links ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie einfach die Wahrscheinlichkeit jedes der beiden Ereignisse ein, und Sie sehen sofort die Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten, \(P(A \cap B)\), und dass mindestens eines eintritt, \(P(A \cup B)\)
- Außerdem berechnet der Rechner gleichzeitig die Wahrscheinlichkeit, dass genau eines eintritt, \(P(A \Delta B)\), dass keines eintritt, dass nur A eintritt und mehr
- Fragen wie „Am ersten Reisetag scheint mit 50 % Wahrscheinlichkeit die Sonne, am zweiten mit 30 %. Wie wahrscheinlich ist Sonne an beiden Tagen?“ lösen Sie in einem Schritt
- Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Der Rechner gilt nur, wenn sich die beiden Ereignisse nicht gegenseitig beeinflussen (wenn sie unabhängig sind). Ein Würfel und eine Münze, bei denen das eine Ergebnis nichts mit dem anderen zu tun hat, sind in Ordnung. Er gilt nicht, wenn ein Ergebnis die Wahrscheinlichkeit des anderen verändert, etwa beim „Ziehen zweier Lose ohne Zurücklegen“.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Die Chance auf gutes Wetter an beiden Tagen einer Reise oder Veranstaltung abschätzen
Beträgt die Wahrscheinlichkeit für Sonne am ersten Tag 50 % und am zweiten Tag 30 %, dann ist die Wahrscheinlichkeit für Sonne an beiden Tagen nur \(0{,}5 \cdot 0{,}3 = 0{,}15\) (15 %). (Das ist eine grobe Schätzung, bei der das Wetter beider Tage als unabhängig behandelt wird.)
Weil Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden, ist die Chance, dass „beides gut geht“, oft viel kleiner, als man erwartet. Wer ein Gefühl für diese Zahl hat, plant anders.
Die Chance, an mindestens einer von zwei Hochschulen angenommen zu werden (Studienplatz, Stelle, Verlosung)
Bewerben Sie sich um einen Studienplatz an Ihrer Wunschhochschule mit einer Zulassungschance von 50 % und an einer zweiten Hochschule mit 30 %, dann liegt die Chance auf mindestens eine Zusage bei \(0{,}5 + 0{,}3 - 0{,}15 = 0{,}65\) (65 %). (Dabei wird angenommen, dass die beiden Entscheidungen unabhängig voneinander fallen.)
Bei einer wichtigen Lebensentscheidung können Sie nicht nur nach Bauchgefühl, sondern mit Zahlen prüfen, wie stark eine weitere Option Ihre Gesamtchance erhöht.
Die Sicherheit von Backups in Zahlen prüfen (Daten und Notfallvorsorge)
Speichern Sie dieselben Daten auf zwei Festplatten, die jeweils mit 1 % Wahrscheinlichkeit im Jahr ausfallen, sinkt die Wahrscheinlichkeit, beide gleichzeitig zu verlieren, auf \(0{,}01 \cdot 0{,}01 = 0{,}0001\) (1 zu 10.000), solange die Ausfälle unabhängig sind.
„Wer Schutzmaßnahmen verdoppelt, senkt das Risiko durch Multiplikation.“ Dieser Gedanke steckt hinter jeder Vorsorge, vom Sichern Ihrer Fotos bis zur Lagerung von Notvorräten an mehr als einem Ort.
Medizinische Aufklärung richtig verstehen (kombinierte Risiken bei Operation und Behandlung)
Wird Ihnen gesagt, „die Operation gelingt zu 90 %, und mit 95 % Wahrscheinlichkeit gibt es danach keine Komplikationen“, dann liegt die Wahrscheinlichkeit, dass beides gut verläuft, bei \(0{,}9 \cdot 0{,}95 = 0{,}855\) (85,5 %). (Das ist ein Richtwert, der beides als unabhängig behandelt.)
Bei wichtigen Entscheidungen wie der Wahl einer Behandlung hilft es, die Gesamtaussicht berechnen zu können, wenn sich mehrere Wahrscheinlichkeiten verbinden, damit Sie mit gutem Gefühl entscheiden.
Qualitätskontrolle (die Wahrscheinlichkeit, dass alle Teile in Ordnung sind)
Besteht ein Produkt aus zwei Teilen, die jeweils zu 99 % in Ordnung sind, dann sind beide Teile mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}99 \cdot 0{,}99 = 0{,}9801\) (98,01 %) in Ordnung.
