Geben Sie die Koeffizienten a, b und c der linken Seite ax² + bx + c und das Zeichen für den Vergleich mit 0 ein. Die Ungleichung darunter ist mit den Eingabefeldern verknüpft; Sie können die Koeffizienten auch direkt darin ändern.
Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 sind möglich. Ein leeres Feld a zählt als 1 (x² bedeutet 1x²), leere Felder b und c zählen als 0. Bei a = 0 wird eine lineare Ungleichung gelöst.
Ergebnis und Graph
Geben Sie links die Koeffizienten a, b und c und das Ungleichheitszeichen ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Hier erscheinen dann Lösungsmenge, Rechenweg und Graph.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Graphen
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Positiver Koeffizient vor \(x^{2}\) und zwei Nullstellen (\(>0\) heißt „außerhalb der Nullstellen“)
-
Positiver Koeffizient vor \(x^{2}\) und zwei Nullstellen (\(<0\) heißt „zwischen den Nullstellen“)
-
Die Diskriminante (bestimmt die Form der Lösung)
-
Negativer Koeffizient vor \(x^{2}\) (beide Seiten mit \(-1\) multiplizieren)
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
-
So berechnen Sie es in Google Tabellen
-
So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Das können Sie auf dieser Seite
- Sie bestimmen die Lösungsmenge einer quadratischen Ungleichung wie \(ax^{2}+bx+c>0\), indem Sie nur die Koeffizienten eingeben und das Zeichen wählen. Alle vier Zeichen \(>\), \(\ge\), \(<\) und \(\le\) sind möglich
- Der Rechenweg unterscheidet Zeile für Zeile nach dem Vorzeichen der Diskriminante \(D=b^{2}-4ac\), wie im Schulbuch. Neben „außerhalb der beiden Nullstellen“ und „zwischen den beiden Nullstellen“ erkennt er auch knifflige Ergebnisse wie \(x \neq \alpha\), keine Lösung und alle reellen Zahlen
- Ist der Koeffizient von \(x^{2}\) negativ, zeigt der Rechenweg auch, wie beide Seiten mit \(-1\) multipliziert werden und sich das Ungleichheitszeichen umdreht
- Die Grenzen der Lösungsmenge erscheinen als exakte Werte mit vereinfachten Wurzeln wie \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\), bei irrationalen Zahlen zusätzlich als Dezimalzahl. Möglich sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4
- Ein farbiger Graph mit Parabel und Lösungsmenge zeigt: „Die Lösung von \(y>0\) ist der Bereich von \(x\), in dem der Graph oberhalb der \(x\)-Achse liegt“
- Außerdem finden Sie hier eine leicht verständliche Erklärung und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Die rechte Seite ist fest 0. Steht rechts ein Term, wie bei \(x^{2}+2x > 3x+1\), bringen Sie zuerst alles auf die linke Seite (Umstellen; hier also \(x^{2}-x-1>0\) eingeben). Geben Sie für den Koeffizienten \(a\) von \(x^{2}\) 0 ein, liegt keine quadratische Ungleichung vor, und es wird die lineare Ungleichung \(bx+c>0\) gelöst (ist auch \(b\) gleich 0, bleibt nur eine Zahl übrig, und die Antwort lautet „alle reellen Zahlen“ oder „keine Lösung“).
Wofür braucht man diese Berechnung?
Wann ein hochgeworfener Ball über einer bestimmten Höhe ist (Sport und Physik)
Die Höhe eines senkrecht hochgeworfenen Körpers ist eine quadratische Funktion der Zeit \(t\) in Sekunden: \(h = v_{0}t - 4{,}9t^{2}\) Meter (\(v_{0}\) ist die Abwurfgeschwindigkeit in m/s). Die Frage „Von wann bis wann ist er mindestens so und so hoch?“ ist direkt eine quadratische Ungleichung.
Ein Ball, der mit 20 m/s hochgeworfen wird, ist mindestens 15 m hoch, wenn \(20t - 4{,}9t^{2} \ge 15\) gilt, also \(4{,}9t^{2} - 20t + 15 \le 0\). Das ergibt etwa 0,99 s bis 3,09 s nach dem Wurf, rund 2,1 Sekunden lang. Der Luftwiderstand ist vernachlässigt, aber so lässt sich abschätzen, wie lange eine Silvesterrakete zu sehen ist oder ein hoher Ball in der Luft bleibt.
Die Höchstgeschwindigkeit für sicheres Anhalten (Verkehrssicherheit)
Der Anhalteweg eines Autos ist der Weg, den es zurücklegt, bis Sie reagieren und bremsen (Reaktionsweg), plus der Weg beim Bremsen (Bremsweg). Der Reaktionsweg wächst proportional zur Geschwindigkeit, der Bremsweg mit ihrem Quadrat – der Anhalteweg ist also eine quadratische Funktion der Geschwindigkeit.
In der Fahrschule lernt man dafür die Faustformel „Reaktionsweg \(= \dfrac{v}{10} \cdot 3\), Bremsweg \(= \left(\dfrac{v}{10}\right)^{2}\)“ (\(v\) in km/h, Wege in Metern). Wer auf 40 m Sichtweite anhalten können will, löst \(3 \cdot \dfrac{v}{10} + \left(\dfrac{v}{10}\right)^{2} \le 40\) und erhält \(v \le 50\) km/h. Tempolimits und Abstandsregeln beruhen auf solchen quadratischen Zusammenhängen.
Den Preisbereich mit Gewinn bestimmen (Handel und Gewinnschwelle)
Ein höherer Preis bringt mehr Gewinn pro Stück, aber es wird weniger verkauft. Hängt die verkaufte Menge linear vom Preis ab, ist der Gewinn (Gewinn pro Stück × Menge − Fixkosten) eine quadratische Funktion des Preises, und „die Preise, bei denen der Gewinn mindestens 0 ist“, ergeben sich aus einer quadratischen Ungleichung.
Ein Artikel kostet in der Herstellung 3 €, beim Preis \(p\) (in €) werden \(1000-200p\) Stück verkauft, und die Fixkosten betragen 100 €. Aus \((p-3)(1000-200p) - 100 \ge 0\) folgt: Zwischen etwa 3,30 € und 4,70 € gibt es Gewinn. Das Gefühl „zu billig und zu teuer ergeben beide Verlust“ wird so in Zahlen bestätigt.
Mit einer festen Materiallänge genug Fläche einschließen (Planung, Garten, Landwirtschaft)
Bei einem Rechteck mit festem Umfang legt die Länge auch die Breite fest, also ist die Fläche eine quadratische Funktion der Länge. „Bei welchen Maßen reicht die Fläche?“ ist eine quadratische Ungleichung.
Sie wollen ein rechteckiges Beet mit 40 m Zaun einfassen und mindestens 91 m² Fläche haben. Bei einer Länge von \(x\) m ist die Breite \(20-x\) m, also \(x(20-x) \ge 91\). Daraus folgt eine Länge von 7 m bis 13 m. Außerdem sieht man: Je näher am Quadrat, desto größer die Fläche (hier höchstens 100 m² bei 10 m).
Wie breit eine Unterführung hoch genug ist (Bau und Verkehr)
Der Querschnitt eines parabelförmigen Brückenbogens oder Tunnels lässt sich als quadratische Funktion schreiben. „Wie weit links und rechts der Mitte passt ein hohes Fahrzeug durch?“ ist genau eine quadratische Ungleichung.
Ein Bogen mit 30 m Breite und 4,5 m Höhe in der Mitte sei \(y = -0{,}02x^{2} + 4{,}5\) (\(x\) ist der Abstand zur Mitte). Mindestens 4 m hoch – so hoch dürfen Lkw in Deutschland höchstens sein – ist er dort, wo \(-0{,}02x^{2} + 4{,}5 \ge 4\) gilt: je 5 m links und rechts der Mitte, insgesamt 10 m breit. Entscheidungen wie eine Fahrspur für Lkw in der Mitte oder ein Schild mit der Durchfahrtshöhe beruhen auf solchen Rechnungen.
Formeln und Graphen
Positiver Koeffizient vor \(x^{2}\) und zwei Nullstellen (\(>0\) heißt „außerhalb der Nullstellen“)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(x\)
\(<\)
\(\alpha\)
\(\ \text{oder}\ \)
\(\beta\)
\(<\)
\(x\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(x\): Lösung
\(<\)
①
\(\alpha\): kleinere Nullstelle
\(\ \text{oder}\ \)
②
\(\beta\): größere Nullstelle
\(<\)
\(x\): Lösung
Die Formel in Worten
①
Die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung \(ax^{2}+bx+c=0\) seien \(\alpha < \beta\). Der Teil kleiner als
\(\alpha\): kleinere Nullstelle
und
②
der Teil größer als
\(\beta\): größere Nullstelle
(also außerhalb der beiden Nullstellen)
③
ist
\(x\): Lösung
(denn eine nach oben geöffnete Parabel liegt außerhalb der beiden Schnittpunkte oberhalb der \(x\)-Achse)
Einfaches Beispiel
Die Lösung von \(x^{2}-3x+2>0\) ist (wegen \(x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)\) sind die Nullstellen \(x=1\) und \(x=2\))
\(x\): Lösung
\(<\)
kleinere Nullstelle (1)
\(\ \text{oder}\ \)
größere Nullstelle (2)
\(<\)
\(x\): Lösung
\((x-1)(x-2) > 0\)
\(x < 1 \ \text{oder}\ 2 < x\)
Der Grundgedanke
Betrachten Sie eine quadratische Ungleichung nicht als „Rechnung“, sondern als Frage „Wo liegt der Graph oberhalb (unterhalb) der \(x\)-Achse?“. Dann müssen Sie sich viel weniger merken.
Eine Parabel mit positivem Koeffizienten vor \(x^{2}\) ist nach oben geöffnet (eine Talform). Schneidet sie die \(x\)-Achse in zwei Punkten, taucht nur der mittlere Teil mit dem Tiefpunkt unter die \(x\)-Achse, die Teile außerhalb liegen darüber. Deshalb liegt die Lösung von \(>0\) außerhalb der Nullstellen und die von \(<0\) dazwischen.
