相関係数・共分散計算機（散布図と回帰直線付き）

関係を調べたい2種類のデータを、それぞれカンマ（,）区切りで入力してください。相関係数rと共分散、回帰直線の式を計算し、散布図に回帰直線を重ねて描きます。

xのデータ（カンマ区切り）

yのデータ（カンマ区切り）

xとyは、1組目のxと1組目のy、2組目のxと2組目のy…のように、同じ順番どうしがペアになります。同じ個数（2組以上）で入力してください。小数・マイナスの数も使えます。

計算結果・グラフ

左の入力欄にxとyのデータをカンマ区切りで入れて「計算する」を押すと、ここに結果と散布図が表示されます。

このページでできること
この計算は何の役に立つ？
使い方
式と図
用語・記号の解説
- 記号
- 用語
前提として理解しておくといいこと
Excelで計算する方法
Googleスプレッドシートで計算する方法
Pythonで計算する方法
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
ChatGPTに聞いて計算してもらう方法
計算ドリル（演習問題）
DataChefの特徴
関連機能
NumberChef 機能一覧

このページでできること

\(x\) と \(y\) のペアのデータ（2つの変量）を入れるだけで、相関係数 \(r\) と共分散 \(s_{xy}\) がその場でわかります
\(x\)・\(y\) それぞれの平均・分散・標準偏差と、回帰直線（最小二乗法）\(y = ax + b\) の式も同時に計算します
散布図に回帰直線と平均点を重ねて描くので、2つのデータの関係（右上がりか・右下がりか・ばらばらか）が一目でわかります
相関係数の値から「強い正の相関」「ほとんど相関がない」などの目安の解釈も表示します
式のやさしい解説・Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています

共分散・分散は日本の教科書と同じ「データの組数 \(n\) で割る」定義で計算します（\(n-1\) で割る標本用の値との違いはExcel欄で説明しています）。データは \(x\)・\(y\) 同じ個数で2組以上必要です。

この計算は何の役に立つ？

勉強時間と成績の関係を数字で確かめる（教育・学習）

「勉強時間を増やすと成績は上がるのか」を、感覚ではなくデータで確かめるのが相関係数の代表的な使い方です。生徒ごとの勉強時間と得点のペアから \(r\) を計算すれば、関係の強さが1つの数字でわかります。
学校や塾では、模試の教科間の相関（数学が得意な生徒は理科も得意か、など）を調べて指導に生かすこともあります。ただし相関があっても「時間さえ増やせば必ず上がる」という因果の証明にはならない点は要注意です。

気温と売上の関係から仕入れを決める（小売・飲食）

アイスクリームや冷たい飲み物の売上は気温と正の相関、おでんや肉まんは気温と負の相関を持つことが知られています。小売や飲食の現場では、過去の「気温と販売数」のデータから相関を確かめ、天気予報に合わせて仕入れ量や陳列を変えています。
回帰直線まで求めれば「明日の予想気温30度なら販売数はおよそ何個」という具体的な予測の目安も立てられます。

値動きの相関が低い資産を組み合わせてリスクを下げる（金融・資産運用）

投資の世界では、株式・債券・金など資産どうしの値動きの相関係数が、分散投資の基本の道具です。相関が低い（または負の）資産を組み合わせると、片方が下がってももう片方が下がりにくいため、資産全体の値動きの振れ幅を抑えられます。
年金基金や投資信託の運用でも、資産配分を決める前に必ず資産間の相関が分析されています。

製造条件と不良率の関係から原因候補を絞る（製造・品質管理）

工場で不良品が増えたとき、「加工温度」「湿度」「機械の稼働時間」などの条件と不良率との相関係数を調べると、どの条件が不良と一緒に動いているかを絞り込めます。品質管理では、この分析に使う散布図が「QC七つ道具」の1つに数えられているほど基本の手法です。
相関が強い条件が見つかったら、実験で条件を変えて因果関係を確かめる、という流れで改善を進めます。

健康や病気の要因を探る研究の入り口（医療・疫学）

「運動量と血圧」「喫煙量とある病気のかかりやすさ」のように、生活習慣と健康の関係を調べる研究でも、まずデータの相関を確かめるところから始まります。
一方で、相関＝原因と早合点しない訓練の場でもあります。有名な例が「アイスクリームの売上と水難事故の件数には正の相関がある」という話で、これはどちらも気温という共通の要因で増えるだけです。医学の研究では、こうした第3の要因の影響を取り除く工夫を重ねて、因果関係に迫っていきます。

式と図

共分散 \(s_{xy}\)

図

数学表記（一般的な数式）

\(s_{xy}\) \(=\) \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\) \((x_i - \bar{x})\) \((y_i - \bar{y})\) \(\div\) \(n\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

⑤ 共分散 \(s_{xy}\) \(=\) ③ 全部足す \(\displaystyle\sum\) ① \(x\) の偏差 \((x_i - \bar{x})\) ② \(y\) の偏差 \((y_i - \bar{y})\) \(\div\) ④ データの組数 \(n\)

式を日本語で読むと

① 各データについて、 \(x\) の偏差（\(x\) の値と \(x\) の平均の差）と

② \(y\) の偏差（\(y\) の値と \(y\) の平均の差）を掛け合わせ

③ その積を全部足した合計 \(\displaystyle\sum\) を

④ データの組数 \(n\) で割ると

⑤ 共分散 \(s_{xy}\) になる

簡単な例

5人の勉強時間 \(x\)（時間）が 1, 2, 3, 4, 5、小テストの得点 \(y\)（点）が 2, 4, 4, 4, 6（平均は \(\bar{x} = 3\)、\(\bar{y} = 4\)）なら

共分散 \(s_{xy}\) \(=\) 偏差の積の合計（8） \(\div\) 組数（5組）

\((-2)(-2) + (-1)(0) + (0)(0) + (1)(0) + (2)(2) = 4 + 0 + 0 + 0 + 4 = 8\)

\(s_{xy} = 8 \div 5 = 1.6\)

考え方のポイント

共分散は「2つのデータが一緒に動く傾向」を数値にしたものです。\(x\) も \(y\) も平均より上（＋×＋）、または両方とも平均より下（−×−）のデータが多いと積の合計はプラスに、片方だけ平均より上（＋×−）のデータが多いとマイナスになります。だから共分散がプラスなら「\(x\) が大きいほど \(y\) も大きい」（散布図が右上がり）、マイナスなら「\(x\) が大きいほど \(y\) は小さい」（右下がり）、0に近ければ「はっきりした傾向がない」と読めます。分母は分散と同じくデータの組数 \(n\) です（日本の教科書の定義）。統計ソフトには \(n-1\) で割る「標本共分散」もあり、Excelでは関数名で区別されています（Excel欄参照）。

相関係数 \(r\)

図

数学表記（一般的な数式）

\(r\) \(=\) \(s_{xy}\) \(\div\) \((\) \(s_x\) \(\times\) \(s_y\) \()\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

④ 相関係数 \(r\) \(=\) ① 共分散 \(s_{xy}\) \(\div\) \((\) ② \(x\) の標準偏差 \(s_x\) \(\times\) ③ \(y\) の標準偏差 \(s_y\) \()\)

式を日本語で読むと

① 共分散 \(s_{xy}\) を

② \(x\) の標準偏差 \(s_x\) と

③ \(y\) の標準偏差 \(s_y\) を掛けたもので割ると

④ 相関係数 \(r\) になる（\(r\) は必ず \(-1\) 以上 \(1\) 以下）

簡単な例

さきほどの勉強時間と得点の例（\(s_{xy} = 1.6\)、\(s_x = \sqrt{2}\)、\(s_y = \sqrt{1.6}\)）なら

相関係数 \(r\) \(=\) 共分散（1.6） \(\div\) \((\) \(\sqrt{2}\) \(\times\) \(\sqrt{1.6}\) \()\)

\(s_x \times s_y = \sqrt{2} \times \sqrt{1.6} = \sqrt{3.2} \fallingdotseq 1.789\)

\(r = 1.6 \div 1.789 \fallingdotseq 0.894\)

考え方のポイント

共分散は便利ですが、単位の影響を受けます（時間を「分」に変えるだけで値が60倍になる）。そこで共分散を \(x\)・\(y\) それぞれの標準偏差で割って、単位に影響されない \(-1\) から \(1\) までの数字に直したものが相関係数 \(r\) です。 \(r\) が \(1\) に近いほど強い正の相関（右上がりの直線に近い）、\(-1\) に近いほど強い負の相関（右下がりの直線に近い）、\(0\) に近いほど直線的な関係が弱い、と読みます。よく使われる目安は、\(0.7 \leq |r|\) で「強い相関」、\(0.4 \leq |r| < 0.7\) で「中程度」、\(0.2 \leq |r| < 0.4\) で「弱い」、\(|r| < 0.2\) で「ほとんど相関なし」です（分野によって基準は変わります）。注意したいのは、相関係数が測るのは「直線的な関係」だけということ。U字型のような関係は \(r\) が0に近くても関係が「ない」とは限りません。また、相関があることと「一方が原因でもう一方が結果」であること（因果関係）は別の話です。

回帰直線（最小二乗法）\(y = ax + b\)

図

数学表記（一般的な数式）

\(a\) \(=\) \(s_{xy}\) \(\div\) \(s_x^{2}\)

\(b\) \(=\) \(\bar{y}\) \(-\) \(a\,\bar{x}\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ 回帰直線の傾き \(a\) \(=\) ① 共分散 \(s_{xy}\) \(\div\) ② \(x\) の分散 \(s_x^2\)

⑥ 回帰直線の切片 \(b\) \(=\) ④ \(y\) の平均 \(\bar{y}\) \(-\) ⑤ 傾き \(a\) × \(x\) の平均 \(\bar{x}\)

式を日本語で読むと

① 共分散 \(s_{xy}\) を

② \(x\) の分散 \(s_x^2\) で割ると

③ 回帰直線の傾き \(a\) になり

④ \(y\) の平均 \(\bar{y}\) から

⑤ 傾き \(a\) と \(x\) の平均 \(\bar{x}\) の積を引くと

⑥ 回帰直線の切片 \(b\) になる

簡単な例

さきほどの例（\(s_{xy} = 1.6\)、\(s_x^2 = 2\)、\(\bar{x} = 3\)、\(\bar{y} = 4\)）なら

傾き \(a\) \(=\) 共分散（1.6） \(\div\) \(x\) の分散（2）

\(a = 1.6 \div 2 = 0.8\)

\(b = 4 - 0.8 \times 3 = 1.6\)

\(y = 0.8x + 1.6\)

考え方のポイント

回帰直線は、散布図の点の集まりに「最もよく当てはまる直線」です。各点と直線との縦方向のずれ（誤差）を2乗して全部足した値が、一番小さくなるように直線を選びます。この決め方を最小二乗法といいます（高校では数学Bの内容ですが、求める計算は上の割り算と引き算だけです）。回帰直線は必ず平均点 \((\bar{x},\ \bar{y})\) を通ります。このページの散布図でも、回帰直線が平均点を通ることを確かめられます。回帰直線を使うと「勉強時間が3.5時間なら得点はおよそ \(0.8 \times 3.5 + 1.6 = 4.4\) 点」のような予測ができます。ただし、データの範囲から大きく外れた \(x\) にまで直線を伸ばした予測は当てにならないこと、相関が弱いデータでは直線を引けても予測の意味がほとんどないことに注意してください。

相関係数は「① \(x\)・\(y\) それぞれの平均を出す → ② 偏差の積 \((x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\) を全部足して組数 \(n\) で割り、共分散 \(s_{xy}\) にする → ③ 共分散を \(x\)・\(y\) の標準偏差の積で割る」の順で求めます。\(r\) は必ず \(-1\) 以上 \(1\) 以下になり、\(1\) に近いほど右上がり、\(-1\) に近いほど右下がりの直線的な関係が強いことを表します。

用語・記号の解説

記号

\(x_i,\ y_i\)	エックスアイ、ワイアイ	\(i\) 組目のデータの \(x\) の値と \(y\) の値。（例：3人目の勉強時間 \(x_3\) と得点 \(y_3\)）。\(i\) は index（番号）を表すのによく使われる文字です。
\(n\)	エヌ	データの組数。number（数）の頭文字です。（例：5人分のペアなら \(n = 5\)）
\(\bar{x},\ \bar{y}\)	エックスバー、ワイバー	\(x\)・\(y\) それぞれの平均。文字の上の横棒（バー）は「平均」を表す慣例の記号です。
\(x_i - \bar{x}\)	エックスアイ引くエックスバー	\(x\) の偏差。各データが \(x\) の平均からどれだけ離れているか（ずれ）を表します。\(y_i - \bar{y}\) は \(y\) の偏差です。
\(s_{xy}\)	エスエックスワイ	\(x\) と \(y\) の共分散。偏差の積の平均で、2つのデータが一緒に動く傾向を表します。\(s\) は standard deviation（標準偏差）と同じ仲間の統計量であることを表す慣例の文字です。
\(s_x,\ s_y\)	エスエックス、エスワイ	\(x\)・\(y\) それぞれの標準偏差（散らばりの大きさ）。分散の平方根です。
\(s_x^2,\ s_y^2\)	エスエックス2乗、エスワイ2乗	\(x\)・\(y\) それぞれの分散。偏差の2乗の平均（\(n\) で割る）です。
\(r\)	アール	相関係数。correlation（相関）や relation（関係）の \(r\) に由来するといわれます。必ず \(-1\) 以上 \(1\) 以下の値になります。
\(\sum\)	シグマ（和の記号）	「全部足す」という意味の記号。\(\sum_{i=1}^{n}\) は「\(i = 1\) から \(n\) まで全部足す」と読みます。
\(a,\ b\)	エー、ビー	回帰直線 \(y = ax + b\) の傾きと切片。一次関数と同じ記号です。

用語

相関	そうかん	一方が増えるともう一方も増える（または減る）という、2つのデータの間の直線的な関係の傾向のこと。関係が強いほど散布図の点は直線に近く並びます。
正の相関	せいのそうかん	\(x\) が増えると \(y\) も増える傾向のこと。散布図は右上がりになり、相関係数はプラスになります。
負の相関	ふのそうかん	\(x\) が増えると \(y\) が減る傾向のこと。散布図は右下がりになり、相関係数はマイナスになります。
相関係数	そうかんけいすう	相関の強さと向きを \(-1\) から \(1\) までの1つの数値で表した指標。共分散を \(x\)・\(y\) の標準偏差の積で割って求めます。単位に影響されないので、違うデータどうしでも強さを比べられます。
共分散	きょうぶんさん	\(x\) の偏差と \(y\) の偏差の積の平均。プラスなら右上がり、マイナスなら右下がりの傾向を表します。このページでは日本の教科書と同じく組数 \(n\) で割ります。
散布図	さんぷず	ペアのデータ \((x,\ y)\) を座標の点として打った図。点の並び方から、相関の向きと強さがひと目で読み取れます。
変量	へんりょう	身長・点数・気温のように、データとして測る量のこと。このページは \(x\) と \(y\) の「2つの変量」の関係を調べます。
偏差	へんさ	各データと平均との差。プラスなら平均より大きい、マイナスなら小さいことを表します。共分散・分散・標準偏差はすべて偏差から作られます。
分散	ぶんさん	偏差の2乗の平均。データの散らばりの大きさを表します。回帰直線の傾きの分母に登場します。
標準偏差	ひょうじゅんへんさ	分散の平方根。単位がデータと同じに戻るので、散らばりの目安として使いやすい値です。相関係数の分母に登場します。
回帰直線	かいきちょくせん	散布図の点の集まりに最もよく当てはまる直線 \(y = ax + b\) のこと。\(x\) の値から \(y\) の値を予測するのに使います。
最小二乗法	さいしょうにじょうほう	各点と直線との縦方向のずれ（誤差）を2乗して全部足した値が最小になるように、直線の傾きと切片を決める方法。回帰直線はこの方法で決めた直線です。
外れ値	はずれち	他の点から大きく離れた値。相関係数は外れ値の影響を強く受けるため、散布図とセットで確認するのが基本です。
相関関係	そうかんかんけい	2つの量が一緒に動く（一方が増えるともう一方も増える／減る）関係。相関があっても、一方が原因でもう一方が結果だ（因果関係）とは限りません。裏に共通の原因（第3の要因）があるだけのこともあります。
因果関係	いんがかんけい	一方が原因で、もう一方がその結果として決まる関係。相関関係（一緒に動くこと）があるだけでは因果関係は言えず、裏に共通の原因（第3の要因）があるだけのこともあります。

前提として理解しておくといいこと

このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。

平均（小学5年）	平均＝合計 ÷ 個数で求められること平均が「データ全体のまんなかの目安」を表すことがわかること
正負の数（中学1年）	\((-1) \times 2 = -2\) や \((-2) \times (-2) = 4\) のように、マイナスを含む掛け算ができることマイナスどうしの積はプラスになること（共分散の符号の意味の土台になります）
座標と一次関数（中学1〜2年）	\((x,\ y)\) の組を座標平面の点として打てること（散布図はこの点の集まりです）一次関数 \(y = ax + b\) の \(a\) が傾き、\(b\) が切片だとわかること（回帰直線はこの形の直線です）
平方根（中学3年）	\(\sqrt{9} = 3\) のように、「2乗するとその数になる数」として平方根がわかること \(\sqrt{2} \times \sqrt{1.6} = \sqrt{3.2}\) のように、平方根どうしの掛け算ができること
データの分析（高校数学I）	偏差（各データと平均の差）が何を表すかわかること分散・標準偏差が「散らばりの大きさ」を数値にしたものだとわかること（詳しくは関連ページの標準偏差計算機で復習できます）散布図から「右上がり・右下がり・ばらばら」の傾向が読み取れること

Excelで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。

下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「共分散 s_xy」を求める表

xの1組目	1
xの2組目	2
xの3組目	3
xの4組目	4
xの5組目	5
yの1組目	2
yの2組目	4
yの3組目	4
yの4組目	4
yの5組目	6
共分散 s_xy（n で割る）	=COVARIANCE.P(B1:B5,B6:B10)
（参考）n−1 で割る標本共分散	=COVARIANCE.S(B1:B5,B6:B10)

「相関係数 r」を求める表

xの1組目	1
xの2組目	2
xの3組目	3
xの4組目	4
xの5組目	5
yの1組目	2
yの2組目	4
yの3組目	4
yの4組目	4
yの5組目	6
相関係数 r	=CORREL(B1:B5,B6:B10)
（参考）PEARSON関数でも同じ値	=PEARSON(B1:B5,B6:B10)

「回帰直線 y = ax + b」を求める表

xの1組目	1
xの2組目	2
xの3組目	3
xの4組目	4
xの5組目	5
yの1組目	2
yの2組目	4
yの3組目	4
yの4組目	4
yの5組目	6
傾き a	=SLOPE(B6:B10,B1:B5)
切片 b	=INTERCEPT(B6:B10,B1:B5)

「平均・分散・標準偏差（n で割る）」を求める表

xの1組目	1
xの2組目	2
xの3組目	3
xの4組目	4
xの5組目	5
yの1組目	2
yの2組目	4
yの3組目	4
yの4組目	4
yの5組目	6
xの平均 x̄	=AVERAGE(B1:B5)
yの平均 ȳ	=AVERAGE(B6:B10)
xの分散 s_x²	=VARP(B1:B5)
xの標準偏差 s_x	=STDEVP(B1:B5)
yの分散 s_y²	=VARP(B6:B10)
yの標準偏差 s_y	=STDEVP(B6:B10)

貼り付けると、B1〜B5がxの入力欄、B6〜B10がyの入力欄になり、緑の太字のセルが自動計算の結果になります。
1つ目の表の共分散は1.6（標本共分散は2）、2つ目の表の相関係数は約0.8944、3つ目の表は傾き0.8・切片1.6になります。
共分散の関数は2種類あるので注意してください。COVARIANCE.Pが「n で割る」共分散（この計算機・日本の教科書と同じ）、COVARIANCE.Sが「n−1 で割る」標本共分散です。古いExcel（2007以前）ではCOVARIANCE.Pの代わりにCOVARを使います。
相関係数はCORRELでもPEARSONでも同じ値になります（相関係数は n で割っても n−1 で割っても同じ値になるため、関数の使い分けはありません）。
SLOPE・INTERCEPTは「yの範囲, xの範囲」の順で指定します（xが先ではないことに注意）。
データの組数を変えたいときは、数値の行を増やし（減らし）てから、式の「B1:B5」「B6:B10」の部分を実際のデータ範囲に書き換えてください。

Googleスプレッドシートで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。

下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「共分散 s_xy」を求める表

xの1組目	1
xの2組目	2
xの3組目	3
xの4組目	4
xの5組目	5
yの1組目	2
yの2組目	4
yの3組目	4
yの4組目	4
yの5組目	6
共分散 s_xy（n で割る）	=COVAR(B1:B5,B6:B10)

「相関係数 r」を求める表

xの1組目	1
xの2組目	2
xの3組目	3
xの4組目	4
xの5組目	5
yの1組目	2
yの2組目	4
yの3組目	4
yの4組目	4
yの5組目	6
相関係数 r	=CORREL(B1:B5,B6:B10)

「回帰直線 y = ax + b」を求める表

xの1組目	1
xの2組目	2
xの3組目	3
xの4組目	4
xの5組目	5
yの1組目	2
yの2組目	4
yの3組目	4
yの4組目	4
yの5組目	6
傾き a	=SLOPE(B6:B10,B1:B5)
切片 b	=INTERCEPT(B6:B10,B1:B5)

Excelとほぼ同じ関数がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、B1〜B10を自分の数値に書き換えてください。
Googleスプレッドシートでは、「n で割る」共分散はCOVAR関数で求めます（この計算機・日本の教科書と同じ定義。COVARIANCE.Pという名前でも同じ関数を呼べます）。相関係数はExcelと同じCORRELです。

Pythonで計算する方法

import statistics

xs = [1, 2, 3, 4, 5]      # xのデータ（例：勉強時間）
ys = [2, 4, 4, 4, 6]      # yのデータ（例：小テストの得点）

n = len(xs)
mean_x = statistics.mean(xs)      # xの平均
mean_y = statistics.mean(ys)      # yの平均

# 共分散 s_xy（日本の教科書と同じ「n で割る」定義）
covariance = sum((x - mean_x) * (y - mean_y) for x, y in zip(xs, ys)) / n

sd_x = statistics.pstdev(xs)      # xの標準偏差（n で割る）
sd_y = statistics.pstdev(ys)      # yの標準偏差（n で割る）

r = covariance / (sd_x * sd_y)    # 相関係数

slope = covariance / statistics.pvariance(xs)   # 回帰直線の傾き a
intercept = mean_y - slope * mean_x             # 回帰直線の切片 b

print(f"共分散 s_xy: {covariance}")
print(f"相関係数 r: {r}")
# 切片は浮動小数の誤差（1.5999…）が出ることがあるため、有効10桁に丸めて表示する
print(f"回帰直線: y = {slope:.10g}x + {intercept:.10g}")

標準ライブラリ（statisticsモジュール）だけで動きます。頭に「p」が付くpstdev・pvarianceが「n で割る」定義の関数です。この例を実行すると、共分散1.6・相関係数0.894…・回帰直線 y = 0.8x + 1.6 が表示されます。Python 3.10以降なら statistics.correlation(xs, ys) でも同じ相関係数が求められます（相関係数は n で割っても n−1 で割っても同じ値になります）。なお statistics.covariance(xs, ys) は「n−1 で割る」標本共分散なので、このページの共分散と合わせたいときは上の例のように計算してください。

数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）

共分散 \(s_{xy}\)

s_xy = {(x₁ − x̄)(y₁ − ȳ) + … + (xₙ − x̄)(yₙ − ȳ)} ÷ n

s_{xy} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>s</mi><mrow><mi>x</mi><mi>y</mi></mrow></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mi>n</mi></mfrac>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
      <mi>n</mi>
    </munderover>
    <mrow>
      <mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mi>i</mi></msub><mo>&#x2212;</mo><mover><mi>x</mi><mo>&#x00AF;</mo></mover><mo>)</mo>
      <mo>(</mo><msub><mi>y</mi><mi>i</mi></msub><mo>&#x2212;</mo><mover><mi>y</mi><mo>&#x00AF;</mo></mover><mo>)</mo>
    </mrow>
  </mrow>
</math>

s_(xy) = (1/n) sum_(i=1)^n (x_i - bar x)(y_i - bar y)

Covariance[xdata, ydata]*(Length[xdata] - 1)/Length[xdata]  (* Covarianceは n−1 で割るため、n で割る値に直している *)

s_xy := add((x[i] - x_bar)*(y[i] - y_bar), i = 1 .. n)/n;

s_xy = mean((x - mean(x)).*(y - mean(y)));

s_xy = (1/n) ∑_(i=1)^n (x_i − x̄)(y_i − ȳ)

相関係数 \(r\)

r = s_xy ÷ (s_x × s_y)

r = \dfrac{s_{xy}}{s_x\, s_y}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>s</mi><mrow><mi>x</mi><mi>y</mi></mrow></msub>
      <mrow><msub><mi>s</mi><mi>x</mi></msub><msub><mi>s</mi><mi>y</mi></msub></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

r = s_(xy) / (s_x s_y)

Correlation[xdata, ydata]

r := s_xy/(s_x*s_y);

R = corrcoef(x, y); r = R(1, 2);

r = s_xy/(s_x s_y)

回帰直線（最小二乗法）\(y = ax + b\)

y = ax + b,  a = s_xy ÷ s_x²,  b = ȳ − a·x̄

y = ax + b, \quad a = \dfrac{s_{xy}}{s_x^{2}}, \quad b = \bar{y} - a\bar{x}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>y</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi>
    <mo>,</mo><mspace width="1em"/>
    <mi>a</mi><mo>=</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>s</mi><mrow><mi>x</mi><mi>y</mi></mrow></msub>
      <msubsup><mi>s</mi><mi>x</mi><mn>2</mn></msubsup>
    </mfrac>
    <mo>,</mo><mspace width="1em"/>
    <mi>b</mi><mo>=</mo>
    <mover><mi>y</mi><mo>&#x00AF;</mo></mover>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>a</mi><mover><mi>x</mi><mo>&#x00AF;</mo></mover>
  </mrow>
</math>

y = a x + b, a = s_(xy)/s_x^2, b = bar y - a bar x

lm = LinearModelFit[Transpose[{xdata, ydata}], t, t]; lm["BestFitParameters"]

a := s_xy/s_x^2; b := y_bar - a*x_bar;

p = polyfit(x, y, 1);  % p(1)=傾きa、p(2)=切片b

y = ax + b,  a = s_xy/s_x^2,  b = ȳ − ax̄

ChatGPT に聞いて計算してもらう方法

あなたは統計計算のアシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。

次のペアのデータについて、以下の値をそれぞれ求めてください。
x: 1, 2, 3, 4, 5
y: 2, 4, 4, 4, 6
1. x・yそれぞれの平均と、n で割る定義の分散・標準偏差
2. 共分散 s_xy（偏差の積の合計をデータの組数 n で割る定義。n−1 では割らないでください）
3. 相関係数 r
4. 回帰直線 y = ax + b の傾き a と切片 b（最小二乗法）

計算に使った式と、実行結果の数値を示してください。