Die Qualitätssicherung in der Fertigung wiederholt diese Rechnung für jedes Teil, um die Ausbeute des ganzen Produkts abzuschätzen, und rechnet rückwärts, welche Fehlerquote für jedes einzelne Teil zulässig ist.
Formeln und Abbildungen
Gegenereignis (Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(P(\overline{A})\)
\(=\)
\(1\)
\(-\)
\(P(A)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(P(\overline{A})\): Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt
\(=\)
①
\(1\): Gesamtwahrscheinlichkeit
\(-\)
②
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(1\): Gesamtwahrscheinlichkeit
②
ziehen Sie die
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt
ab
③
und Sie erhalten die
\(P(\overline{A})\): Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt
Einfaches Beispiel
Gewinnt ein Los mit der Wahrscheinlichkeit 0,2, dann ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit einer Niete
\(P(\overline{A})\): Niete
\(=\)
\(1\): Gesamtwahrscheinlichkeit
\(-\)
Gewinn (0,2)
\(1 - 0{,}2 = 0{,}8\ \ (80\,\%)\)
Der Kerngedanke
Die Wahrscheinlichkeit, dass etwas eintritt, und die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt, ergeben zusammen immer die Gesamtwahrscheinlichkeit 1. Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von 1 abziehen, erhalten Sie also die Wahrscheinlichkeit für das Nichteintreten. Das Symbol \(\overline{A}\) (gelesen „A quer“) steht für das Ereignis „A tritt nicht ein“, das sogenannte Gegenereignis von A.
Schnittmenge (Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(P(A \cap B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(\cdot\)
\(P(B)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(P(A \cap B)\): Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten
\(=\)
①
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt
\(\cdot\)
②
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt
②
multiplizieren Sie sie mit der
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt
③
und Sie erhalten die
\(P(A \cap B)\): Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten
Einfaches Beispiel
Ist die Wahrscheinlichkeit für Sonne am ersten Reisetag 0,5 und am zweiten 0,3, dann ist die Wahrscheinlichkeit für Sonne an beiden Tagen
\(P(A \cap B)\): Sonne an beiden Tagen
\(=\)
Sonne am 1. Tag (0,5)
\(\cdot\)
Sonne am 2. Tag (0,3)
\(0{,}5 \cdot 0{,}3 = 0{,}15\ \ (15\,\%)\)
Der Kerngedanke
Warum wird bei „und“ multipliziert? A tritt in einem Anteil \(P(A)\) aller Fälle ein, und innerhalb dieses Anteils tritt auch B in einem Anteil \(P(B)\) ein. Es ist also „ein Anteil von einem Anteil“, und den berechnet man durch Multiplizieren. 30 % von 50 % sind \(0{,}5 \cdot 0{,}3 = 0{,}15\) (15 %).
Das Quadrat rechts in der Abbildung oben stellt das Ganze als Quadrat mit dem Flächeninhalt 1 dar, mit der Breite \(P(A)\) und der Höhe \(P(B)\). Der Fall „A und B treten beide ein“ ist das Rechteck unten links, und sein Flächeninhalt ist \(P(A) \cdot P(B)\). Das Venn-Diagramm links zeigt nur, welcher Teil welcher ist. Die Flächen seiner Kreise stimmen nicht mit der Größe der Wahrscheinlichkeiten überein.
Diese Formel (der Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse) gilt nur, wenn sich A und B nicht gegenseitig beeinflussen (wenn sie unabhängig sind). Sie gilt nicht, wenn ein Ergebnis die Wahrscheinlichkeit des anderen verändert, etwa beim „Ziehen zweier Lose ohne Zurücklegen“.
