Stichprobenumfang berechnen (Umfragen und Fehlerspanne)

Dieser Rechner lässt sich auf zwei Arten verwenden. 1) Geben Sie das Konfidenzniveau, den Anteil und die Fehlerspanne ein, um den erforderlichen Umfang der Stichprobe zu bestimmen. 2) Geben Sie das Konfidenzniveau, den Anteil und den Umfang der Stichprobe ein, um die Fehlerspanne zu bestimmen. Geben Sie den Umfang der Grundgesamtheit nur ein, wenn Sie ihn kennen.

Konfidenzniveau (%)

Erwarteter Anteil (%)

Umfang N der Grundgesamtheit (leer lassen, wenn unbekannt oder sehr groß)

1) Fehlerspanne ±ε (%)

2) Umfang der Stichprobe n

Geben Sie alle Werte in Prozent ein (zum Beispiel „95“ für ein Konfidenzniveau von 95 % und „5“ für eine Fehlerspanne von ±5 %). Füllen Sie je nach gewünschtem Ergebnis nur eines der Felder „Fehlerspanne“ und „Stichprobenumfang“ aus.

Ergebnis

Geben Sie in den Feldern links das Konfidenzniveau und die übrigen Werte ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formel
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Was Sie auf dieser Seite tun können

„Wie viele Personen muss ich befragen, um ein Konfidenzniveau von 95 % und eine Fehlerspanne von ±5 % zu erreichen?“ Den Umfang der Stichprobe, den Ihre Umfrage braucht, sehen Sie sofort
Auch umgekehrt: „Wie genau, plus oder minus, ist eine Umfrage unter 1.000 Personen?“ Die Fehlerspanne berechnen Sie auf derselben Seite
Kennen Sie den Umfang der Grundgesamtheit (500 Beschäftigte, 1.000 Mitglieder und so weiter), grenzt die Endlichkeitskorrektur die Zahl auf die Personenzahl ein, die Sie wirklich brauchen
Eine verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Die Rechnung setzt voraus, dass die Befragten zufällig aus der Grundgesamtheit ausgewählt werden und dass die Umfrage einen Anteil (%) misst, etwa Antworten „ja“ oder „nein“. Für die Planung einer Umfrage, die einen Mittelwert (etwa das Durchschnittseinkommen) schätzt, braucht man eine andere Formel, die die Standardabweichung verwendet.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Die „±3 Prozentpunkte“ in Umfragen und Wahlberichten verstehen

Bundesweite Umfragen in den Nachrichten befragen meist etwa 1.000 bis 2.000 zufällig ausgewählte Personen aus rund 60 Millionen Wahlberechtigten. Bei einem Konfidenzniveau von 95 %, einer Fehlerspanne von ±3 % und einem Anteil von 50 % beträgt der erforderliche Umfang der Stichprobe \(1{,}96^2 \times 0{,}25 \div 0{,}03^2 \approx 1067{,}1\) (etwa 1.068 Personen). Diese Formel liefert die Antwort auf die Frage: „Können etwa 1.000 Personen wirklich sagen, was Millionen denken?“
Umgekehrt sehen Sie, dass Sie bei „45 % gegenüber 47 % Zustimmung“ innerhalb einer Fehlerspanne von ±3 Prozentpunkten nicht sicher sagen können, dass es einen statistischen Unterschied gibt.

Kundenumfragen und Mitarbeiterbefragungen planen (Wirtschaft)

„Wie viele unserer 1.000 Mitglieder müssen wir fragen?“ ist ein klassischer Fall für die Endlichkeitskorrektur. Bei einem Konfidenzniveau von 95 %, einer Fehlerspanne von ±5 % und einem Anteil von 50 % sinkt der Wert vor der Korrektur, 384,16, auf \(384{,}16 \div (1 + 383{,}16 \div 1000) \approx 277{,}7\) (278 Personen nach dem Aufrunden).
Wenn Sie vorab festlegen, wie viele Antworten für die gewünschte Genauigkeit genügen, bevor Sie allen immer wieder Erinnerungen schicken, können Sie Kosten und Genauigkeit der Umfrage mit Zahlen abwägen.

Stichprobenprüfung in der Fertigung (Qualitätssicherung)

Diese Formel wird auch verwendet, um die Ausschussquote massenhaft gefertigter Teile zu schätzen, ohne jedes einzelne zu prüfen. Deuten frühere Aufzeichnungen auf eine Ausschussquote von etwa 10 % hin, ergeben ein Konfidenzniveau von 90 % und eine Fehlerspanne von ±4 % \(1{,}65^2 \times 0{,}1 \times 0{,}9 \div 0{,}04^2 \approx 153{,}1\), eine Stichprobe von etwa 154 Teilen genügt also.
Das Beispiel zeigt auch: Je weiter der Anteil von 50 % entfernt ist, desto kleiner ist die Streuung \(\hat{p}(1-\hat{p})\) und desto weniger Stücke brauchen Sie.

Die Zahl der Teilnehmenden in medizinischen und epidemiologischen Studien planen

Bei einer epidemiologischen Studie zum „Anteil der Menschen in einer Region, die dieses Krankheitsbild haben“, muss der Studienplan angeben, wie viele Teilnehmende nötig sind. Deuten frühere Studien auf eine Prävalenz von etwa 20 % hin, ergeben ein Konfidenzniveau von 95 % und eine Fehlerspanne von ±3 % \(1{,}96^2 \times 0{,}2 \times 0{,}8 \div 0{,}03^2 \approx 683{,}0\), also etwa 683 Personen.
Die tatsächliche klinische Forschung nutzt außerdem genauere Verfahren, die zum Studiendesign passen (etwa eine Power-Analyse). Diese Formel ist die Grundform, von der sie ausgehen.

Einschaltquoten stammen aus einer Stichprobe von Haushalten – wie groß ist der Fehler?

Fernseh-Einschaltquoten werden aus einem Panel von Stichprobenhaushalten geschätzt, nicht aus jedem Haushalt. Nehmen Sie als vereinfachtes Beispiel (die tatsächlichen Verfahren sind komplexer) ein Panel von 2.700 Haushalten und eine Sendung, die in 10 % davon gesehen wird. Bei einem Konfidenzniveau von 95 % beträgt die Fehlerspanne \(1{,}96 \times \sqrt{0{,}1 \times 0{,}9 \div 2700} \approx 0{,}0113\) (etwa ±1,1 %).
So sehen Sie, dass „der Abstand zwischen einer Quote von 9,5 % und 10,5 % innerhalb der Fehlerspanne liegen kann“, und lesen die Zahlen in den Nachrichten einen Schritt genauer.

Formel

Erforderlicher Umfang der Stichprobe (wenn die Grundgesamtheit sehr groß ist)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(n_0\) \(=\) \(z^2\) \(\times\) \(\hat{p}\) \(\times\) \((1-\hat{p})\) \(\div\) \(\varepsilon^2\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

⑤ \(n_0\): berechneter Wert \(=\) ① z-Wert \(z\) zum Quadrat \(\times\) ② \(\hat{p}\): erwarteter Anteil \(\times\) ③ der Rest, \((1-\hat{p})\) \(\div\) ④ Fehlerspanne \(\varepsilon\) zum Quadrat

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie das Quadrat des z-Werts \(z\), der vom Konfidenzniveau abhängt

② multiplizieren Sie es mit dem \(\hat{p}\): erwarteter Anteil

③ und mit dem Rest des Anteils, \((1-\hat{p})\) ,

④ teilen Sie durch das Quadrat der Fehlerspanne \(\varepsilon\) ,

⑤ und Sie erhalten den berechneten erforderlichen Umfang der Stichprobe \(n_0\)

Einfaches Beispiel

Bei einem Konfidenzniveau von 95 % (z = 1,96), einem Anteil von 50 % (0,5) und einer Fehlerspanne von ±5 % (0,05) ist der erforderliche Umfang der Stichprobe

\(n_0\): berechneter Wert \(=\) 1,96 zum Quadrat (3,8416) \(\times\) Anteil (0,5) \(\times\) Rest (1 − 0,5 = 0,5) \(\div\) 0,05 zum Quadrat (0,0025)

\(3{,}8416 \times 0{,}5 \times 0{,}5 \div 0{,}0025 = 3{,}8416 \times 0{,}25 \div 0{,}0025 = 384{,}16\)

Der Kerngedanke

Runden Sie das Ergebnis auf, um eine Personenzahl zu erhalten (384,16 → 385 Personen). Würde man abrunden, läge die Fehlerspanne etwas über Ihrem Zielwert. Haben Sie vorab keine Vorstellung vom Anteil, geben Sie 50 % ein. Die Streuung \(\hat{p}(1-\hat{p})\) ist am größten, wenn \(\hat{p}\) gleich 50 % ist, deshalb ergibt das die größte (sicherste) Schätzung der Personenzahl. Die üblichen z-Werte für jedes Konfidenzniveau sind 80 % → 1,28, 85 % → 1,44, 90 % → 1,65, 95 % → 1,96, 98 % → 2,33 und 99 % → 2,58 (auch der Rechner auf dieser Seite verwendet diese üblichen gerundeten Werte; Statistikbücher nennen teils 90 % → 1,645 und 99 % → 2,576).

Endlichkeitskorrektur für den Stichprobenumfang (wenn Sie den Umfang \(N\) der Grundgesamtheit kennen)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(n\) \(=\) \(n_0\) \(\div\) \((\) \(1\) \(+\) \((n_0 - 1)\) \(\div\) \(N\) \()\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

⑤ \(n\): korrigierter Wert \(=\) ④ \(n_0\): Wert vor der Korrektur \(\div\) \((\) ③ \(1\) \(+\) ① Wert vor der Korrektur minus 1, \((n_0 - 1)\) \(\div\) ② \(N\): Umfang der Grundgesamtheit \()\)

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie den Wert vor der Korrektur minus 1, \((n_0-1)\)

② teilen Sie ihn durch den \(N\): Umfang der Grundgesamtheit ,

③ und addieren Sie \(1\) .

④ Teilen Sie den \(n_0\): Wert vor der Korrektur durch diese Zahl

⑤ und Sie erhalten den korrigierten erforderlichen Umfang der Stichprobe \(n\)

Einfaches Beispiel

Ist der Wert vor der Korrektur 384,16 (Konfidenzniveau 95 %, Anteil 50 %, Fehlerspanne ±5 %) und besteht die Grundgesamtheit aus 500 Personen, dann ist

korrigierter Wert \(=\) Wert vor der Korrektur (384,16) \(\div\) \((\) 1 \(+\) 384,16 − 1 = 383,16 \(\div\) Grundgesamtheit (500 Personen) \()\)

\(384{,}16 \div \left( 1 + \dfrac{383{,}16}{500} \right) = 384{,}16 \div 1{,}76632 \approx 217{,}49\)

Der Kerngedanke

Ist die Grundgesamtheit klein, senkt diese Korrektur die nötige Personenzahl deutlich (in diesem Beispiel 385 Personen → 218 nach dem Aufrunden). Wenn Sie einen großen Teil der Grundgesamtheit direkt untersuchen können, ist das Ergebnis entsprechend sicherer. Der Teiler „\(1 + (n_0 - 1) \div N\)“ zeigt, wie stark die Korrektur ist. Ist die Grundgesamtheit \(N\) viel größer als der berechnete Wert \(n_0\), ist \((n_0 - 1) \div N\) fast 0, der Teiler also fast 1 (die Division ändert nichts, es ist dasselbe wie keine Korrektur). Je kleiner die Grundgesamtheit, desto größer wird der Teiler über 1 und desto weniger Personen brauchen Sie. Die „1“ ist die Grundlage für „durch 1 teilen (unverändert lassen), wenn es keine Korrektur gibt“. Ist die Grundgesamtheit dagegen viel größer als der berechnete Wert, ändert die Korrektur kaum etwas, und Sie können das Feld „Umfang der Grundgesamtheit“ im Rechner leer lassen (keine Korrektur). Wie bei der ersten Formel wird aufgerundet (217,49 → 218 Personen).

Fehlerspanne (wenn die Grundgesamtheit sehr groß ist)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\varepsilon\) \(=\) \(z\) \(\times\) \(\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\varepsilon\): Fehlerspanne \(=\) ① \(z\): z-Wert \(\times\) ② Quadratwurzel aus \(\dfrac{\text{Streuung des Anteils }\hat{p}(1-\hat{p})}{\text{Stichprobenumfang }n}\)

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie den z-Wert \(z\), der vom Konfidenzniveau abhängt

② multiplizieren Sie ihn mit der Quadratwurzel aus \(\dfrac{\text{Streuung des Anteils }\hat{p}(1-\hat{p})}{\text{Stichprobenumfang }n}\) ,

③ und Sie erhalten die \(\varepsilon\): Fehlerspanne

Einfaches Beispiel

Bei einem Konfidenzniveau von 95 % (z = 1,96) ist für eine Umfrage, in der 60 % von 100 Personen mit „ja“ geantwortet haben, die Fehlerspanne

\(\varepsilon\): Fehlerspanne \(=\) z-Wert (1,96) \(\times\) Quadratwurzel aus „0,6 × 0,4 ÷ 100“

\(1{,}96 \times \sqrt{0{,}6 \times 0{,}4 \div 100} = 1{,}96 \times \sqrt{0{,}0024} \approx 1{,}96 \times 0{,}0490 \approx 0{,}0960\ \ (9{,}60\,\%)\)

Der Kerngedanke

Für \(\hat{p}\) in der Streuung \(\hat{p}(1-\hat{p})\) setzen Sie den Anteil ein, den Sie in der Umfrage tatsächlich erhalten haben (den Anteil in der Stichprobe). Der Umfang \(n\) der Stichprobe steht im Nenner unter der Wurzel. Um den Fehler zu halbieren, brauchen Sie also eine 4-mal so große Stichprobe, um ihn auf ein Drittel zu senken, eine 9-mal so große. „Mehr Stichprobe hilft nur langsam“ ist eine wichtige Eigenschaft dieser Formel.

Endlichkeitskorrektur für die Fehlerspanne (wenn Sie den Umfang \(N\) der Grundgesamtheit kennen)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\varepsilon\) \(=\) \(\varepsilon_0\) \(\times\) \(\sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\varepsilon\): korrigierte Fehlerspanne \(=\) ① \(\varepsilon_0\): Fehlerspanne vor der Korrektur \(\times\) ② Quadratwurzel aus dem Korrekturfaktor \(\dfrac{\text{Rest }(N-n)}{\text{Umfang minus 1 }(N-1)}\)

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie die Fehlerspanne vor der Korrektur, \(\varepsilon_0\) (aus der dritten Formel)

② multiplizieren Sie sie mit der Quadratwurzel aus dem Korrekturfaktor \(\dfrac{\text{Rest }(N-n)}{\text{Umfang minus 1 }(N-1)}\) ,

③ und Sie erhalten die \(\varepsilon\): korrigierte Fehlerspanne

Einfaches Beispiel

Befragen Sie 200 von 1.000 Personen einer Grundgesamtheit und beträgt die Fehlerspanne vor der Korrektur 6,35 %, dann ist die korrigierte Fehlerspanne

\(\varepsilon\): korrigierte Fehlerspanne \(=\) Fehlerspanne vor der Korrektur (6,35 %) \(\times\) Quadratwurzel aus „800 ÷ 999“

\(6{,}35 \times \sqrt{\dfrac{1000 - 200}{1000 - 1}} = 6{,}35 \times \sqrt{0{,}8008} \approx 6{,}35 \times 0{,}8949 \approx 5{,}68\,(\%)\)

Der Kerngedanke

Untersucht man einen großen Teil der Grundgesamtheit, ist das Ergebnis entsprechend sicherer. Der Korrekturfaktor zeigt das: Nähert sich der Umfang \(n\) der Stichprobe dem Umfang \(N\) der Grundgesamtheit, nähert er sich 0 (eine Vollerhebung, die alle erfasst, hat den Fehler null), und wenn \(N\) sehr groß ist, ist er fast 1 (dasselbe wie keine Korrektur). Sie können die Fehlerspanne als Prozentzahl multiplizieren (der Korrekturfaktor ist eine Zahl ohne Einheit, die höchstens 1 ist).

Der erforderliche Umfang der Stichprobe ist „z-Wert zum Quadrat × Streuung des Anteils ÷ Fehlerspanne zum Quadrat“, aufgerundet. Die Fehlerspanne ist „z-Wert × √(Streuung ÷ Stichprobenumfang)“. Kennen Sie den Umfang der Grundgesamtheit, senkt die Endlichkeitskorrektur die nötige Personenzahl (und macht den Fehler kleiner).

Symbole und Begriffe

Symbole

\(n\)	n	Der Umfang der Stichprobe. Bei einer Umfrage ist es die Zahl der Personen, deren Antworten Sie sammeln, bei einer Prüfung die Zahl der Stücke, die Sie kontrollieren.
\(n_0\)	n Index null	Der berechnete erforderliche Umfang der Stichprobe, wenn die Grundgesamtheit als sehr groß angesehen wird. Es ist der Wert vor der Endlichkeitskorrektur.
\(z\)	z	Der z-Wert (ein Wert der Standardnormalverteilung) zum Konfidenzniveau. Die üblichen Werte sind 1,96 für 95 % und 2,58 für 99 %.
\(\hat{p}\)	p Dach	Der Anteil (etwa der Anteil der Antworten „ja“, den Sie wissen möchten). Um den Umfang der Stichprobe zu bestimmen, setzen Sie Ihren erwarteten Wert ein, um die Fehlerspanne zu bestimmen, den Anteil, den Sie in der Umfrage tatsächlich erhalten haben (den Anteil in der Stichprobe). Schreiben Sie ihn als Dezimalzahl von 0 bis 1 (0,5 für 50 %).
\(\varepsilon\)	Epsilon	Die Fehlerspanne, die Abweichung zwischen Umfrageergebnis und wahrem Wert, die Sie zulassen. Sie wird mit ± angegeben, etwa „±5 %“.
\(N\)	großes N	Der Umfang der Grundgesamtheit, die Zahl der Personen oder Stücke in der gesamten Gruppe, die Sie untersuchen möchten (Beispiel: alle 500 Beschäftigten).

Begriffe

Grundgesamtheit	Die gesamte Gruppe, über die Sie wirklich etwas wissen möchten, etwa „alle Wahlberechtigten im Land“ oder „alle 500 Beschäftigten“.
Stichprobe	Der Teil der Grundgesamtheit, den Sie auswählen, um ihn tatsächlich zu untersuchen. Die Zahl der Personen oder Stücke in der Stichprobe heißt Stichprobenumfang.
Zufallsstichprobe	Eine Stichprobe, bei der jede Person der Grundgesamtheit dieselbe Chance hat, ausgewählt zu werden, wie beim Ziehen von Losen (auch Zufallsauswahl genannt). Die Formeln auf dieser Seite setzen eine Zufallsstichprobe voraus und gelten nicht für Umfragen, bei denen nur antworten, wer antworten möchte.
Anteil in der Grundgesamtheit	Der Anteil, den Sie wirklich wissen möchten, etwa der Anteil „ja“ in der gesamten Grundgesamtheit. Den Anteil, den Sie aus einer Stichprobe erhalten, nennt man zur Unterscheidung den Anteil in der Stichprobe.
Konfidenzniveau	Wie sicher Sie sein können: der Prozentsatz der Fälle, in denen das Ergebnis innerhalb der Fehlerspanne läge, wenn man dieselbe Umfrage viele Male wiederholte. Am häufigsten verwendet man 95 %.
Konfidenzintervall	Der Bereich, den Sie erhalten, wenn Sie ein Umfrageergebnis mit einer gewissen Breite angeben, etwa „52 % ± 3 % (49 % bis 55 %)“. Die Fehlerspanne ±ε auf dieser Seite ist diese Breite.
Fehlerspanne	Die Abweichung zwischen Umfrageergebnis und wahrem Wert, die Sie zulassen (auch Fehlertoleranz genannt). Das ist gemeint, wenn bei Umfragen in den Nachrichten „Fehlertoleranz ±3 Prozentpunkte“ steht.
Endlichkeitskorrektur	Eine Korrektur, die den erforderlichen Umfang der Stichprobe oder die Fehlerspanne kleiner macht, wenn Sie wissen, dass die Grundgesamtheit einen begrenzten Umfang hat (Korrektur für endliche Grundgesamtheiten). Sie berücksichtigt, dass das Ergebnis umso sicherer ist, je mehr von der Grundgesamtheit man untersucht.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier finden Sie zusammengestellt, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.

Prozentrechnung und Anteile (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Zwischen Prozent und Dezimalzahl wechseln können, etwa 50 % = 0,5 und 5 % = 0,05 Wissen, dass „Grundwert × Prozentsatz = Prozentwert“ gilt
Quadratwurzeln (Klasse 9, 14–15 Jahre)	Die Quadratwurzel als „die Zahl, die quadriert diese Zahl ergibt“ kennen, etwa \(\sqrt{0{,}0025} = 0{,}05\) Ein Gefühl dafür haben, wie sich Quadratwurzeln ändern: Wird die Zahl unter der Wurzel ein Viertel, wird die Wurzel die Hälfte
Umfragen und Stichproben (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Den Unterschied zwischen einer Vollerhebung und einer Stichprobenerhebung kennen und wissen, was „Grundgesamtheit“ und „Stichprobe“ bedeuten Wissen, dass man ohne zufällige Auswahl der Stichprobe nicht richtig abschätzen kann, wie die Grundgesamtheit aussieht
Die Normalverteilung und beurteilende Statistik (Oberstufe, ab 16 Jahren)	Wissen, dass Anteile in Stichproben in einer Form streuen, die einer Normalverteilung nahekommt (die Idee des zentralen Grenzwertsatzes) Die Idee des Konfidenzintervalls kennen, dass ein Konfidenzniveau von 95 % zum z-Wert 1,96 gehört

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung des erforderlichen Umfangs der Stichprobe (sehr große Grundgesamtheit)

z-Wert (1,96 für 95 %)	1,96
Erwarteter Anteil (%)	50
Fehlerspanne (%)	5
Berechneter Wert n0	=B1^2(B2/100)(1-B2/100)/(B3/100)^2
Erforderlicher Stichprobenumfang (aufgerundet)	=AUFRUNDEN(B4;0)

Tabelle zur Endlichkeitskorrektur des Stichprobenumfangs

z-Wert (1,96 für 95 %)	1,96
Erwarteter Anteil (%)	50
Fehlerspanne (%)	5
Umfang N der Grundgesamtheit	500
Wert vor der Korrektur n0	=B1^2(B2/100)(1-B2/100)/(B3/100)^2
Erforderlicher Stichprobenumfang (korrigiert, aufgerundet)	=AUFRUNDEN(B5/(1+(B5-1)/B4);0)

Tabelle zur Berechnung der Fehlerspanne (sehr große Grundgesamtheit)

z-Wert (1,96 für 95 %)	1,96
Anteil aus der Umfrage (%)	60
Umfang der Stichprobe n	100
Fehlerspanne (%)	=B1WURZEL(B2/100(1-B2/100)/B3)*100

Tabelle zur Endlichkeitskorrektur der Fehlerspanne

z-Wert (1,96 für 95 %)	1,96
Anteil aus der Umfrage (%)	30
Umfang der Stichprobe n	200
Umfang N der Grundgesamtheit	1000
Fehlerspanne vor der Korrektur (%)	=B1WURZEL(B2/100(1-B2/100)/B3)*100
Korrigierte Fehlerspanne (%)	=B5*WURZEL((B4-B3)/(B4-1))

Nach dem Einfügen sind die oberen Zellen (ab B1) Ihre Eingaben, und die letzte Zeile zeigt das berechnete Ergebnis.
In der ersten Tabelle zeigt B4 den Wert 384,16 und B5 den Wert 385. Die Antwort in der zweiten Tabelle ist 218, in der dritten etwa 9,60 (%) und in der vierten etwa 5,68 (%).
„^“ ist eine Potenz (zum Quadrat), „WURZEL“ ist die Quadratwurzel, und „AUFRUNDEN“ ist die Funktion zum Aufrunden.
Beachten Sie, dass der Rechner auf dieser Seite auch dann einen Wert mehr rundet, wenn der berechnete Wert genau eine ganze Zahl ist, um auf der sicheren Seite zu sein. Bei runden Werten kann er deshalb um 1 von AUFRUNDEN in Excel abweichen.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung des erforderlichen Umfangs der Stichprobe (sehr große Grundgesamtheit)

z-Wert (1,96 für 95 %)	1,96
Erwarteter Anteil (%)	50
Fehlerspanne (%)	5
Berechneter Wert n0	=B1^2(B2/100)(1-B2/100)/(B3/100)^2
Erforderlicher Stichprobenumfang (aufgerundet)	=AUFRUNDEN(B4;0)

Tabelle zur Endlichkeitskorrektur des Stichprobenumfangs

z-Wert (1,96 für 95 %)	1,96
Erwarteter Anteil (%)	50
Fehlerspanne (%)	5
Umfang N der Grundgesamtheit	500
Wert vor der Korrektur n0	=B1^2(B2/100)(1-B2/100)/(B3/100)^2
Erforderlicher Stichprobenumfang (korrigiert, aufgerundet)	=AUFRUNDEN(B5/(1+(B5-1)/B4);0)

Tabelle zur Berechnung der Fehlerspanne (sehr große Grundgesamtheit)

z-Wert (1,96 für 95 %)	1,96
Anteil aus der Umfrage (%)	60
Umfang der Stichprobe n	100
Fehlerspanne (%)	=B1WURZEL(B2/100(1-B2/100)/B3)*100

Tabelle zur Endlichkeitskorrektur der Fehlerspanne

z-Wert (1,96 für 95 %)	1,96
Anteil aus der Umfrage (%)	30
Umfang der Stichprobe n	200
Umfang N der Grundgesamtheit	1000
Fehlerspanne vor der Korrektur (%)	=B1WURZEL(B2/100(1-B2/100)/B3)*100
Korrigierte Fehlerspanne (%)	=B5*WURZEL((B4-B3)/(B4-1))

Die gleichen Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen in Spalte B durch die Werte Ihrer eigenen Umfrage.

Mit Python berechnen

import math

# Kurztabelle vom Konfidenzniveau (%) zum z-Wert (übliche gerundete Werte)
z_table = {80: 1.28, 85: 1.44, 90: 1.65, 95: 1.96, 98: 2.33, 99: 2.58}

# ---- Verwendung 1: den erforderlichen Stichprobenumfang bestimmen ----
confidence_level = 95    # Konfidenzniveau (%)
population_ratio = 50    # erwarteter Anteil (%)
margin_of_error = 5      # Fehlerspanne (%)
population_size = None   # Umfang der Grundgesamtheit (None, wenn unbekannt oder sehr groß)

z = z_table[confidence_level]
p = population_ratio / 100
e = margin_of_error / 100

raw_size = z ** 2 * p * (1 - p) / e ** 2   # Wert vor der Korrektur
if population_size is not None:
    raw_size = raw_size / (1 + (raw_size - 1) / population_size)   # Endlichkeitskorrektur
required_size = math.floor(raw_size) + 1   # kleinste ganze Zahl über dem berechneten Wert (zur Sicherheit aufgerundet)
print(f"Erforderlicher Stichprobenumfang: {required_size}")

# ---- Verwendung 2: die Fehlerspanne bestimmen ----
sample_size = 1000       # tatsächlich befragter Stichprobenumfang
sample_ratio = 50 / 100  # Anteil aus der Umfrage (0.5 für 50 %)

error_ratio = z * math.sqrt(sample_ratio * (1 - sample_ratio) / sample_size)
print(f"Fehlerspanne: ±{error_ratio * 100:.2f} %")

Der Code läuft nur mit der Standardbibliothek. Verwendung 1 berechnet den erforderlichen Umfang der Stichprobe (385 mit den Beispielwerten) und Verwendung 2 die Fehlerspanne (±3,10 % mit den Beispielwerten; die Python-Ausgabe verwendet dabei Punkte statt Kommas). Ersetzen Sie die Zahlen am Anfang durch die Bedingungen Ihrer eigenen Umfrage und führen Sie den Code aus.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Erforderlicher Umfang der Stichprobe (wenn die Grundgesamtheit sehr groß ist)

n₀ = z² × p̂(1 − p̂) ÷ ε²

n_0 = \dfrac{z^2 \, \hat{p}(1-\hat{p})}{\varepsilon^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>n</mi><mn>0</mn></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <msup><mi>z</mi><mn>2</mn></msup>
        <mover accent="true"><mi>p</mi><mo>^</mo></mover>
        <mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>^</mo></mover><mo>)</mo>
      </mrow>
      <msup><mi>&#x3B5;</mi><mn>2</mn></msup>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

n_0 = (z^2 hat(p)(1 - hat(p)))/(epsilon^2)

z^2*p*(1 - p)/err^2

n0 := z^2*p*(1 - p)/err^2;

n0 = z^2*p*(1 - p)/err^2;

n_0 = (z^2 p̂(1 − p̂))/ε^2

Endlichkeitskorrektur für den Stichprobenumfang (wenn Sie den Umfang \(N\) der Grundgesamtheit kennen)

n = n₀ ÷ (1 + (n₀ − 1) ÷ N)

n = \dfrac{n_0}{1 + \dfrac{n_0 - 1}{N}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>n</mi><mn>0</mn></msub>
      <mrow>
        <mn>1</mn><mo>+</mo>
        <mfrac>
          <mrow><msub><mi>n</mi><mn>0</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow>
          <mi>N</mi>
        </mfrac>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

n = n_0/(1 + (n_0 - 1)/N)

n0/(1 + (n0 - 1)/nPop)

n := n0/(1 + (n0 - 1)/N);

n = n0/(1 + (n0 - 1)/N);

n = n_0/(1 + (n_0 − 1)/N)

Fehlerspanne (wenn die Grundgesamtheit sehr groß ist)

ε = z × √(p̂(1 − p̂) ÷ n)

\varepsilon = z \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

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          <mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>^</mo></mover><mo>)</mo>
        </mrow>
        <mi>n</mi>
      </mfrac>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

epsilon = z sqrt((hat(p)(1 - hat(p)))/n)

z*Sqrt[p*(1 - p)/n]

err := z*sqrt(p*(1 - p)/n);

err = z*sqrt(p*(1 - p)/n);

ε = z√((p̂(1 − p̂))/n)

Endlichkeitskorrektur für die Fehlerspanne (wenn Sie den Umfang \(N\) der Grundgesamtheit kennen)

ε = ε₀ × √((N − n) ÷ (N − 1))

\varepsilon = \varepsilon_0 \sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}}

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    <mi>&#x3B5;</mi>
    <mo>=</mo>
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      </mfrac>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

epsilon = epsilon_0 sqrt((N - n)/(N - 1))

err0*Sqrt[(nPop - n)/(nPop - 1)]

err := err0*sqrt((N - n)/(N - 1));

err = err0*sqrt((N - n)/(N - 1));

ε = ε_0 √((N − n)/(N − 1))

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für statistische Erhebungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten).

Ein Dienst mit 1.000 Mitgliedern führt eine Zufriedenheitsumfrage durch. Verwenden Sie ein Konfidenzniveau von 95 % (z-Wert 1,96), einen erwarteten Anteil von 50 % und eine Fehlerspanne von ±5 %.
Bestimmen Sie jeweils:
1. Den erforderlichen Stichprobenumfang, wenn die Grundgesamtheit als sehr groß angesehen wird (den berechneten Wert und die Personenzahl nach dem Aufrunden)
2. Den erforderlichen Stichprobenumfang mit der Endlichkeitskorrektur für eine Grundgesamtheit von 1.000
3. Die Fehlerspanne (mit der Endlichkeitskorrektur, in %), wenn nur 200 Personen antworten

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel