除法直式計算機（長除法）－求商和餘數

請輸入被除數（被分的數）和除數。會一次算出除法直式、逐位的步驟說明、商和餘數、帶分數以及小數。

被除數

除數

計算方式

請輸入大於 0 的數，各最多 14 位數。也可以輸入小數（會自動乘以 10 倍、100 倍……換成整數的除法來計算）。選「除到小數」時，直式會一直算到除盡為止（最多到小數第十位）。

計算結果

在左邊的輸入欄填入被除數和除數，按下「計算」，除法直式和結果就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖示
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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這個頁面可以做什麼

只要輸入被除數和除數，就會立刻畫出和寫在筆記本上一樣的除法直式（商和餘數也一目了然）
一段一段依序說明直式的步驟：在哪一位「立商 → 乘 → 減 → 移下來」了什麼
可以切換「求餘數」和「除到小數」（除到小數時，直式也會繼續算到小數位）
像「12.5 ÷ 0.5」這樣的小數除法，也會附上把兩個數同時乘以 10 倍、100 倍，換成整數除法的步驟
答案也會以帶分數（已約分的最簡形式）和小數表示。公式解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面

只能計算大於 0 的數（正數）。被除數和除數各最多 14 位數，除到小數最多到小數第十位。

這個計算有什麼用？

每天都會遇到的「平均分配」（點心、學習單、用品）

100 顆糖果平均分給 7 個人，100 ÷ 7 = 14…2，每人分 14 顆，還剩 2 顆。
在學校發學習單、分組分配用具、全家人分伴手禮——一下子算出「每份幾個、還剩幾個」，就是有餘數的除法最貼近生活的用途。

月曆和星期的規律（1 年＝52 週又 1 天）

1 年 365 天除以 1 週 7 天，365 ÷ 7 = 52…1。也就是說 1 年是「52 週又 1 天」，所以明年的同一天，星期會剛好往後移 1 天（閏年是 366 ÷ 7 = 52…2，往後移 2 天）。
推算「◯ 天後是星期幾？」時，只要看除以 7 的餘數就能求出來。

裝箱、配送的規劃（物流、製造現場）

250 個商品每箱裝 8 個，250 ÷ 8 = 31…2，可以裝滿 31 箱，還剩 2 個。要全部運走，就得連剩下的 2 個也裝箱，共需要 32 箱。
像這樣「商＋（有餘數就再加 1 箱）」的想法，像是要派幾輛卡車、依座位數要開幾班車等，每天都用在物流和生產規劃的現場。

平分費用時「分不完的錢」怎麼辦

聚餐 1,000 元由 3 個人平分，1000 ÷ 3 = 333…1，每人付 333 元，還有 1 元沒人分攤。
錢不能分到 1 元以下，所以平分、找零、存錢的計算，用「商和餘數」來想最實際。由誰多付 1 元、零頭由發起人負責——這些調整，都要先知道餘數才能決定。

程式設計的基本運算（時鐘、偶數奇數、資料分配）

想知道「100 小時後是什麼時候？」，100 ÷ 24 = 4…4，就是「4 天又 4 小時後」。像時鐘這樣繞一圈又回到原點的計算，在程式設計中通常用「餘數（mod、% 運算子）」來寫。
除以 2 的餘數是 0 就是偶數、是 1 就是奇數，以及把資料平均分配的處理等，電腦內部無時無刻不在進行這個頁面的計算。

公式與圖示

直式的一段（立商、乘、減、移下來）

直式範例

數學寫法（一般的數學式）

\(q_i\) \(=\) \(\lfloor\) \(s_i\) \(\div\) \(b\) \(\rfloor\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 這一位要寫的商 \(q_i\) \(=\) \(\lfloor\) ① 現在要除的數 \(s_i\) \(\div\) ② 除數 \(b\) \(\rfloor\)

用文字讀公式

① 看現在要除的數 \(s_i\) （前一段減完剩下的數，再移下下一位數字）裡面

② 有幾個除數 \(b\) （也就是相除之後，用捨去小數部分的符號 \(\lfloor\ \rfloor\) 取整數）

③ 就得到這一位要寫的商 \(q_i\) ，把它寫在商的位置（＝立商）。接著在下面寫上「除數 × 商」（＝乘），相減（＝減），再把下一位數字移下來（＝移下來）。這樣一直重複到個位（除到小數時做到小數位）

簡單範例

100 ÷ 7 的直式第一段（十位，上圖最上面的一段）是

十位要寫的商（1） \(=\) \(\lfloor\) 現在要除的數（10） \(\div\) 除數（7） \(\rfloor\)

\(\lfloor 10 \div 7 \rfloor = 1\)

\(7 \times 1 = 7\)

\(10 - 7 = 3\)

思考重點

直式是把「大的除法」拆成「用九九乘法就能解決的小除法，一再重複」的方法。每一段要做的事都一樣，只有「立商 → 乘 → 減 → 移下來」這 4 個步驟。以上圖的 100 ÷ 7 來說，十位算的是 10 ÷ 7，個位算的是 30 ÷ 7（最前面的 1 比 7 小，所以百位不寫商）。除數是二位數以上時，把除數看成大約「幾十」來估商（例如：73 ÷ 24，把 24 看成 20，估計「大約 3」，乘乘看，太大的話就每次減 1）。即使某一位的商是 0，也要寫上 0 再繼續（例如：6120 ÷ 6 = 1020。忘了寫中間的 0，位數就會錯開，答案就完全不對了）。除不盡而有餘數時，也可以直接除到小數：在商點上小數點、移下 0，繼續做同樣的 4 個步驟就行了。在這個計算機選擇「除到小數」，就會把直式顯示到小數位。

除法與驗算的公式（被除數、除數、商、餘數的關係）

數學寫法（一般的數學式）

\(a\) \(=\) \(b\) \(\times\) \(q\) \(+\) \(r\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 被除數 \(a\) \(=\) ① 除數 \(b\) \(\times\) ② 商 \(q\) \(+\) ③ 餘數 \(r\)

用文字讀公式

① 把除數 \(b\)

② 乘以商 \(q\)

③ 再加上餘數 \(r\)

④ 就會回到被除數 \(a\) （＝這就是驗算）

簡單範例

驗算 100 ÷ 7＝14…2（商 14，餘數 2），就是

被除數（100） \(=\) 除數（7） \(\times\) 商（14） \(+\) 餘數（2）

\(7 \times 14 = 98\)

\(98 + 2 = 100\)

思考重點

餘數一定「大於或等於 0，而且比除數小」（\(0 \le r < b\)）。如果餘數大於或等於除數，就表示商還可以再大 1（例如：100 ÷ 7 = 13…9 是錯的。9 裡面還有 1 個 7，正確答案是 14…2）。代入這個公式，確認「能不能回到被除數」，是除法驗算最可靠的方法。

商的求法（裡面有幾個除數）

數學寫法（一般的數學式）

\(q\) \(=\) \(\lfloor\) \(a\) \(\div\) \(b\) \(\rfloor\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 商 \(q\) \(=\) \(\lfloor\) ① 被除數 \(a\) \(\div\) ② 除數 \(b\) ③ \(\rfloor\)

用文字讀公式

① 把被除數 \(a\)

② 除以除數 \(b\)

③ 再用符號 \(\lfloor\ \rfloor\) 捨去答案的小數部分（除不盡的部分）

④ 就得到商 \(q\)

簡單範例

100 ÷ 7 的商是

商（14） \(=\) \(\lfloor\) 被除數（100） \(\div\) 除數（7） \(\rfloor\)

\(100 \div 7 = 14.285\cdots\)

\(\lfloor 14.285\cdots \rfloor = 14\)

思考重點

\(\lfloor\ \rfloor\) 是「捨去小數部分、取整數」的符號（地板函數）。在高中數學裡，也會用高斯符號 [ ] 來表示。直式是從高位開始，依序看「裡面有幾個除數」，一位一位寫出商。這樣得到的結果，和「相除後捨去小數部分」的答案完全相同。

餘數的求法（減完剩下的部分）

數學寫法（一般的數學式）

\(r\) \(=\) \(a\) \(-\) \(b\) \(\times\) \(q\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 餘數 \(r\) \(=\) ① 被除數 \(a\) \(-\) ② 除數 \(b\) \(\times\) ③ 商 \(q\)

用文字讀公式

① 從被除數 \(a\)

② 減去除數 \(b\)

③ 乘以商 \(q\) 的積（＝剛好分完的部分）

④ 就得到餘數 \(r\)

簡單範例

100 ÷ 7（商是 14）的餘數是

餘數（2） \(=\) 被除數（100） \(-\) 除數（7） \(\times\) 商（14）

\(7 \times 14 = 98\)

\(100 - 98 = 2\)

思考重點

餘數是從被除數減掉「剛好分完的部分（除數 × 商）」後剩下的數。在程式設計中，這個計算用「mod」或「%」運算子來表示，寫成 100 mod 7 = 2。推算星期幾、判斷偶數或奇數等，在電腦的世界裡是非常常用的計算。

用帶分數、小數表示

數學寫法（一般的數學式）

\(a\) \(\div\) \(b\) \(=\) \(q\) \(+\) \(r\) \(\div\) \(b\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

① 被除數 \(a\) \(\div\) ② 除數 \(b\) \(=\) ③ 商 \(q\) \(+\) ④ 餘數 \(r\) \(\div\) ⑤ 除數 \(b\)

用文字讀公式

① 把被除數 \(a\)

② 除以除數 \(b\) 的答案，

③ 等於商 \(q\)

④ 加上餘數 \(r\)

⑤ 除以除數 \(b\) 的分數（＝帶分數）

簡單範例

把 100 ÷ 7 用帶分數表示，就是

被除數（100） \(\div\) 除數（7） \(=\) 商（14） \(+\) 餘數（2） \(\div\) 除數（7）

\(\dfrac{100}{7} = 14 + \dfrac{2}{7} = 14\dfrac{2}{7}\)

思考重點

分數部分「餘數 ÷ 除數」要約分成最簡單的形式（最簡分數）。例如：123456 ÷ 789 = 156…372 → 把 \(\dfrac{372}{789}\) 的分子和分母同時除以最大公因數 3，得到 \(156\dfrac{124}{263}\)。想用小數表示時，不求餘數，直接繼續除下去（100 ÷ 7 = 14.2857……）。除不盡時，會變成同一串數字不斷重複的「循環小數」。

直式只要從高位開始，一直重複「立商 → 乘 → 減 → 移下來」到個位（除到小數時到小數位）就行了。答案隨時都能用「除數 × 商＋餘數＝被除數」的關係來驗算。商是「裡面有幾個除數」，餘數是「減完剩下的部分」。

符號與用語解說

符號

\(a\)		被除數，也就是被分的數。（例如：100 ÷ 7 的 100）
\(b\)		除數，相當於「每幾個一份」「分給幾個人」的數。（例如：100 ÷ 7 的 7）
\(q\)		商（quotient）。除法的整數答案，表示「裡面有幾個除數」。（例如：100 ÷ 7 是 14）
\(r\)		餘數（remainder）。分不完而剩下的部分，一定「大於或等於 0、小於除數」。（例如：100 ÷ 7 是 2）
\(s_i\)		直式某一段「現在要除的數」，是在前一段減完剩下的數右邊，移下下一位數字所得的數。（例如：100 ÷ 7 的個位那一段，就是在剩下的 3 右邊移下 0 得到的 30）
\(q_i\)		直式中這一位要寫的商（0～9 其中一個）。由「現在要除的數裡面有幾個除數」決定，從高位依序排起來就是商。
\(\lfloor\ \rfloor\)	地板函數	把裡面的數捨去小數部分、取整數的符號。高中數學的高斯符號 [ ] 也是同樣的意思。（例如：\(\lfloor 14.28 \rfloor = 14\)）
14…2	14 餘 2	表示「商 14、餘數 2」的寫法，台灣的課本寫成「100 ÷ 7 = 14…2」。英語國家則寫成「14 R2」（R 是 remainder〈餘數〉的第一個字母）。

用語

被除數	除法中被分的數，也就是「100 ÷ 7」的 100。英文叫 dividend。
除數	除法中用來分的數，也就是「100 ÷ 7」的 7。英文叫 divisor。不能除以 0。
商	除法的答案。在有餘數的除法中，指的是「整數部分的答案」。英文叫 quotient。
餘數	分不完而剩下的部分，一定大於或等於 0、小於除數。在程式設計中用 %（mod）運算子求得，稱為「取餘數」。
直式	把數字上下對齊寫在紙上計算的方法（直式計算）。除法直式也叫長除法，是一再重複「立商 → 乘 → 減 → 移下來」這 4 個步驟。
立商、乘、減、移下來	除法直式的 4 個步驟。把商寫在那一位上（立商），在下面寫上除數 × 商（乘），相減（減），確認剩下的數比除數小之後，把下一位數字移到剩下的數右邊（移下來）。每一位都照這個順序重複。
除到小數	不求餘數，在商點上小數點、移下 0，一直除到小數位。（例如：9 ÷ 4 不停在 2…1，繼續除到小數就是 2.25）
長除法	除法直式的另一個名稱（英文 long division），從高位開始一位一位寫出商的方法。高中的多項式除法也用同樣的方法。
驗算	用另一種計算確認答案是否正確。除法是看「除數 × 商＋餘數」能不能回到被除數。
帶分數	像 \(14\dfrac{2}{7}\)（14 又七分之二）這樣，由整數和真分數組合而成的分數。用分數表示有餘數的除法答案時會用到。
約分	把分數的分子和分母同時除以相同的數（最大公因數），化成最簡單的形式（最簡分數）。（例如：\(\dfrac{372}{789}\) → \(\dfrac{124}{263}\)）
除盡	餘數是 0。整數的情況也說「整除」。（例如：1000 ÷ 25 = 40 可以除盡，100 ÷ 7 除不盡）
循環小數	把除不盡的除法用小數表示時，同一串數字無限重複的小數。（例如：100 ÷ 7 = 14.285714285714……是「285714」一再重複）

建議先了解的基礎知識

為了能「真正理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議事先了解的基礎知識。

九九乘法（國小二年級，7～8 歲）	能熟練背出「7 × 8 = 56」這樣的九九乘法（這是立商的基礎）
除法的意義與餘數（國小三年級，8～9 歲）	知道除法是求「平均分成幾份」「可以分幾次」的計算知道餘數一定比除數小
除法直式（國小三～四年級，8～10 歲）	能照「立商 → 乘 → 減 → 移下來」4 個步驟計算除數是二位數時，能把除數看成大約「幾十」來估商能用「除數 × 商＋餘數」來驗算
分數、帶分數與約分（國小四～五年級，9～11 歲）	能把有餘數的除法答案，用商和 \(\dfrac{\text{餘數}}{\text{除數}}\) 組成的帶分數表示能把分子和分母同時除以相同的數來約分
小數的結構與除到小數（國小五～六年級，10～12 歲）	知道小數乘以 10 倍、100 倍，小數點會往右移 1 位、2 位（把小數除法換成整數除法時會用到）能不求餘數，在商點上小數點、移下 0，一直除到小數位（例如：9 ÷ 4 = 2.25）

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「商」的表格

被除數 a	100
除數 b	7
商 q	=INT(B1/B2)

求「餘數」的表格

被除數 a	100
除數 b	7
餘數 r	=MOD(B1,B2)

「驗算（除數×商＋餘數）」的表格

除數 b	7
商 q	14
餘數 r	2
被除數 a（驗算）	=B1*B2+B3

「用帶分數、小數表示」的表格

被除數 a	100
除數 b	7
商（整數部分）	=INT(B1/B2)
分數部分的分子（餘數）	=MOD(B1,B2)
用小數表示	=B1/B2

貼上之後，B1 和 B2 就是輸入欄，綠色的公式儲存格會自動算出結果。
函數「INT」是捨去小數部分（商），「MOD」是求餘數的函數。商也可以用「=QUOTIENT(B1,B2)」求得。
第 1 個表格的 B3 會顯示 14，第 2 個表格的 B3 會顯示 2，第 4 個表格的小數欄會顯示約 14.2857。只要把 B1 和 B2 改成您自己的數值就能使用。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「商」的表格

被除數 a	100
除數 b	7
商 q	=INT(B1/B2)

求「餘數」的表格

被除數 a	100
除數 b	7
餘數 r	=MOD(B1,B2)

「驗算（除數×商＋餘數）」的表格

除數 b	7
商 q	14
餘數 r	2
被除數 a（驗算）	=B1*B2+B3

「用帶分數、小數表示」的表格

被除數 a	100
除數 b	7
商（整數部分）	=INT(B1/B2)
分數部分的分子（餘數）	=MOD(B1,B2)
用小數表示	=B1/B2

和 Excel 相同的公式（INT、MOD、QUOTIENT）可以直接使用。把整個表格複製後貼到 A1 儲存格，再把 B1 和 B2 改成您自己的數值即可。

用 Python 計算的方法

dividend = 100  # 被除數
divisor = 7     # 除數

quotient, remainder = divmod(dividend, divisor)  # 同時求出商和餘數

print(f"商：{quotient}")
print(f"餘數：{remainder}")
print(f"驗算：{divisor} × {quotient} + {remainder} = {divisor * quotient + remainder}")
print(f"用小數表示：{dividend / divisor}")

只用標準函式庫就能執行。divmod(a, b) 是同時傳回商和餘數的函式。如果要分開求，商可以寫成「a // b」（捨去小數的除法），餘數可以寫成「a % b」。請把開頭的兩個數值改掉再執行。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

直式的一段（立商、乘、減、移下來）

qᵢ = ⌊sᵢ ÷ b⌋

q_i = \left\lfloor s_i \div b \right\rfloor

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x230A;</mo>
    <msub><mi>s</mi><mi>i</mi></msub>
    <mo>&#xF7;</mo>
    <mi>b</mi>
    <mo>&#x230B;</mo>
  </mrow>
</math>

q_i = |__ s_i -: b __|

Floor[s/b]

q := floor(s/b);

q = floor(s/b);

q_i = ⌊s_i/b⌋

除法與驗算的公式（被除數、除數、商、餘數的關係）

a = b × q + r

a = b \times q + r

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>b</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>q</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>r</mi>
  </mrow>
</math>

a = b xx q + r

b*q + r

a := b*q + r;

a = b*q + r;

a = b q + r

商的求法（裡面有幾個除數）

q = ⌊a ÷ b⌋

q = \left\lfloor \dfrac{a}{b} \right\rfloor

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>q</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x230A;</mo>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
    <mo>&#x230B;</mo>
  </mrow>
</math>

q = |__ a/b __|

Floor[a/b]

q := floor(a/b);

q = floor(a/b);

q = ⌊a/b⌋

餘數的求法（減完剩下的部分）

r = a − b × q

r = a - b \times q

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>b</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>q</mi>
  </mrow>
</math>

r = a - b xx q

a - b*q

r := a - b*q;

r = a - b*q;

r = a − b q

用帶分數、小數表示

a/b = q + r/b

\dfrac{a}{b} = q + \dfrac{r}{b}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mi>q</mi>
    <mo>+</mo>
    <mfrac><mi>r</mi><mi>b</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

a/b = q + r/b

q + r/b

q + r/b;

x = q + r/b;

a/b = q + r/b

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是數學計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（不要用心算或推測回答）。

關於 100 ÷ 7 這個除法，請分別求出下列的值：
1. 商（整數答案）和餘數
2. 驗算（確認 除數 × 商 + 餘數 會回到被除數）
3. 用帶分數表示的形式（餘數的分數部分要約分）
4. 用小數表示的值

請列出計算所用的公式，以及執行結果的數值。