Polarkoordinaten umrechnen – kartesische Koordinaten ⇔ Polarkoordinaten (Radius r, Winkel θ, Quadrantenkorrektur und Zeichnung)

Wählen Sie die Richtung der Umrechnung und geben Sie die Zahlen ein. Bei „kartesisch → polar“ geben Sie die x- und die y-Koordinate ein, bei „polar → kartesisch“ den Radius r und den Winkel θ (und wählen seine Einheit).

Umrechnung

x-Koordinate

y-Koordinate

Radius r

Winkel θ

Einheit des Winkels

Möglich sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4. Leere Felder x oder y zählen als 0.

Ergebnis und Figur

Geben Sie links die Zahlen ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Zeichnung im Koordinatensystem erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Das können Sie auf dieser Seite

Sie rechnen kartesische Koordinaten \(P(x \,|\, y)\) sofort in Polarkoordinaten \(P(r \,|\, \theta)\) um. Der Radius steht als exakter Wert mit vereinfachter Wurzel da, etwa \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), der Winkel bei besonderen Winkeln exakt als Bruchteil von π
Den Winkel \(\theta\) erhalten Sie vor allem im Bereich \(0 \le \theta < 2\pi\), zusätzlich auch im Bereich \(-\pi < \theta \le \pi\) – so können Sie Ihr Ergebnis vergleichen, egal welchen Bereich Ihr Schulbuch verwendet
Auch die Umrechnung in die andere Richtung (polar → kartesisch) ist möglich. Geben Sie den Radius \(r\) und den Winkel \(\theta\) ein (in Grad, als Vielfaches von π oder im Bogenmaß als Dezimalzahl), und Sie erhalten \(x = r\cos\theta\) und \(y = r\sin\theta\) als exakte Werte wie \(\left(-2 \,|\, 2\sqrt{3}\right)\)
Wie der Winkel aus \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\) und dem Quadranten des Punkts bestimmt wird (die Quadrantenkorrektur), zeigt der Rechenweg Schritt für Schritt
Das Ergebnis sehen Sie auch in einer Zeichnung im Koordinatensystem. Hell gezeichnete konzentrische Kreise (Skala für den Radius) und Strahlen (Skala für den Winkel) zeigen auf einen Blick, wo \(r\) und \(\theta\) liegen

Diese Seite behandelt Polarkoordinaten in der Ebene, wie sie in der Oberstufe vorkommen. Für die kartesischen Koordinaten \(x\) und \(y\) können Sie Brüche und Dezimalzahlen (rationale Zahlen) eingeben, aber keine irrationalen Zahlen wie √3. Mit solchen Eingaben ergibt sich der Winkel nur dann exakt als Bruchteil von π, wenn der Punkt auf einer Achse liegt oder der Winkel zur 45°-Familie gehört. (Bei 30° und 60° ist tan θ irrational, etwa 1/√3, und kann daher nicht aus rationalen \(x\) und \(y\) entstehen.) In der Gegenrichtung, polar → kartesisch, werden alle besonderen Winkel, die Vielfache von 30° oder 45° sind, exakt berechnet.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Flugsicherung und Schiffsradar (Position aus Entfernung und Richtung)

Das Radar der Flugsicherung und das Radar auf Schiffen messen „die Entfernung von hier“ über die Laufzeit eines zurückgeworfenen Funkimpulses und „die Richtung“ über die Stellung der Antenne. Was sie messen, sind also von vornherein Polarkoordinaten \(\left(r \,|\, \theta\right)\).
Der Bildschirm im Kontrollraum und die Seekarte sind dagegen nach waagerechten und senkrechten Koordinaten aufgebaut. Im Gerät werden Entfernung und Richtung deshalb mit \(x = r\cos\theta\) und \(y = r\sin\theta\) in kartesische Koordinaten umgerechnet. Genau die Umrechnung dieser Seite verbindet das Gerät, das nach Abstand und Richtung misst, mit dem Bildschirm, der nach rechts und oben zeichnet.

