Geben Sie die Koeffizienten a, b und c der linken Seite ax² + bx + c und das Zeichen ein, mit dem sie mit 0 verglichen wird. Die Ungleichung darunter ist mit den Eingabefeldern verknüpft, Sie können die Koeffizienten also auch direkt darin ändern.
Sie können Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 verwenden. Ein leeres a gilt als 1 (x² bedeutet 1x²), ein leeres b oder c als 0. Ist a gleich 0, wird die Aufgabe als lineare Ungleichung gelöst.
Ergebnis und Diagramm
Geben Sie links die Koeffizienten a, b und c und das Ungleichheitszeichen ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Hier erscheinen dann die Lösungsmenge, der Rechenweg und ein Graph.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Graphen
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Positiver Koeffizient von \(x^{2}\) und zwei Nullstellen (\(>0\) heißt „außerhalb der beiden Nullstellen“)
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Positiver Koeffizient von \(x^{2}\) und zwei Nullstellen (\(<0\) heißt „zwischen den beiden Nullstellen“)
-
Die Diskriminante (bestimmt die Form der Lösung)
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Negativer Koeffizient von \(x^{2}\) (beide Seiten mit \(-1\) multiplizieren, damit er positiv wird)
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Bestimmen Sie die Lösungsmenge einer quadratischen Ungleichung wie \(ax^{2}+bx+c>0\), indem Sie nur die Koeffizienten eingeben und das Zeichen wählen. Alle vier Zeichen, \(>\), \(\ge\), \(<\) und \(\le\), werden unterstützt
- Der Rechenweg teilt sich Zeile für Zeile in Fälle nach dem Vorzeichen der Diskriminante \(D=b^{2}-4ac\), in derselben Reihenfolge wie im Schulbuch. Neben „außerhalb der beiden Nullstellen“ und „zwischen den beiden Nullstellen“ behandelt er auch knifflige Ergebnisse wie \(x \neq \alpha\), keine Lösung und alle reellen Zahlen
- Ist der Koeffizient von \(x^{2}\) negativ, zeigt der Rechenweg auch das Multiplizieren beider Seiten mit \(-1\) und das Umdrehen des Ungleichheitszeichens der Ungleichung
- Randwerte erscheinen als exakte Werte mit vereinfachten Wurzeln, etwa \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\), bei irrationalen Werten zusätzlich als Dezimalzahlen. Koeffizienten dürfen Dezimalzahlen, negative Zahlen oder Brüche wie 3/4 sein
- Ein farbiger Graph der Parabel und der Lösungsmenge zeigt Ihnen: „Die Lösung von \(y>0\) ist der Bereich von \(x\), in dem der Graph oberhalb der \(x\)-Achse liegt“
- Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Die rechte Seite ist fest 0. Steht rechts ein Term, wie bei \(x^{2}+2x > 3x+1\), bringen Sie zuerst alles auf die linke Seite (hier geben Sie \(x^{2}-x-1>0\) ein). Geben Sie für den Koeffizienten \(a\) von \(x^{2}\) eine 0 ein, ist es keine quadratische Ungleichung mehr und wird als lineare Ungleichung \(bx+c>0\) gelöst (ist auch \(b\) gleich 0, bleibt nur eine Konstante übrig, und die Antwort lautet „alle reellen Zahlen“ oder „keine Lösung“).
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Wann ein hochgeworfener Ball über einer bestimmten Höhe ist (Sport und Physik)
Die Höhe eines senkrecht nach oben geworfenen Gegenstands ist eine quadratische Funktion der Zeit \(t\) in Sekunden: \(h = v_{0}t - 4{,}9t^{2}\) Meter (mit der gerundeten Fallbeschleunigung 9,8 m/s² und \(v_{0}\) als Anfangsgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde). Fragt man „von wann bis wann ist er mindestens so hoch?“, erhält man direkt eine quadratische Ungleichung.
Für einen Ball, der mit 20 Metern pro Sekunde nach oben geworfen wird, ergibt sich die Zeit, in der er mindestens 15 Meter hoch ist, aus \(20t - 4{,}9t^{2} \ge 15\), also \(4{,}9t^{2} - 20t + 15 \le 0\): etwa von 0,99 Sekunden bis 3,09 Sekunden nach dem Wurf, rund 2,1 Sekunden lang. Der Luftwiderstand bleibt unberücksichtigt, aber es gibt einen Anhaltspunkt dafür, wie lange ein Feuerwerk sichtbar ist oder wie lange ein hoher Ball in der Luft bleibt.
Die höchste Geschwindigkeit finden, mit der man sicher anhalten kann (Verkehrssicherheit)
Der Anhalteweg eines Autos ist die Strecke, die es zurücklegt, bis der Fahrer reagiert und die Bremse wirkt (Reaktionsweg), plus die Strecke, bis das Auto steht (Bremsweg). Der Reaktionsweg wächst proportional zur Geschwindigkeit, der Bremsweg aber mit dem Quadrat der Geschwindigkeit, also ist der Anhalteweg eine quadratische Funktion der Geschwindigkeit.