Vereinigung (Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines von A und B eintritt)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(P(A \cup B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(+\)
\(P(B)\)
\(-\)
\(P(A \cap B)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(P(A \cup B)\): Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines eintritt
\(=\)
①
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt
\(+\)
②
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt
\(-\)
③
\(P(A \cap B)\): Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt
②
addieren Sie die
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt
dazu
③
ziehen Sie die
\(P(A \cap B)\): Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten
einmal ab
④
und Sie erhalten die
\(P(A \cup B)\): Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines eintritt
Einfaches Beispiel
Ist die Wahrscheinlichkeit für Sonne am ersten Tag 0,5 und am zweiten 0,3 (die Wahrscheinlichkeit für Sonne an beiden Tagen ist also 0,5 · 0,3 = 0,15), dann ist die Wahrscheinlichkeit für Sonne an mindestens einem der Tage
\(P(A \cup B)\): Sonne an mindestens einem Tag
\(=\)
Sonne am 1. Tag (0,5)
\(+\)
Sonne am 2. Tag (0,3)
\(-\)
Sonne an beiden Tagen (0,15)
\(0{,}5 + 0{,}3 - 0{,}15 = 0{,}65\ \ (65\,\%)\)
Der Kerngedanke
Warum wird \(P(A \cap B)\) abgezogen? Wenn Sie einfach \(P(A) + P(B)\) addieren, wird der Fall „beide treten ein“ doppelt gezählt, einmal als Teil von A und einmal als Teil von B. Ziehen Sie die Überschneidung \(P(A \cap B)\) einmal ab, ist die doppelte Zählung ausgeglichen. Diese Zählregel heißt Siebformel (in der Schule auch Additionssatz).
Symmetrische Differenz (Wahrscheinlichkeit, dass genau eines eintritt)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(P(A \Delta B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(+\)
\(P(B)\)
\(-\)
\(2P(A \cap B)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(P(A \Delta B)\): Wahrscheinlichkeit, dass genau eines eintritt
\(=\)
①
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt
\(+\)
②
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt
\(-\)
③
\(2P(A \cap B)\): das Doppelte der Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt
②
addieren Sie die
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt
dazu
③
ziehen Sie
\(2P(A \cap B)\): das Doppelte der Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten
ab
④
und Sie erhalten die
\(P(A \Delta B)\): Wahrscheinlichkeit, dass genau eines eintritt
Einfaches Beispiel
Hat das Ereignis A die Wahrscheinlichkeit 0,5 und das Ereignis B die Wahrscheinlichkeit 0,4 (die Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten, ist also 0,5 · 0,4 = 0,2), dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eines eintritt,
\(P(A \Delta B)\): genau eines tritt ein
\(=\)
A tritt ein (0,5)
\(+\)
B tritt ein (0,4)
\(-\)
beide treten ein (0,2), doppelt gezählt
\(0{,}5 + 0{,}4 - 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}5\ \ (50\,\%)\)
Der Kerngedanke
Bei der Vereinigung (mindestens eines) haben Sie die Überschneidung nur einmal abgezogen, sodass der Fall „beide treten ein“ erhalten blieb. Bei der symmetrischen Differenz soll der Fall „beide treten ein“ ganz wegfallen. Deshalb ziehen Sie die doppelt gezählte Überschneidung zweimal ab.
Bei zwei unabhängigen Ereignissen gelten zwei Grundregeln: „und“ (beide) ist eine Multiplikation, „oder“ (mindestens eines) ist eine Addition minus der Überschneidung.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(P(A)\) | P von A | Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintritt. P steht für „Probability“, das englische Wort für Wahrscheinlichkeit. |
| \(\overline{A}\) | A quer (Gegenereignis) | Der Querstrich über A steht für das Ereignis „A tritt nicht ein“, das Gegenereignis von A. Man berechnet es mit \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\). In den Abbildungen und Rechenschritten dieses Rechners wird es auch \(A'\) geschrieben. |
| \(\cap\) | geschnitten mit (Schnittmenge) | Das Symbol für „und“. \(A \cap B\) ist das Ereignis „A und B treten beide ein“. Im Venn-Diagramm ist es der Teil, in dem sich die beiden Kreise überschneiden. |
| \(\cup\) | vereinigt mit (Vereinigung) | Das Symbol für „oder“. \(A \cup B\) ist das Ereignis „mindestens eines von A und B tritt ein“. Im Venn-Diagramm ist es alles, was innerhalb der beiden Kreise liegt. |
