Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnen und umgekehrt (Radius r und Winkel θ, mit Quadrantenkorrektur)

Wählen Sie die Richtung der Umrechnung und geben Sie die Zahlen ein. Für „kartesisch → polar“ geben Sie die x- und die y-Koordinate ein. Für „polar → kartesisch“ geben Sie den Radius r und den Winkel θ ein (und wählen dessen Einheit).

Umrechnung

x-Koordinate

y-Koordinate

Radius r

Winkel θ

Einheit des Winkels

Geben Sie nur Zahlen ein. Dezimalzahlen mit Komma, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 sind möglich. Ein leeres x oder y zählt als 0.

Ergebnis und Figur

Geben Sie im Feld links die Zahlen ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Abbildung der Koordinatenebene erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Rechnen Sie kartesische Koordinaten \(P(x|y)\) sofort in Polarkoordinaten \(P(r|\theta)\) um. Der Radius wird als exakter Wert mit vereinfachter Wurzel angegeben, etwa \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), und bei besonderen Winkeln wird der Winkel exakt als Bruchteil von π angegeben
Der Winkel \(\theta\) wird hauptsächlich im Bereich \(0 \le \theta < 2\pi\) angegeben, zusätzlich auch der Wert für \(-\pi < \theta \le \pi\), sodass Sie Ihre Antwort prüfen können, welchen Bereich Ihr Lehrbuch auch verwendet
Sie können auch in die andere Richtung umrechnen (polar → kartesisch). Geben Sie den Radius \(r\) und den Winkel \(\theta\) ein (in Grad, als Bruchteil von π oder im Bogenmaß als Dezimalzahl), und Sie erhalten \(x = r\cos\theta\) und \(y = r\sin\theta\) als exakte Werte wie \(\left(-2|2\sqrt{3}\right)\)
Der Rechenweg zeigt Schritt für Schritt, wie der Winkel aus \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\) und dem Quadranten, in dem der Punkt liegt, bestimmt wird (die Quadrantenkorrektur)
Das Ergebnis lässt sich in einer Abbildung der Koordinatenebene prüfen. Helle konzentrische Kreise (eine Skala für den Radius) und Strahlen (eine Skala für den Winkel) zeigen auf einen Blick, wo der Radius \(r\) und der Winkel \(\theta\) liegen

Diese Seite behandelt Polarkoordinaten in der Ebene, wie sie in der Oberstufe behandelt werden. Für die kartesischen \(x\) und \(y\) können Sie Brüche und Dezimalzahlen (rationale Zahlen) eingeben, aber keine irrationalen Zahlen wie √3. Bei solchen Eingaben ergibt sich der Winkel nur dann als exakter Bruchteil von π, wenn der Punkt auf einer Achse oder unter einem Winkel der 45°-Familie liegt. (Bei 30° und 60° ist tanθ irrational, etwa 1/√3, sie können also nicht aus rationalen \(x\) und \(y\) entstehen.) In die andere Richtung, polar → kartesisch, wird jeder besondere Winkel, der ein Vielfaches von 30° oder 45° ist, exakt berechnet.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Flugsicherung und Schiffsradar (Ort über Entfernung und Peilung)

Flughafenradar und Schiffsradar messen „die Entfernung von hier“ über die Zeit, die ein Radioimpuls für den Rückweg braucht, und „die Peilung“ über die Richtung, in die die Antenne zeigt. Was sie messen, sind also von Anfang an Polarkoordinaten \(\left(r|\theta\right)\).
Der Bildschirm der Fluglotsen und Seekarten beruhen aber auf waagerechten und senkrechten Koordinaten, also werden im Gerät die gemessene Entfernung und die Peilung mit \(x = r\cos\theta\) und \(y = r\sin\theta\) in kartesische Koordinaten umgerechnet. Die Umrechnung auf dieser Seite verbindet ein Gerät, das nach Entfernung und Richtung misst, mit einem Bildschirm, der nach rechts und nach oben zeichnet.

Entfernungssensoren in selbstfahrenden Autos und Saugrobotern

Die Laser-Entfernungssensoren (LiDAR) in selbstfahrenden Autos und Saugrobotern drehen sich und nehmen eine riesige Zahl von Messungen der Form „in dieser Richtung hat in dieser Entfernung etwas den Strahl reflektiert“ auf. Jede Messung ist ein Paar aus Richtung (Winkel) und Entfernung, das sind Polarkoordinaten.
Um aus den gesammelten Punkten eine Karte zu bauen, wird jeder Punkt in kartesische Koordinaten umgerechnet und dann zusammengeführt. Die Umgebung zu kartieren und dann eine Route zu planen, ist der Grundablauf des autonomen Fahrens, und diese Koordinatenumrechnung ist der Anfang.

Wetterradar und Zugbahnkarten von Stürmen

Auch ein Wetterradar dreht seine Antenne beim Senden der Radiowellen und empfängt die Reflexionen von Regen und Schnee als „Peilung und Entfernung“. Die Regenbilder in den Wetterberichten im Fernsehen sind diese Polardaten, umgerechnet in die waagerechten und senkrechten Koordinaten einer Karte.
Die Position eines Sturmtiefs als „150 Kilometer südsüdöstlich von Hamburg“ anzugeben, ist ebenfalls polares Denken, und die Umrechnung in kartesische Koordinaten geschieht, wenn der Punkt in eine Karte eingezeichnet wird.

Maschinen und Fahrgeschäfte entwerfen, die sich im Kreis bewegen

Bei Dingen, die sich um einen Mittelpunkt drehen, wie den Gondeln eines Riesenrads, den Zähnen eines Zahnrads oder den Flügeln eines Ventilators, wird der Entwurf einfacher, wenn man denkt: „Der Abstand vom Mittelpunkt ist fest, nur die Richtung ändert sich.“ Bei Polarkoordinaten legt man einfach den Abstand \(r\) fest und ändert den Winkel \(\theta\), wodurch sich die Teile sehr leicht platzieren lassen.
Zeichnungen und CNC-Werkzeugmaschinen verwenden aber waagerechte und senkrechte Koordinaten, deshalb wird am Ende jede Position in kartesische Koordinaten umgerechnet, bevor sie weitergegeben wird.

Kreisförmige Anordnungen und Bewegungen in Computergrafik und Spielen

Gegner gleichmäßig um die Heldin oder den Helden anordnen, Geschosse in alle Richtungen abfeuern, eine Kamera um ein Ziel kreisen lassen: All das denkt man am natürlichsten in „Abstand vom Mittelpunkt“ und „Winkel“, und das gleichmäßige Aufteilen des Winkels legt die Anordnung fest.
Der Bildschirm wird in waagerechten und senkrechten Koordinaten gezeichnet, deshalb werden in jedem Bild die Positionen mit \(x = r\cos\theta\) und \(y = r\sin\theta\) umgerechnet. Diese Umrechnung ist der Grund, warum sich Kreisbewegungen leicht programmieren lassen.

Formeln und Abbildungen

Von Polarkoordinaten zu kartesischen Koordinaten (zwei Arten, die Lage eines Punktes anzugeben)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(x\) \(=\) \(r\) \(\cos\theta\)

\(y\) \(=\) \(r\) \(\sin\theta\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(x\)-Koordinate \(=\) ① \(r\): Radius ② Kosinus des Winkels \(\theta\)

④ \(y\)-Koordinate \(=\) \(r\): Radius Sinus des Winkels \(\theta\)

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie den Abstand vom Pol (dem Ursprung), den Radius \(r\)

② multiplizieren Sie ihn mit dem Kosinus des Winkels \(\theta\), \(\cos\theta\)

③ und Sie erhalten die \(x\)-Koordinate

④ Multiplizieren Sie denselben Radius mit dem Sinus \(\sin\theta\), und Sie erhalten die \(y\)-Koordinate

Einfaches Beispiel

Die Umrechnung der Polarkoordinaten \(P\left(2|\dfrac{\pi}{3}\right)\) (Abstand 2 vom Pol, Richtung 60° zur Polarachse) in kartesische Koordinaten ergibt

\(x\)-Koordinate \(=\) Radius \(2\) \(\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}\)

\(y\)-Koordinate \(=\) Radius \(2\) \(\sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(x = 2\cos\dfrac{\pi}{3} = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1\)

\(y = 2\sin\dfrac{\pi}{3} = 2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\)

\(P\left(2|\dfrac{\pi}{3}\right) \rightarrow P\left(1|\sqrt{3}\right)\)

