內分點與外分點計算機（也能算中點、三角形重心）

請選擇要求的點的種類和維度，再輸入兩點 A、B 的坐標和比 m:n。下方的數學式和輸入欄是連動的，直接改寫式中的坐標或比也能計算。

要求的點

維度

點 A 的 x 坐標 x₁

點 A 的 y 坐標 y₁

點 A 的 z 坐標 z₁

點 B 的 x 坐標 x₂

點 B 的 y 坐標 y₂

點 B 的 z 坐標 z₂

點 C 的 x 坐標 x₃

點 C 的 y 坐標 y₃

點 C 的 z 坐標 z₃

比的前項 m（A 到分點）

比的後項 n（分點到 B）

請用半形輸入數字。可以使用小數、負數和 3/4 這樣的分數。坐標空白時當作 0，比空白時當作 1。比 m:n 的順序是「從 A 算起是 m，從那裡到 B 是 n」。

計算結果與圖形

在左邊的輸入欄填入兩點的坐標和比，按下「計算」，結果和圖示就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖示
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
DataChef 的特色
相關功能
NumberChef 計算機一覽

這個頁面可以做什麼

只要輸入兩點 \(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\) 的坐標和比 \(m:n\)，就能當場算出把線段 \(\mathrm{AB}\) 分成 \(m:n\) 的點（內分點、外分點）的坐標
中點（\(1:1\) 的內分點）和三角形的重心（三個頂點坐標的平均）也能在同一頁計算
數線（一維）、坐標平面（二維）、空間（三維）都能使用
答案會同時以 \(\dfrac{13}{2}\) 這樣約分後的分數（精確值）和小數顯示，也能看到把數值代入公式的計算過程
可以從圖上確認求出的點在線段的哪裡（在內側，或在哪一側的外面）。坐標和比除了小數、負數，也能輸入像 3/4 這樣的分數
內分點公式中 \(m\) 和 \(n\) 看起來「交叉」對調的原因解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面

比 \(m:n\) 請依「從 \(\mathrm{A}\) 算起是 \(m\)，從那裡到 \(\mathrm{B}\) 是 \(n\)」的順序輸入。順序對調會變成另一個點。

這個計算有什麼用？

在動畫、遊戲中讓物體在兩點間平順移動（電腦繪圖、影像）

把角色或鏡頭從 A 點移動到 B 點時，電腦每一格畫面都會計算「把線段 AB 分成 \(t : \left(1-t\right)\) 的內分點」（\(t\) 是 \(0\) 到 \(1\) 之間的數）來決定位置。這叫做線性內插（lerp），是電腦繪圖最基本的計算。
讓 t 從 0 慢慢增加到 1，物體就會以固定速度從 A 移到 B；改變 t 增加的快慢，就能做出慢慢起步、慢慢停下的自然動作。顏色漸層、圖片縮放、兩張臉的變形，也都是對顏色或坐標套用相同的內分點計算。

天平與蹺蹺板的平衡（物理、重心）

在長 1 m 的棒子（棒子本身的重量可以忽略）兩端掛上 1 kg 和 2 kg 的砝碼，支點要放在哪裡才會平衡？這正是內分點的計算。答案是距離 1 kg 那一端 \(\dfrac{2}{3}\) m 的位置：重心是以重量為權重的平均，會往重的那一端靠近。寫成式子，位置 \(x_1\) 有質量 \(m_1\)、位置 \(x_2\) 有質量 \(m_2\) 時，重心是 \(\dfrac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}\)，和內分點公式的形式相同。
這裡因為質量本身就是權重，看起來不像「較輕那一端的坐標乘上較重的質量」。而處理長度比的內分點，權重是「另一側那一段的長度」。三角形、板子、汽車和飛機的重心，也都是用同樣的想法求出來的。

用人數加權合併平均分數（統計、加權平均）

40 人的班級平均 60 分、20 人的班級平均 90 分時，兩班合起來的平均不是 75 分，而是 \(\dfrac{40 \times 60 + 20 \times 90}{40 + 20} = 70\) 分。把 60 和 90 看成數線上的兩點 \(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\)，答案就是把線段 \(\mathrm{AB}\) 分成 \(20:40\) 的內分點，也就是人數比 \(40:20\) 對調後的比。答案會往人數較多的 60 那一側靠近，因為另一側的人數就是權重。這和本頁的「交叉」對調完全相同。
物價指數、打擊率、問卷的綜合評分、投資的平均成本等，合併不同規模群體的平均，全都是這種形式。這能避免「直接相加除以 2」、讓人數少的群體影響過大的錯誤。

在測量、土木中決定兩點之間打樁的位置（營建）

道路或整地工程會根據測量出的兩點坐標，計算「兩點之間指定比例的位置」並打樁。把 100 m 的區間 4 等分的位置（25 m、50 m、75 m），就是比為 1:3、1:1、3:1 的內分點。
用含高度的三維坐標，同一個公式也能求出斜坡途中的點。即使是從兩端開挖、必須在正中間準確會合的隧道，也是靠許多這樣的坐標計算確保施工精確。

在地圖 App 找出「途中的地點」或「在中間會合的地點」（地理資訊）

把兩地的緯度、經度看成坐標，用中點公式就能求出「大約正中間的地點」。建議會合地點的功能，以及把長距離路線等距分段、查看沿途海拔和天氣時，都會用到。
範圍很大時，需要考慮地球是球面的計算；但在同一個城市內，把坐標當成平面用內分點計算，實際上幾乎沒有差別。

公式與圖示

內分點（把線段分成 \(m:n\) 的內分點）

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(x\) \(=\) \((\) \(n\) \(\times\) \(x_1\) \(+\) \(m\) \(\times\) \(x_2\) \()\) \(\div\) \(m+n\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

⑥ 內分點 \(\mathrm{P}\) 的 \(x\) 坐標 \(=\) \((\) ① 分點到 \(\mathrm{B}\) 的比 \(n\) \(\times\) ② 點 \(\mathrm{A}\) 的 \(x\) 坐標 \(x_1\) \(+\) ③ \(\mathrm{A}\) 到分點的比 \(m\) \(\times\) ④ 點 \(\mathrm{B}\) 的 \(x\) 坐標 \(x_2\) \()\) \(\div\) ⑤ 比的和 \(m+n\)

用文字讀公式

① 設把線段 \(\mathrm{AB}\) 分成 \(m:n\) 的內分點為 \(\mathrm{P}\)。把分點到 \(\mathrm{B}\) 的比 \(n\) 乘以

② 點 \(\mathrm{A}\) 的 \(x\) 坐標 \(x_1\) ，再把

③ \(\mathrm{A}\) 到分點的比 \(m\) 乘以

④ 點 \(\mathrm{B}\) 的 \(x\) 坐標 \(x_2\) ，兩者相加後除以

⑤ 比的和 \(m+n\) ，就得到

⑥ 內分點 \(\mathrm{P}\) 的 \(x\) 坐標（\(y\) 坐標、\(z\) 坐標也用完全相同形式的式子求出）

簡單範例

把 \(\mathrm{A}(1,\ 2)\)、\(\mathrm{B}(7,\ 5)\) 分成 \(2:1\) 的內分點 \(\mathrm{P}\)，其 \(x\) 坐標是

內分點 \(\mathrm{P}\) 的 \(x\) 坐標 \(=\) \((\) \(\mathrm{B}\) 側的比（1） \(\times\) 點 \(\mathrm{A}\) 的 \(x\) 坐標（1） \(+\) \(\mathrm{A}\) 側的比（2） \(\times\) 點 \(\mathrm{B}\) 的 \(x\) 坐標（7） \()\) \(\div\) 比的和（3）

\(x = \dfrac{1 \times 1 + 2 \times 7}{2 + 1} = \dfrac{15}{3} = 5\)

\(y = \dfrac{1 \times 2 + 2 \times 5}{2 + 1} = \dfrac{12}{3} = 4 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{P}(5,\ 4)\)

思考重點

明明是分成 \(m:n\)，為什麼 \(m\) 乘的是 \(x_2\)（點 B 的坐標），\(n\) 乘的是 \(x_1\)（點 A 的坐標）？這個「交叉」對調，正是分點公式不好記的最大原因。只要照著道理推一遍，就會知道對調是很自然的結果。點 \(\mathrm{P}\) 位在從 \(\mathrm{A}\) 往 \(\mathrm{B}\) 走全長的 \(\dfrac{m}{m+n}\) 處。\(\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n\) 表示把整條線段 \(\mathrm{AB}\) 等分成 \(m + n\) 份，其中 \(m\) 份在 \(\mathrm{A}\) 這一側。所以從 \(\mathrm{A}\) 的坐標出發，前進 \(\mathrm{A}\) 到 \(\mathrm{B}\) 的變化量 \(x_2 - x_1\) 的 \(\dfrac{m}{m+n}\)。整理後得到 \(x = x_1 + \dfrac{m}{m+n}\left(x_2 - x_1\right) = \dfrac{\left(m+n\right)x_1 + m x_2 - m x_1}{m+n} = \dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n}\) \(x_1\) 這一邊就只剩下 \(n\)。用意義來記的話，就是「對面那一側的數是權重」。\(\mathrm{P}\) 靠近 \(\mathrm{A}\) 時，\(\mathrm{A}\) 側的 \(m\) 小、\(\mathrm{B}\) 側的 \(n\) 大。答案應該接近 \(\mathrm{A}\) 的坐標，所以讓較大的數（\(n\)）去乘 \(x_1\) 是很自然的。這和天平的支點會往重的那一側靠近是相同的關係。另外，把 \(m:n\) 和 \(n:m\) 弄反，會變成完全不同的點。比一律依「從 \(\mathrm{A}\) 算起是 \(m\)，從那裡到 \(\mathrm{B}\) 是 \(n\)」的順序寫，就比較不會出錯。

外分點（把線段外分成 \(m:n\) 的點）

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(x\) \(=\) \((\) \(-n\) \(\times\) \(x_1\) \(+\) \(m\) \(\times\) \(x_2\) \()\) \(\div\) \(m-n\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

⑥ 外分點 \(\mathrm{Q}\) 的 \(x\) 坐標 \(=\) \((\) ① 把分點到 \(\mathrm{B}\) 的比變號的 \(-n\) \(\times\) ② 點 \(\mathrm{A}\) 的 \(x\) 坐標 \(x_1\) \(+\) ③ \(\mathrm{A}\) 到分點的比 \(m\) \(\times\) ④ 點 \(\mathrm{B}\) 的 \(x\) 坐標 \(x_2\) \()\) \(\div\) ⑤ 比的差 \(m-n\)

用文字讀公式

① 設把線段 \(\mathrm{AB}\) 外分成 \(m:n\) 的點為 \(\mathrm{Q}\)。把把比 \(n\) 變號的 \(-n\) 乘以

② 點 \(\mathrm{A}\) 的 \(x\) 坐標 \(x_1\) ，再把

③ \(\mathrm{A}\) 到分點的比 \(m\) 乘以

④ 點 \(\mathrm{B}\) 的 \(x\) 坐標 \(x_2\) ，兩者相加後除以

⑤ 比的差 \(m-n\) ，就得到

⑥ 外分點 \(\mathrm{Q}\) 的 \(x\) 坐標（\(m\) 和 \(n\) 相等時差為 \(0\)，外分點不存在）

簡單範例

把 \(\mathrm{A}(1,\ 2)\)、\(\mathrm{B}(7,\ 5)\) 外分成 \(3:1\) 的點 \(\mathrm{Q}\)，其 \(x\) 坐標是

外分點 \(\mathrm{Q}\) 的 \(x\) 坐標 \(=\) \((\) 變號後 \(\mathrm{B}\) 側的比（−1） \(\times\) 點 \(\mathrm{A}\) 的 \(x\) 坐標（1） \(+\) \(\mathrm{A}\) 側的比（3） \(\times\) 點 \(\mathrm{B}\) 的 \(x\) 坐標（7） \()\) \(\div\) 比的差（2）

\(x = \dfrac{-1 \times 1 + 3 \times 7}{3 - 1} = \dfrac{20}{2} = 10\)

\(y = \dfrac{-1 \times 2 + 3 \times 5}{3 - 1} = \dfrac{13}{2} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{Q}\left(10,\ \dfrac{13}{2}\right)\)

思考重點

外分點 \(\mathrm{Q}\) 雖然在線段 \(\mathrm{AB}\) 的外側，卻滿足 \(\mathrm{AQ} : \mathrm{QB} = m : n\)。可以把內分點想成「在線段內分割」，外分點想成「在線段的延長線上分割」。公式看起來就是把內分點公式的 \(n\) 換成 \(-n\)。為什麼可以加負號？關鍵是除了長度，也要考慮方向。內分時，從 \(\mathrm{A}\) 到 \(\mathrm{P}\) 和從 \(\mathrm{P}\) 到 \(\mathrm{B}\) 是同一個方向；外分時，從 \(\mathrm{A}\) 到 \(\mathrm{Q}\) 和從 \(\mathrm{Q}\) 到 \(\mathrm{B}\) 一定是相反的方向（\(\mathrm{Q}\) 在線段外，從 \(\mathrm{Q}\) 要折返才能到 \(\mathrm{B}\)）。長度的比仍是 \(m:n\)，但把方向也算進去，比就變成 \(m : \left(-n\right)\)。實際把 \(m : \left(-n\right)\) 代入內分點公式，會得到 \(\dfrac{\left(-n\right)x_1 + m x_2}{m + \left(-n\right)} = \dfrac{-n x_1 + m x_2}{m - n}\) 正好就是外分點公式。只要記住「外分點就是把後項加上負號的內分點」，就不必背兩個公式。點落在哪一側，由 \(m\) 和 \(n\) 的大小決定：\(m > n\) 時在 \(\mathrm{B}\) 的前方，\(m < n\) 時在 \(\mathrm{A}\) 的後方（背離 \(\mathrm{B}\) 的方向）。\(\mathrm{Q}\) 一定落在 \(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\) 中比的數較小的那一端那一側。只有 \(m = n\) 時外分點不存在。從公式看，分母 \(m - n\) 會變成 \(0\)；從圖形看，直線 \(\mathrm{AB}\) 上沒有一個點既在線段外、又與 \(\mathrm{A}\) 和 \(\mathrm{B}\) 等距離。

中點（\(1:1\) 的內分點）

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(x\) \(=\) \((\) \(x_1\) \(+\) \(x_2\) \()\) \(\div\) \(2\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 中點 \(\mathrm{M}\) 的 \(x\) 坐標 \(=\) \((\) ① 點 \(\mathrm{A}\) 的 \(x\) 坐標 \(x_1\) \(+\) ② 點 \(\mathrm{B}\) 的 \(x\) 坐標 \(x_2\) \()\) \(\div\) \(2\)

用文字讀公式

① 點 \(\mathrm{A}\) 的 \(x\) 坐標 \(x_1\) 加上

② 點 \(\mathrm{B}\) 的 \(x\) 坐標 \(x_2\) ，再除以 2，就得到

③ 中點 \(\mathrm{M}\) 的 \(x\) 坐標（就是兩個坐標的平均）

簡單範例

\(\mathrm{A}(1,\ 2)\)、\(\mathrm{B}(7,\ 5)\) 的中點 \(\mathrm{M}\)，其 \(x\) 坐標是

中點 \(\mathrm{M}\) 的 \(x\) 坐標 \(=\) \((\) 點 \(\mathrm{A}\) 的 \(x\) 坐標（1） \(+\) 點 \(\mathrm{B}\) 的 \(x\) 坐標（7） \()\) \(\div\) \(2\)

\(x = \dfrac{1 + 7}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\)

\(y = \dfrac{2 + 5}{2} = \dfrac{7}{2} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{M}\left(4,\ \dfrac{7}{2}\right)\)

思考重點

中點就是 \(1:1\) 的內分點。把 \(m = 1\)、\(n = 1\) 代入內分點公式，會得到 \(x = \dfrac{1 \times x_1 + 1 \times x_2}{1 + 1} = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\) 「交叉」對調就消失了。兩個坐標乘的都是同一個 \(1\)，所以哪個配哪個都沒差別。習慣中點公式之後，覺得內分點公式突然變難，就是因為先學的是這個把對調藏起來的特例。做的事只是求兩個坐標的平均。只要想成和「求兩次考試的平均分數」相同的計算，分別對 \(x\) 坐標和 \(y\) 坐標做一次，就不會搞混。

三角形的重心

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(x\) \(=\) \((\) \(x_1\) \(+\) \(x_2\) \(+\) \(x_3\) \()\) \(\div\) \(3\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 重心 \(\mathrm{G}\) 的 \(x\) 坐標 \(=\) \((\) ① 頂點 \(\mathrm{A}\) 的 \(x\) 坐標 \(x_1\) \(+\) ② 頂點 \(\mathrm{B}\) 的 \(x\) 坐標 \(x_2\) \(+\) ③ 頂點 \(\mathrm{C}\) 的 \(x\) 坐標 \(x_3\) \()\) \(\div\) \(3\)

用文字讀公式

① 對三角形 \(\mathrm{ABC}\) 來說，頂點 \(\mathrm{A}\) 的 \(x\) 坐標 \(x_1\) 、

② 頂點 \(\mathrm{B}\) 的 \(x\) 坐標 \(x_2\) 和

③ 頂點 \(\mathrm{C}\) 的 \(x\) 坐標 \(x_3\) 相加後除以 3，就得到

④ 重心 \(\mathrm{G}\) 的 \(x\) 坐標（三個頂點坐標的平均）

簡單範例

以 \(\mathrm{A}(1,\ 2)\)、\(\mathrm{B}(7,\ 5)\)、\(\mathrm{C}(4,\ 8)\) 為頂點的三角形，其重心 \(\mathrm{G}\) 的 \(x\) 坐標是

重心 \(\mathrm{G}\) 的 \(x\) 坐標 \(=\) \((\) 頂點 \(\mathrm{A}\) 的 \(x\) 坐標（1） \(+\) 頂點 \(\mathrm{B}\) 的 \(x\) 坐標（7） \(+\) 頂點 \(\mathrm{C}\) 的 \(x\) 坐標（4） \()\) \(\div\) \(3\)

\(x = \dfrac{1 + 7 + 4}{3} = \dfrac{12}{3} = 4\)

\(y = \dfrac{2 + 5 + 8}{3} = \dfrac{15}{3} = 5 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{G}(4,\ 5)\)

思考重點

重心 \(\mathrm{G}\) 是三條中線（連接頂點與對邊中點的線段）交於一點的地方。用這一點撐住三角形的板子，板子就會保持水平平衡，所以叫做「重心」。為什麼取坐標的平均就行？可以用內分點公式確認。邊 \(\mathrm{BC}\) 的中點 \(\mathrm{M}\) 的 \(x\) 坐標是 \(\dfrac{x_2 + x_3}{2}\)。重心把中線 \(\mathrm{AM}\) 從頂點算起分成 \(2:1\)，所以把 \(m = 2\)、\(n = 1\) 代入內分點公式，會得到 \(x = \dfrac{1 \times x_1 + 2 \times \dfrac{x_2 + x_3}{2}}{2 + 1} = \dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\) 也就是三個坐標的平均。這個 \(2:1\) 是重心最重要的性質：\(\mathrm{AG}\) 的長度正好是 \(\mathrm{GM}\) 的 2 倍。每一條中線的比都一樣，記住「重心把中線從頂點算起分成 \(2:1\)」，對解幾何題很有幫助。

把線段 \(\mathrm{AB}\) 分成 \(m:n\) 的點，內分點是 \(\left(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n},\ \dfrac{n y_1 + m y_2}{m+n}\right)\)，外分點是把 \(n\) 換成 \(-n\) 的 \(\left(\dfrac{-n x_1 + m x_2}{m-n},\ \dfrac{-n y_1 + m y_2}{m-n}\right)\)。點 \(\mathrm{A}\) 的坐標要乘上離 \(\mathrm{A}\) 較遠那一側的數 \(n\)，這樣 \(n\) 越大，點就越靠近 \(\mathrm{A}\)（分點會往比的數較小的那一端靠近）。中點是 \(1:1\) 的內分點，三角形的重心是三個頂點坐標的平均，它們都由「加權平均」這個相同的想法串連在一起。

符號與用語解說

符號

\(\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}\)	A、B、C	點的名稱。在幾何中，點習慣用大寫英文字母表示，依序取 A、B、C。本頁中線段的兩端是 \(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\)，三角形的第 3 個頂點是 \(\mathrm{C}\)。
\(x_1,\ y_1\)	x 1、y 1	點 \(\mathrm{A}\) 的坐標。右下角的小數字（下標）是表示「第幾個點」的編號，不是用來計算的數。同樣地，\(x_2,\ y_2\) 是點 \(\mathrm{B}\) 的坐標，\(x_3,\ y_3\) 是點 \(\mathrm{C}\) 的坐標。
\(m:n\)	m 比 n	分割線段的比。從 \(\mathrm{A}\) 到分點的部分分配 \(m\)，從分點到 \(\mathrm{B}\) 的部分分配 \(n\)。\(m\)、\(n\) 只是常用來表示比的字母。順序對調會變成另一個點。
\(\mathrm{P}\)	P	常用來稱呼內分點的名稱，取自英文「點」Point 的字首。
\(\mathrm{Q}\)	Q	常用來稱呼外分點的名稱。習慣上用內分點 \(\mathrm{P}\) 的下一個字母。
\(\mathrm{M}\)	M	常用來稱呼中點的名稱，取自英文「中點」Midpoint 的字首。
\(\mathrm{G}\)	G	常用來稱呼重心的名稱，據說來自英文 center of Gravity（重量的中心）的 G。
\(\mathrm{AB}\)	線段 AB	連接點 \(\mathrm{A}\) 和點 \(\mathrm{B}\) 的線段，指兩端固定的「直線的一部分」。本頁中表示長度時也寫成 \(\mathrm{AB}\)（課本也寫作 \(\overline{\mathrm{AB}}\)）。
\(\mathrm{AP} : \mathrm{PB}\)	AP 比 PB	線段 \(\mathrm{AP}\) 的長度與線段 \(\mathrm{PB}\) 的長度的比。「使 \(\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n\) 的點 \(\mathrm{P}\)」，就是把線段 \(\mathrm{AB}\) 分成 \(m:n\) 的內分點。

用語

線段	連接兩點的直線的一部分。有兩個端點的叫線段，往一側無限延伸的叫射線，往兩側無限延伸的叫直線。
內分點	在線段內側、把線段分成指定比的點。把線段 \(\mathrm{AB}\) 分成 \(m:n\) 的內分點 \(\mathrm{P}\)，就是線段 \(\mathrm{AB}\) 上滿足 \(\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n\) 的點。
外分點	在線段延長線的外側、滿足 \(\mathrm{AQ} : \mathrm{QB} = m : n\) 的點。它會落在比的數較小的那一端那一側（\(m > n\) 時在 \(\mathrm{B}\) 的前方，\(m < n\) 時在 \(\mathrm{A}\) 的後方）。\(m\) 和 \(n\) 相等時不存在。
分點	把線段分成指定比的點的總稱，用來合稱內分點和外分點。
中點	線段正中間的點，與兩端距離相等，相當於 \(1:1\) 的內分點。
重心	三角形三條中線的交點。用這一點撐住三角形的板子會保持水平平衡，是「重量的中心」，坐標是三個頂點坐標的平均。
中線	連接三角形頂點與對邊中點的線段。三條中線一定交於一點（重心），這一點把每條中線從頂點算起分成 \(2:1\)。
比	把兩個量的關係像「\(2:1\)」這樣並列表示。\(2:1\) 和 \(4:2\) 是相同的比（比值相等）。本頁中，表示線段分割後兩部分長度的關係。
坐標	用一組數表示點的位置。在數線上是 1 個數，在平面上是 \((x,\ y)\) 2 個數，在空間中是 \((x,\ y,\ z)\) 3 個數，就能決定一個點的位置。
數線	在直線上標上刻度，讓數與點一一對應。用 1 個數就能表示位置，是最簡單的坐標。
坐標平面	把水平的 \(x\) 軸和垂直的 \(y\) 軸組合起來，讓平面上的點可以用 \((x,\ y)\) 兩個數表示。
加權平均	給每個數加上「權重」後求的平均。內分點的坐標 \(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n}\)，正是給 \(x_1\) 權重 \(n\)、給 \(x_2\) 權重 \(m\) 的加權平均。一般的平均，就是所有權重都相等的特例。
下標	像 \(x_1\)、\(x_2\) 這樣寫在字母右下角的小編號，是用來區分同類量的「流水號」，不是相乘的數，也不是指數。

建議先了解的基礎知識

為了讓您「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了事先了解會更好懂的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習這些內容是最快的捷徑。

數線與坐標（國小五年級～國中七年級，10～13 歲）	知道數線是「在直線上標上刻度，讓數與點對應」，也看得出負數的位置看得懂坐標平面上的點 \((3,\ -2)\) 是指「往右 3、往下 2」的位置知道把點 \(\mathrm{A}\) 的坐標用字母和下標寫成 \((x_1,\ y_1)\) 時，下標的 \(1\) 是表示「第 1 個點」的編號，不是相乘的數
比與比例（國小六年級～國中七年級，11～13 歲）	知道像 \(2:1\) 這樣的比，意思是「把全體分成 3 份，分配成 2 和 1」知道 \(2:1\) 和 \(4:2\) 是相同的比（前項、後項同乘或同除以一個數，比不變）知道分成 \(m:n\) 時，\(\mathrm{A}\) 側的部分是全體的 \(\dfrac{m}{m+n}\)
正負數的計算（國中七年級，12～13 歲）	會正確判斷負數乘除法的正負號，例如 \(-3 \times 4 = -12\)、\(\left(-9\right) \div \left(-2\right) = \dfrac{9}{2}\) 能直接用外分點公式中 \(-n\) 這種「帶負號的字母」計算
分數的計算（國小五年級～國中七年級，10～13 歲）	會像 \(\dfrac{15}{3} = 5\) 這樣約分，並把答案寫成最簡分數習慣直接用像 \(\dfrac{9}{2}\) 這樣的分數當答案（不必化成小數）
代數式與代入（國中七年級～八年級，12～14 歲）	會把具體的數代入像 \(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m + n}\) 這樣的代數式計算會把像 \(x_1 + \dfrac{m}{m+n}\left(x_2 - x_1\right)\) 這樣的式子去括號，並合併同類項
平均（國小五年級，10～11 歲）	知道平均就是「全部加起來再除以個數」的計算（中點和重心都正是這種平均）知道合併人數不同的群體的平均時，不能直接相加再除

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「內分點」的表格

點 A 的 x 坐標 x1	1
點 A 的 y 坐標 y1	2
點 B 的 x 坐標 x2	7
點 B 的 y 坐標 y2	5
比的前項 m（A 到分點）	2
比的後項 n（分點到 B）	1
內分點 P 的 x 坐標	=(B6B1+B5B3)/(B5+B6)
內分點 P 的 y 坐標	=(B6B2+B5B4)/(B5+B6)

求「外分點」的表格

點 A 的 x 坐標 x1	1
點 A 的 y 坐標 y1	2
點 B 的 x 坐標 x2	7
點 B 的 y 坐標 y2	5
比的前項 m（A 到分點）	3
比的後項 n（分點到 B）	1
外分點 Q 的 x 坐標	=(-B6B1+B5B3)/(B5-B6)
外分點 Q 的 y 坐標	=(-B6B2+B5B4)/(B5-B6)

求「中點」的表格

點 A 的 x 坐標 x1	1
點 A 的 y 坐標 y1	2
點 B 的 x 坐標 x2	7
點 B 的 y 坐標 y2	5
中點 M 的 x 坐標	=(B1+B3)/2
中點 M 的 y 坐標	=(B2+B4)/2

求「三角形的重心」的表格

頂點 A 的 x 坐標 x1	1
頂點 A 的 y 坐標 y1	2
頂點 B 的 x 坐標 x2	7
頂點 B 的 y 坐標 y2	5
頂點 C 的 x 坐標 x3	4
頂點 C 的 y 坐標 y3	8
重心 G 的 x 坐標	=(B1+B3+B5)/3
重心 G 的 y 坐標	=(B2+B4+B6)/3

貼上後，上方的列（坐標和比）就是輸入欄，下方的列會自動算出結果。「*」是乘法，「/」是除法。
第一個表格把 A(1, 2)、B(7, 5) 分成 2:1，得到內分點 P(5, 4)。x 坐標的公式「= (B6*B1+B5*B3)/(B5+B6)」是 B1（A 的 x 坐標）乘以 B6（比的後項 n）、B3（B 的 x 坐標）乘以 B5（比的前項 m），乍看好像配錯了。這就是「交叉」對調，換過來答案就會改變。
第二個表格把同樣的兩點外分成 3:1，得到外分點 Q(10, 6.5)。和第一個表格的差別，只有 B6 前面的負號，以及分母的加法變成減法。m 和 n 輸入相同的值時，分母會變成 0，出現錯誤（#DIV/0!），表示外分點不存在。
第三個表格得到中點 M(4, 3.5)。第四個表格得到以 A(1, 2)、B(7, 5)、C(4, 8) 為頂點的三角形的重心 G(4, 5)。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「內分點」的表格

點 A 的 x 坐標 x1	1
點 A 的 y 坐標 y1	2
點 B 的 x 坐標 x2	7
點 B 的 y 坐標 y2	5
比的前項 m（A 到分點）	2
比的後項 n（分點到 B）	1
內分點 P 的 x 坐標	=(B6B1+B5B3)/(B5+B6)
內分點 P 的 y 坐標	=(B6B2+B5B4)/(B5+B6)

求「外分點」的表格

點 A 的 x 坐標 x1	1
點 A 的 y 坐標 y1	2
點 B 的 x 坐標 x2	7
點 B 的 y 坐標 y2	5
比的前項 m（A 到分點）	3
比的後項 n（分點到 B）	1
外分點 Q 的 x 坐標	=(-B6B1+B5B3)/(B5-B6)
外分點 Q 的 y 坐標	=(-B6B2+B5B4)/(B5-B6)

求「中點」的表格

點 A 的 x 坐標 x1	1
點 A 的 y 坐標 y1	2
點 B 的 x 坐標 x2	7
點 B 的 y 坐標 y2	5
中點 M 的 x 坐標	=(B1+B3)/2
中點 M 的 y 坐標	=(B2+B4)/2

求「三角形的重心」的表格

頂點 A 的 x 坐標 x1	1
頂點 A 的 y 坐標 y1	2
頂點 B 的 x 坐標 x2	7
頂點 B 的 y 坐標 y2	5
頂點 C 的 x 坐標 x3	4
頂點 C 的 y 坐標 y3	8
重心 G 的 x 坐標	=(B1+B3+B5)/3
重心 G 的 y 坐標	=(B2+B4+B6)/3

和 Excel 相同的公式可以直接使用。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把坐標和比改成您自己的數值即可。

用 Python 計算的方法

from fractions import Fraction

# 各點的坐標（像 3/4 這樣的分數可以寫成 Fraction(3, 4)）
point_a = (Fraction(1), Fraction(2))
point_b = (Fraction(7), Fraction(5))
point_c = (Fraction(4), Fraction(8))   # 第 3 個頂點，求重心時使用

def internal_point(a, b, m, n):
    # 內分點：乘上對面那一側的數（點 A 乘 n，點 B 乘 m）
    return tuple((n * p + m * q) / (m + n) for p, q in zip(a, b))

def external_point(a, b, m, n):
    # 外分點：把內分點的 n 換成 -n（m 和 n 相等時無法計算）
    return tuple((-n * p + m * q) / (m - n) for p, q in zip(a, b))

def midpoint(a, b):
    # 中點：兩個坐標的平均（1:1 的內分點）
    return tuple((p + q) / 2 for p, q in zip(a, b))

def centroid(a, b, c):
    # 三角形的重心：三個頂點坐標的平均
    return tuple((p + q + r) / 3 for p, q, r in zip(a, b, c))

def show(point):
    # 把分數顯示成「(5, 4)」「(10, 13/2)」這種好讀的形式
    return "(" + ", ".join(str(v) for v in point) + ")"

print("內分點 2:1：", show(internal_point(point_a, point_b, Fraction(2), Fraction(1))))
print("外分點 3:1：", show(external_point(point_a, point_b, Fraction(3), Fraction(1))))
print("中點　　　：", show(midpoint(point_a, point_b)))
print("重心　　　：", show(centroid(point_a, point_b, point_c)))

使用標準函式庫的 fractions 模組，就能用精確的分數計算，不會有小數的捨入誤差。這個例子使用 A(1, 2)、B(7, 5)、C(4, 8)。執行後會顯示內分點 (5, 4)、外分點 (10, 13/2)、中點 (4, 7/2) 和重心 (4, 5)。因為用了 zip，只要給每個點 3 個坐標，空間（三維）也能直接使用。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

內分點（把線段分成 \(m:n\) 的內分點）

P = ((n·x₁ + m·x₂) ÷ (m + n),  (n·y₁ + m·y₂) ÷ (m + n))

P\left(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m + n},\ \dfrac{n y_1 + m y_2}{m + n}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mi>n</mi><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub>
      </mrow>
      <mrow><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>n</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (n*x_1 + m*x_2)/(m + n)

{(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)}

P := [(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)];

P = [(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)];

x = (n x_1 + m x_2)/(m + n)

外分點（把線段外分成 \(m:n\) 的點）

Q = ((−n·x₁ + m·x₂) ÷ (m − n),  (−n·y₁ + m·y₂) ÷ (m − n))

Q\left(\dfrac{-n x_1 + m x_2}{m - n},\ \dfrac{-n y_1 + m y_2}{m - n}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mo>&#x2212;</mo><mi>n</mi><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub>
      </mrow>
      <mrow><mi>m</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>n</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (-n*x_1 + m*x_2)/(m - n)

{(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)}

Q := [(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)];

Q = [(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)];

x = (-n x_1 + m x_2)/(m - n)

中點（\(1:1\) 的內分點）

M = ((x₁ + x₂) ÷ 2,  (y₁ + y₂) ÷ 2)

M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\ \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub></mrow>
      <mn>2</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (x_1 + x_2)/2

{(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2}

M := [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2];

M = [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2];

x = (x_1 + x_2)/2

三角形的重心

G = ((x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3,  (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3)

G\left(\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\ \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mn>3</mn></msub>
      </mrow>
      <mn>3</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (x_1 + x_2 + x_3)/3

{(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3}

G := [(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3];

G = [(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3];

x = (x_1 + x_2 + x_3)/3

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是數學（坐標幾何）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並且只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。

針對坐標平面上的兩點 A(1, 2) 和 B(7, 5)，請求出：
1. 把線段 AB 分成 2:1 的內分點 P 的坐標
2. 把線段 AB 外分成 3:1 的外分點 Q 的坐標
3. 線段 AB 的中點 M 的坐標
4. 再加上點 C(4, 8) 時，三角形 ABC 的重心 G 的坐標

Python 請使用標準函式庫的 fractions 模組精確計算，每個答案都同時以約分後的分數和小數表示。
另外，請一步一步推導式子，說明為什麼內分點公式中點 A 的坐標要乘上 n（為什麼公式是「交叉」的）。