Geben Sie die beiden Datenreihen ein, deren Zusammenhang Sie prüfen möchten, jeweils getrennt durch Semikolons (;). Berechnet werden der Korrelationskoeffizient r, die Kovarianz und die Gleichung der Regressionsgeraden; die Gerade wird in ein Streudiagramm eingezeichnet.
x- und y-Werte bilden der Reihe nach Paare – der 1. x-Wert mit dem 1. y-Wert, der 2. mit dem 2. und so weiter. Geben Sie gleich viele Werte ein (mindestens 2 Paare). Dezimalzahlen (3,5) und negative Zahlen sind möglich.
Ergebnis und Graph
Geben Sie links Ihre x- und y-Werte ein, getrennt durch Semikolons, und klicken Sie auf „Berechnen“. Ergebnis und Streudiagramm erscheinen dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Wertepaare \(x\) und \(y\) (zwei Merkmale) eingeben – und Sie sehen sofort den Korrelationskoeffizienten \(r\) und die Kovarianz \(s_{xy}\)
- Mittelwert, Varianz und Standardabweichung von \(x\) und von \(y\) sowie die Gleichung der Regressionsgeraden \(y = ax + b\) (Methode der kleinsten Quadrate) werden gleich mitberechnet
- Ein Streudiagramm mit Regressionsgerade und Schwerpunkt zeigt auf einen Blick, wie die beiden Datenreihen zusammenhängen (steigend, fallend oder ohne erkennbares Muster)
- Dazu erhalten Sie eine Einordnung als Faustregel, etwa „starke positive Korrelation“ oder „kaum oder keine Korrelation“
- Außerdem eine verständliche Erklärung der Formeln sowie fertige Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Die Kovarianz und die Varianzen werden durch die Anzahl der Paare \(n\) geteilt (empirische Kovarianz). Viele Lehrbücher und Statistikprogramme teilen stattdessen durch \(n-1\) (Stichprobenkovarianz; den Unterschied erklärt der Excel-Abschnitt). Der Korrelationskoeffizient \(r\) und die Regressionsgerade sind in beiden Fällen gleich. Sie brauchen gleich viele \(x\)- und \(y\)-Werte, mindestens 2 Paare.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Lernzeit und Noten – den Zusammenhang mit Zahlen prüfen (Schule und Lernen)
Ein klassischer Einsatz des Korrelationskoeffizienten: die Frage „Werden die Noten besser, wenn man mehr lernt?“ mit Daten statt aus dem Bauch heraus zu beantworten. Berechnen Sie \(r\) aus den Paaren von Lernzeit und Punktzahl der einzelnen Schüler – eine einzige Zahl zeigt, wie stark der Zusammenhang ist.
Schulen und Nachhilfeinstitute schauen sich manchmal auch die Korrelation zwischen Fächern in Klassenarbeiten an (Sind Schüler, die gut in Mathe sind, auch gut in Physik?). Denken Sie aber daran: Eine Korrelation beweist keine Ursache im Sinne von „Wer länger lernt, wird auf jeden Fall besser“.
Temperatur und Umsatz – den Einkauf planen (Handel und Gastronomie)
Der Absatz von Speiseeis und kalten Getränken hat bekanntlich eine positive Korrelation mit der Temperatur, der von Glühwein und heißer Suppe eine negative. Geschäfte und Restaurants prüfen die Korrelation in alten Daten zu „Temperatur und verkaufte Menge“ und passen Bestellmenge und Angebot an die Wettervorhersage an.
Berechnen Sie zusätzlich die Regressionsgerade, erhalten Sie eine konkrete Schätzung wie „Bei vorhergesagten 30 °C morgen verkaufen wir etwa so viele Portionen“.
Risiko streuen mit Anlagen, die sich unterschiedlich bewegen (Finanzen und Geldanlage)
Bei der Geldanlage ist der Korrelationskoeffizient zwischen den Kursbewegungen von Aktien, Anleihen, Gold und anderen Anlagen ein Grundwerkzeug der Diversifikation. Kombiniert man Anlagen mit geringer (oder negativer) Korrelation, fällt die eine seltener gleichzeitig mit der anderen – die Schwankungen des gesamten Depots werden kleiner.
Auch Pensionsfonds und Investmentfonds analysieren die Korrelationen zwischen den Anlageklassen, bevor sie ihr Geld aufteilen.
Ursachen für Ausschuss eingrenzen (Produktion und Qualitätsmanagement)
Steigt in einer Fertigung der Ausschuss, hilft der Korrelationskoeffizient zwischen der Fehlerquote und Bedingungen wie Prozesstemperatur, Luftfeuchtigkeit oder Maschinenlaufzeit, die Bedingungen einzugrenzen, die sich mit den Fehlern mitbewegen. Das Verfahren ist so grundlegend, dass das dafür verwendete Streudiagramm zu den sieben elementaren Qualitätswerkzeugen (Q7) zählt.
Ist eine Bedingung mit starker Korrelation gefunden, prüft man im nächsten Schritt mit einem Versuch, ob tatsächlich Ursache und Wirkung vorliegen – und verbessert dann den Prozess.
Einstieg in die Forschung zu Gesundheit und Krankheit (Medizin und Epidemiologie)
Auch Studien zu Lebensstil und Gesundheit, etwa „Bewegung und Blutdruck“ oder „Rauchen und das Risiko einer Krankheit“, beginnen damit, die Korrelation in den Daten zu prüfen.
Gleichzeitig lernt man hier, nicht vorschnell von Korrelation auf Ursache zu schließen. Ein bekanntes Beispiel: Eisverkauf und Badeunfälle haben eine positive Korrelation. Beide steigen aber nur wegen einer gemeinsamen Ursache, dem heißen Wetter (Scheinkorrelation). Die medizinische Forschung nutzt viele Methoden, um solche Drittvariablen herauszurechnen und echter Ursache und Wirkung näherzukommen.
Formeln und Abbildungen
Kovarianz \(s_{xy}\)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(s_{xy}\)
\(=\)
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\)
\((x_i - \bar{x})\)
\((y_i - \bar{y})\)
\(\div\)
\(n\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(s_{xy}\): Kovarianz
\(=\)
③
\(\displaystyle\sum\): alles addieren
①
\((x_i - \bar{x})\): Abweichung von \(x\)
②
\((y_i - \bar{y})\): Abweichung von \(y\)
\(\div\)
④
\(n\): Anzahl der Paare
Die Formel in Worten
①
Für jedes Paar nimmt man die
Abweichung von \(x\) (\(x\)-Wert minus Mittelwert von \(x\))
②
multipliziert sie mit der
Abweichung von \(y\) (\(y\)-Wert minus Mittelwert von \(y\))
③
und
addiert alle diese Produkte \(\displaystyle\sum\)
④
Die Summe teilt man durch die
\(n\): Anzahl der Paare
⑤
und erhält die
\(s_{xy}\): Kovarianz
Einfaches Beispiel
Lernen 5 Schüler \(x\) Stunden (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5) und erreichen im Test \(y\) Punkte (2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 6), mit den Mittelwerten \(\bar{x} = 3\) und \(\bar{y} = 4\), dann gilt
\(s_{xy}\): Kovarianz
\(=\)
Summe der Abweichungsprodukte (8)
\(\div\)
Anzahl der Paare (5)
\((-2)(-2) + (-1)(0) + (0)(0) + (1)(0) + (2)(2) = 4 + 0 + 0 + 0 + 4 = 8\)
\(s_{xy} = 8 \div 5 = 1{,}6\)
Der Grundgedanke
Die Kovarianz macht aus der Neigung zweier Datenreihen, sich gemeinsam zu bewegen, eine Zahl. Liegen bei vielen Paaren \(x\) und \(y\) beide über ihrem Mittelwert (+ · +) oder beide darunter (− · −), wird die Summe der Produkte positiv. Liegt bei vielen Paaren nur einer der beiden Werte über dem Mittelwert (+ · −), wird sie negativ.
Eine positive Kovarianz heißt also „je größer \(x\), desto größer tendenziell \(y\)“ (die Punktwolke steigt), eine negative „je größer \(x\), desto kleiner tendenziell \(y\)“ (sie fällt), und ein Wert nahe 0 heißt „kein klarer Trend“.
Diese Seite teilt durch die Anzahl der Paare \(n\), genau wie bei der Varianz hier auf der Seite (empirische Kovarianz). Statistikprogramme kennen außerdem die Stichprobenkovarianz, die durch \(n-1\) teilt; Excel unterscheidet beide am Funktionsnamen (siehe Excel-Abschnitt).
Korrelationskoeffizient \(r\)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(r\)
\(=\)
\(s_{xy}\)
\(\div\)
\((\)
\(s_x\)
\(\times\)
\(s_y\)
\()\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(r\): Korrelationskoeffizient
\(=\)
①
\(s_{xy}\): Kovarianz
\(\div\)
\((\)
②
\(s_x\): Standardabweichung von \(x\)
\(\times\)
③
\(s_y\): Standardabweichung von \(y\)
\()\)
Die Formel in Worten
①
Man teilt die
\(s_{xy}\): Kovarianz
②
durch das Produkt aus der
\(s_x\): Standardabweichung von \(x\)
③
und der
\(s_y\): Standardabweichung von \(y\)
④
und erhält den
\(r\): Korrelationskoeffizient
(\(r\) liegt immer zwischen \(-1\) und \(1\))
Einfaches Beispiel
Beim selben Beispiel mit Lernzeit und Punkten (\(s_{xy} = 1{,}6\), \(s_x = \sqrt{2}\), \(s_y = \sqrt{1{,}6}\)) gilt
\(r\): Korrelationskoeffizient
\(=\)
Kovarianz (1,6)
\(\div\)
\((\)
\(\sqrt{2}\)
\(\times\)
\(\sqrt{1{,}6}\)
\()\)
\(s_x \times s_y = \sqrt{2} \times \sqrt{1{,}6} = \sqrt{3{,}2} \approx 1{,}789\)
\(r = 1{,}6 \div 1{,}789 \approx 0{,}894\)
Der Grundgedanke
Die Kovarianz ist nützlich, hängt aber von den Einheiten ab: Rechnet man die Lernzeit in Minuten statt in Stunden, wird sie 60-mal so groß. Teilt man die Kovarianz durch die Standardabweichungen von \(x\) und \(y\), erhält man eine Zahl zwischen \(-1\) und \(1\), die nicht mehr von den Einheiten abhängt. Das ist der Korrelationskoeffizient \(r\).
Je näher \(r\) an \(1\) liegt, desto stärker ist die positive Korrelation (die Punkte liegen fast auf einer steigenden Geraden); je näher an \(-1\), desto stärker die negative Korrelation (fast auf einer fallenden Geraden); je näher an \(0\), desto schwächer der lineare Zusammenhang. Eine übliche Faustregel: \(0{,}7 \le |r|\) starke Korrelation, \(0{,}4 \le |r| < 0{,}7\) mittlere, \(0{,}2 \le |r| < 0{,}4\) schwache und \(|r| < 0{,}2\) kaum oder keine Korrelation (die Grenzen unterscheiden sich je nach Fachgebiet).
Beachten Sie: Der Korrelationskoeffizient misst nur lineare Zusammenhänge. Bei einem U-förmigen Zusammenhang kann \(r\) nahe 0 liegen, obwohl ein Zusammenhang besteht. Schon ein einzelner Ausreißer kann \(r\) stark verändern – schauen Sie deshalb immer auch auf das Streudiagramm. Und Korrelation ist nicht dasselbe wie Kausalität (dass das eine das andere verursacht).
Regressionsgerade (kleinste Quadrate) \(y = ax + b\)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(a\)
\(=\)
\(s_{xy}\)
\(\div\)
\(s_x^{2}\)
\(b\)
\(=\)
\(\bar{y}\)
\(-\)
\(a\,\bar{x}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(a\): Steigung der Regressionsgeraden
\(=\)
①
\(s_{xy}\): Kovarianz
\(\div\)
②
\(s_x^2\): Varianz von \(x\)
⑥
\(b\): y-Achsenabschnitt der Regressionsgeraden
\(=\)
④
\(\bar{y}\): Mittelwert von \(y\)
\(-\)
⑤
Steigung \(a\) mal Mittelwert \(\bar{x}\)
Die Formel in Worten
①
Man teilt die
\(s_{xy}\): Kovarianz
②
durch die
\(s_x^2\): Varianz von \(x\)
③
und erhält die
\(a\): Steigung der Regressionsgeraden
.
④
Vom
\(\bar{y}\): Mittelwert von \(y\)
⑤
zieht man das
Produkt aus Steigung \(a\) und Mittelwert von \(x\), \(\bar{x}\)
ab
⑥
und erhält den
\(b\): y-Achsenabschnitt der Regressionsgeraden
Einfaches Beispiel
Beim selben Beispiel (\(s_{xy} = 1{,}6\), \(s_x^2 = 2\), \(\bar{x} = 3\), \(\bar{y} = 4\)) gilt
Steigung \(a\)
\(=\)
Kovarianz (1,6)
\(\div\)
Varianz von \(x\) (2)
\(a = 1{,}6 \div 2 = 0{,}8\)
\(b = 4 - 0{,}8 \times 3 = 1{,}6\)
\(y = 0{,}8x + 1{,}6\)
Der Grundgedanke
Die Regressionsgerade ist die Gerade, die am besten zur Punktwolke im Streudiagramm passt. Sie wird so gewählt, dass die senkrechten Abstände (Fehler) zwischen den Punkten und der Geraden, quadriert und aufsummiert, so klein wie möglich werden. Dieses Verfahren heißt Methode der kleinsten Quadrate (gerechnet wird dabei nur die Division und Subtraktion oben).
Die Regressionsgerade geht immer durch den Schwerpunkt \((\bar{x} \mid \bar{y})\) der Punktwolke. Im Streudiagramm auf dieser Seite können Sie das nachprüfen.
Mit der Regressionsgeraden lassen sich Vorhersagen machen, etwa „bei 3,5 Stunden Lernzeit etwa \(0{,}8 \times 3{,}5 + 1{,}6 = 4{,}4\) Punkte“. Vorhersagen weit außerhalb des Bereichs der Daten sind aber unzuverlässig, und bei einer schwachen Korrelation sagt eine Vorhersage mit der Geraden wenig aus.
Diese Seite schreibt die Gerade als \(y = ax + b\) (\(a\) ist die Steigung, \(b\) der y-Achsenabschnitt). Aus dem Mathematikunterricht kennen Sie dieselbe Form als \(y = mx + b\) mit der Steigung \(m\).
So berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten: 1) die Mittelwerte von \(x\) und \(y\) bestimmen, 2) alle Produkte der Abweichungen \((x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\) addieren und durch die Anzahl der Paare \(n\) teilen – das ergibt die Kovarianz \(s_{xy}\), 3) die Kovarianz durch das Produkt der Standardabweichungen von \(x\) und \(y\) teilen. \(r\) liegt immer zwischen \(-1\) und \(1\). Je näher an \(1\), desto stärker der steigende lineare Zusammenhang; je näher an \(-1\), desto stärker der fallende.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(x_i,\ y_i\) | x i, y i | Der \(x\)-Wert und der \(y\)-Wert des \(i\)-ten Paares (z. B. die Lernzeit \(x_3\) und die Punkte \(y_3\) des 3. Schülers). \(i\) steht oft für einen Index (eine laufende Nummer). |
| \(n\) | n | Die Anzahl der Paare (z. B. bei Paaren von 5 Schülern \(n = 5\)). |
| \(\bar{x},\ \bar{y}\) | x quer, y quer | Die Mittelwerte von \(x\) und von \(y\). Ein Strich über dem Buchstaben kennzeichnet üblicherweise einen Mittelwert. |
| \(x_i - \bar{x}\) | x i minus x quer | Die Abweichung von \(x\). Sie gibt an, wie weit ein Wert vom Mittelwert von \(x\) entfernt ist. \(y_i - \bar{y}\) ist die Abweichung von \(y\). |
| \(s_{xy}\) | s x y | Die Kovarianz von \(x\) und \(y\), der Mittelwert der Abweichungsprodukte. Sie zeigt, wie stark sich die beiden Datenreihen gemeinsam bewegen. Der Buchstabe \(s\) ist für Kennzahlen aus derselben Familie wie die Standardabweichung üblich. |
| \(s_x,\ s_y\) | s x, s y | Die Standardabweichungen von \(x\) und von \(y\) (wie stark jede Reihe streut). Sie sind die Wurzeln aus den Varianzen. |
| \(s_x^2,\ s_y^2\) | s x Quadrat, s y Quadrat | Die Varianzen von \(x\) und von \(y\), der Mittelwert der quadrierten Abweichungen (geteilt durch \(n\)). |
| \(r\) | r | Der Korrelationskoeffizient. Das \(r\) kommt vermutlich vom englischen „relation“ bzw. „correlation“. Der Wert liegt immer zwischen \(-1\) und \(1\). |
| \(\sum\) | Sigma (Summenzeichen) | Das Zeichen für „alles addieren“. \(\sum_{i=1}^{n}\) liest man „Summe von \(i = 1\) bis \(n\)“. |
| \(a,\ b\) | a, b | Steigung und y-Achsenabschnitt der Regressionsgeraden \(y = ax + b\). Sie entsprechen \(m\) und \(b\) in der linearen Funktion \(y = mx + b\). |
Begriffe
| Korrelation | Linearer Zusammenhang zwischen zwei Datenreihen – wächst die eine, wächst (oder sinkt) tendenziell auch die andere. Je stärker er ist, desto näher liegen die Punkte im Streudiagramm an einer Geraden. |
| positive Korrelation | Die Tendenz, dass \(y\) wächst, wenn \(x\) wächst. Die Punktwolke steigt, und der Korrelationskoeffizient ist positiv. |
| negative Korrelation | Die Tendenz, dass \(y\) sinkt, wenn \(x\) wächst. Die Punktwolke fällt, und der Korrelationskoeffizient ist negativ. |
| Korrelationskoeffizient | Eine Zahl zwischen \(-1\) und \(1\), die Stärke und Richtung einer Korrelation angibt (genauer: Korrelationskoeffizient nach Pearson). Man erhält ihn, indem man die Kovarianz durch das Produkt der Standardabweichungen von \(x\) und \(y\) teilt. Da er nicht von den Einheiten abhängt, lassen sich verschiedene Daten miteinander vergleichen. |
| Kovarianz | Der Mittelwert der Produkte aus den Abweichungen von \(x\) und \(y\). Positiv bedeutet eine steigende, negativ eine fallende Tendenz. Diese Seite teilt durch die Anzahl der Paare \(n\) (empirische Kovarianz). |
| Streudiagramm | Diagramm, in dem jedes Wertepaar \((x \mid y)\) als Punkt im Koordinatensystem eingetragen ist (auch Punktwolke). An der Lage der Punkte erkennt man Richtung und Stärke einer Korrelation auf einen Blick. |
| Merkmal | Eine Größe, die man als Daten erhebt, etwa Körpergröße, Punktzahl oder Temperatur. Diese Seite untersucht den Zusammenhang zweier Merkmale \(x\) und \(y\). |
| Abweichung | Die Differenz zwischen einem Wert und dem Mittelwert. Positiv heißt über dem Mittelwert, negativ darunter. Kovarianz, Varianz und Standardabweichung werden alle aus den Abweichungen gebildet. |
| Varianz | Der Mittelwert der quadrierten Abweichungen. Sie gibt an, wie stark die Daten streuen, und steht im Nenner der Steigung der Regressionsgeraden. |
| Standardabweichung | Die Wurzel aus der Varianz. Sie hat dieselbe Einheit wie die Daten und ist daher ein handliches Maß für die Streuung. Sie steht im Nenner des Korrelationskoeffizienten. |
| Regressionsgerade (Ausgleichsgerade) | Die Gerade \(y = ax + b\), die am besten zur Punktwolke im Streudiagramm passt. Mit ihr schätzt man aus einem \(x\)-Wert einen \(y\)-Wert. |
| Methode der kleinsten Quadrate | Verfahren, bei dem Steigung und y-Achsenabschnitt einer Geraden so gewählt werden, dass die Summe der quadrierten senkrechten Abstände (Fehler) zwischen den Punkten und der Geraden möglichst klein wird. Die Regressionsgerade ist die so bestimmte Gerade. |
| Ausreißer | Ein Wert, der weit von den übrigen Punkten entfernt liegt. Der Korrelationskoeffizient reagiert stark auf Ausreißer – prüfen Sie ihn deshalb immer zusammen mit dem Streudiagramm. |
| Zusammenhang | Beziehung, bei der sich zwei Größen gemeinsam verändern (wächst die eine, wächst oder sinkt die andere). Auch bei einer Korrelation ist die eine Größe nicht unbedingt die Ursache der anderen (Kausalität). Oft steckt nur eine gemeinsame Ursache dahinter (eine Drittvariable, man spricht dann von einer Scheinkorrelation). |
| Kausalität (Ursache und Wirkung) | Beziehung, bei der das eine die Ursache und das andere die Folge ist. Ein Zusammenhang (gemeinsame Veränderung) allein beweist noch keine Kausalität; oft steckt nur eine gemeinsame Ursache dahinter (eine Drittvariable). |
Das sollten Sie vorher wissen
Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen – nicht nur auf den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist eine kurze Wiederholung dieser Themen der schnellste Weg.
| Der Mittelwert (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Negative Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Koordinatensystem und lineare Funktionen (Klasse 6–8, 11–14 Jahre) |
|
| Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Beschreibende Statistik (Klasse 9 bis Oberstufe, 14–18 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Kovarianz s_xy
| x von Paar 1 | 1 |
| x von Paar 2 | 2 |
| x von Paar 3 | 3 |
| x von Paar 4 | 4 |
| x von Paar 5 | 5 |
| y von Paar 1 | 2 |
| y von Paar 2 | 4 |
| y von Paar 3 | 4 |
| y von Paar 4 | 4 |
| y von Paar 5 | 6 |
| Kovarianz s_xy (geteilt durch n) | =KOVARIANZ.P(B1:B5;B6:B10) |
| (Zum Vergleich) Stichprobenkovarianz, geteilt durch n−1 | =KOVARIANZ.S(B1:B5;B6:B10) |
Tabelle für den Korrelationskoeffizienten r
| x von Paar 1 | 1 |
| x von Paar 2 | 2 |
| x von Paar 3 | 3 |
| x von Paar 4 | 4 |
| x von Paar 5 | 5 |
| y von Paar 1 | 2 |
| y von Paar 2 | 4 |
| y von Paar 3 | 4 |
| y von Paar 4 | 4 |
| y von Paar 5 | 6 |
| Korrelationskoeffizient r | =KORREL(B1:B5;B6:B10) |
| (Zum Vergleich) derselbe Wert mit PEARSON | =PEARSON(B1:B5;B6:B10) |
Tabelle für die Regressionsgerade y = ax + b
| x von Paar 1 | 1 |
| x von Paar 2 | 2 |
| x von Paar 3 | 3 |
| x von Paar 4 | 4 |
| x von Paar 5 | 5 |
| y von Paar 1 | 2 |
| y von Paar 2 | 4 |
| y von Paar 3 | 4 |
| y von Paar 4 | 4 |
| y von Paar 5 | 6 |
| Steigung a | =STEIGUNG(B6:B10;B1:B5) |
| y-Achsenabschnitt b | =ACHSENABSCHNITT(B6:B10;B1:B5) |
Tabelle für Mittelwerte, Varianzen und Standardabweichungen (geteilt durch n)
| x von Paar 1 | 1 |
| x von Paar 2 | 2 |
| x von Paar 3 | 3 |
| x von Paar 4 | 4 |
| x von Paar 5 | 5 |
| y von Paar 1 | 2 |
| y von Paar 2 | 4 |
| y von Paar 3 | 4 |
| y von Paar 4 | 4 |
| y von Paar 5 | 6 |
| Mittelwert von x x̄ | =MITTELWERT(B1:B5) |
| Mittelwert von y ȳ | =MITTELWERT(B6:B10) |
| Varianz von x s_x² | =VARIANZEN(B1:B5) |
| Standardabweichung von x s_x | =STABWN(B1:B5) |
| Varianz von y s_y² | =VARIANZEN(B6:B10) |
| Standardabweichung von y s_y | =STABWN(B6:B10) |
Nach dem Einfügen sind B1 bis B5 die Eingabezellen für x und B6 bis B10 die für y; die grün und fett markierten Zellen werden automatisch berechnet.
Die Kovarianz in der ersten Tabelle ist 1,6 (die Stichprobenkovarianz 2), der Korrelationskoeffizient in der zweiten etwa 0,8944, und die dritte Tabelle liefert die Steigung 0,8 und den y-Achsenabschnitt 1,6.
Achtung, es gibt zwei Funktionen für die Kovarianz: KOVARIANZ.P teilt durch n (wie dieser Rechner), KOVARIANZ.S ist die Stichprobenkovarianz und teilt durch n − 1. In alten Excel-Versionen (2007 und älter) nehmen Sie KOVAR statt KOVARIANZ.P.
KORREL und PEARSON liefern denselben Korrelationskoeffizienten (r ist gleich, ob man durch n oder durch n − 1 teilt – hier gibt es also nichts zu wählen).
STEIGUNG und ACHSENABSCHNITT erwarten zuerst den y-Bereich und dann den x-Bereich (nicht umgekehrt).
Für eine andere Anzahl von Paaren fügen Sie Zeilen hinzu (oder löschen welche) und passen „B1:B5“ und „B6:B10“ in den Formeln an Ihre Datenbereiche an.
Die Kovarianz in der ersten Tabelle ist 1,6 (die Stichprobenkovarianz 2), der Korrelationskoeffizient in der zweiten etwa 0,8944, und die dritte Tabelle liefert die Steigung 0,8 und den y-Achsenabschnitt 1,6.
Achtung, es gibt zwei Funktionen für die Kovarianz: KOVARIANZ.P teilt durch n (wie dieser Rechner), KOVARIANZ.S ist die Stichprobenkovarianz und teilt durch n − 1. In alten Excel-Versionen (2007 und älter) nehmen Sie KOVAR statt KOVARIANZ.P.
KORREL und PEARSON liefern denselben Korrelationskoeffizienten (r ist gleich, ob man durch n oder durch n − 1 teilt – hier gibt es also nichts zu wählen).
STEIGUNG und ACHSENABSCHNITT erwarten zuerst den y-Bereich und dann den x-Bereich (nicht umgekehrt).
Für eine andere Anzahl von Paaren fügen Sie Zeilen hinzu (oder löschen welche) und passen „B1:B5“ und „B6:B10“ in den Formeln an Ihre Datenbereiche an.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Kovarianz s_xy
| x von Paar 1 | 1 |
| x von Paar 2 | 2 |
| x von Paar 3 | 3 |
| x von Paar 4 | 4 |
| x von Paar 5 | 5 |
| y von Paar 1 | 2 |
| y von Paar 2 | 4 |
| y von Paar 3 | 4 |
| y von Paar 4 | 4 |
| y von Paar 5 | 6 |
| Kovarianz s_xy (geteilt durch n) | =KOVAR(B1:B5;B6:B10) |
Tabelle für den Korrelationskoeffizienten r
| x von Paar 1 | 1 |
| x von Paar 2 | 2 |
| x von Paar 3 | 3 |
| x von Paar 4 | 4 |
| x von Paar 5 | 5 |
| y von Paar 1 | 2 |
| y von Paar 2 | 4 |
| y von Paar 3 | 4 |
| y von Paar 4 | 4 |
| y von Paar 5 | 6 |
| Korrelationskoeffizient r | =KORREL(B1:B5;B6:B10) |
Tabelle für die Regressionsgerade y = ax + b
| x von Paar 1 | 1 |
| x von Paar 2 | 2 |
| x von Paar 3 | 3 |
| x von Paar 4 | 4 |
| x von Paar 5 | 5 |
| y von Paar 1 | 2 |
| y von Paar 2 | 4 |
| y von Paar 3 | 4 |
| y von Paar 4 | 4 |
| y von Paar 5 | 6 |
| Steigung a | =STEIGUNG(B6:B10;B1:B5) |
| y-Achsenabschnitt b | =ACHSENABSCHNITT(B6:B10;B1:B5) |
Fast alle Funktionen aus Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie B1 bis B10 durch Ihre eigenen Zahlen.
In Google Tabellen berechnen Sie die Kovarianz, die durch n teilt, mit der Funktion KOVAR (dieselbe Definition wie dieser Rechner; KOVARIANZ.P ruft dieselbe Funktion auf). Für den Korrelationskoeffizienten nehmen Sie wie in Excel KORREL.
In Google Tabellen berechnen Sie die Kovarianz, die durch n teilt, mit der Funktion KOVAR (dieselbe Definition wie dieser Rechner; KOVARIANZ.P ruft dieselbe Funktion auf). Für den Korrelationskoeffizienten nehmen Sie wie in Excel KORREL.
So berechnen Sie es in Python
import statistics
xs = [1, 2, 3, 4, 5] # x-Werte (Beispiel: Lernzeit)
ys = [2, 4, 4, 4, 6] # y-Werte (Beispiel: Punkte im Test)
n = len(xs)
mean_x = statistics.mean(xs) # Mittelwert von x
mean_y = statistics.mean(ys) # Mittelwert von y
# Kovarianz s_xy (empirisch: geteilt durch n)
covariance = sum((x - mean_x) * (y - mean_y) for x, y in zip(xs, ys)) / n
sd_x = statistics.pstdev(xs) # Standardabweichung von x (geteilt durch n)
sd_y = statistics.pstdev(ys) # Standardabweichung von y (geteilt durch n)
r = covariance / (sd_x * sd_y) # Korrelationskoeffizient
slope = covariance / statistics.pvariance(xs) # Steigung a der Regressionsgeraden
intercept = mean_y - slope * mean_x # y-Achsenabschnitt b der Regressionsgeraden
print(f"Kovarianz s_xy: {covariance}")
print(f"Korrelationskoeffizient r: {r}")
# der y-Achsenabschnitt kann einen Rundungsfehler zeigen (1.5999...), daher auf 10 gültige Stellen runden
print(f"Regressionsgerade: y = {slope:.10g}x + {intercept:.10g}")
Läuft nur mit der Standardbibliothek (Modul statistics). pstdev und pvariance mit „p“ am Anfang teilen durch n. Das Beispiel gibt die Kovarianz 1,6, den Korrelationskoeffizienten 0,894… und die Regressionsgerade y = 0,8x + 1,6 aus (Python selbst schreibt Dezimalzahlen mit Punkt). Ab Python 3.10 liefert statistics.correlation(xs, ys) denselben Korrelationskoeffizienten (r ist gleich, ob man durch n oder durch n − 1 teilt). statistics.covariance(xs, ys) dagegen ist die Stichprobenkovarianz mit n − 1 – um die Kovarianz dieser Seite zu erhalten, rechnen Sie wie im Beispiel oben.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Kovarianz \(s_{xy}\)
s_xy = {(x₁ − x̄)(y₁ − ȳ) + … + (xₙ − x̄)(yₙ − ȳ)} ÷ n
s_{xy} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>s</mi><mrow><mi>x</mi><mi>y</mi></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mi>n</mi></mfrac>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<mrow>
<mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mi>i</mi></msub><mo>−</mo><mover><mi>x</mi><mo>¯</mo></mover><mo>)</mo>
<mo>(</mo><msub><mi>y</mi><mi>i</mi></msub><mo>−</mo><mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover><mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</math>
s_(xy) = (1/n) sum_(i=1)^n (x_i - bar x)(y_i - bar y)
Covariance[xdata, ydata]*(Length[xdata] - 1)/Length[xdata] (* Covariance teilt durch n-1, daher Umrechnung auf den Wert mit n *)
s_xy := add((x[i] - x_bar)*(y[i] - y_bar), i = 1 .. n)/n;
s_xy = mean((x - mean(x)).*(y - mean(y)));
s_xy = (1/n) ∑_(i=1)^n (x_i − x̄)(y_i − ȳ)
Korrelationskoeffizient \(r\)
r = s_xy ÷ (s_x × s_y)
r = \dfrac{s_{xy}}{s_x\, s_y}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msub><mi>s</mi><mrow><mi>x</mi><mi>y</mi></mrow></msub>
<mrow><msub><mi>s</mi><mi>x</mi></msub><msub><mi>s</mi><mi>y</mi></msub></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
r = s_(xy) / (s_x s_y)
Correlation[xdata, ydata]
r := s_xy/(s_x*s_y);
R = corrcoef(x, y); r = R(1, 2);
r = s_xy/(s_x s_y)
Regressionsgerade (kleinste Quadrate) \(y = ax + b\)
y = ax + b, a = s_xy ÷ s_x², b = ȳ − a·x̄
y = ax + b, \quad a = \dfrac{s_{xy}}{s_x^{2}}, \quad b = \bar{y} - a\bar{x}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi>
<mo>,</mo><mspace width="1em"/>
<mi>a</mi><mo>=</mo>
<mfrac>
<msub><mi>s</mi><mrow><mi>x</mi><mi>y</mi></mrow></msub>
<msubsup><mi>s</mi><mi>x</mi><mn>2</mn></msubsup>
</mfrac>
<mo>,</mo><mspace width="1em"/>
<mi>b</mi><mo>=</mo>
<mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover>
<mo>−</mo>
<mi>a</mi><mover><mi>x</mi><mo>¯</mo></mover>
</mrow>
</math>
y = a x + b, a = s_(xy)/s_x^2, b = bar y - a bar x
lm = LinearModelFit[Transpose[{xdata, ydata}], t, t]; lm["BestFitParameters"]
a := s_xy/s_x^2; b := y_bar - a*x_bar;
p = polyfit(x, y, 1); % p(1) = Steigung a, p(2) = y-Achsenabschnitt b
y = ax + b, a = s_xy/s_x^2, b = ȳ − ax̄
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Assistent für statistische Berechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen oder schätzen). Bestimmen Sie für die folgenden Wertepaare jeweils die unten genannten Größen. x: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 y: 2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 6 1. Die Mittelwerte von x und y sowie ihre Varianzen und Standardabweichungen (geteilt durch n) 2. Die Kovarianz s_xy (Summe der Abweichungsprodukte geteilt durch die Anzahl der Paare n; nicht durch n − 1 teilen) 3. Den Korrelationskoeffizienten r 4. Steigung a und y-Achsenabschnitt b der Regressionsgeraden y = ax + b (Methode der kleinsten Quadrate) Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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