請輸入要做質因數分解的整數。會一次顯示乘法形式、標準分解式、短除法的過程和正因數的個數。
請以半形輸入 2 以上、100 兆（100,000,000,000,000）以下的整數。
計算結果
在左邊的輸入欄填入整數，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入 2 以上的整數，馬上就能以「\(2 \times 2 \times 5 \times 5\)」這樣的乘法形式知道質因數分解的結果
- 也會顯示國中學的標準分解式（\(2^{2} \times 5^{2}\)），以及短除法的過程
- 作為質因數分解的應用，也會一起算出正因數的個數
- 輸入質數（不能再分解的數）時會判斷「是質數」，也能用來檢查是不是質數
- 淺顯易懂的公式解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面
可以計算 2 以上、100 兆（100,000,000,000,000）以下的整數。1 既不是質數也不是合數，是特別的數，所以不做質因數分解。
這個計算有什麼用？
分數的約分——找出最大公因數的基礎（學校、日常的計算）
像 \(\frac{84}{126}\) 這樣大的分數，做質因數分解就能按部就班地約分。\(84 = 2^{2} \times 3 \times 7\)、\(126 = 2 \times 3^{2} \times 7\)，共同的部分 \(2 \times 3 \times 7 = 42\) 就是最大公因數。分子分母同時除以 42，就是 \(\frac{2}{3}\)。
約分、通分、最小公倍數的計算都以質因數分解為基礎，所有用到分數的計算都會變得更清楚。
守護網路購物、網路銀行的 RSA 加密（社會不可或缺的機制）
保護信用卡號碼等資料的 RSA 加密，安全性的根據是「大數的質因數分解，連電腦都要花上極長的時間」。實際上，232 位數（RSA-768）的質因數分解，動用了數百台電腦，花了大約 2 年。
100 兆（15 位數）左右的數，電腦一瞬間就能分解，但位數一增加，難度就爆炸性地增加——這種不對稱，支撐著網路的安全。
齒輪咬合與週期的設計（製造業）
12 齒和 18 齒的齒輪咬合後回到最初的相對位置，是在轉過 \(12 = 2^{2} \times 3\) 和 \(18 = 2 \times 3^{2}\) 的最小公倍數 36 齒時（小齒輪轉 3 圈、大齒輪轉 2 圈）。
質因數分解是確實求出最小公倍數的工具，用在讓齒輪磨損平均的設計，以及計算多個週期何時一致等地方。
計算平均分組的方法有幾種（活動籌備、教室）
把 36 位參加者分成人數相同的小組，有幾種分法？由 \(36 = 2^{2} \times 3^{2}\) 可知正因數的個數是 \((2+1) \times (2+1) = 9\) 個，所以從「每組 1 人 × 36 組」到「每組 36 人 × 1 組」共 9 種。
分組、鋪磁磚、商品裝箱等「想要剛好整除」的時候，不用一一列出就能算出有幾種選擇。
質數蟬——出現在自然界的質數（生物的奧祕）
北美有每 13 年或 17 年才大量同時出現的蟬（週期蟬，又稱質數蟬）。週期是質數的話，就不容易和其他週期重疊，例如 13 年蟬和 12 年週期的天敵同時出現，要最小公倍數 156 年才會碰到 1 次。
「週期是質數有利於生存」被認為是很有力的假說。用質因數分解計算「不容易重疊的程度」，就能自己驗證這個機制。
公式
質因數分解（分解成只有質數的乘法）
數學寫法
（一般的數學式）
\(n\)
\(=\)
\(p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
原本的整數 \(n\)
\(=\)
②
質因數（質數）\(p_1, p_2, \ldots, p_k\) 的乘積
用文字讀公式
①
原本的整數 \(n\)
，不計乘法的順序，只能用唯一一種方式分解成
②
質因數（質數）\(p_1, p_2, \ldots, p_k\) 的乘積
的形式
簡單範例
用從小的質數依序往下除的短除法（100 ÷ 2 = 50、50 ÷ 2 = 25、25 ÷ 5 = 5）分解 100：
原本的整數（100）
\(=\)
質因數的乘積（2 × 2 × 5 × 5）
\(100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5\)
思考重點
質數（2, 3, 5, 7, 11,…）是「除了 1 和自己以外沒有其他因數的數」，可以說是整數世界中「不能再分的零件」。質因數分解就是把整數拆到這些零件為止，2 以上的任何整數，不計乘法的順序，分解結果都只有唯一一種（算術基本定理）。
自己動手分解時，從小的質數（2 → 3 → 5 →…）開始依序除，一直除到除不盡為止，是最可靠的方法（試除法）。也可以用台灣課本的樹狀圖，把數一層一層拆成兩個因數相乘。
標準分解式（把相同的質因數合起來寫）
數學寫法
（一般的數學式）
\(n\)
\(=\)
\(p\)
\(a\)
\(\times\)
\(q\)
\(b\)
\(\times \cdots\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑤
原本的整數 \(n\)
\(=\)
①
第 1 個質因數 \(p\)
②
相乘的個數 \(a\)
\(\times\)
③
第 2 個質因數 \(q\)
④
相乘的個數 \(b\)
\(\times \cdots\)
用文字讀公式
①
把
第 1 個質因數 \(p\)
②
連乘
相乘的個數 \(a\)（指數）
次，
③
把
第 2 個質因數 \(q\)
④
連乘
相乘的個數 \(b\)（指數）
次，全部乘起來，
⑤
就回到
原本的整數 \(n\)
簡單範例
把 100 = 2 × 2 × 5 × 5 中相同的質因數合起來，寫成標準分解式：
原本的整數（100）
\(=\)
質因數 2
2 個
\(\times\)
質因數 5
2 個
\(100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 = 2^{2} \times 5^{2}\)
思考重點
相同的質因數有 2 個以上時，在右上角小小地寫上「乘了幾個」（指數）合起來，這就是國中學的標準分解式。質因數一定要由小到大排列。
只有 1 個的質因數不寫指數。例如 \(360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5\) 的 5 不加指數，直接寫。
正因數的個數（質因數分解的應用）
數學寫法
（一般的數學式）
\(d\)
\(=\)
\((a+1)\)
\(\times\)
\((b+1)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
正因數的個數 \(d\)
\(=\)
①
\(p\) 的指數加 1 \((a+1)\)
\(\times\)
②
\(q\) 的指數加 1 \((b+1)\)
用文字讀公式
①
把
質因數 \(p\) 的指數加 1 \((a+1)\)
②
和
質因數 \(q\) 的指數加 1 \((b+1)\)
相乘，
③
就得到
正因數的個數 \(d\)
簡單範例
100 做質因數分解是 \(2^{2} \times 5^{2}\)。這時 100 的正因數個數是：
正因數的個數 \(d\)
\(=\)
2 的指數加 1（2 + 1）
\(\times\)
5 的指數加 1（2 + 1）
\((2+1) \times (2+1) = 3 \times 3 = 9\)
思考重點
實際列出 100 的正因數，是 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 共 9 個，和公式的答案一致。
為什麼要「指數加 1」？因為 100 的因數，是把質因數 2 選「0 個、1 個、2 個」（3 種）、5 選「0 個、1 個、2 個」（3 種）相乘得到的數。「選 0 個」的情況也要算進去，所以比指數多 1。質因數有 3 種以上時，也同樣把（指數 + 1）全部相乘。
質因數分解是「把整數分解成只有質數相乘」的操作，結果只有唯一一種。自己動手算時，從小的質數依序往下除的「短除法」最可靠，相同的質因數再用指數合起來寫成標準分解式。
符號與用語解說
符號
| \(n\) | n | 要做質因數分解的原本的整數（2 以上）。（例：100） |
| \(p, q\) | p、q | 質因數（能整除 \(n\) 的質數），由小到大排列。（例：100 的質因數是 2 和 5） |
| \(p^{a}\) | p 的 a 次方 | 質因數 \(p\) 連乘 \(a\) 次的值。右上的小 \(a\) 是表示「乘 \(a\) 次」的指數。（例：\(2^{2} = 2 \times 2 = 4\)） |
| \(d\) | d | 正因數的個數，取自英文 divisor（因數）的字首。（例：100 的 \(d = 9\)） |
用語
| 質數 | 除了 1 和自己以外沒有其他因數、2 以上的整數，依序是 2, 3, 5, 7, 11, 13,…。1 不是質數。另外，2 是唯一的偶數質數。 |
| 合數 | 不是質數的、2 以上的整數。換句話說，就是能用 2 個以上的質數相乘做出來的數（例：100 = 2 × 2 × 5 × 5）。 |
| 質因數 | 能整除某個整數的質數。100 的質因數是 2 和 5。 |
| 質因數分解 | 把整數分解成只有質數相乘的形式。不計乘法的順序，分解結果只有唯一一種。 |
| 因數 | 能整除某個數的整數。12 的正因數是 1, 2, 3, 4, 6, 12，共 6 個。 |
| 指數 | 寫在右上角、表示「乘幾次」的小數字。\(2^{3}\) 的意思是 2 連乘 3 次（\(2 \times 2 \times 2 = 8\)）。 |
| 標準分解式 | 把質因數分解的結果，依質因數由小到大排列，相同的質因數用指數合起來寫的形式。例：\(360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5\)。 |
| 算術基本定理 | 2 以上的任何整數，都只能用唯一一種方式表示成質數的乘積的定理。這是質因數分解的答案只有一個的根據。 |
| 短除法 | 用小的質數一個接一個往下除的直式寫法。左邊寫除數（質數），下面寫商，商變成質數就結束。把左邊的質數和最後的商全部相乘，就回到原本的數。 |
| 試除法 | 從 2, 3, 5,…小的質數開始，依序試「能不能整除」的質因數分解方法。試到 \(\sqrt{n}\) 都除不盡的話，剩下的數就可以判斷是質數。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意思」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
卡住的時候，回到這裡的內容複習是最快的方法。
| 九九乘法（國小二年級，7～8 歲）、除法（國小三年級，8～9 歲） |
|
| 偶數、奇數，因數與倍數（國小五年級，10～11 歲） |
|
| 質數與質因數分解（國小六年級，11～12 歲。國中七年級再學標準分解式） |
|
| 次方、指數（國中七年級，12～13 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
驗證「質因數相乘會回到原本的數」的表
| 質因數 1 | 2 |
| 質因數 2 | 2 |
| 質因數 3 | 5 |
| 質因數 4 | 5 |
| 原本的整數 n | =B1*B2*B3*B4 |
「由標準分解式求原本的數」的計算表
| 質因數 p | 2 |
| p 的指數 a | 2 |
| 質因數 q | 5 |
| q 的指數 b | 2 |
| 原本的整數 n | =B1^B2*B3^B4 |
「正因數的個數」的計算表
| p 的指數 a | 2 |
| q 的指數 b | 2 |
| 正因數的個數 d | =(B1+1)*(B2+1) |
Excel 沒有一次完成質因數分解的函數，所以這些表是用來驗證「分解的結果對不對」的計算。分解本身請用這個頁面的計算機或 Python 來做。
第 1 個表確認質因數全部相乘會回到原本的數，B5 會顯示 2 × 2 × 5 × 5 = 100。
第 2 個表由標準分解式（2² × 5²）計算，「^」是次方（乘幾次）的符號，B5 會顯示 100。
第 3 個表是正因數的個數，B3 會顯示 (2+1) × (2+1) = 9。只要把質因數或指數的數值改成您自己的結果就能使用。
第 1 個表確認質因數全部相乘會回到原本的數，B5 會顯示 2 × 2 × 5 × 5 = 100。
第 2 個表由標準分解式（2² × 5²）計算，「^」是次方（乘幾次）的符號，B5 會顯示 100。
第 3 個表是正因數的個數，B3 會顯示 (2+1) × (2+1) = 9。只要把質因數或指數的數值改成您自己的結果就能使用。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
驗證「質因數相乘會回到原本的數」的表
| 質因數 1 | 2 |
| 質因數 2 | 2 |
| 質因數 3 | 5 |
| 質因數 4 | 5 |
| 原本的整數 n | =B1*B2*B3*B4 |
「由標準分解式求原本的數」的計算表
| 質因數 p | 2 |
| p 的指數 a | 2 |
| 質因數 q | 5 |
| q 的指數 b | 2 |
| 原本的整數 n | =B1^B2*B3^B4 |
「正因數的個數」的計算表
| p 的指數 a | 2 |
| q 的指數 b | 2 |
| 正因數的個數 d | =(B1+1)*(B2+1) |
可以直接使用和 Excel 相同的公式。把表格整個複製，貼到 A1 儲存格，再把質因數或指數的數值改成您自己的結果。
用 Python 計算的方法
number = 100 # 要做質因數分解的整數（2 以上）
prime_factors = [] # 由小到大放入質因數的串列
remaining = number
divisor = 2
while divisor * divisor <= remaining:
while remaining % divisor == 0: # 能整除時就繼續用同一個數除
prime_factors.append(divisor)
remaining //= divisor
divisor += 1
if remaining > 1: # 最後剩下的大於 1 的數是質數
prime_factors.append(remaining)
print(f"{number} 的質因數: {prime_factors}")
只用標準函式庫就能執行。這是把從小的數依序試能不能整除的「試除法」直接寫成程式碼。「%」是除法的餘數，「//=」是相除後捨去小數取整數的符號。請改寫開頭的 number 後執行，100 會顯示 [2, 2, 5, 5]。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
質因數分解（分解成只有質數的乘法）
n = p₁ × p₂ × ⋯ × pₖ
n = p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>×</mo>
<msub><mi>p</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
<mo>×</mo>
<msub><mi>p</mi><mi>k</mi></msub>
</mrow>
</math>
n = p_1 xx p_2 xx cdots xx p_k
FactorInteger[n]
ifactor(n);
factor(n)
n = p_1 × p_2 × ⋯ × p_k
標準分解式（把相同的質因數合起來寫）
n = pᵃ × qᵇ × ⋯
n = p^{a} \times q^{b} \times \cdots
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mi>p</mi><mi>a</mi></msup>
<mo>×</mo>
<msup><mi>q</mi><mi>b</mi></msup>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
</mrow>
</math>
n = p^a xx q^b xx cdots
p^a * q^b
n := p^a * q^b;
n = p^a * q^b;
n = p^a × q^b × ⋯
正因數的個數（質因數分解的應用）
d = (a + 1) × (b + 1)
d = (a+1) \times (b+1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
d = (a + 1) xx (b + 1)
(a + 1)*(b + 1)
d := (a + 1)*(b + 1);
d = (a + 1)*(b + 1);
d = (a + 1) × (b + 1)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是整數計算的助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只以執行結果的數值作為回答的根據（不要用心算或推測回答）。 請把 360 做質因數分解。 1. 由小到大列出所有質因數（相同的質因數依個數重複寫出） 2. 寫成使用指數的標準分解式（例：2^3 × 3^2 × 5 這樣的形式） 3. 也請求出 360 的正因數個數 請列出計算用的程式碼，以及執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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亦無須事先取得商用授權
亦無須事先取得商用授權
相關功能
約分計算機（化成最簡分數）
用最大公因數同時除分子和分母，化成不能再約分的最簡分數
分數計算機（分數的加減乘除）
附計算過程，計算分數的加減乘除
分數換小數（分子 ÷ 分母，支援循環小數）
由分子和分母算出小數，也支援除不盡的分數（循環小數）
