計算したい内容を選び、数値を入力してください。相似比 m : n は「図形① : 図形②」の順です。
このページでできること
- 相似比 \(m : n\) を入れるだけで、面積比 \(m^2 : n^2\)・体積比 \(m^3 : n^3\) をその場で計算できます。1.5 : 2 のような小数・分数の比も、3 : 4 のような約分した整数比に直して表示します
- 相似比と一方の図形の長さ・面積・体積から、もう一方の図形の値を換算できます。答えは \(\dfrac{21}{2}\) のような約分済みの分数(厳密値)と小数の両方で表示します
- 1/25000 のような地図の縮尺にも対応:地図上の長さ → 実際の距離、実際の距離 → 地図上の長さを、cm・m・km の単位換算込みで計算できます
- 「相似比を2乗すると面積比、3乗すると体積比になる」理由を、式と図でわかりやすく解説します
- 相似比・換算の計算結果には相似な2つの図形の図が、縮尺の計算結果には換算の仕組みの模式図が表示され、比の関係を目で確かめられます
この計算は何の役に立つ?
登山でよく使われる 1/25000 の地形図では、地図上の 4 cm が実際の 1 km(4 × 25000 = 100000 cm)にあたります。ルートの長さを地図上で測って縮尺の分母を掛ければ、歩く距離の見当が付けられます。
ハザードマップで自宅から避難所までの距離を見積もるときも、同じ縮尺の計算が使われています。
1/144 のプラモデル、1/150 の鉄道模型(Nゲージ)、1/100 の建築模型などの「1/○○」は縮尺そのものです。実物の全長 15 m の車両を 1/150 の模型にすると、15 m ÷ 150 = 10 cm。模型の設計は「実物と相似な縮図・縮小した立体を作る」計算の積み重ねです。
直径 15 cm の型のレシピを直径 18 cm の型で作るとき、型の直径の比は 15 : 18 = 5 : 6 です。深さも同じ割合で深くなる相似な型なら、材料は体積比 \(5^3 : 6^3 = 125 : 216\)(約1.7倍)に増やします。深さが同じ型なら、増えるのは底の面積の分だけなので面積比 \(5^2 : 6^2 = 25 : 36\)(1.44倍)で見積もります。
「長さが少し変わると量は2乗・3乗で大きく変わる」ことを知っていると、料理の失敗を減らせます。
A4 の 2 枚分がちょうど A3 になるように、コピー用紙の規格は「1段階上のサイズ=面積が2倍」で作られています。面積比が \(1 : 2\) なので、長さの比(相似比)はその平方根の \(1 : \sqrt{2}\) です。コピー機の「141%」ボタンは \(\sqrt{2} \fallingdotseq 1.41\)、つまり A4 → A3 の拡大にあたります。
ポスターの拡大印刷で「長さ2倍にしたらインクや紙代が4倍になった」というのも面積比の話です。
体の形がほぼ相似のまま長さが2倍になると、体を支える骨の断面積(強さのもと)は \(2^2 = 4\) 倍にしかならないのに、体重(体積)は \(2^3 = 8\) 倍になります。大きな動物ほど足が太くがっしりしているのは、この「2乗3乗の法則」のためです。
建築や機械の設計で「模型ではうまくいったのに実物大では壊れる」ことがあるのも、面積と体積の増え方の違いが理由の一つです。
式と図
用語・記号の解説
記号
| \(m,\ n\) | エム・エヌ | 相似比を表す2つの数。このページでは \(m\) が図形①側、\(n\) が図形②側です。整数どうしの比で表すのが基本ですが、1.5 : 2 のような比も約分した整数比(この例では 3 : 4)に直せます。 |
| \(:\) | たい | 比を表す記号。\(2 : 3\) は「2対3」と読み、「2つの量の割合が 2 と 3 の関係にある」ことを表します。 |
| \(a,\ b\) | エー・ビー | 対応する辺の長さ。図形①の辺が \(a\)、図形②の対応する辺が \(b\) です。決まった長さを表すときはアルファベットの最初の方の文字を使う慣例があります。 |
| \(S_1,\ S_2\) | エスいち・エスに | 図形①・図形②の面積。\(S\) は面積を表すのによく使われる文字で、Square(正方形・平方)や Surface(面)の頭文字に由来するといわれます。右下の小さい数字(添え字)は「どちらの図形か」の区別です。 |
| \(V_1,\ V_2\) | ブイいち・ブイに | 立体①・立体②の体積。\(V\) は Volume(体積)の頭文字です。 |
| \(m^2\) | エムの2じょう | \(m\) を2回掛けた数(\(m^2 = m \times m\))。「2乗」または「平方」と呼びます。面積比は相似比の2乗です。 |
| \(m^3\) | エムの3じょう | \(m\) を3回掛けた数(\(m^3 = m \times m \times m\))。「3乗」または「立方」と呼びます。体積比は相似比の3乗です。 |
| \(\ell\) | エル | 地図上の長さ。length(長さ)の頭文字 l を筆記体にした文字で、数字の 1 や大文字の I と見分けやすくするために使われます。 |
| \(L\) | エル(大文字) | 実際の距離。地図上の長さ \(\ell\) と区別するために大文字で書いています。 |
| \(d\) | ディー | 縮尺の分母。縮尺 \(\dfrac{1}{25000}\) なら \(d = 25000\) です。denominator(分母)の頭文字に由来します。 |
用語
| 相似 | そうじ | 形が同じで大きさが違う2つの図形の関係。一方を拡大・縮小すると、もう一方にぴったり重なります。記号では \(\triangle ABC \backsim \triangle DEF\) のように書きます。 |
| 相似比 | そうじひ | 相似な2つの図形の、対応する辺の長さの比。どの対応する辺どうしをとっても同じ比になります。 |
| 対応する辺 | たいおうするへん | 相似(や合同)な2つの図形で、同じ位置にあたる辺どうしのこと。相似な図形では、対応する辺の長さの比がすべて等しくなります。 |
| 面積比 | めんせきひ | 2つの図形の面積の比。相似な図形では、相似比 \(m : n\) を2乗した \(m^2 : n^2\) になります。 |
| 体積比 | たいせきひ | 2つの立体の体積の比。相似な立体では、相似比 \(m : n\) を3乗した \(m^3 : n^3\) になります。 |
| 表面積 | ひょうめんせき | 立体の表面全体の面積。面積の仲間なので、相似な立体の表面積の比は面積比と同じ \(m^2 : n^2\) です。 |
| 縮尺 | しゅくしゃく | 実物をどれだけ縮めて地図・図面にしたかの割合。\(\dfrac{1}{25000}\) のような分数や「1 : 25000」のような比で表します。縮尺 \(\dfrac{1}{25000}\) の地図は、実物との相似比が \(1 : 25000\) の縮図です。 |
| 縮図 | しゅくず | 形を変えずに小さくした図。小学6年で習う内容で、中学3年の「相似」はこれを数学の言葉で整理し直したものです。 |
| 拡大図 | かくだいず | 形を変えずに大きくした図。小学6年で習う内容で、中学3年の「相似」はこれを数学の言葉で整理し直したものです。 |
| 比を簡単にする | ひをかんたんにする | できるだけ小さい整数の比に直すこと。比の両方を最大公約数で割ります(例:\(12 : 18 = 2 : 3\))。小数や分数の比は、先に両方を何倍かして整数にしてから簡単にします(例:\(1.5 : 2 = 3 : 4\))。 |
| 最大公約数 | さいだいこうやくすう | 2つ以上の整数に共通する約数(割り切れる数)のうち、最大のもの。比を簡単にするときに、比の両方をこの数で割ります。 |
| 累乗 | るいじょう | 同じ数を繰り返し掛けたもの。\(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\) のように、右上の小さい数(指数)が掛ける回数を表します。 |
前提として理解しておくといいこと
このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。
| 比と比の値(小学6年) |
|
| 拡大図と縮図(小学6年) |
|
| 累乗(中学1年) |
|
| 分数の掛け算・割り算(小学6年) |
|
| 長さの単位の換算(小学2年〜6年) |
|
| 相似な図形(中学3年) |
|
Excelで計算する方法
| 相似比の m(図形①側) | 2 |
| 相似比の n(図形②側) | 3 |
| 面積比の図形①側 m² | =B1^2 |
| 面積比の図形②側 n² | =B2^2 |
| 体積比の図形①側 m³ | =B1^3 |
| 体積比の図形②側 n³ | =B2^3 |
| 相似比の m(図形①側) | 3 |
| 相似比の n(図形②側) | 5 |
| 図形①の面積 | 18 |
| 図形②の面積(×(n/m)²) | =B3*(B2/B1)^2 |
| 縮尺の分母(1/25000 の 25000) | 25000 |
| 地図上の長さ(cm) | 4 |
| 実際の距離(cm) | =B1*B2 |
| 実際の距離(m) | =B3/100 |
| 実際の距離(km) | =B3/100000 |
| 縮尺の分母(1/50000 の 50000) | 50000 |
| 実際の距離(km) | 3 |
| 実際の距離(cm) | =B2*100000 |
| 地図上の長さ(cm) | =B3/B1 |
1つ目の表は相似比 2 : 3 の例で、面積比の 4 と 9、体積比の 8 と 27 が求められます。相似比は整数の比で入れてください(1.5 : 2 のような比は、両方を2倍した 3 : 4 のように、先に整数比に直してから入れると結果が読み取りやすくなります)。
2つ目の表は相似比 3 : 5 で図形①の面積が 18 のときの例で、図形②の面積は 50 になります。長さの換算なら「^2」を取り、体積なら「^3」に変えてください。
3つ目の表は縮尺 1/25000 の地図上 4 cm の例で、実際の距離は 100000 cm = 1000 m = 1 km になります。
4つ目の表は実際の距離 3 km を縮尺 1/50000 の地図に直す例で、地図上の長さは 6 cm になります。
Googleスプレッドシートで計算する方法
| 相似比の m(図形①側) | 2 |
| 相似比の n(図形②側) | 3 |
| 面積比の図形①側 m² | =B1^2 |
| 面積比の図形②側 n² | =B2^2 |
| 体積比の図形①側 m³ | =B1^3 |
| 体積比の図形②側 n³ | =B2^3 |
| 相似比の m(図形①側) | 3 |
| 相似比の n(図形②側) | 5 |
| 図形①の面積 | 18 |
| 図形②の面積(×(n/m)²) | =B3*(B2/B1)^2 |
| 縮尺の分母(1/25000 の 25000) | 25000 |
| 地図上の長さ(cm) | 4 |
| 実際の距離(cm) | =B1*B2 |
| 実際の距離(m) | =B3/100 |
| 実際の距離(km) | =B3/100000 |
| 縮尺の分母(1/50000 の 50000) | 50000 |
| 実際の距離(km) | 3 |
| 実際の距離(cm) | =B2*100000 |
| 地図上の長さ(cm) | =B3/B1 |
Pythonで計算する方法
from fractions import Fraction
# 相似比 m : n(図形① : 図形②)。1.5 のような小数もそのまま書ける
ratio_m = Fraction('1.5')
ratio_n = Fraction('2')
# 約分した整数比に直す(m ÷ n を約分すると 分子 : 分母 が整数比になる)
reduced = ratio_m / ratio_n
int_m, int_n = reduced.numerator, reduced.denominator
print(f"相似比: {int_m} : {int_n}")
print(f"面積比: {int_m ** 2} : {int_n ** 2}")
print(f"体積比: {int_m ** 3} : {int_n ** 3}")
# 相似比と図形①の面積から、図形②の面積を求める(面積は相似比の2乗で換算)
area_of_first = Fraction(18)
area_of_second = area_of_first * (ratio_n / ratio_m) ** 2
print(f"図形②の面積: {area_of_second} = {float(area_of_second)}")
数式記述言語(LaTeX等)での書き方(コピペ可)
b = a × n/m
b = a \times \dfrac{n}{m}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>b</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>×</mo>
<mfrac><mi>n</mi><mi>m</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
b = a xx n/m
b = a*(n/m)
b := a*n/m;
b = a*n/m;
b = a(n/m)
S₁ : S₂ = m² : n²
S_{1} : S_{2} = m^{2} : n^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>:</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>:</mo>
<msup><mi>n</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S_1 : S_2 = m^2 : n^2
S1/S2 == m^2/n^2
S1/S2 = m^2/n^2;
S1/S2 == m^2/n^2
S_1 : S_2 = m^2 : n^2
V₁ : V₂ = m³ : n³
V_{1} : V_{2} = m^{3} : n^{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>:</mo>
<msub><mi>V</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<msup><mi>m</mi><mn>3</mn></msup>
<mo>:</mo>
<msup><mi>n</mi><mn>3</mn></msup>
</mrow>
</math>
V_1 : V_2 = m^3 : n^3
V1/V2 == m^3/n^3
V1/V2 = m^3/n^3;
V1/V2 == m^3/n^3
V_1 : V_2 = m^3 : n^3
L = ℓ × d
L = \ell \times d
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>L</mi>
<mo>=</mo>
<mi>ℓ</mi>
<mo>×</mo>
<mi>d</mi>
</mrow>
</math>
L = l xx d
L = l*d
L := l*d;
L = l*d;
L = ℓ × d
ChatGPT に聞いて計算してもらう方法
あなたは数学(中学の相似)の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください(暗算や推測で答えないでください)。 相似比 1.5 : 2 の相似な図形について、次の内容をそれぞれ示してください。 1. 約分した整数比に直した相似比 2. 面積比(相似比の2乗)と体積比(相似比の3乗)——どちらも整数比で 3. 図形①の面積が 18 cm² のときの、図形②の面積 また、縮尺 1/25000 の地図で地図上の長さが 4 cm のとき、実際の距離が何 km になるかも求めてください。 Pythonでは標準ライブラリの fractions モジュールを使って厳密に計算し、計算に使った式と実行結果の数値を示してください。
計算ドリル(演習問題)
このページの式を、自分の手で計算できるようになるための演習問題です。
答えと解説は解答ページにあります。
使い方
-
1数値を入力計算したい数値を入力欄に入力します
-
2計算「計算する」ボタンを押します
-
3結果を確認計算結果がその場に表示されます。計算の考え方や式の解説も同じページで確認できます
DataChefの特徴
専門知識不要、直感的で簡単な操作
個人情報を登録することなく使用できます
「ダウンロード」押下でファイルを自動削除
クレジット表記不要
商用利用許諾の連絡も不要です
