複利計算機（本利和與利率換算）

請選擇計算方式。「複利成長計算」是用本金、年利率和期間算出本利和與利息；「利率的複利頻率換算」是算出同一個利率換成另一種複利頻率時的利率。

計算方式

本金（元）

年利率（%）

期間（年）

複利頻率

要換算的利率（%）

輸入利率的複利頻率

換算後的複利頻率

請以半形數字輸入。利率直接輸入 % 的數字（3% 就輸入「3」）。這是數學上的複利計算，不包含實際金融商品的手續費、稅負和利率變動。

計算結果與圖表

在左側輸入本金、年利率和期間，按下「計算」後，這裡就會顯示結果和圖表。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖表
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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這個頁面可以做什麼

只要輸入本金、年利率和期間，就能馬上知道複利的本利和 \(A = A_0\left(1 + \dfrac{r}{n}\right)^{nt}\) 和利息合計（支援一年一次、半年、每季、每月、每日和連續複利）
也會顯示同樣條件用單利計算的本利和，以及和複利的差額。差距隨著年數拉大的樣子，也能從圖表看出來
切換到「利率的複利頻率換算」模式，就能把按月複利的名目年利率（APR）換成一年複利一次的有效年利率（APY）等，把同一個利率換算成另一種複利頻率的利率（小數 5 位）
能心算出本金翻倍大約要幾年的「72 法則」，也在公式卡中淺顯解說
公式的淺顯解說，以及可直接複製的 Excel、Google 試算表、Python 公式，也都整理在這個頁面

這個頁面的計算是數學上的複利計算。實際的存款、貸款和投資會有手續費、稅負和利率變動（在台灣，存款利息要併入綜合所得稅申報〈每戶有 27 萬元的儲蓄投資特別扣除額〉，單筆利息 2 萬元以上還會扣 2.11% 的二代健保補充保費），金融商品實際能領到或要償還的金額，請以各金融機構的條件為準。本頁不推薦任何特定的金融商品。

這個計算有什麼用？

用數字預估存款的「增加方式」

在台灣，銀行定期儲蓄存款的「整存整付」是按月複利。2026 年台灣大型銀行一年期定存的牌告利率約 1.7%，假設 100 萬元以年利率 1.7% 按月複利存 10 年，本利和是 \(1{,}000{,}000 \times \left(1 + \dfrac{0.017}{12}\right)^{120} \approx 1{,}185{,}162\) 元，利息約 18.5 萬元。年利率如果是 3%，同樣 10 年約 134.9 萬元，可以看出利率的差距會被複利大幅放大。
不過實際的存款利率會變動，利息也要併入綜合所得稅申報，單筆 2 萬元以上還會扣二代健保補充保費。這個計算請當作「稅前、利率固定」假設下的估算。

用數字看清卡債、循環利息的「滾雪球」

複利對借錢的一方是反過來作用的。在台灣，信用卡循環信用利率的上限是年利率 15%（銀行法），如果用循環信用借了 50 萬元，5 年都沒還，本利和就是 \(500{,}000 \times 1.15^{5} \approx 1{,}005{,}679\) 元，超過 2 倍（實際契約中還可能有違約金等，增加得更多）。
事先用數字了解「增加的速度」，是避免借太多的最好防線。

了解貸款的年利率和按月複利的關係

房貸和信貸的利息，多半是用「年利率 ÷ 12」的月利率每月計算。如果每月的利息沒繳而併入本金，就是按月複利，名目年利率 12% 換成一年複利一次，相當於 \((1 + 0.01)^{12} - 1 \approx 12.68\%\)。這個頁面的「利率的複利頻率換算」模式正是這個計算。
另外，台灣信貸、車貸廣告上的「總費用年百分率」，是把手續費、帳管費等費用也一起換算成年利率的表示，和這裡計算的複利頻率換算（APR ⇔ APY）是不同的概念。每月還款的貸款，月付金是由複利加上還款的另一個公式（本息平均攤還）決定的，但它的基礎就是這個複利計算。

估算物價上漲（通貨膨脹）的累積

物價每年持續上漲 2% 的話，上漲的方式也和複利的數學一樣，大約 \(72 \div 2 = 36\) 年物價就會變成 2 倍。物價變成 2 倍，代表同樣的錢只能買到一半的東西，也就是現金的實際價值變成一半。
能不靠直覺、而是用數字掌握「每年 2%」這個小數字的長期影響，是複利計算的一大用處。

人口、細菌等的「增殖」也是同樣的數學

每年（每小時）以相同比例增加的東西，就算不是錢，也會照複利的公式 \(A = A_0(1 + r)^t\) 增加。例如假設人口每年持續增加 1%，大約 70 年就會變成 2 倍（精確的翻倍年數是 \(\ln 2 \div \ln 1.01 \approx 69.7\) 年）。
細菌培養、病毒傳播、社群網站追蹤人數的成長等，這種「增加的部分會再增加」的現象，都廣泛用這個概念來估算（實際上增加率不再固定時，就不符合公式的前提了）。

公式與圖表

複利的基本公式（一年複利一次）

圖表

數學寫法（一般的數學式）

\(A\) \(=\) \(A_0\) \(\times\) \((1 + r)\) \(t\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 本利和 \(A\) \(=\) ① 本金 \(A_0\) \(\times\) ② 1 + 年利率 \(r\) ③ 年數 \(t\)

用文字讀公式

① 把本金 \(A_0\)

② 乘上一年的成長倍數「1 + 年利率 \(r\)」

③ ，連乘年數 \(t\) 次，

④ 就得到本利和 \(A\)

簡單範例

100 萬元以年利率 3%（一年複利一次）存 10 年時，本利和是

本利和 \(A\) \(=\) 本金（100 萬元） \(\times\) 1 + 年利率（1.03）年數（10 年）

\(1000000 \times 1.03^{10} \approx 1343916\)

思考重點

單利是「利息每年只算在本金上」的計算，10 年的利息只有 \(1{,}000{,}000 \times 0.03 \times 10 = 300{,}000\) 元。複利是「已經產生的利息，下一年也會再生利息」的計算，同樣的條件下利息約 34.4 萬元，比單利多了約 4.4 萬元。這種「利息生利息」的效果，年數越長越明顯。年利率 \(r\) 要用 % 的數字除以 100 的小數代入（3% 就是 \(r = 0.03\)）。另外，只有在一年複利一次、期間不到 1 年（例如 0.5 年）時，會變成計算 \((1+r)^{0.5}\) 這種「一年的中途」，此時單利反而會稍微大一點（這就是有名的白努利不等式所描述的關係）。計算機的差額顯示為負數，就是這個原因。

含複利頻率的公式（半年複利、按月複利等）

圖表

數學寫法（一般的數學式）

\(A\) \(=\) \(A_0\) \(\times\) \(\left(1 + \dfrac{r}{n}\right)\) \(nt\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 本利和 \(A\) \(=\) ① 本金 \(A_0\) \(\times\) ② 1 + 每次的利率 ③ 總次數 \(nt\)

用文字讀公式

① 把本金 \(A_0\)

② 乘上加了每次利率的倍數 \(1 + r/n\)

③ ，連乘總次數 \(nt\)（一年 \(n\) 次 × \(t\) 年）次，

④ 就得到本利和 \(A\)

簡單範例

100 萬元以年利率 3%、按月複利（一年 12 次）存 10 年時，本利和是

本利和 \(A\) \(=\) 本金（100 萬元） \(\times\) 1 + 0.03 ÷ 12 次數（120 次）

\(1000000 \times \left(1 + \dfrac{0.03}{12}\right)^{120} \approx 1349354\)

思考重點

年利率 \(r\) 除以每年次數 \(n\) 的 \(r/n\) 是「每次的利率」，\(n \times t\) 是「計息的總次數」。同樣是年利率 3%，一年複利一次約 134.4 萬元，按月複利則約 134.9 萬元，頻率越高，本利和會稍微大一點。台灣銀行的定期儲蓄存款「整存整付」就是按月複利。把頻率提高到極限的「連續複利」，本利和會趨近於使用自然常數 \(e\)（約 2.718）的 \(A = A_0 e^{rt}\)。每日複利和連續複利的差距非常小，上面的例子中每日複利約 1,349,842 元、連續複利約 1,349,859 元，只差 17 元左右。

利率的複利頻率換算公式（月利率 ⇔ 年利率、APR ⇔ APY）

圖表

數學寫法（一般的數學式）

\(F\) \(=\) \(\left(1 + \dfrac{r_{\mathrm{in}}}{m}\right)\) \(m\)

\(r_{\mathrm{out}}\) \(=\) \(n\) \(\times\) \((\) \(F\) \(1/n\) \(-\) \(1\) \()\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 年成長倍數 \(F\) \(=\) ① 1 + 每次的利率 ② 每年次數 \(m\)

⑦ 換算後的利率 \(r_{\mathrm{out}}\) \(=\) ⑥ 換算後的次數 \(n\) \(\times\) \((\) 年成長倍數 \(F\) ④ \(1/n\) 次方 \(-\) ⑤ 本金部分 \(1\) \()\)

用文字讀公式

① 把加了每次利率的倍數 \(1 + r_{\mathrm{in}}/m\)

② 連乘每年次數 \(m\) 次，

③ 求出年成長倍數 \(F\) （一年後錢會變成幾倍）；

④ 再用 \(1/n\) 次方把倍數 \(F\) 換成換算後的「每次的倍數」，

⑤ 減去本金部分 \(1\) ，只留下每次的利率，

⑥ 乘上換算後的次數 \(n\) ，

⑦ 就得到換算後的利率 \(r_{\mathrm{out}}\)

簡單範例

把按月複利的年利率 6%（APR）換算成一年複利一次的年利率（APY），就是

年成長倍數 \(F\) \(=\) 1 + 0.06 ÷ 12 次數（12 次）

換算後的利率 \(r_{\mathrm{out}}\) \(=\) 換算後的次數（1 次） \(\times\) \((\) 倍數 \(F\) 的 1 次方 \(-\) 本金部分 1 \()\)

\(F = \left(1 + \dfrac{0.06}{12}\right)^{12} \approx 1.0616778\)

\(r_{\mathrm{out}} = 1 \times (1.0616778 - 1) = 0.0616778\ \ (6.16778\%)\)

思考重點

「按月複利的年利率 6%」，實際上一年會增加超過 6%（因為每月產生的利息也會再生利息）。這個公式是讓成長幅度（年成長倍數 \(F\)）保持相同，把利率換個說法。按月複利的名目年利率稱為APR、換成一年複利一次的實際年利率稱為APY（也就是有效年利率），兩者的換算正是這個計算。輸入方是連續複利時是 \(F = e^{r_{\mathrm{in}}}\)，換算後是連續複利時是 \(r_{\mathrm{out}} = \ln F\)（自然對數）。

72 法則（本金翻倍所需年數的估算）

圖表

數學寫法（一般的數學式）

\(Y\) \(\approx\) \(72\) \(\div\) \(r\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 翻倍年數 \(Y\) \(\approx\) ① 估算用的數 72 \(\div\) ② 年利率 \(r\)（%）

用文字讀公式

① 把估算用的數 72

② 除以年利率 \(r\)（直接用 % 的數字），

③ 就能知道翻倍年數 \(Y\)（本金變成 2 倍大約要幾年）

簡單範例

以年利率 6% 的複利運用時，本金翻倍大約要幾年？

翻倍年數 \(Y\) \(\approx\) 估算用的數 72 \(\div\) 年利率（6%）

\(72 \div 6 = 12\)

思考重點

精確的翻倍年數是 \(Y = \ln 2 \div \ln(1 + r)\)，年利率 6% 時約 11.9 年。72 法則是它的近似，年利率大約在 2～10% 的範圍內都很準。理論上用 69.3（\(100 \ln 2\)）去除比較精確，但 72 可以被 2、3、4、6、8、9、12 整除，是「很好除的數」，所以選了 72 作為心算的工具。這個法則適用於所有會成長的東西。物價每年上漲 2% 的話，大約 \(72 \div 2 = 36\) 年物價就會變成 2 倍（= 錢的實際價值變成一半）。

複利是「已經產生的利息也會再生下一次利息」的計算，本利和是把「1 + 每次的利率」按次數連乘求出。重點是：期間越長，和單利的差距拉得越大；本金翻倍的年數，可以用「72 ÷ 年利率」大致估算。

符號與用語解說

符號

\(A_0\)	本金。一開始存入（借入）的金額。（例：100 萬元）
\(A\)	本利和。本金加上利息的最終金額。
\(r\)	年利率。以小數表示的每年利率。（例：3% 就是 \(r = 0.03\)）
\(t\)	期間（年數）。存錢或借錢的時間長度。
\(n\)	複利頻率。一年計息的次數。（例：按月複利就是 \(n = 12\)）
\(m\)	頻率換算公式中使用的、換算前（輸入方）的複利頻率，也就是每年次數。（例：按月複利就是 \(m = 12\)）
\(r_{\mathrm{in}}\)	頻率換算公式中使用的、換算前（輸入方）的利率。
\(r_{\mathrm{out}}\)	頻率換算公式要求的、換算後（輸出方）的利率。
\(Y\)	翻倍年數。本金變成 2 倍大約需要的年數，用72 法則估算。
\(F\)	年成長倍數。表示一年後錢會變成幾倍的數。（例：年利率 6% 按月複利就是 \(F \approx 1.0617\)）
\(e\)	自然常數（自然對數的底數），約 2.71828。是把複利頻率提高到無限大的極限（連續複利）中出現的數，最初就是從複利的研究中發現的。
\(\ln\)	自然對數。以自然常數 \(e\) 為底的對數，用在精確翻倍年數 \(\ln 2 \div \ln(1+r)\) 的計算。

用語

複利	把產生的利息併入本金，再對這個合計計算下一次利息的方式。因為「利息生利息」，期間越長，會比單利增加得越多。
單利	利息永遠只算在最初本金上的方式。每年的利息都一樣，增加的樣子是一條直線。
本金	一開始存入或借入的錢，是計算利息的基礎金額。
本利和	本金加上利息的金額，是這個頁面成長計算要求的量。
利息	存錢或借錢給別人所得到的回報，也就是本利和減去本金的部分。
複利頻率	利息併入本金的頻率（一年一次、每半年、每月等）。同樣的年利率，頻率越高，實際的增加幅度會稍微大一點。
連續複利	把複利頻率提高到無限大的理論極限。本利和會是 \(A = A_0 e^{rt}\)，常用於金融工程的理論計算。
APR	Annual Percentage Rate 的縮寫，是美國常用的利率表示方式，指不含複利效果的名目年利率（貸款的 APR 有時也包含手續費）。台灣的信貸、車貸廣告上看到的「總費用年百分率」，是把手續費等費用也一起換算成年利率的表示，定義和這裡的 APR 不同。
APY	Annual Percentage Yield 的縮寫，是美國常用的利率表示方式，指含複利效果的實際年利率。同樣的名目年利率（APR），複利次數越多，APY 就越高。和台灣的「總費用年百分率」是不同的概念。
有效年利率	把半年複利、按月複利等利率，換成「如果一年複利一次是幾 %」的利率。可以公平比較複利頻率不同的商品。
72 法則	用「72 ÷ 年利率（%）」估算本金翻倍大約要幾年的心算方法。年利率 6% 約 12 年。

建議先了解的基礎知識

為了能「理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。

比率與百分率（國小高年級，10～12 歲）	能把「3%」換成小數 0.03 了解「增加 3%」和「× 1.03」是同樣的意思
指數（國中七年級，12～13 歲）	了解 \(1.03^{10}\) 是「1.03 連乘 10 次」有「每乘一次比 1 大的數，答案就會越變越大」的感覺
等比數列（國中八年級～高中，13～18 歲，進階）	了解每年以相同倍數增加的數列是等比數列，複利的金額數列就是公比 1 + r 的等比數列（不懂也能使用計算機）
指數函數、對數與自然常數（高中，15～18 歲，進階）	了解把複利頻率提高到極限時，會趨近於 \(e^{rt}\)（連續複利）了解精確的翻倍年數可以用對數 \(\ln 2 \div \ln(1+r)\) 求出（72 法則的背景）

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「複利的本利和（一年複利一次）」的表格

本金	1000000
年利率（小數。3% 就是 0.03）	0.03
期間（年）	10
本利和（複利）	=B1*(1+B2)^B3

求「複利的本利和（含頻率）」的表格

本金	1000000
年利率（小數。3% 就是 0.03）	0.03
每年次數（按月複利就是 12）	12
期間（年）	10
本利和（複利）	=B1(1+B2/B3)^(B3B4)

求「利率的複利頻率換算」的表格

要換算的利率（小數。6% 就是 0.06）	0.06
輸入方的每年次數（每月就是 12）	12
換算後的每年次數（一年一次就是 1）	1
年成長倍數 F	=(1+B1/B2)^B2
換算後的利率（小數）	=B3*(B4^(1/B3)-1)

求「72 法則（翻倍年數的估算）」的表格

年利率（直接用 % 的數字）	6
本金翻倍的大約年數	=72/B1

貼上後，B 欄上面幾列是輸入欄，最後一列是自動計算的結果。
「^」是次方（連乘幾次）的符號，「*」是乘法，「/」是除法的符號。
第 1 個表格會顯示約 1,343,916（元），第 2 個表格約 1,349,354（元），第 3 個表格約 0.0617（= 6.16778%），第 4 個表格是 12（年）。請注意利率不是輸入 % 的數字，而是除以 100 後的小數（3% 就是 0.03）。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「複利的本利和（一年複利一次）」的表格

本金	1000000
年利率（小數。3% 就是 0.03）	0.03
期間（年）	10
本利和（複利）	=B1*(1+B2)^B3

求「複利的本利和（含頻率）」的表格

本金	1000000
年利率（小數。3% 就是 0.03）	0.03
每年次數（按月複利就是 12）	12
期間（年）	10
本利和（複利）	=B1(1+B2/B3)^(B3B4)

求「利率的複利頻率換算」的表格

要換算的利率（小數。6% 就是 0.06）	0.06
輸入方的每年次數（每月就是 12）	12
換算後的每年次數（一年一次就是 1）	1
年成長倍數 F	=(1+B1/B2)^B2
換算後的利率（小數）	=B3*(B4^(1/B3)-1)

求「72 法則（翻倍年數的估算）」的表格

年利率（直接用 % 的數字）	6
本金翻倍的大約年數	=72/B1

可以直接使用和 Excel 相同的公式。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把 B 欄的輸入值改成自己的數值即可。

用 Python 計算的方法

principal = 1000000      # 本金（元）
annual_rate = 0.03       # 年利率（3% 就是 0.03）
years = 10               # 期間（年）
times_per_year = 1       # 複利頻率（一年一次=1、半年=2、每月=12、每日=365）

compound_amount = principal * (1 + annual_rate / times_per_year) ** (times_per_year * years)
simple_amount = principal * (1 + annual_rate * years)

print(f"本利和（複利）: NT${compound_amount:,.0f}")
print(f"本利和（單利）: NT${simple_amount:,.0f}")
print(f"複利與單利的差額: NT${compound_amount - simple_amount:,.0f}")

只用標準函式庫就能執行。「**」是次方（連乘幾次）的符號。把開頭的本金、年利率、期間和頻率改成自己的數值後執行即可。想計算連續複利時，先「import math」，再寫成「principal * math.exp(annual_rate * years)」。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

複利的基本公式（一年複利一次）

A = A₀(1 + r)ᵗ

A = A_0 (1 + r)^{t}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>A</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>A</mi><mn>0</mn></msub>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mi>t</mi>
    </msup>
  </mrow>
</math>

A = A_0 (1 + r)^t

a0 (1 + r)^t

A := A0*(1 + r)^t;

A = A0*(1 + r)^t;

A = A_0 (1 + r)^t

含複利頻率的公式（半年複利、按月複利等）

A = A₀(1 + r/n)ⁿᵗ

A = A_0 \left(1 + \dfrac{r}{n}\right)^{nt}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>A</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>A</mi><mn>0</mn></msub>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mi>r</mi><mi>n</mi></mfrac><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>n</mi><mi>t</mi></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

A = A_0 (1 + r/n)^(n t)

a0 (1 + r/n)^(n t)

A := A0*(1 + r/n)^(n*t);

A = A0*(1 + r/n)^(n*t);

A = A_0 (1 + r/n)^(nt)

利率的複利頻率換算公式（月利率 ⇔ 年利率、APR ⇔ APY）

F = \left(1 + \dfrac{r_{\mathrm{in}}}{m}\right)^{m}, \quad r_{\mathrm{out}} = n\left(F^{1/n} - 1\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>F</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><msub><mi>r</mi><mtext>in</mtext></msub><mi>m</mi></mfrac><mo>)</mo></mrow>
      <mi>m</mi>
    </msup>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>r</mi><mtext>out</mtext></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>n</mi>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <msup><mi>F</mi><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>n</mi></mrow></msup>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <mn>1</mn>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
  </mrow>
</math>

F = (1 + r_(in)/m)^m, r_(out) = n(F^(1/n) - 1)

f = (1 + rin/m)^m; rout = n (f^(1/n) - 1)

F := (1 + r_in/m)^m; r_out := n*(F^(1/n) - 1);

F = (1 + r_in/m)^m; r_out = n*(F^(1/n) - 1);

F = (1 + r_in/m)^m,  r_out = n(F^(1/n) - 1)

72 法則（本金翻倍所需年數的估算）

Y ≈ 72 ÷ r

Y \approx \dfrac{72}{r}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>Y</mi>
    <mo>&#x2248;</mo>
    <mfrac><mn>72</mn><mi>r</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

Y ~~ 72 / r

72 / r

Y := 72 / r;

Y = 72 / r;

Y ≈ 72/r

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是利息計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並且只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。

1. 本金 100 萬元（新臺幣）以年利率 3%、一年複利一次存 10 年，請求出本利和與利息合計。
2. 也請求出同樣條件用單利計算的本利和，以及和複利的差額。
3. 按月複利的年利率 6%，換成一年複利一次的年利率（APY）是幾 %？請求到小數第 5 位。

請列出計算用的公式和執行結果的數值。