„Außerhalb“ sind zwei getrennte Bereiche, die man mit „oder“ verbindet: \(x<1\) oder \(2<x\), als Lösungsmenge \(L = \,]-\infty ; 1[\, \cup \,]2 ; \infty[\). Eine Kette wie \(2<x<1\) ist falsch, denn sie würde bedeuten, dass \(x\) gleichzeitig größer als 2 und kleiner als 1 ist.
Schließt das Zeichen „gleich“ ein, etwa bei \(\ge 0\), gehören die Grenzen selbst dazu: \(x \le 1\) oder \(2 \le x\).
Positiver Koeffizient vor \(x^{2}\) und zwei Nullstellen (\(<0\) heißt „zwischen den Nullstellen“)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\alpha\)
\(<\)
\(x\)
\(<\)
\(\beta\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(\alpha\): kleinere Nullstelle
\(<\)
③
\(x\): Lösung
\(<\)
②
\(\beta\): größere Nullstelle
Die Formel in Worten
①
Der Teil größer als
\(\alpha\): kleinere Nullstelle
und
②
kleiner als
\(\beta\): größere Nullstelle
(also zwischen den beiden Nullstellen)
③
ist
\(x\): Lösung
(denn eine nach oben geöffnete Parabel taucht zwischen den beiden Schnittpunkten unter die \(x\)-Achse)
Einfaches Beispiel
Die Lösung von \(x^{2}-3x+2<0\) ist (die Nullstellen sind wie oben \(x=1\) und \(x=2\))
kleinere Nullstelle (1)
\(<\)
\(x\): Lösung
\(<\)
größere Nullstelle (2)
\((x-1)(x-2) < 0\)
\(1 < x < 2\)
Der Grundgedanke
Beim selben Term \(x^{2}-3x+2\) wechselt die Lösung allein durch das umgedrehte Ungleichheitszeichen von „außerhalb“ zu „dazwischen“. Bei gleicher linker Seite bleiben die Grenzen (die Lösungen von \(=0\)) immer gleich; es ändert sich nur, welche Seite der Grenzen man nimmt.
\(1<x<2\) bedeutet: alle \(x\), die \(1<x\) und \(x<2\) zugleich erfüllen, also „größer als 1 und kleiner als 2“, als Intervall \(]1 ; 2[\). So eine Kette heißt Doppelungleichung; die Form \(A<B<C\) fasst zwei Ungleichungen in einer zusammen.
Schließt das Zeichen „gleich“ ein, etwa bei \(\le 0\), ergibt sich \(1 \le x \le 2\), also \([1 ; 2]\): Die Ränder 1 und 2 gehören auch zur Lösung.
Die Diskriminante (bestimmt die Form der Lösung)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(D\)
\(=\)
\(b^{2}\)
\(-\)
\(4ac\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(D\): Diskriminante
\(=\)
①
\(b^{2}\): Koeffizient von \(x\) zum Quadrat
\(-\)
②
\(4ac\): 4 mal Koeffizient von \(x^{2}\) mal absolutes Glied
Die Formel in Worten
①
Von
\(b^{2}\): Koeffizient von \(x\) zum Quadrat
②
zieht man
\(4ac\): 4 mal Koeffizient \(a\) von \(x^{2}\) mal absolutes Glied \(c\)
ab
③
und erhält
\(D\): Diskriminante
(allein ihr Vorzeichen entscheidet, wie die Parabel zur \(x\)-Achse liegt, also welche Form die Lösung hat)
Einfaches Beispiel
Die Diskriminante von \(x^{2}-3x+2\) ist
\(D\): Diskriminante
\(=\)
\(-3\) zum Quadrat
\(-\)
4 mal 1 mal 2
\(D = (-3)^{2} - 4 \times 1 \times 2 = 9 - 8 = 1 > 0\)
Der Grundgedanke
Die Diskriminante sagt, wie oft die Parabel die \(x\)-Achse trifft: zweimal bei \(D>0\), in einem Berührpunkt bei \(D=0\) und gar nicht bei \(D<0\). Auch bei einem Term, den man nicht faktorisieren kann, bestimmt dieser eine Wert die Form der Lösung.
Ist der Koeffizient vor \(x^{2}\) positiv (die Parabel ist nach oben geöffnet), ergeben die vier Zeichen diese Lösungen:
\(D>0\) (zwei Schnittpunkte): \(>0\) und \(\ge 0\) liegen außerhalb der Nullstellen, \(<0\) und \(\le 0\) dazwischen.
\(D=0\) (Berührpunkt bei \(x=\alpha\)): \(>0\) ergibt \(x \neq \alpha\) (nur der Berührpunkt fehlt), \(\ge 0\) ergibt alle reellen Zahlen, \(<0\) hat keine Lösung, und \(\le 0\) ergibt nur den Punkt \(x=\alpha\).
\(D<0\) (kein Schnittpunkt): Die ganze Parabel liegt oberhalb der \(x\)-Achse, also ergeben \(>0\) und \(\ge 0\) alle reellen Zahlen, \(<0\) und \(\le 0\) haben keine Lösung.
Bei \(D=0\) und \(D<0\) ist die Antwort kein Bereich – diese Fälle werden in Klassenarbeiten oft übersehen. Skizzieren Sie den Graphen und fragen Sie sich „Taucht ein Teil der Parabel unter die \(x\)-Achse?“, dann verlieren Sie nicht den Überblick.
Negativer Koeffizient vor \(x^{2}\) (beide Seiten mit \(-1\) multiplizieren)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(ax^{2}+bx+c\)
\(< 0\)
\(\Longleftrightarrow\)
\(-ax^{2}-bx-c\)
\(> 0\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(ax^{2}+bx+c\): quadratischer Term mit negativem \(a\)
\(< 0\)
\(\Longleftrightarrow\)
②
\(-ax^{2}-bx-c\): alle Vorzeichen umgekehrt (positiver Koeffizient vor \(x^{2}\))
\(> 0\)
Die Formel in Worten
①
Die Ungleichung, dass
\(ax^{2}+bx+c\): quadratischer Term mit negativem Koeffizienten \(a\) vor \(x^{2}\)
kleiner als 0 ist,
②
lässt sich umschreiben in
\(-ax^{2}-bx-c\): der Term mit allen Vorzeichen umgekehrt (positiver Koeffizient vor \(x^{2}\))
ist größer als 0 (beide Seiten wurden mit der negativen Zahl \(-1\) multipliziert, deshalb dreht sich auch das Ungleichheitszeichen um)
Einfaches Beispiel
Multipliziert man beide Seiten von \(-x^{2}+4x-3 \ge 0\) mit \(-1\), erhält man
\(-x^{2}+4x-3\) (Koeffizient vor \(x^{2}\): \(-1\))
\(\ge 0\)
\(\Longleftrightarrow\)
\(x^{2}-4x+3\) (Koeffizient vor \(x^{2}\): \(1\))
\(\le 0\)
\(-x^{2}+4x-3 \ge 0 \Longleftrightarrow x^{2}-4x+3 \le 0\)
\((x-1)(x-3) \le 0\)
\(1 \le x \le 3\)
Der Grundgedanke
Bleibt der Koeffizient vor \(x^{2}\) negativ, ist die Parabel nach unten geöffnet (eine Bergform), und „außerhalb“ und „dazwischen“ tauschen die Plätze – das verwirrt leicht. Multiplizieren Sie zuerst beide Seiten mit \(-1\), damit die Parabel nach oben geöffnet ist; dann müssen Sie sich nur ein Muster merken.
Bei einer Ungleichung dreht sich das Zeichen um, wenn man beide Seiten mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch sie teilt. Aus \(2<3\) wird zum Beispiel mit \(-1\) multipliziert \(-2>-3\), weil das Umkehren der Vorzeichen links und rechts auf der Zahlengeraden vertauscht. Bei Gleichungen gibt es das nicht, nur bei Ungleichungen.
Die Multiplikation mit \(-1\) ändert die Diskriminante \(D\) nicht (\((-b)^{2}-4(-a)(-c)=b^{2}-4ac\)). Im Beispiel haben \(-x^{2}+4x-3\) und \(x^{2}-4x+3\) beide \(D=4\).
Bei einer quadratischen Ungleichung macht man zuerst den Koeffizienten vor \(x^{2}\) positiv (ist er negativ, beide Seiten mit \(-1\) multiplizieren und das Zeichen umdrehen) und unterscheidet dann nach dem Vorzeichen der Diskriminante \(D=b^{2}-4ac\). Bei \(D>0\) liegt die Lösung von \(>0\) außerhalb der Nullstellen und die von \(<0\) dazwischen; bei \(D=0\) oder \(D<0\) kann die Antwort „alle reellen Zahlen“, „keine Lösung“ oder „nur ein Punkt“ lauten. Stellen Sie sich eine nach oben geöffnete Parabel vor und lesen Sie ab, wo sie oberhalb der \(x\)-Achse liegt – dann funktioniert jeder Fall gleich.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | Die Koeffizienten der quadratischen Ungleichung \(ax^{2}+bx+c>0\): \(a\) ist der Koeffizient von \(x^{2}\), \(b\) der von \(x\) und \(c\) das absolute Glied. Für vorgegebene Zahlen nimmt man üblicherweise Buchstaben vom Anfang des Alphabets. |
| \(x\) | x | Die gesuchte Unbekannte. Eine quadratische Ungleichung fragt „Für welche Werte von \(x\) ist sie wahr?“, deshalb ist die Antwort ein Bereich und keine einzelne Zahl. Für Unbekannte nimmt man üblicherweise Buchstaben vom Ende des Alphabets, \(x,\ y,\ z\). |
| \(D\) | D | Die Diskriminante \(b^{2}-4ac\). \(D\) ist der Anfangsbuchstabe von „Diskriminante“ (von lateinisch discriminare, „unterscheiden“). Allein ihr Vorzeichen entscheidet, wie die Parabel zur \(x\)-Achse liegt (die Form der Lösung). |
| \(\alpha,\ \beta\) | Alpha, Beta | Namen für die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung \(ax^{2}+bx+c=0\). Es sind die ersten beiden Buchstaben des griechischen Alphabets, und üblicherweise ist \(\alpha < \beta\) (\(\alpha\) die kleinere). Bei einer quadratischen Ungleichung sind sie die Grenzen der Lösungsmenge. |
| \(>,\ <\) | größer als, kleiner als | Ungleichheitszeichen. \(A>B\) bedeutet „\(A\) ist größer als \(B\)“, \(A<B\) bedeutet „\(A\) ist kleiner als \(B\)“; die offene Seite zeigt immer zur größeren Zahl. „Gleich“ ist nicht eingeschlossen, die Grenzen selbst gehören also nicht zur Lösung. |
| \(\ge,\ \le\) | größer oder gleich, kleiner oder gleich | Ungleichheitszeichen mit „gleich“. \(A \ge B\) bedeutet „\(A\) ist größer oder gleich \(B\)“, \(A \le B\) bedeutet „\(A\) ist kleiner oder gleich \(B\)“. Die Grenzen selbst gehören auch zur Lösung. In Japan schreibt man sie mit doppeltem Strich (≧, ≦); die Bedeutung ist dieselbe. |
| \(\neq\) | ungleich | Zeichen für „ist nicht gleich“. \(x \neq 3\) bedeutet „\(x\) darf jeden Wert außer 3 haben“. Bei quadratischen Ungleichungen kommt diese Antwort vor, wenn die Parabel die \(x\)-Achse berührt (\(D=0\)). |
| \(\sqrt{\phantom{x}}\) | Wurzel | Zeichen für die positive Zahl, die quadriert die Zahl unter der Wurzel ergibt (Quadratwurzel). \(\sqrt{5}\) ist „die positive Zahl, deren Quadrat 5 ist“, etwa 2,236. Das Zeichen soll aus einem verzierten r für lateinisch radix („Wurzel“) entstanden sein. Es taucht auf, wenn die Grenzen nicht glatt aufgehen. |
| \(\Longleftrightarrow\) | genau dann, wenn (äquivalent) | Zeichen dafür, dass linke und rechte Seite dasselbe bedeuten. \(P \Longleftrightarrow Q\) heißt „wenn \(P\) gilt, gilt \(Q\), und umgekehrt“. Beim Umformen einer Ungleichung achtet man darauf, dass diese Beziehung erhalten bleibt (Äquivalenzumformung), damit sich die Lösung nicht ändert. |
| \(y\) | y | Der Wert der quadratischen Funktion \(y=ax^{2}+bx+c\), also die „Höhe“ der Parabel. \(ax^{2}+bx+c>0\) lösen heißt, den Bereich von \(x\) zu finden, in dem diese Höhe größer als 0 ist (der Graph oberhalb der \(x\)-Achse liegt). |
Begriffe
| quadratische Ungleichung | Eine Ungleichung mit einem Glied \(x^{2}\), etwa \(ax^{2}+bx+c>0\). Die Antwort ist ein Bereich von \(x\), keine einzelne Zahl. Meist in Klasse 9 oder 10 (14–16 Jahre) oder in der Einführungsphase der Oberstufe. |
| Ungleichung | Eine Aussage, die zwei Größen mit \(>\), \(<\), \(\ge\) oder \(\le\) vergleicht. Addiert oder subtrahiert man auf beiden Seiten dieselbe Zahl, bleibt das Zeichen; multipliziert oder teilt man durch eine negative Zahl, dreht es sich um. |
| quadratische Funktion | Eine Funktion der Form \(y=ax^{2}+bx+c\) (\(a \neq 0\)). Ihr Graph ist eine Parabel. Eine quadratische Ungleichung lässt sich als Frage lesen, wo dieser Graph oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt. |
| Parabel | Die glatte, achsensymmetrische Kurve, die der Graph einer quadratischen Funktion ist. Ein schräg geworfener Ball fliegt auf dieser Bahn (Wurfparabel). |
| nach oben geöffnet | Eine Parabel in Talform (beide Äste zeigen nach oben). So ist es, wenn der Koeffizient vor \(x^{2}\) positiv ist. Ist er negativ, hat sie Bergform und ist „nach unten geöffnet“. |
| Diskriminante | \(D=b^{2}-4ac\). Sie sagt, wie viele reelle Lösungen die quadratische Gleichung hat (wie oft die Parabel die \(x\)-Achse trifft): 2 bei \(D>0\), 1 (eine doppelte Lösung) bei \(D=0\) und 0 bei \(D<0\). |
| reelle Lösung | Eine Lösung, die eine gewöhnliche Zahl auf der Zahlengeraden ist (eine reelle Zahl). Bei \(D<0\) gibt es keine reellen Lösungen, und die Parabel trifft die \(x\)-Achse nicht. |
| doppelte Lösung | Die Lösung bei \(D=0\). Zwei gleiche Lösungen fallen zusammen, wie bei \((x-3)^{2}=0\), und die Parabel berührt die \(x\)-Achse in einem Punkt. |
| Mitternachtsformel | \(x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\), auch abc-Formel genannt. Sie löst quadratische Gleichungen auch dann, wenn man nicht faktorisieren kann, und liefert bei quadratischen Ungleichungen die Grenzen. |
| Faktorisieren | Einen Term als Produkt schreiben, etwa \(x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)\). Gelingt das bei einer quadratischen Ungleichung, sieht man die Grenzen sofort. |
| Grenze | Ein Wert, an dem die Lösungsmenge beginnt oder endet. Bei einer quadratischen Ungleichung sind das die Lösungen von \(ax^{2}+bx+c=0\), also die Nullstellen der Parabel. Bei \(\ge\) und \(\le\) gehören sie dazu, bei \(>\) und \(<\) nicht. |
| Lösungsmenge | Alle Werte von \(x\), für die die Ungleichung stimmt, kurz \(L\). Sie kann ein Bereich sein, etwa \(1<x<2\), also \(L = \,]1 ; 2[\), oder aus zwei getrennten Bereichen bestehen, etwa \(x<1\) oder \(2<x\). |
| Doppelungleichung | Zwei Ungleichungen, die zugleich gelten müssen, in einer Kette geschrieben. Der Bereich, der \(1<x\) und \(x<2\) erfüllt, wird kurz als \(1<x<2\) geschrieben. |
| keine Lösung | Es gibt kein einziges \(x\), für das die Ungleichung stimmt; die Lösungsmenge ist leer, \(L = \{\,\}\). Das passiert etwa bei \(x^{2}+2x+5<0\), weil eine nach oben geöffnete Parabel hier nie unter die \(x\)-Achse taucht. |
| alle reellen Zahlen | Die Ungleichung gilt für jedes \(x\), also \(L = \mathbb{R}\). Bei positivem Koeffizienten vor \(x^{2}\) ist das die Antwort für \(>0\) oder \(\ge 0\), wenn \(D<0\) ist (die Parabel trifft die \(x\)-Achse nicht). Bei \(D=0\) ergibt auch \(\ge 0\) alle reellen Zahlen, weil der Berührpunkt über „gleich“ mitzählt. (Bei demselben \(D<0\) haben \(<0\) und \(\le 0\) keine Lösung.) |
| Zahlengerade | Eine Darstellung, die Zahlen auf einer Geraden anordnet. Um die Lösung einer quadratischen Ungleichung zu zeigen, zeichnet man den Bereich als dicke Linie, mit einem ausgefüllten Kreis an einer Grenze, die dazugehört, und einem leeren Kreis an einer, die nicht dazugehört. |
| Umstellen | Ein Glied einer Ungleichung oder Gleichung mit umgekehrtem Vorzeichen auf die andere Seite bringen. Steht rechts ein Term, bringt man ihn vor dem Lösen nach links, damit rechts 0 steht. |
| absolutes Glied | Das Glied ohne \(x\), etwa die 5 in \(x^{2}+3x+5\). Es heißt auch Konstante, weil es sich nicht ändert, egal welchen Wert \(x\) hat. |
| Koeffizient | Die Zahl vor einer Variablen. In \(3x^{2}\) ist 3 der Koeffizient. Steht keine Zahl davor, wie bei \(x^{2}\), ist der Koeffizient 1. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit Verständnis nutzen, ist hier zusammengestellt, was Sie vorher wissen sollten.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist ein Blick zurück auf diese Themen der schnellste Weg.
| Regeln für Ungleichungen (Klasse 7–9, 12–15 Jahre) |
|
| Faktorisieren (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Quadratische Gleichungen lösen (Klasse 9, 14–15 Jahre) |
|
| Graphen quadratischer Funktionen (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Die Zahlengerade und Bereiche (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für zwei Nullstellen, außerhalb (ax²+bx+c > 0)
| Koeffizient a von x² | 1 |
| Koeffizient b von x | -3 |
| Absolutes Glied c | 2 |
| Diskriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Kleinere Nullstelle α | =(-B2-WURZEL(B4))/(2*B1) |
| Größere Nullstelle β | =(-B2+WURZEL(B4))/(2*B1) |
| Lösungsmenge (außerhalb) | ="x < "&B5&" oder "&B6&" < x" |
Tabelle für zwei Nullstellen, dazwischen (ax²+bx+c < 0)
| Koeffizient a von x² | 1 |
| Koeffizient b von x | -3 |
| Absolutes Glied c | 2 |
| Diskriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Kleinere Nullstelle α | =(-B2-WURZEL(B4))/(2*B1) |
| Größere Nullstelle β | =(-B2+WURZEL(B4))/(2*B1) |
| Lösungsmenge (dazwischen) | =B5&" < x < "&B6 |
Tabelle für die Diskriminante D = b²−4ac
| Koeffizient a von x² | 1 |
| Koeffizient b von x | -3 |
| Absolutes Glied c | 2 |
| Diskriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Anzahl der Schnittpunkte mit der x-Achse | =WENN(B4>0;2;WENN(B4=0;1;0)) |
Tabelle zum Umkehren der Vorzeichen bei negativem Koeffizienten vor x²
| Koeffizient a von x² | -1 |
| Koeffizient b von x | 4 |
| Absolutes Glied c | -3 |
| Koeffizient von x² mal −1 | =-B1 |
| Koeffizient von x mal −1 | =-B2 |
| Absolutes Glied mal −1 | =-B3 |
| Diskriminante danach (gleicher Wert wie vorher) | =B5^2-4*B4*B6 |
Nach dem Einfügen sind die oberen drei Zeilen (die Koeffizienten a, b und c) Ihre Eingaben, die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
„^“ bedeutet eine Potenz, „WURZEL“ ist die Quadratwurzel, und „&“ verbindet Text.
