素因数分解

素因数分解したい整数を入力してください。掛け算の形・指数の形・はしご算（すだれ算）の途中経過・約数の個数をまとめて表示します。

素因数分解する整数

2以上100兆（100,000,000,000,000）以下の整数を半角で入力してください。

計算結果

左の入力欄に整数を入れて「計算する」を押すと、ここに結果が表示されます。

このページでできること
この計算は何の役に立つ？
使い方
式
用語・記号の解説
- 記号
- 用語
前提として理解しておくといいこと
Excelで計算する方法
Googleスプレッドシートで計算する方法
Pythonで計算する方法
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
ChatGPTに聞いて計算してもらう方法
計算ドリル（演習問題）
DataChefの特徴
関連機能
NumberChef 機能一覧

このページでできること

2以上の整数を入れるだけで、素因数分解の結果が「\(2 \times 2 \times 5 \times 5\)」のような掛け算の形でその場でわかります
日本の中学で習う指数の形（\(2^{2} \times 5^{2}\)）と、はしご算（すだれ算）の途中経過も表示します
素因数分解の応用として、約数の個数もあわせて計算します
素数（それ以上分解できない数）を入れると「素数です」と判定するので、素数チェックにも使えます
式のやさしい解説・Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています

扱えるのは2以上100兆（100,000,000,000,000）以下の整数です。1は素数でも合成数でもない特別な数なので、素因数分解の対象外です。

この計算は何の役に立つ？

分数の約分――最大公約数を見つける土台（学校・日常の計算）

\(\frac{84}{126}\) のような大きい分数も、素因数分解すれば機械的に約分できます。\(84 = 2^{2} \times 3 \times 7\)、\(126 = 2 \times 3^{2} \times 7\) なので、共通部分の \(2 \times 3 \times 7 = 42\) が最大公約数。両方を42で割れば \(\frac{2}{3}\) です。
約分・通分・最小公倍数の計算はすべて素因数分解が土台で、分数を扱うすべての計算の見通しがよくなります。

ネット通販・ネットバンキングを守るRSA暗号（世の中に欠かせない仕組み）

クレジットカード番号などを守るRSA暗号は、「大きい数の素因数分解は、コンピュータでもとほうもなく時間がかかる」ことを安全性の根拠にしています。実際、232桁の数（RSA-768）の素因数分解には、数百台のコンピュータを使って約2年かかりました。
100兆（15桁）程度の数ならコンピュータは一瞬で分解できるのに、桁数が増えると難しさが爆発的に増える――その非対称性が、インターネットの安全を支えています。

歯車のかみ合わせや周期の設計（ものづくり）

歯数12の歯車と歯数18の歯車がかみ合って最初の位置関係に戻るのは、\(12 = 2^{2} \times 3\) と \(18 = 2 \times 3^{2}\) の最小公倍数である36歯分が進んだとき（小さい歯車が3回転、大きい歯車が2回転したとき）です。
素因数分解は最小公倍数を確実に求める道具として、歯車の摩耗を均等にする設計や、複数の周期が揃うタイミングの計算に使われています。

等分・グループ分けのしかたを数え上げる（イベント運営・教室）

36人の参加者を同じ人数のグループに分ける方法は何通りあるでしょうか。\(36 = 2^{2} \times 3^{2}\) から約数の個数は \((2+1) \times (2+1) = 9\) 個とわかるので、「1人×36組」から「36人×1組」まで9通りです。
班分け・タイル張り・商品の箱詰めなど、「きれいに割り切りたい」場面の選択肢を、書き出さずに数えられます。

素数ゼミ――自然界に現れた素数（生き物の不思議）

北米には、13年または17年ごとに一斉に大発生するセミ（素数ゼミ）がいます。周期が素数だと他の周期と重なりにくく、例えば13年ゼミと12年周期の天敵が同時発生するのは、最小公倍数の156年に1回しかありません。
周期が素数であることが生存に有利に働いた、という仮説が有力と考えられています。素因数分解で「重なりにくさ」を計算すると、この仕組みを自分で確かめられます。

式

素因数分解（素数だけの掛け算に分解する）

数学表記（一般的な数式）

\(n\) \(=\) \(p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

① もとの整数 \(n\) \(=\) ② 素因数（素数）\(p_1, p_2, \ldots, p_k\) の掛け算

式を日本語で読むと

① もとの整数 \(n\) は

② 素因数（素数）\(p_1, p_2, \ldots, p_k\) の掛け算の形に、掛け算の順序を除いてただ1通りに分解できる

簡単な例

100 を、小さい素数から順に割るはしご算（100 ÷ 2 = 50、50 ÷ 2 = 25、25 ÷ 5 = 5）で分解すると

もとの整数（100） \(=\) 素因数の掛け算（2 × 2 × 5 × 5）

\(100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5\)

考え方のポイント

素数（2, 3, 5, 7, 11, …）は「1とその数自身のほかに約数を持たない数」で、いわば整数の世界の「これ以上分けられない部品」です。素因数分解は、整数をこの部品にまで分解する操作で、2以上のどんな整数でも、分解の結果は掛け算の順序を除いてただ1通りに決まります（算術の基本定理）。手を動かして分解するときは、小さい素数（2 → 3 → 5 → …）から順に、割り切れなくなるまで割っていくのが確実です（試し割り法）。

指数の形（同じ素因数をまとめて書く）

数学表記（一般的な数式）

\(n\) \(=\) \(p\) \(a\) \(\times\) \(q\) \(b\) \(\times \cdots\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

⑤ もとの整数 \(n\) \(=\) ① 1つ目の素因数 \(p\) ② かけた個数 \(a\) \(\times\) ③ 2つ目の素因数 \(q\) ④ かけた個数 \(b\) \(\times \cdots\)

式を日本語で読むと

① 1つ目の素因数 \(p\) を

② かけた個数 \(a\)（指数）の分だけくり返しかけ

③ 2つ目の素因数 \(q\) を

④ かけた個数 \(b\)（指数）の分だけくり返しかけて、すべてかけ合わせると

⑤ もとの整数 \(n\) に戻る

簡単な例

100 = 2 × 2 × 5 × 5 の同じ素因数をまとめて、指数の形で書くと

もとの整数（100） \(=\) 素因数 2 2個 \(\times\) 素因数 5 2個

\(100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 = 2^{2} \times 5^{2}\)

考え方のポイント

同じ素因数が2個以上あるときは、右上に小さく「何個かけたか」（指数）を書いてまとめるのが日本の中学流の書き方です。素因数は必ず小さい順に並べます。 1個しかない素因数には指数を書きません。例えば \(360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5\) の 5 には指数を付けずそのまま書きます。

約数の個数（素因数分解の応用）

数学表記（一般的な数式）

\(d\) \(=\) \((a+1)\) \(\times\) \((b+1)\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ 約数の個数 \(d\) \(=\) ① \(p\) の指数に1を足した数 \((a+1)\) \(\times\) ② \(q\) の指数に1を足した数 \((b+1)\)

式を日本語で読むと

① 素因数 \(p\) の指数に1を足した数 \((a+1)\) と

② 素因数 \(q\) の指数に1を足した数 \((b+1)\) をかけ合わせると

③ 約数の個数 \(d\) になる

簡単な例

100 を素因数分解すると \(2^{2} \times 5^{2}\) となります。このとき100の約数の個数は

約数の個数 \(d\) \(=\) 2の指数に1を足した数（2 + 1） \(\times\) 5の指数に1を足した数（2 + 1）

\((2+1) \times (2+1) = 3 \times 3 = 9\)

考え方のポイント

実際に100の約数を書き出すと 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 の9個で、式の答えと一致します。なぜ「指数に1を足す」のか——100の約数は、素因数の 2 を「0個・1個・2個」（3通り）、5 を「0個・1個・2個」（3通り）選んでかけ合わせた数だからです。「0個選ぶ」場合も数えるので、指数より1つ多くなります。素因数が3種類以上のときも、同じように（指数 + 1）を全部かけ合わせます。

素因数分解は「整数を素数だけの掛け算に分解する」操作で、結果はただ1通りに決まります。手を動かすときは、小さい素数から順に割っていく「はしご算（すだれ算）」が一番確実です。

用語・記号の解説

記号

\(n\)	エヌ	素因数分解したいもとの整数（2以上）。（例：100）
\(p, q\)	ピー、キュー	素因数（\(n\) を割り切る素数）。小さい順に並べて書きます。（例：100の素因数は 2 と 5）
\(p^{a}\)	ピーのエー乗	素因数 \(p\) を \(a\) 回掛け合わせた値。右上の小さい \(a\) は「\(a\) 回掛ける」という意味の指数です。（例：\(2^{2} = 2 \times 2 = 4\)）
\(d\)	ディー	約数の個数。約数を意味する英語 divisor の頭文字です。（例：100なら \(d = 9\)）

用語

素数	そすう	1とその数自身のほかに約数を持たない、2以上の整数。2, 3, 5, 7, 11, 13, …と続きます。1は素数に含めません。また2は唯一の偶数の素数です。
合成数	ごうせいすう	素数ではない2以上の整数。いいかえると、2つ以上の素数の掛け算で作れる数です（例：100 = 2 × 2 × 5 × 5）。
素因数	そいんすう	ある整数を割り切る素数のこと。100の素因数は2と5です。
素因数分解	そいんすうぶんかい	整数を素数だけの掛け算の形に分解すること。分解の結果は掛け算の順序を除いてただ1通りに決まります。
約数	やくすう	その数を割り切ることができる整数。12の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12 の6個です。
指数	しすう	右上に小さく書く「何回掛けるか」の数。\(2^{3}\) は2を3回掛ける（\(2 \times 2 \times 2 = 8\)）という意味です。
算術の基本定理	さんじゅつのきほんていり	2以上のどんな整数も、素数の掛け算としてただ1通りに表せる、という定理。素因数分解の答えが1つに決まる根拠です。
はしご算（すだれ算）	はしござん・すだれざん	小さい素数で次々に割っていく筆算のやり方。左に割る素数、下に商を書き、商が素数になったら終わりです。左に並んだ素数と最後の商を全部掛けると、もとの数に戻ります。
試し割り法	ためしわりほう	2, 3, 5, …と小さい素数から順に「割り切れるか」を試していく素因数分解のやり方。\(\sqrt{n}\) まで試して割り切れなければ、残った数は素数だと判定できます。

前提として理解しておくといいこと

このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。

九九（小学2年）・割り算（小学3年）	2桁÷1桁の割り算ができ、「割り切れる・割り切れない」の区別がつくこと
偶数・奇数、約数と倍数（小学5年）	約数（その数を割り切れる数）と倍数の意味がわかること一の位が偶数なら2で割り切れる、各位の和が3の倍数なら3で割り切れる、のような見分けができると計算が速くなります
素数と素因数分解（中学1年）	素数が「1とその数自身のほかに約数を持たない、2以上の整数」だとわかること（1は素数に含めない）小さい素数から順に割っていけば、どんな整数も素数だけの掛け算に分解できること
累乗・指数（中学1年）	\(2^{3} = 2 \times 2 \times 2\) のように、右上の小さい数（指数）が「掛ける回数」を表すとわかること

Excelで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。

下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「素因数の掛け算でもとの数に戻ること」を確かめる表

素因数1	2
素因数2	2
素因数3	5
素因数4	5
もとの整数 n	=B1B2B3*B4

「指数の形からもとの数」を計算する表

素因数 p	2
pの指数 a	2
素因数 q	5
qの指数 b	2
もとの整数 n	=B1^B2*B3^B4

「約数の個数」を求める表

pの指数 a	2
qの指数 b	2
約数の個数 d	=(B1+1)*(B2+1)

Excelには素因数分解を一発で行う関数がないため、この表は「分解した結果が正しいか」を確かめる向きの計算になっています。分解そのものはこのページの計算機やPythonで行ってください。
1つ目の表は、素因数を全部掛けるともとの数に戻ることの確認です。B5に 2 × 2 × 5 × 5 = 100 と表示されます。
2つ目の表は指数の形（2² × 5²）からの計算で、「^」がべき乗（何回掛ける）の記号です。B5に100と表示されます。
3つ目の表は約数の個数で、B3に (2+1) × (2+1) = 9 と表示されます。素因数や指数の数値を自分の結果に書き換えるだけで使えます。

Googleスプレッドシートで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。

下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「素因数の掛け算でもとの数に戻ること」を確かめる表

素因数1	2
素因数2	2
素因数3	5
素因数4	5
もとの整数 n	=B1B2B3*B4

「指数の形からもとの数」を計算する表

素因数 p	2
pの指数 a	2
素因数 q	5
qの指数 b	2
もとの整数 n	=B1^B2*B3^B4

「約数の個数」を求める表

pの指数 a	2
qの指数 b	2
約数の個数 d	=(B1+1)*(B2+1)

Excelと同じ式がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、素因数や指数の数値を自分の結果に書き換えてください。

Pythonで計算する方法

number = 100  # 素因数分解したい整数（2以上）

prime_factors = []   # 素因数を小さい順に入れるリスト
remaining = number
divisor = 2
while divisor * divisor <= remaining:
    while remaining % divisor == 0:   # 割り切れる間は同じ数で割り続ける
        prime_factors.append(divisor)
        remaining //= divisor
    divisor += 1
if remaining > 1:                     # 最後に残った1より大きい数は素数
    prime_factors.append(remaining)

print(f"{number} の素因数: {prime_factors}")

標準ライブラリだけで動きます。小さい数から順に割り切れるか試していく「試し割り法」をそのままコードにしたものです。「%」は割り算の余り、「//=」は割って整数に切り捨てる記号です。先頭の number を書き換えて実行してください。100なら [2, 2, 5, 5] と表示されます。

数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）

素因数分解（素数だけの掛け算に分解する）

n = p₁ × p₂ × ⋯ × pₖ

n = p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <msub><mi>p</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mo>&#x22EF;</mo>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <msub><mi>p</mi><mi>k</mi></msub>
  </mrow>
</math>

n = p_1 xx p_2 xx cdots xx p_k

FactorInteger[n]

ifactor(n);

factor(n)

n = p_1 × p_2 × ⋯ × p_k

指数の形（同じ素因数をまとめて書く）

n = pᵃ × qᵇ × ⋯

n = p^{a} \times q^{b} \times \cdots

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>p</mi><mi>a</mi></msup>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <msup><mi>q</mi><mi>b</mi></msup>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mo>&#x22EF;</mo>
  </mrow>
</math>

n = p^a xx q^b xx cdots

p^a * q^b

n := p^a * q^b;

n = p^a * q^b;

n = p^a × q^b × ⋯

約数の個数（素因数分解の応用）

d = (a + 1) × (b + 1)

d = (a+1) \times (b+1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mo>(</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

d = (a + 1) xx (b + 1)

(a + 1)*(b + 1)

d := (a + 1)*(b + 1);

d = (a + 1)*(b + 1);

d = (a + 1) × (b + 1)

ChatGPT に聞いて計算してもらう方法

あなたは整数計算のアシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。

360 を素因数分解してください。
1. 素因数を小さい順にすべて列挙してください（同じ素因数は個数分くり返して書く）
2. 指数を使った形で書いてください（例：2^3 × 3^2 × 5 のような形）
3. 360 の約数の個数も求めてください

計算に使ったコードと、実行結果の数値を示してください。