Geben Sie die Koeffizienten a und b des Terms im Betrag, ax + b, die Zahl c auf der rechten Seite und die Art des Vergleichs (=, <, ≤, >, ≥) ein. Der Ausdruck darunter ist mit den Eingabefeldern verknüpft, Sie können die Zahlen also auch direkt darin ändern.
Sie können Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 verwenden. Ein leeres a gilt als 1 (x bedeutet 1x), ein leeres b oder c als 0.
Ergebnis und Diagramm
Geben Sie links die Koeffizienten a und b, die Zahl c auf der rechten Seite und die Art des Vergleichs ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Hier erscheinen dann der Rechenweg auf zwei Wegen und eine Zahlengerade.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Zahlengeraden
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Lösen Sie Betragsgleichungen und Betragsungleichungen, \(|ax+b| = c\), \(< c\), \(\le c\), \(> c\) und \(\ge c\), indem Sie nur die Koeffizienten eingeben und den Vergleich wählen. Die Ergebnisse erscheinen als gekürzte Brüche (exakte Werte)
- Der Rechner zeigt den Rechenweg für beide üblichen Wege: (1) die Grundregel (etwa „aus \(|X| = c\) folgt \(X = \pm c\)“) und (2) die Fallunterscheidung (\(ax+b \ge 0\) und \(< 0\)), um den Betrag aufzulösen. Bei der Fallunterscheidung prüft er jedes Ergebnis Zeile für Zeile gegen die Fallbedingung
- Knifflige Fälle wie \(c = 0\) und \(c < 0\) (nur ein Punkt, alle reellen Zahlen außer einem Punkt, keine Lösung, alle reellen Zahlen) werden richtig behandelt, mit der Begründung „ein Betrag ist immer 0 oder größer“
- Die Lösung einer Ungleichung wird auf einer Zahlengerade gezeichnet, mit einem ausgefüllten Kreis, wenn der Randpunkt dazugehört, und einem offenen Kreis, wenn nicht
- Koeffizienten dürfen Dezimalzahlen, negative Zahlen oder Brüche wie 3/4 sein. Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Auf der rechten Seite darf nur eine Zahl \(c\) stehen. Formen mit \(x\) auf der rechten Seite wie \(|x-1| < 2x\) und Terme mit zwei oder mehr Beträgen wie \(|x-1| + |x-2|\) werden nicht unterstützt (von Hand lösen Sie sie weiterhin mit der Fallunterscheidung, wie unten unter „Formeln und Zahlengeraden“ erklärt).
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Den zulässigen Bereich eines Bauteils festlegen (Toleranzen in Fertigung und Qualitätssicherung)
Die Maße gefertigter Teile werden als „Sollwert ± Toleranz“ vorgegeben. Bei einem Teil mit 50 mm Länge und einer Toleranz von ±0,5 mm ist die Bedingung für „in Ordnung“ genau die Betragsungleichung \(|x - 50| \le 0{,}5\), und ihre Lösung, \(49{,}5 \le x \le 50{,}5\), ist der zulässige Bereich.
Die Angabe „\(50 \pm 0{,}5\)“ auf einer Zeichnung (die Toleranz) ist eine Kurzschreibweise dieser Ungleichung.
Der Sollbereich der Netzspannung im Haushalt (Energieversorgung)
In Deutschland beträgt die Netzspannung an der Steckdose 230 Volt, und nach der Norm DIN EN 50160 soll die Spannung, die bei den Haushalten ankommt, innerhalb von ±10 % um die Nennspannung bleiben, also zwischen 207 und 253 Volt (Norm-Vorgabe in Deutschland: 95 % der Zehnminutenmittelwerte einer Woche). Das ist der Bereich \(|V - 230| \le 23\), also \(207 \le V \le 253\).
Regeln, die „die Größe der Abweichung von einem Sollwert innerhalb einer Grenze halten“, gibt es in vielen Bereichen, etwa beim Wasserdruck oder bei der Füllmenge auf Lebensmittelverpackungen, und jede lässt sich als Betragsungleichung schreiben.
Schwellenwertprüfungen in Programmen (Toleranzen und Kollisionsabfrage)
In der Programmierung schreibt man eine Prüfung, die zwei Werte als gleich ansieht, wenn ihr Unterschied klein genug ist, etwa als if abs(x - target) <= eps. Das ist die übliche Art, Dezimalzahlen unter Berücksichtigung von Rundungsfehlern zu vergleichen oder in einem Spiel zu entscheiden, dass eine Figur ihr Ziel „fast erreicht“ hat.
Diese eine Zeile ist die Betragsungleichung \(|x - t| \le \varepsilon\) als Code geschrieben, und ihr Lösungsbereich ist genau der Bereich, in dem die Prüfung besteht.
Die Größe eines Messfehlers beurteilen (Naturwissenschaft und Prüfung)
Der Unterschied zwischen einem Messwert und dem wahren Wert (der Fehler) kann auf der Plus- oder auf der Minusseite liegen. Fragt man „liegt die Größe des Fehlers innerhalb einer Grenze?“, beurteilt man grundsätzlich \(|\text{Messwert} - \text{Referenzwert}|\) ohne Vorzeichen.
Ein Thermometer mit einer Genauigkeit von „±0,1 °C“ garantiert zum Beispiel ungefähr \(|\text{Anzeige} - \text{wahrer Wert}| \le 0{,}1\). Wenn Sie diesen Bereich im Kopf haben, lesen Sie das Messergebnis anders.
Formeln und Zahlengeraden
Grundregel für Betragsgleichungen (wenn \(c > 0\))
Auf der Zahlengerade
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(X\)
\(=\)
\(c\)
\(,\ \ \)
\(-c\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(X\): Inhalt des Betrags
\(=\)
①
\(c\): die positive Seite
\(,\ \ \)
②
\(-c\): die negative Seite
Die Formel in Worten
①
Der Betrag \(|X|\) ist der Abstand von 0 auf der Zahlengerade. Die einzigen Zahlen mit dem Abstand \(c\) von 0 sind
\(c\): die positive Seite
und
②
\(-c\): die negative Seite
③
Also ist
\(X\): Inhalt des Betrags
gleich einer dieser beiden Zahlen
Einfaches Beispiel
Die Lösungen von \(|x| = 3\) sind die Zahlen mit dem Abstand 3 von 0, also
Inhalt \(x\)
\(=\)
\(3\)
\(,\ \ \)
\(-3\)
\(x = 3,\ \ x = -3\)
Der Kerngedanke
Bei einer Gleichung der Form \(|X| = c\) behandeln Sie den Inhalt \(X\) als eine Einheit und lösen den Betrag als \(X = \pm c\) auf. Zum Beispiel zerfällt \(|2x - 3| = 5\) in zwei lineare Gleichungen, \(2x - 3 = 5\) und \(2x - 3 = -5\).
Diese Grundregel funktioniert nur, wenn die rechte Seite \(c\) positiv ist. Bei \(c = 0\) ist die einzige Lösung „der eine Punkt, an dem der Inhalt 0 ist“, und bei negativem \(c\) gibt es keine Lösung, weil ein Betrag nicht negativ sein kann (dieser Rechner erkennt diese Fälle automatisch und erklärt, warum).
Grundregel für Betragsungleichungen (\(<\) und \(\le\): der Bereich dazwischen)
Auf der Zahlengerade
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(-c\)
\(<\)
\(X\)
\(<\)
\(c\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(-c\): untere Grenze
\(<\)
③
\(X\): Inhalt des Betrags
\(<\)
②
\(c\): obere Grenze
Die Formel in Worten
①
Zahlen mit \(|X| < c\) (Abstand von 0 kleiner als \(c\)) liegen rechts von
\(-c\): untere Grenze
②
und links von
\(c\): obere Grenze
③
Also liegt
\(X\): Inhalt des Betrags
im Bereich zwischen den beiden Grenzen
Einfaches Beispiel
Die Lösung von \(|x| \le 2\) ist der Bereich der Zahlen mit dem Abstand 2 oder weniger von 0, also
\(-2\)
\(\le\)
Inhalt \(x\)
\(\le\)
\(2\)
\(-2 \le x \le 2\)
Der Kerngedanke
Mit dem Gleichheitszeichen, \(|X| \le c\), gehören auch die Randpunkte zur Lösung, es wird also \(-c \le X \le c\). Auf einer Zahlengerade zeichnet man einen Randpunkt, der dazugehört, als ausgefüllten Kreis und einen, der nicht dazugehört, als offenen Kreis.