| \(\Delta\) | Delta (symmetrische Differenz) | Das Symbol für „genau eines“. \(A \Delta B\) ist das Ereignis „genau eines von A und B tritt ein (nicht beide)“. |
Begriffe
| Ereignis | Etwas, das entweder eintritt oder nicht, zum Beispiel „eine 6 würfeln“ oder „morgen regnet es“. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung nennt man solche Ausgänge Ereignisse und gibt ihnen Namen wie A und B. |
| unabhängig | Wenn das Ergebnis des einen Ereignisses nichts daran ändert, wie wahrscheinlich das andere ist. Ein Würfelwurf und ein Münzwurf sind unabhängig. Das Ziehen eines zweiten Loses ohne Zurücklegen des ersten ist es nicht, weil das erste Ergebnis die Wahrscheinlichkeit des zweiten verändert. Dieser Rechner gilt nur für unabhängige Ereignisse. |
| Gegenereignis | Das entgegengesetzte Ereignis: Das Ereignis tritt nicht ein. Ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten 0,2, dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Nichteintreten (die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses) \(1 - 0{,}2 = 0{,}8\). |
| Schnittmenge | Beide von zwei Ereignissen treten ein. Das Symbol ist \(A \cap B\) (gelesen „A und B“ oder „A geschnitten mit B“). Bei unabhängigen Ereignissen ist die Wahrscheinlichkeit das Produkt \(P(A) \cdot P(B)\). |
| Vereinigung | Mindestens eines von zwei Ereignissen tritt ein. Das Symbol ist \(A \cup B\) (gelesen „A oder B“ oder „A vereinigt mit B“). Die Wahrscheinlichkeit ist die Summe minus die Überschneidung \(P(A \cap B)\), die einmal abgezogen wird. |
| symmetrische Differenz | Genau eines von zwei Ereignissen tritt ein (nicht beide). Das Symbol ist \(A \Delta B\). In der Logik heißt das „exklusives Oder“ (XOR). |
| unvereinbar | Zwei Ereignisse, die nicht gleichzeitig eintreten können (auch „disjunkt“ genannt). Beispiel: Bei einem einzelnen Würfelwurf sind „eine gerade Zahl“ und „eine ungerade Zahl“ unvereinbar. Vorsicht, das ist etwas anderes als „unabhängig“. |
| Siebformel | Eine Zählregel für „oder“-Wahrscheinlichkeiten. Einfaches Addieren zählt den Fall „beide treten ein“ doppelt, also wird die Überschneidung einmal abgezogen. Sie ist die Grundlage der Formel für die Vereinigung \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). Man nennt sie auch Prinzip der Inklusion und Exklusion. |
Was Sie vorab wissen sollten
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis nutzen können und nicht nur auf die Schaltfläche klicken, hilft Ihnen das folgende Grundwissen.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, die Themen dieser Liste noch einmal durchzugehen.
| Grundlagen der Wahrscheinlichkeit (Klasse 7, 12–13 Jahre) |
|
| Prozente und Dezimalzahlen (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
| Brüche multiplizieren (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
| Mengen und Venn-Diagramme (Sekundarstufe II, ab 15 Jahren) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt (Gegenereignis)
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,2 |
| A tritt nicht ein, P(A̅) | =1-B1 |
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,5 |
| Wahrscheinlichkeit von B, P(B) | 0,3 |
| Beide treten ein, P(A∩B) | =B1*B2 |
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines von A und B eintritt
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,5 |
| Wahrscheinlichkeit von B, P(B) | 0,3 |
| Mindestens eines tritt ein, P(A∪B) | =B1+B2-B1*B2 |
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass genau eines eintritt (symmetrische Differenz)
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,5 |
| Wahrscheinlichkeit von B, P(B) | 0,3 |
| Genau eines tritt ein, P(AΔB) | =B1+B2-2*B1*B2 |
Nach dem Einfügen enthält Spalte A die Bezeichnungen und Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind Ihre Eingaben, und die Formel in der letzten Zeile berechnet daraus das Ergebnis.
In einer Formel bedeuten „B1“ und „B2“: „die Zahl in dieser Zelle verwenden“, und „*“ ist die Multiplikation. Ersetzen Sie einfach die Eingabezahlen durch Ihre eigenen Wahrscheinlichkeiten.
In der zweiten Tabelle zeigt B3 zum Beispiel 0,5 · 0,3 = 0,15. Nur die erste Tabelle (das Gegenereignis) hat einen einzigen Eingabewert in B1, mit dem Ergebnis in B2.
In einer Formel bedeuten „B1“ und „B2“: „die Zahl in dieser Zelle verwenden“, und „*“ ist die Multiplikation. Ersetzen Sie einfach die Eingabezahlen durch Ihre eigenen Wahrscheinlichkeiten.
