Geben Sie die drei Halbachsen \(a\), \(b\), \(c\) des Ellipsoids ein (Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche). Angezeigt werden die Oberfläche \(S\) (nach Thomsen) und bei Eingabe in cm die Umrechnung in m².
Geben Sie die drei Halbachsen in derselben Einheit als Zahlen größer als 0 ein, ohne Einheit (für 10 cm also „10“).
Ergebnis und Figur
Geben Sie links die drei Halbachsen ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Ergebnis und 3D-Modell erscheinen dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
-
So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Die drei Halbachsen \(a\), \(b\), \(c\) eingeben (Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche) – und Sie kennen sofort die Oberfläche des Ellipsoids (berechnet mit der weltweit üblichen Näherungsformel von Thomsen)
- Das Ergebnis erscheint auch als 3D-Modell, das Sie mit der Maus drehen können – so sehen Sie auf einen Blick, welche Länge in welche Richtung zeigt
- Tragen Sie in alle drei Felder dieselbe Länge ein, erhalten Sie die Oberfläche einer Kugel (\(S = 4\pi r^2\)) – und zwar exakt, nicht nur näherungsweise
- Bei Eingabe in cm sehen Sie die Oberfläche gleich auch in Quadratmetern (m²)
- Dazu: verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Anders als für das Volumen gibt es für die Oberfläche eines Ellipsoids keine einfache exakte Formel. Der Rechner verwendet deshalb eine Näherungsformel (die von Thomsen), deren Fehler bei jeder Ellipsoidform höchstens etwa ±1,06 % beträgt. Geben Sie alle drei Halbachsen in derselben Einheit ein (jeweils den Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche, also die halbe Länge von Rand zu Rand).
Wofür braucht man diese Berechnung?
Die Oberfläche der Erde berechnen (Geowissenschaften und Astronomie)
Durch die Fliehkraft der Erdrotation ist die Erde ein leicht abgeplattetes Rotationsellipsoid. Mit dem Äquatorradius von etwa 6.378 km und dem Polradius von etwa 6.357 km liefert die Formel rund \(5{,}10 \times 10^8\,\mathrm{km^2}\), also etwa 510 Millionen km² – gut übereinstimmend mit dem Wert in Tabellenwerken.
Aussagen wie „rund 70 % der Erdoberfläche sind Meer“ oder Abschätzungen von Luft- und Wassermengen beginnen mit dieser Fläche. Für Himmelskörper, die keine exakten Kugeln sind, wird die Formel tatsächlich verwendet.
Glasur oder Verpackung für Eier abschätzen (Küche und Lebensmittel)
Ein Hühnerei ist annähernd ein Ellipsoid. Bei etwa 6 cm Länge und 4,5 cm Dicke sind die Halbachsen \(3 \times 2{,}25 \times 2{,}25\,\mathrm{cm}\), die Oberfläche also rund \(78\,\mathrm{cm^2}\).
Wie viel Schokolade ein Schokoladenei braucht, wie viel Farbe beim Ostereierfärben oder wie groß eine Schrumpffolie sein muss – alles, was eine Oberfläche bedeckt, lässt sich so abschätzen. Echte Eier sind keine exakten Ellipsoide, es bleibt ein Richtwert.
Das Hüllenmaterial eines Luftschiffs abschätzen (Technik und Konstruktion)
Der Rumpf eines Luftschiffs – in Deutschland denkt man sofort an den Zeppelin – ist meist wie ein lang gestrecktes Rotationsellipsoid geformt. Betrachtet man ein Luftschiff mit 75 m Länge und 14 m größtem Durchmesser als Ellipsoid mit den Halbachsen \(37{,}5 \times 7 \times 7\,\mathrm{m}\), ergibt sich eine Oberfläche von rund \(2610\,\mathrm{m^2}\). Das ist der erste Schätzwert dafür, wie viel Hüllenstoff oder Farbe gebraucht wird.
Die Oberfläche bestimmt auch Reibungswiderstand und Wärmeaustausch und gehört deshalb bei Fahrzeugen und Kuppelbauten zu den ersten Größen der Planung (im Detail rechnet man später mit der echten Form).
