Geben Sie die beiden Datenreihen, deren Zusammenhang Sie prüfen möchten, jeweils durch Semikolons (;) getrennt ein. Der Korrelationskoeffizient r, die Kovarianz und die Gleichung der Regressionsgeraden werden berechnet, und die Regressionsgerade wird über ein Streudiagramm gezeichnet.
Die x- und y-Werte werden der Reihe nach zu Paaren, also der 1. x-Wert mit dem 1. y-Wert, der 2. x-Wert mit dem 2. y-Wert und so weiter. Geben Sie von beiden gleich viele ein (mindestens 2 Paare). Dezimalzahlen (3,5) und negative Zahlen sind erlaubt.
Ergebnis und Diagramm
Geben Sie in den Feldern links Ihre x- und y-Werte durch Semikolons getrennt ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und ein Streudiagramm erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie Wertepaare \(x\) und \(y\) ein (zwei Merkmale), und Sie erhalten sofort den Korrelationskoeffizienten \(r\) und die Kovarianz \(s_{xy}\)
- Der Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung von \(x\) und von \(y\) sowie die Gleichung der Regressionsgeraden (Methode der kleinsten Quadrate) \(y = ax + b\) werden gleichzeitig berechnet
- Ein Streudiagramm wird mit der Regressionsgeraden und dem Schwerpunkt darüber gezeichnet, sodass Sie auf einen Blick sehen, wie die beiden Datenreihen zusammenhängen (steigend, fallend oder ohne erkennbare Richtung)
- Eine Faustregel zur Deutung des Werts, etwa „starke positive Korrelation“ oder „kaum oder keine Korrelation“, wird ebenfalls angezeigt
- Eine verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Die Kovarianz und die Varianzen werden mit der Version für die Grundgesamtheit berechnet, also durch die Anzahl der Wertepaare \(n\) geteilt. Viele Lehrbücher und Statistikprogramme verwenden die Stichprobenversion, die durch \(n-1\) teilt (der Abschnitt zu Excel erklärt den Unterschied). Der Korrelationskoeffizient \(r\) und die Regressionsgerade sind in beiden Fällen gleich. Sie brauchen gleich viele \(x\)- und \(y\)-Werte, mindestens 2 Paare.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Den Zusammenhang zwischen Lernzeit und Noten mit Zahlen prüfen (Bildung und Lernen)
Eine klassische Anwendung des Korrelationskoeffizienten ist die Frage „Steigen die Noten, wenn ich mehr lerne?“, die man mit Daten statt mit dem Bauchgefühl beantwortet. Berechnen Sie \(r\) aus den Wertepaaren von Lernzeit und Punktzahl der einzelnen Schülerinnen und Schüler, und eine Zahl zeigt Ihnen, wie stark der Zusammenhang ist.
Schulen und Nachhilfeinstitute schauen sich manchmal die Korrelation zwischen den Fächern in Probeklausuren an (schneiden Schülerinnen und Schüler, die in Mathematik gut sind, auch in den Naturwissenschaften gut ab?), um ihren Unterricht daran auszurichten. Beachten Sie aber, dass eine Korrelation nicht die Ursache beweist, etwa „wer nur länger lernt, wird auf jeden Fall besser“.
Aus Temperatur und Umsatz entscheiden, was eingekauft wird (Handel und Gastronomie)
Bekanntlich haben die Verkäufe von Eis und kalten Getränken eine positive Korrelation mit der Temperatur, die von Glühwein und heißen Suppen eine negative. Geschäfte und Restaurants prüfen die Korrelation in früheren Daten zu „Temperatur und verkauften Mengen“ und passen an, wie viel sie bestellen und was sie auslegen, je nach Wettervorhersage.
Gehen Sie noch einen Schritt weiter und bestimmen Sie die Regressionsgerade, dann können Sie eine konkrete Schätzung machen, etwa „bei einer Höchsttemperatur von 30 °C morgen verkaufen wir ungefähr so viele“.
Das Risiko senken, indem man Anlagen mit unterschiedlichen Kursbewegungen kombiniert (Finanzen und Geldanlage)
In der Geldanlage ist der Korrelationskoeffizient zwischen den Kursbewegungen von Anlagen wie Aktien, Anleihen und Gold ein Grundwerkzeug der Streuung des Risikos. Kombiniert man Anlagen mit geringer (oder negativer) Korrelation, ist es weniger wahrscheinlich, dass auch die andere fällt, wenn eine fällt, und das hält die Schwankungen des gesamten Portfolios kleiner.
Pensionsfonds und Investmentfonds analysieren die Korrelationen zwischen den Anlagen immer, bevor sie entscheiden, wie sie ihr Geld aufteilen.
Mögliche Ursachen von Fehlern aus den Fertigungsbedingungen eingrenzen (Fertigung und Qualitätssicherung)
Nehmen in einer Fabrik die fehlerhaften Teile zu, hilft der Korrelationskoeffizient zwischen der Fehlerquote und Bedingungen wie Bearbeitungstemperatur, Luftfeuchtigkeit und Laufzeit der Maschine, einzugrenzen, welche Bedingungen sich gemeinsam mit den Fehlern bewegen. Das ist eine so grundlegende Methode, dass das dafür verwendete Streudiagramm zu den sieben grundlegenden Qualitätswerkzeugen (Q7) gehört.
Ist eine Bedingung mit starker Korrelation gefunden, folgt als Nächstes ein Versuch, bei dem die Bedingung verändert wird, um Ursache und Wirkung zu bestätigen, und von dort aus schreiten die Verbesserungen voran.
Ein Einstieg in die Erforschung von Ursachen für Gesundheit und Krankheit (Medizin und Epidemiologie)
Auch die Erforschung des Zusammenhangs zwischen Lebensstil und Gesundheit, etwa „Bewegung und Blutdruck“ oder „Rauchmenge und Krankheitsrisiko“, beginnt damit, die Korrelation in den Daten zu prüfen.
Hier lernt man auch, nicht voreilig von Korrelation auf Ursache zu schließen. Ein bekanntes Beispiel ist, dass Eisverkäufe und Badeunfälle eine positive Korrelation haben. Beide steigen einfach mit einem gemeinsamen Faktor, dem heißen Wetter. Die medizinische Forschung setzt viele Methoden ein, um die Wirkung solcher dritten Faktoren herauszurechnen und der tatsächlichen Ursache und Wirkung näherzukommen.
Formeln und Abbildungen
Kovarianz \(s_{xy}\)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(s_{xy}\)
\(=\)
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\)
\((x_i - \bar{x})\)
\((y_i - \bar{y})\)
\(\div\)
\(n\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(s_{xy}\): Kovarianz
\(=\)
③
\(\displaystyle\sum\): alles addieren
①
\((x_i - \bar{x})\): Abweichung von \(x\)
②
\((y_i - \bar{y})\): Abweichung von \(y\)
\(\div\)
④
\(n\): Anzahl der Paare
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie für jedes Paar die
Abweichung von \(x\) (der \(x\)-Wert minus der Mittelwert von \(x\))
②
multiplizieren Sie sie mit der
Abweichung von \(y\) (der \(y\)-Wert minus der Mittelwert von \(y\))
③
bilden Sie dann
die Summe aller dieser Produkte \(\displaystyle\sum\)
④
teilen Sie die Summe durch die
\(n\): Anzahl der Paare
⑤
und Sie erhalten die
\(s_{xy}\): Kovarianz
Einfaches Beispiel
Betragen die Lernzeiten \(x\) (Stunden) von 5 Schülerinnen und Schülern 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 und ihre Testpunkte \(y\) 2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 6 (Mittelwerte \(\bar{x} = 3\), \(\bar{y} = 4\)), dann ist
\(s_{xy}\): Kovarianz
\(=\)
Summe der Produkte der Abweichungen (8)
\(\div\)
Anzahl der Paare (5)
\((-2)(-2) + (-1)(0) + (0)(0) + (1)(0) + (2)(2) = 4 + 0 + 0 + 0 + 4 = 8\)
\(s_{xy} = 8 \div 5 = 1{,}6\)
Der Kerngedanke
Die Kovarianz macht „die Tendenz zweier Datenreihen, sich gemeinsam zu bewegen“ zu einer Zahl. Liegen bei vielen Paaren sowohl \(x\) als auch \(y\) über ihren Mittelwerten (+ × +) oder beide darunter (− × −), ist die Summe der Produkte positiv. Liegt bei vielen Paaren nur einer von beiden über seinem Mittelwert (+ × −), ist die Summe negativ.
Eine positive Kovarianz bedeutet also „je größer \(x\), desto größer tendenziell \(y\)“ (das Streudiagramm steigt nach rechts), eine negative bedeutet „je größer \(x\), desto kleiner tendenziell \(y\)“ (es fällt nach rechts), und eine Kovarianz nahe 0 bedeutet „keine klare Tendenz“.
Diese Seite teilt durch die Anzahl der Paare \(n\), genau wie bei der Varianz auf dieser Seite (die Version für die Grundgesamtheit). Statistikprogramme haben auch die Stichproben-Kovarianz, die durch \(n-1\) teilt, und Excel unterscheidet beide am Funktionsnamen (siehe den Abschnitt zu Excel).
Korrelationskoeffizient \(r\)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(r\)
\(=\)
\(s_{xy}\)
\(\div\)
\((\)
\(s_x\)
\(\times\)
\(s_y\)
\()\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(r\): Korrelationskoeffizient
\(=\)
①
\(s_{xy}\): Kovarianz
\(\div\)
\((\)
②
\(s_x\): Standardabweichung von \(x\)
\(\times\)
③
\(s_y\): Standardabweichung von \(y\)
\()\)
Die Formel in Worten
①
Teilen Sie die
\(s_{xy}\): Kovarianz
②
durch das Produkt aus der
\(s_x\): Standardabweichung von \(x\)
③
und der
\(s_y\): Standardabweichung von \(y\)
④
und Sie erhalten den
\(r\): Korrelationskoeffizient
(\(r\) liegt immer zwischen \(-1\) und \(1\))
Einfaches Beispiel
Für dasselbe Beispiel mit Lernzeit und Punkten (\(s_{xy} = 1{,}6\), \(s_x = \sqrt{2}\), \(s_y = \sqrt{1{,}6}\))
\(r\): Korrelationskoeffizient
\(=\)
Kovarianz (1,6)
\(\div\)
\((\)
\(\sqrt{2}\)
\(\times\)
\(\sqrt{1{,}6}\)
\()\)
\(s_x \times s_y = \sqrt{2} \times \sqrt{1{,}6} = \sqrt{3{,}2} \approx 1{,}789\)
\(r = 1{,}6 \div 1{,}789 \approx 0{,}894\)
Der Kerngedanke
Die Kovarianz ist nützlich, hängt aber von den Einheiten ab (schon wenn man Stunden in Minuten umrechnet, wird sie 60-mal so groß). Teilt man die Kovarianz durch die Standardabweichungen von \(x\) und \(y\), wird daraus eine Zahl zwischen \(-1\) und \(1\), die nicht von den Einheiten abhängt. Das ist der Korrelationskoeffizient \(r\).
Je näher \(r\) an \(1\) liegt, desto stärker ist die positive Korrelation (fast eine nach rechts steigende Gerade); je näher an \(-1\), desto stärker ist die negative Korrelation (fast eine nach rechts fallende Gerade); und je näher an \(0\), desto schwächer ist der lineare Zusammenhang. Eine gängige Faustregel ist \(0{,}7 \le |r|\) für eine starke Korrelation, \(0{,}4 \le |r| < 0{,}7\) für eine mittlere, \(0{,}2 \le |r| < 0{,}4\) für eine schwache und \(|r| < 0{,}2\) für kaum oder keine Korrelation (die Grenzen unterscheiden sich je nach Fachgebiet).
Bedenken Sie, dass der Korrelationskoeffizient nur einen linearen Zusammenhang misst und von einzelnen Ausreißern stark verändert werden kann. Bei einem U-förmigen Zusammenhang kann \(r\) nahe 0 liegen, obwohl es einen Zusammenhang gibt. Außerdem ist Korrelation nicht dasselbe wie Kausalität (das eine verursacht das andere).
Regressionsgerade (Methode der kleinsten Quadrate) \(y = ax + b\)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(a\)
\(=\)
\(s_{xy}\)
\(\div\)
\(s_x^{2}\)
\(b\)
\(=\)
\(\bar{y}\)
\(-\)
\(a\,\bar{x}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(a\): Steigung der Regressionsgeraden
\(=\)
①
\(s_{xy}\): Kovarianz
\(\div\)
②
\(s_x^2\): Varianz von \(x\)
⑥
\(b\): y-Achsenabschnitt der Regressionsgeraden
\(=\)
④
\(\bar{y}\): Mittelwert von \(y\)
\(-\)
⑤
Steigung \(a\) × Mittelwert von \(x\) \(\bar{x}\)
Die Formel in Worten
①
Teilen Sie die
\(s_{xy}\): Kovarianz
②
durch die
\(s_x^2\): Varianz von \(x\)
③
und Sie erhalten die
\(a\): Steigung der Regressionsgeraden
.
④
Ziehen Sie vom
\(\bar{y}\): Mittelwert von \(y\)
⑤
das
Produkt aus der Steigung \(a\) und dem Mittelwert von \(x\), \(\bar{x}\)
ab,
⑥
und Sie erhalten den
\(b\): y-Achsenabschnitt der Regressionsgeraden
Einfaches Beispiel
Für dasselbe Beispiel (\(s_{xy} = 1{,}6\), \(s_x^2 = 2\), \(\bar{x} = 3\), \(\bar{y} = 4\))
Steigung \(a\)
\(=\)
Kovarianz (1,6)
\(\div\)
Varianz von \(x\) (2)
\(a = 1{,}6 \div 2 = 0{,}8\)
\(b = 4 - 0{,}8 \times 3 = 1{,}6\)
\(y = 0{,}8x + 1{,}6\)
Der Kerngedanke
Die Regressionsgerade ist die Gerade, die am besten zur Punktwolke eines Streudiagramms passt. Sie wird so gewählt, dass die senkrechten Abstände (Fehler) zwischen jedem Punkt und der Geraden, quadriert und alle addiert, so klein wie möglich sind. Dieses Verfahren heißt Methode der kleinsten Quadrate (gerechnet wird nur mit der Division und der Subtraktion oben).
Die Regressionsgerade verläuft immer durch den Schwerpunkt \((\bar{x},\ \bar{y})\). Sie können das im Streudiagramm auf dieser Seite überprüfen.
Mit der Regressionsgeraden können Sie Vorhersagen machen, etwa „bei 3,5 Stunden Lernzeit liegt die Punktzahl bei etwa \(0{,}8 \times 3{,}5 + 1{,}6 = 4{,}4\) Punkten“. Vorhersagen, die die Gerade weit über den Bereich der Daten hinaus verlängern, sind aber nicht verlässlich, und bei schwacher Korrelation sagt eine Vorhersage mit der Geraden sehr wenig aus.
Diese Seite schreibt die Gerade als \(y = ax + b\) (\(a\) ist die Steigung, \(b\) der y-Achsenabschnitt), dieselbe Form wie LinReg(ax+b) bei Taschenrechnern. In der Schule kennen Sie sie als \(y = mx + n\) (Steigung \(m\), y-Achsenabschnitt \(n\)). Manche Statistikbücher schreiben stattdessen \(\hat{y} = a + bx\), dort sind die Buchstaben für den Achsenabschnitt und die Steigung vertauscht.
So bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten: (1) Bestimmen Sie die Mittelwerte von \(x\) und \(y\), (2) addieren Sie alle Produkte der Abweichungen \((x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\) und teilen Sie durch die Anzahl der Paare \(n\), das ergibt die Kovarianz \(s_{xy}\), und (3) teilen Sie die Kovarianz durch das Produkt der Standardabweichungen von \(x\) und \(y\). \(r\) liegt immer zwischen \(-1\) und \(1\). Je näher es an \(1\) liegt, desto stärker ist der nach rechts steigende lineare Zusammenhang; je näher an \(-1\), desto stärker ist der nach rechts fallende.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(x_i,\ y_i\) | x Index i, y Index i | Der \(x\)-Wert und der \(y\)-Wert des \(i\)-ten Paares. (Beispiel: die Lernzeit \(x_3\) und die Punktzahl \(y_3\) der 3. Person.) \(i\) ist ein Buchstabe, der oft für einen Index (eine Positionsnummer) verwendet wird. |
| \(n\) | n | Die Anzahl der Paare, von „Number“ (Anzahl). (Beispiel: Bei Paaren von 5 Personen ist \(n = 5\).) |
| \(\bar{x},\ \bar{y}\) | x quer, y quer | Die Mittelwerte von \(x\) und von \(y\). Ein Querstrich über einem Buchstaben ist die übliche Schreibweise für einen Mittelwert. |
| \(x_i - \bar{x}\) | x Index i minus x quer | Die Abweichung von \(x\). Sie zeigt, wie weit jeder Wert vom Mittelwert von \(x\) entfernt ist. \(y_i - \bar{y}\) ist die Abweichung von \(y\). |
| \(s_{xy}\) | s Index x y | Die Kovarianz von \(x\) und \(y\), der Mittelwert der Produkte der Abweichungen. Sie zeigt die Tendenz der beiden Datenreihen, sich gemeinsam zu bewegen. Der Buchstabe \(s\) ist für Kennzahlen aus der Familie der Standardabweichung üblich. |
| \(s_x,\ s_y\) | s Index x, s Index y | Die Standardabweichungen von \(x\) und von \(y\) (wie stark jede streut). Sie sind die Quadratwurzeln der Varianzen. |
| \(s_x^2,\ s_y^2\) | s Index x Quadrat, s Index y Quadrat | Die Varianzen von \(x\) und von \(y\), der Mittelwert der quadrierten Abweichungen (geteilt durch \(n\)). |
| \(r\) | r | Der Korrelationskoeffizient. Der Buchstabe soll vom \(r\) in „Korrelation“ oder „Regression“ stammen. Er liegt immer zwischen \(-1\) und \(1\). |
| \(\sum\) | Sigma | Ein Symbol mit der Bedeutung „alles addieren“. \(\sum_{i=1}^{n}\) liest man „die Summe von \(i = 1\) bis \(n\)“. |
| \(a,\ b\) | a, b | Die Steigung und der y-Achsenabschnitt der Regressionsgeraden \(y = ax + b\). Sie spielen dieselben Rollen wie \(m\) und \(n\) in \(y = mx + n\). |
Begriffe
| Korrelation | Eine lineare Tendenz zwischen zwei Datenreihen, bei der das eine zunimmt, wenn das andere zunimmt (oder abnimmt). Je stärker sie ist, desto näher liegen die Punkte eines Streudiagramms an einer Geraden. |
| positive Korrelation | Die Tendenz, dass \(y\) zunimmt, wenn \(x\) zunimmt. Das Streudiagramm steigt nach rechts, und \(r\) ist positiv. |
| negative Korrelation | Die Tendenz, dass \(y\) abnimmt, wenn \(x\) zunimmt. Das Streudiagramm fällt nach rechts, und \(r\) ist negativ. |
| Korrelationskoeffizient | Eine einzelne Zahl von \(-1\) bis \(1\), die die Stärke und die Richtung einer Korrelation zeigt (auch Pearson-Korrelation genannt). Sie ergibt sich, wenn man die Kovarianz durch das Produkt der beiden Standardabweichungen teilt. Weil sie nicht von den Einheiten abhängt, können Sie ihre Stärke bei verschiedenen Daten vergleichen. |
| Kovarianz | Der Mittelwert der Produkte der Abweichungen von \(x\) und \(y\). Positiv bedeutet eine Tendenz, nach rechts zu steigen, negativ eine Tendenz, nach rechts zu fallen. Diese Seite teilt durch die Anzahl der Paare \(n\) (die Version für die Grundgesamtheit). |
| Streudiagramm | Ein Diagramm, das Wertepaare \((x \mid y)\) als Punkte in einem Koordinatensystem darstellt. Aus der Lage der Punkte lassen sich die Richtung und die Stärke einer Korrelation auf einen Blick ablesen. |
| Merkmal | Eine Größe, die Sie als Daten messen, etwa Körpergröße, Punktzahl oder Temperatur (in der Statistik auch Variable genannt). Diese Seite untersucht den Zusammenhang zwischen den zwei Merkmalen \(x\) und \(y\). |
| Abweichung | Die Differenz zwischen einem Wert und dem Mittelwert. Positiv bedeutet über dem Mittelwert, negativ darunter. Die Kovarianz, die Varianz und die Standardabweichung werden alle aus Abweichungen gebildet. |
| Varianz | Der Mittelwert der quadrierten Abweichungen. Sie zeigt, wie groß die Streuung der Daten ist. Sie steht im Nenner der Steigung der Regressionsgeraden. |
| Standardabweichung | Die Quadratwurzel der Varianz. Ihre Einheit ist wieder die der Daten, deshalb lässt sie sich gut als Maß für die Streuung verwenden. Sie steht im Nenner von \(r\). |
| Regressionsgerade (Ausgleichsgerade) | Die Gerade \(y = ax + b\), die am besten zur Punktwolke eines Streudiagramms passt. Man verwendet sie, um aus einem \(x\)-Wert einen \(y\)-Wert vorherzusagen. |
| Methode der kleinsten Quadrate | Ein Verfahren, Steigung und Achsenabschnitt einer Geraden so zu wählen, dass die senkrechten Abstände (Fehler) zwischen jedem Punkt und der Geraden, quadriert und addiert, so klein wie möglich sind. Die Regressionsgerade ist die Gerade, die auf diese Weise gewählt wird. |
| Ausreißer | Ein Wert, der weit von den anderen Punkten entfernt ist. Der Wert \(r\) wird von Ausreißern stark beeinflusst, prüfen Sie ihn deshalb immer zusammen mit dem Streudiagramm. |
| statistischer Zusammenhang | Eine Beziehung, in der sich zwei Größen gemeinsam bewegen (wenn die eine zunimmt, nimmt die andere zu oder ab). Auch bei einer Korrelation ist nicht unbedingt das eine die Ursache des anderen (Kausalität). Es kann auch nur eine gemeinsame Ursache hinter beiden stecken (ein dritter Faktor, auch Störvariable genannt). |
| Kausalität (Ursache und Wirkung) | Eine Beziehung, in der das eine die Ursache und das andere die Folge ist. Ein statistischer Zusammenhang (gemeinsames Bewegen) allein zeigt noch keine Kausalität, denn es kann auch nur eine gemeinsame Ursache hinter beiden stecken (ein dritter Faktor). |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier finden Sie zusammengestellt, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen noch einmal zu wiederholen.
| Der Mittelwert (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Negative Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Koordinatensystem und lineare Funktionen (Klasse 6–8, 11–14 Jahre) |
|
| Quadratwurzeln (Klasse 9, 14–15 Jahre) |
|
| Datenanalyse und Statistik (Klasse 9–10 und Oberstufe, ab 14 Jahren) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Kovarianz s_xy
| x von Paar 1 | 1 |
| x von Paar 2 | 2 |
| x von Paar 3 | 3 |
| x von Paar 4 | 4 |
| x von Paar 5 | 5 |
| y von Paar 1 | 2 |
| y von Paar 2 | 4 |
| y von Paar 3 | 4 |
| y von Paar 4 | 4 |
| y von Paar 5 | 6 |
| Kovarianz s_xy (÷ n) | =KOVARIANZ.P(B1:B5;B6:B10) |
| (Zum Vergleich) Stichproben-Kovarianz, ÷ (n−1) | =KOVARIANZ.S(B1:B5;B6:B10) |
Tabelle zur Berechnung des Korrelationskoeffizienten r
| x von Paar 1 | 1 |
| x von Paar 2 | 2 |
| x von Paar 3 | 3 |
| x von Paar 4 | 4 |
| x von Paar 5 | 5 |
| y von Paar 1 | 2 |
| y von Paar 2 | 4 |
| y von Paar 3 | 4 |
| y von Paar 4 | 4 |
| y von Paar 5 | 6 |
| Korrelationskoeffizient r | =KORREL(B1:B5;B6:B10) |
| (Zum Vergleich) derselbe Wert mit PEARSON | =PEARSON(B1:B5;B6:B10) |
Tabelle zur Berechnung der Regressionsgeraden y = ax + b
| x von Paar 1 | 1 |
| x von Paar 2 | 2 |
| x von Paar 3 | 3 |
| x von Paar 4 | 4 |
| x von Paar 5 | 5 |
| y von Paar 1 | 2 |
| y von Paar 2 | 4 |
| y von Paar 3 | 4 |
| y von Paar 4 | 4 |
| y von Paar 5 | 6 |
| Steigung a | =STEIGUNG(B6:B10;B1:B5) |
| y-Achsenabschnitt b | =ACHSENABSCHNITT(B6:B10;B1:B5) |
Tabelle zur Berechnung von Mittelwerten, Varianzen und Standardabweichungen (÷ n)
| x von Paar 1 | 1 |
| x von Paar 2 | 2 |
| x von Paar 3 | 3 |
| x von Paar 4 | 4 |
| x von Paar 5 | 5 |
| y von Paar 1 | 2 |
| y von Paar 2 | 4 |
| y von Paar 3 | 4 |
| y von Paar 4 | 4 |
| y von Paar 5 | 6 |
| Mittelwert von x x̄ | =MITTELWERT(B1:B5) |
| Mittelwert von y ȳ | =MITTELWERT(B6:B10) |
| Varianz von x s_x² | =VARIANZEN(B1:B5) |
| Standardabweichung von x s_x | =STABWN(B1:B5) |
| Varianz von y s_y² | =VARIANZEN(B6:B10) |
| Standardabweichung von y s_y | =STABWN(B6:B10) |
Nach dem Einfügen sind B1 bis B5 die Zellen für x und B6 bis B10 die Zellen für y, und die fett gedruckten grünen Zellen werden automatisch berechnet.
Die Kovarianz in der ersten Tabelle ist 1,6 (die Stichproben-Kovarianz ist 2), der Korrelationskoeffizient in der zweiten Tabelle beträgt etwa 0,8944, und die dritte Tabelle liefert die Steigung 0,8 und den y-Achsenabschnitt 1,6.
Vorsicht: Es gibt zwei Funktionen für die Kovarianz. KOVARIANZ.P ist die Kovarianz, die durch n teilt (wie bei diesem Rechner), und KOVARIANZ.S ist die Stichproben-Kovarianz, die durch n − 1 teilt. In alten Excel-Versionen (2007 und früher) verwenden Sie KOVAR statt KOVARIANZ.P.
KORREL und PEARSON liefern denselben Korrelationskoeffizienten (r ist gleich, egal ob Sie durch n oder durch n − 1 teilen, es gibt also nichts zu entscheiden).
STEIGUNG und ACHSENABSCHNITT verlangen „den y-Bereich, den x-Bereich“ in dieser Reihenfolge (x steht also nicht zuerst).
Wenn Sie eine andere Anzahl von Paaren verwenden möchten, fügen Sie Zeilen mit Zahlen hinzu (oder löschen Sie welche) und ändern Sie dann „B1:B5“ und „B6:B10“ in den Formeln in Ihre tatsächlichen Datenbereiche.
Die Kovarianz in der ersten Tabelle ist 1,6 (die Stichproben-Kovarianz ist 2), der Korrelationskoeffizient in der zweiten Tabelle beträgt etwa 0,8944, und die dritte Tabelle liefert die Steigung 0,8 und den y-Achsenabschnitt 1,6.
Vorsicht: Es gibt zwei Funktionen für die Kovarianz. KOVARIANZ.P ist die Kovarianz, die durch n teilt (wie bei diesem Rechner), und KOVARIANZ.S ist die Stichproben-Kovarianz, die durch n − 1 teilt. In alten Excel-Versionen (2007 und früher) verwenden Sie KOVAR statt KOVARIANZ.P.
KORREL und PEARSON liefern denselben Korrelationskoeffizienten (r ist gleich, egal ob Sie durch n oder durch n − 1 teilen, es gibt also nichts zu entscheiden).
STEIGUNG und ACHSENABSCHNITT verlangen „den y-Bereich, den x-Bereich“ in dieser Reihenfolge (x steht also nicht zuerst).
Wenn Sie eine andere Anzahl von Paaren verwenden möchten, fügen Sie Zeilen mit Zahlen hinzu (oder löschen Sie welche) und ändern Sie dann „B1:B5“ und „B6:B10“ in den Formeln in Ihre tatsächlichen Datenbereiche.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Kovarianz s_xy
| x von Paar 1 | 1 |
| x von Paar 2 | 2 |
| x von Paar 3 | 3 |
| x von Paar 4 | 4 |
| x von Paar 5 | 5 |
| y von Paar 1 | 2 |
| y von Paar 2 | 4 |
| y von Paar 3 | 4 |
| y von Paar 4 | 4 |
| y von Paar 5 | 6 |
| Kovarianz s_xy (÷ n) | =KOVAR(B1:B5;B6:B10) |
Tabelle zur Berechnung des Korrelationskoeffizienten r
| x von Paar 1 | 1 |
| x von Paar 2 | 2 |
| x von Paar 3 | 3 |
| x von Paar 4 | 4 |
| x von Paar 5 | 5 |
| y von Paar 1 | 2 |
| y von Paar 2 | 4 |
| y von Paar 3 | 4 |
| y von Paar 4 | 4 |
| y von Paar 5 | 6 |
| Korrelationskoeffizient r | =KORREL(B1:B5;B6:B10) |
Tabelle zur Berechnung der Regressionsgeraden y = ax + b
| x von Paar 1 | 1 |
| x von Paar 2 | 2 |
| x von Paar 3 | 3 |
| x von Paar 4 | 4 |
| x von Paar 5 | 5 |
| y von Paar 1 | 2 |
| y von Paar 2 | 4 |
| y von Paar 3 | 4 |
| y von Paar 4 | 4 |
| y von Paar 5 | 6 |
| Steigung a | =STEIGUNG(B6:B10;B1:B5) |
| y-Achsenabschnitt b | =ACHSENABSCHNITT(B6:B10;B1:B5) |
Fast dieselben Funktionen wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie B1 bis B10 durch Ihre eigenen Zahlen.
In Google Tabellen wird die Kovarianz, die durch n teilt, mit der Funktion KOVAR berechnet (dieselbe Definition wie bei diesem Rechner; der Name KOVARIANZ.P ruft dieselbe Funktion auf). Für den Korrelationskoeffizienten gilt KORREL, wie in Excel.
In Google Tabellen wird die Kovarianz, die durch n teilt, mit der Funktion KOVAR berechnet (dieselbe Definition wie bei diesem Rechner; der Name KOVARIANZ.P ruft dieselbe Funktion auf). Für den Korrelationskoeffizienten gilt KORREL, wie in Excel.
Mit Python berechnen
import statistics
xs = [1, 2, 3, 4, 5] # x-Werte (Beispiel: Lernzeit)
ys = [2, 4, 4, 4, 6] # y-Werte (Beispiel: Testpunkte)
n = len(xs)
mean_x = statistics.mean(xs) # Mittelwert von x
mean_y = statistics.mean(ys) # Mittelwert von y
# Kovarianz s_xy (Version für die Grundgesamtheit: Division durch n)
covariance = sum((x - mean_x) * (y - mean_y) for x, y in zip(xs, ys)) / n
sd_x = statistics.pstdev(xs) # Standardabweichung von x (Division durch n)
sd_y = statistics.pstdev(ys) # Standardabweichung von y (Division durch n)
r = covariance / (sd_x * sd_y) # Korrelationskoeffizient
slope = covariance / statistics.pvariance(xs) # Steigung a der Regressionsgeraden
intercept = mean_y - slope * mean_x # y-Achsenabschnitt b der Regressionsgeraden
print(f"Kovarianz s_xy: {covariance}")
print(f"Korrelationskoeffizient r: {r}")
# der Achsenabschnitt kann einen Gleitkommafehler zeigen (1.5999...), deshalb auf 10 signifikante Stellen runden
print(f"Regressionsgerade: y = {slope:.10g}x + {intercept:.10g}")
Der Code läuft nur mit der Standardbibliothek (dem Modul statistics). pstdev und pvariance, die mit „p“ beginnen, teilen durch n. Beim Ausführen dieses Beispiels werden eine Kovarianz von 1,6, ein Korrelationskoeffizient von 0,894… und die Regressionsgerade y = 0,8x + 1,6 angezeigt (die Python-Ausgabe verwendet dabei Punkte statt Kommas). In aktuellen Python-Versionen liefert statistics.correlation(xs, ys) denselben Korrelationskoeffizienten (r ist gleich, egal ob Sie durch n oder durch n − 1 teilen). Beachten Sie, dass statistics.covariance(xs, ys) die Stichproben-Kovarianz ist, die durch n − 1 teilt. Um die Kovarianz dieser Seite zu erhalten, rechnen Sie also wie im Beispiel oben.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Kovarianz \(s_{xy}\)
s_xy = {(x₁ − x̄)(y₁ − ȳ) + … + (xₙ − x̄)(yₙ − ȳ)} ÷ n
s_{xy} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>s</mi><mrow><mi>x</mi><mi>y</mi></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mi>n</mi></mfrac>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<mrow>
<mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mi>i</mi></msub><mo>−</mo><mover><mi>x</mi><mo>¯</mo></mover><mo>)</mo>
<mo>(</mo><msub><mi>y</mi><mi>i</mi></msub><mo>−</mo><mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover><mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</math>
s_(xy) = (1/n) sum_(i=1)^n (x_i - bar x)(y_i - bar y)
Covariance[xdata, ydata]*(Length[xdata] - 1)/Length[xdata] (* Covariance teilt durch n-1, deshalb wird hier auf den durch n geteilten Wert umgerechnet *)
s_xy := add((x[i] - x_bar)*(y[i] - y_bar), i = 1 .. n)/n;
s_xy = mean((x - mean(x)).*(y - mean(y)));
s_xy = (1/n) ∑_(i=1)^n (x_i − x̄)(y_i − ȳ)
Korrelationskoeffizient \(r\)
r = s_xy ÷ (s_x × s_y)
r = \dfrac{s_{xy}}{s_x\, s_y}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msub><mi>s</mi><mrow><mi>x</mi><mi>y</mi></mrow></msub>
<mrow><msub><mi>s</mi><mi>x</mi></msub><msub><mi>s</mi><mi>y</mi></msub></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
r = s_(xy) / (s_x s_y)
Correlation[xdata, ydata]
r := s_xy/(s_x*s_y);
R = corrcoef(x, y); r = R(1, 2);
r = s_xy/(s_x s_y)
Regressionsgerade (Methode der kleinsten Quadrate) \(y = ax + b\)
y = ax + b, a = s_xy ÷ s_x², b = ȳ − a·x̄
y = ax + b, \quad a = \dfrac{s_{xy}}{s_x^{2}}, \quad b = \bar{y} - a\bar{x}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi>
<mo>,</mo><mspace width="1em"/>
<mi>a</mi><mo>=</mo>
<mfrac>
<msub><mi>s</mi><mrow><mi>x</mi><mi>y</mi></mrow></msub>
<msubsup><mi>s</mi><mi>x</mi><mn>2</mn></msubsup>
</mfrac>
<mo>,</mo><mspace width="1em"/>
<mi>b</mi><mo>=</mo>
<mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover>
<mo>−</mo>
<mi>a</mi><mover><mi>x</mi><mo>¯</mo></mover>
</mrow>
</math>
y = a x + b, a = s_(xy)/s_x^2, b = bar y - a bar x
lm = LinearModelFit[Transpose[{xdata, ydata}], t, t]; lm["BestFitParameters"]
a := s_xy/s_x^2; b := y_bar - a*x_bar;
p = polyfit(x, y, 1); % p(1) = Steigung a, p(2) = y-Achsenabschnitt b
y = ax + b, a = s_xy/s_x^2, b = ȳ − ax̄
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für statistische Berechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten). Bestimmen Sie für die folgenden Wertepaare jeden der Werte unten. x: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 y: 2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 6 1. Die Mittelwerte von x und y sowie ihre Varianzen und Standardabweichungen mit Division durch n 2. Die Kovarianz s_xy (die Summe der Produkte der Abweichungen geteilt durch die Anzahl der Paare n; nicht durch n − 1 teilen) 3. Den Korrelationskoeffizienten r 4. Die Steigung a und den y-Achsenabschnitt b der Regressionsgeraden y = ax + b (Methode der kleinsten Quadrate) Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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