In der zweiten Tabelle zeigt B3 zum Beispiel 0,5 · 0,3 = 0,15. Nur die erste Tabelle (das Gegenereignis) hat einen einzigen Eingabewert in B1, mit dem Ergebnis in B2.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt (Gegenereignis)
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,2 |
| A tritt nicht ein, P(A̅) | =1-B1 |
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,5 |
| Wahrscheinlichkeit von B, P(B) | 0,3 |
| Beide treten ein, P(A∩B) | =B1*B2 |
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines von A und B eintritt
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,5 |
| Wahrscheinlichkeit von B, P(B) | 0,3 |
| Mindestens eines tritt ein, P(A∪B) | =B1+B2-B1*B2 |
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass genau eines eintritt (symmetrische Differenz)
| Wahrscheinlichkeit von A, P(A) | 0,5 |
| Wahrscheinlichkeit von B, P(B) | 0,3 |
| Genau eines tritt ein, P(AΔB) | =B1+B2-2*B1*B2 |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 ein. Die oberen Zeilen sind Ihre Eingaben, die letzte Zeile ist das berechnete Ergebnis.
Ersetzen Sie einfach die Eingabezahlen durch Ihre eigenen Wahrscheinlichkeiten.
Ersetzen Sie einfach die Eingabezahlen durch Ihre eigenen Wahrscheinlichkeiten.
Mit Python berechnen
p_a = 0.5 # Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt
p_b = 0.3 # Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintritt
p_both = p_a * p_b # beide treten ein, P(A∩B)
p_at_least_one = p_a + p_b - p_both # mindestens eines, P(A∪B)
p_exactly_one = p_a + p_b - 2 * p_both # genau eines, P(AΔB)
p_neither = 1 - p_at_least_one # keines tritt ein
print(f"Beide treten ein: {p_both}")
print(f"Mindestens eines tritt ein: {p_at_least_one}")
print(f"Genau eines tritt ein: {p_exactly_one}")
print(f"Keines tritt ein: {p_neither}")
Der Code läuft nur mit der Standardbibliothek. Ändern Sie oben die Werte von p_a und p_b in die Wahrscheinlichkeiten, die Sie berechnen möchten, und führen Sie ihn aus.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Gegenereignis (Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt)
P(A̅) = 1 − P(A)
P(\overline{A}) = 1 - P(A)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo>
<mover><mi>A</mi><mo>¯</mo></mover>
<mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
<mo>−</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(bar(A)) = 1 - P(A)
1 - pA
pNotA := 1 - pA;
p_not_a = 1 - p_a;
P(A̅) = 1 - P(A)
Schnittmenge (Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten)
P(A∩B) = P(A) · P(B)
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>⋅</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A nn B) = P(A) * P(B)
pA*pB
pAandB := pA*pB;
p_a_and_b = p_a*p_b;
P(A∩B) = P(A) · P(B)
Vereinigung (Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines von A und B eintritt)
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∪</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A uu B) = P(A) + P(B) - P(A nn B)
pA + pB - pA*pB
pAorB := pA + pB - pA*pB;
p_a_or_b = p_a + p_b - p_a*p_b;
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Symmetrische Differenz (Wahrscheinlichkeit, dass genau eines eintritt)
P(AΔB) = P(A) + P(B) − 2P(A∩B)
P(A \Delta B) = P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>Δ</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mn>2</mn>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A Delta B) = P(A) + P(B) - 2 P(A nn B)
pA + pB - 2*pA*pB
pAxorB := pA + pB - 2*pA*pB;
p_a_xor_b = p_a + p_b - 2*p_a*p_b;
P(AΔB) = P(A) + P(B) - 2P(A∩B)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für Wahrscheinlichkeitsrechnung. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (rechnen Sie nicht im Kopf und raten Sie nicht). Das Ereignis A hat die Wahrscheinlichkeit 0,5 und das Ereignis B die Wahrscheinlichkeit 0,3. A und B sind unabhängig. Berechnen Sie jeweils: 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide eintreten, P(A∩B) 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass A oder B (mindestens eines) eintritt, P(A∪B) 3. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau eines von beiden eintritt, P(AΔB) 4. Die Wahrscheinlichkeit, dass keines von beiden eintritt Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis in einer Tabelle.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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Verwandte Funktionen
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