Geben Sie die drei Halbachsen \(a\), \(b\) und \(c\) des Ellipsoids ein (die Abstände vom Mittelpunkt zur Oberfläche). Angezeigt werden die Oberfläche \(S\) (Formel von Thomsen) sowie die Umrechnung in m² bei Eingabe in cm.
Geben Sie die drei Halbachsen in derselben Einheit ein, als Zahlen größer als 0 (nur die Zahl, ohne Einheit: bei 10 cm geben Sie „10“ ein).
Ergebnis und Figur
Geben Sie in den Feldern links die Längen der drei Halbachsen ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine 3D-Abbildung erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie die drei Halbachsen \(a\), \(b\) und \(c\) ein (die Abstände vom Mittelpunkt zur Oberfläche), und Sie sehen sofort die Oberfläche des Ellipsoids (berechnet mit der Formel von Thomsen, die weltweit verwendet wird)
- Das Ergebnis erscheint auch in einer 3D-Abbildung, die Sie mit der Maus drehen können: So sehen Sie auf einen Blick, welche Länge in welche Richtung geht
- Geben Sie in allen drei Feldern dieselbe Länge ein, und die Berechnung gilt auch für die Oberfläche einer Kugel (\(S = 4\pi r^2\)); dann ist das Ergebnis exakt und nicht genähert
- Die Umrechnung in Quadratmeter (m²) wird gleich mit angezeigt, wenn Sie in cm eingeben
- Eine verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Anders als beim Volumen gibt es für die Oberfläche eines Ellipsoids keine einfache exakte Formel. Dieser Rechner verwendet deshalb eine Näherungsformel (die Formel von Thomsen). Der Fehler bleibt bei jeder Form des Ellipsoids unter etwa 1,06 %. Geben Sie die drei Halbachsen in derselben Einheit ein (eingegeben wird der Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche, die Halbachse, also die Hälfte der Länge von einem Ende zum anderen).
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Die Oberfläche der Erde berechnen (Geowissenschaften und Weltraum)
Die Erde ist ein durch ihre Rotation leicht abgeplattetes Rotationsellipsoid. Mit einem Äquatorradius von etwa 6.378 km und einem Polradius von etwa 6.357 km liefert diese Formel eine Oberfläche von etwa \(5{,}10 \times 10^8\,\mathrm{km^2}\) (etwa 510 Millionen km²), in guter Übereinstimmung mit dem Wert der Nachschlagewerke.
Angaben wie „rund 70 % der Erdoberfläche sind von Ozeanen bedeckt“ oder Schätzungen der Luft- und Meerwassermengen gehen von dieser Fläche aus. Es ist eine Formel, die tatsächlich für Himmelskörper verwendet wird, die keine vollkommenen Kugeln sind.
Die Schokoladenhülle oder Verpackung eines Eies abschätzen (Kochen und Lebensmittel)
Ein Hühnerei hat fast die Form eines Ellipsoids. Bei einem Ei von etwa 6 cm Länge und 4,5 cm Breite betragen die Halbachsen \(3 \times 2{,}25 \times 2{,}25\,\mathrm{cm}\), und die Oberfläche ist etwa \(78\,\mathrm{cm^2}\).
Die Menge an Material, die eine Fläche bedeckt, etwa die Schokolade für Osterhasen-Eier, die zu bemalende oder zu verzierende Fläche einer Eierschale oder die Größe einer Schrumpffolie, schätzt man aus der Oberfläche ab (ein echtes Ei ist kein perfektes Ellipsoid: Es ist nur eine Größenordnung).
Die Hülle eines Luftschiffs oder Ballons abschätzen (Industrie und Konstruktion)
Der Rumpf eines Luftschiffs wird in einer Form konstruiert, die einem länglichen Rotationsellipsoid nahekommt. Sieht man zum Beispiel ein Luftschiff von 75 m Länge und 14 m größtem Durchmesser als Ellipsoid mit den Halbachsen \(37{,}5 \times 7 \times 7\,\mathrm{m}\) an, beträgt die Oberfläche etwa \(2.610\,\mathrm{m^2}\). Das ist nützlich für eine erste Schätzung des Hüllenstoffs oder der Farbe.
Die Oberfläche hängt auch direkt mit dem Luftwiderstand (Reibung) und dem Wärmeaustausch zusammen: Sie ist eine der ersten Größen, die man beim Entwurf eines Fahrzeugs oder eines Kuppelbaus festlegt (die genaue Untersuchung geht dann zu Rechnungen an der echten Form über).
Schutzbeutel oder Wachs für Früchte abschätzen (Landwirtschaft)
Wassermelonen und Melonen haben eine Form nahe am Ellipsoid: Mit dieser Formel lässt sich aus ihrer Größe ihre Oberfläche abschätzen. Bei einer Wassermelone mit den Halbachsen \(12 \times 10 \times 10\,\mathrm{cm}\) beträgt die Oberfläche etwa \(1.430\,\mathrm{cm^2}\) (etwa 0,14 m²).
Das ist ein nützlicher Richtwert für alles, was die Fruchtoberfläche bedeckt: die Größe von Schutzbeuteln wählen, ein Wachs oder einen Überzug dosieren oder Verpackungsmaterial bestellen.
Das Material für die Panels eines Rugbyballs abschätzen (Herstellung von Sportartikeln)
Ein Rugbyball hat fast die Form eines länglichen Rotationsellipsoids. Bei einem Ball von etwa 30 cm Länge und 19 cm Breite betragen die Halbachsen \(15 \times 9{,}5 \times 9{,}5\,\mathrm{cm}\), und die Oberfläche ist etwa \(1.590\,\mathrm{cm^2}\).
Der Ball besteht aus 4 zusammengenähten Hüllpaneelen: Man kann also abschätzen, dass je Paneel etwa 400 cm² Material nötig sind (dazu kommen Nahtzugaben und die Wölbung beim Aufpumpen). Das ist der erste Schritt, um das Material für ein Produkt mit gekrümmter Oberfläche zu planen.
Formeln und Abbildungen
Oberfläche des Ellipsoids (Formel von Thomsen)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S\)
\(\approx\)
\(4\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(\dfrac{(ab)^{1{,}6} + (ac)^{1{,}6} + (bc)^{1{,}6}}{3}\)
\(\frac{1}{1{,}6}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(S\): Oberfläche des Ellipsoids
\(\approx\)
④
die Konstante \(4\)
\(\times\)
③
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
①
Mittelwert der drei Produkte hoch 1,6
②
hoch \(\dfrac{1}{1{,}6}\)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie den
Mittelwert der Halbachsenprodukte \(ab\), \(ac\) und \(bc\), jedes hoch 1,6
,
②
rechnen Sie ihn
hoch \(\dfrac{1}{1{,}6}\) (das macht das Hoch-1,6 rückgängig)
,
③
multiplizieren Sie mit
\(\pi\): Kreiszahl Pi (etwa 3,14)
,
④
dann mit
der Konstante \(4\)
und Sie erhalten (sehr genau angenähert) die
⑤
\(S\): Oberfläche des Ellipsoids
Einfaches Beispiel
Die Oberfläche eines Ellipsoids, dessen drei Halbachsen alle 3 cm betragen (also einer Kugel mit 3 cm Radius), beträgt
\(S\): Oberfläche des Ellipsoids
\(\approx\)
die Konstante \(4\)
\(\times\)
\(\pi\): Pi
\(\times\)
\(\dfrac{9^{1{,}6} + 9^{1{,}6} + 9^{1{,}6}}{3}\)
hoch \(\dfrac{1}{1{,}6}\)
\((ab)^{1{,}6} = (ac)^{1{,}6} = (bc)^{1{,}6} = (3 \times 3)^{1{,}6} = 9^{1{,}6}\)
\(\dfrac{9^{1{,}6} + 9^{1{,}6} + 9^{1{,}6}}{3} = 9^{1{,}6}\)
\(\left( 9^{1{,}6} \right)^{\frac{1}{1{,}6}} = 9^{1{,}6 \times \frac{1}{1{,}6}} = 9^{1} = 9\)
\(S \approx 4\pi \times 9 = 36\pi\)
\(36\pi = 36 \times 3{,}14159\ldots \approx 113{,}10\,\mathrm{cm^2}\)
Der Kerngedanke
Anders als beim Volumen (\(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\)) gibt es für die Oberfläche eines Ellipsoids keine einfache exakte Formel (die exakte Rechnung braucht „elliptische Integrale“, die über den Schulstoff hinausgehen). In der Praxis verwendet man deshalb weltweit diese Näherungsformel, die der Däne Knud Thomsen 2004 vorgeschlagen hat. Der Fehler bleibt bei jeder Form des Ellipsoids unter etwa 1,06 %, und bei Formen nahe einer Kugel ist er fast null.
Was die Formel tut: \(ab\), \(ac\) und \(bc\) sind die Flächeninhalte \(\pi ab\), \(\pi ac\) und \(\pi bc\) der drei Ellipsen, die beim Durchschneiden des Ellipsoids in drei Richtungen entstehen, ohne das \(\pi\). Die Oberfläche einer Kugel (\(4\pi r^2\)) ist genau das Vierfache der Fläche ihres Schnittkreises \(\pi r^2\). Diese Formel ist die Version für das Ellipsoid: Sie gleicht die drei Schnitte durch einen besonderen Mittelwert an („hoch 1,6 nehmen, mitteln, dann mit dem Exponenten \(\dfrac{1}{1{,}6}\) zurückrechnen“) und multipliziert mit 4π. Der Exponent 1,6 wurde so gewählt, dass der Fehler möglichst klein wird.
Weil die Formel nicht exakt ist, verbindet man beide Seiten mit dem Zeichen \(\approx\) („ungefähr gleich“) statt mit dem Gleichheitszeichen (=).
Oberfläche der Kugel (ein Sonderfall des Ellipsoids)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S\)
\(=\)
\(4\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(S\): Oberfläche der Kugel
\(=\)
④
die Konstante \(4\)
\(\times\)
③
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
①
\(r\): Radius
②
zum Quadrat (die Länge mit sich selbst multipliziert)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie den
\(r\): Radius
②
und nehmen Sie ihn
zum Quadrat (die Länge mit sich selbst multipliziert)
,
③
multiplizieren Sie mit
\(\pi\): Kreiszahl Pi (etwa 3,14)
,
④
dann mit
der Konstante \(4\)
und Sie erhalten die
⑤
\(S\): Oberfläche der Kugel
Einfaches Beispiel
Die Oberfläche einer Kugel mit 3 cm Radius beträgt
\(S\): Oberfläche der Kugel
\(=\)
die Konstante \(4\)
\(\times\)
\(\pi\): Pi
\(\times\)
Radius (3 cm)
zum Quadrat
\(S = 4 \times \pi \times 3^2 = 36\pi\)
\(36\pi = 36 \times 3{,}14159\ldots \approx 113{,}10\,\mathrm{cm^2}\)
Der Kerngedanke
Eine Kugel ist ein besonderes Ellipsoid, dessen drei Halbachsen gleich sind. Setzen Sie \(a = b = c = r\) in die Formel von Thomsen ein: Die drei Produkte sind \(r \times r = r^2\), und „hoch 1,6 nehmen, mitteln, dann mit dem Exponenten \(\dfrac{1}{1{,}6}\) zurückrechnen“ ergibt wieder \(r^2\) selbst. Das Ergebnis stimmt also genau mit der Formel für die Kugeloberfläche aus der Schule überein, \(S = 4\pi r^2\) (nur in diesem Fall ist es keine Näherung). Auch mit diesem Rechner erhalten Sie die Oberfläche einer Kugel, wenn Sie in allen drei Feldern dieselbe Zahl eingeben.
Zum leichten Merken: Die Oberfläche einer Kugel ist genau das Vierfache der Fläche eines Kreises mit demselben Radius, \(\pi r^2\).
Umrechnung des Flächeninhalts (cm² → m²)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S_{\mathrm{m^2}}\)
\(=\)
\(S_{\mathrm{cm^2}}\)
\(\div\)
\(10000\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(S_{\mathrm{m^2}}\): Oberfläche in m²
\(=\)
①
\(S_{\mathrm{cm^2}}\): Oberfläche in cm²
\(\div\)
②
\(10.000\): Anzahl der cm² in 1 m²
Die Formel in Worten
①
Teilen Sie die
\(S_{\mathrm{cm^2}}\): Oberfläche in cm²
②
durch die
\(10.000\): Anzahl der cm² in 1 m²
und Sie erhalten die
③
\(S_{\mathrm{m^2}}\): Oberfläche in m²
Einfaches Beispiel
Die Oberfläche eines ellipsoidförmigen Felsens von 25.000 cm², in m² umgerechnet, ist
Oberfläche in m²
\(=\)
Oberfläche in cm² (25.000)
\(\div\)
Anzahl der cm² in 1 m² (10.000)
\(25.000 \div 10.000 = 2{,}5\,\mathrm{m^2}\)
Der Kerngedanke
Wegen \(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\) ist \(1\,\mathrm{m^2}\) der Flächeninhalt eines Quadrats mit 100 cm Seitenlänge: \(100 \times 100 = 10.000\,\mathrm{cm^2}\).
Der Umrechnungsfaktor für Flächen ist der Umrechnungsfaktor der Länge (100) hoch 2 (10.000). Beim Volumen ist es hoch 3 (1.000.000). „Bei Flächen hoch 2, beim Volumen hoch 3“: Hier passieren die meisten Fehler.
Die Oberfläche eines Ellipsoids hat keine einfache exakte Formel: Man berechnet sie mit der weltweit verwendeten Formel von Thomsen, also 4π × (der Mittelwert von ab, ac und bc, jeweils hoch 1,6) hoch 1/1,6, mit einem Fehler unter etwa 1,06 %. Sind die drei Halbachsen gleich, stimmt sie genau mit der Oberfläche der Kugel überein (S = 4πr²). Die Halbachsen müssen in derselben Einheit stehen, und das Ergebnis steht in dieser Einheit hoch 2 (bei cm also in cm²). Von cm² in m² rechnet man um, indem man durch 10.000 teilt.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(S\) | S | Der hier verwendete Buchstabe für die Oberfläche (deutsche Schulbücher schreiben dafür meist \(O\)). Auf dieser Seite ist es die Oberfläche des Ellipsoids. |
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | Die Längen der drei Halbachsen des Ellipsoids. Jede ist ein Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche, wie der Radius einer Kugel, und ist die Hälfte der Länge von einem Ende zum anderen (der Achse). |
| \(\pi\) | Pi | Die Kreiszahl Pi: der Umfang eines Kreises geteilt durch seinen Durchmesser. Sie beträgt \(3{,}14159265\ldots\), mit Nachkommastellen, die nie aufhören und sich nie wiederholen (sie ist eine irrationale Zahl). Das „3,14“ aus der Grundschule ist ein Näherungswert. |
| \(\approx\) | ungefähr gleich | Das Zeichen dafür, dass beide Seiten fast gleich sind. Die Formel von Thomsen ist eine Näherungsformel: Man verbindet ihre beiden Seiten daher mit diesem Zeichen statt mit dem Gleichheitszeichen (=). |
| \(x^{1{,}6}\) | x hoch 1,6 | Eine Potenz mit einem Dezimalbruch als Exponenten (die kleine Zahl oben rechts). \(x^{1{,}6} = x^{\frac{8}{5}}\), also die fünfte Wurzel aus \(x\), achtmal mit sich selbst multipliziert (Potenzen mit reellem Exponenten aus der Oberstufe). Von Hand ist das mühsam, mit einem wissenschaftlichen Taschenrechner, Excel oder Python aber leicht. |
| \(r\) | r | Der Radius der Kugel, der Anfangsbuchstabe von „Radius“. Eine Kugel ist ein Ellipsoid, dessen drei Halbachsen alle \(r\) sind. |
| \(\mathrm{cm^2}\) | Quadratzentimeter | Eine Einheit für den Flächeninhalt. Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge hat einen Flächeninhalt von 1 cm². Nicht zu verwechseln mit cm³ (Kubikzentimeter), der Einheit für das Volumen. |
| \(\mathrm{m^2}\) | Quadratmeter | Eine Einheit für den Flächeninhalt. Ein Quadrat mit 1 m (= 100 cm) Seitenlänge hat einen Flächeninhalt von 1 m², und \(1\,\mathrm{m^2} = 10.000\,\mathrm{cm^2}\). |
Begriffe
| Ellipsoid | Ein glatter, eiförmiger Körper, die 3D-Version der Ellipse. Egal, mit welcher Ebene man ihn schneidet, der Schnitt ist eine Ellipse (oder ein Kreis). Ein Rugbyball oder eine Wassermelone haben ungefähr diese Form. |
| Halbachse | Ein Abstand vom Mittelpunkt des Ellipsoids zu seiner Oberfläche, gemessen in einer der drei Symmetrierichtungen (die senkrecht aufeinander stehen). Diese drei Längen legen Größe und Form des Ellipsoids fest. Jede ist die Hälfte der Länge von einem Ende zum anderen (der Achse). |
| Oberfläche | Der Flächeninhalt der gesamten Außenfläche eines Körpers. Er entspricht der Größe der „Haut“ des Körpers, wenn man sie aufschneiden und flach ausbreiten könnte, und wird in einer Flächeneinheit wie cm² oder m² angegeben. |
| Näherungsformel | Eine Formel, die mit einer einfachen Rechnung einen Wert liefert, der dem exakten Wert nahe genug kommt. Für Größen, die sich exakt schwer berechnen lassen, wie die Oberfläche eines Ellipsoids, verwendet man in der Praxis oft Näherungsformeln. |
| Formel von Thomsen | Eine Näherungsformel für die Oberfläche eines Ellipsoids, die der Däne Knud Thomsen 2004 vorgeschlagen hat. Mit dem Exponenten 1,6 bleibt der Fehler bei allen Formen unter etwa 1,06 %; sie ist die Standardformel von Rechnern und Praxis weltweit. |
| elliptisches Integral | Ein Integral auf Hochschulniveau, das auftritt, wenn man die Oberfläche eines Ellipsoids oder den Umfang einer Ellipse exakt berechnet. Das Ergebnis lässt sich nicht mit gewöhnlichen Ausdrücken (Grundrechenarten, Potenzen und Wurzeln) schreiben: In der Praxis verwendet man Näherungsformeln oder numerische Rechnung. |
| Kugel | Ein besonderes Ellipsoid, dessen drei Halbachsen gleich sind. Aus jeder Richtung gesehen sieht sie wie ein gleich großer Kreis aus, und ihre Oberfläche ist \(S = 4\pi r^2\). |
| Rotationsellipsoid | Der Körper, der entsteht, wenn man eine Ellipse um eine ihrer Achsen dreht, also ein Ellipsoid, bei dem zwei der drei Halbachsen gleich sind. Ein Rugbyball (länglich) oder eine Mandarine (abgeplattet) sind Beispiele, und auch die Erde ist ein leicht abgeplattetes Rotationsellipsoid. |
Was Sie vorab wissen sollten
Das hilft Ihnen, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen, statt nur die Schaltfläche zu drücken.
| Das Multiplizieren und Potenzen (zum Quadrat) – Klasse 2–8 (7–14 Jahre) |
|
| Der Flächeninhalt und seine Einheiten – Klasse 4–6 (9–12 Jahre) |
|
| Die Kreiszahl π – Klasse 7 (12–13 Jahre) |
|
| Die Oberfläche der Kugel – Klasse 10 (15–16 Jahre) |
|
| Potenzen mit reellem Exponenten – Klasse 11 (16–17 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Oberfläche eines Ellipsoids (Formel von Thomsen)
| Halbachse a (cm) | 10 |
| Halbachse b (cm) | 5 |
| Halbachse c (cm) | 8 |
| Oberfläche des Ellipsoids (cm²) | =4*PI()*(((B1*B2)^1,6+(B1*B3)^1,6+(B2*B3)^1,6)/3)^(1/1,6) |
Tabelle zur Berechnung der Oberfläche einer Kugel
| Radius (cm) | 3 |
| Oberfläche der Kugel (cm²) | =4*PI()*B1^2 |
Tabelle zur Umrechnung von cm² in m²
| Oberfläche in cm² | 25000 |
| Oberfläche in m² | =B1/10000 |
Nach dem Einfügen enthält Spalte A die Bezeichnungen und Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind Ihre Eingaben, und die Formel in der letzten Zeile rechnet daraus automatisch.
In einer Formel bedeuten „B1“ und „B2“ „die Zahl in dieser Zelle verwenden“. „*“ ist die Multiplikation, „/“ die Division, „^“ die Potenz (wie oft multipliziert wird; auch ein Dezimalexponent wie 1,6 ist möglich) und „PI()“ eine Funktion, die die Kreiszahl π liefert.
In der ersten Tabelle zeigt B4 zum Beispiel etwa 730,87 (in cm², weil Sie cm eingegeben haben). Die zweite Tabelle zeigt in B2 etwa 113,10 und die dritte in B2 den Wert 2,5. Ersetzen Sie einfach die eingegebenen Zahlen durch Ihre eigenen Längen.
In einer Formel bedeuten „B1“ und „B2“ „die Zahl in dieser Zelle verwenden“. „*“ ist die Multiplikation, „/“ die Division, „^“ die Potenz (wie oft multipliziert wird; auch ein Dezimalexponent wie 1,6 ist möglich) und „PI()“ eine Funktion, die die Kreiszahl π liefert.
In der ersten Tabelle zeigt B4 zum Beispiel etwa 730,87 (in cm², weil Sie cm eingegeben haben). Die zweite Tabelle zeigt in B2 etwa 113,10 und die dritte in B2 den Wert 2,5. Ersetzen Sie einfach die eingegebenen Zahlen durch Ihre eigenen Längen.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Oberfläche eines Ellipsoids (Formel von Thomsen)
| Halbachse a (cm) | 10 |
| Halbachse b (cm) | 5 |
| Halbachse c (cm) | 8 |
| Oberfläche des Ellipsoids (cm²) | =4*PI()*(((B1*B2)^1,6+(B1*B3)^1,6+(B2*B3)^1,6)/3)^(1/1,6) |
Tabelle zur Berechnung der Oberfläche einer Kugel
| Radius (cm) | 3 |
| Oberfläche der Kugel (cm²) | =4*PI()*B1^2 |
Tabelle zur Umrechnung von cm² in m²
| Oberfläche in cm² | 25000 |
| Oberfläche in m² | =B1/10000 |
Dieselben Formeln wie in Excel (einschließlich der Funktion PI() und der Potenzen mit Dezimalexponent) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die eingegebenen Zahlen durch Ihre eigenen Längen.
Mit Python berechnen
import math
a = 10 # Halbachse a (in diesem Beispiel in cm; Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche)
b = 5 # Halbachse b (dieselbe Einheit wie a)
c = 8 # Halbachse c (dieselbe Einheit wie a und b)
# Näherungsformel von Thomsen (Exponent p = 1.6). „**“ ist die Potenz
p = 1.6
mean = ((a * b) ** p + (a * c) ** p + (b * c) ** p) / 3
surface_area = 4 * math.pi * mean ** (1 / p) # Oberfläche des Ellipsoids (Eingabeeinheit hoch 2; hier in cm2)
surface_area_m2 = surface_area / 10000 # bei Eingabe in cm: die Fläche in m2
print(f"Oberfläche des Ellipsoids: {surface_area} cm2")
print(f"In m2: {surface_area_m2} m2")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „math.pi“ ist die Kreiszahl π, „**“ die Potenz (ein Dezimalexponent wird im Code unverändert berechnet), „*“ die Multiplikation und „/“ die Division. Ändern Sie am Anfang die drei Halbachsen und führen Sie den Code aus. Mit drei gleichen Werten erhalten Sie dasselbe Ergebnis wie für die Oberfläche einer Kugel (4πr²). Die Umrechnung in m² setzt Eingabe in cm voraus.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Oberfläche des Ellipsoids (Formel von Thomsen)
S \approx 4\pi \left( \dfrac{(ab)^{1{,}6} + (ac)^{1{,}6} + (bc)^{1{,}6}}{3} \right)^{\frac{1}{1{,}6}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>≈</mo>
<mn>4</mn>
<mi>π</mi>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mn>1,6</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow><mn>1,6</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow><mn>1,6</mn></msup>
</mrow>
<mn>3</mn>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>1,6</mn></mrow>
</msup>
</mrow>
</math>
S ~~ 4 pi (((a b)^1,6 + (a c)^1,6 + (b c)^1,6)/3)^(1/1,6)
4 Pi (((a b)^1.6 + (a c)^1.6 + (b c)^1.6)/3)^(1/1.6)
S := 4*Pi*(((a*b)^1.6 + (a*c)^1.6 + (b*c)^1.6)/3)^(1/1.6);
S = 4*pi*(((a*b)^1.6 + (a*c)^1.6 + (b*c)^1.6)/3)^(1/1.6);
S ≈ 4π(((ab)^1,6 + (ac)^1,6 + (bc)^1,6)/3)^(1/1,6)
Oberfläche der Kugel (ein Sonderfall des Ellipsoids)
S = 4πr²
S = 4\pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = 4 pi r^2
4 Pi r^2
S := 4*Pi*r^2;
S = 4*pi*r^2;
S = 4πr^2
Umrechnung des Flächeninhalts (cm² → m²)
S[m²] = S[cm²] ÷ 10000
S_{\mathrm{m^2}} = S_{\mathrm{cm^2}} \div 10000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>S</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>10000</mn>
</mrow>
</math>
S_(m^2) = S_(cm^2) -: 10000
oCm2/10000
oM2 := oCm2/10000;
o_m2 = o_cm2/10000;
S(m²) = S(cm²)/10000
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für mathematische Berechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht im Kopf oder nach Gefühl). Ein Ellipsoid hat die Halbachsen a = 10 cm, b = 5 cm und c = 8 cm (eine Halbachse ist der Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche). Berechnen Sie: 1. die Oberfläche dieses Ellipsoids in cm² mit der Näherungsformel von Thomsen S = 4 × π × (((a×b)^p + (a×c)^p + (b×c)^p) / 3)^(1/p) mit dem Exponenten p = 1,6 2. diese Fläche umgerechnet in Quadratmeter (m²) Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
Die Vorteile von DataChef
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Keine vorherige Genehmigung erforderlich
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Verwandte Funktionen
Ellipsoid Volumen berechnen (V = 4/3 πabc)
Berechnet, wie viel in dasselbe Ellipsoid hineinpasst (sein Volumen), aus den drei Halbachsen, hier mit einer exakten Formel
Flächeninhalt einer Ellipse berechnen (π × große Halbachse × kleine Halbachse)
Berechnet den Flächeninhalt der Ellipse, die beim Durchschneiden eines Ellipsoids entsteht
Ad 