\(-c < X < c\) ist eine kompakte Schreibweise für „\(-c < X\) und \(X < c\)“. Weil es „und“ heißt, ist nur der gemeinsame Bereich der beiden Bedingungen die Lösung.
Grundregel für Betragsungleichungen (\(>\) und \(\ge\): die Bereiche außerhalb)
Auf der Zahlengerade
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(X\)
\(<\)
\(-c\)
\(\ \text{oder}\ \)
\(c\)
\(<\)
\(X\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(X\): Inhalt des Betrags
\(<\)
①
\(-c\): untere Grenze
\(\ \text{oder}\ \)
②
\(c\): obere Grenze
\(<\)
\(X\): Inhalt des Betrags
Die Formel in Worten
①
Zahlen mit \(|X| > c\) (Abstand von 0 größer als \(c\)) liegen entweder weiter links als
\(-c\): untere Grenze
②
oder weiter rechts als
\(c\): obere Grenze
③
Also liegt
\(X\): Inhalt des Betrags
in einem der beiden Bereiche außerhalb der Grenzen
Einfaches Beispiel
Die Lösung von \(|x| > 1\) sind die Zahlen mit dem Abstand mehr als 1 von 0, also
Inhalt \(x\)
\(<\)
\(-1\)
\(\ \text{oder}\ \)
\(1\)
\(<\)
Inhalt \(x\)
\(x < -1 \ \text{oder}\ 1 < x\)
Der Kerngedanke
Eine praktische Merkregel: „Kleiner heißt dazwischen, größer heißt außerhalb“. Derselbe Gedanke „dazwischen oder außerhalb“ taucht auch bei quadratischen Ungleichungen auf (wo die Parabel über oder unter der \(x\)-Achse liegt).
Bei \(x < -1\) oder \(1 < x\) kommt es auf das Wort „oder“ an. Kein einzelnes \(x\) kann in beiden Bereichen zugleich liegen, verwechseln Sie es also nicht mit „und“. (Manche Schulbücher schreiben es als \(x < -1\) oder \(x > 1\); das bedeutet dasselbe.)
Den Betrag mit der Fallunterscheidung auflösen (funktioniert bei jedem Term)
Im Graphen
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(\lvert X \rvert\)
\(=\)
\(X\)
\(\quad (X \ge 0)\)
\(\lvert X \rvert\)
\(=\)
\(-X\)
\(\quad (X < 0)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(|X|\): Betrag
\(=\)
①
\(X\): unverändert
\(\quad (X \ge 0)\)
\(|X|\): Betrag
\(=\)
②
\(-X\): mit geändertem Vorzeichen
\(\quad (X < 0)\)
Die Formel in Worten
①
Ist der Inhalt 0 oder größer (\(X \ge 0\)), fällt der Betrag weg und es bleibt
\(X\): unverändert
②
Ist der Inhalt negativ (\(X < 0\)), fällt der Betrag weg und es bleibt
\(-X\): mit geändertem Vorzeichen
③
Also lässt sich
\(|X|\): Betrag
immer auflösen, indem man nach dem Vorzeichen des Inhalts in Fälle aufteilt
Einfaches Beispiel
Ein Beispiel mit negativem Inhalt: Bei \(X = -5\) ändern Sie das Vorzeichen, um den Betrag aufzulösen
\(\lvert -5 \rvert\)
\(=\)
mit geändertem Vorzeichen, \(-(-5)\)
\(\lvert -5 \rvert = -(-5) = 5\)
Der Kerngedanke
Verwirrend ist, dass „man ein Minuszeichen davorsetzt, aber das Ergebnis positiv ist“. Ist \(X\) selbst negativ, dann ist \(-X\) positiv (bei \(X = -5\) ist \(-X = 5\)).
Prüfen Sie nach dem Auflösen des Betrags durch Fälle immer, ob das Ergebnis jedes Falls zur Fallbedingung passt (\(X \ge 0\) oder \(X < 0\), umgeschrieben als Bereich von \(x\)). Verwerfen Sie jedes Ergebnis, das nicht passt, und fassen Sie dann die Ergebnisse aller Fälle zur endgültigen Lösung zusammen.
Die Fallunterscheidung funktioniert auch bei schwierigeren Termen, für die die Grundregel nicht gilt (zum Beispiel mit \(x\) auf der rechten Seite oder mit zwei Beträgen). Im Ergebnisbereich zeigt dieser Rechner diese Fälle und Prüfungen als Methode 2.
Ist die rechte Seite \(c\) positiv, lassen sich Betragsgleichungen und Betragsungleichungen mit der Grundregel in lineare umwandeln: \(=\) ergibt \(X = \pm c\), \(<\) ergibt den Bereich dazwischen, \(-c < X < c\), und \(>\) ergibt die Bereiche außerhalb, \(X < -c\) oder \(c < X\). Auch wenn die Grundregel nicht gilt, löst die Fallunterscheidung nach dem Vorzeichen des Inhalts den Betrag immer auf. Vergessen Sie nach der Fallunterscheidung nicht, jedes Ergebnis gegen seine Fallbedingung zu prüfen und nur den gemeinsamen Bereich zu behalten.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(|x|\) | Betrag von x | Das Betragszeichen. Eine Zahl zwischen zwei senkrechten Strichen gibt an, wie weit sie auf der Zahlengerade von 0 entfernt ist (ihr Abstand). Ein Abstand ist immer 0 oder größer, also gilt \(|5| = 5\) und \(|-5| = 5\). |
| \(X\) | großes X | Auf dieser Seite ein Buchstabe für den ganzen Inhalt des Betrags, \(ax+b\), als eine Einheit betrachtet. Wenn Sie den Inhalt als einen einzigen Buchstaben behandeln, können Sie die Grundregeln direkt anwenden. |
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | Buchstaben, die oft für feste Zahlen (Konstanten) stehen. Üblicherweise stehen Buchstaben vom Anfang des Alphabets, \(a,\ b,\ c\), für feste Zahlen. Auf dieser Seite sind \(a\) und \(b\) der Koeffizient und die Konstante des Inhalts \(ax+b\), und \(c\) ist die Zahl auf der rechten Seite. |
| \(x\) | x | Die Unbekannte, die Sie finden wollen. Üblicherweise stehen Buchstaben vom Ende des Alphabets, \(x,\ y,\ z\), für Unbekannte, eine Gewohnheit, die auf den Mathematiker Descartes zurückgehen soll. |
| \(\pm\) | plus minus | Ein Zeichen, das „sowohl den Fall \(+\) als auch den Fall \(-\)“ auf einmal schreibt. \(X = \pm 5\) ist eine kurze Schreibweise für \(X = 5\) und \(X = -5\). |
| \(<,\ >\) | kleiner als, größer als | Ungleichheitszeichen, die Größen vergleichen. Die offene Seite des Zeichens zeigt zur größeren Zahl. Der Randpunkt selbst gehört nicht dazu (auf einer Zahlengerade als offener Kreis dargestellt). |
| \(\ge,\ \le\) | größer oder gleich, kleiner oder gleich | Ungleichheitszeichen, bei denen der Randpunkt selbst dazugehört (auf einer Zahlengerade als ausgefüllter Kreis dargestellt). In manchen Ländern wie Japan werden sie mit einer Doppellinie unter dem Zeichen geschrieben (≧, ≦); die Bedeutung ist dieselbe. |
| \(\neq\) | ungleich | Das Zeichen für „ist nicht gleich“. \(x \neq 2\) bedeutet „jede reelle Zahl außer 2“ und kommt in der Lösung von \(|X| > 0\) vor. |
Begriffe
| Betrag | Der Abstand einer Zahl von 0 auf der Zahlengerade. Ein Abstand ist immer 0 oder größer. Eine positive Zahl bleibt gleich (\(|5| = 5\)), und eine negative Zahl verliert ihr Vorzeichen (\(|-5| = 5\)). Die Bedeutung wird in Klasse 7 (12–13 Jahre) behandelt, Gleichungen und Ungleichungen damit in den Klassen 9 bis 11 (14–17 Jahre). |
| Gleichung | Eine Aussage mit einem Gleichheitszeichen, die eine Unbekannte enthält. Ein Wert der Unbekannten, der sie wahr macht, ist eine „Lösung“, und alle Lösungen zu finden heißt „die Gleichung lösen“. |
| Ungleichung | Eine Aussage, die die Größen von Zahlen oder Termen mit einem Ungleichheitszeichen (\(<\), \(\le\), \(>\), \(\ge\)) vergleicht. Ihre Lösung ist meist ein Bereich und keine einzelne Zahl, und auf einer Zahlengerade versteht man sie leichter. |
| linearer Term | Ein Term, in dem \(x\) nur in der ersten Potenz vorkommt, wie \(2x - 3\). Auf dieser Seite ist der Inhalt des Betrags ein linearer Term. |
| Fallunterscheidung | Wenn ein Term je nach Situation eine andere Form hat, teilt man das Problem in Fälle auf und löst jeden für sich. Der Betrag ist das klassische Beispiel, weil es vom Vorzeichen des Inhalts abhängt, wie man ihn auflöst. |
| Fallbedingung | Die Bedingung, die einen Fall festlegt, etwa \(2x - 3 \ge 0\). Das Ergebnis jedes Falls muss sie erfüllen. Man prüft es (bei einem Bereich, ob es einen gemeinsamen Bereich gibt) und verwirft jedes Ergebnis, das nicht passt. |
| gemeinsamer Bereich | Der Teil, der zu beiden von zwei Bereichen gehört (der „und“-Bereich, auch Schnittmenge genannt). Man findet ihn oft, indem man die Bereiche auf Zahlengeraden untereinander zeichnet und abliest, wo sie sich überschneiden. |
| Zahlengerade | Ein Bild, das Zahlen als Punkte auf einer Geraden darstellt. Nach rechts werden die Zahlen größer. Man benutzt sie, um Beträge (Abstände von 0) und die Lösungen von Ungleichungen zu sehen. |
| Umstellen | Ein Glied einer Gleichung oder Ungleichung mit umgekehrtem Vorzeichen auf die andere Seite bringen. Bringt man die \(-3\) in \(2x - 3 = 5\) auf die rechte Seite, erhält man \(2x = 5 + 3\). |
| reelle Zahl | Jede Zahl, die sich auf der Zahlengerade darstellen lässt: ganze Zahlen, Brüche und Dezimalzahlen, aber auch Zahlen wie \(\sqrt{2}\) und π. |
| keine Lösung | Es gibt überhaupt kein \(x\), das die Bedingung erfüllt (die Lösungsmenge ist leer). Zum Beispiel hat \(|x| = -2\) keine Lösung, weil ein Betrag nicht negativ sein kann. |
| alle reellen Zahlen | Es gilt für jeden Wert von \(x\). Zum Beispiel ist \(|x| \ge -1\) immer wahr, weil ein Betrag immer 0 oder größer ist. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen zu wiederholen.
| Negative Zahlen und die Zahlengerade (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Die Bedeutung des Betrags (Klasse 7, 12–13 Jahre) |
|
| Lineare Gleichungen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre) |
|
| Lineare Ungleichungen (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Bruchrechnung (Klasse 5–7, 10–13 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Lösung von |ax+b| = c
| Koeffizient von x, a | 2 |
| Konstante b | -3 |
| Rechte Seite c | 5 |
| Lösung 1 (x, bei dem der Inhalt c ist) | =(B3-B2)/B1 |
| Lösung 2 (x, bei dem der Inhalt −c ist) | =(-B3-B2)/B1 |
Tabelle für den Lösungsbereich von |ax+b| ≤ c
| Koeffizient von x, a | 2 |
| Konstante b | -3 |
| Rechte Seite c | 5 |
| Linkes Ende des Bereichs | =MIN((B3-B2)/B1;(-B3-B2)/B1) |
| Rechtes Ende des Bereichs | =MAX((B3-B2)/B1;(-B3-B2)/B1) |
Tabelle zur Probe durch Einsetzen einer Lösung
| Koeffizient von x, a | 2 |
| Konstante b | -3 |
| Zu prüfendes x | 4 |
| Wert von |ax+b| | =ABS(B1*B3+B2) |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (die Koeffizienten und die rechte Seite) Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
Die erste Tabelle gehört zu |2x − 3| = 5 und ergibt Lösung 1 = 4 und Lösung 2 = −1. Geben Sie für c 0 oder eine negative Zahl ein, zeigt sie trotzdem Zahlen, aber die richtige Antwort lautet „nur ein Punkt bei c = 0, keine Lösung bei negativem c“, seien Sie also vorsichtig (der Rechner auf dieser Seite erkennt das automatisch).
Die zweite Tabelle bestimmt den Lösungsbereich von |2x − 3| ≤ 5, −1 ≤ x ≤ 4. MIN liefert das linke und MAX das rechte Ende. Bei > und ≥ besteht die Lösung aus den beiden Bereichen außerhalb dieser Werte.
Die dritte Tabelle dient der Probe. Setzen Sie die Lösung x = 4 ein, und der Wert von ABS (der Betragsfunktion) ergibt wieder die rechte Seite, 5.
Die erste Tabelle gehört zu |2x − 3| = 5 und ergibt Lösung 1 = 4 und Lösung 2 = −1. Geben Sie für c 0 oder eine negative Zahl ein, zeigt sie trotzdem Zahlen, aber die richtige Antwort lautet „nur ein Punkt bei c = 0, keine Lösung bei negativem c“, seien Sie also vorsichtig (der Rechner auf dieser Seite erkennt das automatisch).
Die zweite Tabelle bestimmt den Lösungsbereich von |2x − 3| ≤ 5, −1 ≤ x ≤ 4. MIN liefert das linke und MAX das rechte Ende. Bei > und ≥ besteht die Lösung aus den beiden Bereichen außerhalb dieser Werte.
Die dritte Tabelle dient der Probe. Setzen Sie die Lösung x = 4 ein, und der Wert von ABS (der Betragsfunktion) ergibt wieder die rechte Seite, 5.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Lösung von |ax+b| = c
| Koeffizient von x, a | 2 |
| Konstante b | -3 |
| Rechte Seite c | 5 |
| Lösung 1 (x, bei dem der Inhalt c ist) | =(B3-B2)/B1 |
| Lösung 2 (x, bei dem der Inhalt −c ist) | =(-B3-B2)/B1 |
Tabelle für den Lösungsbereich von |ax+b| ≤ c
| Koeffizient von x, a | 2 |
| Konstante b | -3 |
| Rechte Seite c | 5 |
| Linkes Ende des Bereichs | =MIN((B3-B2)/B1;(-B3-B2)/B1) |
| Rechtes Ende des Bereichs | =MAX((B3-B2)/B1;(-B3-B2)/B1) |
Tabelle zur Probe durch Einsetzen einer Lösung
| Koeffizient von x, a | 2 |
| Konstante b | -3 |
| Zu prüfendes x | 4 |
| Wert von |ax+b| | =ABS(B1*B3+B2) |
Die Formeln funktionieren wie in Excel (bei deutschen Spracheinstellungen von Google Tabellen). Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Koeffizienten und die rechte Seite durch Ihre eigenen Zahlen.
Mit Python berechnen
from fractions import Fraction
# |a*x + b| ? c lösen (ein Bruch wie 3/4 wird als Fraction(3, 4) geschrieben)
a = Fraction(2) # Koeffizient von x
b = Fraction(-3) # Konstante (im Betrag)
c = Fraction(5) # Zahl auf der rechten Seite
sign = "<=" # zur Auswahl: "=", "<", "<=", ">", ">="
lower = (-c - b) / a # x, bei dem der Inhalt -c ist
upper = (c - b) / a # x, bei dem der Inhalt c ist
left, right = min(lower, upper), max(lower, upper)
if c > 0:
if sign == "=":
print(f"Lösung: x = {left}, {right}")
elif sign in ("<", "<="):
print(f"Lösung: {left} {sign} x {sign} {right}")
else:
flipped = "<" if sign == ">" else "<="
print(f"Lösung: x {flipped} {left} oder {right} {flipped} x")
elif c == 0:
boundary = -b / a # x, bei dem der Inhalt 0 ist
if sign in ("=", "<="):
print(f"Lösung: x = {boundary}")
elif sign == "<":
print("Keine Lösung")
elif sign == ">":
print(f"Lösung: x ≠ {boundary}")
else:
print("Alle reellen Zahlen")
else:
# Ein Betrag ist immer 0 oder größer, der Vergleich mit einem negativen c ist also von vornherein entschieden
if sign in (">", ">="):
print("Alle reellen Zahlen")
else:
print("Keine Lösung")
Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen, ohne Rundungsfehler bei Dezimalzahlen. Dieses Beispiel löst |2x − 3| ≤ 5, und beim Ausführen erscheint „Lösung: -1 <= x <= 4“. Ändern Sie die Koeffizienten und den Vergleich (sign) und führen Sie den Code aus.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Grundregel für Betragsgleichungen (wenn \(c > 0\))
|X| = c ⇔ X = ±c (c > 0)
\lvert X \rvert = c \iff X = \pm c \quad (c > 0)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>|</mo><mi>X</mi><mo>|</mo>
<mo>=</mo><mi>c</mi>
<mo>⇔</mo>
<mi>X</mi><mo>=</mo><mo>±</mo><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
abs(X) = c iff X = +-c
Solve[Abs[x] == c, x, Reals]
solve(abs(x) = c, x);
solve(abs(x) == c, x)
|X| = c ⇔ X = ±c (c > 0)
Grundregel für Betragsungleichungen (\(<\) und \(\le\): der Bereich dazwischen)
|X| < c ⇔ −c < X < c
\lvert X \rvert < c \iff -c < X < c
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>|</mo><mi>X</mi><mo>|</mo>
<mo><</mo><mi>c</mi>
<mo>⇔</mo>
<mo>−</mo><mi>c</mi><mo><</mo><mi>X</mi><mo><</mo><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
abs(X) < c iff -c < X < c
Reduce[Abs[x] < c, x, Reals]
solve(abs(x) < c, x);
solve(abs(x) < c, x, 'ReturnConditions', true)
|X| < c ⇔ −c < X < c
Grundregel für Betragsungleichungen (\(>\) und \(\ge\): die Bereiche außerhalb)
|X| > c ⇔ X < −c oder c < X
\lvert X \rvert > c \iff X < -c \ \text{oder}\ c < X
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>|</mo><mi>X</mi><mo>|</mo>
<mo>></mo><mi>c</mi>
<mo>⇔</mo>
<mi>X</mi><mo><</mo><mo>−</mo><mi>c</mi>
<mtext> oder </mtext>
<mi>c</mi><mo><</mo><mi>X</mi>
</mrow>
</math>
abs(X) > c iff X < -c or c < X
Reduce[Abs[x] > c, x, Reals]
solve(abs(x) > c, x);
solve(abs(x) > c, x, 'ReturnConditions', true)
|X| > c ⇔ X < −c oder c < X
Den Betrag mit der Fallunterscheidung auflösen (funktioniert bei jedem Term)
|X| = X (X ≥ 0), |X| = −X (X < 0)
\lvert X \rvert = \begin{cases} X & (X \ge 0) \\ -X & (X < 0) \end{cases}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>|</mo><mi>X</mi><mo>|</mo><mo>=</mo>
<mrow>
<mo>{</mo>
<mtable columnalign="left left">
<mtr>
<mtd><mi>X</mi></mtd>
<mtd><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd><mo>−</mo><mi>X</mi></mtd>
<mtd><mo>(</mo><mi>X</mi><mo><</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mrow>
</math>
abs(X) = {(X, (X >= 0)), (-X, (X < 0)):}
Abs[x] == Piecewise[{{x, x >= 0}, {-x, x < 0}}]
abs(x) = piecewise(x >= 0, x, x < 0, -x);
piecewise(x >= 0, x, x < 0, -x)
|X| = X (X ≥ 0), |X| = −X (X < 0)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Rechenassistent für Algebra. Führen Sie die folgende Berechnung durch, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten). Lösen Sie die Betragsungleichung |2x − 3| ≤ 5. Zeigen Sie jeweils: 1. Die mit der Grundregel umgeschriebene Ungleichung (in der Form −c ≤ 2x−3 ≤ c) 2. Den Lösungsbereich (mit Randpunkten als gekürzten Brüchen oder ganzen Zahlen) 3. Lösen Sie sie auch mit Fallunterscheidung (2x−3 ≥ 0 und 2x−3 < 0), zeigen Sie das Ergebnis jedes Falls und seinen gemeinsamen Bereich mit der Fallbedingung und bestätigen Sie, dass sich dieselbe Lösung wie in 1 ergibt Rechnen Sie in Python exakt mit solveset von sympy (oder einem Gegenstück zu Reduce mit Abs) und mit fractions und zeigen Sie den verwendeten Code und das Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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