Folie oder Wachs für Früchte abschätzen (Landwirtschaft)
Wasser- und Honigmelonen sind annähernd Ellipsoide, deshalb lässt sich ihre Oberfläche aus der Größe abschätzen. Eine Wassermelone mit den Halbachsen \(12 \times 10 \times 10\,\mathrm{cm}\) hat rund \(1430\,\mathrm{cm^2}\) (etwa 0,14 m²).
Das hilft bei der Wahl von Schutzbeuteln, beim Verbrauch von Fruchtwachs oder Beschichtungsmitteln und bei der Bestellung von Verpackungsmaterial.
Material für die Hülle eines Rugbyballs abschätzen (Herstellung von Sportartikeln)
Ein Rugbyball hat fast die Form eines lang gestreckten Rotationsellipsoids. Bei etwa 30 cm Länge und 19 cm Breite sind die Halbachsen \(15 \times 9{,}5 \times 9{,}5\,\mathrm{cm}\) und die Oberfläche rund \(1590\,\mathrm{cm^2}\).
Da der Ball aus vier Paneelen zusammengenäht wird, braucht man pro Paneel etwa 400 cm² Material (Nahtzugaben und Wölbung kommen noch dazu). So beginnt der Zuschnitt jedes gewölbten Produkts.
Formeln und Abbildungen
Oberfläche eines Ellipsoids (Näherungsformel von Thomsen)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(S\)
\(\approx\)
\(4\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(\dfrac{(ab)^{1{,}6} + (ac)^{1{,}6} + (bc)^{1{,}6}}{3}\)
\(\frac{1}{1{,}6}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(S\): Oberfläche des Ellipsoids
\(\approx\)
④
\(4\): Konstante
\(\times\)
③
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
①
Mittel der drei Produkte hoch 1,6
②
hoch \(\dfrac{1}{1{,}6}\)
Die Formel in Worten
①
Nimmt man den
Mittelwert der Produkte \(ab\), \(ac\), \(bc\) der Halbachsen, jeweils hoch 1,6
②
hoch \(\dfrac{1}{1{,}6}\) (macht das „hoch 1,6“ wieder rückgängig)
③
, multipliziert mit der
\(\pi\): Kreiszahl (etwa 3,14)
④
und mit der
\(4\): Konstante
⑤
, erhält man (näherungsweise) die
\(S\): Oberfläche des Ellipsoids
Einfaches Beispiel
Ein Ellipsoid, dessen Halbachsen alle 3 cm lang sind (also eine Kugel mit 3 cm Radius), hat die Oberfläche
\(S\): Oberfläche des Ellipsoids
\(\approx\)
\(4\): Konstante
\(\times\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
\(\dfrac{9^{1{,}6} + 9^{1{,}6} + 9^{1{,}6}}{3}\)
hoch \(\dfrac{1}{1{,}6}\)
\((ab)^{1{,}6} = (ac)^{1{,}6} = (bc)^{1{,}6} = (3 \times 3)^{1{,}6} = 9^{1{,}6}\)
\(\dfrac{9^{1{,}6} + 9^{1{,}6} + 9^{1{,}6}}{3} = 9^{1{,}6}\)
\(\left( 9^{1{,}6} \right)^{\frac{1}{1{,}6}} = 9^{1{,}6 \times \frac{1}{1{,}6}} = 9^{1} = 9\)
\(S \approx 4\pi \times 9 = 36\pi\)
\(36\pi = 36 \times 3{,}14159\ldots \approx 113{,}10\,\mathrm{cm^2}\)
Der Grundgedanke
Anders als für das Volumen (\(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\)) gibt es für die Oberfläche eines Ellipsoids keine einfache exakte Formel – exakt bräuchte man ein elliptisches Integral, das über den Schulstoff hinausgeht. In der Praxis verwendet man deshalb weltweit diese Näherungsformel, die der Däne Knud Thomsen 2004 vorgeschlagen hat. Ihr Fehler liegt bei jeder Ellipsoidform bei höchstens etwa ±1,06 %, bei fast kugelförmigen Körpern praktisch bei null.