Die Faustformel aus der Fahrschule in Deutschland (normale Bremsung, \(v\) in km/h) lautet: Reaktionsweg \(= \dfrac{v}{10} \times 3\) Meter, Bremsweg \(= \left(\dfrac{v}{10}\right)^{2}\) Meter, also Anhalteweg \(= 0{,}3v + 0{,}01v^{2}\) Meter. Um innerhalb von 40 Metern freier Sicht anzuhalten, lösen Sie \(0{,}3v + 0{,}01v^{2} \le 40\): Die Geschwindigkeit darf höchstens 50 km/h betragen. Tempolimits und Abstandsregeln beruhen auf solchen quadratischen Zusammenhängen.
Den Preisbereich finden, in dem sich ein Gewinn ergibt (Geschäft und Break-even)
Erhöht man den Preis, steigt der Gewinn pro Stück, aber es werden weniger Stück verkauft. Lässt sich die verkaufte Stückzahl als lineare Funktion des Preises schreiben, ist der Gewinn (Gewinn pro Stück × Stückzahl − Fixkosten) eine quadratische Funktion des Preises, und „die Preise, bei denen der Gewinn 0 oder mehr beträgt“ ergeben sich aus einer quadratischen Ungleichung.
Angenommen, die Herstellung eines Artikels kostet 3 €, bei einem Preis von \(p\) Euro werden \(1000 - 200p\) Stück verkauft, und die Fixkosten betragen 100 €. Aus \((p-3)(1000-200p) - 100 \ge 0\) ergibt sich ein Gewinn zwischen etwa 3,29 € und 4,71 €. Das Gefühl, dass „zu billig und zu teuer beides Verlust bringt“, bestätigt sich mit Zahlen.
Mit einer festen Materiallänge die nötige Fläche erreichen (Planung, Heimwerken, Landwirtschaft)
Bei einem Rechteck mit festem Umfang legt die Wahl der Länge auch die Breite fest, also ist die Fläche eine quadratische Funktion der Länge. „Bei welchen Maßen erreiche ich die benötigte Fläche?“ ist eine quadratische Ungleichung.
Angenommen, Sie umzäunen ein rechteckiges Beet mit 40 Metern Zaun und wollen mindestens 91 Quadratmeter Fläche. Bei einer Länge von \(x\) Metern ist die Breite \(20-x\) Meter, also gilt \(x(20-x) \ge 91\), und das ergibt eine Länge von 7 bis 13 Metern. Sie können auch ablesen, dass die Fläche umso größer ist, je näher das Rechteck an einem Quadrat liegt (hier ist die größte 100 Quadratmeter bei 10 Metern).
Die Breite finden, in der ein Bogen hoch genug ist (Bauwesen und Transport)
Der Querschnitt einer Bogenbrücke oder eines Tunnels in Parabelform lässt sich als quadratische Funktion schreiben. „Wie weit von der Mitte entfernt kann ein hohes Fahrzeug durchfahren?“ ist genau eine quadratische Ungleichung.
Lässt sich der Querschnitt eines Bogens mit 4,5 Metern Höhe in der Mitte und 30 Metern Breite als \(y = -0{,}02x^{2} + 4{,}5\) schreiben (\(x\) ist der Abstand von der Mitte), ergibt sich der Teil mit mindestens 4 Metern Höhe aus \(-0{,}02x^{2} + 4{,}5 \ge 4\): je 5 Meter links und rechts der Mitte, also 10 Meter Breite. Entscheidungen wie das Festlegen einer Fahrspur nahe der Mitte für große Lkw oder das Aufstellen einer Höhenbeschränkung beruhen auf solchen Berechnungen.
Formeln und Graphen
Positiver Koeffizient von \(x^{2}\) und zwei Nullstellen (\(>0\) heißt „außerhalb der beiden Nullstellen“)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(x\)
\(<\)
\(\alpha\)
\(\ \text{oder}\ \)
\(\beta\)
\(<\)
\(x\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(x\): Lösung
\(<\)
①
\(\alpha\): kleinere Nullstelle
\(\ \text{oder}\ \)
②
\(\beta\): größere Nullstelle
\(<\)
\(x\): Lösung
Die Formel in Worten
①
Seien \(\alpha < \beta\) die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung \(ax^{2}+bx+c=0\). Der Teil kleiner als
\(\alpha\): kleinere Nullstelle
und
②
der Teil größer als
\(\beta\): größere Nullstelle
(also außerhalb der beiden Nullstellen)
③
ist
\(x\): Lösung
(weil eine Parabel, die nach oben geöffnet ist, außerhalb der beiden Schnittpunkte oberhalb der \(x\)-Achse liegt)
Einfaches Beispiel
Die Lösung von \(x^{2}-3x+2>0\) (wegen \(x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)\) sind die Nullstellen von \(=0\) \(x=1,\ 2\)) ist
\(x\): Lösung
\(<\)
kleinere Nullstelle (1)
\(\ \text{oder}\ \)
größere Nullstelle (2)
\(<\)
\(x\): Lösung
\((x-1)(x-2) > 0\)
\(x < 1 \ \text{oder}\ 2 < x\)
Der Kerngedanke
Sehen Sie eine quadratische Ungleichung nicht als „eine Rechnung“, sondern als „Ablesen, wo der Graph oberhalb (oder unterhalb) der \(x\)-Achse liegt“. Das verringert, was Sie auswendig lernen müssen, erheblich.