Die erste und die zweite Tabelle verwenden beide a=1, b=−3, c=2 (also x²−3x+2). Die Diskriminante ist 1, die Grenzen sind 1 und 2, und die Lösungen lauten „x < 1 oder 2 < x“ (außerhalb) und „1 < x < 2“ (dazwischen). Ist die Diskriminante negativ, liefert WURZEL einen Fehler; prüfen Sie dann zuerst mit der dritten Tabelle die Anzahl der Schnittpunkte.
Die dritte Tabelle bestimmt nur die Diskriminante, und die Funktion WENN ermittelt zusätzlich die Anzahl der Schnittpunkte mit der x-Achse (2, 1 oder 0).
Die vierte Tabelle kehrt bei negativem Koeffizienten vor x² alle Vorzeichen um (a=−1, b=4, c=−3). Die neuen Koeffizienten sind 1, −4 und 3, und Sie sehen, dass die Diskriminante vorher und nachher 4 ist.
„^“ bedeutet eine Potenz, „WURZEL“ ist die Quadratwurzel, und „&“ verbindet Text.
Die erste und die zweite Tabelle verwenden beide a=1, b=−3, c=2 (also x²−3x+2). Die Diskriminante ist 1, die Grenzen sind 1 und 2, und die Lösungen lauten „x < 1 oder 2 < x“ (außerhalb) und „1 < x < 2“ (dazwischen). Ist die Diskriminante negativ, liefert WURZEL einen Fehler; prüfen Sie dann zuerst mit der dritten Tabelle die Anzahl der Schnittpunkte.
Die dritte Tabelle bestimmt nur die Diskriminante, und die Funktion WENN ermittelt zusätzlich die Anzahl der Schnittpunkte mit der x-Achse (2, 1 oder 0).
Die vierte Tabelle kehrt bei negativem Koeffizienten vor x² alle Vorzeichen um (a=−1, b=4, c=−3). Die neuen Koeffizienten sind 1, −4 und 3, und Sie sehen, dass die Diskriminante vorher und nachher 4 ist.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für zwei Nullstellen, außerhalb (ax²+bx+c > 0)
| Koeffizient a von x² | 1 |
| Koeffizient b von x | -3 |
| Absolutes Glied c | 2 |
| Diskriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Kleinere Nullstelle α | =(-B2-WURZEL(B4))/(2*B1) |
| Größere Nullstelle β | =(-B2+WURZEL(B4))/(2*B1) |
| Lösungsmenge (außerhalb) | ="x < "&B5&" oder "&B6&" < x" |
Tabelle für zwei Nullstellen, dazwischen (ax²+bx+c < 0)
| Koeffizient a von x² | 1 |
| Koeffizient b von x | -3 |
| Absolutes Glied c | 2 |
| Diskriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Kleinere Nullstelle α | =(-B2-WURZEL(B4))/(2*B1) |
| Größere Nullstelle β | =(-B2+WURZEL(B4))/(2*B1) |
| Lösungsmenge (dazwischen) | =B5&" < x < "&B6 |
Tabelle für die Diskriminante D = b²−4ac
| Koeffizient a von x² | 1 |
| Koeffizient b von x | -3 |
| Absolutes Glied c | 2 |
| Diskriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Anzahl der Schnittpunkte mit der x-Achse | =WENN(B4>0;2;WENN(B4=0;1;0)) |
Tabelle zum Umkehren der Vorzeichen bei negativem Koeffizienten vor x²
| Koeffizient a von x² | -1 |
| Koeffizient b von x | 4 |
| Absolutes Glied c | -3 |
| Koeffizient von x² mal −1 | =-B1 |
| Koeffizient von x mal −1 | =-B2 |
| Absolutes Glied mal −1 | =-B3 |
| Diskriminante danach (gleicher Wert wie vorher) | =B5^2-4*B4*B6 |
Die Formeln aus Excel funktionieren unverändert (WURZEL, WENN und & heißen gleich). Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Koeffizienten durch Ihre eigenen Zahlen.
So berechnen Sie es in Python
from fractions import Fraction
import math
# Koeffizienten der quadratischen Ungleichung (die linke Seite a*x^2 + b*x + c wird mit 0 verglichen) und das Zeichen (">", ">=", "<" oder "<=")
a = Fraction(1)
b = Fraction(-3)
c = Fraction(2)
sign = ">"
# Koeffizient von x^2 positiv machen (wenn negativ, beide Seiten mit -1 multiplizieren und das Zeichen umdrehen)
if a < 0:
a, b, c = -a, -b, -c
sign = {">": "<", ">=": "<=", "<": ">", "<=": ">="}[sign]
discriminant = b * b - 4 * a * c
is_greater = sign in (">", ">=")
has_equal = sign in (">=", "<=")
if discriminant > 0:
root = math.sqrt(discriminant)
alpha = (-b - root) / (2 * a)
beta = (-b + root) / (2 * a)
mark = "<=" if has_equal else "<"
if is_greater:
answer = f"x {mark} {alpha} oder {beta} {mark} x" # außerhalb der beiden Nullstellen
else:
answer = f"{alpha} {mark} x {mark} {beta}" # zwischen den beiden Nullstellen
elif discriminant == 0:
alpha = -b / (2 * a)
answer = {">": f"x != {alpha}", ">=": "alle reellen Zahlen",
"<": "keine Lösung", "<=": f"x = {alpha}"}[sign]
else:
answer = "alle reellen Zahlen" if is_greater else "keine Lösung"
print(f"Diskriminante D = {discriminant}")
print(f"Lösungsmenge: {answer}")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. Schreiben Sie die Koeffizienten als fractions.Fraction, hängt das Vorzeichen der Diskriminante nicht von Rundungsfehlern ab. Das Beispiel ist x² − 3x + 2 > 0; die Ausgabe sind zwei Zeilen, „Diskriminante D = 1“ und die Lösungsmenge „x < 1 oder 2 < x“ (Python schreibt die Grenzen als Dezimalzahlen mit Punkt). Ändern Sie die Koeffizienten und das Zeichen und führen Sie das Programm erneut aus.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Positiver Koeffizient vor \(x^{2}\) und zwei Nullstellen (\(>0\) heißt „außerhalb der Nullstellen“)
x < α oder β < x
x < \alpha \ \text{oder}\ \beta < x
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi><mo><</mo><mi>α</mi>
<mtext> oder </mtext>
<mi>β</mi><mo><</mo><mi>x</mi>
</mrow>
</math>
x < alpha " oder " beta < x
Reduce[a x^2 + b x + c > 0 && a > 0, x, Reals]
solve(a*x^2 + b*x + c > 0, x);
solve(a*x^2 + b*x + c > 0, x)
x < α oder β < x
Positiver Koeffizient vor \(x^{2}\) und zwei Nullstellen (\(<0\) heißt „zwischen den Nullstellen“)
α < x < β
\alpha < x < \beta
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>α</mi><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>β</mi>
</mrow>
</math>
alpha < x < beta
Reduce[a x^2 + b x + c < 0 && a > 0, x, Reals]
solve(a*x^2 + b*x + c < 0, x);
solve(a*x^2 + b*x + c < 0, x)
α < x < β
Die Diskriminante (bestimmt die Form der Lösung)
D = b² − 4ac
D = b^{2} - 4ac
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>D</mi><mo>=</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
D = b^2 - 4ac
Discriminant[a x^2 + b x + c, x]
discrim(a*x^2 + b*x + c, x);
D = b^2 - 4*a*c;
D = b^2 - 4ac
Negativer Koeffizient vor \(x^{2}\) (beide Seiten mit \(-1\) multiplizieren)
ax² + bx + c < 0 ⟺ −ax² − bx − c > 0
ax^{2} + bx + c < 0 \Longleftrightarrow -ax^{2} - bx - c > 0
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>c</mi>
<mo><</mo><mn>0</mn>
<mo>⟺</mo>
<mo>−</mo><mi>a</mi><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>></mo><mn>0</mn>
</mrow>
</math>
ax^2 + bx + c < 0 hArr -ax^2 - bx - c > 0
Reduce[-a x^2 - b x - c > 0, x, Reals]
solve(-a*x^2 - b*x - c > 0, x);
solve(-a*x^2 - b*x - c > 0, x)
ax^2 + bx + c < 0 ⟺ -ax^2 - bx - c > 0
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Lösen Sie die folgende Aufgabe, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Lösen Sie die quadratische Ungleichung x² − 3x + 2 > 0. Zeigen Sie jeweils: 1. Den Wert der Diskriminante D = b² − 4ac 2. Die Grenzen (die Lösungen von x² − 3x + 2 = 0) 3. Die Lösungsmenge (und ob sie „außerhalb der beiden Nullstellen“, „zwischen den beiden Nullstellen“, „alle reellen Zahlen“ oder „keine Lösung“ ist) 4. Falls der Koeffizient vor x² negativ wäre, auch den Schritt, beide Seiten mit −1 zu multiplizieren und das Zeichen umzudrehen Verwenden Sie in Python sowohl solve_univariate_inequality aus sympy als auch eine exakte Berechnung der Diskriminante mit fractions, und antworten Sie erst, wenn beide Ergebnisse übereinstimmen.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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