Der Kerngedanke

Das sind zwei Arten, die Lage desselben Punktes zu beschreiben. „Gehe \(x\) nach rechts und \(y\) nach oben“ sind kartesische Koordinaten \((x|y)\). „Gehe von einem Bezugspunkt aus die Strecke \(r\) in die Richtung, die um \(\theta\) von einer Bezugsrichtung abweicht“ sind Polarkoordinaten \((r|\theta)\). Beim Treffen mit einer Freundin oder einem Freund ist das der Unterschied zwischen „300 Meter östlich und 400 Meter nördlich vom Bahnhof“ und „500 Meter vom Bahnhof entfernt, ungefähr in Richtung Nordosten“. Der Bezugspunkt der Polarkoordinaten heißt Pol, und die Bezugsrichtung (der Strahl vom Pol nach rechts) heißt Polarachse. Legt man Polarkoordinaten über die Koordinatenebene, kommt der Pol auf den Ursprung und die Polarachse auf die positive \(x\)-Achse. Um zu sehen, warum \(x = r\cos\theta\) und \(y = r\sin\theta\) gilt, denken Sie an den Kreis mit dem Radius 1 (den Einheitskreis). Auf dem Einheitskreis hat der Punkt in Richtung des Winkels \(\theta\) die waagerechte Lage \(\cos\theta\) und die senkrechte Lage \(\sin\theta\). Ist der Radius \(r\), wird das ganze Bild um den Faktor \(r\) vergrößert, also werden beide Lagen mit \(r\) multipliziert.

Radius \(r\) (Abstand vom Pol)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

\(r\) \(=\) \(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\)

② \(r\): Radius \(=\) ① Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate von \(x\) und \(y\)

Die Formel in Worten

① Die Quadratwurzel aus \(x\) zum Quadrat plus \(y\) zum Quadrat, \(\sqrt{x^2 + y^2}\),

② ist der Radius \(r\)

Einfaches Beispiel

Der Radius des Punktes \(P\left(3|4\right)\) ist

Radius \(r\) \(=\) \(\sqrt{3^2 + 4^2}\)

\(r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

Der Kerngedanke

Das ist genau der Satz des Pythagoras aus Klasse 8 (13–14 Jahre). Verbinden Sie den Ursprung, den Punkt \((x|0)\) und \(P\), und Sie erhalten ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(x\) und \(y\). Der Abstand des Ursprungs von \(P\) (die Hypotenuse) ist \(\sqrt{x^2 + y^2}\). Die Wurzel im Ergebnis schreibt man meist in vereinfachter Form, mit herausgezogenen Quadratfaktoren, wie in \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). Auch dieser Rechner zeigt die vereinfachte Form. Bei Polarkoordinaten wird der Radius \(r\) als 0 oder größer angenommen. Ein Abstand ist nie negativ, deshalb ist das \(r\), das Sie aus der Umrechnung erhalten, nie negativ.

Winkel \(\theta\) (aus tanθ und dem Quadranten)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

\(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{y}{x}\)

② Tangens des Winkels \(\theta\) \(=\) ① \(y\) geteilt durch \(x\)

Die Formel in Worten

① Der Quotient aus \(y\)-Koordinate und \(x\)-Koordinate, also \(y\) geteilt durch \(x\),

② ist der Tangens des Winkels \(\theta\), \(\tan\theta\) (das allein legt \(\theta\) nicht fest, also grenzen Sie den Winkel über den Quadranten ein, in dem \(P\) liegt)

Einfaches Beispiel

Der Winkel des Punktes \(P\left(-1|1\right)\) (\(x\) ist negativ und \(y\) ist positiv, also liegt der Punkt im II. Quadranten) ist

Tangens \(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\tan\theta = \dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\theta = \dfrac{3}{4}\pi \quad \left(x < 0,\ y > 0\right)\)

Der Kerngedanke

Im Bereich \(0 \le \theta < 2\pi\) gibt es zwei Winkel mit \(\tan\theta = -1\): \(\dfrac{3}{4}\pi\) (135°) und \(\dfrac{7}{4}\pi\) (315°). Welcher richtig ist, hängt vom Quadranten des Punktes \(P\) ab. \(P(-1|1)\) hat ein negatives \(x\) und ein positives \(y\), liegt also im II. Quadranten (oben links), und wir wählen \(\theta = \dfrac{3}{4}\pi\). Das ist die Quadrantenkorrektur. Der \(\arctan\) (Arkustangens) auf einem Taschenrechner oder in einer Tabellenkalkulation liefert nur Winkel zwischen \(-\dfrac{\pi}{2}\) und \(\dfrac{\pi}{2}\), sodass er für Punkte im II. und III. Quadranten den Winkel nicht direkt liefert. Sie müssen den Winkel aus \(\arctan\) korrigieren, zum Beispiel durch Addieren von \(\pi\), je nach Quadrant. (Dieser Rechner zeigt diese Korrektur im Rechenweg.) Bei einem Punkt mit \(x = 0\) (auf der \(y\)-Achse) lässt sich \(\dfrac{y}{x}\) nicht berechnen. Entscheiden Sie dann anhand der Abbildung, dass \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) oder \(\dfrac{3}{2}\pi\) ist. Möchten Sie ein Verfahren, das für jeden Punkt funktioniert, wählen Sie das \(\theta\), das sowohl \(\cos\theta = \dfrac{x}{r}\) als auch \(\sin\theta = \dfrac{y}{r}\) erfüllt. Dann müssen Sie keine Fälle nach Quadranten unterscheiden.

Derselbe Punkt hat mehr als eine Angabe in Polarkoordinaten

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(P\left(r|\theta\right)\) \(=\) \(P\left(r|\theta + 2n\pi\right)\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

① Punkt \(P\) mit den Polarkoordinaten \(\left(r|\theta\right)\) \(=\) ② Punkt, bei dem zum Winkel \(n\) volle Umdrehungen \(2\pi\) addiert sind

Die Formel in Worten

① Der Punkt \(P\) mit den Polarkoordinaten \(\left(r|\theta\right)\)

② und der Punkt, bei dem zum Winkel \(n\) volle Umdrehungen \(2\pi\) addiert sind sind ein und derselbe Punkt (\(n\) ist eine ganze Zahl)

Einfaches Beispiel

Weitere Polarkoordinaten für denselben Punkt wie \(P\left(2|\dfrac{\pi}{3}\right)\) sind

\(P\left(2,\ \dfrac{\pi}{3}\right)\) \(=\) \(P\left(2,\ \dfrac{7}{3}\pi\right)\) \(=\) \(P\left(2,\ -\dfrac{5}{3}\pi\right)\)

\(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{6}{3}\pi = \dfrac{7}{3}\pi\)

\(\dfrac{\pi}{3} - 2\pi = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{6}{3}\pi = -\dfrac{5}{3}\pi\)

Der Kerngedanke

Bei kartesischen Koordinaten hat jeder Punkt genau ein Paar \((x|y)\), bei Polarkoordinaten ist das anders. Nach einer vollen Umdrehung (\(2\pi\) = 360°) blickt man wieder in dieselbe Richtung, also ergibt das beliebig oft wiederholte Addieren oder Subtrahieren von \(2\pi\) zum Winkel denselben Punkt. Da die Antwort so nicht festgelegt ist, vereinbart man beim Angeben einen Bereich. Die beiden üblichen sind \(0 \le \theta < 2\pi\) (0° oder mehr und weniger als 360°) und \(-\pi < \theta \le \pi\) (mehr als −180° bis einschließlich 180°), und die Lehrbücher unterscheiden sich darin, welchen sie verwenden. Dieser Rechner zeigt beide Antworten. Der Pol (der Ursprung) ist ein Sonderfall. Sein Abstand ist 0, also \(r = 0\), aber er hat keine Richtung, also ist der Winkel nicht festgelegt. Die Polarkoordinaten des Pols schreibt man \(\left(0|\theta\right)\) (\(\theta\) beliebig), meist \(\left(0|0\right)\).

Ein Punkt in der Ebene lässt sich in kartesischen Koordinaten \(\left(x|y\right)\) (waagerechte und senkrechte Lage) oder in Polarkoordinaten \(\left(r|\theta\right)\) (Abstand vom Pol und Richtung von der Polarachse) angeben. Von polar zu kartesisch verwenden Sie \(x = r\cos\theta\) und \(y = r\sin\theta\). In die andere Richtung verwenden Sie \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) und \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\), dazu die Quadrantenkorrektur, die den Winkel nach dem Quadranten des Punktes auswählt. Ein um volle Umdrehungen verschobener Winkel ergibt denselben Punkt, deshalb werden Antworten in einem festen Bereich wie \(0 \le \theta < 2\pi\) angegeben.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(P\)	P	Ein Buchstabe, der oft für einen Punkt in der Ebene steht, vom Anfangsbuchstaben von „Punkt“. Die Koordinaten des Punktes stehen in der Klammer dahinter, wie in \(P\left(1\|2\right)\).
\(O\)	O	Der Buchstabe für den Ursprung (den Pol). Bei Polarkoordinaten werden Abstände von diesem Punkt aus gemessen.
\(x,\ y\)	x, y	Die waagerechte (Richtung der \(x\)-Achse) und die senkrechte (Richtung der \(y\)-Achse) Lage in kartesischen Koordinaten. Beide können negativ sein.
\(r\)	r	Der Buchstabe für den Radius (den Abstand vom Pol zum Punkt), vom Anfangsbuchstaben von „Radius“. Bei Polarkoordinaten ist er eine reelle Zahl größer oder gleich 0.
\(\theta\)	theta	Der griechische Buchstabe für den Winkel. In der Mathematik ist er der übliche Buchstabe für einen Winkel. In deutschen Lehrbüchern steht bei Polarkoordinaten oft \(\varphi\) (phi) statt \(\theta\).
\(\left(r,\ \theta\right)\)	r, theta	So schreibt man Polarkoordinaten: zuerst den Abstand (Radius), dann die Richtung (den Winkel). Es sieht genauso aus wie kartesisch \(\left(x\|y\right)\), sagen Sie also immer dazu, welche Art von Koordinaten Sie verwenden.
\(\cos\theta,\ \sin\theta\)	Kosinus theta, Sinus theta	Winkelfunktionen. Auf dem Kreis mit dem Radius 1 (dem Einheitskreis) hat der Punkt in Richtung des Winkels \(\theta\) die waagerechte Lage \(\cos\theta\) und die senkrechte Lage \(\sin\theta\). Sie sind der Schlüssel zur Umrechnung von polar nach kartesisch.
\(\tan\theta\)	Tangens theta	Eine der Winkelfunktionen, definiert als \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\). In der Koordinatenebene ist \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\) (die Steigung der Geraden durch den Ursprung und den Punkt), und das ist der Hinweis, um den Winkel zu finden.
\(\arctan\)	Arkustangens	Die Umkehrung des Tangens (auch \(\tan^{-1}\) geschrieben). Sie liefert den Winkel \(\theta\) mit \(\tan\theta = k\). Die Winkel, die sie liefert, liegen nur zwischen \(-\dfrac{\pi}{2}\) und \(\dfrac{\pi}{2}\), deshalb braucht man für Winkel im II. und III. Quadranten eine Quadrantenkorrektur.
\(\pi\)	pi	Das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser (etwa 3,14159). Im Bogenmaß ist eine halbe Umdrehung, \(180^{\circ}\), genau \(\pi\). Der griechische Buchstabe \(\pi\) soll vom Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes für „Umfang“ (Peripherie) stammen.
\(n\)	en	Ein Buchstabe, der oft für eine ganze Zahl steht, vom Anfangsbuchstaben von „number“. Auf dieser Seite gibt er an, um wie viele volle Umdrehungen der Winkel verschoben ist, einschließlich negativer ganzer Zahlen (in die andere Richtung drehen) und 0 (keine Umdrehung).

Begriffe

kartesische Koordinaten	Eine Art, die Lage eines Punktes als Paar \(\left(x\|y\right)\) anzugeben: wie weit nach rechts und wie weit nach oben. Es sind die gewöhnlichen Koordinaten, die man seit der Mittelstufe benutzt.
Polarkoordinaten	Eine Art, die Lage eines Punktes als Paar \(\left(r\|\theta\right)\) anzugeben: der Abstand \(r\) von einem Bezugspunkt und der Winkel \(\theta\) von einer Bezugsrichtung. Sie werden in der Oberstufe (Klasse 11–12, 16–18 Jahre) behandelt.
Pol	Der Bezugspunkt, von dem aus bei Polarkoordinaten Abstände gemessen werden. In der Koordinatenebene liegt er im Ursprung \(O\).
Polarachse	Der Bezugsstrahl, von dem aus bei Polarkoordinaten Winkel gemessen werden. Er beginnt im Pol und verläuft in der Koordinatenebene entlang der positiven \(x\)-Achse.
Radius	Der Abstand \(r\) des Pols vom Punkt \(P\) (auch Radialkoordinate genannt). Genau genommen ist auch die Strecke (oder der Strahl) vom Pol zu \(P\) gemeint, mit der Länge \(r\). Er ist 0 oder größer.
Polarwinkel	Der Winkel \(\theta\) der Richtung vom Pol zum Punkt \(P\), gegen den Uhrzeigersinn von der Polarachse aus gemessen (auch Argument genannt, in deutschen Lehrbüchern oft \(\varphi\)). Addiert man eine volle Umdrehung (\(2\pi\)), erhält man dieselbe Richtung, deshalb gibt man Antworten meist in einem Bereich wie \(0 \le \theta < 2\pi\) oder \(-\pi < \theta \le \pi\) an.
Quadrant	Eine der vier Regionen, in die die beiden Achsen die Koordinatenebene teilen. Oben rechts ist der I. Quadrant, und gegen den Uhrzeigersinn folgen der II., III. und IV. Quadrant. Zu wissen, in welchem Quadranten ein Punkt liegt, ist der Hinweis, um den Winkel festzulegen.
Quadrantenkorrektur	Innerhalb einer vollen Umdrehung erfüllen zwei Winkel \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\), also wählt man den, der zum Quadranten des Punktes passt (zum Beispiel, indem man zum spitzen Winkel aus \(\arctan\) den Wert \(\pi\) addiert). Diese Korrektur ist die Quadrantenkorrektur.
Einheitskreis	Der Kreis mit dem Radius 1 um den Ursprung. Der Punkt auf ihm in Richtung des Winkels \(\theta\) ist \(\left(\cos\theta\|\sin\theta\right)\), das ist die Grundlage der Umrechnungsformeln für Polarkoordinaten.
Bogenmaß	Das Messen eines Winkels durch die Länge des Bogens auf einem Kreis mit dem Radius 1. \(180^{\circ} = \pi\) rad. Ab den Winkelfunktionen in der Oberstufe ist das Bogenmaß die Standardeinheit statt Grad.
besondere Winkel	\(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\) und die mit ihnen verwandten Winkel (diese plus Vielfache von \(90^{\circ}\)). Ihre Winkelfunktionswerte lassen sich exakt schreiben, etwa \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) und \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), und die meisten Aufgaben in Lehrbüchern und Klausuren verwenden sie.
Polargleichung	Eine Gleichung einer Kurve als Beziehung zwischen \(r\) und \(\theta\). Zum Beispiel ist \(r = 2\) der Kreis mit dem Radius 2 um den Ursprung und \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\) der Strahl vom Ursprung mit der Steigung 1. Figuren, die durch den Abstand von einem Mittelpunkt bestimmt sind, wie Kreise und Spiralen, haben viel einfachere Gleichungen als in kartesischen Koordinaten.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur auf die Schaltfläche zu klicken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen noch einmal zu wiederholen.

Das Koordinatensystem (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Die Lage eines Punktes als Paar \(\left(x\|y\right)\) schreiben können Wissen, wo der I. bis IV. Quadrant liegt und welche Vorzeichen \(x\) und \(y\) in jedem haben
Wurzeln und Wurzelrechnen (Klasse 9, 14–15 Jahre)	Wissen, dass \(\sqrt{2}\) die positive Zahl ist, deren Quadrat 2 ist Eine Wurzel vereinfachen können, indem man Quadratfaktoren herauszieht, wie in \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
Der Satz des Pythagoras (Klasse 8, 13–14 Jahre)	Wissen, dass die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten \(a\) und \(b\) gleich \(\sqrt{a^2 + b^2}\) ist Wissen, dass sich der Abstand des Ursprungs von einem Punkt der Koordinatenebene mit dem Satz des Pythagoras berechnen lässt
Winkelfunktionen und der Einheitskreis (Klasse 9–11, 14–17 Jahre)	Wissen, dass \(\sin\), \(\cos\) und \(\tan\) die senkrechte Lage, die waagerechte Lage und die Steigung eines Punktes auf dem Einheitskreis sind Die Werte der Winkelfunktionen von \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\) und \(60^{\circ}\) kennen (\(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)) Winkelfunktionen von Winkeln über \(90^{\circ}\) am Einheitskreis bestimmen können (zum Beispiel \(\cos 135^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\))
Bogenmaß (Klasse 10–11, 15–17 Jahre)	Mit \(180^{\circ} = \pi\) rad zwischen Grad und Bogenmaß umrechnen können (zum Beispiel \(60^{\circ} = \dfrac{\pi}{3}\))
Polarkoordinaten (Oberstufe, Klasse 11–12, 16–18 Jahre)	Wissen, was Pol, Polarachse, Radius und Winkel bedeuten Wissen, dass derselbe Punkt mehr als eine Angabe in Polarkoordinaten hat (eine Verschiebung des Winkels um \(2\pi\) ergibt denselben Punkt)

