Geben Sie die Koeffizienten a und b des Terms a sin θ + b cos θ ein. Die Formel darunter ist mit den Eingabefeldern verbunden – Sie können die Koeffizienten auch direkt darin ändern.
Dezimalzahlen, negative Zahlen, Brüche wie 3/4 und Werte mit Wurzeln wie √3, √3/2 oder 2√3 sind möglich (in der Formel darunter wird aus der Eingabe sqrt ein √). Ein leerer Koeffizient zählt als 1 (sin θ steht für 1 sin θ).
Ergebnis und Graph
Geben Sie links die Koeffizienten von sin θ und cos θ ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und ein Graph erscheinen dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Graphen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
-
So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Das können Sie auf dieser Seite
- Einen Term der Form \(a\sin\theta + b\cos\theta\) zu einer einzigen Sinusschwingung \(R\sin(\theta + \alpha)\) zusammenfassen (Überlagerung von Sinus und Kosinus)
- Die Amplitude \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) erscheint als vereinfachter exakter Wert wie \(\sqrt{2}\) und als Dezimalzahl. Den Winkel \(\alpha\) gibt der Rechner als Bruchteil von π an, wenn er ein besonderer Winkel wie \(\dfrac{\pi}{4}\) ist; sonst über die exakten Werte von \(\cos\alpha\) und \(\sin\alpha\) mit Näherungswerten im Bogenmaß und in Grad
- Zusätzlich die Kosinusform \(R\cos(\theta - \beta)\) (wann man welche Form nimmt, steht in der Erklärung)
- Auch das Maximum \(R\), das Minimum \(-R\) und die Werte von \(\theta\), an denen sie angenommen werden (eine typische Klausuraufgabe)
- Als Koeffizienten gehen ganze Zahlen, Dezimalzahlen, Brüche und Werte mit Wurzeln wie √3 oder √3/2. Ein Graph zeigt die beiden Ausgangsschwingungen, die zusammengefasste Schwingung und ihre Amplitude
Das funktioniert für \(\sin\theta\) und \(\cos\theta\) desselben Winkels \(\theta\), jeweils in der ersten Potenz (\(a\sin\theta + b\cos\theta\)). Terme mit verschiedenen Winkeln wie \(\sin 2\theta\) und \(\cos\theta\) oder Quadrate wie \(\sin^{2}\theta\) lassen sich so nicht zusammenfassen.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Spannung und Strom im Wechselstromkreis zusammenfassen (Elektrotechnik)
Der Wechselstrom aus der Steckdose ist in Deutschland eine Spannung von 230 V, die als Sinusschwingung 50-mal pro Sekunde hin und her schwingt. In Schaltungen verschieben Spulen und Kondensatoren die Schwingungen, und ihre Summe hat die Form \(a\sin\theta + b\cos\theta\). Fasst man sie zusammen, sieht man, welche einzelne Schwingung tatsächlich vorliegt: ihre Amplitude (den Scheitelwert) und ihre Phasenverschiebung.
Diese Rechnung gehört zum Standard in Elektrotechnik-Vorlesungen und in der Ausbildung zum Elektroniker.
Töne gleicher Tonhöhe überlagern (Akustik)
Schall ist eine Schwingung der Luft. Überlagern sich zwei Töne gleicher Tonhöhe (gleicher Frequenz), fasst sich die Summe ihrer Schwingungsgleichungen zu einer einzigen Schwingung zusammen. Je größer die gemeinsame Amplitude \(R\), desto lauter der Ton. Schwingen beide im Takt (gleichphasig), verstärken sie sich; schwingen sie gegenläufig, löschen sie sich aus.
Kopfhörer mit Geräuschunterdrückung (Noise Cancelling) senken den Lärm, indem sie eine gegenläufige Schwingung abspielen – genau diese Idee der Überlagerung.
Schwingungen von Gebäuden und Maschinen analysieren (Erdbeben- und Schwingungstechnik)
Bei der Analyse von Erdbeben oder Maschinenschwingungen zerlegt man die Bewegung oft in einen Sinus- und einen Kosinusanteil, rechnet mit beiden und fasst sie am Ende zusammen, um die tatsächliche Stärke (die Amplitude) zu erhalten. Lässt sich die Bewegung als einfache Schwingung mit einer einzigen Periode behandeln, schätzt man die größte Auslenkung als die zusammengefasste Amplitude \(R\) ab.
Echte Erdbebenwellen mischen viele Perioden, aber auch ihre Analyse beruht auf dieser Überlagerung von Sinusschwingungen.
Warum der Handyempfang von Ort zu Ort schwankt (Mobilfunk)
Ein Smartphone empfängt die Funkwelle direkt vom Mobilfunkmast und zugleich Wellen, die an Gebäuden und anderen Hindernissen reflektiert wurden. Wellen gleicher Frequenz fassen sich zu einer einzigen zusammen und verstärken oder schwächen sich je nach Wegunterschied (das nennt man Fading oder Schwund).
Schon ein kleiner Schritt kann die Zahl der Empfangsbalken ändern, weil diese zusammengefasste Amplitude von Ort zu Ort verschieden ist.
Formeln und Graphen
Sinus und Kosinus zusammenfassen (zu einem Sinus)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(a\sin\theta\)
\(+\)
\(b\cos\theta\)
\(=\)
\(R\sin(\theta + \alpha)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(\sin\theta\)-Term mit dem Koeffizienten \(a\)
\(+\)
②
\(\cos\theta\)-Term mit dem Koeffizienten \(b\)
\(=\)
③
eine Sinusschwingung mit der Amplitude \(R\) und dem Winkel \(\alpha\)
Die Formel in Worten
①
Die Summe aus dem
\(\sin\theta\)-Term mit dem Koeffizienten \(a\)
②
und dem
\(\cos\theta\)-Term mit dem Koeffizienten \(b\)
③
lässt sich schreiben als
eine einzige Sinusschwingung mit der Amplitude \(R\) und dem Winkel \(\alpha\)
.
Einfaches Beispiel
\(\sin\theta + \cos\theta\) (\(a = 1,\ b = 1\)) zusammengefasst:
\(\sin\theta\)-Term (Koeffizient 1)
\(+\)
\(\cos\theta\)-Term (Koeffizient 1)
\(=\)
Sinusschwingung mit der Amplitude \(\sqrt{2}\) und dem Winkel \(\dfrac{\pi}{4}\)
\(R = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\)
\(\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}},\ \ \sin\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \ \Rightarrow\ \alpha = \dfrac{\pi}{4}\)
\(\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\,\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)\)
Der Grundgedanke
Sind Sinus und Kosinus in einem Term gemischt, sieht man nicht ohne Weiteres, wann er am größten ist oder welche Werte er annimmt. Beim Zusammenfassen werden die beiden Schwingungen zu einer einzigen Sinusschwingung mit der Amplitude \(R\), verschoben um den Winkel \(\alpha\) – so erkennt man, was der Term eigentlich ist.
Das klappt dank des Additionstheorems \(\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha\), rückwärts gelesen, von rechts nach links. Fasst man \(a\) in \(a\sin\theta + b\cos\theta\) als \(R\cos\alpha\) und \(b\) als \(R\sin\alpha\) auf, wird aus dem ganzen Term \(R\sin(\theta + \alpha)\).
Man kann auch zum Kosinus zusammenfassen, \(R\cos(\theta - \beta)\). Beides ist richtig. In der Schulmathematik ist die Sinusform üblich, in Physik und Elektrotechnik oft die Kosinusform (Zeigerdiagramme). Verlangt eine Aufgabe ausdrücklich „die Form \(R\sin(\theta + \alpha)\)“ oder „die Form \(R\cos(\theta - \beta)\)“, nimmt man diese.
So bestimmen Sie die Amplitude \(R\) und den Winkel \(\alpha\)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(R\)
\(=\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
\(\cos\alpha\)
\(=\)
\(\dfrac{a}{R}\)
\(\sin\alpha\)
\(=\)
\(\dfrac{b}{R}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
②
Amplitude \(R\) (Höhe der zusammengefassten Schwingung)
\(=\)
①
Wurzel aus der Summe der Quadrate von \(a\) und \(b\)
Kosinus des Winkels \(\alpha\)
\(=\)
③
Koeffizient \(a\) von \(\sin\theta\) geteilt durch die Amplitude \(R\)
Sinus des Winkels \(\alpha\)
\(=\)
④
Koeffizient \(b\) von \(\cos\theta\) geteilt durch die Amplitude \(R\)
Die Formel in Worten
①
Man quadriert die Koeffizienten \(a\) und \(b\), addiert sie und zieht die Wurzel. Dieser Wert
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
②
ist die
Amplitude \(R\)
.
③
Dann wählt man den Winkel \(\alpha\) so, dass der
Koeffizient \(a\) geteilt durch die Amplitude \(R\)
sein Kosinus ist
④
und der
Koeffizient \(b\) geteilt durch die Amplitude \(R\)
sein Sinus.
Einfaches Beispiel
Für \(\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta\) (\(a = \sqrt{3},\ b = 1\)):
Amplitude \(R = 2\)
\(=\)
Wurzel aus der Summe der Quadrate von \(\sqrt{3}\) und \(1\), \(\sqrt{4}\)
\(R = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2\)
\(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \ \sin\alpha = \dfrac{1}{2} \ \Rightarrow\ \alpha = \dfrac{\pi}{6}\)
\(\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{6}\right)\)
Der Grundgedanke
Die Amplitude \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) ist der Abstand des Punkts \((a \,|\, b)\) vom Ursprung – also genau der Satz des Pythagoras. Zeichnet man den Punkt \((a \,|\, b)\) ein, ist \(\alpha\) der Winkel zwischen der \(x\)-Achse und dem Pfeil vom Ursprung zu \((a \,|\, b)\). Im Zweifel hilft genau das: Punkt einzeichnen, Abstand und Winkel ablesen.
Wichtig ist, sowohl \(\cos\alpha\) als auch \(\sin\alpha\) zu prüfen. Erst beide zusammen zeigen, in welchem Quadranten \(\alpha\) liegt; einer allein legt den Winkel nicht fest (bei \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\) allein bleiben etwa \(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\) und \(-\dfrac{\pi}{3}\)).
Ein besonderer Winkel wie \(\dfrac{\pi}{6}\) oder \(\dfrac{\pi}{4}\) ist \(\alpha\) nur bei besonderen Koeffizientenpaaren wie \((1 \,|\, 1)\) oder \((\sqrt{3} \,|\, 1)\). Sonst schreibt man ihn als Bedingung, etwa „der Winkel \(\alpha\) mit \(\cos\alpha = \dfrac{3}{5},\ \sin\alpha = \dfrac{4}{5}\)“ (so zeigt es auch dieser Rechner).
Maximum und Minimum des zusammengefassten Terms
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(-R\)
\(\le\)
\(a\sin\theta + b\cos\theta\)
\(\le\)
\(R\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
②
Minimum \(-R\)
\(\le\)
①
der Term (\(= R\sin(\theta + \alpha)\))
\(\le\)
③
Maximum \(R\)
Die Formel in Worten
①
Der Wert des
Terms \(a\sin\theta + b\cos\theta\)
②
bewegt sich zwischen dem
Minimum \(-R\)
③
und dem
Maximum \(R\)
(wenn \(\theta\) alle reellen Zahlen durchläuft).
Einfaches Beispiel
Für \(3\sin\theta + 4\cos\theta\) (\(R = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5\)):
Minimum \(-5\)
\(\le\)
\(3\sin\theta + 4\cos\theta\)
\(\le\)
Maximum \(5\)
\(R = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)
\(-5 \le 3\sin\theta + 4\cos\theta \le 5\)
Der Grundgedanke
Nach dem Zusammenfassen gilt \(a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)\). Ein Sinus liegt immer zwischen \(-1\) und \(1\), also nimmt der ganze Term nur Werte von \(-R\) bis \(R\) an. Die typische Klausuraufgabe „Bestimmen Sie Maximum und Minimum eines Terms mit Sinus und Kosinus“ ist damit in einer Zeile gelöst.
Das Maximum liegt dort, wo \(\sin(\theta + \alpha) = 1\) ist, also bei \(\theta + \alpha = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi\) (\(n\) ganzzahlig), d. h. \(\theta = \dfrac{\pi}{2} - \alpha + 2n\pi\). Das Minimum liegt dort, wo der Sinus \(-1\) ist, bei \(\theta = -\dfrac{\pi}{2} - \alpha + 2n\pi\).
Ist \(\theta\) eingeschränkt (etwa \(0 \le \theta < 2\pi\)), bestimmt man zuerst den Bereich von \(\theta + \alpha\) und sucht dann darin die Winkel, an denen der Sinus am größten und am kleinsten ist. Achtung: Maximum oder Minimum können auch am Rand des Bereichs liegen.
Beim Zusammenfassen wird \(a\sin\theta + b\cos\theta\) zu einer einzigen Sinusschwingung \(R\sin(\theta + \alpha)\) mit der Amplitude \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) und dem Winkel \(\alpha\) (\(\cos\alpha = \dfrac{a}{R},\ \sin\alpha = \dfrac{b}{R}\)). Danach lassen sich das Maximum \(R\) und das Minimum \(-R\) sofort ablesen.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(a,\ b\) | a, b | Die Koeffizienten des Terms: \(a\) ist die Zahl vor \(\sin\theta\), \(b\) die Zahl vor \(\cos\theta\). Für feste Zahlen nimmt man üblicherweise Buchstaben vom Anfang des Alphabets, \(a,\ b,\ c\). |
| \(\theta\) | Theta | Ein griechischer Buchstabe, der oft für Winkel steht (in deutschen Schulbüchern auch \(x\) oder \(\varphi\)). Auf dieser Seite ist es der veränderliche Winkel im Term. |
| \(R\) | R | Die Amplitude (Höhe) der zusammengefassten Sinusschwingung; der Buchstabe kommt vermutlich von „Radius“. \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) ist der Abstand des Punkts \((a \,|\, b)\) vom Ursprung und das Maximum des Terms. |
| \(\alpha\) | Alpha | Der Winkel, um den die Sinusform verschoben ist – der erste Buchstabe des griechischen Alphabets, wie üblich für zusätzliche Winkel. Er ist der Winkel zwischen der \(x\)-Achse und dem Pfeil vom Ursprung zum Punkt \((a \,|\, b)\). |
| \(\beta\) | Beta | Der Winkel, um den die Kosinusform verschoben ist (zweiter Buchstabe des griechischen Alphabets). Es gilt \(\beta = \dfrac{\pi}{2} - \alpha\) (Winkel, die sich um \(2\pi\), eine volle Umdrehung, unterscheiden, liegen gleich; daher darf man \(2\pi\) addieren oder abziehen, damit \(-\pi < \beta \le \pi\) gilt). |
| \(\sin\) | Sinus | Eine der trigonometrischen Funktionen (Sinus). Am Einheitskreis ist \(\sin\theta\) die \(y\)-Koordinate des Punkts beim Winkel \(\theta\). |
| \(\cos\) | Kosinus | Eine der trigonometrischen Funktionen (Kosinus). Am Einheitskreis ist \(\cos\theta\) die \(x\)-Koordinate des Punkts beim Winkel \(\theta\). |
| \(\pi\) | Pi | Die Kreiszahl (etwa 3,14). Im Bogenmaß entspricht \(\pi\) genau 180°, also ist \(\dfrac{\pi}{4}\) gleich 45° und \(\dfrac{\pi}{6}\) gleich 30°. |
| \(2n\pi\) | zwei n Pi | Schreibweise für „ein ganzzahliges Vielfaches von \(2\pi\) (einer vollen Umdrehung)“, \(n\) ist eine ganze Zahl. Nach jeder vollen Umdrehung (\(2\pi\)) liegt ein Winkel wieder gleich, daher gibt es unendlich viele \(\theta\), an denen Maximum oder Minimum angenommen werden – jeweils im Abstand \(2\pi\). |
| \(\sqrt{\phantom{2}}\) | Wurzel | Das Wurzelzeichen. \(\sqrt{2}\) ist die positive Zahl, deren Quadrat 2 ist. Es steckt in der Amplitude \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\). |
| \(\le\) | kleiner oder gleich | Das Ungleichheitszeichen für „kleiner oder gleich“. \(-R \le f(\theta) \le R\) heißt: \(f(\theta)\) ist mindestens \(-R\) und höchstens \(R\). |
Begriffe
| Überlagerung | Das Zusammenfassen eines Terms der Form \(a\sin\theta + b\cos\theta\) zu einer einzigen Sinusschwingung \(R\sin(\theta + \alpha)\) – in der Physik die Überlagerung zweier gleichfrequenter Schwingungen. Es beruht auf dem rückwärts gelesenen Additionstheorem. In der Schule kommt es meist in der Oberstufe vor, sonst im ersten Semester (Mathematik für Ingenieure, Physik). |
| Sinusschwingung | Eine Schwingung, die gleichmäßig auf und ab geht wie der Graph von \(y = \sin\theta\) (Sinuskurve), auch harmonische Schwingung genannt. Viele Wellen im Alltag wie Schall, Licht oder Wechselstrom haben diese Form. |
| Amplitude | Die „Höhe“ einer Schwingung: der Abstand von der Mittellage (auf dieser Seite 0) bis zum höchsten Punkt. \(y = R\sin(\theta + \alpha)\) hat die Amplitude \(R\) und schwingt zwischen \(-R\) und \(R\). |
| Periode | Die Länge, nach der sich eine Schwingung wiederholt. Die Periode von \(\sin\theta\) ist \(2\pi\) (360°), und beim Zusammenfassen ändert sie sich nicht. |
| Phasenverschiebung | Wie weit eine Schwingung seitlich verschoben ist. \(R\sin(\theta + \alpha)\) ist die Schwingung \(R\sin\theta\), um \(\alpha\) nach links verschoben; diese Verschiebung heißt Phasenverschiebung. |
| Additionstheorem | Eine Formel wie \(\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha\), die eine Winkelfunktion einer Winkelsumme durch die Winkelfunktionen der einzelnen Winkel ausdrückt. Beim Zusammenfassen liest man sie rückwärts, von rechts nach links. |
| besonderer Winkel | Winkel wie \(30°\) (\(\dfrac{\pi}{6}\)), \(45°\) (\(\dfrac{\pi}{4}\)) oder \(60°\) (\(\dfrac{\pi}{3}\)), deren Sinus- und Kosinuswerte einfache exakte Werte wie \(\dfrac{1}{2}\) oder \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) sind. Schulbuch- und Klausuraufgaben zu diesem Thema sind fast immer so gebaut, dass \(\alpha\) ein besonderer Winkel ist. |
| Bogenmaß | Winkelmessung über die Bogenlänge am Kreis mit Radius 1 (Einheit rad). Es gilt \(180° = \pi\), also ist \(45°\) gleich \(\dfrac{\pi}{4}\). Bei trigonometrischen Funktionen ab Klasse 10 ist das Bogenmaß üblicher als Grad. |
| Einheitskreis | Der Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Der Punkt beim Winkel \(\theta\) hat die Koordinaten \((\cos\theta \,|\, \sin\theta)\) – so sieht man die Werte der Winkelfunktionen. |
| Maximum | Der größte Wert, den eine Funktion annimmt. In \(R\sin(\theta + \alpha)\) geht der Sinus nicht über \(1\) hinaus, daher ist das Maximum \(R\) sofort klar. |
| Minimum | Der kleinste Wert, den eine Funktion annimmt. In \(R\sin(\theta + \alpha)\) geht der Sinus nicht unter \(-1\), daher ist das Minimum \(-R\) sofort klar. |
| Quadrant | Eines der vier Felder, in die \(x\)-Achse und \(y\)-Achse die Ebene teilen. Rechts oben ist der 1. Quadrant, gegen den Uhrzeigersinn folgen der 2., 3. und 4. In welchem Quadranten der Winkel (der Punkt auf dem Einheitskreis) liegt, bestimmt die Vorzeichen von \(\cos\) und \(\sin\). |
Das sollten Sie vorher wissen
Hier steht, was Ihnen hilft, die Rechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen – statt nur auf die Schaltfläche zu klicken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist das Wiederholen dieser Themen der schnellste Weg.
| Rechnen mit Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Satz des Pythagoras (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Einheitskreis und Bogenmaß (Klasse 10, 15–16 Jahre) |
|
| Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion (Klasse 10–11, 15–17 Jahre) |
|
| Additionstheoreme (Oberstufe, 16–18 Jahre, oder erstes Semester) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Amplitude R und den Winkel α
| Koeffizient a von sin θ | 1 |
| Koeffizient b von cos θ | 1 |
| Amplitude R | =WURZEL(B1^2+B2^2) |
| Winkel α (Bogenmaß) | =ARCTAN2(B1;B2) |
| Winkel α (Grad) | =GRAD(B4) |
Tabelle für die Kosinusform (Winkel β)
| Koeffizient a von sin θ | 1 |
| Koeffizient b von cos θ | 1 |
| Amplitude R | =WURZEL(B1^2+B2^2) |
| Winkel β (Bogenmaß) | =ARCTAN2(B2;B1) |
| Winkel β (Grad) | =GRAD(B4) |
Tabelle für Maximum, Minimum und das θ des Maximums
| Koeffizient a von sin θ | 3 |
| Koeffizient b von cos θ | 4 |
| Amplitude R | =WURZEL(B1^2+B2^2) |
| Maximum | =B3 |
| Minimum | =-B3 |
| θ des Maximums (Bogenmaß) | =PI()/2-ARCTAN2(B1;B2) |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (die Koeffizienten) Ihre Eingaben; die Zeilen darunter werden automatisch berechnet.
„^“ ist die Potenz, WURZEL die Quadratwurzel, und ARCTAN2(x;y) liefert den Winkel in Richtung des Punkts (x | y). α ist die Richtung des Punkts (a | b), also =ARCTAN2(B1;B2), β dagegen die Richtung von (b | a), also =ARCTAN2(B2;B1). Achten Sie auf die vertauschte Reihenfolge der Argumente.
Die erste Tabelle gilt für sin θ + cos θ: R ist 1,41421… (= √2) und α ist 0,78539… (= π/4) = 45°.
Die dritte Tabelle gilt für 3 sin θ + 4 cos θ: Das Maximum ist 5, das Minimum −5, und das Maximum liegt bei θ = 0,64350… (Bogenmaß).
„^“ ist die Potenz, WURZEL die Quadratwurzel, und ARCTAN2(x;y) liefert den Winkel in Richtung des Punkts (x | y). α ist die Richtung des Punkts (a | b), also =ARCTAN2(B1;B2), β dagegen die Richtung von (b | a), also =ARCTAN2(B2;B1). Achten Sie auf die vertauschte Reihenfolge der Argumente.
Die erste Tabelle gilt für sin θ + cos θ: R ist 1,41421… (= √2) und α ist 0,78539… (= π/4) = 45°.
Die dritte Tabelle gilt für 3 sin θ + 4 cos θ: Das Maximum ist 5, das Minimum −5, und das Maximum liegt bei θ = 0,64350… (Bogenmaß).
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Amplitude R und den Winkel α
| Koeffizient a von sin θ | 1 |
| Koeffizient b von cos θ | 1 |
| Amplitude R | =WURZEL(B1^2+B2^2) |
| Winkel α (Bogenmaß) | =ARCTAN2(B1;B2) |
| Winkel α (Grad) | =GRAD(B4) |
Tabelle für die Kosinusform (Winkel β)
| Koeffizient a von sin θ | 1 |
| Koeffizient b von cos θ | 1 |
| Amplitude R | =WURZEL(B1^2+B2^2) |
| Winkel β (Bogenmaß) | =ARCTAN2(B2;B1) |
| Winkel β (Grad) | =GRAD(B4) |
Tabelle für Maximum, Minimum und das θ des Maximums
| Koeffizient a von sin θ | 3 |
| Koeffizient b von cos θ | 4 |
| Amplitude R | =WURZEL(B1^2+B2^2) |
| Maximum | =B3 |
| Minimum | =-B3 |
| θ des Maximums (Bogenmaß) | =PI()/2-ARCTAN2(B1;B2) |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Koeffizienten durch Ihre eigenen Zahlen.
So berechnen Sie es in Python
import math
sin_coefficient = 1 # a (Koeffizient von sin θ)
cos_coefficient = 1 # b (Koeffizient von cos θ)
# Amplitude R = √(a² + b²) (hypot liefert die Wurzel aus der Summe der Quadrate)
amplitude = math.hypot(sin_coefficient, cos_coefficient)
# Winkel α (Richtung des Punkts (a | b), im Bogenmaß)
alpha = math.atan2(cos_coefficient, sin_coefficient)
print(f"Amplitude R = {amplitude}")
print(f"Winkel α = {alpha} rad = {math.degrees(alpha)} Grad")
print(f"Maximum = {amplitude}, Minimum = {-amplitude}")
print(f"θ des Maximums = {math.pi / 2 - alpha} rad (+ 2nπ)")
Läuft nur mit dem Modul math der Standardbibliothek. Das Beispiel fasst sin θ + cos θ zusammen und gibt die Amplitude 1,4142… (= √2) und den Winkel 0,7853… rad (= π/4 = 45 Grad) aus (Python schreibt die Dezimalzahlen dabei mit Punkt). Exakte Werte wie √2 selbst liefert es nicht – dafür nehmen Sie den Rechner auf dieser Seite. Ändern Sie die Koeffizienten und führen Sie den Code erneut aus.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Sinus und Kosinus zusammenfassen (zu einem Sinus)
a·sinθ + b·cosθ = R·sin(θ + α)
a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo>
<mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
a sin(theta) + b cos(theta) = R sin(theta + alpha)
a Sin[t] + b Cos[t] == Sqrt[a^2 + b^2] Sin[t + ArcTan[a, b]]
a*sin(theta) + b*cos(theta) = sqrt(a^2 + b^2)*sin(theta + arctan(b, a));
R = sqrt(a^2 + b^2); alpha = atan2(b, a); f = R*sin(theta + alpha);
a sin(θ) + b cos(θ) = R sin(θ + α)
So bestimmen Sie die Amplitude \(R\) und den Winkel \(\alpha\)
R = √(a² + b²), cosα = a/R, sinα = b/R
R = \sqrt{a^{2} + b^{2}},\quad \cos\alpha = \frac{a}{R},\quad \sin\alpha = \frac{b}{R}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi><mo>=</mo>
<msqrt><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt>
<mo>,</mo>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mi>R</mi></mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mi>R</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
R = sqrt(a^2 + b^2), cos(alpha) = a/R, sin(alpha) = b/R
R = Sqrt[a^2 + b^2]; alpha = ArcTan[a, b]
R := sqrt(a^2 + b^2); alpha := arctan(b, a);
R = sqrt(a^2 + b^2); alpha = atan2(b, a);
R = √(a^2 + b^2), cos(α) = a/R, sin(α) = b/R
Maximum und Minimum des zusammengefassten Terms
−R ≤ a·sinθ + b·cosθ ≤ R
-R \le a\sin\theta + b\cos\theta \le R
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>−</mo><mi>R</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>a</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>R</mi>
</mrow>
</math>
-R <= a sin(theta) + b cos(theta) <= R
MaxValue[a Sin[t] + b Cos[t], t]
maximize(a*sin(theta) + b*cos(theta), theta = 0 .. 2*Pi);
[tmin, fneg] = fminbnd(@(t) -(a*sin(t) + b*cos(t)), 0, 2*pi); fmax = -fneg;
−R ≤ a sin(θ) + b cos(θ) ≤ R
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (trigonometrische Funktionen). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Schätzen). Schreiben Sie 3 sin θ + 4 cos θ in der Form R sin(θ + α). Geben Sie jeweils an: 1. Die Amplitude R (auch als exakten Wert mit Wurzel, falls möglich) 2. Die Werte von cos α und sin α (als Brüche) und Näherungswerte von α (im Bogenmaß und in Grad) 3. Maximum und Minimum des Terms und das θ, an dem er am größten ist (im Bogenmaß) Verwenden Sie in Python math.hypot und math.atan2. Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
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1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
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2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
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3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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