請在底面（切口的圓）半徑 r、原本球的半徑 R、高 h 中，輸入已知的 2 個。會算出剩下的 1 個和體積。
長度請只輸入 0 以上的數值，並統一單位（不加單位，只填數字）。剩下的 1 個欄位保持空白。由底面半徑和球半徑計算時，可能會顯示 2 個答案。
計算結果與圖形
在左邊 3 個輸入欄中填入其中 2 個值，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 馬上算出用平面把球切下一塊所得到的立體「球缺」的體積。它是像圓頂、倒扣的碗那樣的形狀，圓弧曲面的部分叫做「球冠」（英文兩者都叫 spherical cap）
- 在底面（切口的圓）半徑 \(r\)、原本球的半徑 \(R\)、高 \(h\) 這 3 個值中，只要輸入已知的 2 個，剩下的 1 個也會自動算出
- 由底面半徑和球半徑計算時，依切的位置在球心上方或下方，答案可能有 2 個。這種情況也會把兩個答案一起顯示
- 計算結果的球缺也會用 3D 圖形顯示（可以拖曳旋轉，切開前的球會用淡色線條顯示）
- 公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，都整理在這個頁面
3 個值請統一用同一種單位輸入（用公分就全部用公分）。體積會是該單位的 3 次方（以公分輸入就是 cm³，以公尺輸入就是 m³）。
這個計算有什麼用？
由深度計算球形儲槽裡剩下的液體量（工業、基礎建設）
儲存石油或液化氣體的球形儲槽，裡面液體的部分剛好是球缺的形狀，所以只要量出液面的深度 \(h\)，就能用這個公式算出剩餘量。例如半徑 2 公尺的球形儲槽，液體裝到深 0.5 公尺時，剩餘量是 \(\pi \times 0.5^2 \times (3 \times 2 - 0.5) \div 3 \approx 1.44\,\mathrm{m^3}\)（約 1440 公升）。
把感測器量到的深度換算成體積，是這個公式在實務上最具代表性的用途。
估算圓碗、調理盆裡裝的量（料理）
在接近半球形的碗（半徑 6 公分）裡裝湯到深 3 公分，湯的形狀是球缺，所以量可以估算為 \(\pi \times 3^2 \times (3 \times 6 - 3) \div 3 = 45\pi \approx 141\,\mathrm{cm^3}\)（約 141 毫升）。
整碗裝滿（半球）約 452 毫升，所以計算後就會知道「深度只有一半，量卻遠比一半少（不到 3 分之 1）」。這是最貼近生活的應用，對盛裝和食譜的份量感也很有幫助。
概算圓頂屋頂、天象儀的內部空間（建築）
圓頂形的屋頂或天花板，可以看成球缺來概算。例如直徑 120 公尺（切口半徑 60 公尺）、高 40 公尺的圓頂，原本球的半徑是 \(R = (40^2 + 60^2) \div (2 \times 40) = 65\,\mathrm{m}\)，內部空間可以算出約 26 萬 m³。
這個空間的大小，是設計空調、換氣、聲音迴響時的起點（實際的圓頂不一定是精確的球缺，所以只是概算）。
測量表面上液滴的體積（印刷、塗裝、半導體技術）
像葉子上的水滴、噴墨印表機的墨滴，停在表面上的小液滴因為表面張力，會接近球缺的形狀。在研究和製造現場，會從側面拍照量出液滴切口的半徑和高，再用這個公式求出體積。
這個公式也用來評估材料的「潤濕性」（接觸角），在微觀世界也很活躍。
處理鏡片圓圓鼓起部分的形狀（光學）
眼鏡或相機鏡片圓圓鼓起的面是球面的一部分（球冠），鼓起部分的形狀正是球缺。研磨製作鏡片時要磨掉的量、材料體積的估算，一直都用到這個公式。
像隱形眼鏡這種薄薄的圓頂形設計，也是以切口半徑、球半徑、高的關係（本頁的公式 2～公式 4）為基礎。
公式與圖示
球缺的體積公式（由球半徑和高求）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(V\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(h\)
\(2\)
\(\times\)
\((\)
\(3 \times\)
\(R\)
\(-\)
\(h\)
\()\)
\(\div 3\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑥
球缺的體積 \(V\)
\(=\)
③
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
①
高 \(h\)
②
平方（同一個數連乘 2 次）
\(\times\)
\((\)
\(3 \times\)
④
球半徑 \(R\)
\(-\)
高 \(h\)
\()\)
⑤
\(\div 3\)
用文字讀公式
①
把
高 \(h\)
②
平方（同一個數連乘 2 次）
，
③
乘以
圓周率 \(\pi\)（約 3.14）
，
④
再乘以把
球半徑 \(R\)
乘以 3 後減去高 \(h\) 的「\(3R - h\)」，
⑤
最後除以 3，就得到
⑥
球缺的體積 \(V\)
。
簡單範例
把半徑 2 公分的球，切下從頂點算起高 1 公分的球缺（像倒扣的碗的形狀），體積是
球缺的體積 \(V\)
\(=\)
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
高（1 cm）
平方
\(\times\)
\((\)
\(3 \times\)
球半徑（2 cm）
\(-\)
高（1 cm）
\()\)
\(\div 3\)
\(\pi \times 1^{2} \times (3 \times 2 - 1) \div 3 = \pi \times 5 \div 3 = \dfrac{5}{3}\pi\)
\(\dfrac{5}{3}\pi \approx \dfrac{5}{3} \times 3.14 \approx 5.2\,\mathrm{cm^3}\)
思考重點
最常見的錯誤是把高 \(h\) 的「平方」誤算成「乘以 2」。
這個公式只由高 \(h\) 和球半徑 \(R\) 這 2 個值決定，不會出現底面半徑 \(r\)（因為 \(h\) 和 \(R\) 決定後，\(r\) 就自動決定了）。代入半球（\(h = R\)）會得到 \(V = \dfrac{2}{3}\pi R^3\)，剛好是球體積的一半；代入 \(h = 2R\)（整個直徑）會得到 \(\dfrac{4}{3}\pi R^3\)，和整顆球一致。
想直接由底面半徑 \(r\) 和高 \(h\) 求時，也可以用同一個公式改寫成的 \(V = \pi h (3r^2 + h^2) \div 6\)。
求球半徑 \(R\) 的公式（由底面半徑和高求）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(R\)
\(=\)
\((\)
\(h\)
\(2\)
\(+\)
\(r\)
\(2\)
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2 \times\)
\(h\)
\()\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑤
球半徑 \(R\)
\(=\)
\((\)
①
高 \(h\)
②
平方（同一個數連乘 2 次）
\(+\)
③
底面半徑 \(r\)
平方
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2 \times\)
④
高 \(h\)
\()\)
用文字讀公式
①
把
高 \(h\)
②
平方（同一個數連乘 2 次）
，
③
把
底面半徑 \(r\)
也平方，兩者相加，
④
再把這個和除以
高 \(h\)
乘以 2 的「\(2h\)」，就得到
⑤
球半徑 \(R\)
。
簡單範例
切口圓的半徑 1 公尺、高 0.5 公尺的圓頂形物體，原本球的半徑是
球半徑 \(R\)
\(=\)
\((\)
高（0.5 m）
平方
\(+\)
底面半徑（1 m）
平方
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2 \times\)
高（0.5 m）
\()\)
\(R = (0.5^{2} + 1^{2}) \div (2 \times 0.5) = 1.25 \div 1\)
\(1.25 \div 1 = 1.25\,\mathrm{m}\)
思考重點
這個公式其實就是國中八年級學的畢氏定理。把球心、切口圓的圓心、切口邊緣這 3 點連起來，會形成直角三角形，\(r^2 + (R - h)^2 = R^2\) 成立。把它對 \(R\) 解出來，就是這個公式。
「明明只剩下球的一部分（碎片），卻能知道原本球的大小」是這個公式有趣的地方，和從破碗的碎片推測原本碗的大小是同樣的想法。
求高 \(h\) 的公式（由底面半徑和球半徑求，答案有 2 個）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(h\)
\(=\)
\(R\)
\(\pm\)
\(\sqrt{R^{2} - r^{2}}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
球缺的高 \(h\)
\(=\)
①
球半徑 \(R\)
③
\(\pm\)
②
平方差 \(R^2 - r^2\) 的平方根
用文字讀公式
①
以
球半徑 \(R\)
為基準，
②
算出
平方差 \(R^2 - r^2\) 的平方根
（用球半徑 \(R\) 的平方減去底面半徑 \(r\) 的平方，再開根號），
③
考慮把它「減去」和「加上」2 種情況（符號 ± 的意思是「− 和 ＋ 兩種都有可能」），
④
就能求出
球缺的高 \(h\)
（通常有 2 個）。
簡單範例
切口圓的半徑 1 公尺、原本球的半徑 2 公尺時，球缺的高是
球缺的高 \(h\)
\(=\)
球半徑（2 m）
\(\pm\)
「2² − 1²」的平方根
\(\sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \approx 1.732\)
\(h = 2 - 1.732 = 0.268\,\mathrm{m}\)
\(h = 2 + 1.732 = 3.732\,\mathrm{m}\)
思考重點
答案有 2 個，是因為即使切口一樣大，也能做出「在球心上方切（淺碗）」和「在球心下方切（深罐）」2 種球缺。
只有剛好 \(r = R\)（切口通過球心）時，\(\sqrt{R^2 - r^2} = 0\)，答案只有 1 個（半球，\(h = R\)）。另外，\(r > R\) 是不可能的（切口不可能比球還大）。
求底面半徑 \(r\) 的公式（由球半徑和高求）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(r\)
\(=\)
\(\sqrt{2Rh - h^{2}}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
底面半徑 \(r\)
\(=\)
①
\(2Rh - h^2\) 的平方根
用文字讀公式
①
用球半徑 \(R\) 的 2 倍乘以高 \(h\)，減去高 \(h\) 的平方，算出
\(2Rh - h^2\) 的平方根
，就得到
②
底面半徑 \(r\)
。
簡單範例
原本球的半徑 2 公分、高 1 公分的球缺，切口圓的半徑是
底面半徑 \(r\)
\(=\)
「2 × 2 × 1 − 1²」的平方根
\(r = \sqrt{2 \times 2 \times 1 - 1^{2}} = \sqrt{3} \approx 1.73\,\mathrm{cm}\)
思考重點
這個公式其實也是畢氏定理，是把 \(r^2 = R^2 - (R - h)^2\) 的右邊展開整理後的形式，也可以提出公因式寫成 \(r = \sqrt{h(2R - h)}\)。
高剛好等於整個直徑（\(h = 2R\)）時，\(r = 0\)，回到沒有切口的整顆球。公式 1 的例子（半徑 2 公分、高 1 公分）中，\(r = \sqrt{3} \approx 1.73\,\mathrm{cm}\)。把 \(r = \sqrt{3}\) 和 \(R = 2\) 代入公式 3，得到 \(h = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 1\) 或 \(3\)，其中一個解正好就是原本的高 1 公分。
球缺（球冠）的體積是「V＝π × 高的平方 ×（3 × 球半徑 − 高）÷ 3」，只由高和球半徑這 2 個值決定。底面半徑、球半徑、高三者透過畢氏定理連在一起，所以只要知道其中 2 個，就能算出剩下的 1 個。
符號與用語解說
符號
| \(V\) | V | 常用來表示體積的符號，取自英文 volume（體積）的第一個字母。在本頁表示球缺的體積。 |
| \(r\) | r（小寫） | 底面（切口的圓）的半徑，也就是用平面切開球時得到的圓的半徑，取自英文 radius（半徑）的第一個字母。 |
| \(R\) | R（大寫） | 原本球的半徑，也就是切開前整顆球的半徑。為了和切口圓的半徑 \(r\)（小寫）區分，所以用大寫。 |
| \(h\) | h | 球缺的高，也就是從切口的平面到球缺最高處（頂點）的距離，取自英文 height（高）的第一個字母。 |
| \(\pi\) | pi | 圓周率，表示圓周長是直徑幾倍的常數，約 3.14159…無限延續。國小用 3.14 計算。 |
| \(\pm\) | 正負 | 一次表示「有 ＋ 和 − 兩種情況」的符號。在本頁表示高的答案可能有 2 個。 |
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | 根號 | 表示平方根（平方後等於該數的數）的符號。例如：\(\sqrt{9} = 3\)（因為 \(3^2 = 9\)）。 |
| \(\mathrm{cm^3}\) | 立方公分 | 體積的單位。每邊 1 公分的正方體，體積是 1 cm³。要和面積的 cm²（平方公分）區分清楚。 |
| \(\mathrm{L}\) | 公升 | 常用來表示水等液體多少（體積）的單位，\(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm^3}\)（也就是 1000 毫升）。 |
用語
| 球缺 | 用一個平面把球一刀切開時得到的那一塊立體，像倒扣的碗的形狀。這個計算機求的就是這個立體的體積。 |
| 球冠 | 球缺的表面中，圓圓鼓起的曲面部分的名稱。數學上和立體本身（球缺）分開使用，但日常也常把立體叫做「球冠」。英文兩者都叫 spherical cap（球的蓋子）。 |
| 半球 | 用剛好通過球心的平面切開球所得到的立體。是高＝球半徑（\(h = R\)）的特殊球缺，體積剛好是整顆球的一半。 |
| 底面 | 球缺平平的那一面，也就是切口的圓。這個圓的半徑是 \(r\)。 |
| 畢氏定理 | 直角三角形中「斜邊的平方＝另外兩邊的平方和」成立的定理（也叫勾股定理）。球缺中 \(r^2 + (R - h)^2 = R^2\) 成立，由 \(r\)、\(R\)、\(h\) 其中 2 個求剩下 1 個的公式，全都由它推導而來。 |
| 平方根 | 平方後等於該數的數。9 的平方根是 3 和 −3，但計算長度時只用正的那個（\(\sqrt{9} = 3\)）。 |
| 體積 | 用數字表示立體占有空間的大小，以「有幾個每邊 1 公分的正方體（1 cm³）」來量。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
| 圓與圓周率（國小六年級，11～12 歲） |
|
| 體積的意義與單位（國小四～五年級，9～11 歲） |
|
| 次方與指數（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 球的體積（國中～高中，12～18 歲） |
|
| 平方根（國中八年級，13～14 歲） |
|
| 畢氏定理（國中八年級，13～14 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
「由球半徑和高求體積」的表格
| 球半徑 R | 2 |
| 高 h | 1 |
| 球缺的體積 | =PI()*B2^2*(3*B1-B2)/3 |
「由底面半徑和高求球半徑」的表格
| 底面半徑 r | 1 |
| 高 h | 0.5 |
| 球半徑 R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
「由底面半徑和球半徑求高（2 個答案）」的表格
| 底面半徑 r | 1 |
| 球半徑 R | 2 |
| 高（解 1） | =B2-SQRT(B2^2-B1^2) |
| 高（解 2） | =B2+SQRT(B2^2-B1^2) |
「由球半徑和高求底面半徑」的表格
| 球半徑 R | 2 |
| 高 h | 1 |
| 底面半徑 r | =SQRT(2*B1*B2-B2^2) |
貼上後，A 欄是項目名稱，B 欄是數值。上面的列是輸入欄，最後一列的公式會用輸入欄的值自動計算。
「PI()」是圓周率 π，「SQRT()」是計算平方根的函數，「^」是次方（平方），「*」是乘法，「/」是除法的符號。
例如第 1 個表格，B3 會顯示約 5.24（半徑 2 公分、高 1 公分就是 cm³）。第 3 個表格是答案有 2 個的情況，B3 顯示約 0.268，B4 顯示約 3.732。只要把輸入欄的數值改成自己的值就能使用。
「PI()」是圓周率 π，「SQRT()」是計算平方根的函數，「^」是次方（平方），「*」是乘法，「/」是除法的符號。
例如第 1 個表格，B3 會顯示約 5.24（半徑 2 公分、高 1 公分就是 cm³）。第 3 個表格是答案有 2 個的情況，B3 顯示約 0.268，B4 顯示約 3.732。只要把輸入欄的數值改成自己的值就能使用。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
「由球半徑和高求體積」的表格
| 球半徑 R | 2 |
| 高 h | 1 |
| 球缺的體積 | =PI()*B2^2*(3*B1-B2)/3 |
「由底面半徑和高求球半徑」的表格
| 底面半徑 r | 1 |
| 高 h | 0.5 |
| 球半徑 R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
「由底面半徑和球半徑求高（2 個答案）」的表格
| 底面半徑 r | 1 |
| 球半徑 R | 2 |
| 高（解 1） | =B2-SQRT(B2^2-B1^2) |
| 高（解 2） | =B2+SQRT(B2^2-B1^2) |
「由球半徑和高求底面半徑」的表格
| 球半徑 R | 2 |
| 高 h | 1 |
| 底面半徑 r | =SQRT(2*B1*B2-B2^2) |
和 Excel 相同的公式（包括 PI()、SQRT() 函數）可以直接使用。把表格整個複製後貼到 A1 儲存格，再把輸入欄的數值改成自己的值即可。
用 Python 計算的方法
import math
ball_radius = 2 # 球半徑 R（這個例子用公分）
height = 1 # 球缺的高 h
volume = math.pi * height ** 2 * (3 * ball_radius - height) / 3 # 球缺的體積（輸入單位的 3 次方）
base_radius = math.sqrt(2 * ball_radius * height - height ** 2) # 底面（切口的圓）的半徑 r
print(f"球缺的體積：{volume} cm3")
print(f"底面半徑：{base_radius} cm")
只用標準函式庫就能執行。「math.pi」是圓周率 π，「math.sqrt」是平方根，「**」是次方（平方），「*」是乘法，「/」是除法的符號。請改寫開頭的球半徑和高再執行（這是以公分輸入的例子）。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
球缺的體積公式（由球半徑和高求）
V = πh²(3R − h)/3
V = \dfrac{1}{3}\pi h^{2}(3R - h)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>(</mo>
<mn>3</mn><mi>R</mi>
<mo>−</mo>
<mi>h</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
V = (1/3) pi h^2 (3R - h)
Pi*h^2*(3*R - h)/3
V := Pi*h^2*(3*R - h)/3;
V = pi*h^2*(3*R - h)/3;
V = (1/3)πh^2(3R - h)
求球半徑 \(R\) 的公式（由底面半徑和高求）
R = (h² + r²)/(2h)
R = \dfrac{h^{2} + r^{2}}{2h}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
<mrow><mn>2</mn><mi>h</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
R = (h^2 + r^2)/(2h)
(h^2 + r^2)/(2*h)
R := (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2h)
求高 \(h\) 的公式（由底面半徑和球半徑求，答案有 2 個）
h = R ± √(R² − r²)
h = R \pm \sqrt{R^{2} - r^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>h</mi>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi>
<mo>±</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
h = R +- sqrt(R^2 - r^2)
Solve[r^2 + (R - h)^2 == R^2, h]
solve(r^2 + (R - h)^2 = R^2, h);
h = [R - sqrt(R^2 - r^2), R + sqrt(R^2 - r^2)];
h = R ± √(R^2 - r^2)
求底面半徑 \(r\) 的公式（由球半徑和高求）
r = √(2Rh − h²)
r = \sqrt{2Rh - h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mn>2</mn><mi>R</mi><mi>h</mi>
<mo>−</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
r = sqrt(2Rh - h^2)
Sqrt[2*R*h - h^2]
r := sqrt(2*R*h - h^2);
r = sqrt(2*R*h - h^2);
r = √(2Rh - h^2)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。 有一個立體（球缺），是用平面從半徑 2 公分的球切下、從頂點算起高 1 公分的部分。 請分別求出下面的值。 1. 這個球缺的體積是多少 cm³（V = π × h² × (3R − h) ÷ 3） 2. 切口的圓（底面）的半徑是多少公分（r = √(2Rh − h²)） 請列出計算用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
球體積計算機（V＝4/3 × π × 半徑的 3 次方）
計算切開之前整顆球的體積
畢氏定理計算機（由直角三角形的兩邊求第三邊）
計算球缺的 r、R、h 關係式所根據的直角三角形定理