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für kartesisch → polar

x-Koordinate	3
y-Koordinate	4
Radius r	=WURZEL(B1^2+B2^2)
Winkel θ (Bogenmaß, 0 ≤ θ < 2π)	=REST(ARCTAN2(B1;B2);2*PI())
Winkel θ (Grad)	=GRAD(REST(ARCTAN2(B1;B2);2*PI()))

Tabelle für polar → kartesisch

Radius r	2
Winkel θ (Grad)	60
x-Koordinate = r cosθ	=B1*COS(BOGENMASS(B2))
y-Koordinate = r sinθ	=B1*SIN(BOGENMASS(B2))

Tabelle für einen anderen Winkel desselben Punktes

Winkel θ (Grad)	60
Anzahl der Umdrehungen n (ganze Zahl, auch negativ)	1
Verschobener Winkel (Grad)	=B1+360*B2

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
In der ersten Tabelle liefert ARCTAN2(x-Koordinate; y-Koordinate) den Winkel, bei dem die Quadrantenkorrektur schon gemacht ist (mehr als −π bis einschließlich π). REST mit 2π macht daraus einen Winkel von 0 bis unter 2π. Für den Beispielpunkt (3|4) ist r = 5 und θ ≈ 0,9273 (etwa 53,13 Grad).
In der zweiten Tabelle rechnet BOGENMASS Grad in Bogenmaß um. Für das Beispiel r = 2 und θ = 60 Grad ist x = 1 und y ≈ 1,7320508 (= √3). Excel liefert Dezimalzahlen, verwenden Sie also den Rechner auf dieser Seite, wenn Sie exakte Werte wie √3 oder Bruchteile von π wollen.
Die dritte Tabelle bildet weitere Polarkoordinaten für denselben Punkt. Addiert man eine volle Umdrehung, 360 Grad, zu den 60 Grad des Beispiels, erhält man 420 Grad. Mit n = −1 erhält man −300 Grad, und alle sind derselbe Punkt.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für kartesisch → polar

x-Koordinate	3
y-Koordinate	4
Radius r	=WURZEL(B1^2+B2^2)
Winkel θ (Bogenmaß, 0 ≤ θ < 2π)	=REST(ARCTAN2(B1;B2);2*PI())
Winkel θ (Grad)	=GRAD(REST(ARCTAN2(B1;B2);2*PI()))

Tabelle für polar → kartesisch

Radius r	2
Winkel θ (Grad)	60
x-Koordinate = r cosθ	=B1*COS(BOGENMASS(B2))
y-Koordinate = r sinθ	=B1*SIN(BOGENMASS(B2))

Tabelle für einen anderen Winkel desselben Punktes

Winkel θ (Grad)	60
Anzahl der Umdrehungen n (ganze Zahl, auch negativ)	1
Verschobener Winkel (Grad)	=B1+360*B2

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert (ARCTAN2 erwartet die Argumente in derselben Reihenfolge, „x-Koordinate; y-Koordinate“). Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen durch Ihre eigenen.