Eine Parabel mit positivem \(x^{2}\)-Koeffizienten ist nach oben geöffnet (eine Talform). Schneidet sie die \(x\)-Achse in zwei Punkten, taucht nur der mittlere Teil mit dem Talboden unter die \(x\)-Achse, und die Teile außerhalb steigen darüber. Die Lösung von \(>0\) liegt also außerhalb der Nullstellen und die von \(<0\) dazwischen.
„Außerhalb“ sind zwei getrennte Bereiche, schreiben Sie sie also mit „oder“ verbunden, wie in \(x<1\) oder \(2<x\). Sie als eine Kette wie \(2<x<1\) zu schreiben, ist falsch, denn das würde bedeuten, dass \(x\) zugleich größer als 2 und kleiner als 1 ist. In der Intervallschreibweise der deutschen Schulbücher lautet die Lösungsmenge \(L = \left]-\infty ;\, 1\right[ \cup \left]2 ;\, \infty\right[\).
Enthält das Zeichen „gleich“, wie bei \(\ge 0\), gehören die Randwerte selbst dazu: \(x \le 1\) oder \(2 \le x\).
Positiver Koeffizient von \(x^{2}\) und zwei Nullstellen (\(<0\) heißt „zwischen den beiden Nullstellen“)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(\alpha\)
\(<\)
\(x\)
\(<\)
\(\beta\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(\alpha\): kleinere Nullstelle
\(<\)
③
\(x\): Lösung
\(<\)
②
\(\beta\): größere Nullstelle
Die Formel in Worten
①
Der Teil größer als
\(\alpha\): kleinere Nullstelle
und
②
kleiner als
\(\beta\): größere Nullstelle
(also zwischen den beiden Nullstellen)
③
ist
\(x\): Lösung
(weil eine Parabel, die nach oben geöffnet ist, zwischen den beiden Schnittpunkten unter die \(x\)-Achse taucht)
Einfaches Beispiel
Die Lösung von \(x^{2}-3x+2<0\) (die Nullstellen von \(=0\) sind wie zuvor \(x=1,\ 2\)) ist
kleinere Nullstelle (1)
\(<\)
\(x\): Lösung
\(<\)
größere Nullstelle (2)
\((x-1)(x-2) < 0\)
\(1 < x < 2\)
Der Kerngedanke
Bei demselben \(x^{2}-3x+2\) vertauscht schon das Umdrehen des Ungleichheitszeichens die Lösung von „außerhalb“ zu „dazwischen“. Bleibt die linke Seite gleich, sind die Randwerte (die Nullstellen von \(=0\)) immer dieselben; es ändert sich nur, auf welcher Seite der Grenzen Sie den Bereich nehmen.
\(1<x<2\) bedeutet die \(x\)-Werte, die zugleich \(1<x\) und \(x<2\) erfüllen: „größer als 1 und kleiner als 2“. Mehrere Ungleichungen auf einmal so zu lösen, nennt man eine Ungleichungskette (auch Doppelungleichung), und die Form \(A<B<C\) schreibt sie als eine Kette.
Enthält das Zeichen „gleich“, wie bei \(\le 0\), wird daraus \(1 \le x \le 2\), und auch die Endpunkte 1 und 2 sind Lösungen.
Die Diskriminante (bestimmt die Form der Lösung)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(D\)
\(=\)
\(b^{2}\)
\(-\)
\(4ac\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(D\): Diskriminante
\(=\)
①
\(b^{2}\): der \(x\)-Koeffizient zum Quadrat
\(-\)
②
\(4ac\): 4 mal der \(x^{2}\)-Koeffizient mal die Konstante
Die Formel in Worten
①
Ziehen Sie von
\(b^{2}\): der \(x\)-Koeffizient zum Quadrat
②
das Produkt
\(4ac\): 4 mal der \(x^{2}\)-Koeffizient \(a\) mal die Konstante \(c\)
ab
③
und Sie erhalten
\(D\): Diskriminante
(schon ihr Vorzeichen entscheidet, wie die Parabel die \(x\)-Achse trifft, also über die Form der Lösung)
Einfaches Beispiel
Die Diskriminante von \(x^{2}-3x+2\) ist
\(D\): Diskriminante
\(=\)
\(-3\) zum Quadrat
\(-\)
4 mal 1 mal 2
\(D = (-3)^{2} - 4 \times 1 \times 2 = 9 - 8 = 1 > 0\)
Der Kerngedanke
Die Diskriminante verrät, wie oft die Parabel die \(x\)-Achse trifft: in zwei Punkten bei \(D>0\), in einem Punkt berührend bei \(D=0\) und gar nicht bei \(D<0\). Auch bei einem quadratischen Term, den Sie nicht faktorisieren können, entscheidet dieser eine Wert über die Form der Lösung.
Ist der \(x^{2}\)-Koeffizient positiv (die Parabel ist nach oben geöffnet), ergeben die vier Zeichen diese Lösungen:
\(D>0\) (Schnitt in zwei Punkten): \(>0\) und \(\ge 0\) liegen außerhalb der beiden Nullstellen, \(<0\) und \(\le 0\) dazwischen.
\(D=0\) (Berührung in einem Punkt): Liegt der Berührpunkt bei \(x=\alpha\), ist \(>0\) gleich \(x \neq \alpha\) (nur der Berührpunkt fehlt), \(\ge 0\) sind alle reellen Zahlen, \(<0\) hat keine Lösung, und \(\le 0\) ist der einzelne Punkt \(x=\alpha\).
\(D<0\) (kein Treffpunkt): Die ganze Parabel liegt oberhalb der \(x\)-Achse, also sind \(>0\) und \(\ge 0\) alle reellen Zahlen, und \(<0\) und \(\le 0\) haben keine Lösung.
Bei \(D=0\) oder \(D<0\) ist die Antwort kein Bereich, und diese Fälle werden in Klassenarbeiten oft übersehen. Skizzieren Sie den Graphen und fragen Sie „taucht irgendein Teil der Parabel unter die \(x\)-Achse?“, dann verlieren Sie den Überblick nicht.
Negativer Koeffizient von \(x^{2}\) (beide Seiten mit \(-1\) multiplizieren, damit er positiv wird)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(ax^{2}+bx+c\)
\(< 0\)
\(\Longleftrightarrow\)
\(-ax^{2}-bx-c\)
\(> 0\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(ax^{2}+bx+c\): ein quadratischer Term mit negativem \(a\)
\(< 0\)
\(\Longleftrightarrow\)
②
\(-ax^{2}-bx-c\): alle Vorzeichen geändert (positiver \(x^{2}\)-Koeffizient)
\(> 0\)
Die Formel in Worten
①
Die Ungleichung, dass
\(ax^{2}+bx+c\): ein quadratischer Term mit negativem \(x^{2}\)-Koeffizienten \(a\)
kleiner als 0 ist,
②
lässt sich umschreiben zu
\(-ax^{2}-bx-c\): der quadratische Term mit allen geänderten Vorzeichen (positiver \(x^{2}\)-Koeffizient)
ist größer als 0 (beide Seiten wurden mit der negativen Zahl \(-1\) multipliziert, also dreht sich auch das Ungleichheitszeichen der Ungleichung um)
Einfaches Beispiel
Multipliziert man beide Seiten von \(-x^{2}+4x-3 \ge 0\) mit \(-1\), erhält man
\(-x^{2}+4x-3\) (\(x^{2}\)-Koeffizient \(-1\))
\(\ge 0\)
\(\Longleftrightarrow\)
\(x^{2}-4x+3\) (\(x^{2}\)-Koeffizient \(1\))
\(\le 0\)
\(-x^{2}+4x-3 \ge 0 \Longleftrightarrow x^{2}-4x+3 \le 0\)
\((x-1)(x-3) \le 0\)
\(1 \le x \le 3\)
Der Kerngedanke
Bleibt der \(x^{2}\)-Koeffizient negativ, ist die Parabel nach unten geöffnet (eine Hügelform), und „außerhalb“ und „dazwischen“ tauschen die Plätze, was verwirrend ist. Multiplizieren Sie beide Seiten zuerst mit \(-1\), um daraus eine nach oben geöffnete Parabel zu machen, dann müssen Sie sich nur ein Muster merken.
Bei einer Ungleichung dreht das Multiplizieren oder Teilen beider Seiten mit einer negativen Zahl das Zeichen um. Multipliziert man zum Beispiel beide Seiten von \(2<3\) mit \(-1\), erhält man \(-2>-3\), weil der Vorzeichenwechsel auf der Zahlengerade links und rechts vertauscht. Bei Gleichungen gibt es dieses Problem nicht, es betrifft nur Ungleichungen.
Das Multiplizieren beider Seiten mit \(-1\) ändert die Diskriminante \(D\) nicht (\((-b)^{2}-4(-a)(-c)=b^{2}-4ac\)). Im Beispiel haben \(-x^{2}+4x-3\) und \(x^{2}-4x+3\) beide \(D=4\).
Um eine quadratische Ungleichung zu lösen, machen Sie zuerst den \(x^{2}\)-Koeffizienten positiv (ist er negativ, multiplizieren Sie beide Seiten mit \(-1\) und drehen das Zeichen um) und unterscheiden dann Fälle nach dem Vorzeichen der Diskriminante \(D=b^{2}-4ac\). Bei \(D>0\) liegt \(>0\) außerhalb der beiden Nullstellen und \(<0\) dazwischen; bei \(D=0\) oder \(D<0\) kann die Antwort „alle reellen Zahlen“, „keine Lösung“ oder „nur ein Punkt“ lauten. Stellen Sie sich eine nach oben geöffnete Parabel vor und lesen Sie ab, wo sie oberhalb der \(x\)-Achse liegt, dann funktioniert jeder Fall auf dieselbe Weise.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | Die Koeffizienten der quadratischen Ungleichung \(ax^{2}+bx+c>0\): \(a\) ist der Koeffizient von \(x^{2}\), \(b\) der von \(x\) und \(c\) das konstante Glied. Üblicherweise stehen Buchstaben vom Anfang des Alphabets, \(a,\ b,\ c\), für vorgegebene Zahlen. |
| \(x\) | x | Die unbekannte Zahl. Eine quadratische Ungleichung fragt „von wo bis wo machen die Werte von \(x\) sie wahr?“, die Antwort ist also ein Bereich und keine einzelne Zahl. Üblicherweise stehen Buchstaben vom Ende des Alphabets, \(x,\ y,\ z\), für Unbekannte. |
| \(D\) | D | Die Diskriminante, \(b^{2}-4ac\). \(D\) ist der Anfangsbuchstabe von „Diskriminante“ (das, was Fälle unterscheidet). Schon ihr Vorzeichen entscheidet, wie die Parabel die \(x\)-Achse trifft (die Form der Lösung). |
| \(\alpha,\ \beta\) | Alpha, Beta | Namen für die beiden Nullstellen der quadratischen Gleichung \(ax^{2}+bx+c=0\). Es sind der erste und der zweite Buchstabe des griechischen Alphabets, und üblicherweise gilt \(\alpha < \beta\) (\(\alpha\) ist die kleinere). Bei einer quadratischen Ungleichung sind diese beiden die Grenzen der Lösungsmenge. |
