請輸入圓錐台（像水桶那樣，上下是平行的圓、側面收窄的立體）的上圓半徑、下圓半徑和高。會顯示表面積，以及母線（側面的斜長）和面積明細。
3 個長度請用相同的單位，只輸入數字（例如 15 cm 就輸入「15」）。上下半徑哪個大都可以。其中一個半徑輸入 0 就是圓錐，輸入相同的值就是圓柱的表面積。
計算結果與圖形
在左邊的輸入欄填入上下圓的半徑和高，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入上圓半徑、下圓半徑和高這 3 個值，就能當場求出圓錐台（像水桶或布丁杯的形狀）的表面積
- 同時顯示表面積的明細（上圓面積、下圓面積、側面積）和母線（側面的斜長）
- 計算出的圓錐台，也能用滑鼠拖曳旋轉的 3D 圖確認
- 其中一個半徑輸入 0 就是圓錐，上下輸入相同半徑就是圓柱，也能直接用來計算它們的表面積
- 淺顯易懂的公式解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面
3 個長度請用相同的單位輸入（cm 就都用 cm）。輸入的「高」是上圓到下圓的垂直距離，不是傾斜側面的長度（母線）。母線會由本計算機自動算出並顯示。
這個計算有什麼用？
估算重新粉刷水桶、花盆需要的油漆量（生活、DIY）
油漆罐上會寫「1 公升可塗刷約幾平方公尺」，所以知道要塗的面積，就能反推需要的量。上緣半徑 15 cm、底部半徑 10 cm、深 25 cm 的水桶，表面積約 3023 cm²（約 0.3 m²）。
如果只塗沒有蓋子的容器外側，要塗的面積就是明細中的「側面積約 2002 cm²」加上「下圓（底部）約 314 cm²」，約 0.23 m²。「從明細中只加上需要的面」這種用法，就是表面積計算最實用的基本功。
計算 1 個紙杯用掉的紙張面積（食品容器製造）
紙杯是上面比較寬的圓錐台，沒有蓋子（上圓）。上半徑 3.6 cm、底部半徑 2.3 cm、高 8 cm 的杯子，側面積約 150 cm²，底部的圓約 17 cm²，合計至少需要約 167 cm² 的紙。
實際製造時還要加上黏合處和沖切的損耗，會用到更多紙，但求出「每個產品的材料面積」的這個計算，正是估算材料費的起點。
估算燈罩的布料或紙張用量（室內裝潢、手作）
圓錐台是燈罩的經典形狀。上半徑 10 cm、下半徑 20 cm、高 25 cm 的燈罩，母線約 27 cm，換新時用的布料面積（側面積）約 2538 cm²（約 0.25 m²）。
布料或紙張是以固定寬度的布匹、紙捲販售，所以除了面積，也要考慮展開圖的形狀（像帶子一樣彎曲的形狀），買稍微多一點的量才是訣竅。
算出工廠料斗（漏斗形儲槽）的塗裝、隔熱面積（工業）
工廠裡儲存粉料或穀物的料斗，下半部是倒過來的圓錐台。上半徑 1 m、下半徑 0.2 m、高 1.2 m 的部分，母線約 1.44 m，側面積約 5.4 m²。
防鏽塗裝的塗料用量、保溫用的隔熱材用量，都以這個側面積為基礎估算。儲槽、筒倉、風管等，計算設備表面處理費用時少不了這個計算。
了解鮮奶油蛋糕要抹的面積（烘焙）
圓形蛋糕是「上下半徑相同的圓錐台（＝圓柱）」，所以在本計算機輸入兩次相同的半徑就能直接使用。直徑 15 cm（半徑 7.5 cm，俗稱 6 吋）、高 8 cm 的蛋糕體，要抹鮮奶油的上面和側面合計約 554 cm²（底面貼著盤子，所以不抹）。
「6 吋和 7 吋蛋糕，鮮奶油要準備幾倍？」這類比較，用表面積來想就不容易失敗。
公式與圖示
圓錐台的表面積公式（3 個面的總和）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(S\)
\(=\)
\(S_{1}\)
\(+\)
\(S_{2}\)
\(+\)
\(S_{3}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
圓錐台的表面積 \(S\)
\(=\)
①
上圓面積 \(S_1\)
\(+\)
②
下圓面積 \(S_2\)
\(+\)
③
側面積 \(S_3\)
用文字讀公式
①
上圓面積 \(S_1\)
、
②
下圓面積 \(S_2\)
和
③
側面積 \(S_3\)（收窄側面的面積）
全部加起來，就得到
④
圓錐台的表面積 \(S\)
簡單範例
用上圓半徑 1 cm、下圓半徑 4 cm、高 4 cm 的圓錐台來確認。上下圓的面積用「半徑 × 半徑 × 圓周率」算出 \(S_1 = \pi\)、\(S_2 = 16\pi\)，側面積用第 2 個公式求出 \(S_3 = 25\pi\)，所以
圓錐台的表面積 \(S\)
\(=\)
上圓面積（\(\pi\) cm²）
\(+\)
下圓面積（\(16\pi\) cm²）
\(+\)
側面積（\(25\pi\) cm²）
\(S = \pi + 16\pi + 25\pi = 42\pi \approx 131.95\,\mathrm{cm^2}\)
思考重點
表面積是「立體外側所有面的面積」。圓錐台的表面由上圓、下圓和收窄的側面這 3 片組成，所以把 3 個面積加起來就是表面積。
上下圓的面積用熟悉的圓面積公式求出：\(S_1 = \pi r^2\)、\(S_2 = \pi R^2\)。剩下的側面積 \(S_3\) 怎麼求，是圓錐台的重點，在第 2 個公式說明。用展開圖（把表面剪開的圖）來想，會分成上下 2 個圓和 1 片像帶子一樣彎曲的側面。
母線與側面積的公式
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(l\)
\(=\)
\(\sqrt{(R - r)^{2} + h^{2}}\)
\(S_{3}\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\((\)
\(r\)
\(+\)
\(R\)
\()\)
\(\times\)
\(l\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
母線 \(l\)
\(=\)
①
「半徑差的平方」＋「高的平方」的平方根
⑥
側面積 \(S_3\)
\(=\)
⑤
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
\((\)
③
上圓半徑 \(r\)
\(+\)
④
下圓半徑 \(R\)
\()\)
\(\times\)
母線 \(l\)
用文字讀公式
①
計算
平方和 \((R - r)^2 + h^2\) 的平方根
（把半徑差 \(R - r\) 和高 \(h\) 各自平方後相加，再開根號 √），就得到
②
母線 \(l\)（側面的斜長）
。
③
把
上圓半徑 \(r\)
和
④
下圓半徑 \(R\)
相加，
⑤
再乘以
圓周率 \(\pi\)（約 3.14）
和母線 \(l\)，就得到
⑥
側面積 \(S_3\)
簡單範例
用和第 1 個公式相同的上半徑 1 cm、下半徑 4 cm、高 4 cm 的圓錐台來計算
母線 \(l\)
\(=\)
平方和（9 + 16 = 25）的平方根
側面積 \(S_3\)
\(=\)
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
\((\)
上半徑（1 cm）
\(+\)
下半徑（4 cm）
\()\)
\(\times\)
母線（5 cm）
\(l = \sqrt{(4 - 1)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
\(S_3 = \pi \times (1 + 4) \times 5 = 25\pi \approx 78.54\,\mathrm{cm^2}\)
思考重點
母線 \(l\) 可以用畢氏定理求出。把圓錐台從正中間縱向切成兩半看切面，側面的斜線正是「橫邊是半徑差 \(R - r\)、直邊是高 \(h\) 的直角三角形」的斜邊。常見的錯誤是把這個斜長填進輸入欄的「高 \(h\)」。高是垂直距離，上下半徑不同的圓錐台，高一定比母線短（只有上下半徑相同的圓柱，才會 \(l = h\)）。
側面積是「\(\pi \times (r + R) \times l\)」的理由是：把側面剪開成帶狀，它的面積可以用「上圓周長 \(2\pi r\) 和下圓周長 \(2\pi R\) 的平均 \(= \pi(r + R)\)」×「帶子的寬（母線 \(l\)）」求出。這和梯形面積「（上底＋下底）× 高 ÷ 2」的想法非常像。
圓錐台的表面積公式（整合成一條式子）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(S\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\((\)
\(r\)
\(2\)
\(+\)
\(R\)
\(2\)
\()\)
\(+\)
\(\pi\)
\(\times\)
\((\)
\(r\)
\(+\)
\(R\)
\()\)
\(\times\)
\(l\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑥
圓錐台的表面積 \(S\)
\(=\)
④
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
\((\)
①
上圓半徑 \(r\)
③
平方（同一個數乘 2 次）
\(+\)
②
下圓半徑 \(R\)
平方
\()\)
\(+\)
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
\((\)
上圓半徑 \(r\)
\(+\)
下圓半徑 \(R\)
\()\)
\(\times\)
⑤
母線 \(l\)（用第 2 個公式求）
用文字讀公式
①
把
上圓半徑 \(r\)
和
②
下圓半徑 \(R\)
各自
③
平方（同一個數乘 2 次）
後相加，
④
再乘以
圓周率 \(\pi\)（約 3.14）
，就是「上下圓面積的總和」；
⑤
母線 \(l\)
乘以「兩個半徑的和 \(r + R\)」和圓周率 \(\pi\)，就是「側面積」。兩者相加，就得到
⑥
圓錐台的表面積 \(S\)
簡單範例
用和第 1、2 個公式相同的上半徑 1 cm、下半徑 4 cm、高 4 cm（母線 5 cm）的圓錐台，用整合公式一次計算，是
圓錐台的表面積 \(S\)
\(=\)
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
\((\)
上半徑（1 cm）
平方
\(+\)
下半徑（4 cm）
平方
\()\)
\(+\)
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
\((\)
上半徑（1 cm）
\(+\)
下半徑（4 cm）
\()\)
\(\times\)
母線（5 cm）
\(\pi \times (1^2 + 4^2) = 17\pi\)
\(\pi \times (1 + 4) \times 5 = 25\pi\)
\(S = 17\pi + 25\pi = 42\pi \approx 131.95\,\mathrm{cm^2}\)
思考重點
這個公式也包含了圓錐和圓柱。令 \(r = 0\)，就和圓錐的表面積公式 \(S = \pi R^2 + \pi R l\) 完全一致；令 \(r = R\)，母線變成 \(l = h\)，就和圓柱的表面積公式 \(S = 2\pi r^2 + 2\pi r h\) 完全一致。上下半徑互換，答案也不變（因為 \(r\) 和 \(R\) 互換後式子的形式相同）。
表面積的單位是 cm²、m² 等「長度的平方」。即使是同一個圓錐台，它和體積（cm³）也是完全不同的量，請用單位來分辨。
圓錐台的表面積是「上圓面積 ＋ 下圓面積 ＋ 側面積」。側面積的訣竅是：先用畢氏定理求出母線（側面的斜長），再用「圓周率 ×（上半徑＋下半徑）× 母線」計算。
符號與用語解說
符號
| \(r\) | 小寫 r | 上圓（上底面）的半徑，取自英文 radius（半徑）的字首。本頁中不一定是比較小的那一面，而是表示「上面」的半徑。 |
| \(R\) | 大寫 R | 下圓（底面）的半徑。為了和上半徑 \(r\) 區分，用大寫字母表示。 |
| \(h\) | h | 圓錐台的高，取自英文 height（高度）的字首。是上圓到下圓的垂直距離，和傾斜側面的長度（母線 \(l\)）是不同的量。 |
| \(l\) | l | 母線（側面的斜長）。常用來表示斜線（line）的字母。本頁會用 \(l = \sqrt{(R - r)^2 + h^2}\) 自動計算。 |
| \(\pi\) | pi | 圓周率。表示圓周長是直徑幾倍的數，是 \(3.14159265\ldots\) 無限延續下去的小數。國小數學用 3.14 計算。 |
| \(r^2\) | r 的平方 | 同一個數 \(r\) 乘 2 次的值（\(r \times r\)）。右上角的小 2 是指數，意思是「乘 2 次」。 |
| \(\sqrt{\phantom{9}}\) | 根號 | 平方根的符號，表示「平方後會等於根號內的數、且 0 以上的數」。例如 \(\sqrt{25} = 5\)（因為 \(5^2 = 25\)）。 |
| \(S\) | 大寫 S | 常用來表示面積的符號，取自英文 surface（表面）或 square（四方形、平方）的字首。本頁用來表示圓錐台的表面積。 |
| \(S_1,\ S_2,\ S_3\) | S 1、S 2、S 3 | 為表面積的明細取的符號。右下角的小數字（下標）用來區分「第 1 個、第 2 個……」，本頁中 \(S_1\)＝上圓面積、\(S_2\)＝下圓面積、\(S_3\)＝側面積。 |
| \(\mathrm{cm^2}\) | 平方公分 | 面積的單位。邊長 1 cm 的正方形面積是 1 cm²，讀作「平方公分」。請注意不要和體積的單位 cm³（立方公分）弄錯。 |
用語
| 圓錐台 | 用平行於底面的平面切開圓錐，去掉有頂點那一側的立體。上下是大小不同的平行圓，側面收窄。水桶、花盆、紙杯、布丁等，是生活中非常常見的形狀。 |
| 圓錐 | 底面是圓，從底面朝一個頂點變尖的立體，就是霜淇淋甜筒的形狀。它是圓錐台的原形。 |
| 表面積 | 立體外側所有面的面積。考慮塗油漆、用紙包裝等「蓋住表面的量」時會用到。它和表示能裝多少的「體積」是不同的量。 |
| 側面積 | 只有立體旁邊的面（側面）的面積。圓錐台的側面積，指扣掉上下圓之後「收窄的側面」的面積。 |
| 母線 | 沿著圓錐或圓錐台側面的斜線（及其長度）。圓錐台的母線，是沿著側面以最短距離連接上圓邊緣和下圓邊緣的線，長度用畢氏定理 \(l = \sqrt{(R - r)^2 + h^2}\) 求出。 |
| 展開圖 | 把立體的表面剪開、攤成一個平面的圖。圓錐台的展開圖是上下 2 個圓，加上像帶子一樣彎曲的側面（從大扇形切掉小扇形的形狀）。表面積和展開圖的面積總和相同。 |
| 畢氏定理 | 直角三角形中「斜邊的平方 ＝ 兩股的平方和」成立的定理（也叫勾股定理）。本頁用它把母線 \(l\) 當作橫邊 \(R - r\)、直邊 \(h\) 的直角三角形的斜邊求出。 |
建議先了解的基礎知識
為了讓您「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了事先了解會更好懂的基礎知識。
| 圓面積、圓周長與圓周率（國小高年級，10～12 歲） |
|
| 面積的單位（國小中高年級，8～12 歲） |
|
| 立體與展開圖（國小高年級～國中九年級，10～15 歲） |
|
| 乘方與指數（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 平方根（國中八年級，13～14 歲） |
|
| 畢氏定理（國中八年級，13～14 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
用「3 個面的總和」求表面積的表格
| 上圓面積 | 3.14 |
| 下圓面積 | 50.27 |
| 側面積 | 78.54 |
| 圓錐台的表面積 | =B1+B2+B3 |
求「母線與側面積」的表格
| 上圓半徑 r | 1 |
| 下圓半徑 R | 4 |
| 高 h | 4 |
| 母線 l | =SQRT((B2-B1)^2+B3^2) |
| 側面積 | =PI()*(B1+B2)*B4 |
求「圓錐台的表面積（整合公式）」的表格
| 上圓半徑 r | 15 |
| 下圓半徑 R | 10 |
| 高 h | 25 |
| 圓錐台的表面積 | =PI()*(B1^2+B2^2)+PI()*(B1+B2)*SQRT((B2-B1)^2+B3^2) |
貼上後，A 欄是項目名稱，B 欄是數值。上方的列是輸入欄，下方列的公式會用輸入欄的值自動計算。
公式裡的「B1」「B2」意思是「使用該儲存格裡的數值」，「*」是乘號，「^2」是平方，「SQRT()」是平方根，「PI()」是表示圓周率（3.14159…）的 Excel 函數。
例如第一個表格的 B4 會顯示 131.95（和公式卡片例子相同的圓錐台）。第二個表格的 B4 是母線 5，B5 是側面積約 78.54。第三個表格是上緣半徑 15 cm、底部半徑 10 cm、深 25 cm 的水桶例子，B4 約 3023.4（cm²）。只要把輸入欄的數值改成您自己的長度即可使用。
公式裡的「B1」「B2」意思是「使用該儲存格裡的數值」，「*」是乘號，「^2」是平方，「SQRT()」是平方根，「PI()」是表示圓周率（3.14159…）的 Excel 函數。
例如第一個表格的 B4 會顯示 131.95（和公式卡片例子相同的圓錐台）。第二個表格的 B4 是母線 5，B5 是側面積約 78.54。第三個表格是上緣半徑 15 cm、底部半徑 10 cm、深 25 cm 的水桶例子，B4 約 3023.4（cm²）。只要把輸入欄的數值改成您自己的長度即可使用。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
用「3 個面的總和」求表面積的表格
| 上圓面積 | 3.14 |
| 下圓面積 | 50.27 |
| 側面積 | 78.54 |
| 圓錐台的表面積 | =B1+B2+B3 |
求「母線與側面積」的表格
| 上圓半徑 r | 1 |
| 下圓半徑 R | 4 |
| 高 h | 4 |
| 母線 l | =SQRT((B2-B1)^2+B3^2) |
| 側面積 | =PI()*(B1+B2)*B4 |
求「圓錐台的表面積（整合公式）」的表格
| 上圓半徑 r | 15 |
| 下圓半徑 R | 10 |
| 高 h | 25 |
| 圓錐台的表面積 | =PI()*(B1^2+B2^2)+PI()*(B1+B2)*SQRT((B2-B1)^2+B3^2) |
和 Excel 相同的公式（SQRT()、PI() 函數也一樣）可以直接使用。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把輸入欄的數值改成您自己的長度即可。
用 Python 計算的方法
import math
radius_top = 15 # 上圓（上底面）的半徑
radius_bottom = 10 # 下圓（底面）的半徑
height = 25 # 高（和半徑用相同的單位）
slant = math.sqrt((radius_bottom - radius_top)**2 + height**2) # 母線（側面的斜長）
top_area = math.pi * radius_top**2 # 上圓面積
bottom_area = math.pi * radius_bottom**2 # 下圓面積
lateral_area = math.pi * (radius_top + radius_bottom) * slant # 側面積
total_area = top_area + bottom_area + lateral_area # 表面積
print(f"母線：{slant} cm")
print(f"上圓面積：{top_area} cm2")
print(f"下圓面積：{bottom_area} cm2")
print(f"側面積：{lateral_area} cm2")
print(f"圓錐台的表面積：{total_area} cm2")
只用標準函式庫就能執行。「math.sqrt()」是平方根，「math.pi」是圓周率，「**2」是平方，「*」是乘號。請改寫開頭的 3 個值後執行（這是用 cm 輸入的例子。用 m 輸入，結果就是 m²）。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
圓錐台的表面積公式（3 個面的總和）
S = S₁ + S₂ + S₃
S = S_{1} + S_{2} + S_{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>3</mn></msub>
</mrow>
</math>
S = S_1 + S_2 + S_3
s1 + s2 + s3
S := S1 + S2 + S3;
S = S1 + S2 + S3;
S = S_1 + S_2 + S_3
母線與側面積的公式
S₃ = π(r + R)√((R − r)² + h²)
S_{3} = \pi (r + R) \sqrt{(R - r)^{2} + h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>3</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<mo>(</mo>
<mi>r</mi>
<mo>+</mo>
<mi>R</mi>
<mo>)</mo>
<msqrt>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>R</mi><mo>−</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</msqrt>
</mrow>
</math>
S_3 = pi (r + R) sqrt((R - r)^2 + h^2)
Pi*(r + R)*Sqrt[(R - r)^2 + h^2]
S3 := Pi*(r + R)*sqrt((R - r)^2 + h^2);
S3 = pi*(r + R)*sqrt((R - r)^2 + h^2);
S_3 = π(r + R)√((R − r)^2 + h^2)
圓錐台的表面積公式（整合成一條式子）
S = π(r² + R²) + π(r + R)√((R − r)² + h²)
S = \pi \left( r^{2} + R^{2} \right) + \pi (r + R) \sqrt{(R - r)^{2} + h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<mo>(</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>π</mi>
<mo>(</mo>
<mi>r</mi>
<mo>+</mo>
<mi>R</mi>
<mo>)</mo>
<msqrt>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>R</mi><mo>−</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</msqrt>
</mrow>
</math>
S = pi (r^2 + R^2) + pi (r + R) sqrt((R - r)^2 + h^2)
Pi*(r^2 + R^2) + Pi*(r + R)*Sqrt[(R - r)^2 + h^2]
S := Pi*(r^2 + R^2) + Pi*(r + R)*sqrt((R - r)^2 + h^2);
S = pi*(r^2 + R^2) + pi*(r + R)*sqrt((R - r)^2 + h^2);
S = π(r^2 + R^2) + π(r + R)√((R − r)^2 + h^2)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並且只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。 有一個上圓半徑 15 cm、下圓半徑 10 cm、高 25 cm 的圓錐台（像水桶的形狀）。 請分別求出： 1. 母線（側面的斜長）l = √((R − r)² + h²) 是多少 2. 這個圓錐台的表面積是多少 cm²（使用公式 S = π(r² + R²) + π(r + R)l） 3. 表面積的明細（上圓面積、下圓面積、側面積）各是多少 請列出使用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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無須標註來源出處
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可免費用於商業用途
亦無須事先取得商用授權
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相關功能
圓錐台體積計算機（由上下圓的半徑和高計算）
用同樣 3 個長度，計算同一個圓錐台的「體積」（能裝的量）