Abstandssensoren in selbstfahrenden Autos und Saugrobotern

Die Laser-Abstandssensoren (LiDAR) in selbstfahrenden Autos und Saugrobotern drehen sich und erfassen unzählige Messungen der Art „in dieser Richtung hat in dieser Entfernung etwas den Strahl zurückgeworfen“. Jede Messung ist ein Paar aus Richtung (Winkel) und Abstand – also Polarkoordinaten.
Um aus den gesammelten Punkten eine Karte zu erstellen, werden alle Punkte in kartesische Koordinaten umgerechnet und zusammengefügt. Die Umgebung kartieren und dann eine Route planen ist der Grundablauf des autonomen Fahrens – und am Anfang steht diese Koordinatenumrechnung.

Wetterradar und Positionsangaben auf See

Auch ein Wetterradar dreht seine Antenne beim Senden und empfängt die Echos von Regen und Schnee als „Richtung und Entfernung“. Die Niederschlagsbilder im Wetterbericht sind diese Polardaten, umgerechnet in die waagerechten und senkrechten Koordinaten einer Karte.
Auch eine Positionsangabe wie „12 Seemeilen nordnordwestlich von Helgoland“ ist Denken in Polarkoordinaten; die Umrechnung in kartesische Koordinaten geschieht, wenn der Punkt in die Karte eingetragen wird.

Maschinen und Fahrgeschäfte mit Kreisbewegung konstruieren

Bei allem, was sich um einen Mittelpunkt dreht – Gondeln eines Riesenrads, Zähne eines Zahnrads, Flügel eines Ventilators –, wird die Konstruktion einfacher, wenn man denkt: „Der Abstand zum Mittelpunkt ist fest, nur die Richtung ändert sich.“ In Polarkoordinaten hält man einfach den Abstand \(r\) fest und ändert den Winkel \(\theta\); so lassen sich Bauteile sehr leicht anordnen.
Zeichnungen und CNC-Werkzeugmaschinen arbeiten aber mit waagerechten und senkrechten Koordinaten, deshalb wird am Ende jede Position in kartesische Koordinaten umgerechnet und weitergegeben.

Kreisförmige Anordnungen und Bewegungen in Computergrafik und Spielen

Gegner gleichmäßig um die Spielfigur verteilen, Geschosse in alle Richtungen abfeuern, eine Kamera um ein Ziel kreisen lassen: Das alles denkt man am natürlichsten über „Abstand vom Mittelpunkt“ und „Winkel“, und eine gleichmäßige Teilung des Winkels legt die Anordnung fest.
Der Bildschirm wird in waagerechten und senkrechten Koordinaten gezeichnet, deshalb werden die Positionen in jedem Frame mit \(x = r\cos\theta\) und \(y = r\sin\theta\) umgerechnet. Diese Umrechnung macht Kreisbewegungen leicht programmierbar.

Formeln und Abbildungen

Von Polarkoordinaten zu kartesischen Koordinaten (zwei Arten, die Lage eines Punkts anzugeben)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(x\) \(=\) \(r\) \(\cos\theta\)

\(y\) \(=\) \(r\) \(\sin\theta\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(x\)-Koordinate \(=\) ① \(r\): Radius ② Kosinus des Winkels \(\theta\)

④ \(y\)-Koordinate \(=\) \(r\): Radius Sinus des Winkels \(\theta\)

Die Formel in Worten

① Den Abstand vom Pol (Ursprung), also den Radius \(r\),

② mal den Kosinus des Winkels \(\theta\), \(\cos\theta\),

③ ergibt die \(x\)-Koordinate

④ Derselbe Radius mal den Sinus \(\sin\theta\) ergibt die \(y\)-Koordinate

Einfaches Beispiel

Rechnet man die Polarkoordinaten \(P\left(2 \,|\, \dfrac{\pi}{3}\right)\) (Abstand 2 vom Pol, Richtung 60° von der Polachse aus) in kartesische Koordinaten um, erhält man

\(x\)-Koordinate \(=\) Radius \(2\) \(\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}\)

\(y\)-Koordinate \(=\) Radius \(2\) \(\sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(x = 2\cos\dfrac{\pi}{3} = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1\)

\(y = 2\sin\dfrac{\pi}{3} = 2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\)

\(P\left(2 \,|\, \dfrac{\pi}{3}\right) \rightarrow P\left(1 \,|\, \sqrt{3}\right)\)

Der Grundgedanke

Hier wird die Lage desselben Punkts auf zwei Arten beschrieben. „\(x\) nach rechts und \(y\) nach oben“ sind kartesische Koordinaten \((x \,|\, y)\). „Vom Bezugspunkt aus die Strecke \(r\) in die Richtung, die um \(\theta\) gegen die Bezugsrichtung gedreht ist“ sind Polarkoordinaten \((r \,|\, \theta)\). Bei einer Verabredung ist das der Unterschied zwischen „300 m östlich und 400 m nördlich vom Bahnhof“ und „500 m vom Bahnhof, ungefähr Richtung Nordosten“. Der Bezugspunkt der Polarkoordinaten heißt Pol, die Bezugsrichtung (der Strahl vom Pol nach rechts) heißt Polachse. Legt man Polarkoordinaten über das Koordinatensystem, liegt der Pol im Ursprung und die Polachse auf der positiven \(x\)-Achse. Kurven, die durch den Abstand vom Pol bestimmt sind, beschreibt man oft mit einer Polargleichung: \(r = 2\) ist zum Beispiel der Kreis mit dem Radius 2 um den Pol. Warum \(x = r\cos\theta\) und \(y = r\sin\theta\) gilt, sieht man am Kreis mit dem Radius 1 (dem Einheitskreis): Der Punkt in Richtung des Winkels \(\theta\) hat dort die waagerechte Lage \(\cos\theta\) und die senkrechte Lage \(\sin\theta\). Ist der Radius \(r\), wird das ganze Bild um den Faktor \(r\) vergrößert, beide Werte werden also mit \(r\) multipliziert.

Radius \(r\) (Abstand vom Pol)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

\(r\) \(=\) \(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\)

② \(r\): Radius \(=\) ① Wurzel aus der Summe der Quadrate von \(x\) und \(y\)

Die Formel in Worten

① Die Wurzel aus \(x\) zum Quadrat plus \(y\) zum Quadrat, \(\sqrt{x^2 + y^2}\),

② ist der Radius \(r\)

Einfaches Beispiel

Der Radius des Punkts \(P\left(3 \,|\, 4\right)\) ist

Radius \(r\) \(=\) \(\sqrt{3^2 + 4^2}\)

\(r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

Der Grundgedanke

Das ist genau der Satz des Pythagoras aus Klasse 8–9 (13–15 Jahre). Verbinden Sie den Ursprung, den Punkt \((x \,|\, 0)\) und \(P\), entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(x\) und \(y\). Der Abstand vom Ursprung zu \(P\) (die Hypotenuse) ist \(\sqrt{x^2 + y^2}\). Die Wurzel im Ergebnis schreibt man meist vereinfacht, indem man Quadratfaktoren herauszieht, etwa \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). Auch dieser Rechner zeigt die vereinfachte Form. In Polarkoordinaten ist der Radius \(r\) immer größer oder gleich 0. Ein Abstand ist nie negativ, daher ist auch das \(r\) aus der Umrechnung nie negativ.

Winkel \(\theta\) (aus tan θ und dem Quadranten)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

\(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{y}{x}\)

② Tangens des Winkels \(\theta\) \(=\) ① \(y\) geteilt durch \(x\)

Die Formel in Worten

① Die \(y\)-Koordinate geteilt durch die \(x\)-Koordinate

② ist der Tangens des Winkels \(\theta\), \(\tan\theta\) (diese Gleichung allein legt \(\theta\) aber nicht fest – man entscheidet nach dem Quadranten, in dem \(P\) liegt)

Einfaches Beispiel

Der Winkel des Punkts \(P\left(-1 \,|\, 1\right)\) (\(x\) ist negativ und \(y\) positiv, der Punkt liegt also im 2. Quadranten) ist

Tangens \(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\tan\theta = \dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\theta = \dfrac{3}{4}\pi \quad \left(x < 0,\ y > 0\right)\)

Der Grundgedanke

Im Bereich \(0 \le \theta < 2\pi\) gibt es zwei Winkel mit \(\tan\theta = -1\): \(\dfrac{3}{4}\pi\) (135°) und \(\dfrac{7}{4}\pi\) (315°). Welcher richtig ist, hängt vom Quadranten des Punkts \(P\) ab. \(P(-1 \,|\, 1)\) hat ein negatives \(x\) und ein positives \(y\), liegt also im 2. Quadranten (links oben) – wir wählen \(\theta = \dfrac{3}{4}\pi\). Das ist die Quadrantenkorrektur. Der \(\arctan\) (Arkustangens) des Taschenrechners oder der Tabellenkalkulation liefert nur Winkel zwischen \(-\dfrac{\pi}{2}\) und \(\dfrac{\pi}{2}\). Für Punkte im 2. und 3. Quadranten ergibt er den Winkel also nicht direkt; Sie müssen den Winkel aus dem \(\arctan\) je nach Quadrant anpassen, etwa \(\pi\) addieren. (Dieser Rechner zeigt diese Anpassung im Rechenweg.) Für einen Punkt mit \(x = 0\) (auf der \(y\)-Achse) lässt sich \(\dfrac{y}{x}\) nicht berechnen. Dann entscheiden Sie anhand der Zeichnung, dass \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) oder \(\dfrac{3}{2}\pi\) ist. Wer ein Verfahren für alle Punkte möchte, wählt das \(\theta\), das sowohl \(\cos\theta = \dfrac{x}{r}\) als auch \(\sin\theta = \dfrac{y}{r}\) erfüllt – dann braucht man keine Fallunterscheidung nach Quadranten.

Derselbe Punkt hat mehrere Polarkoordinaten

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(P\left(r \,|\, \theta\right)\) \(=\) \(P\left(r \,|\, \theta + 2n\pi\right)\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

① Punkt \(P\) mit den Polarkoordinaten \(\left(r \,|\, \theta\right)\) \(=\) ② Punkt, bei dem zum Winkel \(n\) volle Umdrehungen \(2\pi\) addiert sind

Die Formel in Worten

① Der Punkt \(P\) mit den Polarkoordinaten \(\left(r \,|\, \theta\right)\)

② und der Punkt, bei dem zum Winkel \(n\) volle Umdrehungen \(2\pi\) addiert sind, sind derselbe Punkt (\(n\) ist eine ganze Zahl)

Einfaches Beispiel

Weitere Polarkoordinaten desselben Punkts wie \(P\left(2 \,|\, \dfrac{\pi}{3}\right)\) sind

\(P\left(2 \,|\, \dfrac{\pi}{3}\right)\) \(=\) \(P\left(2 \,|\, \dfrac{7}{3}\pi\right)\) \(=\) \(P\left(2 \,|\, -\dfrac{5}{3}\pi\right)\)

\(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{6}{3}\pi = \dfrac{7}{3}\pi\)

\(\dfrac{\pi}{3} - 2\pi = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{6}{3}\pi = -\dfrac{5}{3}\pi\)

Der Grundgedanke

In kartesischen Koordinaten gehört zu jedem Punkt genau ein Paar \((x \,|\, y)\), bei Polarkoordinaten ist das anders. Nach einer vollen Umdrehung (\(2\pi\) = 360°) zeigt man wieder in dieselbe Richtung; addiert oder subtrahiert man \(2\pi\) beliebig oft zum Winkel, erhält man also denselben Punkt. Weil das Ergebnis so nicht eindeutig ist, vereinbart man für die Antwort einen Bereich. Üblich sind \(0 \le \theta < 2\pi\) (0° bis unter 360°) und \(-\pi < \theta \le \pi\) (über −180° bis 180°); welchen ein Schulbuch nimmt, ist unterschiedlich. Dieser Rechner zeigt beide Ergebnisse. Der Pol (Ursprung) ist ein Sonderfall: Sein Abstand ist 0, also \(r = 0\), aber er hat keine Richtung, der Winkel ist also nicht festgelegt. Seine Polarkoordinaten schreibt man \(\left(0 \,|\, \theta\right)\) mit beliebigem \(\theta\), meist \(\left(0 \,|\, 0\right)\).

Einen Punkt der Ebene können Sie in kartesischen Koordinaten \(\left(x \,|\, y\right)\) (waagerechte und senkrechte Lage) oder in Polarkoordinaten \(\left(r \,|\, \theta\right)\) (Abstand vom Pol und Richtung von der Polachse aus) angeben. Von polar nach kartesisch rechnen Sie mit \(x = r\cos\theta\) und \(y = r\sin\theta\). In der Gegenrichtung mit \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) und \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\), dazu die Quadrantenkorrektur, die den Winkel nach dem Quadranten des Punkts auswählt. Ein um volle Umdrehungen verschobener Winkel ergibt denselben Punkt, deshalb gibt man das Ergebnis in einem festen Bereich wie \(0 \le \theta < 2\pi\) an.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(P\)	P	Ein häufig verwendeter Buchstabe für einen Punkt der Ebene (P wie Punkt). Die Koordinaten stehen in der Klammer dahinter, etwa \(P\left(1 \,\|\, 2\right)\).
\(O\)	O	Der Buchstabe für den Ursprung (den Pol), vom lateinischen „origo“. In Polarkoordinaten werden Abstände von diesem Punkt aus gemessen.
\(x,\ y\)	x, y	Die waagerechte (in Richtung der \(x\)-Achse) und die senkrechte (in Richtung der \(y\)-Achse) Lage in kartesischen Koordinaten. Beide können negativ sein.
\(r\)	r	Der Buchstabe für den Radius (den Abstand vom Pol zum Punkt). In Polarkoordinaten ist er eine reelle Zahl größer oder gleich 0.
\(\theta\)	Theta	Der griechische Buchstabe für den Winkel. In der Mathematik ist er ein üblicher Buchstabe für Winkel; deutsche Schulbücher schreiben bei Polarkoordinaten oft \(\varphi\) (Phi).
\(\left(r \,\|\, \theta\right)\)	r, Theta	So schreibt man Polarkoordinaten: zuerst der Abstand (Radius), dann die Richtung (Winkel). Es sieht genauso aus wie kartesisch \(\left(x \,\|\, y\right)\), daher sagt man immer dazu, welche Koordinaten gemeint sind.
\(\cos\theta,\ \sin\theta\)	Kosinus Theta, Sinus Theta	Trigonometrische Funktionen. Auf dem Kreis mit dem Radius 1 (dem Einheitskreis) hat der Punkt in Richtung des Winkels \(\theta\) die waagerechte Lage \(\cos\theta\) und die senkrechte Lage \(\sin\theta\). Sie sind der Schlüssel für die Umrechnung von polar nach kartesisch.
\(\tan\theta\)	Tangens Theta	Eine trigonometrische Funktion, definiert als \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\). Im Koordinatensystem ist \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\) (die Steigung der Geraden durch Ursprung und Punkt) – der Hinweis, um den Winkel zu bestimmen.
\(\arctan\)	Arkustangens	Die Umkehrung des Tangens (auch \(\tan^{-1}\) geschrieben). Er liefert den Winkel \(\theta\) mit \(\tan\theta = k\). Die gelieferten Winkel liegen nur zwischen \(-\dfrac{\pi}{2}\) und \(\dfrac{\pi}{2}\), daher braucht man für Winkel im 2. und 3. Quadranten eine Quadrantenkorrektur.
\(\pi\)	Pi	Die Kreiszahl, das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises (etwa 3,14159). Im Bogenmaß ist eine halbe Umdrehung, \(180^{\circ}\), genau \(\pi\). Der griechische Buchstabe \(\pi\) soll vom Anfangsbuchstaben des griechischen Worts für „Umfang“ stammen.
\(n\)	n	Ein häufig verwendeter Buchstabe für eine ganze Zahl. Auf dieser Seite gibt er an, um wie viele volle Umdrehungen der Winkel verschoben wird – auch negative ganze Zahlen (Drehung in die andere Richtung) und 0 (keine Drehung) sind möglich.

Begriffe

kartesische Koordinaten	Die Angabe der Lage eines Punkts als Paar \(\left(x \,\|\, y\right)\): wie weit nach rechts und wie weit nach oben. Das sind die gewohnten Koordinaten aus der Unterstufe, benannt nach René Descartes.
Polarkoordinaten	Die Angabe der Lage eines Punkts als Paar \(\left(r \,\|\, \theta\right)\): Abstand \(r\) von einem Bezugspunkt und Winkel \(\theta\) zu einer Bezugsrichtung. Sie kommen in der Oberstufe vor (16–18 Jahre), oft im Zusammenhang mit komplexen Zahlen.
Pol	Der Bezugspunkt, von dem aus in Polarkoordinaten Abstände gemessen werden. Im Koordinatensystem liegt er im Ursprung \(O\).
Polachse	Der Bezugsstrahl, von dem aus in Polarkoordinaten Winkel gemessen werden. Er beginnt im Pol und liegt im Koordinatensystem auf der positiven \(x\)-Achse.
Radius	Der Abstand \(r\) vom Pol zum Punkt \(P\) (auch Betrag oder Länge des Ortsvektors). Genau genommen ist auch die Strecke vom Pol zu \(P\) gemeint, deren Länge \(r\) ist. Er ist immer größer oder gleich 0.
Winkel θ	Der Winkel \(\theta\) der Richtung vom Pol zum Punkt \(P\), gegen den Uhrzeigersinn von der Polachse aus gemessen (auch Polarwinkel oder Argument; in deutschen Schulbüchern meist \(\varphi\)). Eine volle Umdrehung (\(2\pi\)) mehr ergibt dieselbe Richtung, daher gibt man ihn meist in einem Bereich wie \(0 \le \theta < 2\pi\) oder \(-\pi < \theta \le \pi\) an.
Quadrant	Einer der vier Bereiche, in die die beiden Achsen das Koordinatensystem teilen. Rechts oben liegt der 1. Quadrant, gegen den Uhrzeigersinn folgen der 2., 3. und 4. Quadrant. In welchem Quadranten ein Punkt liegt, ist der Hinweis, um den Winkel festzulegen.
Quadrantenkorrektur	Innerhalb einer vollen Umdrehung erfüllen zwei Winkel \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\). Man wählt den, der zum Quadranten des Punkts passt (etwa indem man zum spitzen Winkel aus dem \(\arctan\) \(\pi\) addiert). Diese Anpassung heißt Quadrantenkorrektur.
Einheitskreis	Der Kreis mit dem Radius 1 um den Ursprung. Der Punkt darauf in Richtung des Winkels \(\theta\) ist \(\left(\cos\theta \,\|\, \sin\theta\right)\) – die Grundlage der Umrechnungsformeln für Polarkoordinaten.
Bogenmaß	Die Angabe eines Winkels durch die Länge des Bogens auf einem Kreis mit dem Radius 1, Einheit Radiant (rad). Es gilt \(180^{\circ} = \pi\) rad. Ab den trigonometrischen Funktionen der Oberstufe ist das Bogenmaß statt des Gradmaßes die übliche Einheit.
besondere Winkel	\(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\) und die damit verwandten Winkel (diese plus Vielfache von \(90^{\circ}\)). Ihre Sinus- und Kosinuswerte lassen sich exakt angeben, etwa \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) und \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\); die meisten Schulbuch- und Klausuraufgaben verwenden sie.
Polargleichung	Die Gleichung einer Kurve als Beziehung zwischen \(r\) und \(\theta\). So ist \(r = 2\) der Kreis mit dem Radius 2 um den Ursprung und \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\) der Strahl vom Ursprung mit der Steigung 1. Figuren, die durch den Abstand von einem Zentrum bestimmt sind, wie Kreise und Spiralen, haben viel einfachere Gleichungen als in kartesischen Koordinaten.

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit echtem Verständnis nutzen, ist hier zusammengestellt, was Sie vorher wissen sollten.
Wenn Sie hängen bleiben, ist es am schnellsten, diese Themen zu wiederholen.

Das Koordinatensystem (Klasse 5–7, 10–13 Jahre)	Die Lage eines Punkts als Paar \(\left(x \,\|\, y\right)\) angeben können Wissen, wo der 1. bis 4. Quadrant liegen und welche Vorzeichen \(x\) und \(y\) dort jeweils haben
Quadratwurzeln und Wurzelrechnung (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Wissen, dass \(\sqrt{2}\) die positive Zahl ist, deren Quadrat 2 ist Wurzeln durch teilweises Wurzelziehen vereinfachen können, etwa \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
Der Satz des Pythagoras (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Wissen, dass die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten \(a\) und \(b\) die Länge \(\sqrt{a^2 + b^2}\) hat Wissen, dass sich der Abstand eines Punkts vom Ursprung mit dem Satz des Pythagoras berechnen lässt
Trigonometrie und Einheitskreis (Klasse 9–11, 14–17 Jahre)	Wissen, dass \(\sin\), \(\cos\) und \(\tan\) der senkrechten Lage, der waagerechten Lage und der Steigung eines Punkts auf dem Einheitskreis entsprechen Die Sinus- und Kosinuswerte von \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\) und \(60^{\circ}\) kennen (\(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)) Sinus und Kosinus von Winkeln über \(90^{\circ}\) am Einheitskreis bestimmen können (zum Beispiel \(\cos 135^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\))
Bogenmaß (Klasse 10–11, 15–17 Jahre)	Mit \(180^{\circ} = \pi\) rad zwischen Grad und Bogenmaß umrechnen können (zum Beispiel \(60^{\circ} = \dfrac{\pi}{3}\))
Polarkoordinaten (Oberstufe, 16–18 Jahre)	Wissen, was Pol, Polachse, Radius und Winkel bedeuten Wissen, dass derselbe Punkt mehrere Polarkoordinaten hat (ein um \(2\pi\) verschobener Winkel ergibt denselben Punkt)

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für kartesisch → polar

x-Koordinate	3
y-Koordinate	4
Radius r	=WURZEL(B1^2+B2^2)
Winkel θ (Bogenmaß, 0 ≤ θ < 2π)	=REST(ARCTAN2(B1;B2);2*PI())
Winkel θ (Grad)	=GRAD(REST(ARCTAN2(B1;B2);2*PI()))

Tabelle für polar → kartesisch

Radius r	2
Winkel θ (Grad)	60
x-Koordinate = r cos θ	=B1*COS(BOGENMASS(B2))
y-Koordinate = r sin θ	=B1*SIN(BOGENMASS(B2))

Tabelle für einen anderen Winkel desselben Punkts

Winkel θ (Grad)	60
Anzahl Umdrehungen n (ganze Zahl, auch negativ)	1
Verschobener Winkel (Grad)	=B1+360*B2

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
In der ersten Tabelle liefert ARCTAN2(x-Koordinate; y-Koordinate) den Winkel mit bereits erledigter Quadrantenkorrektur (über −π bis π). REST mit 2π macht daraus einen Winkel von 0 bis unter 2π. Für den Beispielpunkt (3 | 4) ergeben sich r = 5 und θ ≈ 0,9273 (etwa 53,13 Grad).
In der zweiten Tabelle rechnet BOGENMASS Grad ins Bogenmaß um. Für das Beispiel r = 2 und θ = 60 Grad ergeben sich x = 1 und y ≈ 1,7320508 (= √3). Excel rechnet mit Dezimalzahlen; exakte Werte wie √3 oder Bruchteile von π erhalten Sie mit dem Rechner auf dieser Seite.
Die dritte Tabelle erzeugt weitere Polarkoordinaten desselben Punkts. Eine volle Umdrehung, 360 Grad, zu den 60 Grad des Beispiels ergibt 420 Grad. Mit n = −1 erhalten Sie −300 Grad – alles derselbe Punkt.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für kartesisch → polar

x-Koordinate	3
y-Koordinate	4
Radius r	=WURZEL(B1^2+B2^2)
Winkel θ (Bogenmaß, 0 ≤ θ < 2π)	=REST(ARCTAN2(B1;B2);2*PI())
Winkel θ (Grad)	=GRAD(REST(ARCTAN2(B1;B2);2*PI()))

Tabelle für polar → kartesisch

Radius r	2
Winkel θ (Grad)	60
x-Koordinate = r cos θ	=B1*COS(BOGENMASS(B2))
y-Koordinate = r sin θ	=B1*SIN(BOGENMASS(B2))

Tabelle für einen anderen Winkel desselben Punkts

Winkel θ (Grad)	60
Anzahl Umdrehungen n (ganze Zahl, auch negativ)	1
Verschobener Winkel (Grad)	=B1+360*B2

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert (auch ARCTAN2 erwartet die Argumente in der Reihenfolge „x-Koordinate; y-Koordinate“). Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen durch Ihre eigenen.

So berechnen Sie es in Python

import math

# Kartesisch → polar
x_coordinate = 3
y_coordinate = 4
radius = math.sqrt(x_coordinate ** 2 + y_coordinate ** 2)
argument = math.atan2(y_coordinate, x_coordinate)   # mit Quadrantenkorrektur (−π < θ ≤ π)
if argument < 0:
    argument += 2 * math.pi                         # in den Bereich 0 ≤ θ < 2π verschieben
print(f"Radius r = {radius}")
print(f"Winkel θ = {argument} rad ({math.degrees(argument)} Grad)")

# Polar → kartesisch
r = 2
theta_degree = 60
theta = math.radians(theta_degree)
print(f"x-Koordinate = {r * math.cos(theta)}")
print(f"y-Koordinate = {r * math.sin(theta)}")

math.atan2(y, x) liefert den Winkel mit bereits erledigter Quadrantenkorrektur und gibt daher anders als arctan auch für Punkte im 2. und 3. Quadranten die richtige Richtung. Die Argumente stehen in der Reihenfolge „y, x“, also umgekehrt zur Schreibweise der Koordinaten – eine typische Fehlerquelle. Die erste Hälfte des Beispiels rechnet den Punkt (3 | 4) um; beim Ausführen erscheinen r = 5 und θ ≈ 0,9273 rad (etwa 53,13 Grad). Die zweite Hälfte ist die Gegenrichtung mit r = 2 und θ = 60° und ergibt x ≈ 1 und y ≈ 1,7320508 (= √3). Dass x nicht genau 1 ausgegeben wird, liegt an Rundungsfehlern der Gleitkommazahlen (Python schreibt Dezimalzahlen außerdem mit Punkt); exakte Werte erhalten Sie nur mit symbolischem Rechnen wie im Rechner auf dieser Seite. Mit dem Modul cmath aus der Standardbibliothek liefert cmath.polar(complex(3, 4)) Radius und Winkel (−π < θ ≤ π) in einem Schritt.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Von Polarkoordinaten zu kartesischen Koordinaten (zwei Arten, die Lage eines Punkts anzugeben)

x = r cosθ, y = r sinθ

x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mtable columnalign="left">
    <mtr><mtd>
      <mi>x</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>cos</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    </mtd></mtr>
    <mtr><mtd>
      <mi>y</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>sin</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    </mtd></mtr>
  </mtable>
</math>

x = r cos theta, y = r sin theta

{x, y} = {r Cos[theta], r Sin[theta]}

x := r*cos(theta); y := r*sin(theta);

[x, y] = pol2cart(theta, r);

x = r cos θ, y = r sin θ

Radius \(r\) (Abstand vom Pol)

r = √(x² + y²)

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

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    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

r = sqrt(x^2 + y^2)

r = Sqrt[x^2 + y^2]

r := sqrt(x^2 + y^2);

r = hypot(x, y);

r = √(x^2 + y^2)

Winkel \(\theta\) (aus tan θ und dem Quadranten)

tanθ = y/x

\tan\theta = \dfrac{y}{x}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>tan</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>y</mi><mi>x</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

tan theta = y/x

theta = ArcTan[x, y]

theta := arctan(y, x);

theta = atan2(y, x);

tan θ = y/x

Derselbe Punkt hat mehrere Polarkoordinaten

(r | θ) = (r | θ + 2nπ)

\left(r \,|\, \theta\right) = \left(r \,|\, \theta + 2n\pi\right)

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  <mrow>
    <mo>(</mo><mi>r</mi><mo>|</mo><mi>&#x3B8;</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo><mi>r</mi><mo>|</mo>
    <mi>&#x3B8;</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>n</mi><mi>&#x3C0;</mi>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

(r | theta) = (r | theta + 2 n pi)

theta + 2 n Pi

theta + 2*n*Pi;

theta2 = theta + 2*n*pi;

(r | θ) = (r | θ + 2nπ)

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (Polarkoordinaten in der Ebene). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

1. Rechnen Sie den Punkt (3 | 4) in kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten (r | θ) um. Geben Sie den Radius r und den Winkel θ an (im Bereich 0 ≤ θ < 2π, im Bogenmaß und in Grad).
2. Rechnen Sie den Punkt (2 | 60°) in Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten (x | y) um. Geben Sie x und y als Dezimalzahlen und, wenn möglich, als exakte Werte mit √ an.

Verwenden Sie in Python math.atan2 und math.sqrt und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel