請選擇正比或反比，再輸入圖形通過的一點的坐標。輸入想知道 y 值的 x，也會計算該 x 對應的 y 值。
數值請以半形輸入，可以使用小數、負數和 3/4 這樣的分數。通過的點請輸入 x 坐標、y 坐標都不是 0 的點（坐標為 0 的點為什麼無法決定式子，計算時會顯示訊息說明）。
計算結果與圖表
在左邊的輸入欄輸入通過點的坐標，按下「計算」，結果和圖形就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入通過的一點的坐標，就能立即求出正比的式子 \(y = ax\)、反比的式子 \(y = \dfrac{a}{x}\) 和比例常數 \(a\)
- 比例常數依國中七年級學的方法，以「\(y\) 除以 \(x\) 的值」（反比是「\(x\) 乘以 \(y\) 的值」）附計算過程求出。答案以 \(-\dfrac{2}{3}\) 這種約分好的分數（精確值）顯示
- 也能計算指定的 \(x\) 對應的 \(y\) 值（可省略）
- 也會顯示 \(x = -6\)～\(6\) 的對應表和圖形（正比＝通過原點的直線、反比＝雙曲線）
- 坐標除了小數、負數，也可以輸入 3/4 這樣的分數
正比指 \(y = ax\)，反比指 \(y = \dfrac{a}{x}\)（兩者都是 \(a \neq 0\)）形式的函數。兩種計算都能在這個頁面完成。
這個計算有什麼用？
估算購物金額（個數和金額成正比）
一顆 NT$30 的蘋果買 \(x\) 顆時，金額可以表示成 \(y = 30x\)。單價就是比例常數，個數變成 2 倍，金額也會變成 2 倍。「買 8 顆要多少錢？」這種心算估計，就是正比的式子本身。
秤重販售（每 100 公克多少元）、加油（每公升多少元）也是同樣的原理，沒有大量購買折扣時，金額和個數、數量成正比。
移動距離與油量、時間的計算（距離成正比）
以固定速率行駛的車，移動距離和時間成正比（時速 60 公里就是 \(y = 60x\)）。另外，油耗每公升 20 公里的車，用 \(x\) 公升汽油能跑的距離是 \(y = 20x\)，可以用來估計「剩下 30 公升還能跑幾公里」。
雖然前提是速率和油耗可以視為固定的估算，但這是規劃旅行、開車出遊時最常用的正比計算。
速率和所需時間的關係（距離固定時成反比）
前往 120 公里外的目的地時，所需時間是 \(y = \dfrac{120}{x}\)（\(x\) 是時速）。速率變成 2 倍，所需時間就變成一半，是反比的典型例子。
「速率 × 時間＝距離（固定）」這種乘積固定的關係，就是反比的特徵。可以用來比較火車和公車的所需時間，或規劃配速。
分配工作（人數和每人的量成反比）
600 張傳單由 \(x\) 人平分發送，每人的張數是 \(y = \dfrac{600}{x}\) 張。人數變成 2 倍，每個人的負擔就變成一半。
把總量固定的工作平均分配的場合（活動準備、分配資料輸入等），這個反比的計算可以當作人力規劃的參考。
彈簧的伸長和重量（自然科的虎克定律是正比）
彈簧的伸長量和懸掛的砝碼重量成正比（虎克定律，國中自然科會學到）。掛 20 公克伸長 4 公分的彈簧，伸長量是 \(y = 0.2x\)（\(x\) 是公克數），比例常數表示彈簧有多容易伸長。
彈簧秤（用彈簧的伸長來量重量的工具）就是利用這個性質。不過，彈簧拉得太長而無法恢復原狀的範圍內不成立，這是有條件的定律。
公式與圖形
正比的式子 \(y = ax\)
圖形
數學寫法
（一般的數學式）
\(y\)
\(=\)
\(a\)
\(x\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(y\) 的值
\(=\)
①
比例常數 \(a\)
②
\(x\) 的值
用文字讀公式
①
比例常數 \(a\)
乘以
②
\(x\) 的值
，就是
③
\(y\) 的值
。
簡單範例
一顆 NT$30 的蘋果買 \(x\) 顆時，金額 \(y\) 元是（比例常數 \(a = 30\)）
金額 \(y\) 元
\(=\)
一顆的價格 30 元
個數 \(x\) 顆
\(y = 30x\)
\(y = 30 \times 5 = 150\ \ (x = 5)\)
思考重點
正比的重點是「\(x\) 變成 2 倍、3 倍……時，\(y\) 也變成 2 倍、3 倍……」。蘋果的個數變成 2 倍，金額也會變成 2 倍。
圖形一定是通過原點 \((0,\ 0)\) 的直線（買 0 顆就是 0 元）。比例常數 \(a\) 為正時是往右上升，為負時是往右下降的直線。
\(y = ax\) 是省略了「\(a \times x\)」乘號的寫法，把值代入 \(x\) 就能決定 \(y\)。
比例常數的求法（\(a = y \div x\)）
數學寫法
（一般的數學式）
\(a\)
\(=\)
\(y\)
\(\div\)
\(x\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
比例常數 \(a\)
\(=\)
①
\(y\) 的值
\(\div\)
②
\(x\) 的值
用文字讀公式
①
\(y\) 的值
除以
②
\(x\) 的值
，就是
③
比例常數 \(a\)
。
簡單範例
通過點 \((2,\ 6)\) 的正比的比例常數是
比例常數 \(a\)
\(=\)
\(y\) 的值 6
\(\div\)
\(x\) 的值 2
\(a = 6 \div 2 = 3\)
\(y = 3x\)
思考重點
正比的圖形上，不管選哪一點，「\(y \div x\)」的值都一樣。這個固定的值就是比例常數 \(a\)。
所以只要知道圖形通過的一點，把那一點的 \(y\) 坐標除以 \(x\) 坐標，式子就決定了。
除不盡時，數學上習慣像 \(a = -4 \div 6 = -\dfrac{2}{3}\) 這樣以約分後的分數表示（這個計算機也以分數顯示）。
反比的式子 \(y = \dfrac{a}{x}\)
圖形
數學寫法
（一般的數學式）
\(y\)
\(=\)
\(a\)
\(\div\)
\(x\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(y\) 的值
\(=\)
①
比例常數 \(a\)
\(\div\)
②
\(x\) 的值
用文字讀公式
①
比例常數 \(a\)
除以
②
\(x\) 的值
，就是
③
\(y\) 的值
。
簡單範例
面積為 12 的長方形，橫的長度 \(x\) 和直的長度 \(y\) 的關係是（比例常數 \(a = 12\)）
直的長度 \(y\)
\(=\)
面積 12
\(\div\)
橫的長度 \(x\)
\(y = \dfrac{12}{x}\)
\(y = \dfrac{12}{4} = 3\ \ (x = 4)\)
思考重點
反比的重點是「\(x\) 變成 2 倍、3 倍……時，\(y\) 變成 \(\dfrac{1}{2}\) 倍、\(\dfrac{1}{3}\) 倍……」。面積 12 的長方形，橫的長度變成 2 倍，直的長度就變成一半。
除法 \(a \div x\) 可以用分數寫成 \(\dfrac{a}{x}\)，所以反比的式子通常寫成 \(y = \dfrac{a}{x}\)。
圖形是稱為雙曲線的一組平滑的兩條曲線。\(x = 0\) 時會變成除以 0，所以沒有 \(y\) 的值，圖形也不會穿過 \(y\) 軸。
反比的比例常數的求法（\(a = x \times y\)）
數學寫法
（一般的數學式）
\(a\)
\(=\)
\(x\)
\(\times\)
\(y\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
比例常數 \(a\)
\(=\)
①
\(x\) 的值
\(\times\)
②
\(y\) 的值
用文字讀公式
①
\(x\) 的值
乘以
②
\(y\) 的值
，就是
③
比例常數 \(a\)
。
簡單範例
通過點 \((2,\ 6)\) 的反比的比例常數是
比例常數 \(a\)
\(=\)
\(x\) 的值 2
\(\times\)
\(y\) 的值 6
\(a = 2 \times 6 = 12\)
\(y = \dfrac{12}{x}\)
思考重點
把反比 \(y = \dfrac{a}{x}\) 的兩邊同乘以 \(x\)，得到 \(x \times y = a\)，出現「\(x\) 和 \(y\) 的乘積永遠固定」這個反比的性質。
所以只要知道圖形通過的一點，把 \(x\) 坐標和 \(y\) 坐標相乘，就能決定比例常數。
比例常數 \(a\) 為正時，以原點和圖形上的點為對角頂點的長方形面積（\(x \times y\)），不管哪一點都等於比例常數 \(a\)（上方「圖形」中的長方形就是這個面積。\(a\) 為負時，\(x \times y\) 的值也固定為 \(a\)）。
正比是 \(y = ax\)（比例常數 \(a = y \div x\)），反比是 \(y = \dfrac{a}{x}\)（比例常數 \(a = x \times y\)）。兩者都只要知道圖形通過的一點，就能決定式子。正比的圖形是通過原點的直線，反比的圖形是雙曲線。
符號與用語解說
符號
| \(x,\ y\) | x、y | 表示一起變化的兩個量（變數）的文字。「可以是各種值、還沒決定的數」習慣用字母表後面的字母 \(x,\ y,\ z\) 表示（據說來自數學家笛卡兒的用法）。 |
| \(a\) | a | 表示比例常數的文字。「固定的數（常數）」習慣用字母表前面的字母 \(a,\ b,\ c\) 表示。不管是正比 \(y = ax\) 還是反比 \(y = \dfrac{a}{x}\)，只要 \(a\) 決定了，整個式子就決定了。 |
| \((2,\ 6)\) | 2，6（坐標） | 表示點的位置的坐標寫法。括號內左邊是 \(x\) 坐標，右邊是 \(y\) 坐標。「通過點 \((2,\ 6)\)」的意思是「\(x = 2\) 時 \(y = 6\)」。 |
| \(\div\)、\(\times\) | 除以、乘以 | 除法、乘法的符號。比例常數在正比中用 \(y \div x\)，在反比中用 \(x \times y\) 求出。代數式中會省略乘號，寫成 \(ax\)（意思是 \(a \times x\)）。 |
| \(\neq\) | 不等於 | 表示「不相等」的符號，是在等號上畫一條斜線的形狀。正比、反比定義中的「\(a \neq 0\)」，意思是「\(a\) 是 0 以外的數」。 |
用語
| 正比 | \(x\) 變成 2 倍、3 倍……時，\(y\) 也變成 2 倍、3 倍……的關係，也叫正比例。式子是 \(y = ax\)（\(a \neq 0\)），圖形是通過原點的直線。台灣在國小六年級入門，國中七年級學式子和圖形。 |
| 反比 | \(x\) 變成 2 倍、3 倍……時，\(y\) 變成 \(\dfrac{1}{2}\) 倍、\(\dfrac{1}{3}\) 倍……的關係，也叫反比例。式子是 \(y = \dfrac{a}{x}\)（\(a \neq 0\)），\(x \times y\) 的值永遠固定。圖形是雙曲線。 |
| 比例常數 | 正比 \(y = ax\)、反比 \(y = \dfrac{a}{x}\) 中的 \(a\)。是決定式子形狀的「固定的數」，正比的 \(y \div x\)、反比的 \(x \times y\)，不管在哪一點都是這個值。 |
| 函數 | 放入一個數，就會依固定的規則得到唯一一個數的對應關係。正比和反比都是決定 \(x\) 的值後 \(y\) 的值就唯一決定，所以都是函數。 |
| 變數 | 可以是各種值的文字。正比、反比中的 \(x\) 和 \(y\) 是變數，和比例常數 \(a\) 這種「固定的數（常數）」有所區別。 |
| 坐標 | 用 \((x,\ y)\) 這組數表示點的位置。橫向位置是 \(x\) 坐標，縱向位置是 \(y\) 坐標。圖形就是把符合式子的 \((x,\ y)\) 的點全部集合起來的圖。 |
| 原點 | 坐標平面的中心 \((0,\ 0)\)。英文叫 origin，符號 \(O\) 就是它的字首。正比的圖形一定通過原點。 |
| 雙曲線 | 反比的圖形中出現的一組平滑的兩條曲線。會無限接近 \(x\) 軸、\(y\) 軸，但永遠不會相交。 |
| 對應表 | 把 \(x\) 的值和對應的 \(y\) 的值排成一組組的表。課本用它來確認正比、反比的性質（變成 2 倍、3 倍……時怎麼變）。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意思」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
卡住的時候，回到這裡的內容複習是最快的方法。
| 正負數（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 代數式（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 坐標（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 分數的計算（國小五年級～國中七年級，10～13 歲） |
|
| 一起變化的兩個量（國小六年級，11～12 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「正比的式子 y = ax」的表
| 通過點的 x 坐標 | 2 |
| 通過點的 y 坐標 | 6 |
| 比例常數 a = y ÷ x | =B2/B1 |
| 想知道 y 值的 x | 5 |
| y 的值 = a × x | =B3*B4 |
求「反比的式子 y = a/x」的表
| 通過點的 x 坐標 | 2 |
| 通過點的 y 坐標 | 6 |
| 比例常數 a = x × y | =B1*B2 |
| 想知道 y 值的 x | 8 |
| y 的值 = a ÷ x | =B3/B4 |
製作「正比的對應表」的表
| 比例常數 a | 3 | ||||||
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y = ax | =B2*$B$1 | =C2*$B$1 | =D2*$B$1 | =E2*$B$1 | =F2*$B$1 | =G2*$B$1 | =H2*$B$1 |
製作「反比的對應表」的表
| 比例常數 a | 12 | |||||||
| x | -4 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y = a/x | =$B$1/B2 | =$B$1/C2 | =$B$1/D2 | =$B$1/E2 | =$B$1/F2 | =$B$1/G2 | =$B$1/H2 | =$B$1/I2 |
貼上後，上面幾列（點的坐標等）是輸入欄，下面幾列會自動算出結果。「*」是乘法，「/」是除法的符號。
第 1 個表是通過點 (2, 6) 的正比的例子，比例常數 a 是 3，x = 5 時的 y 是 15。
第 2 個表是通過同一點 (2, 6) 的反比的例子，a 是 12，x = 8 時的 y 是 1.5（= 3/2）。
第 3、第 4 個表是製作和課本一樣的「x 一列、y 一列的對應表」的表。像 $B$1 這樣加上 $，把公式往右複製時，對比例常數儲存格的參照也不會跑掉。反比的表沒有 x = 0，是因為不能除以 0（反比在 x = 0 時沒有定義）。
第 1 個表是通過點 (2, 6) 的正比的例子，比例常數 a 是 3，x = 5 時的 y 是 15。
第 2 個表是通過同一點 (2, 6) 的反比的例子，a 是 12，x = 8 時的 y 是 1.5（= 3/2）。
第 3、第 4 個表是製作和課本一樣的「x 一列、y 一列的對應表」的表。像 $B$1 這樣加上 $，把公式往右複製時，對比例常數儲存格的參照也不會跑掉。反比的表沒有 x = 0，是因為不能除以 0（反比在 x = 0 時沒有定義）。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「正比的式子 y = ax」的表
| 通過點的 x 坐標 | 2 |
| 通過點的 y 坐標 | 6 |
| 比例常數 a = y ÷ x | =B2/B1 |
| 想知道 y 值的 x | 5 |
| y 的值 = a × x | =B3*B4 |
求「反比的式子 y = a/x」的表
| 通過點的 x 坐標 | 2 |
| 通過點的 y 坐標 | 6 |
| 比例常數 a = x × y | =B1*B2 |
| 想知道 y 值的 x | 8 |
| y 的值 = a ÷ x | =B3/B4 |
製作「正比的對應表」的表
| 比例常數 a | 3 | ||||||
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y = ax | =B2*$B$1 | =C2*$B$1 | =D2*$B$1 | =E2*$B$1 | =F2*$B$1 | =G2*$B$1 | =H2*$B$1 |
製作「反比的對應表」的表
| 比例常數 a | 12 | |||||||
| x | -4 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y = a/x | =$B$1/B2 | =$B$1/C2 | =$B$1/D2 | =$B$1/E2 | =$B$1/F2 | =$B$1/G2 | =$B$1/H2 | =$B$1/I2 |
可以直接使用和 Excel 相同的公式。把表格整個複製，貼到 A1 儲存格，再把點的坐標或比例常數改成您自己的數值。
用 Python 計算的方法
from fractions import Fraction
# 圖形通過的點 (x1, y1)（3/4 這樣的分數可以寫成 Fraction(3, 4)）
x1 = Fraction(2)
y1 = Fraction(6)
# 正比 y = ax：比例常數是「y 除以 x 的值」
constant_direct = y1 / x1
print(f"比例常數 a = {constant_direct} → 式子 y = {constant_direct}x")
# 反比 y = a/x：比例常數是「x 乘以 y 的值」
constant_inverse = x1 * y1
print(f"比例常數 a = {constant_inverse} → 式子 y = {constant_inverse}/x")
# 指定的 x 對應的 y 值
x_value = Fraction(8)
print(f"正比: x = {x_value} 時 y = {constant_direct * x_value}")
print(f"反比: x = {x_value} 時 y = {constant_inverse / x_value}")
使用標準函式庫的 fractions 模組，可以用沒有小數捨入誤差的精確分數來計算。這個例子是通過點 (2, 6) 的正比和反比，執行後會顯示比例常數分別是 3 和 12，x = 8 時的 y 分別是 24 和 3/2。請改寫點的坐標和 x 的值後執行。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
正比的式子 \(y = ax\)
y = ax
y = ax
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mi>x</mi>
</mrow>
</math>
y = a x
y == a x
y := a*x;
y = a*x;
y = ax
比例常數的求法（\(a = y \div x\)）
a = y ÷ x
a = \frac{y}{x}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mi>y</mi>
<mi>x</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
a = y/x
a == y/x
a := y/x;
a = y/x;
a = y/x
反比的式子 \(y = \dfrac{a}{x}\)
y = a/x
y = \frac{a}{x}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mi>a</mi>
<mi>x</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
y = a/x
y == a/x
y := a/x;
y = a/x;
y = a/x
反比的比例常數的求法（\(a = x \times y\)）
a = x × y
a = xy
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>=</mo>
<mi>x</mi>
<mi>y</mi>
</mrow>
</math>
a = x y
a == x y
a := x*y;
a = x*y;
a = xy
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學（正比與反比）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只以執行結果的數值作為回答的根據（不要用心算或推測回答）。 y 和 x 成正比，圖形通過點 (2, 6)。 1. 比例常數 a（y 除以 x 的值），以及用 x 表示 y 的式子 2. x = 5 時 y 的值 另外，若 y 和 x 成反比，且圖形通過同一點 (2, 6)， 3. 比例常數 a（x 乘以 y 的值），以及用 x 表示 y 的式子 4. x = 8 時 y 的值（同時以約分好的分數和小數表示） 請在 Python 中使用標準函式庫的 fractions 模組精確計算，並列出計算用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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亦無須事先取得商用授權
相關功能
一次函數計算機（由兩點或斜率與一點求 y=ax+b｜變化率與交點）
由兩點坐標或斜率與一點，附變化率的計算過程和圖形，求出一次函數 y=ax+b
比例計算機（解比例式、比的放大與縮小）
用「內項乘積＝外項乘積」計算「3:4＝600:□ 的□是多少？」這種比例式的未知數
斜率計算機（直線的斜率、距離、角度）
由兩點坐標計算直線的斜率、距離、斜角和直線方程式