| \(>,\ <\) | größer als, kleiner als | Ungleichheitszeichen. \(A>B\) bedeutet „\(A\) ist größer als \(B\)“ und \(A<B\) „\(A\) ist kleiner als \(B\)“; die offene Seite zeigt immer zur größeren Zahl. Sie enthalten kein „gleich“, also sind die Randwerte selbst keine Lösungen. |
| \(\ge,\ \le\) | größer oder gleich, kleiner oder gleich | Ungleichheitszeichen, die „gleich“ enthalten. \(A \ge B\) bedeutet „\(A\) ist größer oder gleich \(B\)“ und \(A \le B\) „\(A\) ist kleiner oder gleich \(B\)“. Die Randwerte selbst sind ebenfalls Lösungen. In manchen Ländern wie Japan werden sie mit einer Doppellinie unter dem Zeichen geschrieben (≧, ≦); die Bedeutung ist dieselbe. |
| \(\neq\) | ungleich | Das Zeichen für „ist nicht gleich“. \(x \neq 3\) bedeutet „\(x\) kann jeden Wert außer 3 haben“. Bei quadratischen Ungleichungen tritt diese Form der Antwort auf, wenn die Parabel die \(x\)-Achse berührt (\(D=0\)). |
| \(\sqrt{\phantom{x}}\) | Wurzel | Das Zeichen für die positive Zahl, deren Quadrat die Zahl darin ist (die Quadratwurzel). \(\sqrt{5}\) ist „die positive Zahl, deren Quadrat 5 ist“, etwa 2,236. Es soll von einem stilisierten Buchstaben r stammen, für das lateinische Wort radix, „Wurzel“. Es erscheint, wenn die Randwerte nicht glatt aufgehen. |
| \(\Longleftrightarrow\) | genau dann, wenn (äquivalent zu) | Ein Zeichen, das sagt, dass die linke und die rechte Seite dasselbe bedeuten. \(P \Longleftrightarrow Q\) bedeutet „ist \(P\) wahr, ist \(Q\) wahr, und umgekehrt“. Wenn Sie eine Ungleichung umschreiben, achten Sie darauf, diese Beziehung zu erhalten (damit sich die Lösung nicht ändert). |
| \(y\) | ypsilon | Der Wert der quadratischen Funktion \(y=ax^{2}+bx+c\), die „Höhe“ der Parabel. \(ax^{2}+bx+c>0\) zu lösen heißt, den Bereich von \(x\) zu finden, in dem diese Höhe größer als 0 ist (wo der Graph oberhalb der \(x\)-Achse liegt). |
Begriffe
| quadratische Ungleichung | Eine Ungleichung mit einem \(x^{2}\)-Glied, etwa \(ax^{2}+bx+c>0\). Die Antwort ist ein Bereich von \(x\) und keine einzelne Zahl. Wird in der Oberstufe (Klasse 10–11, 15–17 Jahre) behandelt. |
| Ungleichung | Eine Aussage, die zwei Größen mit \(>\), \(<\), \(\ge\) oder \(\le\) vergleicht. Addiert oder subtrahiert man auf beiden Seiten dieselbe Zahl, ändert sich die Richtung nicht, beim Multiplizieren oder Teilen mit einer negativen Zahl dreht sie sich um. |
| quadratische Funktion | Eine Funktion der Form \(y=ax^{2}+bx+c\) (\(a \neq 0\)). Ihr Graph ist eine Parabel. Eine quadratische Ungleichung lässt sich als Ablesen umformulieren, wo dieser Graph oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt. |
| Parabel | Die glatte, symmetrische Kurve, die der Graph einer quadratischen Funktion ist. Ein schräg geworfener Ball folgt dieser Form. |
| nach oben geöffnet | Eine Parabel in Talform (beide Enden zeigen nach oben). Das ist der Fall, wenn der \(x^{2}\)-Koeffizient positiv ist. Ist der Koeffizient negativ, ist es eine Hügelform und sie ist „nach unten geöffnet“. |
| nach unten geöffnet | Eine Parabel in Hügelform (beide Enden zeigen nach unten). Das ist der Fall, wenn der \(x^{2}\)-Koeffizient negativ ist. |
| Diskriminante | \(D=b^{2}-4ac\). Sie verrät, wie viele reelle Lösungen die quadratische Gleichung hat (wie oft die Parabel die \(x\)-Achse trifft): 2 bei \(D>0\), 1 (eine doppelte Lösung) bei \(D=0\) und 0 bei \(D<0\). |
| reelle Lösung | Eine Lösung, die eine gewöhnliche Zahl auf der Zahlengerade ist (eine reelle Zahl). Bei \(D<0\) gibt es keine reellen Lösungen, und die Parabel trifft die \(x\)-Achse nicht. |
| doppelte Lösung | Die Lösung bei \(D=0\). Zwei gleiche Lösungen fallen zusammen, wie bei \((x-3)^{2}=0\), und die Parabel berührt die \(x\)-Achse in einem Punkt. |
| Mitternachtsformel | \(x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\) (auch abc-Formel). Sie löst quadratische Gleichungen auch dann, wenn Sie sie nicht faktorisieren können, und bei quadratischen Ungleichungen liefert sie die Randwerte. |
| Faktorisieren | Einen Term als Produkt schreiben, wie in \(x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)\). Können Sie bei einer quadratischen Ungleichung faktorisieren, sehen Sie die Randwerte auf einen Blick. |
| Randwert (Nullstelle) | Ein Wert, an dem die Lösungsmenge beginnt oder endet. Bei einer quadratischen Ungleichung sind es die Lösungen von \(ax^{2}+bx+c=0\), die \(x\)-Koordinaten der Punkte, in denen die Parabel die \(x\)-Achse trifft (die Nullstellen). Bei \(\ge\) oder \(\le\) gehören sie dazu, bei \(>\) oder \(<\) nicht. |
| Lösungsmenge | Alle Werte von \(x\), die die Ungleichung wahr machen. Es kann ein Bereich sein, etwa \(1<x<2\), oder zwei getrennte Bereiche, etwa \(x<1\) oder \(2<x\). |
| Ungleichungskette (Doppelungleichung) | Das \(x\) finden, das mehrere Ungleichungen zugleich erfüllt. Der Bereich, der \(1<x\) und \(x<2\) erfüllt, wird als eine Kette geschrieben, \(1<x<2\). |
| keine Lösung | Es gibt überhaupt kein \(x\), das die Ungleichung wahr macht. Das passiert zum Beispiel bei \(x^{2}+2x+5<0\), wo eine nach oben geöffnete Parabel nie unter die \(x\)-Achse taucht. |
| alle reellen Zahlen | Die Ungleichung ist für jedes \(x\) wahr. Bei positivem \(x^{2}\)-Koeffizienten ist das die Antwort für \(>0\) oder \(\ge 0\) bei \(D<0\) (die Parabel trifft die \(x\)-Achse nie). Bei \(D=0\) ergibt auch \(\ge 0\) alle reellen Zahlen, weil der Berührpunkt über „gleich“ mitzählt. (Bei demselben \(D<0\) haben \(<0\) oder \(\le 0\) keine Lösung.) |
| Zahlengerade | Ein Bild, das Zahlen auf einer Geraden darstellt. Um die Lösung einer quadratischen Ungleichung zu zeigen, zeichnet man den Bereich als dicke Linie, mit einem ausgefüllten Kreis an einem Randwert, der dazugehört, und einem offenen Kreis an einem, der nicht dazugehört. |
| Umstellen | Ein Glied einer Ungleichung oder Gleichung mit umgekehrtem Vorzeichen auf die andere Seite bringen. Steht rechts ein Term, bringen Sie ihn auf die linke Seite, sodass die rechte Seite 0 ist, bevor Sie lösen. |
| konstantes Glied | Ein Glied nur aus einer Zahl ohne \(x\), wie die 5 in \(x^{2}+3x+5\). Es heißt konstant, weil es sich nicht ändert, egal welchen Wert \(x\) hat. |
| Koeffizient | Die Zahl vor einem Buchstaben. In \(3x^{2}\) ist der Koeffizient 3. Steht keine Zahl da, wie in \(x^{2}\), ist der Koeffizient 1. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen zu wiederholen.
| Rechenregeln für Ungleichungen (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Faktorisieren (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Quadratische Gleichungen lösen (Klasse 9, 14–15 Jahre) |
|
| Graphen quadratischer Funktionen (Klasse 9, 14–15 Jahre) |
|
| Quadratwurzeln (Klasse 9, 14–15 Jahre) |
|
| Die Zahlengerade und Bereiche (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle für zwei Nullstellen, außerhalb (ax²+bx+c > 0)
| Koeffizient von x², a | 1 |
| Koeffizient von x, b | -3 |
| Konstantes Glied c | 2 |
| Diskriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Kleinere Nullstelle α | =(-B2-WURZEL(B4))/(2*B1) |
| Größere Nullstelle β | =(-B2+WURZEL(B4))/(2*B1) |
| Lösungsmenge (außerhalb) | ="x < "&B5&" oder "&B6&" < x" |
Tabelle für zwei Nullstellen, dazwischen (ax²+bx+c < 0)
| Koeffizient von x², a | 1 |
| Koeffizient von x, b | -3 |
| Konstantes Glied c | 2 |
| Diskriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Kleinere Nullstelle α | =(-B2-WURZEL(B4))/(2*B1) |
| Größere Nullstelle β | =(-B2+WURZEL(B4))/(2*B1) |
| Lösungsmenge (dazwischen) | =B5&" < x < "&B6 |
Tabelle zur Berechnung der Diskriminante D = b²−4ac
| Koeffizient von x², a | 1 |
| Koeffizient von x, b | -3 |
| Konstantes Glied c | 2 |
| Diskriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Anzahl der Schnittpunkte mit der x-Achse | =WENN(B4>0;2;WENN(B4=0;1;0)) |
Tabelle zur Kontrolle des Vorzeichenwechsels bei negativem x²-Koeffizienten
| Koeffizient von x², a | -1 |
| Koeffizient von x, b | 4 |
| Konstantes Glied c | -3 |
| x²-Koeffizient mal −1 | =-B1 |
| x-Koeffizient mal −1 | =-B2 |
| Konstantes Glied mal −1 | =-B3 |
| Diskriminante nach der Änderung (wie vorher) | =B5^2-4*B4*B6 |
Nach dem Einfügen sind die oberen drei Zeilen (die Koeffizienten a, b und c) Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
„^“ bedeutet eine Potenz, „WURZEL“ ist die Quadratwurzel, und „&“ verbindet Text miteinander.
Die erste und die zweite Tabelle verwenden beide a=1, b=−3, c=2 (also x²−3x+2). Die Diskriminante ist 1, die Randwerte sind 1 und 2, und die Lösungen lauten „x < 1 oder 2 < x“ (außerhalb) und „1 < x < 2“ (dazwischen). Geben Sie Koeffizienten ein, für die die Diskriminante negativ wird, liefert WURZEL einen Fehler, prüfen Sie die Anzahl der Schnittpunkte deshalb zuerst mit der dritten Tabelle.
Die dritte Tabelle bestimmt nur die Diskriminante, und die Funktion WENN legt auch die Anzahl der Schnittpunkte mit der x-Achse fest (2, 1 oder 0).
Die vierte Tabelle ändert alle Vorzeichen bei negativem x²-Koeffizienten (a=−1, b=4, c=−3). Die neuen Koeffizienten sind 1, −4 und 3, und Sie können prüfen, dass die Diskriminante vor und nach der Änderung 4 ist.
„^“ bedeutet eine Potenz, „WURZEL“ ist die Quadratwurzel, und „&“ verbindet Text miteinander.
Die erste und die zweite Tabelle verwenden beide a=1, b=−3, c=2 (also x²−3x+2). Die Diskriminante ist 1, die Randwerte sind 1 und 2, und die Lösungen lauten „x < 1 oder 2 < x“ (außerhalb) und „1 < x < 2“ (dazwischen). Geben Sie Koeffizienten ein, für die die Diskriminante negativ wird, liefert WURZEL einen Fehler, prüfen Sie die Anzahl der Schnittpunkte deshalb zuerst mit der dritten Tabelle.
Die dritte Tabelle bestimmt nur die Diskriminante, und die Funktion WENN legt auch die Anzahl der Schnittpunkte mit der x-Achse fest (2, 1 oder 0).
Die vierte Tabelle ändert alle Vorzeichen bei negativem x²-Koeffizienten (a=−1, b=4, c=−3). Die neuen Koeffizienten sind 1, −4 und 3, und Sie können prüfen, dass die Diskriminante vor und nach der Änderung 4 ist.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle für zwei Nullstellen, außerhalb (ax²+bx+c > 0)
| Koeffizient von x², a | 1 |
| Koeffizient von x, b | -3 |
| Konstantes Glied c | 2 |
| Diskriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Kleinere Nullstelle α | =(-B2-WURZEL(B4))/(2*B1) |
| Größere Nullstelle β | =(-B2+WURZEL(B4))/(2*B1) |
| Lösungsmenge (außerhalb) | ="x < "&B5&" oder "&B6&" < x" |
Tabelle für zwei Nullstellen, dazwischen (ax²+bx+c < 0)
| Koeffizient von x², a | 1 |
| Koeffizient von x, b | -3 |
| Konstantes Glied c | 2 |
| Diskriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Kleinere Nullstelle α | =(-B2-WURZEL(B4))/(2*B1) |
| Größere Nullstelle β | =(-B2+WURZEL(B4))/(2*B1) |
| Lösungsmenge (dazwischen) | =B5&" < x < "&B6 |
Tabelle zur Berechnung der Diskriminante D = b²−4ac
| Koeffizient von x², a | 1 |
| Koeffizient von x, b | -3 |
| Konstantes Glied c | 2 |
| Diskriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Anzahl der Schnittpunkte mit der x-Achse | =WENN(B4>0;2;WENN(B4=0;1;0)) |
Tabelle zur Kontrolle des Vorzeichenwechsels bei negativem x²-Koeffizienten
| Koeffizient von x², a | -1 |
| Koeffizient von x, b | 4 |
| Konstantes Glied c | -3 |
| x²-Koeffizient mal −1 | =-B1 |
| x-Koeffizient mal −1 | =-B2 |
| Konstantes Glied mal −1 | =-B3 |
| Diskriminante nach der Änderung (wie vorher) | =B5^2-4*B4*B6 |
Die Formeln funktionieren wie in Excel (WURZEL, WENN und & heißen bei deutschen Spracheinstellungen von Google Tabellen genauso). Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Koeffizienten durch Ihre eigenen Zahlen.
Mit Python berechnen
from fractions import Fraction
import math
# Koeffizienten der quadratischen Ungleichung (die linke Seite a*x^2 + b*x + c wird mit 0 verglichen) und das Zeichen (">", ">=", "<" oder "<=")
a = Fraction(1)
b = Fraction(-3)
c = Fraction(2)
sign = ">"
# Den x^2-Koeffizienten positiv machen (ist er negativ, beide Seiten mit -1 multiplizieren und das Zeichen umdrehen)
if a < 0:
a, b, c = -a, -b, -c
sign = {">": "<", ">=": "<=", "<": ">", "<=": ">="}[sign]
discriminant = b * b - 4 * a * c
is_greater = sign in (">", ">=")
has_equal = sign in (">=", "<=")
if discriminant > 0:
root = math.sqrt(discriminant)
alpha = (-b - root) / (2 * a)
beta = (-b + root) / (2 * a)
mark = "<=" if has_equal else "<"
if is_greater:
answer = f"x {mark} {alpha} oder {beta} {mark} x" # außerhalb der beiden Nullstellen
else:
answer = f"{alpha} {mark} x {mark} {beta}" # zwischen den beiden Nullstellen
elif discriminant == 0:
alpha = -b / (2 * a)
answer = {">": f"x != {alpha}", ">=": "alle reellen Zahlen",
"<": "keine Lösung", "<=": f"x = {alpha}"}[sign]
else:
answer = "alle reellen Zahlen" if is_greater else "keine Lösung"
print(f"Diskriminante D = {discriminant}")
print(f"Lösungsmenge: {answer}")
Der Code läuft nur mit der Standardbibliothek. Machen Sie die Koeffizienten zu fractions.Fraction, wird das Vorzeichen der Diskriminante nicht von Rundungsfehlern bei Dezimalzahlen beeinflusst. Dieses Beispiel ist x² − 3x + 2 > 0, und beim Ausführen erscheinen zwei Zeilen, „Diskriminante D = 1“ und „Lösungsmenge“ mit den Randwerten 1 und 2 (Python zeigt sie als Dezimalzahlen mit Punkt). Ändern Sie die Koeffizienten und das Zeichen und führen Sie den Code aus.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Positiver Koeffizient von \(x^{2}\) und zwei Nullstellen (\(>0\) heißt „außerhalb der beiden Nullstellen“)
x < α oder β < x
x < \alpha \ \text{oder}\ \beta < x
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi><mo><</mo><mi>α</mi>
<mtext> oder </mtext>
<mi>β</mi><mo><</mo><mi>x</mi>
</mrow>
</math>
x < alpha " or " beta < x
Reduce[a x^2 + b x + c > 0 && a > 0, x, Reals]
solve(a*x^2 + b*x + c > 0, x);
solve(a*x^2 + b*x + c > 0, x)
x < α oder β < x
Positiver Koeffizient von \(x^{2}\) und zwei Nullstellen (\(<0\) heißt „zwischen den beiden Nullstellen“)
α < x < β
\alpha < x < \beta
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>α</mi><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>β</mi>
</mrow>
</math>
alpha < x < beta
Reduce[a x^2 + b x + c < 0 && a > 0, x, Reals]
solve(a*x^2 + b*x + c < 0, x);
solve(a*x^2 + b*x + c < 0, x)
α < x < β
Die Diskriminante (bestimmt die Form der Lösung)
D = b² − 4ac
D = b^{2} - 4ac
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>D</mi><mo>=</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
D = b^2 - 4ac
Discriminant[a x^2 + b x + c, x]
discrim(a*x^2 + b*x + c, x);
D = b^2 - 4*a*c;
D = b^2 - 4ac
Negativer Koeffizient von \(x^{2}\) (beide Seiten mit \(-1\) multiplizieren, damit er positiv wird)
ax² + bx + c < 0 ⟺ −ax² − bx − c > 0
ax^{2} + bx + c < 0 \Longleftrightarrow -ax^{2} - bx - c > 0
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>c</mi>
<mo><</mo><mn>0</mn>
<mo>⟺</mo>
<mo>−</mo><mi>a</mi><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>></mo><mn>0</mn>
</mrow>
</math>
ax^2 + bx + c < 0 hArr -ax^2 - bx - c > 0
Reduce[-a x^2 - b x - c > 0, x, Reals]
solve(-a*x^2 - b*x - c > 0, x);
solve(-a*x^2 - b*x - c > 0, x)
ax^2 + bx + c < 0 ⟺ -ax^2 - bx - c > 0
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Rechenassistent für Algebra. Lösen Sie die folgende Aufgabe, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten). Lösen Sie die quadratische Ungleichung x² − 3x + 2 > 0. Zeigen Sie jeweils: 1. Den Wert der Diskriminante D = b² − 4ac 2. Die Randwerte (die Lösungen von x² − 3x + 2 = 0) 3. Die Lösungsmenge (sagen Sie auch, ob sie „außerhalb der beiden Nullstellen“, „zwischen den beiden Nullstellen“, „alle reellen Zahlen“ oder „keine Lösung“ ist) 4. Wäre der x²-Koeffizient negativ, zeigen Sie auch den Schritt, beide Seiten mit −1 zu multiplizieren und das Zeichen umzudrehen Verwenden Sie in Python sowohl solve_univariate_inequality von sympy als auch eine exakte Berechnung der Diskriminante mit fractions, und antworten Sie erst, nachdem Sie bestätigt haben, dass die Ergebnisse übereinstimmen.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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Keine Quellenangabe nötig
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Keine vorherige Genehmigung erforderlich
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Verwandte Funktionen
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