Was die Formel bedeutet: \(ab\), \(ac\) und \(bc\) sind die Flächen der drei Ellipsen, die beim Durchschneiden des Ellipsoids in den drei Richtungen entstehen (\(\pi ab\), \(\pi ac\), \(\pi bc\)), jeweils ohne \(\pi\). Bei der Kugel ist die Oberfläche (\(4\pi r^2\)) genau das Vierfache der Schnittkreisfläche \(\pi r^2\). Für das Ellipsoid gleicht man die drei Schnittflächen mit einem besonderen Mittelwert aus – „hoch 1,6, Mittelwert bilden, hoch \(\dfrac{1}{1{,}6}\) zurück“ – und multipliziert mit \(4\pi\). Der Exponent 1,6 wurde so gewählt, dass der Fehler möglichst klein wird.
Weil die Formel nicht exakt ist, steht statt des Gleichheitszeichens das Zeichen \(\approx\) für „ungefähr gleich“.
Oberfläche einer Kugel (Sonderfall des Ellipsoids)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(S\)
\(=\)
\(4\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(S\): Oberfläche der Kugel
\(=\)
④
\(4\): Konstante
\(\times\)
③
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
①
\(r\): Radius
②
hoch 2 (mit sich selbst malnehmen)
Die Formel in Worten
①
Nimmt man den
\(r\): Radius
②
hoch 2 (mit sich selbst malnehmen)
③
, multipliziert mit der
\(\pi\): Kreiszahl (etwa 3,14)
④
und mit der
\(4\): Konstante
⑤
, erhält man die
\(S\): Oberfläche der Kugel
Einfaches Beispiel
Eine Kugel mit 3 cm Radius hat die Oberfläche
\(S\): Oberfläche der Kugel
\(=\)
\(4\): Konstante
\(\times\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
Radius (3 cm)
hoch 2
\(S = 4 \times \pi \times 3^2 = 36\pi\)
\(36\pi = 36 \times 3{,}14159\ldots \approx 113{,}10\,\mathrm{cm^2}\)
Der Grundgedanke
Eine Kugel ist ein besonderes Ellipsoid, bei dem alle drei Halbachsen gleich lang sind. Setzt man in die Formel von Thomsen \(a = b = c = r\) ein, sind alle drei Produkte \(r \times r = r^2\). „Hoch 1,6, Mittelwert bilden, hoch \(\dfrac{1}{1{,}6}\) zurück“ ergibt wieder genau \(r^2\) – und damit exakt die Kugelformel aus der Schule, \(S = 4\pi r^2\) (nur in diesem Fall ist es keine Näherung). Auch in diesem Rechner erhalten Sie die Kugeloberfläche, wenn Sie in alle drei Felder dieselbe Zahl eintragen.
Gut merken lässt sich: Die Oberfläche einer Kugel ist genau das Vierfache der Fläche eines Kreises mit demselben Radius, \(\pi r^2\).
Umrechnung der Fläche (cm² → m²)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(S_{\mathrm{m^2}}\)
\(=\)
\(S_{\mathrm{cm^2}}\)
\(\div\)
\(10000\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(S_{\mathrm{m^2}}\): Oberfläche in m²
\(=\)
①
\(S_{\mathrm{cm^2}}\): Oberfläche in cm²
\(\div\)
②
\(10000\): cm² pro m²
Die Formel in Worten
①
Teilt man die
\(S_{\mathrm{cm^2}}\): Oberfläche in cm²
②
durch die Zahl
\(10000\): cm² pro m²
③
, erhält man die
\(S_{\mathrm{m^2}}\): Oberfläche in m²
Einfaches Beispiel
Ein ellipsoidförmiger Felsblock mit 25.000 cm² Oberfläche hat, in m² umgerechnet
Oberfläche in m²
\(=\)
Oberfläche in cm² (25.000)
\(\div\)
cm² pro m² (10.000)
\(25000 \div 10000 = 2{,}5\,\mathrm{m^2}\)
Der Grundgedanke
Wegen \(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\) ist \(1\,\mathrm{m^2}\) die Fläche eines Quadrats mit 100 cm Seitenlänge: \(100 \times 100 = 10000\,\mathrm{cm^2}\).
Bei Flächen ist der Umrechnungsfaktor der Längenfaktor (100) hoch 2, also 10.000; bei Volumen hoch 3, also 1.000.000. „Fläche hoch 2, Volumen hoch 3“ – genau hier passieren die meisten Fehler.
Für die Oberfläche eines Ellipsoids gibt es keine einfache exakte Formel. Man rechnet daher mit der weltweit üblichen Näherungsformel von Thomsen, 4π × (Mittelwert der Produkte ab, ac, bc hoch 1,6) hoch 1/1,6, mit einem Fehler von höchstens etwa ±1,06 %. Sind alle drei Halbachsen gleich, ergibt sich exakt die Kugeloberfläche (S = 4πr²). Geben Sie die Halbachsen in derselben Einheit ein; das Ergebnis steht in dieser Einheit hoch 2 (bei cm in cm²). Von cm² in m² teilen Sie einfach durch 10.000.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(S\) | S | Ein übliches Zeichen für Flächen (englisch surface). Hier steht es für die Oberfläche des Ellipsoids. In deutschen Schulbüchern heißt die Oberfläche meist \(O\). |
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | Die drei Halbachsen des Ellipsoids. Jede ist ein Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche, wie der Radius bei der Kugel, und halb so lang wie die ganze Achse von Rand zu Rand. |
| \(\pi\) | Pi | Die Kreiszahl. Sie gibt an, wie oft der Durchmesser in den Kreisumfang passt, und ist mit \(3{,}14159265\ldots\) eine unendliche, nicht periodische Dezimalzahl (eine irrationale Zahl). Die „3,14“ aus dem Unterricht ist ein Näherungswert. |
| \(\approx\) | ungefähr gleich | Zeigt, dass die Werte links und rechts „ungefähr gleich“ sind. Die Formel von Thomsen ist eine Näherungsformel, deshalb steht dieses Zeichen statt des Gleichheitszeichens. |
| \(x^{1{,}6}\) | x hoch 1,6 | Eine Potenz mit einem Dezimalbruch als Exponent. Es gilt \(x^{1{,}6} = x^{\frac{8}{5}}\), also „die fünfte Wurzel aus \(x\) hoch 8“ (Potenzen mit rationalen Exponenten, meist Klasse 10). Von Hand ist das mühsam, mit dem Taschenrechner, Excel oder Python aber ganz einfach. |
| \(r\) | r | Der Radius der Kugel. Eine Kugel ist ein Ellipsoid, dessen drei Halbachsen alle \(r\) sind. |
| \(\mathrm{cm^2}\) | Quadratzentimeter | Eine Flächeneinheit. Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge hat den Flächeninhalt 1 cm². Nicht zu verwechseln mit cm³ (Kubikzentimeter), der Einheit für Volumen. |
| \(\mathrm{m^2}\) | Quadratmeter | Eine Flächeneinheit. Ein Quadrat mit 1 m (= 100 cm) Seitenlänge hat 1 m², es gilt \(1\,\mathrm{m^2} = 10000\,\mathrm{cm^2}\). |
Begriffe
| Ellipsoid | Die dreidimensionale Form der Ellipse – ein glatter, eiförmiger Körper. Jeder ebene Schnitt ist eine Ellipse (oder ein Kreis). Ein Rugbyball oder eine Wassermelone kommt dieser Form nahe. |
| Halbachse | Der Abstand vom Mittelpunkt des Ellipsoids zur Oberfläche, gemessen in einer der drei Symmetrierichtungen (die senkrecht zueinander stehen). Größe und Form des Ellipsoids sind durch diese drei Längen festgelegt. Jede ist halb so lang wie die ganze Achse von Rand zu Rand. |
| Oberfläche | Der Flächeninhalt der gesamten Außenhaut eines Körpers (genau genommen Oberflächeninhalt) – so viel Fläche hätte die „Haut“, wenn man sie aufschneiden und flach ausbreiten könnte. Man gibt sie in Flächeneinheiten wie cm² oder m² an. |
| Näherungsformel | Eine Formel, die statt des exakten Werts mit einfacher Rechnung einen ausreichend genauen Wert liefert. Für Größen, die sich exakt nur schwer berechnen lassen – wie die Oberfläche eines Ellipsoids –, verwendet man in der Praxis Näherungsformeln. |
| Näherungsformel von Thomsen | Die Näherungsformel für die Oberfläche eines Ellipsoids, die der Däne Knud Thomsen 2004 vorgeschlagen hat. Mit dem Exponenten 1,6 bleibt der Fehler bei jeder Form unter etwa ±1,06 %. Sie ist auf Rechnerseiten und in der Praxis weltweit Standard. |
| elliptisches Integral | Ein Integral auf Hochschulniveau, das bei der exakten Berechnung der Ellipsoidoberfläche oder des Ellipsenumfangs auftritt. Das Ergebnis lässt sich nicht mit den Grundrechenarten, Potenzen und Wurzeln ausdrücken. In der Praxis rechnet man deshalb mit Näherungsformeln oder numerisch. |
| Kugel | Ein besonderes Ellipsoid mit drei gleich langen Halbachsen. Von jeder Seite sieht sie wie ein gleich großer Kreis aus; ihre Oberfläche ist \(S = 4\pi r^2\). |
| Rotationsellipsoid | Der Körper, der entsteht, wenn sich eine Ellipse um eine ihrer Achsen dreht – ein Ellipsoid mit zwei gleich langen Halbachsen. Ein Rugbyball (lang gestreckt) oder eine Mandarine (abgeplattet) gehören dazu, und auch die Erde ist ein leicht abgeplattetes Rotationsellipsoid. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur ausführen, sondern auch verstehen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
| Multiplizieren und Quadrieren (Klasse 2–6, 7–12 Jahre) |
|
| Flächeninhalt und Flächeneinheiten (Klasse 4–5, 9–11 Jahre) |
|
| Die Kreiszahl π (Klasse 8, 13–14 Jahre) |
|
| Die Kugeloberfläche (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Potenzen mit rationalen Exponenten (Klasse 10, 15–16 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Oberfläche eines Ellipsoids (nach Thomsen)
| Halbachse a (cm) | 10 |
| Halbachse b (cm) | 5 |
| Halbachse c (cm) | 8 |
| Oberfläche des Ellipsoids (cm²) | =4*PI()*(((B1*B2)^1,6+(B1*B3)^1,6+(B2*B3)^1,6)/3)^(1/1,6) |
Tabelle für die Oberfläche einer Kugel
| Radius (cm) | 3 |
| Oberfläche der Kugel (cm²) | =4*PI()*B1^2 |
Tabelle für die Umrechnung von cm² in m²
| Oberfläche in cm² | 25000 |
| Oberfläche in m² | =B1/10000 |
Nach dem Einfügen stehen in Spalte A die Bezeichnungen und in Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind die Eingaben, die Formel in der letzten Zeile rechnet damit automatisch.
„B1“, „B2“ in der Formel bedeuten „nimm die Zahl aus dieser Zelle“. „*“ steht für Malnehmen, „/“ für Teilen, „^“ für Potenzieren (auch mit Dezimalzahlen wie 1,6), und „PI()“ liefert die Kreiszahl π.
In der ersten Tabelle erscheint in B4 zum Beispiel etwa 730,87 (in cm², weil in cm eingegeben). Die zweite Tabelle zeigt in B2 etwa 113,10, die dritte in B2 die 2,5. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Längen.
„B1“, „B2“ in der Formel bedeuten „nimm die Zahl aus dieser Zelle“. „*“ steht für Malnehmen, „/“ für Teilen, „^“ für Potenzieren (auch mit Dezimalzahlen wie 1,6), und „PI()“ liefert die Kreiszahl π.
In der ersten Tabelle erscheint in B4 zum Beispiel etwa 730,87 (in cm², weil in cm eingegeben). Die zweite Tabelle zeigt in B2 etwa 113,10, die dritte in B2 die 2,5. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Längen.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Oberfläche eines Ellipsoids (nach Thomsen)
| Halbachse a (cm) | 10 |
| Halbachse b (cm) | 5 |
| Halbachse c (cm) | 8 |
| Oberfläche des Ellipsoids (cm²) | =4*PI()*(((B1*B2)^1,6+(B1*B3)^1,6+(B2*B3)^1,6)/3)^(1/1,6) |
Tabelle für die Oberfläche einer Kugel
| Radius (cm) | 3 |
| Oberfläche der Kugel (cm²) | =4*PI()*B1^2 |
Tabelle für die Umrechnung von cm² in m²
| Oberfläche in cm² | 25000 |
| Oberfläche in m² | =B1/10000 |
Dieselben Formeln wie in Excel (auch die Funktion PI() und Potenzen mit Dezimalzahlen) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch Ihre eigenen Längen.
So berechnen Sie es in Python
import math
a = 10 # Halbachse a (in diesem Beispiel in cm, Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche)
b = 5 # Halbachse b (in derselben Einheit wie a)
c = 8 # Halbachse c (in derselben Einheit wie a und b)
# Näherungsformel von Thomsen (Exponent p = 1.6). „**“ steht für Potenzieren
p = 1.6
mean = ((a * b) ** p + (a * c) ** p + (b * c) ** p) / 3
surface_area = 4 * math.pi * mean ** (1 / p) # Oberfläche des Ellipsoids (Eingabeeinheit hoch 2, hier cm2)
surface_area_m2 = surface_area / 10000 # bei Eingabe in cm: Oberfläche in m2
print(f"Oberfläche des Ellipsoids: {surface_area} cm2")
print(f"Umgerechnet in m2: {surface_area_m2} m2")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „math.pi“ ist die Kreiszahl π, „**“ steht für Potenzieren (auch mit Dezimalexponenten – in Python schreibt man dabei einen Punkt statt eines Kommas), „*“ für Malnehmen und „/“ für Teilen. Ersetzen Sie oben die drei Halbachsen durch Ihre Werte und führen Sie den Code aus. Mit drei gleichen Werten erhalten Sie dasselbe wie mit der Kugelformel 4πr² (die Umrechnung in m² gilt für Eingaben in cm).
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Oberfläche eines Ellipsoids (Näherungsformel von Thomsen)
S \approx 4\pi \left( \dfrac{(ab)^{1.6} + (ac)^{1.6} + (bc)^{1.6}}{3} \right)^{\frac{1}{1.6}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>≈</mo>
<mn>4</mn>
<mi>π</mi>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mn>1.6</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow><mn>1.6</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow><mn>1.6</mn></msup>
</mrow>
<mn>3</mn>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>1.6</mn></mrow>
</msup>
</mrow>
</math>
S ~~ 4 pi (((a b)^1.6 + (a c)^1.6 + (b c)^1.6)/3)^(1/1.6)
4 Pi (((a b)^1.6 + (a c)^1.6 + (b c)^1.6)/3)^(1/1.6)
S := 4*Pi*(((a*b)^1.6 + (a*c)^1.6 + (b*c)^1.6)/3)^(1/1.6);
S = 4*pi*(((a*b)^1.6 + (a*c)^1.6 + (b*c)^1.6)/3)^(1/1.6);
S ≈ 4π(((ab)^1.6 + (ac)^1.6 + (bc)^1.6)/3)^(1/1.6)
Oberfläche einer Kugel (Sonderfall des Ellipsoids)
S = 4πr²
S = 4\pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = 4 pi r^2
4 Pi r^2
S := 4*Pi*r^2;
S = 4*pi*r^2;
S = 4πr^2
Umrechnung der Fläche (cm² → m²)
S[m²] = S[cm²] ÷ 10000
S_{\mathrm{m^2}} = S_{\mathrm{cm^2}} \div 10000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>S</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>10000</mn>
</mrow>
</math>
S_(m^2) = S_(cm^2) -: 10000
sCm2/10000
sM2 := sCm2/10000;
s_m2 = s_cm2/10000;
S(m²) = S(cm²)/10000
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Schätzen). Ein Ellipsoid hat die Halbachsen a = 10 cm, b = 5 cm und c = 8 cm (Halbachse = Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche). Berechnen Sie: 1. die Oberfläche des Ellipsoids in cm², mit der Näherungsformel von Thomsen S = 4 × π × (((a×b)^1,6 + (a×c)^1,6 + (b×c)^1,6) / 3)^(1/1,6) 2. diese Oberfläche umgerechnet in Quadratmeter (m²) Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
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1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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Verwandte Funktionen
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Flächeninhalt einer Ellipse berechnen (π × große Halbachse × kleine Halbachse)
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