請選擇要求的項目，再輸入複數 z = a + bi 的實部 a、虛部 b 和整數 n。下方的式子和輸入欄連動，直接改寫式子中的數字也能計算。
數值請以半形輸入。實部、虛部可以使用小數、負數和 3/4 這樣的分數（空白時當作 0）。n 是整數，n 次方的範圍是 1～20，n 次方根的範圍是 2～12。
計算結果與圖形
在左邊的輸入欄輸入數值，按下「計算」，結果和複數平面圖就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 由複數 \(z = a + bi\) 和整數 \(n\)（1～20），立即算出 \(n\) 次方 \(z^n\)。以棣美弗定理 \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\) 為主軸，可以用計算過程一步一步確認絕對值的乘方 \(r^n\) 和輻角的 \(n\) 倍 \(n\theta\)
- 答案 \(z^n\) 一律以整數、分數的精確值顯示。輻角若是特殊角（在坐標軸上或 45° 系列），計算過程連三角比的值都會以精確值展開
- 在 \(n\) 次方根模式中，會列出滿足 \(w^n = z\) 的複數 \(w\)（\(z\) 的 \(n\) 次方根），從 \(k = 0\) 到 \(n-1\) 共 \(n\) 個全部列出（\(n\) 為 2～12）。能寫成精確值的，會以 \(-1 + \sqrt{3}i\) 這樣的精確值回答
- 結果也能用複數平面的圖確認。\(n\) 次方根會畫成在半徑 \(\sqrt[n]{r}\) 的圓上等間隔排列的正 \(n\) 邊形，\(n\) 次方則會顯示點 \(z\)、點 \(z^n\) 和輻角的弧
- 輸入欄上方的數學式（MathLive）和輸入欄連動，直接改寫 \(\left(1 + i\right)^{4}\) 中的數字也能計算
適用於高三數學甲學到的棣美弗定理。實部、虛部可以輸入分數、小數（有理數），不能直接輸入 √3 這樣的無理數。因此輻角會是 π 的分數的精確值的，只有點在坐標軸上和 45° 系列的角（30°、60° 系列的角，實部和虛部的比會是 √3 這樣的無理數，輸入有理數時不會出現）。其他的輻角以小數近似，但 n 次方的答案本身，會顯示用乘法重複計算得到的精確值。
這個計算有什麼用？
推導三角函數的二倍角、三倍角公式（高中數學、分科測驗）
在棣美弗定理中令 \(n = 2,\ 3\)，展開左邊並比較實部和虛部，就能一次推導出 \(\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta\)、\(\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta\) 這類二倍角、三倍角公式。
不必死背公式，也能靠這個定理自己還原，這就是它的強項；大學入學考試也會出「利用棣美弗定理推導三倍角公式」這類題目。它把分開學的三角函數和複數兩個單元串成一條線，是課本中視野最開闊的定理之一。
音樂、影像的數位處理（離散傅立葉轉換）
用手機聽音樂、存照片的背後，有一種把訊號分解成「含有多少各種高低的波」的計算——離散傅立葉轉換在運作。這個計算的核心就是 1 的 \(n\) 次方根，它的形式是把訊號的每筆資料乘上 1 的 \(n\) 次方根的乘方再加總。
音訊壓縮、影像壓縮（JPEG 系列的轉換）、降噪、語音辨識等處理數位聲音與影像的技術，基礎都用到這個頁面的「把圓周等分的複數」。
三相交流電的計算（發電、輸電、馬達）
從發電廠送到工廠和大樓的三相交流電，是由時間點每隔 120° 錯開的 3 個波組成。這個「每隔 120° 的錯開」用複數來寫，剛好就是 1 的 3 次方根 \(1,\ \omega,\ \omega^2\) 的排列；3 個波的和互相抵消變成 0（\(1 + \omega + \omega^2 = 0\)），正是能節省輸電線的原因。
電力公司輸電網的設計、工廠馬達的控制，都建立在這個 1 的 3 次方根的性質上。
正多邊形頂點的配置（遊戲、電腦繪圖、設計）
在遊戲或電腦繪圖中「把敵人以等間隔排成圓形」「放置雷達圖的頂點」「畫時鐘錶面的刻度」這類處理，其實就是計算把圓周 \(n\) 等分的點的坐標 \(\left(\cos\dfrac{2k\pi}{n},\ \sin\dfrac{2k\pi}{n}\right)\)。這正是 1 的 \(n\) 次方根的排列。
在程式設計中，只要把複數乘上 1 的 \(n\) 次方根，就能讓點「旋轉到下一個頂點」，所以它被當成簡潔撰寫旋轉、等分處理的工具。
公式與圖形
棣美弗定理
圖（在單位圓上，每乘一次輻角就增加 θ 的樣子）
數學寫法
（一般的數學式）
\(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)\)
\(n\)
\(=\)
\(\cos n\theta + i\sin n\theta\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
表示輻角 \(\theta\) 方向的部分
②
整數 \(n\)
\(=\)
③
表示輻角乘以 \(n\) 後方向的部分
用文字讀公式
①
表示輻角 \(\theta\) 方向的部分 \(\cos\theta + i\sin\theta\)
的
②
整數 \(n\)
次方，就是
③
表示輻角乘以 \(n\) 後方向的部分 \(\cos n\theta + i\sin n\theta\)
。
簡單範例
\(\theta = \dfrac{\pi}{6}\)（30°）時取 3 次方（輻角變成 3 倍的 \(\dfrac{\pi}{2}\)（90°））
\(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\)
3
\(=\)
\(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)
\(\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^{3} = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)
\(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2} = 0 + 1 \times i = i\)
思考重點
這個定理的基礎，是極式乘法的規則「絕對值相乘、輻角相加」。把絕對值為 1 的複數 \(\cos\theta + i\sin\theta\) 連乘 \(n\) 次，輻角就會加 \(n\) 次 \(\theta\) 變成 \(n\theta\)——這就是這個定理的全部內容。
用熟悉的例子確認：把 \(i = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)（90° 的方向）平方，輻角變成 2 倍的 \(\pi\)（180°），得到 \(\cos\pi + i\sin\pi = -1\)。這正是 \(i^2 = -1\)。「乘上 \(i\)＝旋轉 90°」這個複數平面的觀點，藉由這個定理推廣到任意的角。
另外，這個定理在 \(n\) 是負整數時也成立（\(n = -1\) 相當於「反向旋轉」）。這個頁面的計算機處理正整數。
複數的 \(n\) 次方
數學寫法
（一般的數學式）
\(z^{n}\)
\(=\)
\(r^{n}\)
\(\left(\cos n\theta + i\sin n\theta\right)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
複數 \(z\) 的 \(n\) 次方
\(=\)
①
絕對值 \(r\) 的 \(n\) 次方
②
表示輻角乘以 \(n\) 後方向的部分
用文字讀公式
①
表示與原點距離的
絕對值 \(r\) 的 \(n\) 次方
乘以
②
表示輻角乘以 \(n\) 後方向的部分 \(\cos n\theta + i\sin n\theta\)
，就是
③
複數 \(z\) 的 \(n\) 次方 \(z^n\)
。
簡單範例
\(z = 1 + i\)（絕對值 \(r = \sqrt{2}\)、輻角 \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\)（45°））的 4 次方是
\(\left(1 + i\right)^{4}\)
\(=\)
\(\left(\sqrt{2}\right)^{4}\)
\(\cos\pi + i\sin\pi\)
\(r^{4} = \left(\sqrt{2}\right)^{4} = 4\)
\(4\theta = 4 \times \dfrac{\pi}{4} = \pi\)
\(z^{4} = 4\left(\cos\pi + i\sin\pi\right) = 4 \times \left(-1\right) = -4\)
思考重點
「絕對值取 \(n\) 次方、輻角乘以 \(n\)」。把這兩者分開計算，就能一口氣求出 \(n\) 次方。
同樣的 \(\left(1 + i\right)^4\) 如果用直角坐標形式計算，要先算出 \(\left(1 + i\right)^2 = 2i\) 再平方一次，不斷重複展開。4 次方還能用手算，到了 10 次方、20 次方幾乎不可能展開。用極式的話，只要計算 \(\left(\sqrt{2}\right)^{10}\) 和 \(10 \times 45^{\circ}\)，幾次方的工夫都差不多。這就是這個定理最大的好處。
複數的 \(n\) 次方根
圖（8 的 3 次方根：在半徑 2 的圓上等間隔排列的正三角形）
數學寫法
（一般的數學式）
\(w_{k}\)
\(=\)
\(\sqrt[n]{r}\)
\(\left(\cos\dfrac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}\right)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(z\) 的 \(n\) 次方根（第 \(k\) 個）
\(=\)
①
絕對值 \(r\) 的 \(n\) 次方根（圓的半徑）
②
表示輻角加上 \(k\) 圈後 \(n\) 等分的方向的部分
用文字讀公式
①
絕對值 \(r\) 的 \(n\) 次方根 \(\sqrt[n]{r}\)（所有根所在的圓的半徑）
乘以
②
表示輻角 \(\theta\) 加上一圈（\(2\pi\)）的 \(k\) 倍後再 \(n\) 等分的方向的部分
，就是
③
\(z\) 的第 \(k\) 個 \(n\) 次方根 \(w_k\)
（把編號 \(k\) 依序換成 \(0,\ 1,\ \ldots,\ n-1\)，\(n\) 個根就會全部求出）
簡單範例
\(z = 8\)（絕對值 \(r = 8\)、輻角 \(\theta = 0\)）的 3 次方根，以 \(\sqrt[3]{8} = 2\) 為半徑
3 次方根 \(w_k\)
\(=\)
半徑 \(2\)
\(\cos\dfrac{2k\pi}{3} + i\sin\dfrac{2k\pi}{3}\)
\(w_{0} = 2\left(\cos 0 + i\sin 0\right) = 2\)
\(w_{1} = 2\left(\cos\dfrac{2}{3}\pi + i\sin\dfrac{2}{3}\pi\right) = -1 + \sqrt{3}i\)
\(w_{2} = 2\left(\cos\dfrac{4}{3}\pi + i\sin\dfrac{4}{3}\pi\right) = -1 - \sqrt{3}i\)
思考重點
為什麼會有多達 \(n\) 個根？關鍵在於「輻角加上一圈（\(2\pi\)）仍是同一個方向」這個性質。\(z\) 的輻角可以寫成 \(\theta\)，也可以寫成 \(\theta + 2\pi\) 或 \(\theta + 4\pi\)。求 \(n\) 次方根時要把輻角除以 \(n\)，寫法的不同就會變成 \(\dfrac{\theta}{n},\ \dfrac{\theta + 2\pi}{n},\ \dfrac{\theta + 4\pi}{n},\ \ldots\) 這些不同的方向。走到 \(k = n\) 時剛好轉一圈，回到和 \(k = 0\) 相同的點，所以不同的點只有 \(n\) 個。
相鄰兩根的輻角差永遠是 \(\dfrac{2\pi}{n}\)（一圈的 \(n\) 等分），所以 \(n\) 個根在同一個圓上等間隔排列。也就是說，\(n\) 次方根是正 \(n\) 邊形的頂點。這個計算機的圖一定會出現正 \(n\) 邊形，就是這個原因。
1 的 \(n\) 次方根
數學寫法
（一般的數學式）
\(z_{k}\)
\(=\)
\(\cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
1 的 \(n\) 次方根（第 \(k\) 個）
\(=\)
①
表示把一圈 \(n\) 等分後第 \(k\) 個方向的部分
用文字讀公式
①
把半徑 1 的圓的一圈 \(n\) 等分後，
表示第 \(k\) 個方向的部分 \(\cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\)
就是
②
1 的第 \(k\) 個 \(n\) 次方根 \(z_k\)
（\(k = 0,\ 1,\ \ldots,\ n-1\) 共 \(n\) 個）
簡單範例
1 的 3 次方根（滿足 \(z^3 = 1\) 的複數），是把單位圓的一圈 3 等分
3 次方根 \(z_k\)
\(=\)
\(\cos\dfrac{2k\pi}{3} + i\sin\dfrac{2k\pi}{3}\)
\(z_{0} = \cos 0 + i\sin 0 = 1\)
\(z_{1} = \cos\dfrac{2}{3}\pi + i\sin\dfrac{2}{3}\pi = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
\(z_{2} = \cos\dfrac{4}{3}\pi + i\sin\dfrac{4}{3}\pi = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
思考重點
\(z = 1\) 的絕對值是 \(1\)、輻角是 \(0\)，所以是上面 \(n\) 次方根公式中 \(r = 1,\ \theta = 0\) 的特例。所有的根都在單位圓（半徑 1 的圓）上，形成以 \(z_0 = 1\) 為一個頂點的正 \(n\) 邊形。
1 的 3 次方根中屬於虛數的那個（上面的 \(z_1\)）稱為 \(\omega\)（omega），是考試的常見主題。\(\omega^3 = 1\)、\(\omega^2 + \omega + 1 = 0\)，而且 \(z_2 = \omega^2 = \overline{\omega}\)。
另外，把 1 的 \(n\) 個 \(n\) 次方根全部相加會得到 \(0\)（\(n \ge 2\)）。想成正 \(n\) 邊形的頂點平均分散在原點周圍、重心剛好落在原點，就能從圖形上理解。
棣美弗定理 \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\)，是把「複數的乘法＝輻角的加法」重複 \(n\) 次的結果。用它可以用「絕對值取 \(n\) 次方、輻角乘以 \(n\)」一口氣算出複數的 \(n\) 次方；反過來用，則能以「絕對值取 \(n\) 次方根、輻角 \(n\) 等分（加上 \(k\) 圈的錯開）」求出全部 \(n\) 個 \(n\) 次方根。\(n\) 次方根排成圓上的正 \(n\) 邊形，是這個定理在圖形上最精彩的地方。
符號與用語解說
符號
| \(i\) | i | 虛數單位，平方後等於 \(-1\) 的數（\(i^2 = -1\)）。名稱來自 imaginary number（想像的數）的字首。 |
| \(z\) | z | 常用來表示複數的文字。為了和實數變數用的 \(x,\ y\) 區分，複數習慣用 \(z\) 或 \(w\) 表示。 |
| \(w\) | w | 在這個頁面表示 \(z\) 的 \(n\) 次方根（滿足 \(w^n = z\) 的複數）的文字。來自第 2 個複數習慣用字母表中 \(z\) 附近的 \(w\) 表示。 |
| \(a,\ b\) | a、b | \(z = a + bi\) 的實部（\(a\)）和虛部（\(b\)），兩者都是實數。在複數平面上，\(a\) 是橫向（實軸方向）的位置，\(b\) 是縱向（虛軸方向）的位置。 |
| \(r\) | r | 表示絕對值（從原點到點 \(z\) 的距離）的文字，名稱來自 radius（半徑）的字首。在極式中是大於或等於 0 的實數。 |
| \(\theta\) | theta | 用來表示輻角的希臘字母，在數學中習慣用來表示角度。 |
| \(n\) | n | 在這個頁面表示乘方的指數（幾次方）或根的次數（幾次方根）的整數，名稱來自表示個數、次數的 number 的字首。 |
| \(k\) | k | 表示 \(n\) 次方根編號（從 \(0\) 到 \(n-1\)）的文字。數編號的文字習慣用 \(i,\ j,\ k\)，但在複數的討論中 \(i\) 容易和虛數單位混淆，所以通常用 \(k\)。 |
| \(\sqrt[n]{\ }\) | n 次方根 | \(n\) 次方根的符號。\(\sqrt[3]{8} = 2\) 的意思是「3 次方後等於 8 的正數是 2」。左上方的小數字是根的次數，不寫時表示 2 次方根（平方根）。 |
| \(\cos\theta,\ \sin\theta\) | cosine theta、sine theta | 三角比（三角函數）。在半徑 1 的圓（單位圓）上，往角 \(\theta\) 的方向前進的點，橫向位置是 \(\cos\theta\)，縱向位置是 \(\sin\theta\)。在極式中扮演「表示方向的零件」的角色。 |
| \(\pi\) | pi | 圓周率（約 3.14159）。在弧度法中，轉半圈的角 \(180^{\circ}\) 剛好是 \(\pi\)，一圈是 \(2\pi\)。表示圓周率的希臘字母 \(\pi\)，據說來自希臘文中表示「周長、周圍」的詞（perimetros）的字首。 |
| \(\omega\) | omega | 習慣用來表示 1 的 3 次方根中屬於虛數者（\(\omega = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)）的文字，滿足 \(\omega^3 = 1\)、\(\omega^2 + \omega + 1 = 0\)。是希臘字母的最後一個字母，廣泛用來表示 1 的乘方根。 |
用語
| 複數 | 可以寫成 \(a + bi\)（\(a,\ b\) 是實數）形式的數，是把實數和虛數合在一起的數系。台灣在高三選修數學中學習。 |
| 虛數單位 | 平方後等於 \(-1\) 的數 \(i\)。因為實數中沒有平方後變成負數的數，所以引進了這個新的數。 |
| 複數平面 | 把複數 \(a + bi\) 表示成點 \((a,\ b)\) 的平面。橫軸稱為實軸，縱軸稱為虛軸。也稱為高斯平面，台灣在高三數學甲中學習。 |
| 極式 | 用「與原點的距離 \(r\)」和「從實軸轉過的角 \(\theta\)」表示複數的表示法 \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\)。棣美弗定理就是關於這種形式的複數的定理。 |
| 絕對值 | 從原點到點 \(z\) 的距離，用 \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) 計算。取 \(n\) 次方後，絕對值會變成 \(n\) 次方（\(r^n\)）。 |
| 輻角 | 從實軸正向逆時針量到「原點往點 \(z\) 的方向」的角。加上一圈（\(2\pi\)）仍是同一個方向，所以習慣把範圍定為 \(0 \le \theta < 2\pi\)（台灣課本稱為主輻角）來回答。取 \(n\) 次方後，輻角會變成 \(n\) 倍（\(n\theta\)）。 |
| 乘方 | 同一個數重複相乘。\(z^4\) 是 \(z\) 連乘 4 次的值，也叫「次方」或「冪」。 |
| n 次方根 | \(n\) 次方後等於該數的數。在複數的範圍內，任何不是 0 的複數都剛好有 \(n\) 個 \(n\) 次方根（在實數的範圍內，8 的 3 次方根只有 2 這 1 個，擴大到複數就有 3 個）。 |
| 1 的 n 次方根 | 滿足 \(z^n = 1\) 的複數。是把單位圓的一圈 \(n\) 等分的 \(n\) 個點，形成以 \(1\) 為一個頂點的正 \(n\) 邊形。 |
| 棣美弗定理 | \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\) 這個定理，以出生於法國的數學家棣美弗（de Moivre）命名。是把「乘法＝輻角相加」重複 \(n\) 次的結果。 |