Mit Python berechnen

import math

# Kartesisch → polar
x_coordinate = 3
y_coordinate = 4
radius = math.sqrt(x_coordinate ** 2 + y_coordinate ** 2)
argument = math.atan2(y_coordinate, x_coordinate)   # enthält die Quadrantenkorrektur (−π < θ ≤ π)
if argument < 0:
    argument += 2 * math.pi                         # in den Bereich 0 ≤ θ < 2π verschieben
print(f"Radius r = {radius}")
print(f"Winkel θ = {argument} rad ({math.degrees(argument)} Grad)")

# Polar → kartesisch
r = 2
theta_degree = 60
theta = math.radians(theta_degree)
print(f"x-Koordinate = {r * math.cos(theta)}")
print(f"y-Koordinate = {r * math.sin(theta)}")

math.atan2(y, x) liefert den Winkel mit schon gemachter Quadrantenkorrektur, gibt also anders als arctan auch für Punkte im II. und III. Quadranten die richtige Richtung. Seine Argumente stehen in der Reihenfolge „y, x“, umgekehrt zur Schreibweise von Koordinaten, was leicht zu Fehlern führt. Die erste Hälfte dieses Beispiels rechnet den Punkt (3|4) um. Beim Ausführen zeigt sie r = 5 und θ ≈ 0,9273 rad (etwa 53,13 Grad). Die zweite Hälfte ist die Rückrechnung mit r = 2 und θ = 60°, mit x ≈ 1 und y ≈ 1,7320508 (= √3). Python schreibt Dezimalstellen mit einem Punkt statt mit einem Komma. Außerdem ist x nicht ganz genau 1, wegen Rundungsfehlern bei Dezimalzahlen (Gleitkommazahlen). Für exakte Werte muss man mit Symbolen rechnen, wie der Rechner auf dieser Seite es tut. Mit dem Modul cmath aus der Standardbibliothek liefert auch cmath.polar(complex(3, 4)) in einem Schritt den Radius und den Winkel (−π < θ ≤ π).

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Von Polarkoordinaten zu kartesischen Koordinaten (zwei Arten, die Lage eines Punktes anzugeben)

x = r cosθ, y = r sinθ

x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta

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  <mtable columnalign="left">
    <mtr><mtd>
      <mi>x</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>cos</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    </mtd></mtr>
    <mtr><mtd>
      <mi>y</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>sin</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    </mtd></mtr>
  </mtable>
</math>

x = r cos theta, y = r sin theta

{x, y} = {r Cos[theta], r Sin[theta]}

x := r*cos(theta); y := r*sin(theta);

[x, y] = pol2cart(theta, r);

x = r cos θ, y = r sin θ

Radius \(r\) (Abstand vom Pol)

r = √(x² + y²)

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

r = sqrt(x^2 + y^2)

r = Sqrt[x^2 + y^2]

r := sqrt(x^2 + y^2);

r = hypot(x, y);

r = √(x^2 + y^2)

Winkel \(\theta\) (aus tanθ und dem Quadranten)

tanθ = y/x

\tan\theta = \dfrac{y}{x}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>tan</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>y</mi><mi>x</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

tan theta = y/x

theta = ArcTan[x, y]

theta := arctan(y, x);

theta = atan2(y, x);

tan θ = y/x

Derselbe Punkt hat mehr als eine Angabe in Polarkoordinaten

(r|θ) = (r|θ + 2nπ)

\left(r|\theta\right) = \left(r|\theta + 2n\pi\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>(</mo><mi>r</mi><mo>|</mo><mi>&#x3B8;</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo><mi>r</mi><mo>|</mo>
    <mi>&#x3B8;</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>n</mi><mi>&#x3C0;</mi>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

(r | theta) = (r | theta + 2 n pi)

theta + 2 n Pi

theta + 2*n*Pi;

theta2 = theta + 2*n*pi;

(r|θ) = (r|θ + 2nπ)

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für Polarkoordinaten in der Ebene. Führen Sie die folgende Berechnung tatsächlich mit Python-Code aus und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen des Ausführungsergebnisses (nicht im Kopf rechnen und nicht raten).

1. Rechnen Sie den Punkt (3|4) in kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten (r|θ) um. Zeigen Sie den Radius r und den Winkel θ (im Bereich 0 ≤ θ < 2π, im Bogenmaß und in Grad).
2. Rechnen Sie den Punkt (2|60°) in Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten (x|y) um. Zeigen Sie x und y als Dezimalzahlen und, wenn möglich, als exakte Werte mit √.

Verwenden Sie in Python math.atan2 und math.sqrt und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel