請選擇「要求什麼」，再輸入層板的厚度、深度、跨距（支撐的間距）、材質和載重。選擇材質會填入楊氏係數和容許彎曲應力的參考值，也可以修改。反推時請指定容許撓度（mm 或 L/n）。
mm
mm
mm
kg
倍
材質參考值（選擇材質後填入，可修改）
GPa
N/mm²
結果是用「兩端支撐的均勻板子」基本公式算出的參考值。楊氏係數和強度會因產品、等級、木節和含水率而不同，也沒有考慮接合處和層板托架的強度。要放重物的層板、會有人踩上去的層板以及結構用途，請向廠商確認規格或洽詢專業設計人員。
計算結果與圖形
在左側輸入層板的厚度、深度、跨距（支撐的間距）、材質和載重，按下「計算」，這裡就會顯示最大撓度（mm）、撓度比（L/δ）、和參考標準的比較、彎曲應力（參考），以及誇張畫出下垂情形的層板圖。
這個頁面可以做什麼
- 由層板的厚度、深度、跨距（支撐的間距）、材質和載重，求出放上東西時的最大撓度（mm）和撓度比（\(L/\delta\)：跨距是撓度的幾倍）
- 只要選擇材質（柳杉、檜木、松木集成材、橡木、夾板、木心板、密集板、塑合板、玻璃、鋁、鋼），就會自動填入楊氏係數的參考值（數值可以修改）
- 載重可以選「均布的合計 kg」「每公尺 kg」「集中在中央 kg」，支撐方式可以切換「只放在層板托架上（簡支）」和「用螺絲鎖在側板、嵌入溝槽（兩端固定）」
- 可以由「撓度希望在 3 mm 以內（或跨距的 1/300 以內）」這樣的容許撓度，反推最大跨距、最大載重和需要的厚度
- 可以用係數估計長期載重下木材撓度變大的現象（潛變），也會顯示彎曲應力和材質容許彎曲應力參考值的比較（僅供參考）
這個計算機把層板視為「兩端支撐的均勻板子（梁）」，用材料力學的基本公式只求撓度。楊氏係數和容許彎曲應力是一般常引用的參考值，即使是同一種材質，也會因產品、等級、木節和含水率而有很大差異。承重能力（會不會斷）只是參考顯示，並不保證安全。要放重物的層板、可能有人踩上去的層板，以及和建築結構有關的構件，請向廠商確認規格或洽詢專業設計人員。
這個計算有什麼用？
自己做書櫃時，決定層板厚度和側板間距（木工、DIY）
「想做寬 900 mm 的書櫃，18 mm 的集成材夠不夠？」是做書櫃時常見的煩惱。假設書櫃也會放雜誌和專業書，每公尺以 30 kg（偏安全的參考）計算，深度 250 mm、厚度 18 mm、跨距 860 mm 的松木集成材，剛放上時的撓度約 1.9 mm，考慮 2 倍潛變約 3.8 mm（\(L/224\)），超過參考的 \(L/300\)，可能看得出下垂，這些都能用數字判斷。
厚度改成 25 mm，撓度會變成 \((18/25)^3 \approx 0.37\) 倍；在中間加一片隔板讓跨距減半，則會變成 16 分之 1。「換厚板」「加隔板」「縮小深度減少放的量」哪個最有效，在動手前就能比較。
確認買來的層板能不能承受想放的重量（收納、家具）
系統櫃和組合家具的層板多半是塑合板或密集板，同樣厚度下，楊氏係數只有木材的 3 分之 1 左右。在厚度 18 mm、深度 300 mm、跨距 800 mm 的塑合板層板上排滿合計 25 kg 的資料夾或雜誌，算出剛放上時約下垂 4.5 mm，長期約 9 mm，可以作為「書和碗盤這類重物要放在寬度較窄的格子」的判斷依據。
廠商有標示「耐重○kg」時，以該數值為準。這個計算請當作沒有標示耐重的層板，或自己加裝層板時的參考。
決定壁掛層板、廚房吊架的層板托架間距（居家、裝修）
用 L 型層板托架把板子裝在牆上時，托架的間距就是跨距。寬 1,200 mm 的層板用 2 支托架支撐，跨距約 1,100 mm，深度 250 mm、厚度 20 mm 的松木集成材只要放上合計 20 kg 的碗盤，剛放上時約下垂 2.3 mm，考慮 2 倍潛變約 4.5 mm（\(L/243\)）。改用 3 支托架讓跨距減半，同樣的擺法撓度就只有 16 分之 1。
托架本身的耐重，以及牆面（RC 牆、磚牆，或石膏板、矽酸鈣板的輕隔間有沒有角料）的強度都不包含在這個計算中，請另外依托架規格和牆面結構確認。
估計電視櫃、魚缸架在中央放重物時的撓度（家電、水族）
60 cm（2 尺）魚缸加上水和底砂約 70～80 kg，而且集中放在檯面中央附近。同樣的重量集中在中央時，會比平均排開多下垂 1.6 倍，所以用「集中在中央」計算比較安全。檯面是厚實木還是薄的貼皮板，結果差很多。
魚缸、電視這種「下垂傾斜就麻煩」的東西，常希望把撓度控制在 1～2 mm 以內，這時反推需要厚度的模式就很好用。不過魚缸原則上應使用專用的魚缸架（台灣地震多，也要考慮防傾倒），這個計算請只當作自製架子設計時的參考。
決定木棧板平台、戶外平台面板下的龍骨間距（戶外、DIY）
面板是放在龍骨上、「跨距＝龍骨間距」的梁。以厚度 30 mm、寬度 105 mm 的柳杉面板、龍骨間距 600 mm 為例，有 1 個人（60 kg）站上去時，體重的一部分會以集中載重作用在 1 片面板上。假設 1 片面板中央受到 30 kg，撓度約 0.8 mm；龍骨間距改成 900 mm，會變成 \((900/600)^3 \approx 3.4\) 倍，約 2.7 mm。
從數字可以看出，想讓「走起來不會軟軟的」，縮小龍骨間距最有效。有人走動的地板，除了撓度，強度和固定方式（螺絲數量）也很重要，請以施工說明或專業設計人員的確認為前提。
親身體會「撓度和跨距的 4 次方成正比」（高中物理、工程類學習）
梁的撓度公式，是大學材料力學最先學到的公式之一，可以說是把虎克定律（力和伸長量成正比）推廣到彎曲。公式中跨距以 4 次方、厚度以 3 次方作用，這種「次方影響程度不同」的感覺，是橋梁、建築、機械零件設計共通的。
用身邊的書櫃，以數字確認「側板間距加寬一成，撓度約增加五成（\(1.1^4 \approx 1.46\)）」「板子加厚一成，撓度約減少 25%（\(1 \div 1.1^3 \approx 0.75\)）」，就會明白為什麼橋梁的主梁斷面那麼高，為什麼長層板中間會有支撐。
公式與圖解
慣性矩和斷面模數（層板斷面的「抗彎程度」）
圖
數學寫法
（一般的數學式）
\(I\)
\(=\)
\(b\)
\(\times\)
\(h^{3}\)
\(\div\ 12\)
\(Z\)
\(=\)
\(b\)
\(\times\)
\(h^{2}\)
\(\div\ 6\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
慣性矩 \(I\)（mm⁴）
\(=\)
①
層板深度 \(b\)（mm）
\(\times\)
②
厚度 \(h\) 的 3 次方 \(h^3\)
\(\div\ 12\)
⑤
斷面模數 \(Z\)（mm³）
\(=\)
層板深度 \(b\)（mm）
\(\times\)
④
厚度 \(h\) 的 2 次方 \(h^2\)
\(\div\ 6\)
用文字讀公式
①
把
層板深度 \(b\)
乘上
②
厚度 \(h\) 的 3 次方 \(h^3\)
再除以 12，就是
③
慣性矩 \(I\)
（用來計算撓度）
④
同樣的深度乘上
厚度 \(h\) 的 2 次方 \(h^2\)
再除以 6，就是
⑤
斷面模數 \(Z\)
（用來計算彎曲應力）
簡單範例
深度 250 mm、厚度 18 mm 的松木集成材層板，慣性矩和斷面模數是
慣性矩 \(I\)
\(=\)
深度（250 mm）
\(\times\)
厚度（18 mm）的 3 次方
\(\div\ 12\)
斷面模數 \(Z\)
\(=\)
深度（250 mm）
\(\times\)
厚度（18 mm）的 2 次方
\(\div\ 6\)
\(I = \dfrac{250 \times 18^{3}}{12} = \dfrac{250 \times 5{,}832}{12} = 121{,}500\ (\mathrm{mm^4})\)
\(Z = \dfrac{250 \times 18^{2}}{6} = \dfrac{250 \times 324}{6} = 13{,}500\ (\mathrm{mm^3})\)
思考重點
板子彎曲時，上面會縮短，下面會伸長，正中間（中性軸）則不伸也不縮。離中性軸越遠的部分伸縮越大，也越能抵抗彎曲，所以「斷面有多少面積、離中性軸多遠」決定了抗彎的程度。把這件事整理成一個數字的，就是慣性矩 \(I\)，長方形斷面是 \(I = \dfrac{b h^3}{12}\)。
重點是厚度 \(h\) 以 3 次方發揮作用。厚度從 18 mm 增加到 25 mm，\(I\) 會變成 \(\left(\dfrac{25}{18}\right)^3 \approx 2.7\) 倍，撓度則變成 2.7 分之 1。另一方面，深度 \(b\) 只是 1 次方，深度變成 2 倍，撓度也只減為一半（而且能放的東西通常也會變 2 倍，所以實際上常常沒什麼差別）。
斷面模數 \(Z = \dfrac{b h^2}{6}\) 是求彎曲應力（作用在材料表面的力）時用的量，等於 \(I\) 除以中性軸到表面的距離 \(\dfrac{h}{2}\)（\(\dfrac{b h^3}{12} \div \dfrac{h}{2} = \dfrac{b h^2}{6}\)）。
最大撓度（平均分布在整片的載重＝均布載重）
圖
數學寫法
（一般的數學式）
\(\delta\)
\(=\)
\(\dfrac{5}{384}\)
\(\times\)
\(w\)
\(\times\)
\(L^{4}\)
\(\div\)
\(E\)
\(\div\)
\(I\)
\(\delta\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{384}\)
\(\times\)
\(w\)
\(\times\)
\(L^{4}\)
\(\div\)
\(E\)
\(\div\)
\(I\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑤
最大撓度 \(\delta\)（mm），簡支
\(=\)
\(\dfrac{5}{384}\)
\(\times\)
①
每 mm 的載重 \(w\)（N/mm）
\(\times\)
②
跨距 \(L\) 的 4 次方 \(L^4\)
\(\div\)
③
楊氏係數 \(E\)（N/mm²）
\(\div\)
④
慣性矩 \(I\)（mm⁴）
最大撓度 \(\delta\)（mm），兩端固定
\(=\)
\(\dfrac{1}{384}\)
\(\times\)
每 mm 的載重 \(w\)（N/mm）
\(\times\)
跨距 \(L\) 的 4 次方 \(L^4\)
\(\div\)
楊氏係數 \(E\)（N/mm²）
\(\div\)
慣性矩 \(I\)（mm⁴）
用文字讀公式
①
把
每 mm 的載重 \(w\)
（合計載重 \(W\) 除以跨距 \(L\) 的值。kg 要乘以 9.80665 換成 N）
②
乘上
跨距 \(L\) 的 4 次方 \(L^4\)
，簡支時再乘以 \(\dfrac{5}{384}\)（兩端固定時乘以 \(\dfrac{1}{384}\)），
③
除以
楊氏係數 \(E\)
④
再除以
慣性矩 \(I\)
，就是
⑤
最大撓度 \(\delta\)
（層板中央下垂的量）
簡單範例
把深度 250 mm、厚度 18 mm（\(I = 121{,}500\) mm⁴）的松木集成材（楊氏係數 9 GPa = 9,000 N/mm²）層板放在跨距 900 mm 的層板托架上，平均排上合計 30 kg 的書（= 294.2 N，每 mm \(294.2 \div 900 \approx 0.3269\) N/mm）時，最大撓度是
最大撓度 \(\delta\)（簡支）
\(=\)
\(\dfrac{5}{384}\)
\(\times\)
每 mm 的載重（0.3269 N/mm）
\(\times\)
跨距（900 mm）的 4 次方
\(\div\)
楊氏係數（9,000 N/mm²）
\(\div\)
慣性矩（121,500 mm⁴）
\(\delta = \dfrac{5 \times 0.3269 \times 900^{4}}{384 \times 9{,}000 \times 121{,}500} = \dfrac{5 \times 0.3269 \times 6.561 \times 10^{11}}{4.199 \times 10^{11}} \approx 2.55\ (\mathrm{mm})\)
\(\text{兩端固定時} \ \delta \approx 2.55 \times \dfrac{1}{5} \approx 0.51\ (\mathrm{mm})\)
思考重點
這是材料力學中「承受均布載重的簡支梁」最大撓度的公式，層板、地板、橋梁等「兩端支撐、承受橫向載重的構件」都可以直接使用。分子是「載重大小 × 跨距的 4 次方」，分母是「材料的硬度（楊氏係數）× 斷面的抗彎程度（慣性矩）」，把「越重、越長就越會下垂，越硬、越厚就越不會下垂」的直覺寫成了公式。
重點在於各項的影響程度不同。跨距 \(L\) 是 4 次方，跨距只要加長一成，撓度就變成 \(1.1^4 \approx 1.46\) 倍，加長兩成就變成 \(1.2^4 \approx 2.07\) 倍。反過來，厚度 \(h\) 在 \(I\) 裡以 3 次方作用，厚度增加一成，撓度就減為 \(1.1^3 \approx 1.33\) 分之 1。「層板會垂，就在中間加支撐縮短跨距，或換成更厚的板子」最有效，就是來自這個公式的 4 次方和 3 次方。
兩端固定（用螺絲鎖在側板、嵌入溝槽）時，端部不能轉動，撓度會變成簡支的 \(\dfrac{1}{5}\)。不過實際的層板不會完全固定，結果會介於簡支和兩端固定之間，想保守估計的話，用簡支計算比較穩當。
載重 \(w\) 用「每 mm 多少 N」輸入。整片層板的合計是 \(W\)（N）時，\(w = W \div L\)，這時公式可以改寫成 \(\delta = \dfrac{5 W L^3}{384 E I}\)（4 次方變成 3 次方）。用 kg 秤出的重量要乘以 \(9.80665\) 換成 N（放上 1 kg 的東西，大約會產生 9.8 N 的力）。楊氏係數常用 GPa（十億帕）表示，\(1\ \mathrm{GPa} = 1{,}000\ \mathrm{N/mm^2}\)。
最大撓度（集中在中央的載重＝集中載重）
圖
數學寫法
（一般的數學式）
\(\delta\)
\(=\)
\(P\)
\(\times\)
\(L^{3}\)
\(\div\)
\(E\)
\(\div\)
\(I\)
\(\div\ 48\)
\(\delta\)
\(=\)
\(P\)
\(\times\)
\(L^{3}\)
\(\div\)
\(E\)
\(\div\)
\(I\)
\(\div\ 192\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑤
最大撓度 \(\delta\)（mm），簡支
\(=\)
①
中央的集中載重 \(P\)（N）
\(\times\)
②
跨距 \(L\) 的 3 次方 \(L^3\)
\(\div\)
③
楊氏係數 \(E\)（N/mm²）
\(\div\)
④
慣性矩 \(I\)（mm⁴）
\(\div\ 48\)
最大撓度 \(\delta\)（mm），兩端固定
\(=\)
中央的集中載重 \(P\)（N）
\(\times\)
跨距 \(L\) 的 3 次方 \(L^3\)
\(\div\)
楊氏係數 \(E\)（N/mm²）
\(\div\)
慣性矩 \(I\)（mm⁴）
\(\div\ 192\)
用文字讀公式
①
把
中央的集中載重 \(P\)
（kg 要乘以 9.80665 換成 N）
②
乘上
跨距 \(L\) 的 3 次方 \(L^3\)
，
③
除以
楊氏係數 \(E\)
④
和
慣性矩 \(I\)
，再除以 48（簡支；兩端固定時除以 192），就是
⑤
最大撓度 \(\delta\)
（載重正下方，也就是中央下垂的量）
簡單範例
深度 300 mm、厚度 25 mm（\(I = 390{,}625\) mm⁴）的橡木層板（楊氏係數 11 GPa = 11,000 N/mm²）以跨距 800 mm 支撐，在中央放 20 kg（= 196.1 N）的東西時，最大撓度是
最大撓度 \(\delta\)（簡支）
\(=\)
集中載重（196.1 N）
\(\times\)
跨距（800 mm）的 3 次方
\(\div\)
楊氏係數（11,000 N/mm²）
\(\div\)
慣性矩（390,625 mm⁴）
\(\div\ 48\)
\(\delta = \dfrac{196.1 \times 800^{3}}{48 \times 11{,}000 \times 390{,}625} = \dfrac{196.1 \times 5.12 \times 10^{8}}{2.0625 \times 10^{11}} \approx 0.49\ (\mathrm{mm})\)
\(\text{兩端固定時} \ \delta \approx 0.49 \times \dfrac{1}{4} \approx 0.12\ (\mathrm{mm})\)
思考重點
這是「中央承受集中載重的簡支梁」最大撓度的公式。和均布載重的公式相比，跨距不是 4 次方而是 3 次方，是因為載重不是用「每 mm」而是用「合計的力」表示（均布時若用合計 \(W\) 表示，也會變成 3 次方的 \(\dfrac{5 W L^3}{384 E I}\)）。
合計重量相同時，集中在中央的撓度是平均分布時的 \(\dfrac{1/48}{5/384} = \dfrac{384}{240} = 1.6\) 倍。像電視、魚缸這種重物只放一個在層板正中央，會比排上同樣重量的書多下垂六成，記住這點就很好估計。反過來，把重物移到層板端部（靠近支撐處），撓度就會小很多。
兩端固定時係數從 48 變成 192，撓度是簡支的 \(\dfrac{1}{4}\)。請注意這和均布時的 \(\dfrac{1}{5}\) 稍有不同。
長期撓度（潛變）和撓度比 L/δ
數學寫法
（一般的數學式）
\(\delta_{\text{長期}}\)
\(=\)
\(k_c\)
\(\times\)
\(\delta_0\)
\(n\)
\(=\)
\(L\)
\(\div\)
\(\delta_{\text{長期}}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
長期撓度 \(\delta_{\text{長期}}\)（mm）
\(=\)
②
潛變係數 \(k_c\)
\(\times\)
①
剛放上時的撓度 \(\delta_0\)（mm）
⑤
撓度比的分母 \(n\)（\(L/n\) 的 \(n\)）
\(=\)
④
跨距 \(L\)（mm）
\(\div\)
長期撓度 \(\delta_{\text{長期}}\)（mm）
用文字讀公式
①
把
剛放上時的撓度 \(\delta_0\)
乘上
②
潛變係數 \(k_c\)
（木材多估計為 1.5～2 左右），就是
③
長期撓度 \(\delta_{\text{長期}}\)
。
④
把
跨距 \(L\)
除以長期撓度，就是
⑤
撓度比的分母 \(n\)
，可以讀成「撓度是跨距的 \(n\) 分之 1」（\(n\) 越大，撓度越小）
簡單範例
跨距 1,200 mm 的柳杉層板（深度 300 mm、厚度 24 mm、每公尺放 30 kg 的書），剛放上時的撓度是 3.28 mm，潛變係數取 2 時
長期撓度
\(=\)
潛變係數（2）
\(\times\)
剛放上時的撓度（3.28 mm）
撓度比的分母 \(n\)
\(=\)
跨距（1,200 mm）
\(\div\)
長期撓度（6.57 mm）
\(\delta_{\text{長期}} = 2 \times 3.28 \approx 6.57\ (\mathrm{mm})\)
\(n = 1{,}200 \div 6.57 \approx 183 \quad \Rightarrow \quad \text{撓度是跨距的 } 1/183\)
思考重點
木材和木質板材（夾板、密集板、塑合板）持續承受載重時，撓度會隨時間慢慢增加（潛變）。像書櫃這種好幾年都一直放著東西的層板，一般認為常會變成剛放上時撓度的 1.5～2 倍，在台灣這種濕度高的環境或塑合板，還可能更大。這個計算機用潛變係數 \(k_c\) 相乘來估計長期撓度（預設是 1，也就是剛放上時的值。鋼和玻璃的潛變幾乎可以忽略）。
只看撓度「幾 mm」的話，跨距越長的層板越吃虧。所以常用表示「相對於跨距有多少」的撓度比 \(L/\delta\)，實務上常引用的參考是 \(L/300\)（跨距的 300 分之 1）以下不太明顯，依用途可容許到 \(L/200\) 左右；也會同時使用「3 mm 以下」這種絕對值的參考。這些是外觀和使用感受的經驗參考，不是安全標準。這個計算機的「和實用參考標準的比較」，是用長期撓度判斷 \(L/300\)、\(L/200\) 和 3 mm。
反推（由容許撓度求最大跨距、最大載重）
數學寫法
（一般的數學式）
\(L_{\max}^{4}\)
\(=\)
\(\dfrac{384}{5}\)
\(\times\)
\(E\)
\(\times\)
\(I\)
\(\times\)
\(\delta_a\)
\(\div\)
\(w\)
\(\div\)
\(k_c\)
\(w_{\max}\)
\(=\)
\(\dfrac{384}{5}\)
\(\times\)
\(E\)
\(\times\)
\(I\)
\(\times\)
\(\delta_a\)
\(\div\)
\(k_c\)
\(\div\)
\(L^{4}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
最大跨距 \(L_{\max}\) 的 4 次方
\(=\)
\(\dfrac{384}{5}\)
\(\times\)
楊氏係數 \(E\)（N/mm²）
\(\times\)
慣性矩 \(I\)（mm⁴）
\(\times\)
①
容許撓度 \(\delta_a\)（mm）
\(\div\)
②
每 mm 的載重 \(w\)（N/mm）
\(\div\)
③
潛變係數 \(k_c\)
⑥
最大載重 \(w_{\max}\)（N/mm）
\(=\)
\(\dfrac{384}{5}\)
\(\times\)
楊氏係數 \(E\)（N/mm²）
\(\times\)
慣性矩 \(I\)（mm⁴）
\(\times\)
容許撓度 \(\delta_a\)（mm）
\(\div\)
潛變係數 \(k_c\)
\(\div\)
⑤
跨距 \(L\) 的 4 次方 \(L^4\)
用文字讀公式
①
把
容許撓度 \(\delta_a\)
乘上楊氏係數 \(E\)、慣性矩 \(I\) 和 \(\dfrac{384}{5}\)，
②
除以
每 mm 的載重 \(w\)
③
再除以
潛變係數 \(k_c\)
，就是
④
最大跨距 \(L_{\max}\) 的 4 次方
（均布載重、簡支的情形。開 4 次方根就是最大跨距 \(L_{\max}\)）
⑤
同樣的分子除以潛變係數和
跨距 \(L\) 的 4 次方 \(L^4\)
，就是
⑥
最大載重 \(w_{\max}\)
（每 mm 的 N。乘以 1,000 再除以 9.80665 就是 kg/m）
簡單範例
在深度 250 mm、厚度 18 mm（\(I = 121{,}500\) mm⁴）的松木集成材（9,000 N/mm²）層板上，每公尺排 25 kg 的書（\(25 \times 9.80665 \div 1{,}000 \approx 0.2452\) N/mm），想讓撓度在 3 mm 以內時的最大跨距（潛變係數 1），以及跨距 900 mm 時的最大載重是
最大跨距 \(L_{\max}\) 的 4 次方
\(=\)
\(\dfrac{384}{5}\)
\(\times\)
楊氏係數（9,000）
\(\times\)
慣性矩（121,500）
\(\times\)
容許撓度（3 mm）
\(\div\)
載重（0.2452 N/mm）
\(\div\)
潛變係數（1）
\(L_{\max} = \sqrt[4]{\dfrac{384 \times 9{,}000 \times 121{,}500 \times 3}{5 \times 0.2452 \times 1}} = \sqrt[4]{\dfrac{1.2597 \times 10^{12}}{1.226}} \approx \sqrt[4]{1.0275 \times 10^{12}} \approx 1{,}006\ (\mathrm{mm})\)
\(w_{\max} = \dfrac{384 \times 9{,}000 \times 121{,}500 \times 3}{5 \times 1 \times 900^{4}} = \dfrac{1.2597 \times 10^{12}}{3.2805 \times 10^{12}} = 0.384\ (\mathrm{N/mm}) \quad \Rightarrow \quad 0.384 \times 1{,}000 \div 9.80665 \approx 39.16\ (\mathrm{kg/m})\)
思考重點
只是把撓度公式 \(\delta = \dfrac{5 w L^4}{384 E I} \times k_c\) 改成以想知道的量來解而已。把「撓度要在 \(\delta_a\) 以內」這個條件寫成 \(\delta_a = \)（右邊），對 \(L\) 解就是最大跨距，對 \(w\) 解就是最大載重。想知道厚度時，先求需要的慣性矩 \(I_{\text{需要}} = \dfrac{5 w L^4 k_c}{384 E \delta_a}\)，再用把 \(I = \dfrac{b h^3}{12}\) 對 \(h\) 解出的 \(h_{\min} = \sqrt[3]{\dfrac{12 I_{\text{需要}}}{b}}\) 求出需要的厚度。
集中載重、兩端固定時，也只要替換係數（把 \(\dfrac{5}{384}\) 換成 \(\dfrac{1}{384}\)、\(\dfrac{1}{48}\)、\(\dfrac{1}{192}\)）和 \(L\) 的次方（合計載重或集中載重為 3 次方），步驟相同。這個計算機會依選擇的條件自動切換。
用 \(L/n\) 的形式（例如 \(L/300\)）指定容許撓度時，\(\delta_a\) 本身和跨距成正比，所以求最大跨距的公式會從 \(L^{4}\) 降成 \(L^{3}\)（\(L_{\max} = \sqrt[3]{\dfrac{384 E I}{5 w k_c n}}\)）。
為了偏向安全，反推的結果中，最大跨距以 1 mm 為單位無條件捨去，最大載重以 0.1 為單位無條件捨去，需要的厚度以 0.1 mm 為單位無條件進位，再用這個值重新計算撓度和應力並顯示（上面的例子是最大跨距 1,006.8 mm → 1,006 mm，最大載重 39.16 kg/m → 39.1 kg/m）。市售板材的厚度是一級一級的（台灣的木心板 5 分、6 分、8 分，系統櫃板 18 mm、25 mm 等），所以算出需要 19.4 mm 時，就要選更厚一級的 25 mm 系統櫃板或 8 分木心板。
彎曲應力（參考：材料會不會損壞的參考）
數學寫法
（一般的數學式）
\(M\)
\(=\)
\(w\)
\(\times\)
\(L^{2}\)
\(\div\ 8\)
\(\sigma\)
\(=\)
\(M\)
\(\div\)
\(Z\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
最大彎矩 \(M\)（N·mm）
\(=\)
①
每 mm 的載重 \(w\)（N/mm）
\(\times\)
②
跨距 \(L\) 的 2 次方 \(L^2\)
\(\div\ 8\)
⑤
彎曲應力 \(\sigma\)（N/mm²）
\(=\)
最大彎矩 \(M\)（N·mm）
\(\div\)
④
斷面模數 \(Z = \dfrac{b h^2}{6}\)（mm³）
用文字讀公式
①
把
每 mm 的載重 \(w\)
乘上
②
跨距 \(L\) 的 2 次方 \(L^2\)
再除以 8（均布載重、簡支的情形），就是
③
最大彎矩 \(M\)
（在層板中央最大）
④
再除以
斷面模數 \(Z\)
，就是
⑤
彎曲應力 \(\sigma\)
（作用在層板上面、下面的單位面積上的力）
簡單範例
在跨距 900 mm、深度 250 mm、厚度 18 mm（\(Z = 13{,}500\) mm³）的松木集成材層板上，排上合計 30 kg 的書（每 mm 0.3269 N/mm）時，彎曲應力是（簡支）
最大彎矩 \(M\)
\(=\)
載重（0.3269 N/mm）
\(\times\)
跨距（900 mm）的 2 次方
\(\div\ 8\)
彎曲應力 \(\sigma\)
\(=\)
彎矩（33,097 N·mm）
\(\div\)
斷面模數（13,500 mm³）
\(M = \dfrac{0.3269 \times 900^{2}}{8} = \dfrac{0.3269 \times 810{,}000}{8} \approx 33{,}097\ (\mathrm{N \cdot mm})\)
\(\sigma = \dfrac{33{,}097}{13{,}500} \approx 2.45\ (\mathrm{N/mm^2}) \quad \Rightarrow \quad \text{約為容許彎曲應力參考值 } 9\ \mathrm{N/mm^2} \text{ 的 } 27\%\)
思考重點
「下垂」和「損壞」是兩回事。撓度是外觀和使用上的問題，會不會損壞則取決於材料內部受到的力（應力）有沒有超過材料的強度。對梁來說，載重產生的彎矩 \(M\) 除以斷面模數 \(Z\) 得到的彎曲應力 \(\sigma\)，只要在材料的容許彎曲應力 \(f_b\) 以下，就是「不會損壞的參考」。
最大彎矩在均布載重、簡支時是 \(\dfrac{w L^2}{8}\)（中央），均布載重、兩端固定時是 \(\dfrac{w L^2}{12}\)（兩端），中央集中載重時簡支是 \(\dfrac{P L}{4}\)（中央），兩端固定是 \(\dfrac{P L}{8}\)（兩端）。這個計算機會依選擇的條件自動切換。
一般的書櫃中，相對於木材的容許彎曲應力（長期約 8～10 N/mm² 為參考），彎曲應力多半只有幾 N/mm²，通常是「還沒損壞，就先垂到外觀難看」。也就是說，層板的設計多半由撓度決定，所以這一頁以撓度為主。不過，在薄板上放重物、使用塑合板這類強度較低的材料、或層板托架和螺絲被拔出而支撐先壞掉時，應力就會成為問題。
這裡顯示的容許彎曲應力是「一般常引用的參考值」，實際強度會因樹種、等級、木節、含水率和產品差異而有很大變化，層板托架、層板粒、螺絲等接合處的強度也不包含在這個計算中。這個參考顯示並不保證安全。要放重物的層板、可能有人踩上去的層板，以及和建築結構有關的構件，請向廠商確認規格或洽詢專業設計人員。
層板是「兩端支撐的梁」，所以最大撓度是用 載重 × 跨距的 4 次方（集中載重為 3 次方）÷（楊氏係數 × 慣性矩）再乘上係數（\(\dfrac{5}{384}\)、\(\dfrac{1}{384}\)、\(\dfrac{1}{48}\)、\(\dfrac{1}{192}\)）求出。慣性矩是 深度 × 厚度的 3 次方 ÷ 12，所以要減少撓度，縮短跨距（以 4 次方作用）或增加厚度（以 3 次方作用）最有效。長期載重要估計潛變造成的 1.5～2 倍，並以撓度比 \(L/300\)～\(L/200\) 或 3 mm 作為實用參考。會不會損壞，是把彎曲應力 \(M/Z\) 和容許彎曲應力比較，但這只是參考值，不保證安全。
符號與用語解說
符號
| \(\delta\) | delta | 最大撓度（mm）。希臘字母 delta \(\delta\) 常用來表示位移（位置的偏移）。本頁是層板中央（兩端固定、集中載重時也是中央）下垂的量。\(\delta_0\) 是剛放上時的撓度，\(\delta_{\text{長期}}\) 是考慮潛變的長期撓度，\(\delta_a\) 是容許撓度（取自 allowable 的第一個字母）。 |
| \(w\) | 小寫 w | 每 mm 的載重（N/mm），表示均布載重的大小，取自 weight（重量）。是整片層板合計的力 \(W\) 除以跨距 \(L\) 的值。 |
| \(W\) | 大寫 W | 層板上載重的合計（N）。用 kg 秤出的重量乘以 9.80665 換成 N。每 mm 的載重是 \(w = W \div L\)。 |
| \(P\) | P | 中央的集中載重（N）。表示力的符號，常用來表示載重（load）或 point load（集中載重）。用 kg 秤出的重量乘以 9.80665 換成 N。 |
| \(L\) | L | 跨距（mm）。取自 length（長度），是支撐和支撐之間的距離。用的不是櫃子的外寬，而是兩片側板內側之間（或兩個層板托架之間）的距離。 |
| \(E\) | E | 楊氏係數（縱彈性係數）。取自 elasticity（彈性），表示材料不容易變形的程度。常用 GPa 表示，計算時以 \(1\ \mathrm{GPa} = 1{,}000\ \mathrm{N/mm^2}\) 換成 N/mm² 使用。 |
| \(I\) | I | 慣性矩（mm⁴）。取自 moment of inertia of area（斷面的慣性矩），表示斷面形狀造成的抗彎程度。長方形斷面是 \(I = \dfrac{b h^3}{12}\)。 |
| \(b\) | b | 層板的深度（mm）。相當於梁斷面的寬度（breadth），是放東西的深度方向的尺寸。 |
| \(h\) | h | 層板的厚度（mm）。相當於梁斷面的高度（height），以 3 次方影響撓度，是影響最大的尺寸。\(h_{\min}\) 是讓撓度不超過容許值所需要的厚度。 |
| \(k_c\) | k 下標 c | 潛變係數。取自 creep（潛變）的第一個字母，表示長期載重下撓度會增加為幾倍。預設是 1（剛放上時的撓度），木材和木質板材多估計為 1.5～2 左右。 |
| \(n\) | n | 撓度比 \(L/n\) 的分母。是跨距除以撓度的值，讀成「撓度是跨距的 \(n\) 分之 1」。\(L/300\) 就是 \(n = 300\)。 |
| \(M\) | M | 最大彎矩（N·mm）。取自 moment（力矩），是使板子彎曲的力的大小。均布載重、簡支時在中央為 \(\dfrac{w L^2}{8}\)。 |
| \(Z\) | Z | 斷面模數（mm³）。求彎曲應力時使用的斷面量，長方形斷面是 \(Z = \dfrac{b h^2}{6}\)。 |
| \(\sigma\) | sigma | 彎曲應力（N/mm²）。希臘字母 sigma \(\sigma\) 常作為表示應力（單位面積上的力）的符號。以 \(\sigma = M \div Z\) 求出，再和容許彎曲應力 \(f_b\) 比較。 |
| \(f_b\) | f 下標 b | 容許彎曲應力的參考值（N/mm²）。f 表示容許應力（通常用小寫 f），下標 b 是 bending（彎曲）。是材料在長期載重下被認為能安全承受的彎曲應力上限，為材料的基準強度考慮安全係數後的值。 |
| \(\mathrm{N}\) | 牛頓 | 力的單位。1 kg 的物體受到的重力約為 9.80665 N（\(1\ \mathrm{kgf} = 9.80665\ \mathrm{N}\)）。本頁把以 kg 輸入的重量在內部換成 N 計算。 |
| \(\mathrm{N/mm^2}\) | 牛頓每平方公釐 | 應力和楊氏係數的單位，表示每 1 mm² 受到多少 N 的力，\(1\ \mathrm{N/mm^2} = 1\ \mathrm{MPa}\)（百萬帕）。楊氏係數是 \(1\ \mathrm{GPa} = 1{,}000\ \mathrm{N/mm^2}\)。 |
| \(\approx\) | 約等於 | 表示「大約相等」的符號。用在把除不盡的值四捨五入成小數來寫的時候。 |
用語
| 撓度 | 板子或桿件受到橫向的力而彎曲，從原來位置往下移動的量（mm），也就是俗稱的下垂量。層板是中央下垂最多，所以本頁的「最大撓度」是指中央下垂的量。撓度大不只難看，也可能造成層板從層板托架上脫落、拉門卡住拉不動等問題。 |
| 梁 | 由兩端等處支撐，承受橫向載重而彎曲的細長構件。層板、支撐地板的龍骨、橋的主梁和建築的梁，都能當作同一種「梁」來計算，本頁的公式就是材料力學中「梁的撓度」的基本公式。 |
| 跨距 | 支撐和支撐之間的距離（mm）。層板的話，是兩片側板內側之間、或兩個層板托架之間的距離，不是層板的全長。撓度和跨距的 4 次方（集中載重為 3 次方）成正比，所以在中間加支撐讓跨距減半，撓度就會變成 16 分之 1。 |
| 均布載重 | 平均作用在整片板子上的載重。書排得滿滿的書櫃、排滿碗盤的層架，載重都接近這種情形，以每 mm 的載重 \(w\)（N/mm）表示。輸入整片層板的合計 \(W\) 時，會換算成 \(w = W \div L\) 再計算。 |
| 集中載重 | 作用在一個點上的載重。像在層板中央只放一台電視或一個魚缸的情形，同樣的重量會比均布載重多下垂 1.6 倍。把載重移到靠近支撐的地方，撓度就會小很多。 |
| 簡支 | 兩端「只是放著」支撐，端部可以自由傾斜（轉動）的支撐方式。放在層板托架或層板粒上的活動層板接近這種情形，同樣條件下會比兩端固定下垂得多。不確定時，用偏安全的這種方式計算。也稱為簡單支承。 |
| 兩端固定 | 兩端被牢牢固定、不能轉動的支撐方式。用螺絲鎖在側板或嵌入溝槽的固定層板會接近這種情形，撓度是簡支的 5 分之 1（集中載重為 4 分之 1）。不過實際的層板不會完全固定，結果會介於簡支和兩端固定之間。 |
| 楊氏係數 | 表示材料不容易變形的程度（硬度）的值，也稱楊氏模數、縱彈性係數。形狀和載重相同時，楊氏係數 2 倍的材料，撓度只有一半。一般常引用的參考值是木材 7～12 GPa、夾板 6～8 GPa、木心板約 3.5～5 GPa（依芯材而不同）、密集板 3～4 GPa、塑合板 2～3 GPa、玻璃約 70 GPa、鋁約 69 GPa、鋼約 200 GPa。木材在纖維方向和垂直方向差很多，本頁使用層板長度方向（纖維方向）的值。 |
| 慣性矩 | 表示斷面形狀抵抗彎曲能力（抗彎程度）的量，單位是 mm⁴，也稱斷面二次矩、面積慣性矩。長方形斷面是 深度 × 厚度的 3 次方 ÷ 12，厚度變 2 倍時會變成 8 倍。即使材料和用量相同，斷面越「直立」使用越大（板子立起來比平放更不容易彎，就是這個原因）。 |
| 斷面模數 | 求彎曲應力時使用的斷面量，單位是 mm³。是慣性矩除以中性軸到表面的距離（長方形為厚度的一半），長方形斷面是 深度 × 厚度的 2 次方 ÷ 6。 |
| 中性軸 | 板子彎曲時，上面會縮短、下面會伸長，中間有一個既不伸長也不縮短的面，稱為中性軸（中性面），長方形斷面就在厚度的正中間。離中性軸越遠的部分伸縮越大，抵抗彎曲的作用也越強。 |
| 彎矩 | 使板子彎曲的力的大小（N·mm）。由「力 × 到支撐的距離」決定，均布載重、簡支的層板在中央最大，為 \(\dfrac{w L^2}{8}\)。兩端固定時在兩端最大。 |
| 彎曲應力 | 彎曲時在材料表面（上面、下面）產生的單位面積上的力（N/mm²）。由彎矩 ÷ 斷面模數求得，這個值不超過材料的容許彎曲應力，就被視為「不會損壞的參考」。 |
| 容許彎曲應力 | 一般認為材料在長期載重下能安全承受的彎曲應力上限參考值（N/mm²）。是材料的基準強度除以安全係數的值，木材長期約 8～10 N/mm² 是一般常引用的數字。會因等級、木節、含水率和產品而有很大變化，本頁的值只供參考，並不保證安全。 |
| 潛變 | 持續承受一定的載重時，變形隨時間慢慢增加的現象。木材、夾板、密集板、塑合板等木質材料特別明顯，一般認為長期撓度常會變成剛放上時的 1.5～2 倍，濕度高時還會更大。鋼和玻璃在常溫下幾乎可以忽略。 |
| 撓度比 | 跨距除以撓度的值（\(L/\delta\)），表示「撓度是跨距的幾分之 1」。實務上常引用的參考是 \(L/300\)（跨距的 300 分之 1）以下不太看得出來，\(L/200\) 則依用途可能會在意。這不是安全標準，而是外觀和使用感受的經驗參考。 |
| 集成材 | 把小塊木板（集成板材）的纖維方向對齊後膠合成大片板子的材料。台灣常見的有松木、橡膠木、柚木等的集成材，可直接當層板或桌板使用。比實木不容易翹曲、品質穩定，但楊氏係數和原本的樹種差不多。 |
| MDF | 把木材纖維用樹脂壓製成板的木質板材，台灣一般稱為密集板，是 Medium Density Fiberboard（中密度纖維板）的縮寫。表面平整、容易加工，但楊氏係數不到木材的一半（3～4 GPa），比較容易下垂，潛變也偏大。同樣厚度下，會比集成材下垂得多。 |
| 塑合板 | 把木材碎片（木屑）用樹脂壓製成板的木質板材，英文是 particleboard。表面貼上美耐皿或木紋皮後就是台灣常說的系統櫃板，也常用在組合家具的層板。楊氏係數只有 2～3 GPa，強度也偏低，在撓度和承重上都比較吃虧，不適合太長的層板或很重的書。 |
| N （牛頓） |
力的單位。1 kg 的物體受到地球重力，大約會產生 9.80665 N 的力。本頁把以 kg 輸入的重量乘以 9.80665 換成 N，用力的單位計算。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意義」地使用這一頁的計算，我們整理了事先了解會更好的基礎知識。
遇到卡關時，回到這張表的內容複習是最快的方法。
| 乘方（次方）的計算（國中，12～15 歲） |
|
| 正比與反比（國中，12～15 歲） |
|
| 代數式與等式的移項（國中，12～15 歲） |
|
| 平方根與 n 次方根（國中～高中，12～18 歲） |
|
| 科學記號與大數的計算（國中～高中，12～18 歲） |
|
| 力與壓力、虎克定律（國中自然～高中物理，12～18 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「慣性矩和斷面模數」的表
| 層板深度 b（mm） | 250 |
| 層板厚度 h（mm） | 18 |
| 慣性矩 I（mm⁴） | =B1*B2^3/12 |
| 斷面模數 Z（mm³） | =B1*B2^2/6 |
求「最大撓度（均布載重、簡支）」的表
| 層板深度 b（mm） | 250 |
| 層板厚度 h（mm） | 18 |
| 跨距 L（mm） | 900 |
| 楊氏係數 E（GPa） | 9 |
| 載重合計 W（kg） | 30 |
| 潛變係數 k_c | 1 |
| 慣性矩 I（mm⁴） | =B1*B2^3/12 |
| 每 mm 的載重 w（N/mm） | =B5*9.80665/B3 |
| 最大撓度 δ（mm） | =5*B8*B3^4/(384*B4*1000*B7)*B6 |
| 撓度比 L/δ 的分母 n | =B3/B9 |
求「最大撓度（中央集中載重、簡支）」的表
| 層板深度 b（mm） | 300 |
| 層板厚度 h（mm） | 25 |
| 跨距 L（mm） | 800 |
| 楊氏係數 E（GPa） | 11 |
| 中央的集中載重 P（kg） | 20 |
| 慣性矩 I（mm⁴） | =B1*B2^3/12 |
| 最大撓度 δ（mm） | =B5*9.80665*B3^3/(48*B4*1000*B6) |
求「反推：最大跨距和最大載重（均布載重、簡支）」的表
| 層板深度 b（mm） | 250 |
| 層板厚度 h（mm） | 18 |
| 楊氏係數 E（GPa） | 9 |
| 每公尺的載重 w（kg/m） | 25 |
| 容許撓度 δa（mm） | 3 |
| 潛變係數 k_c | 1 |
| 跨距 L（mm，計算最大載重用） | 900 |
| 慣性矩 I（mm⁴） | =B1*B2^3/12 |
| 最大跨距 L_max（mm） | =(384*B3*1000*B8*B5/(5*B4*9.80665/1000*B6))^(1/4) |
| 最大載重 w_max（kg/m） | =384*B3*1000*B8*B5/(5*B6*B7^4)*1000/9.80665 |
求「彎曲應力（均布載重、簡支）」的表
| 層板深度 b（mm） | 250 |
| 層板厚度 h（mm） | 18 |
| 跨距 L（mm） | 900 |
| 載重合計 W（kg） | 30 |
| 容許彎曲應力參考值 f_b（N/mm²） | 9 |
| 斷面模數 Z（mm³） | =B1*B2^2/6 |
| 最大彎矩 M（N·mm） | =B4*9.80665/B3*B3^2/8 |
| 彎曲應力 σ（N/mm²） | =B7/B6 |
| 占容許彎曲應力的比例（%） | =B8/B5*100 |
貼上後，B 欄上方的列是輸入欄，下方的列會自動算出結果。
第 1 個表是深度 250 mm、厚度 18 mm，B3 是 121500（mm⁴），B4 是 13500（mm³）。第 2 個表是松木集成材（9 GPa）、跨距 900 mm、合計 30 kg，B9 約 2.55（mm），B10 約 352（撓度是跨距的 1/352）。改成兩端固定時，把 B9 公式中的「5*」刪掉，改成「=B8*B3^4/(384*B4*1000*B7)*B6」。
第 3 個表是橡木（11 GPa）、跨距 800 mm、中央放 20 kg，B7 約 0.49（mm）。兩端固定時把「48」改成「192」。第 4 個表是容許撓度 3 mm、每公尺 25 kg，B9 約 1006.8（mm，計算機會偏安全無條件捨去，顯示 1,006），B10 約 39.16（kg/m，計算機以 0.1 為單位無條件捨去，顯示 39.1）。第 5 個表是彎曲應力，B8 約 2.45（N/mm²），B9 約 27（%）。
「^」是次方（B2^3 是厚度的 3 次方），「*」是乘法，「/」是除法。楊氏係數以 GPa 輸入，在公式中乘以 1000 換成 N/mm²。
第 1 個表是深度 250 mm、厚度 18 mm，B3 是 121500（mm⁴），B4 是 13500（mm³）。第 2 個表是松木集成材（9 GPa）、跨距 900 mm、合計 30 kg，B9 約 2.55（mm），B10 約 352（撓度是跨距的 1/352）。改成兩端固定時，把 B9 公式中的「5*」刪掉，改成「=B8*B3^4/(384*B4*1000*B7)*B6」。
第 3 個表是橡木（11 GPa）、跨距 800 mm、中央放 20 kg，B7 約 0.49（mm）。兩端固定時把「48」改成「192」。第 4 個表是容許撓度 3 mm、每公尺 25 kg，B9 約 1006.8（mm，計算機會偏安全無條件捨去，顯示 1,006），B10 約 39.16（kg/m，計算機以 0.1 為單位無條件捨去，顯示 39.1）。第 5 個表是彎曲應力，B8 約 2.45（N/mm²），B9 約 27（%）。
「^」是次方（B2^3 是厚度的 3 次方），「*」是乘法，「/」是除法。楊氏係數以 GPa 輸入，在公式中乘以 1000 換成 N/mm²。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「慣性矩和斷面模數」的表
| 層板深度 b（mm） | 250 |
| 層板厚度 h（mm） | 18 |
| 慣性矩 I（mm⁴） | =B1*B2^3/12 |
| 斷面模數 Z（mm³） | =B1*B2^2/6 |
求「最大撓度（均布載重、簡支）」的表
| 層板深度 b（mm） | 250 |
| 層板厚度 h（mm） | 18 |
| 跨距 L（mm） | 900 |
| 楊氏係數 E（GPa） | 9 |
| 載重合計 W（kg） | 30 |
| 潛變係數 k_c | 1 |
| 慣性矩 I（mm⁴） | =B1*B2^3/12 |
| 每 mm 的載重 w（N/mm） | =B5*9.80665/B3 |
| 最大撓度 δ（mm） | =5*B8*B3^4/(384*B4*1000*B7)*B6 |
| 撓度比 L/δ 的分母 n | =B3/B9 |
求「最大撓度（中央集中載重、簡支）」的表
| 層板深度 b（mm） | 300 |
| 層板厚度 h（mm） | 25 |
| 跨距 L（mm） | 800 |
| 楊氏係數 E（GPa） | 11 |
| 中央的集中載重 P（kg） | 20 |
| 慣性矩 I（mm⁴） | =B1*B2^3/12 |
| 最大撓度 δ（mm） | =B5*9.80665*B3^3/(48*B4*1000*B6) |
求「反推：最大跨距和最大載重（均布載重、簡支）」的表
| 層板深度 b（mm） | 250 |
| 層板厚度 h（mm） | 18 |
| 楊氏係數 E（GPa） | 9 |
| 每公尺的載重 w（kg/m） | 25 |
| 容許撓度 δa（mm） | 3 |
| 潛變係數 k_c | 1 |
| 跨距 L（mm，計算最大載重用） | 900 |
| 慣性矩 I（mm⁴） | =B1*B2^3/12 |
| 最大跨距 L_max（mm） | =(384*B3*1000*B8*B5/(5*B4*9.80665/1000*B6))^(1/4) |
| 最大載重 w_max（kg/m） | =384*B3*1000*B8*B5/(5*B6*B7^4)*1000/9.80665 |
求「彎曲應力（均布載重、簡支）」的表
| 層板深度 b（mm） | 250 |
| 層板厚度 h（mm） | 18 |
| 跨距 L（mm） | 900 |
| 載重合計 W（kg） | 30 |
| 容許彎曲應力參考值 f_b（N/mm²） | 9 |
| 斷面模數 Z（mm³） | =B1*B2^2/6 |
| 最大彎矩 M（N·mm） | =B4*9.80665/B3*B3^2/8 |
| 彎曲應力 σ（N/mm²） | =B7/B6 |
| 占容許彎曲應力的比例（%） | =B8/B5*100 |
和 Excel 相同的公式（次方的「^」也一樣）可以直接使用。把表格整個複製、貼到 A1 儲存格，再把 B 欄改成自己的數值即可。
用 Python 計算的方法
# 把層板視為「兩端支撐的梁」求最大撓度（單位：mm、kg、GPa）
depth_mm = 250 # 層板深度 b（mm）
thickness_mm = 18 # 層板厚度 h（mm）
span_mm = 900 # 跨距 L（支撐的間距，mm）
young_gpa = 9 # 楊氏係數 E（GPa）。松木集成材的參考值
load_kg = 30 # 載重合計 W（kg），平均放在整片層板上
creep_factor = 1 # 潛變係數（長期載重約 1.5～2）
support = "simple" # "simple"＝只放在托架上（簡支），"fixed"＝兩端固定
allow_stress = 9 # 容許彎曲應力參考值 f_b（N/mm²）
GRAVITY = 9.80665 # 1 kgf = 9.80665 N
young = young_gpa * 1000 # GPa → N/mm²
inertia = depth_mm * thickness_mm ** 3 / 12 # 慣性矩 I（mm⁴）
section_modulus = depth_mm * thickness_mm ** 2 / 6 # 斷面模數 Z（mm³）
load_n_per_mm = load_kg * GRAVITY / span_mm # 每 mm 的載重 w（N/mm）
# 均布載重的最大撓度：簡支 5wL⁴/(384EI)、兩端固定 wL⁴/(384EI)
coef = 5 / 384 if support == "simple" else 1 / 384
deflection = coef * load_n_per_mm * span_mm ** 4 / (young * inertia)
deflection_long = deflection * creep_factor
ratio_n = span_mm / deflection_long
print(f"慣性矩 I = {inertia:,.1f} mm⁴")
print(f"最大撓度 = {deflection:.2f} mm（長期 {deflection_long:.2f} mm，撓度比 L/{ratio_n:.0f}）")
# 彎曲應力（參考）：M = wL²/8（簡支）或 wL²/12（兩端固定），σ = M/Z
moment = load_n_per_mm * span_mm ** 2 / (8 if support == "simple" else 12)
stress = moment / section_modulus
print(f"彎曲應力 = {stress:.2f} N/mm²（為容許彎曲應力參考值 {allow_stress} 的 {stress / allow_stress * 100:.1f}%，僅供參考）")
# 反推：撓度在 allow_mm 以內的最大跨距（均布，每公尺 load_kg_per_m）和最大載重
allow_mm = 3
load_kg_per_m = 25
w = load_kg_per_m * GRAVITY / 1000 # kg/m → N/mm
span_max = (384 * young * inertia * allow_mm / (5 * w * creep_factor)) ** 0.25
w_max = 384 * young * inertia * allow_mm / (5 * creep_factor * span_mm ** 4)
# 反推的結果偏向安全無條件捨去（最大跨距以 1 mm 為單位，最大載重以 0.1 為單位）
span_max_floor = int(span_max)
w_max_kg_per_m_floor = int(w_max * 1000 / GRAVITY * 10) / 10
print(f"容許撓度 {allow_mm} mm 的最大跨距 = {span_max_floor} mm（每公尺 {load_kg_per_m} kg，1 mm 以下無條件捨去）")
print(f"跨距 {span_mm} mm 時的最大載重 = {w_max_kg_per_m_floor} kg/m（0.1 以下無條件捨去）")
只用標準函式庫就能執行。把開頭的尺寸、楊氏係數和載重改成自己的數值再執行。改成中央集中載重時，把撓度那一行換成「load_kg * GRAVITY * span_mm ** 3 / (48 * young * inertia)」（兩端固定時為 192），彎矩換成「load_kg * GRAVITY * span_mm / 4」（兩端固定時為 8）。「** 3」是 3 次方，「** 0.25」是 4 次方根。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
慣性矩和斷面模數（層板斷面的「抗彎程度」）
I = b × h³ ÷ 12, Z = b × h² ÷ 6
I = \frac{b h^{3}}{12},\quad Z = \frac{b h^{2}}{6}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>I</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mrow><mi>b</mi><msup><mi>h</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mn>12</mn></mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>Z</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mrow><mi>b</mi><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mn>6</mn></mfrac>
</mrow>
</math>
I = (b h^3) / 12, Z = (b h^2) / 6
{b*h^3/12, b*h^2/6}
Iz := b*h^3/12; Z := b*h^2/6;
I = b*h^3/12; Z = b*h^2/6; % b 是深度(mm)，h 是厚度(mm)
I = b h^3/12, Z = b h^2/6
最大撓度（平均分布在整片的載重＝均布載重）
δ = 5 × w × L⁴ ÷ (384 × E × I)〔簡支〕, δ = w × L⁴ ÷ (384 × E × I)〔兩端固定〕
\delta = \frac{5 w L^{4}}{384 E I}\ \text{(simply supported)},\quad \delta = \frac{w L^{4}}{384 E I}\ \text{(fixed ends)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>δ</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mrow><mn>5</mn><mi>w</mi><msup><mi>L</mi><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mn>384</mn><mi>E</mi><mi>I</mi></mrow></mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>δ</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mrow><mi>w</mi><msup><mi>L</mi><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mn>384</mn><mi>E</mi><mi>I</mi></mrow></mfrac>
</mrow>
</math>
delta = (5 w L^4) / (384 E I), delta = (w L^4) / (384 E I)
{5*w*L^4/(384*Ey*Iz), w*L^4/(384*Ey*Iz)}
delta_simple := 5*w*L^4/(384*E*Iz); delta_fixed := w*L^4/(384*E*Iz);
delta_simple = 5*w*L^4/(384*E*I); delta_fixed = w*L^4/(384*E*I); % w 的單位是 N/mm，L 是 mm，E 是 N/mm^2，I 是 mm^4
δ = 5 w L^4/(384 E I), δ = w L^4/(384 E I)
最大撓度（集中在中央的載重＝集中載重）
δ = P × L³ ÷ (48 × E × I)〔簡支〕, δ = P × L³ ÷ (192 × E × I)〔兩端固定〕
\delta = \frac{P L^{3}}{48 E I}\ \text{(simply supported)},\quad \delta = \frac{P L^{3}}{192 E I}\ \text{(fixed ends)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>δ</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mrow><mi>P</mi><msup><mi>L</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>48</mn><mi>E</mi><mi>I</mi></mrow></mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>δ</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mrow><mi>P</mi><msup><mi>L</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>192</mn><mi>E</mi><mi>I</mi></mrow></mfrac>
</mrow>
</math>
delta = (P L^3) / (48 E I), delta = (P L^3) / (192 E I)
{P*L^3/(48*Ey*Iz), P*L^3/(192*Ey*Iz)}
delta_simple := P*L^3/(48*E*Iz); delta_fixed := P*L^3/(192*E*Iz);
delta_simple = P*L^3/(48*E*I); delta_fixed = P*L^3/(192*E*I); % P 的單位是 N，L 是 mm，E 是 N/mm^2，I 是 mm^4
δ = P L^3/(48 E I), δ = P L^3/(192 E I)
長期撓度（潛變）和撓度比 L/δ
δ_長期 = k_c × δ₀, n = L ÷ δ_長期
\delta_{\mathrm{long}} = k_c \, \delta_0,\quad n = \frac{L}{\delta_{\mathrm{long}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>δ</mi><mi>long</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>k</mi><mi>c</mi></msub><msub><mi>δ</mi><mn>0</mn></msub>
<mo>,</mo>
<mi>n</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>L</mi><msub><mi>δ</mi><mi>long</mi></msub></mfrac>
</mrow>
</math>
delta_(long) = k_c * delta_0, n = L / delta_(long)
{kc*delta0, L/(kc*delta0)}
delta_long := kc*delta0; n := L/delta_long;
delta_long = kc*delta0; n = L/delta_long; % kc 是潛變係數，delta0 是剛放上時的撓度(mm)
δ_long = k_c δ_0, n = L/δ_long
反推（由容許撓度求最大跨距、最大載重）
L_max = (384 × E × I × δ_a ÷ (5 × w × k_c))^(1/4), w_max = 384 × E × I × δ_a ÷ (5 × k_c × L⁴)
L_{\max} = \sqrt[4]{\frac{384 E I \delta_a}{5 w k_c}},\quad w_{\max} = \frac{384 E I \delta_a}{5 k_c L^{4}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>L</mi><mi>max</mi></msub><mo>=</mo>
<mroot><mfrac><mrow><mn>384</mn><mi>E</mi><mi>I</mi><msub><mi>δ</mi><mi>a</mi></msub></mrow><mrow><mn>5</mn><mi>w</mi><msub><mi>k</mi><mi>c</mi></msub></mrow></mfrac><mn>4</mn></mroot>
<mo>,</mo>
<msub><mi>w</mi><mi>max</mi></msub><mo>=</mo>
<mfrac><mrow><mn>384</mn><mi>E</mi><mi>I</mi><msub><mi>δ</mi><mi>a</mi></msub></mrow><mrow><mn>5</mn><msub><mi>k</mi><mi>c</mi></msub><msup><mi>L</mi><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac>
</mrow>
</math>
L_max = root(4)((384 E I delta_a) / (5 w k_c)), w_max = (384 E I delta_a) / (5 k_c L^4)
{(384*Ey*Iz*deltaA/(5*w*kc))^(1/4), 384*Ey*Iz*deltaA/(5*kc*L^4)}
Lmax := (384*E*Iz*deltaA/(5*w*kc))^(1/4); wmax := 384*E*Iz*deltaA/(5*kc*L^4);
Lmax = (384*E*I*deltaA/(5*w*kc))^(1/4); wmax = 384*E*I*deltaA/(5*kc*L^4); % deltaA 是容許撓度(mm)，kc 是潛變係數
L_max = (384 E I δ_a/(5 w k_c))^(1/4), w_max = 384 E I δ_a/(5 k_c L^4)
彎曲應力（參考：材料會不會損壞的參考）
M = w × L² ÷ 8, σ = M ÷ Z
M = \frac{w L^{2}}{8},\quad \sigma = \frac{M}{Z}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>M</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mrow><mi>w</mi><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mn>8</mn></mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>σ</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>M</mi><mi>Z</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
M = (w L^2) / 8, sigma = M / Z
{w*L^2/8, (w*L^2/8)/Z}
M := w*L^2/8; sigma := M/Z;
M = w*L^2/8; sigma = M/Z; % w 的單位是 N/mm，L 是 mm，Z 是 mm^3
M = w L^2/8, σ = M/Z
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是材料力學（梁的撓度）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並且只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。 把深度 250 mm、厚度 18 mm 的松木集成材層板（楊氏係數 9 GPa = 9,000 N/mm²）放在跨距 900 mm 的層板托架上（簡支），平均排上合計 30 kg 的書。1 kg = 9.80665 N。 請分別求出下列數值。 1. 慣性矩 I = b × h³ ÷ 12（mm⁴）和斷面模數 Z = b × h² ÷ 6（mm³） 2. 每 mm 的載重 w = 30 × 9.80665 ÷ 900（N/mm）、最大撓度 δ = 5 × w × L⁴ ÷ (384 × E × I)（mm）和撓度比 L/δ 3. 改成兩端固定（δ = w × L⁴ ÷ (384 × E × I)）時的最大撓度（mm） 4. 潛變係數取 2 時的長期撓度（mm），以及它是否在 L/300 以下 5. 彎曲應力 σ = (w × L² ÷ 8) ÷ Z（N/mm²），以及它占容許彎曲應力參考值 9 N/mm² 的比例（%） 6. 讓撓度在 3 mm 以內的最大跨距 L_max = (384 × E × I × 3 ÷ (5 × w))^(1/4)（mm。w 取每公尺 25 kg = 0.2452 N/mm） 請列出計算使用的公式和執行結果的數值。
使用方法
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1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
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2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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