| 單位圓 | 以原點為圓心、半徑 1 的圓。絕對值為 1 的複數（\(\cos\theta + i\sin\theta\) 形式的數）全都在這個圓上。 |
| 正多邊形 | 邊長和角的大小都相等的多邊形（正三角形、正方形、正五邊形等）。\(n\) 次方根的 \(n\) 個點在圓上等間隔排列，所以是正 \(n\) 邊形的頂點。 |
| 特殊角 | \(30^{\circ}\)、\(45^{\circ}\)、\(60^{\circ}\) 和同類的角（再加上 \(90^{\circ}\) 的倍數的角）。三角比的值能寫成 \(\dfrac{1}{2}\)、\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)、\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 這樣的精確值，課本和考試的題目幾乎都用這些角出題。 |
| 弧度法 （弧度） |
用半徑 1 的圓的弧長來量角的大小的方法，也稱為弧度量。\(180^{\circ} = \pi\) 弧度，一圈是 \(2\pi\) 弧度。高二學三角函數之後，標準的單位就是弧度而不是度。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意思」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
卡住的時候，回到這裡的內容複習是最快的方法。
| 平方根與根號的計算（國中八年級，13～14 歲） |
|
| 指數律（國中～高一，12～16 歲） |
|
| 複數（高三選修數學，17～18 歲） |
|
| 三角比與廣義角（高一～高二，15～17 歲） |
|
| 弧度法（高二，16～17 歲） |
|
| 複數平面與極式（高三數學甲，17～18 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「複數的 n 次方」的表
| 實部 a | 1 |
| 虛部 b | 1 |
| 指數 n | 4 |
| z 的 n 次方 | =IMPOWER(COMPLEX(B1,B2),B3) |
| 絕對值的 n 次方 r^n | =IMABS(COMPLEX(B1,B2))^B3 |
| 輻角的 n 倍 nθ（弧度） | =B3*IMARGUMENT(COMPLEX(B1,B2)) |
求「複數的n 次方根（第 k 個）」的表
| 實部 a | 8 |
| 虛部 b | 0 |
| 根的次數 n | 3 |
| 根的編號 k（0～n−1） | 1 |
| 根所在圓的半徑 | =IMABS(COMPLEX(B1,B2))^(1/B3) |
| 第 k 個根的輻角（弧度） | =(MOD(IMARGUMENT(COMPLEX(B1,B2)),2*PI())+2*PI()*B4)/B3 |
| 第 k 個根的實部 | =B5*COS(B6) |
| 第 k 個根的虛部 | =B5*SIN(B6) |
貼上後，上面幾列是輸入欄，下面幾列會自動算出結果。
第 1 個表的 COMPLEX（實部, 虛部）是建立複數的函數，IMPOWER 是把它的乘方以「-4」這樣的字串傳回的函數。例子 z = 1 + i、n = 4 的結果是：z 的 n 次方幾乎等於 -4（因浮點數誤差，有時會帶有極小的虛部），r^n = 4，nθ = π ≈ 3.14159。
第 2 個表是求第 k 個根的表。IMARGUMENT 會傳回輻角（大於 −π、小於或等於 π），所以先用 MOD 換成 0 以上、未滿 2π，再加上 k 圈後除以 n。例子 z = 8、n = 3、k = 1 的結果是半徑 2、輻角 2π/3 ≈ 2.0944，實部 = −1，虛部 ≈ 1.7320508（= √3）。把 k 依序改成 0、1、2，就能求出全部 3 個根。
Excel 的答案是小數，想用根號或分數的精確值回答時，請使用這個頁面的計算機。
第 1 個表的 COMPLEX（實部, 虛部）是建立複數的函數，IMPOWER 是把它的乘方以「-4」這樣的字串傳回的函數。例子 z = 1 + i、n = 4 的結果是：z 的 n 次方幾乎等於 -4（因浮點數誤差，有時會帶有極小的虛部），r^n = 4，nθ = π ≈ 3.14159。
第 2 個表是求第 k 個根的表。IMARGUMENT 會傳回輻角（大於 −π、小於或等於 π），所以先用 MOD 換成 0 以上、未滿 2π，再加上 k 圈後除以 n。例子 z = 8、n = 3、k = 1 的結果是半徑 2、輻角 2π/3 ≈ 2.0944，實部 = −1，虛部 ≈ 1.7320508（= √3）。把 k 依序改成 0、1、2，就能求出全部 3 個根。
Excel 的答案是小數，想用根號或分數的精確值回答時，請使用這個頁面的計算機。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「複數的 n 次方」的表
| 實部 a | 1 |
| 虛部 b | 1 |
| 指數 n | 4 |
| z 的 n 次方 | =IMPOWER(COMPLEX(B1,B2),B3) |
| 絕對值的 n 次方 r^n | =IMABS(COMPLEX(B1,B2))^B3 |
| 輻角的 n 倍 nθ（弧度） | =B3*IMARGUMENT(COMPLEX(B1,B2)) |
求「複數的n 次方根（第 k 個）」的表
| 實部 a | 8 |
| 虛部 b | 0 |
| 根的次數 n | 3 |
| 根的編號 k（0～n−1） | 1 |
| 根所在圓的半徑 | =IMABS(COMPLEX(B1,B2))^(1/B3) |
| 第 k 個根的輻角（弧度） | =(MOD(IMARGUMENT(COMPLEX(B1,B2)),2*PI())+2*PI()*B4)/B3 |
| 第 k 個根的實部 | =B5*COS(B6) |
| 第 k 個根的虛部 | =B5*SIN(B6) |
可以直接使用和 Excel 相同的複數函數（COMPLEX、IMPOWER、IMABS、IMARGUMENT）。把表格整個複製，貼到 A1 儲存格，再把數值改成您自己的值。
用 Python 計算的方法
import cmath
import math
# 複數的 n 次方（結果和棣美弗定理相同）
z = complex(1, 1) # z = 1 + i
n = 4
z_power = z ** n
print(f"z 的 {n} 次方 = {z_power}")
# 極式的材料（絕對值與輻角）
absolute_value, argument = cmath.polar(z) # r 和 θ（−π < θ ≤ π）
if argument < 0:
argument += 2 * math.pi # 換成 0 ≤ θ < 2π 的範圍
print(f"絕對值 r = {absolute_value}")
print(f"輻角 θ = {argument} rad")
# 複數的 n 次方根（列出 k = 0 ～ n−1 共 n 個）
z = complex(8, 0) # z = 8
n = 3
radius = abs(z) ** (1 / n)
theta = cmath.phase(z) % (2 * math.pi)
for k in range(n):
angle = (theta + 2 * math.pi * k) / n
w = cmath.rect(radius, angle)
print(f"w_{k} = {w}")
複數可以用 complex（實部, 虛部）建立，用 ** 直接計算乘方。執行前半 z = 1 + i 的 4 次方，會顯示 (-4+0j)、絕對值 r = 1.4142135623730951（√2 的近似值）、輻角 θ = 0.7853981633974483 rad（π/4 的近似值）。後半是 z = 8 的 3 次方根，執行後會顯示 w_0 = (2+0j)、w_1 ≈ (-1+1.7320508…j)、w_2 ≈ (-1-1.7320508…j) 這 3 個（1.7320508…是 √3 的近似值）。cmath.polar 會傳回絕對值和輻角的組合（輻角大於 −π、小於或等於 π），所以為負時加上 2π，換成 0 以上、未滿 2π。cmath.rect（半徑，角）是由極式建立複數的函數。依數值不同，w_0 的虛部有時會是 2.4e-16 這樣極小的數，這是小數（浮點數）的捨入誤差，實際上是 0。需要根號或分數的精確值時，請使用這個頁面的計算機。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
棣美弗定理
(cosθ + i sinθ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ
(\cos\theta + i\sin\theta)^{n} = \cos n\theta + i\sin n\theta
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>θ</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
<mo>=</mo>
<mi>cos</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
</mrow>
</math>
(cos theta + i sin theta)^n = cos(n theta) + i sin(n theta)
(Cos[theta] + I Sin[theta])^n == Cos[n theta] + I Sin[n theta]
(cos(theta) + I*sin(theta))^n = cos(n*theta) + I*sin(n*theta);
zn = (cos(t) + 1i*sin(t))^n;
(cos θ + i sin θ)^n = cos nθ + i sin nθ
複數的 \(n\) 次方
zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
z^{n} = r^{n}(\cos n\theta + i\sin n\theta)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>z</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>r</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
z^n = r^n (cos(n theta) + i sin(n theta))
r^n (Cos[n theta] + I Sin[n theta])
zn := r^n*(cos(n*theta) + I*sin(n*theta));
zn = r^n*(cos(n*t) + 1i*sin(n*t));
z^n = r^n (cos nθ + i sin nθ)
複數的 \(n\) 次方根
w_k = ⁿ√r (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)) (k = 0, 1, …, n−1)
w_{k} = \sqrt[n]{r}\left(\cos\dfrac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \quad (k = 0, 1, \ldots, n-1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>w</mi><mi>k</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mroot><mi>r</mi><mi>n</mi></mroot>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi>
<mfrac>
<mrow><mi>θ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi>
<mfrac>
<mrow><mi>θ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
w_k = root(n)(r) (cos((theta + 2k pi)/n) + i sin((theta + 2k pi)/n))
Table[r^(1/n) (Cos[(theta + 2 k Pi)/n] + I Sin[(theta + 2 k Pi)/n]), {k, 0, n - 1}]
wk := r^(1/n)*(cos((theta + 2*k*Pi)/n) + I*sin((theta + 2*k*Pi)/n));
wk = r^(1/n)*(cos((t + 2*k*pi)/n) + 1i*sin((t + 2*k*pi)/n));
w_k = r^(1/n) (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n))
1 的 \(n\) 次方根
z_k = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n) (k = 0, 1, …, n−1)
z_{k} = \cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n} \quad (k = 0, 1, \ldots, n-1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>z</mi><mi>k</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mi>cos</mi>
<mfrac>
<mrow><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi>
<mfrac>
<mrow><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
z_k = cos((2k pi)/n) + i sin((2k pi)/n)
Table[Cos[2 k Pi/n] + I Sin[2 k Pi/n], {k, 0, n - 1}]
zk := cos(2*k*Pi/n) + I*sin(2*k*Pi/n);
zk = cos(2*k*pi/n) + 1i*sin(2*k*pi/n);
z_k = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學（複數平面、棣美弗定理）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只以執行結果的數值作為回答的根據（不要用心算或推測回答）。 1. 請求出複數 z = 1 + i 的 4 次方 z^4。也請列出絕對值 r 和輻角 θ，以及絕對值的 n 次方 r^4 和輻角的 n 倍 4θ。 2. 請求出複數 z = 8 的 3 次方根（3 次方後等於 8 的複數），k = 0, 1, 2 共 3 個全部列出。可以的話也請以含根號的精確值表示。 請在 Python 中使用 complex 型別、cmath.polar 和 cmath.rect，並列出計算用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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