Geben Sie die Koeffizienten a und b des Ausdrucks a sin θ + b cos θ ein. Die Formel darunter ist mit den Eingabefeldern verknüpft, Sie können die Koeffizienten also auch direkt darin ändern.
Möglich sind Dezimalzahlen (mit Komma), negative Zahlen, Brüche wie 3/4 und Werte mit Wurzeln wie √3, √3/2 oder 2√3 (in der Formel darunter ergibt die Eingabe von sqrt das Zeichen √). Ein leerer Koeffizient zählt als 1 (sin θ bedeutet 1 sin θ).
Ergebnis und Diagramm
Geben Sie links die Koeffizienten von sin θ und cos θ ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und ein Graph erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Graph
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
-
Mit Google Tabellen berechnen
-
Mit Python berechnen
-
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Schreibt einen Ausdruck der Form \(a\sin\theta + b\cos\theta\) als eine einzige Sinuskurve \(R\sin(\theta + \alpha)\) (Zusammenfassen von Sinus und Kosinus)
- Die Amplitude \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) wird sowohl als vereinfachter exakter Wert wie \(\sqrt{2}\) als auch als Dezimalzahl angezeigt. Der Winkel \(\alpha\) erscheint als exakter Bruchteil von π, wenn er ein besonderer Winkel wie \(\dfrac{\pi}{4}\) ist. Andernfalls wird er durch die exakten Werte von \(\cos\alpha\) und \(\sin\alpha\) angegeben, mit Näherungswerten in Radiant und in Grad
- Die Kosinusform \(R\cos(\theta - \beta)\) wird ebenfalls angezeigt (wann welche Form sinnvoll ist, steht in der Erklärung weiter unten)
- Bestimmt auch das Maximum \(R\) und das Minimum \(-R\) sowie die Werte von \(\theta\), bei denen sie auftreten (eine klassische Prüfungsaufgabe)
- Koeffizienten können ganze Zahlen, Dezimalzahlen, Brüche oder Werte mit Wurzeln wie √3 oder √3/2 sein. Ein Graph zeigt die beiden ursprünglichen Wellen, die zusammengefasste Welle und ihre Amplitude
Das funktioniert für \(\sin\theta\) und \(\cos\theta\) desselben Winkels \(\theta\), jeweils in der ersten Potenz (\(a\sin\theta + b\cos\theta\)). Terme mit verschiedenen Winkeln, etwa \(\sin 2\theta\) und \(\cos\theta\), oder quadrierte Terme wie \(\sin^{2}\theta\) lassen sich so nicht zusammenfassen.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Spannungs- und Stromwellen in Wechselstromkreisen zusammenfassen (Elektrotechnik)
Der Wechselstrom aus einer Steckdose in Deutschland ist eine Spannung (230 V, 50 Hz), die als Sinuskurve 50-mal pro Sekunde hin- und herschwingt. Bei Schaltungsberechnungen verschieben Spulen und Kondensatoren die Wellen, und ihre Summe tritt in der Form \(a\sin\theta + b\cos\theta\) auf. Fasst man sie zusammen, erfährt man, welche einzelne Welle man tatsächlich hat: ihre Amplitude (die Spitzenspannung) und wie weit ihre Phase verschoben ist.
Diese Rechnung gehört zum festen Stoff von Vorlesungen und Prüfungen in der Elektrotechnik (Wechselstromtechnik, Zeigerdarstellung).
Töne gleicher Höhe überlagern (Schall und Akustik)
Schall ist eine Welle aus schwingender Luft. Überlagern sich zwei Töne gleicher Höhe (gleicher Frequenz), setzen sich die Wellengleichungen zu einer Welle zusammen. Je größer die zusammengefasste Amplitude \(R\), desto lauter ist der Ton. Sind die Wellen im Gleichtakt (in Phase), verstärken sie sich. Sind sie gegenläufig, löschen sie sich aus.
Kopfhörer mit aktiver Geräuschunterdrückung senken den Lärm, indem sie eine der Störung entgegengesetzte Welle abspielen, und beruhen auf diesem Gedanken der Addition von Wellen.
Das Schwingen von Gebäuden und Maschinen analysieren (Erdbeben- und Schwingungstechnik)
Bei der Analyse von Erdbeben oder Maschinenschwingungen zerlegen Ingenieure die Bewegung oft in einen Sinusanteil und einen Kosinusanteil, rechnen mit beiden und fassen sie am Ende zusammen, um die tatsächliche Größe der Schwingung (die Amplitude) zu bestimmen. Lässt sich die Bewegung als einfache Schwingung mit einer einzigen Periode behandeln, schätzt man die größte Auslenkung als zusammengefasste Amplitude \(R\).
Echte Erdbebenwellen sind eine komplexe Mischung vieler Perioden, aber die Grundlage ihrer Analyse ist dieses Addieren von Sinuskurven.
Warum die Empfangsstärke des Mobilfunks von Ort zu Ort schwankt (Kommunikation)
Ein Smartphone empfängt die Funkwelle, die direkt vom Sendemast kommt, überlagert mit Wellen, die von Gebäuden und anderen Gegenständen reflektiert wurden. Wellen gleicher Frequenz setzen sich zu einer Welle zusammen und verstärken oder schwächen sich je nach Wegunterschied (das nennt man Fading).
Schon ein kleiner Schritt kann die Anzahl der Empfangsbalken ändern, weil diese zusammengefasste Amplitude von Ort zu Ort verschieden ist.
Formeln und Graph
Zusammenfassen von Sinus und Kosinus (Darstellung als Sinus)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(a\sin\theta\)
\(+\)
\(b\cos\theta\)
\(=\)
\(R\sin(\theta + \alpha)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(a\sin\theta\): der \(\sin\theta\)-Term mit dem Koeffizienten \(a\)
\(+\)
②
\(b\cos\theta\): der \(\cos\theta\)-Term mit dem Koeffizienten \(b\)
\(=\)
③
\(R\sin(\theta + \alpha)\): eine einzige Sinuskurve mit der Amplitude \(R\) und dem Winkel \(\alpha\)
Die Formel in Worten
①
Die Summe aus dem
\(\sin\theta\)-Term mit dem Koeffizienten \(a\)
②
und dem
\(\cos\theta\)-Term mit dem Koeffizienten \(b\)
③
lässt sich schreiben als
eine einzige Sinuskurve mit der Amplitude \(R\) und dem Winkel \(\alpha\)
Einfaches Beispiel
Zusammenfassen von \(\sin\theta + \cos\theta\) (\(a = 1,\ b = 1\)):
\(\sin\theta\)-Term (Koeffizient 1)
\(+\)
\(\cos\theta\)-Term (Koeffizient 1)
\(=\)
Sinuskurve mit der Amplitude \(\sqrt{2}\) und dem Winkel \(\dfrac{\pi}{4}\)
\(R = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\)
\(\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}},\ \ \sin\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \ \Rightarrow\ \alpha = \dfrac{\pi}{4}\)
\(\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\,\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)\)
Der Kerngedanke
Wenn Sinus und Kosinus in einem Ausdruck gemischt sind, erkennt man nicht leicht, wann er am größten ist oder welche Werte er annimmt. Das Zusammenfassen von Sinus und Kosinus schreibt die beiden Wellen als eine einzige Sinuskurve mit der Amplitude \(R\), verschoben um den Winkel \(\alpha\) (die Phasenverschiebung), sodass man sieht, was der Ausdruck wirklich ist.
Möglich ist das durch das Additionstheorem \(\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha\), rückwärts von rechts nach links benutzt. Denkt man sich \(a\) in \(a\sin\theta + b\cos\theta\) als \(R\cos\alpha\) und \(b\) als \(R\sin\alpha\), lässt sich der ganze Ausdruck zu \(R\sin(\theta + \alpha)\) zusammenfalten.
Man kann ihn auch als Kosinus schreiben, \(R\cos(\theta - \beta)\). Beide Formen sind richtig. Lehrbücher verwenden meist die Sinusform, Physik und Elektrotechnik oft die Kosinusform. Verlangt eine Aufgabe „die Form \(R\sin(\theta + \alpha)\)“ oder „die Form \(R\cos(\theta - \beta)\)“, verwenden Sie genau diese Form.
So finden Sie die Amplitude \(R\) und den Winkel \(\alpha\)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(R\)
\(=\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
\(\cos\alpha\)
\(=\)
\(\dfrac{a}{R}\)
\(\sin\alpha\)
\(=\)
\(\dfrac{b}{R}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(R\): Amplitude (die Höhe der zusammengefassten Welle)
\(=\)
①
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\): Wurzel aus der Summe der Quadrate von \(a\) und \(b\)
\(\cos\alpha\): Kosinus des Winkels \(\alpha\)
\(=\)
③
\(\dfrac{a}{R}\): Koeffizient \(a\) von \(\sin\theta\) geteilt durch die Amplitude \(R\)
\(\sin\alpha\): Sinus des Winkels \(\alpha\)
\(=\)
④
\(\dfrac{b}{R}\): Koeffizient \(b\) von \(\cos\theta\) geteilt durch die Amplitude \(R\)
Die Formel in Worten
①
Quadrieren Sie die Koeffizienten \(a\) und \(b\), addieren Sie sie und ziehen Sie die Wurzel. Das ergibt
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
②
und das ist die
Amplitude \(R\)
③
Wählen Sie dann den Winkel \(\alpha\) so, dass
der Koeffizient \(a\) geteilt durch die Amplitude \(R\)
sein Kosinus ist
④
und
der Koeffizient \(b\) geteilt durch die Amplitude \(R\)
sein Sinus ist
Einfaches Beispiel
Für \(\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta\) (\(a = \sqrt{3},\ b = 1\)):
Amplitude \(R = 2\)
\(=\)
Wurzel aus der Summe der Quadrate von \(\sqrt{3}\) und \(1\), also \(\sqrt{4}\)
\(R = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2\)
\(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \ \sin\alpha = \dfrac{1}{2} \ \Rightarrow\ \alpha = \dfrac{\pi}{6}\)
\(\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{6}\right)\)
Der Kerngedanke
Die Amplitude \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) ist der Abstand des Punktes \((a\,|\,b)\) in der Koordinatenebene vom Ursprung, also genau der Satz des Pythagoras. Zeichnet man den Punkt \((a\,|\,b)\), ist \(\alpha\) der Winkel zwischen der \(x\)-Achse und dem Pfeil vom Ursprung zu \((a\,|\,b)\). Wenn Sie unsicher sind, zeichnen Sie den Punkt \((a\,|\,b)\) und lesen Abstand und Winkel ab.
Wichtig ist, sowohl \(\cos\alpha\) als auch \(\sin\alpha\) zu prüfen. Eine der beiden Angaben allein legt den Winkel nicht fest (zum Beispiel lässt \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\) allein zwei Möglichkeiten offen, \(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\) und \(-\dfrac{\pi}{3}\)).
\(\alpha\) ist nur dann ein besonderer Winkel wie \(\dfrac{\pi}{6}\) oder \(\dfrac{\pi}{4}\), wenn das Paar der Koeffizienten eine besondere Form hat, etwa \((1\,|\,1)\) oder \((\sqrt{3}\,|\,1)\). Ist es kein besonderer Winkel, schreibt man eine Bedingung, etwa „der Winkel \(\alpha\) mit \(\cos\alpha = \dfrac{3}{5},\ \sin\alpha = \dfrac{4}{5}\)“ (dieser Rechner zeigt es genauso).
Maximum und Minimum des zusammengefassten Ausdrucks
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(-R\)
\(\le\)
\(a\sin\theta + b\cos\theta\)
\(\le\)
\(R\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(-R\): Minimum
\(\le\)
①
\(a\sin\theta + b\cos\theta\): der Ausdruck (\(= R\sin(\theta + \alpha)\))
\(\le\)
③
\(R\): Maximum
Die Formel in Worten
①
Der Wert des
Ausdrucks \(a\sin\theta + b\cos\theta\)
②
liegt zwischen dem
Minimum \(-R\)
③
und dem
Maximum \(R\)
(wenn \(\theta\) alle reellen Werte durchläuft)
Einfaches Beispiel
Für \(3\sin\theta + 4\cos\theta\) (\(R = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5\)):
Minimum \(-5\)
\(\le\)
\(3\sin\theta + 4\cos\theta\)
\(\le\)
Maximum \(5\)
\(R = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)
\(-5 \le 3\sin\theta + 4\cos\theta \le 5\)
Der Kerngedanke
Nach dem Zusammenfassen gilt \(a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)\). Ein Sinus liegt immer zwischen \(-1\) und \(1\), also kann der ganze Ausdruck nur Werte von \(-R\) bis \(R\) annehmen. Die klassische Aufgabe „Bestimmen Sie Maximum und Minimum eines Ausdrucks, der sin und cos mischt“ ist mit dem Zusammenfassen in dieser einen Zeile gelöst: Das Maximum ist \(R\), das Minimum ist \(-R\).
Das Maximum tritt ein, wenn \(\sin(\theta + \alpha) = 1\) ist, also \(\theta + \alpha = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi\) (\(n\) ganzzahlig), somit bei \(\theta = \dfrac{\pi}{2} - \alpha + 2n\pi\). Das Minimum tritt dort ein, wo der Sinus \(-1\) ist, bei \(\theta = -\dfrac{\pi}{2} - \alpha + 2n\pi\).
Ist \(\theta\) eingeschränkt (etwa \(0 \le \theta < 2\pi\)), bestimmen Sie zuerst den Bereich von \(\theta + \alpha\) und suchen dann in diesem Bereich die Winkel, bei denen der Sinus am größten und am kleinsten ist. Beachten Sie, dass das Maximum oder Minimum auch am Rand des Bereichs liegen kann.
Zusammenfassen von Sinus und Kosinus schreibt \(a\sin\theta + b\cos\theta\) als eine einzige Sinuskurve \(R\sin(\theta + \alpha)\) mit der Amplitude \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) und dem Winkel \(\alpha\) (\(\cos\alpha = \dfrac{a}{R},\ \sin\alpha = \dfrac{b}{R}\)). Nach dem Zusammenfassen lesen Sie sofort das Maximum \(R\) und das Minimum \(-R\) ab.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(a,\ b\) | a, b | Die Koeffizienten des Ausdrucks. \(a\) ist die Zahl vor \(\sin\theta\), \(b\) die Zahl vor \(\cos\theta\). Üblicherweise stehen Buchstaben vom Anfang des Alphabets, \(a,\ b,\ c\), für feste Zahlen. |
| \(\theta\) | Theta | Ein griechischer Buchstabe, der oft für Winkel verwendet wird. Er ist nicht das griechische Wort für „Winkel“, sondern hat sich einfach als Brauch für Winkel eingebürgert. Auf dieser Seite ist es der veränderliche Winkel im Ausdruck. |
| \(R\) | R | Die Amplitude (Höhe) der zusammengefassten Sinuskurve. Der Buchstabe soll von „Radius“ kommen. Sie ist gleich \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\), dem Abstand des Punktes \((a\,|\,b)\) vom Ursprung, und zugleich der größte Wert (das Maximum) des Ausdrucks. |
| \(\alpha\) | Alpha | Der Winkel der Verschiebung in der Sinusform. Er ist der erste Buchstabe des griechischen Alphabets, nach dem Brauch, zusätzliche Winkel mit griechischen Buchstaben zu benennen. Er ist gleich dem Winkel zwischen der \(x\)-Achse und dem Pfeil vom Ursprung zum Punkt \((a\,|\,b)\). Liegt der Punkt im 2. Quadranten, ist \(\alpha\) größer als \(90^\circ\), liegt er im 3. Quadranten, ist \(\alpha\) kleiner als \(-90^\circ\). |
| \(\beta\) | Beta | Der Winkel der Verschiebung in der Kosinusform, der zweite Buchstabe des griechischen Alphabets. Es gilt \(\beta = \dfrac{\pi}{2} - \alpha\) (Winkel, die sich um \(2\pi\), einen vollen Umlauf, unterscheiden, liegen an derselben Stelle, deshalb darf man \(2\pi\) addieren oder subtrahieren, damit \(-\pi < \beta \le \pi\) gilt). |
| \(\sin\) | Sinus | Eine der Winkelfunktionen, Kurzschreibweise für Sinus. Am Einheitskreis ist \(\sin\theta\) die \(y\)-Koordinate des Punktes beim Winkel \(\theta\). |
| \(\cos\) | Kosinus | Eine der Winkelfunktionen, Kurzschreibweise für Kosinus. Am Einheitskreis ist \(\cos\theta\) die \(x\)-Koordinate des Punktes beim Winkel \(\theta\). |
| \(\pi\) | Pi | Die Kreiszahl (etwa 3,14). Im Bogenmaß (in Radiant) ist \(\pi\) genau 180°, also ist \(\dfrac{\pi}{4}\) gleich 45° und \(\dfrac{\pi}{6}\) gleich 30°. |
| \(2n\pi\) | zwei n pi | Eine Schreibweise für „ein ganzzahliges Vielfaches von \(2\pi\) (ein voller Umlauf)“. \(n\) ist eine ganze Zahl. Ein Winkel liegt nach jedem vollen Umlauf (\(2\pi\)) wieder an derselben Stelle, also gibt es unendlich viele \(\theta\), bei denen das Maximum oder Minimum angenommen wird, im Abstand von \(2\pi\). |
