Stichprobengröße berechnen – Stichprobenumfang und Fehlertoleranz

Es gibt zwei Verwendungsarten. ① Geben Sie Konfidenzniveau, Anteil und Fehlertoleranz ein, um die nötige Stichprobengröße zu erhalten. ② Geben Sie Konfidenzniveau, Anteil und Stichprobengröße ein, um die Fehlertoleranz zu erhalten. Die Größe der Grundgesamtheit tragen Sie nur ein, wenn Sie sie kennen.

Konfidenzniveau (%)

Erwarteter Anteil (%)

Größe der Grundgesamtheit N (leer lassen, wenn unbekannt oder sehr groß)

① Fehlertoleranz ±ε (%)

② Stichprobengröße n

Alle Werte geben Sie in Prozent ein (z. B. „95“ für 95 % Konfidenzniveau und „5“ für ±5 % Fehlertoleranz). Füllen Sie je nach gesuchtem Wert nur eines der Felder „Fehlertoleranz“ und „Stichprobengröße“ aus.

Ergebnis

Geben Sie links das Konfidenzniveau und die übrigen Werte ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint dann hier.

Inhaltsverzeichnis

[ Schließen X ]

Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formel
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Die Vorteile von DataChef
Verwandte Funktionen
Alle Rechner von NumberChef

Das können Sie auf dieser Seite

„Wie viele Personen muss ich befragen, damit das Ergebnis mit 95 % Konfidenzniveau auf ±5 % genau ist?“ – Sie sehen sofort den Stichprobenumfang, den Ihre Umfrage braucht
Umgekehrt: „Wie genau ist eine Umfrage mit 1.000 Befragten, plus/minus wie viel?“ – auch die Fehlertoleranz berechnen Sie auf derselben Seite
Kennen Sie die Größe der Grundgesamtheit (500 Beschäftigte, 1.000 Mitglieder usw.), grenzt die Endlichkeitskorrektur die wirklich nötige Zahl weiter ein
Dazu eine verständliche Erklärung der Formeln sowie fertige Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python

Die Rechnung setzt voraus, dass die Befragten zufällig aus der Grundgesamtheit ausgewählt werden und dass die Umfrage einen Anteil (%) misst, etwa „Ja“- oder „Nein“-Antworten. Für eine Umfrage, die einen Mittelwert schätzt (etwa das Durchschnittseinkommen), braucht man eine andere Formel mit der Standardabweichung.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Die „Fehlertoleranz ±3 Prozentpunkte“ bei Wahlumfragen verstehen

Für das ZDF-Politbarometer befragt die Forschungsgruppe Wahlen circa 1.300 zufällig ausgewählte Wahlberechtigte – von rund 60 Millionen in Deutschland. Bei 95 % Konfidenzniveau, einer Fehlertoleranz von ±3 % und einem Anteil von 50 % ergibt die Formel einen nötigen Stichprobenumfang von \(1{,}96^2 \times 0{,}25 \div 0{,}03^2 \approx 1067{,}1\) (etwa 1.068 Personen). Umgekehrt haben 1.300 Befragte bei einem Anteil von 50 % eine Fehlertoleranz von etwa ±2,7 Prozentpunkten. Das beantwortet die Frage: „Können gut 1.000 Befragte wirklich zeigen, was 60 Millionen denken?“
Ebenso sieht man: Liegt der Unterschied „45 % gegenüber 47 % Zustimmung“ innerhalb von ±3 Prozentpunkten, lässt sich statistisch nicht sicher sagen, dass es einen Unterschied gibt.

Kunden- und Mitarbeiterbefragungen planen (Beruf)

„Wie viele unserer 1.000 Mitglieder müssen wir befragen?“ ist ein typischer Fall für die Endlichkeitskorrektur. Bei 95 % Konfidenzniveau, ±5 % Fehlertoleranz und einem Anteil von 50 % sinkt der Wert vor der Korrektur, 384,16, auf \(384{,}16 \div (1 + 383{,}16 \div 1000) \approx 277{,}7\) (aufgerundet 278 Personen).
Wer vorher festlegt, wie viele Antworten für die gewünschte Genauigkeit reichen, statt alle immer wieder zu erinnern, kann Kosten und Genauigkeit der Umfrage mit Zahlen abwägen.

Stichprobenprüfung in der Fertigung (Qualitätssicherung)

Auch um den Ausschussanteil massenhaft gefertigter Teile zu schätzen, ohne jedes Teil zu prüfen, nutzt man diese Formel. Lassen bisherige Daten einen Ausschuss von etwa 10 % erwarten, ergeben 90 % Konfidenzniveau und ±4 % Fehlertoleranz \(1{,}65^2 \times 0{,}1 \times 0{,}9 \div 0{,}04^2 \approx 153{,}1\) – eine Stichprobe von etwa 154 Teilen reicht.
Das Beispiel zeigt auch: Je weiter der Anteil von 50 % entfernt ist, desto kleiner ist die Streuung \(\hat{p}(1-\hat{p})\) und desto weniger Teile braucht man.

Teilnehmerzahl für medizinische und epidemiologische Studien planen

Bei einer epidemiologischen Studie zum „Anteil der Menschen in einer Region mit diesem Symptom“ muss der Studienplan angeben, wie viele Teilnehmende nötig sind. Lassen frühere Studien eine Häufigkeit von etwa 20 % erwarten, ergeben 95 % Konfidenzniveau und ±3 % Fehlertoleranz \(1{,}96^2 \times 0{,}2 \times 0{,}8 \div 0{,}03^2 \approx 683{,}0\), also etwa 683 Personen.
In der echten klinischen Forschung kommen zusätzlich genauere, zum Studiendesign passende Verfahren hinzu (etwa die Poweranalyse). Diese Formel ist die Grundform, von der sie ausgehen.

Einschaltquoten aus einer Stichprobe von Haushalten – wie groß ist der Fehler?

Einschaltquoten werden nicht in allen Haushalten gemessen, sondern in einem Panel aus einigen Tausend Haushalten und dann hochgerechnet. Als vereinfachtes Beispiel (die echten Verfahren sind komplizierter) nehmen wir 2.700 Haushalte und eine Sendung, die in 10 % davon läuft. Bei 95 % Konfidenzniveau ist die Fehlertoleranz \(1{,}96 \times \sqrt{0{,}1 \times 0{,}9 \div 2700} \approx 0{,}0113\) (etwa ±1,1 Prozentpunkte).
So erkennt man, dass „der Unterschied zwischen 9,5 % und 10,5 % Quote im Bereich des Fehlers liegen kann“, und liest Zahlen in den Nachrichten einen Schritt genauer.

Formel

Nötiger Stichprobenumfang (bei sehr großer Grundgesamtheit)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(n_0\) \(=\) \(z^2\) \(\times\) \(\hat{p}\) \(\times\) \((1-\hat{p})\) \(\div\) \(\varepsilon^2\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

⑤ \(n_0\): berechneter Wert \(=\) ① Quadrat des z-Werts \(z\) \(\times\) ② \(\hat{p}\): erwarteter Anteil \(\times\) ③ der Rest, \((1-\hat{p})\) \(\div\) ④ Quadrat der Fehlertoleranz \(\varepsilon\)

Die Formel in Worten

① Man nimmt das Quadrat des z-Werts \(z\), der vom Konfidenzniveau abhängt,

② multipliziert mit dem \(\hat{p}\): erwarteten Anteil

③ und mit dem Rest des Anteils, \((1-\hat{p})\),

④ teilt durch das Quadrat der Fehlertoleranz \(\varepsilon\)

⑤ und erhält den berechneten nötigen Stichprobenumfang \(n_0\)

Einfaches Beispiel

Bei 95 % Konfidenzniveau (z = 1,96), einem Anteil von 50 % (0,5) und einer Fehlertoleranz von ±5 % (0,05) beträgt der nötige Stichprobenumfang

\(n_0\): berechneter Wert \(=\) 1,96 zum Quadrat (3,8416) \(\times\) Anteil (0,5) \(\times\) Rest (1 − 0,5 = 0,5) \(\div\) 0,05 zum Quadrat (0,0025)

\(3{,}8416 \times 0{,}5 \times 0{,}5 \div 0{,}0025 = 3{,}8416 \times 0{,}25 \div 0{,}0025 = 384{,}16\)

Der Grundgedanke

Das Ergebnis wird auf eine ganze Zahl von Personen aufgerundet (384,16 → 385 Personen). Würde man abrunden, läge die Fehlertoleranz etwas über dem Ziel. Haben Sie vorher keine Vorstellung vom Anteil, setzen Sie 50 % ein. Die Streuung \(\hat{p}(1-\hat{p})\) ist bei \(\hat{p} = 50\) % am größten, das ergibt also die größte (sicherste) Schätzung der Personenzahl. Übliche z-Werte für die Konfidenzniveaus sind 80 % → 1,28, 85 % → 1,44, 90 % → 1,65, 95 % → 1,96, 98 % → 2,33 und 99 % → 2,58 (der Rechner auf dieser Seite verwendet diese gebräuchlichen gerundeten Werte; Statistikbücher nennen teils auch 90 % → 1,645 und 99 % → 2,576).

Endlichkeitskorrektur für den Stichprobenumfang (bei bekannter Größe \(N\) der Grundgesamtheit)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(n\) \(=\) \(n_0\) \(\div\) \((\) \(1\) \(+\) \((n_0 - 1)\) \(\div\) \(N\) \()\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

⑤ \(n\): korrigierter Wert \(=\) ④ \(n_0\): Wert vor der Korrektur \(\div\) \((\) ③ \(1\) \(+\) ① Wert vor der Korrektur minus 1, \((n_0 - 1)\) \(\div\) ② \(N\): Größe der Grundgesamtheit \()\)

Die Formel in Worten

① Man teilt den Wert vor der Korrektur minus 1, \((n_0-1)\),

② durch die \(N\): Größe der Grundgesamtheit

③ und addiert \(1\).

④ Teilt man den \(n_0\): Wert vor der Korrektur durch diese Zahl,

⑤ erhält man den korrigierten nötigen Stichprobenumfang \(n\)

Einfaches Beispiel

Ist der Wert vor der Korrektur 384,16 (95 % Konfidenzniveau, Anteil 50 %, Fehlertoleranz ±5 %) und umfasst die Grundgesamtheit 500 Personen, dann gilt

korrigierter Wert \(=\) Wert vor der Korrektur (384,16) \(\div\) \((\) 1 \(+\) 384,16 − 1 = 383,16 \(\div\) Grundgesamtheit (500 Personen) \()\)

\(384{,}16 \div \left( 1 + \dfrac{383{,}16}{500} \right) = 384{,}16 \div 1{,}76632 \approx 217{,}49\)

Der Grundgedanke

Ist die Grundgesamtheit klein, sinkt die nötige Personenzahl durch diese Korrektur deutlich (in diesem Beispiel von 385 auf aufgerundet 218 Personen). Wer einen großen Teil der Grundgesamtheit selbst untersucht, erhält ein entsprechend sichereres Ergebnis. Der Nenner „\(1 + (n_0 - 1) \div N\)“ zeigt, wie stark korrigiert wird. Ist die Grundgesamtheit \(N\) viel größer als der berechnete Wert \(n_0\), ist \((n_0 - 1) \div N\) fast 0 und der Nenner fast 1 (das Teilen ändert nichts – wie ohne Korrektur). Je kleiner die Grundgesamtheit, desto mehr wächst der Nenner über 1 und desto weniger Personen braucht man. Die „1“ ist der Ausgangspunkt „ohne Korrektur durch 1 teilen (also nichts ändern)“. Ist die Grundgesamtheit dagegen viel größer als der berechnete Wert, ändert die Korrektur kaum etwas – dann können Sie das Feld „Größe der Grundgesamtheit“ im Rechner leer lassen (keine Korrektur). Gerundet wird wie bei der ersten Formel nach oben (217,49 → 218 Personen).

Fehlertoleranz (bei sehr großer Grundgesamtheit)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\varepsilon\) \(=\) \(z\) \(\times\) \(\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\varepsilon\): Fehlertoleranz \(=\) ① \(z\): z-Wert \(\times\) ② Wurzel aus \(\dfrac{\text{Streuung des Anteils }\hat{p}(1-\hat{p})}{\text{Stichprobengröße }n}\)

Die Formel in Worten

① Man multipliziert den z-Wert \(z\), der vom Konfidenzniveau abhängt,

② mit der Wurzel aus \(\dfrac{\text{Streuung des Anteils }\hat{p}(1-\hat{p})}{\text{Stichprobengröße }n}\)

③ und erhält die \(\varepsilon\): Fehlertoleranz

Einfaches Beispiel

Bei 95 % Konfidenzniveau (z = 1,96) beträgt die Fehlertoleranz einer Umfrage, in der 60 % von 100 Befragten „Ja“ geantwortet haben,

\(\varepsilon\): Fehlertoleranz \(=\) z-Wert (1,96) \(\times\) Wurzel aus „0,6 × 0,4 ÷ 100“

\(1{,}96 \times \sqrt{0{,}6 \times 0{,}4 \div 100} = 1{,}96 \times \sqrt{0{,}0024} \approx 1{,}96 \times 0{,}0490 \approx 0{,}0960\ \ (9{,}60\,\%)\)

Der Grundgedanke

Für \(\hat{p}\) in der Streuung \(\hat{p}(1-\hat{p})\) setzen Sie den Anteil ein, den die Umfrage tatsächlich ergeben hat (den Anteil in der Stichprobe). Die Stichprobengröße \(n\) steht im Nenner unter der Wurzel. Um den Fehler zu halbieren, braucht man deshalb die 4-fache Stichprobe, für ein Drittel des Fehlers die 9-fache. „Mehr Befragte helfen nur langsam“ – das ist eine wichtige Eigenschaft dieser Formel.

Endlichkeitskorrektur für die Fehlertoleranz (bei bekannter Größe \(N\) der Grundgesamtheit)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\varepsilon\) \(=\) \(\varepsilon_0\) \(\times\) \(\sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\varepsilon\): korrigierte Fehlertoleranz \(=\) ① \(\varepsilon_0\): Fehlertoleranz vor der Korrektur \(\times\) ② Wurzel aus dem Korrekturfaktor \(\dfrac{\text{Rest der Grundgesamtheit }(N-n)}{\text{Größe der Grundgesamtheit minus 1 }(N-1)}\)

Die Formel in Worten

① Man multipliziert die Fehlertoleranz vor der Korrektur, \(\varepsilon_0\) (aus der dritten Formel),

② mit der Wurzel aus dem Korrekturfaktor \(\dfrac{\text{Rest der Grundgesamtheit }(N-n)}{\text{Größe der Grundgesamtheit minus 1 }(N-1)}\)

③ und erhält die \(\varepsilon\): korrigierte Fehlertoleranz

Einfaches Beispiel

Werden 200 Personen einer Grundgesamtheit von 1.000 befragt und beträgt die Fehlertoleranz vor der Korrektur 6,35 %, so ist die korrigierte Fehlertoleranz

\(\varepsilon\): korrigierte Fehlertoleranz \(=\) Fehlertoleranz vor der Korrektur (6,35 %) \(\times\) Wurzel aus „800 ÷ 999“

\(6{,}35 \times \sqrt{\dfrac{1000 - 200}{1000 - 1}} = 6{,}35 \times \sqrt{0{,}8008} \approx 6{,}35 \times 0{,}8949 \approx 5{,}68\,(\%)\)

Der Grundgedanke

Wer einen großen Teil der Grundgesamtheit untersucht, erhält ein entsprechend sichereres Ergebnis. Das zeigt der Korrekturfaktor: Kommt die Stichprobengröße \(n\) nahe an die Größe \(N\) der Grundgesamtheit heran, geht er gegen 0 (eine Vollerhebung, die alle erfasst, hat keinen Stichprobenfehler); ist \(N\) sehr groß, ist er fast 1 (wie ohne Korrektur). Sie können die Fehlertoleranz direkt in Prozent multiplizieren (der Korrekturfaktor ist eine Zahl ohne Einheit und höchstens 1).

Den nötigen Stichprobenumfang berechnet man mit „z-Wert zum Quadrat × Streuung des Anteils ÷ Fehlertoleranz zum Quadrat“ und rundet auf. Die Fehlertoleranz ist „z-Wert × √(Streuung ÷ Stichprobengröße)“. Ist die Größe der Grundgesamtheit bekannt, senkt die Endlichkeitskorrektur die nötige Personenzahl (und verkleinert den Fehler).

Symbole und Begriffe

Symbole

\(n\)	n	Der Stichprobenumfang (die Stichprobengröße). Bei einer Umfrage ist das die Zahl der Personen, deren Antworten Sie sammeln, bei einer Prüfung die Zahl der geprüften Teile.
\(n_0\)	n null	Der berechnete nötige Stichprobenumfang, wenn die Grundgesamtheit als sehr groß gilt – der Wert vor der Endlichkeitskorrektur.
\(z\)	z	Der zum Konfidenzniveau passende z-Wert (ein Wert der Standardnormalverteilung). Üblich sind 1,96 für 95 % und 2,58 für 99 %.
\(\hat{p}\)	p Dach	Der Anteil (etwa der gesuchte Anteil der „Ja“-Antworten). Für den Stichprobenumfang setzt man den erwarteten Wert ein, für die Fehlertoleranz den Anteil, den die Umfrage tatsächlich ergeben hat (den Anteil in der Stichprobe). Man schreibt ihn als Dezimalzahl von 0 bis 1 (50 % = 0,5).
\(\varepsilon\)	Epsilon	Die Fehlertoleranz – wie weit das Umfrageergebnis vom wahren Wert abweichen darf. Man gibt sie mit ± an, etwa „±5 %“.
\(N\)	großes N	Die Größe der Grundgesamtheit, also die Zahl der Personen oder Teile der ganzen Gruppe, die Sie untersuchen möchten (z. B. alle 500 Beschäftigten).

Begriffe

Grundgesamtheit	Die gesamte Gruppe, über die man eigentlich etwas wissen will, etwa „alle Wahlberechtigten in Deutschland“ oder „alle 500 Beschäftigten“.
Stichprobe	Der Teil der Grundgesamtheit, den man auswählt, um ihn tatsächlich zu untersuchen. Die Zahl der Personen oder Teile in der Stichprobe heißt Stichprobenumfang.
Stichprobenumfang (Stichprobengröße)	Wie viele Personen oder Teile die Stichprobe umfasst, Symbol \(n\).
Zufallsstichprobe	Eine Stichprobe, die so ausgewählt wird, dass jede Person der Grundgesamtheit dieselbe Chance hat – wie bei einer Auslosung. Die Formeln dieser Seite setzen eine Zufallsstichprobe voraus und gelten nicht für Umfragen, bei denen nur antwortet, wer möchte.
Anteilswert	Der Anteil, den man eigentlich wissen will, etwa der Anteil der „Ja“-Antworten in der ganzen Grundgesamtheit. Den Anteil aus einer Stichprobe nennt man zur Unterscheidung Stichprobenanteil.
Konfidenzniveau	Wie sicher man sein kann: Würde man dieselbe Umfrage sehr oft wiederholen, gibt es an, in wie viel Prozent der Fälle das Ergebnis innerhalb der Fehlertoleranz läge. Am häufigsten wird 95 % verwendet.
Konfidenzintervall	Der Bereich, den man erhält, wenn man ein Umfrageergebnis mit einer Spanne angibt, etwa „52 % ± 3 % (49 % bis 55 %)“. Die Fehlertoleranz ±ε auf dieser Seite ist diese Spanne.
Fehlertoleranz (Fehlermarge)	Wie weit das Umfrageergebnis vom wahren Wert abweichen darf. Das ist gemeint, wenn es bei Umfragen in den Nachrichten heißt „Fehlertoleranz ±3 Prozentpunkte“.
Endlichkeitskorrektur	Eine Korrektur, die den nötigen Stichprobenumfang bzw. die Fehlertoleranz verkleinert, wenn bekannt ist, dass die Grundgesamtheit eine begrenzte Größe hat. Sie bildet ab, dass ein Ergebnis umso sicherer ist, je größer der untersuchte Teil der Grundgesamtheit ist.

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit Verständnis nutzen, ist hier zusammengefasst, was Sie vorher wissen sollten.

Prozent und Anteile (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Zwischen Prozent und Dezimalzahl wechseln können, etwa 50 % = 0,5 und 5 % = 0,05 Den Zusammenhang „Grundwert × Prozentsatz = Prozentwert“ kennen
Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Die Quadratwurzel als „die Zahl, die zum Quadrat genommen diese Zahl ergibt“ verstehen, etwa \(\sqrt{0{,}0025} = 0{,}05\) Ein Gefühl dafür haben, wie sich Wurzeln verändern: Wird die Zahl darunter ein Viertel so groß, halbiert sich die Wurzel
Zufallsstichproben (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Den Unterschied zwischen Vollerhebung und Stichprobenerhebung kennen und wissen, was „Grundgesamtheit“ und „Stichprobe“ bedeuten Wissen, dass man nur mit einer zufällig ausgewählten Stichprobe richtig auf die Grundgesamtheit schließen kann
Normalverteilung und beurteilende Statistik (Oberstufe, 16–19 Jahre)	Wissen, dass Stichprobenanteile ungefähr normalverteilt streuen (die Idee des zentralen Grenzwertsatzes) Die Idee des Konfidenzintervalls kennen, dass 95 % Konfidenzniveau einem z-Wert von 1,96 entspricht

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für den nötigen Stichprobenumfang (sehr große Grundgesamtheit)

z-Wert (1,96 für 95 %)	1,96
Erwarteter Anteil (%)	50
Fehlertoleranz (%)	5
Berechneter Wert n0	=B1^2(B2/100)(1-B2/100)/(B3/100)^2
Nötige Stichprobengröße (aufgerundet)	=AUFRUNDEN(B4;0)

Tabelle für die Endlichkeitskorrektur des Stichprobenumfangs

z-Wert (1,96 für 95 %)	1,96
Erwarteter Anteil (%)	50
Fehlertoleranz (%)	5
Größe der Grundgesamtheit N	500
Wert vor der Korrektur n0	=B1^2(B2/100)(1-B2/100)/(B3/100)^2
Nötige Stichprobengröße (korrigiert, aufgerundet)	=AUFRUNDEN(B5/(1+(B5-1)/B4);0)

Tabelle für die Fehlertoleranz (sehr große Grundgesamtheit)

z-Wert (1,96 für 95 %)	1,96
Anteil aus der Umfrage (%)	60
Stichprobengröße n	100
Fehlertoleranz (%)	=B1WURZEL(B2/100(1-B2/100)/B3)*100

Tabelle für die Endlichkeitskorrektur der Fehlertoleranz

z-Wert (1,96 für 95 %)	1,96
Anteil aus der Umfrage (%)	30
Stichprobengröße n	200
Größe der Grundgesamtheit N	1000
Fehlertoleranz vor der Korrektur (%)	=B1WURZEL(B2/100(1-B2/100)/B3)*100
Korrigierte Fehlertoleranz (%)	=B5*WURZEL((B4-B3)/(B4-1))

Nach dem Einfügen sind die oberen Zellen (ab B1) Ihre Eingabefelder, und die letzte Zeile zeigt das berechnete Ergebnis.
In der ersten Tabelle erscheint in B4 384,16 und in B5 385. Das Ergebnis der zweiten Tabelle ist 218, der dritten etwa 9,60 (%) und der vierten etwa 5,68 (%).
„^“ steht für eine Potenz (zum Quadrat), „WURZEL“ für die Quadratwurzel und „AUFRUNDEN“ ist die Funktion zum Aufrunden.
Hinweis: Der Rechner auf dieser Seite rundet zur Sicherheit auch dann um 1 auf, wenn der berechnete Wert genau eine ganze Zahl ist. Bei solchen glatten Werten kann er deshalb um 1 von AUFRUNDEN in Excel abweichen.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für den nötigen Stichprobenumfang (sehr große Grundgesamtheit)

z-Wert (1,96 für 95 %)	1,96
Erwarteter Anteil (%)	50
Fehlertoleranz (%)	5
Berechneter Wert n0	=B1^2(B2/100)(1-B2/100)/(B3/100)^2
Nötige Stichprobengröße (aufgerundet)	=AUFRUNDEN(B4;0)

Tabelle für die Endlichkeitskorrektur des Stichprobenumfangs

z-Wert (1,96 für 95 %)	1,96
Erwarteter Anteil (%)	50
Fehlertoleranz (%)	5
Größe der Grundgesamtheit N	500
Wert vor der Korrektur n0	=B1^2(B2/100)(1-B2/100)/(B3/100)^2
Nötige Stichprobengröße (korrigiert, aufgerundet)	=AUFRUNDEN(B5/(1+(B5-1)/B4);0)

Tabelle für die Fehlertoleranz (sehr große Grundgesamtheit)

z-Wert (1,96 für 95 %)	1,96
Anteil aus der Umfrage (%)	60
Stichprobengröße n	100
Fehlertoleranz (%)	=B1WURZEL(B2/100(1-B2/100)/B3)*100

Tabelle für die Endlichkeitskorrektur der Fehlertoleranz

z-Wert (1,96 für 95 %)	1,96
Anteil aus der Umfrage (%)	30
Stichprobengröße n	200
Größe der Grundgesamtheit N	1000
Fehlertoleranz vor der Korrektur (%)	=B1WURZEL(B2/100(1-B2/100)/B3)*100
Korrigierte Fehlertoleranz (%)	=B5*WURZEL((B4-B3)/(B4-1))

Es funktionieren dieselben Formeln wie in Excel. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen in Spalte B durch die Werte Ihrer eigenen Umfrage.

So berechnen Sie es in Python

import math

# Kurztabelle Konfidenzniveau (%) → z-Wert (gebräuchliche gerundete Werte)
z_table = {80: 1.28, 85: 1.44, 90: 1.65, 95: 1.96, 98: 2.33, 99: 2.58}

# ---- Verwendung 1: nötige Stichprobengröße berechnen ----
confidence_level = 95    # Konfidenzniveau (%)
population_ratio = 50    # erwarteter Anteil (%)
margin_of_error = 5      # Fehlertoleranz (%)
population_size = None   # Größe der Grundgesamtheit (None, wenn unbekannt oder sehr groß)

z = z_table[confidence_level]
p = population_ratio / 100
e = margin_of_error / 100

raw_size = z ** 2 * p * (1 - p) / e ** 2   # Wert vor der Korrektur
if population_size is not None:
    raw_size = raw_size / (1 + (raw_size - 1) / population_size)   # Endlichkeitskorrektur
required_size = math.floor(raw_size) + 1   # kleinste ganze Zahl über dem berechneten Wert (zur Sicherheit aufgerundet)
print(f"Nötige Stichprobengröße: {required_size}")

# ---- Verwendung 2: Fehlertoleranz berechnen ----
sample_size = 1000       # tatsächlich befragte Personen
sample_ratio = 50 / 100  # Anteil aus der Umfrage (0.5 für 50 %)

error_ratio = z * math.sqrt(sample_ratio * (1 - sample_ratio) / sample_size)
print(f"Fehlertoleranz: ±{error_ratio * 100:.2f} %")

Läuft nur mit der Standardbibliothek. Verwendung 1 berechnet die nötige Stichprobengröße (385 mit den Beispielwerten), Verwendung 2 die Fehlertoleranz (±3,10 % mit den Beispielwerten). Ersetzen Sie die Zahlen am Anfang durch die Bedingungen Ihrer eigenen Umfrage und führen Sie den Code aus.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Nötiger Stichprobenumfang (bei sehr großer Grundgesamtheit)

n₀ = z² × p̂(1 − p̂) ÷ ε²

n_0 = \dfrac{z^2 \, \hat{p}(1-\hat{p})}{\varepsilon^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>n</mi><mn>0</mn></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <msup><mi>z</mi><mn>2</mn></msup>
        <mover accent="true"><mi>p</mi><mo>^</mo></mover>
        <mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>^</mo></mover><mo>)</mo>
      </mrow>
      <msup><mi>&#x3B5;</mi><mn>2</mn></msup>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

n_0 = (z^2 hat(p)(1 - hat(p)))/(epsilon^2)

z^2*p*(1 - p)/err^2

n0 := z^2*p*(1 - p)/err^2;

n0 = z^2*p*(1 - p)/err^2;

n_0 = (z^2 p̂(1 − p̂))/ε^2

Endlichkeitskorrektur für den Stichprobenumfang (bei bekannter Größe \(N\) der Grundgesamtheit)

n = n₀ ÷ (1 + (n₀ − 1) ÷ N)

n = \dfrac{n_0}{1 + \dfrac{n_0 - 1}{N}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>n</mi><mn>0</mn></msub>
      <mrow>
        <mn>1</mn><mo>+</mo>
        <mfrac>
          <mrow><msub><mi>n</mi><mn>0</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow>
          <mi>N</mi>
        </mfrac>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

n = n_0/(1 + (n_0 - 1)/N)

n0/(1 + (n0 - 1)/nPop)

n := n0/(1 + (n0 - 1)/N);

n = n0/(1 + (n0 - 1)/N);

n = n_0/(1 + (n_0 − 1)/N)

Fehlertoleranz (bei sehr großer Grundgesamtheit)

ε = z × √(p̂(1 − p̂) ÷ n)

\varepsilon = z \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x3B5;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>z</mi>
    <msqrt>
      <mfrac>
        <mrow>
          <mover accent="true"><mi>p</mi><mo>^</mo></mover>
          <mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>^</mo></mover><mo>)</mo>
        </mrow>
        <mi>n</mi>
      </mfrac>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

epsilon = z sqrt((hat(p)(1 - hat(p)))/n)

z*Sqrt[p*(1 - p)/n]

err := z*sqrt(p*(1 - p)/n);

err = z*sqrt(p*(1 - p)/n);

ε = z√((p̂(1 − p̂))/n)

Endlichkeitskorrektur für die Fehlertoleranz (bei bekannter Größe \(N\) der Grundgesamtheit)

ε = ε₀ × √((N − n) ÷ (N − 1))

\varepsilon = \varepsilon_0 \sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x3B5;</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>&#x3B5;</mi><mn>0</mn></msub>
    <msqrt>
      <mfrac>
        <mrow><mi>N</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>n</mi></mrow>
        <mrow><mi>N</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow>
      </mfrac>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

epsilon = epsilon_0 sqrt((N - n)/(N - 1))

err0*Sqrt[(nPop - n)/(nPop - 1)]

err := err0*sqrt((N - n)/(N - 1));

err = err0*sqrt((N - n)/(N - 1));

ε = ε_0 √((N − n)/(N − 1))

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für statistische Erhebungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen oder schätzen).

Ein Dienst mit 1.000 Mitgliedern führt eine Zufriedenheitsumfrage durch. Verwenden Sie ein Konfidenzniveau von 95 % (z-Wert 1,96), einen erwarteten Anteil von 50 % und eine Fehlertoleranz von ±5 %.
Bestimmen Sie:
1. Die nötige Stichprobengröße, wenn die Grundgesamtheit als sehr groß gilt (berechneter Wert und aufgerundete Personenzahl)
2. Die nötige Stichprobengröße mit Endlichkeitskorrektur für eine Grundgesamtheit von 1.000
3. Die Fehlertoleranz (mit Endlichkeitskorrektur, in %), wenn nur 200 Personen antworten

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel