Geben Sie a und b für den Term ax + b zwischen den Betragsstrichen, die Zahl c auf der rechten Seite und die Art des Vergleichs (=, <, ≤, >, ≥) ein. Der Ausdruck darunter ist mit den Eingabefeldern verknüpft; Sie können die Zahlen auch direkt darin ändern.
Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 sind möglich. Ein leeres Feld a zählt als 1 (x bedeutet 1x), leere Felder b und c zählen als 0.
Ergebnis und Graph
Geben Sie links a, b, die Zahl c auf der rechten Seite und die Art des Vergleichs ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Hier erscheinen dann der Rechenweg auf zwei Arten und eine Zahlengerade.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Zahlengeraden
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Sie lösen Betragsgleichungen und -ungleichungen \(|ax+b| = c\), \(< c\), \(\le c\), \(> c\) und \(\ge c\), indem Sie nur die Zahlen eingeben und den Vergleich wählen. Die Lösungen erscheinen als gekürzte Brüche (exakte Werte)
- Der Rechenweg erscheint auf beide üblichen Arten: 1) mit der Grundregel (etwa „aus \(|X| = c\) folgt \(X = \pm c\)“) und 2) mit Fallunterscheidung (\(ax+b \ge 0\) und \(< 0\)). Bei der Fallunterscheidung wird jede Lösung Zeile für Zeile mit der Fallbedingung abgeglichen
- Auch knifflige Fälle wie \(c = 0\) und \(c < 0\) (nur ein Punkt, alle reellen Zahlen außer einem Punkt, keine Lösung, alle reellen Zahlen) werden richtig erkannt – mit der Begründung „ein Betrag ist nie negativ“
- Die Lösungsmenge einer Ungleichung wird auf der Zahlengeraden gezeichnet: ein ausgefüllter Kreis, wenn die Grenze dazugehört, ein leerer Kreis, wenn nicht
- Möglich sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4. Außerdem finden Sie hier eine leicht verständliche Erklärung und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Auf der rechten Seite ist nur eine Zahl \(c\) möglich. Gleichungen mit \(x\) auf der rechten Seite wie \(|x-1| < 2x\) und Terme mit zwei oder mehr Beträgen wie \(|x-1| + |x-2|\) werden nicht unterstützt. Von Hand lassen sie sich aber mit der Fallunterscheidung lösen, die unten unter „Formeln und Zahlengeraden“ erklärt ist.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Den zulässigen Bereich eines Bauteils festlegen (Toleranzen in der Fertigung)
Maße von Industrieteilen werden als „Nennmaß ± Toleranz“ angegeben. Bei einem Teil mit 50 mm Länge und einer Toleranz von ±0,5 mm ist die Bedingung für ein Gutteil genau die Betragsungleichung \(|x - 50| \le 0{,}5\); ihre Lösung \(49{,}5 \le x \le 50{,}5\) ist der zulässige Bereich.
Die Angabe „\(50 \pm 0{,}5\)“ auf einer technischen Zeichnung ist nichts anderes als eine Kurzform dieser Ungleichung.
Der zulässige Bereich der Netzspannung (Stromversorgung)
In Deutschland beträgt die Nennspannung im Haushalt 230 V. Nach DIN EN 60038 und EN 50160 darf die Spannung um bis zu ±10 % davon abweichen, also zwischen 207 V und 253 V liegen. Das ist der Bereich \(|U - 230| \le 23\), also \(207 \le U \le 253\).
Regeln der Art „der Abstand zu einem Sollwert darf eine Grenze nicht überschreiten“ gibt es in vielen Bereichen, etwa beim Wasserdruck oder bei der Füllmenge von Fertigpackungen, und jede lässt sich als Betragsungleichung schreiben.
Schwellenwerte in Programmen (Toleranzen und Kollisionsabfrage)
Beim Programmieren schreibt man eine Abfrage „gilt als gleich, wenn die Differenz zum Zielwert klein genug ist“ etwa als if abs(x - target) <= eps. So vergleicht man Dezimalzahlen trotz Rundungsfehlern oder entscheidet in einem Spiel, dass eine Figur ihr Ziel „fast erreicht“ hat.
Diese eine Zeile ist die Betragsungleichung \(|x - t| \le \varepsilon\) als Code, und ihr Lösungsbereich ist genau der Bereich, in dem die Abfrage zutrifft.
Die Größe eines Messfehlers beurteilen (Naturwissenschaft und Prüfung)
Die Abweichung eines Messwerts vom wahren Wert (der Messfehler) kann nach oben oder nach unten gehen. Geht es darum, ob die Abweichung klein genug ist, betrachtet man ohne Vorzeichen \(|\text{Messwert} - \text{Sollwert}|\).
Ein Fieberthermometer mit einer Genauigkeit von „±0,1 °C“ garantiert zum Beispiel ungefähr \(|\text{Anzeige} - \text{wahrer Wert}| \le 0{,}1\). Wer diesen Bereich im Kopf hat, liest Messergebnisse anders.
Formeln und Zahlengeraden
Grundregel für Betragsgleichungen (für \(c > 0\))
Auf der Zahlengeraden
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(X\)
\(=\)
\(c\)
\(,\ \ \)
\(-c\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(X\): Term im Betrag
\(=\)
①
\(c\): auf der positiven Seite
\(,\ \ \)
②
\(-c\): auf der negativen Seite
Die Formel in Worten
①
Der Betrag \(|X|\) ist der Abstand zu 0 auf der Zahlengeraden. Genau den Abstand \(c\) zu 0 haben nur
\(c\): auf der positiven Seite
und
②
\(-c\): auf der negativen Seite
③
Also ist
\(X\): Term im Betrag
gleich einer dieser beiden Zahlen
Einfaches Beispiel
Die Lösungen von \(|x| = 3\) sind die Zahlen mit dem Abstand 3 zu 0, also
Term \(x\)
\(=\)
\(3\)
\(,\ \ \)
\(-3\)
\(x = 3,\ \ x = -3\)
Der Grundgedanke
Bei einer Gleichung der Form \(|X| = c\) betrachtet man den Term \(X\) im Betrag als Ganzes und löst die Betragsstriche zu \(X = \pm c\) auf. Aus \(|2x - 3| = 5\) werden zum Beispiel die zwei linearen Gleichungen \(2x - 3 = 5\) und \(2x - 3 = -5\).
Diese Grundregel gilt nur, wenn die rechte Seite \(c\) positiv ist. Bei \(c = 0\) ist nur „der eine Punkt, an dem der Term 0 wird“ eine Lösung; ist \(c\) negativ, gibt es keine Lösung, weil ein Betrag nie negativ ist (der Rechner erkennt diese Fälle automatisch und begründet sie).
Grundregel für Betragsungleichungen (\(<\) und \(\le\): der Bereich dazwischen)
Auf der Zahlengeraden
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(-c\)
\(<\)
\(X\)
\(<\)
\(c\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(-c\): untere Grenze
\(<\)
③
\(X\): Term im Betrag
\(<\)
②
\(c\): obere Grenze
Die Formel in Worten
①
Zahlen mit \(|X| < c\) (Abstand zu 0 kleiner als \(c\)) liegen rechts von
\(-c\): untere Grenze
②
und links von
\(c\): obere Grenze
③
Also liegt
\(X\): Term im Betrag
im Bereich zwischen den beiden Grenzen
Einfaches Beispiel
Die Lösung von \(|x| \le 2\) sind alle Zahlen mit höchstens dem Abstand 2 zu 0, also
\(-2\)
\(\le\)
Term \(x\)
\(\le\)
\(2\)
\(-2 \le x \le 2\)
Der Grundgedanke
Mit Gleichheitszeichen, also bei \(|X| \le c\), gehören die Grenzen selbst zur Lösung: \(-c \le X \le c\). Auf der Zahlengeraden zeichnet man eine Grenze, die dazugehört, als ausgefüllten Kreis, eine Grenze, die nicht dazugehört, als leeren Kreis. (In Intervallschreibweise: \([-c ; c]\) bzw. \(]-c ; c[\).)
\(-c < X < c\) ist die Kurzform von „\(-c < X\) und \(X < c\)“. Weil es „und“ heißt, ist nur die Schnittmenge der beiden Bedingungen die Lösung.
Grundregel für Betragsungleichungen (\(>\) und \(\ge\): die Bereiche außerhalb)
Auf der Zahlengeraden
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(X\)
\(<\)
\(-c\)
\(\ \text{oder}\ \)
\(c\)
\(<\)
\(X\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(X\): Term im Betrag
\(<\)
①
\(-c\): untere Grenze
\(\ \text{oder}\ \)
②
\(c\): obere Grenze
\(<\)
\(X\): Term im Betrag
Die Formel in Worten
①
Zahlen mit \(|X| > c\) (Abstand zu 0 größer als \(c\)) liegen entweder weiter links als
\(-c\): untere Grenze
②
oder weiter rechts als
\(c\): obere Grenze
③
Also liegt
\(X\): Term im Betrag
in einem der beiden Bereiche außerhalb der Grenzen
Einfaches Beispiel
Die Lösung von \(|x| > 1\) sind alle Zahlen mit einem Abstand größer als 1 zu 0, also
Term \(x\)
\(<\)
\(-1\)
\(\ \text{oder}\ \)
\(1\)
\(<\)
Term \(x\)
\(x < -1 \ \text{oder}\ 1 < x\)
Der Grundgedanke
Eine bewährte Merkregel: „Kleiner heißt dazwischen, größer heißt außerhalb.“ Dieselbe Idee „dazwischen oder außerhalb“ begegnet Ihnen auch bei quadratischen Ungleichungen (wo die Parabel oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt).
In \(x < -1\) oder \(1 < x\) kommt es auf das „oder“ an. Kein \(x\) kann in beiden Bereichen zugleich liegen, verwechseln Sie es also nicht mit „und“. (Viele Schulbücher schreiben \(x < -1\) oder \(x > 1\); das bedeutet dasselbe.)
Betragsstriche mit Fallunterscheidung auflösen (funktioniert immer)
Am Graphen
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\lvert X \rvert\)
\(=\)
\(X\)
\(\quad (X \ge 0)\)
\(\lvert X \rvert\)
\(=\)
\(-X\)
\(\quad (X < 0)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(|X|\): Betrag
\(=\)
①
\(X\): unverändert
\(\quad (X \ge 0)\)
\(|X|\): Betrag
\(=\)
②
\(-X\): mit umgekehrtem Vorzeichen
\(\quad (X < 0)\)
Die Formel in Worten
①
Ist der Term im Betrag 0 oder positiv (\(X \ge 0\)), bleibt nach dem Weglassen der Betragsstriche
\(X\): unverändert
②
Ist der Term negativ (\(X < 0\)), bleibt
\(-X\): mit umgekehrtem Vorzeichen
③
Also lässt sich
\(|X|\): Betrag
mit einer Fallunterscheidung nach dem Vorzeichen des Terms immer auflösen
Einfaches Beispiel
Ein Beispiel mit negativem Term: Bei \(X = -5\) kehrt man beim Weglassen der Betragsstriche das Vorzeichen um
\(\lvert -5 \rvert\)
\(=\)
mit umgekehrtem Vorzeichen \(-(-5)\)
\(\lvert -5 \rvert = -(-5) = 5\)
Der Grundgedanke
Verwirrend ist oft: „Man setzt ein Minus davor, und das Ergebnis ist positiv.“ Ist \(X\) selbst negativ, dann ist \(-X\) positiv (bei \(X = -5\) ist \(-X = 5\)).
Nach der Fallunterscheidung prüfen Sie immer, ob die Lösung jedes Falls zu seiner Fallbedingung passt (\(X \ge 0\) bzw. \(X < 0\), umgeschrieben als Bedingung für \(x\)). Passt eine Lösung nicht, entfällt sie; die Lösungen aller Fälle zusammen ergeben das Endergebnis.
Die Fallunterscheidung funktioniert auch bei schwierigeren Termen, bei denen die Grundregel versagt (etwa mit \(x\) auf der rechten Seite oder mit zwei Beträgen). Im Ergebnisbereich zeigt der Rechner diesen Weg mit der Probe als Weg 2.
Ist die rechte Seite \(c\) positiv, lassen sich Betragsgleichungen und -ungleichungen mit der Grundregel in lineare umwandeln: \(=\) ergibt \(X = \pm c\), \(<\) den Bereich dazwischen \(-c < X < c\) und \(>\) die Bereiche außerhalb \(X < -c\) oder \(c < X\). Auch wenn die Grundregel nicht greift, lassen sich die Betragsstriche mit einer Fallunterscheidung nach dem Vorzeichen des Terms immer auflösen. Danach die Probe mit der Fallbedingung nicht vergessen und nur die Schnittmenge behalten.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(|x|\) | Betrag von x | Das Betragszeichen. Eine Zahl zwischen zwei senkrechten Strichen (Betragsstrichen) bedeutet ihren Abstand zu 0 auf der Zahlengeraden. Ein Abstand ist nie negativ, also \(|5| = 5\) und \(|-5| = 5\). |
| \(X\) | großes X | Auf dieser Seite ein Buchstabe für den ganzen linearen Term \(ax+b\) im Betrag. Wer den Term als einen einzigen Buchstaben betrachtet, kann die Grundregel direkt anwenden. |
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | Buchstaben, die oft für feste Zahlen (Konstanten) stehen. Üblicherweise nimmt man dafür Buchstaben vom Anfang des Alphabets. Auf dieser Seite sind \(a\) und \(b\) Koeffizient und Zahl im Term \(ax+b\), \(c\) ist die Zahl auf der rechten Seite. |
| \(x\) | x | Die gesuchte Unbekannte. Für Unbekannte nimmt man üblicherweise Buchstaben vom Ende des Alphabets, \(x,\ y,\ z\) – eine Gewohnheit, die auf den Mathematiker Descartes zurückgehen soll. |
| \(\pm\) | plus minus | Fasst „den Fall mit \(+\) und den Fall mit \(-\)“ zusammen. \(X = \pm 5\) ist die Kurzform für \(X = 5\) und \(X = -5\). |
| \(<,\ >\) | kleiner als, größer als | Ungleichheitszeichen für den Größenvergleich. Die offene Seite zeigt zur größeren Zahl. Die Grenze selbst gehört nicht dazu (auf der Zahlengeraden ein leerer Kreis). |
| \(\ge,\ \le\) | größer oder gleich, kleiner oder gleich | Ungleichheitszeichen, bei denen die Grenze selbst dazugehört (auf der Zahlengeraden ein ausgefüllter Kreis). In Japan schreibt man sie mit doppeltem Strich (≧, ≦); die Bedeutung ist dieselbe. |
| \(\neq\) | ungleich | Zeichen für „ist nicht gleich“. \(x \neq 2\) bedeutet „alle reellen Zahlen außer 2“ und kommt in der Lösung von \(|X| > 0\) vor. |
Begriffe
| Betrag | Der Abstand einer Zahl zu 0 auf der Zahlengeraden, auch Absolutbetrag genannt. Ein Abstand ist nie negativ. Eine positive Zahl bleibt gleich (\(|5| = 5\)), eine negative verliert ihr Vorzeichen (\(|-5| = 5\)). Die Bedeutung lernt man in Klasse 6 oder 7 (11–13 Jahre), Betragsgleichungen und -ungleichungen meist in Klasse 8 bis 10 (13–16 Jahre) oder in der Einführungsphase der Oberstufe. |
| Gleichung | Eine Aussage mit Gleichheitszeichen, die eine Unbekannte enthält. Ein Wert der Unbekannten, für den sie stimmt, heißt Lösung; alle Lösungen zu finden heißt „die Gleichung lösen“. Die Lösungen fasst man zur Lösungsmenge \(L\) zusammen. |
| Ungleichung | Eine Aussage, die Zahlen oder Terme mit einem Ungleichheitszeichen (\(<\), \(\le\), \(>\), \(\ge\)) vergleicht. Ihre Lösung ist meist ein ganzer Bereich statt einer einzelnen Zahl und lässt sich gut auf der Zahlengeraden zeigen. |
| linearer Term | Ein Term, in dem \(x\) höchstens in der ersten Potenz vorkommt, etwa \(2x - 3\). Auf dieser Seite steht im Betrag immer ein linearer Term. |
| Fallunterscheidung | Hat ein Term je nach Situation eine andere Form, teilt man die Aufgabe in Fälle auf und löst jeden Fall für sich. Der Betrag ist das klassische Beispiel, weil das Auflösen der Betragsstriche vom Vorzeichen des Terms abhängt. |
| Fallbedingung | Die Bedingung, die einen Fall festlegt, etwa \(2x - 3 \ge 0\). Bei der Fallunterscheidung prüft man immer, ob die Lösung eines Falls seine Fallbedingung erfüllt (bei einem Bereich: ob es eine Schnittmenge gibt). Lösungen, die sie nicht erfüllen, entfallen. |
| Schnittmenge | Der Teil, der zu beiden Bereichen gehört (der „und“-Bereich). Üblich ist, die Bereiche auf Zahlengeraden untereinander zu zeichnen und abzulesen, wo sie sich überlappen. |
| Zahlengerade | Eine Darstellung, die Zahlen als Punkte auf einer Geraden anordnet. Nach rechts werden die Zahlen größer. Mit ihr sieht man Beträge (Abstände zu 0) und die Lösungsbereiche von Ungleichungen. |
| Umstellen | Ein Glied einer Gleichung oder Ungleichung mit umgekehrtem Vorzeichen auf die andere Seite bringen (eigentlich: auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren). Bringt man in \(2x - 3 = 5\) die \(-3\) nach rechts, erhält man \(2x = 5 + 3\). |
| reelle Zahl | Jede Zahl, die auf der Zahlengeraden liegt: ganze Zahlen, Brüche und Dezimalzahlen, aber auch Zahlen wie \(\sqrt{2}\) und \(\pi\). Die Menge aller reellen Zahlen heißt \(\mathbb{R}\). |
| keine Lösung | Es gibt kein einziges \(x\), das die Bedingung erfüllt; die Lösungsmenge ist leer, \(L = \{\,\}\). Zum Beispiel hat \(|x| = -2\) keine Lösung, weil ein Betrag nie negativ ist. |
| alle reellen Zahlen | Die Aussage gilt für jeden Wert von \(x\), also \(L = \mathbb{R}\). Zum Beispiel gilt \(|x| \ge -1\) immer, weil ein Betrag nie negativ ist. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit Verständnis nutzen, ist hier zusammengestellt, was Sie vorher wissen sollten.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist ein Blick zurück auf diese Themen der schnellste Weg.
| Negative Zahlen und die Zahlengerade (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Was der Betrag bedeutet (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Lineare Gleichungen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre) |
|
| Lineare Ungleichungen (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Bruchrechnung (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle zum Lösen von |ax+b| = c
| Koeffizient a von x | 2 |
| Zahl b | -3 |
| Rechte Seite c | 5 |
| Lösung 1 (x, bei dem der Term c ist) | =(B3-B2)/B1 |
| Lösung 2 (x, bei dem der Term −c ist) | =(-B3-B2)/B1 |
Tabelle für den Lösungsbereich von |ax+b| ≤ c
| Koeffizient a von x | 2 |
| Zahl b | -3 |
| Rechte Seite c | 5 |
| Linke Grenze | =MIN((B3-B2)/B1;(-B3-B2)/B1) |
| Rechte Grenze | =MAX((B3-B2)/B1;(-B3-B2)/B1) |
Tabelle für die Probe (Lösung einsetzen)
| Koeffizient a von x | 2 |
| Zahl b | -3 |
| Zu prüfendes x | 4 |
| Wert von |ax+b| | =ABS(B1*B3+B2) |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (Koeffizient, Zahl und rechte Seite) Ihre Eingaben, die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
Die erste Tabelle ist für |2x − 3| = 5 und liefert Lösung 1 = 4 und Lösung 2 = −1. Geben Sie für c 0 oder eine negative Zahl ein, erscheinen zwar Zahlen, die richtige Antwort ist aber „bei c = 0 nur ein Punkt, bei negativem c keine Lösung“ – Vorsicht (der Rechner auf dieser Seite erkennt das automatisch).
Die zweite Tabelle bestimmt den Lösungsbereich von |2x − 3| ≤ 5, also −1 ≤ x ≤ 4. MIN liefert die linke, MAX die rechte Grenze. Bei > und ≥ sind die beiden Bereiche außerhalb dieser Werte die Lösung.
Die dritte Tabelle dient der Probe. Setzen Sie die Lösung x = 4 ein, ergibt ABS (die Funktion für den Betrag) wieder die rechte Seite 5.
Die erste Tabelle ist für |2x − 3| = 5 und liefert Lösung 1 = 4 und Lösung 2 = −1. Geben Sie für c 0 oder eine negative Zahl ein, erscheinen zwar Zahlen, die richtige Antwort ist aber „bei c = 0 nur ein Punkt, bei negativem c keine Lösung“ – Vorsicht (der Rechner auf dieser Seite erkennt das automatisch).
Die zweite Tabelle bestimmt den Lösungsbereich von |2x − 3| ≤ 5, also −1 ≤ x ≤ 4. MIN liefert die linke, MAX die rechte Grenze. Bei > und ≥ sind die beiden Bereiche außerhalb dieser Werte die Lösung.
Die dritte Tabelle dient der Probe. Setzen Sie die Lösung x = 4 ein, ergibt ABS (die Funktion für den Betrag) wieder die rechte Seite 5.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle zum Lösen von |ax+b| = c
| Koeffizient a von x | 2 |
| Zahl b | -3 |
| Rechte Seite c | 5 |
| Lösung 1 (x, bei dem der Term c ist) | =(B3-B2)/B1 |
| Lösung 2 (x, bei dem der Term −c ist) | =(-B3-B2)/B1 |
Tabelle für den Lösungsbereich von |ax+b| ≤ c
| Koeffizient a von x | 2 |
| Zahl b | -3 |
| Rechte Seite c | 5 |
| Linke Grenze | =MIN((B3-B2)/B1;(-B3-B2)/B1) |
| Rechte Grenze | =MAX((B3-B2)/B1;(-B3-B2)/B1) |
Tabelle für die Probe (Lösung einsetzen)
| Koeffizient a von x | 2 |
| Zahl b | -3 |
| Zu prüfendes x | 4 |
| Wert von |ax+b| | =ABS(B1*B3+B2) |
Die Formeln aus Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen durch Ihre eigenen.
So berechnen Sie es in Python
from fractions import Fraction
# |a*x + b| ? c lösen (ein Bruch wie 3/4 wird als Fraction(3, 4) geschrieben)
a = Fraction(2) # Koeffizient von x
b = Fraction(-3) # Zahl im Betrag
c = Fraction(5) # Zahl auf der rechten Seite
sign = "<=" # eines von "=", "<", "<=", ">", ">="
lower = (-c - b) / a # x, bei dem der Term -c ist
upper = (c - b) / a # x, bei dem der Term c ist
left, right = min(lower, upper), max(lower, upper)
if c > 0:
if sign == "=":
print(f"Lösung: x = {left}, {right}")
elif sign in ("<", "<="):
print(f"Lösung: {left} {sign} x {sign} {right}")
else:
flipped = "<" if sign == ">" else "<="
print(f"Lösung: x {flipped} {left} oder {right} {flipped} x")
elif c == 0:
boundary = -b / a # x, bei dem der Term 0 ist
if sign in ("=", "<="):
print(f"Lösung: x = {boundary}")
elif sign == "<":
print("Keine Lösung")
elif sign == ">":
print(f"Lösung: x ≠ {boundary}")
else:
print("Alle reellen Zahlen")
else:
# Ein Betrag ist nie negativ, der Vergleich mit negativem c steht also von selbst fest
if sign in (">", ">="):
print("Alle reellen Zahlen")
else:
print("Keine Lösung")
Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen, ganz ohne Rundungsfehler. Das Beispiel löst |2x − 3| ≤ 5 und gibt „Lösung: -1 <= x <= 4“ aus. Ändern Sie die Zahlen und den Vergleich (sign) und führen Sie das Programm erneut aus.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Grundregel für Betragsgleichungen (für \(c > 0\))
|X| = c ⇔ X = ±c (c > 0)
\lvert X \rvert = c \iff X = \pm c \quad (c > 0)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>|</mo><mi>X</mi><mo>|</mo>
<mo>=</mo><mi>c</mi>
<mo>⇔</mo>
<mi>X</mi><mo>=</mo><mo>±</mo><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
abs(X) = c iff X = +-c
Solve[Abs[x] == c, x, Reals]
solve(abs(x) = c, x);
solve(abs(x) == c, x)
|X| = c ⇔ X = ±c (c > 0)
Grundregel für Betragsungleichungen (\(<\) und \(\le\): der Bereich dazwischen)
|X| < c ⇔ −c < X < c
\lvert X \rvert < c \iff -c < X < c
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>|</mo><mi>X</mi><mo>|</mo>
<mo><</mo><mi>c</mi>
<mo>⇔</mo>
<mo>−</mo><mi>c</mi><mo><</mo><mi>X</mi><mo><</mo><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
abs(X) < c iff -c < X < c
Reduce[Abs[x] < c, x, Reals]
solve(abs(x) < c, x);
solve(abs(x) < c, x, 'ReturnConditions', true)
|X| < c ⇔ −c < X < c
Grundregel für Betragsungleichungen (\(>\) und \(\ge\): die Bereiche außerhalb)
|X| > c ⇔ X < −c oder c < X
\lvert X \rvert > c \iff X < -c \ \text{oder}\ c < X
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>|</mo><mi>X</mi><mo>|</mo>
<mo>></mo><mi>c</mi>
<mo>⇔</mo>
<mi>X</mi><mo><</mo><mo>−</mo><mi>c</mi>
<mtext> oder </mtext>
<mi>c</mi><mo><</mo><mi>X</mi>
</mrow>
</math>
abs(X) > c iff X < -c or c < X
Reduce[Abs[x] > c, x, Reals]
solve(abs(x) > c, x);
solve(abs(x) > c, x, 'ReturnConditions', true)
|X| > c ⇔ X < −c oder c < X
Betragsstriche mit Fallunterscheidung auflösen (funktioniert immer)
|X| = X (X ≥ 0), |X| = −X (X < 0)
\lvert X \rvert = \begin{cases} X & (X \ge 0) \\ -X & (X < 0) \end{cases}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>|</mo><mi>X</mi><mo>|</mo><mo>=</mo>
<mrow>
<mo>{</mo>
<mtable columnalign="left left">
<mtr>
<mtd><mi>X</mi></mtd>
<mtd><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd><mo>−</mo><mi>X</mi></mtd>
<mtd><mo>(</mo><mi>X</mi><mo><</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mrow>
</math>
abs(X) = {(X, (X >= 0)), (-X, (X < 0)):}
Abs[x] == Piecewise[{{x, x >= 0}, {-x, x < 0}}]
abs(x) = piecewise(x >= 0, x, x < 0, -x);
piecewise(x >= 0, x, x < 0, -x)
|X| = X (X ≥ 0), |X| = −X (X < 0)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Lösen Sie die Betragsungleichung |2x − 3| ≤ 5. Zeigen Sie jeweils: 1. Die mit der Grundregel umgeschriebene Ungleichung (in der Form −c ≤ 2x−3 ≤ c) 2. Den Lösungsbereich (Grenzen als gekürzte Brüche oder ganze Zahlen) 3. Lösen Sie die Ungleichung auch mit Fallunterscheidung (2x−3 ≥ 0 und 2x−3 < 0), zeigen Sie die Lösung jedes Falls und ihre Schnittmenge mit der Fallbedingung und bestätigen Sie, dass sich dasselbe Ergebnis wie in 1 ergibt Rechnen Sie in Python exakt mit solveset aus sympy (oder einem Gegenstück zu Reduce mit Abs) und mit fractions, und zeigen Sie den verwendeten Code und das Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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Verwandte Funktionen
Quadratische Ungleichung lösen – Lösungsmenge mit Rechenweg, Diskriminante und Parabel
Löst quadratische Ungleichungen wie ax²+bx+c>0 mit Fallunterscheidung nach der Diskriminante und Parabel
Lineare Gleichungen lösen – Rechner mit Rechenweg und Probe
Nach dem Auflösen der Betragsstriche bleibt eine lineare Gleichung. Löst ax+b=cx+d mit Rechenweg, Probe und Graph
Rechnen mit negativen Zahlen – Rechner für ganze Zahlen mit Vorzeichenregeln, Rechenweg und Zahlengerade
Vor dem Betrag das Rechnen mit negativen Zahlen wiederholen – Vorzeichenregeln mit Rechenweg und Zahlengerade
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