| \(\sqrt{\phantom{2}}\) | Quadratwurzel | Das Wurzelzeichen. \(\sqrt{2}\) ist die positive Zahl, deren Quadrat 2 ist. Es kommt in der Amplitude \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) vor. |
| \(\le\) | kleiner oder gleich | Das Ungleichheitszeichen für „kleiner oder gleich“. \(-R \le f(\theta) \le R\) bedeutet, dass \(f(\theta)\) mindestens \(-R\) und höchstens \(R\) ist. |
Begriffe
| Zusammenfassung von Sinus und Kosinus | Einen Ausdruck der Form \(a\sin\theta + b\cos\theta\) als eine einzige Sinuskurve \(R\sin(\theta + \alpha)\) schreiben. Es gelingt, indem man das Additionstheorem rückwärts benutzt. In der Oberstufe kommt es in der Trigonometrie vor, oft als Aufgabe „Schreiben Sie als einzige Sinusfunktion“. In der Physik spricht man auch von harmonischer Addition. |
| Sinuskurve | Eine Welle, die gleichmäßig immer wieder auf und ab schwingt, wie der Graph von \(y = \sin\theta\). Auch Sinusschwingung genannt. Viele Wellen um uns herum, etwa Schall, Licht und Wechselstrom, haben diese Form. |
| Amplitude | Die „Höhe“ einer Welle: der Abstand von der Mitte der Welle (auf dieser Seite 0) bis zu ihrem höchsten Punkt. Die Amplitude von \(y = R\sin(\theta + \alpha)\) ist \(R\), und die Welle schwingt zwischen \(-R\) und \(R\). |
| Periode | Die Länge, die eine Welle für einen vollen Durchlauf braucht, bis sie von vorn beginnt. Die Periode von \(\sin\theta\) ist \(2\pi\) (360°), und das Zusammenfassen ändert sie nicht. |
| Phasenverschiebung | Wie weit eine Welle seitlich verschoben ist. \(R\sin(\theta + \alpha)\) ist die Welle \(R\sin\theta\), um \(\alpha\) nach links verschoben, und diese Verschiebung heißt Phasenverschiebung. |
| Additionstheorem | Eine Formel wie \(\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha\), die eine Winkelfunktion einer Winkelsumme durch Winkelfunktionen der einzelnen Winkel ausdrückt. Das Zusammenfassen von Sinus und Kosinus nutzt sie rückwärts, von rechts nach links. |
| besonderer Winkel | Ein Winkel wie \(30°\) (\(\dfrac{\pi}{6}\)), \(45°\) (\(\dfrac{\pi}{4}\)) oder \(60°\) (\(\dfrac{\pi}{3}\)), dessen Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte einfache exakte Werte wie \(\dfrac{1}{2}\) oder \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) sind. Schul- und Prüfungsaufgaben zu diesem Thema sind fast immer so gebaut, dass \(\alpha\) ein besonderer Winkel ist. |
| Radiant | Die Einheit, die einen Winkel über die Länge des Kreisbogens auf einem Kreis mit Radius 1 misst. \(180° = \pi\) Radiant, also ist \(45°\) gleich \(\dfrac{\pi}{4}\). Bei Winkelfunktionen ist ab der Oberstufe das Bogenmaß üblicher als Grad. |
| Einheitskreis | Der Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Der Punkt auf ihm beim Winkel \(\theta\) hat die Koordinaten \((\cos\theta\,|\,\sin\theta)\). Er hilft, die Werte der Winkelfunktionen zu sehen. |
| Maximum | Der größte Wert, den eine Funktion annehmen kann. Bei \(R\sin(\theta + \alpha)\) wird der Sinus höchstens \(1\), also ist das Maximum \(R\) sofort klar. |
| Minimum | Der kleinste Wert, den eine Funktion annehmen kann. Bei \(R\sin(\theta + \alpha)\) wird der Sinus mindestens \(-1\), also ist das Minimum \(-R\) sofort klar. |
| Quadrant | Einer der vier Bereiche, in die die \(x\)-Achse und die \(y\)-Achse die Koordinatenebene teilen. Oben rechts liegt der 1. Quadrant, gegen den Uhrzeigersinn folgen der 2., 3. und 4. Quadrant. In welchem Quadranten der Winkel (der Punkt auf dem Einheitskreis) liegt, bestimmt die Vorzeichen von \(\cos\) und \(\sin\). |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier ist zusammengefasst, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen noch einmal durchzugehen.
| Rechnen mit Quadratwurzeln (Klasse 9, 14–15 Jahre) |
|
| Der Satz des Pythagoras (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Der Einheitskreis und das Bogenmaß in Radiant (Klasse 10–11, 15–17 Jahre) |
|
| Graphen von Winkelfunktionen (Klasse 10–11, 15–17 Jahre) |
|
| Additionstheoreme (Klasse 11–12, 16–18 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Amplitude R und des Winkels α
| Koeffizient a von sin θ | 1 |
| Koeffizient b von cos θ | 1 |
| Amplitude R | =WURZEL(B1^2+B2^2) |
| Winkel α (Radiant) | =ARCTAN2(B1;B2) |
| Winkel α (Grad) | =GRAD(B4) |
Tabelle für die Kosinusform (Winkel β)
| Koeffizient a von sin θ | 1 |
| Koeffizient b von cos θ | 1 |
| Amplitude R | =WURZEL(B1^2+B2^2) |
| Winkel β (Radiant) | =ARCTAN2(B2;B1) |
| Winkel β (Grad) | =GRAD(B4) |
Tabelle zur Berechnung von Maximum, Minimum und dem θ des Maximums
| Koeffizient a von sin θ | 3 |
| Koeffizient b von cos θ | 4 |
| Amplitude R | =WURZEL(B1^2+B2^2) |
| Maximum | =B3 |
| Minimum | =-B3 |
| θ des Maximums (Radiant) | =PI()/2-ARCTAN2(B1;B2) |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (die Koeffizienten) Ihre Eingaben, und die Zeilen darunter werden automatisch berechnet.
„^“ ist die Potenz, WURZEL die Quadratwurzel, und ARCTAN2(x; y) liefert den Winkel in Richtung des Punktes (x | y). α ist die Richtung des Punktes (a | b), also =ARCTAN2(B1;B2), während β die Richtung des Punktes (b | a) ist, also =ARCTAN2(B2;B1). Achten Sie auf die vertauschte Reihenfolge der Argumente.
Die erste Tabelle gilt für sin θ + cos θ: R ist 1,41421… (= √2) und α ist 0,78539… (= π/4) = 45°.
Die dritte Tabelle gilt für 3 sin θ + 4 cos θ: Das Maximum ist 5, das Minimum ist −5, und das Maximum tritt bei θ = 0,64350… (Radiant) auf.
„^“ ist die Potenz, WURZEL die Quadratwurzel, und ARCTAN2(x; y) liefert den Winkel in Richtung des Punktes (x | y). α ist die Richtung des Punktes (a | b), also =ARCTAN2(B1;B2), während β die Richtung des Punktes (b | a) ist, also =ARCTAN2(B2;B1). Achten Sie auf die vertauschte Reihenfolge der Argumente.
Die erste Tabelle gilt für sin θ + cos θ: R ist 1,41421… (= √2) und α ist 0,78539… (= π/4) = 45°.
Die dritte Tabelle gilt für 3 sin θ + 4 cos θ: Das Maximum ist 5, das Minimum ist −5, und das Maximum tritt bei θ = 0,64350… (Radiant) auf.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Amplitude R und des Winkels α
| Koeffizient a von sin θ | 1 |
| Koeffizient b von cos θ | 1 |
| Amplitude R | =WURZEL(B1^2+B2^2) |
| Winkel α (Radiant) | =ARCTAN2(B1;B2) |
| Winkel α (Grad) | =GRAD(B4) |
Tabelle für die Kosinusform (Winkel β)
| Koeffizient a von sin θ | 1 |
| Koeffizient b von cos θ | 1 |
| Amplitude R | =WURZEL(B1^2+B2^2) |
| Winkel β (Radiant) | =ARCTAN2(B2;B1) |
| Winkel β (Grad) | =GRAD(B4) |
Tabelle zur Berechnung von Maximum, Minimum und dem θ des Maximums
| Koeffizient a von sin θ | 3 |
| Koeffizient b von cos θ | 4 |
| Amplitude R | =WURZEL(B1^2+B2^2) |
| Maximum | =B3 |
| Minimum | =-B3 |
| θ des Maximums (Radiant) | =PI()/2-ARCTAN2(B1;B2) |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Koeffizienten durch Ihre eigenen Zahlen.
Mit Python berechnen
import math
sin_coefficient = 1 # a (Koeffizient von sin θ)
cos_coefficient = 1 # b (Koeffizient von cos θ)
# Amplitude R = √(a² + b²) (hypot liefert die Wurzel aus der Summe der Quadrate)
amplitude = math.hypot(sin_coefficient, cos_coefficient)
# Winkel α (die Richtung des Punktes (a | b), im Bogenmaß)
alpha = math.atan2(cos_coefficient, sin_coefficient)
print(f"Amplitude R = {amplitude}")
print(f"Winkel α = {alpha} Radiant = {math.degrees(alpha)} Grad")
print(f"Maximum = {amplitude}, Minimum = {-amplitude}")
print(f"θ beim Maximum = {math.pi / 2 - alpha} Radiant (+ 2nπ)")
Funktioniert allein mit dem Modul math aus der Standardbibliothek. Dieses Beispiel fasst sin θ + cos θ zusammen. Beim Ausführen werden die Amplitude 1,4142… (= √2) und der Winkel 0,7853… Radiant (= π/4 = 45 Grad) ausgegeben (Python schreibt Dezimalzahlen mit Punkt statt Komma). Exakte Werte wie √2 selbst kann es nicht liefern, nutzen Sie dafür also den Rechner auf dieser Seite, wenn Sie die exakte Form brauchen. Ändern Sie die Koeffizienten und führen Sie es erneut aus.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Zusammenfassen von Sinus und Kosinus (Darstellung als Sinus)
a·sinθ + b·cosθ = R·sin(θ + α)
a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo>
<mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
a sin(theta) + b cos(theta) = R sin(theta + alpha)
a Sin[t] + b Cos[t] == Sqrt[a^2 + b^2] Sin[t + ArcTan[a, b]]
a*sin(theta) + b*cos(theta) = sqrt(a^2 + b^2)*sin(theta + arctan(b, a));
R = sqrt(a^2 + b^2); alpha = atan2(b, a); f = R*sin(theta + alpha);
a sin(θ) + b cos(θ) = R sin(θ + α)
So finden Sie die Amplitude \(R\) und den Winkel \(\alpha\)
R = √(a² + b²), cosα = a/R, sinα = b/R
R = \sqrt{a^{2} + b^{2}},\quad \cos\alpha = \frac{a}{R},\quad \sin\alpha = \frac{b}{R}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi><mo>=</mo>
<msqrt><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt>
<mo>,</mo>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mi>R</mi></mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mi>R</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
R = sqrt(a^2 + b^2), cos(alpha) = a/R, sin(alpha) = b/R
R = Sqrt[a^2 + b^2]; alpha = ArcTan[a, b]
R := sqrt(a^2 + b^2); alpha := arctan(b, a);
R = sqrt(a^2 + b^2); alpha = atan2(b, a);
R = √(a^2 + b^2), cos(α) = a/R, sin(α) = b/R
Maximum und Minimum des zusammengefassten Ausdrucks
−R ≤ a·sinθ + b·cosθ ≤ R
-R \le a\sin\theta + b\cos\theta \le R
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>−</mo><mi>R</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>a</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>R</mi>
</mrow>
</math>
-R <= a sin(theta) + b cos(theta) <= R
MaxValue[a Sin[t] + b Cos[t], t]
maximize(a*sin(theta) + b*cos(theta), theta = 0 .. 2*Pi);
[tmin, fneg] = fminbnd(@(t) -(a*sin(t) + b*cos(t)), 0, 2*pi); fmax = -fneg;
−R ≤ a sin(θ) + b cos(θ) ≤ R
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Rechenassistent für Winkelfunktionen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Schreiben Sie 3 sin θ + 4 cos θ in der Form R sin(θ + α). Zeigen Sie jeweils Folgendes: 1. Die Amplitude R (auch als exakten Wert mit Wurzel, wenn er sich so schreiben lässt) 2. Die Werte von cos α und sin α (als Brüche) sowie Näherungswerte von α (im Bogenmaß und in Grad) 3. Das Maximum und das Minimum dieses Ausdrucks und das θ, bei dem er am größten ist (im Bogenmaß) Verwenden Sie in Python math.hypot und math.atan2. Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
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1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
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2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
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3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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