請選擇轉換的方向並輸入數值。「直角坐標形式 → 極式」輸入實部 a 和虛部 b，「極式 → 直角坐標形式」輸入絕對值 r 和輻角 θ（也要選擇單位）。
數值請以半形輸入，可以使用小數、負數和 3/4 這樣的分數。直角坐標形式的實部、虛部空白時當作 0。
計算結果與圖形
在左邊的輸入欄輸入數值，按下「計算」，結果和複數平面圖就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 能立即把複數 \(z = a + bi\)（直角坐標形式）化成用絕對值 \(r\) 和輻角 \(\theta\) 表示的極式 \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\)。絕對值會像 \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) 這樣以化簡根號後的精確值表示，輻角若是特殊角，會以 π 的分數的精確值回答
- 輻角 \(\theta\) 以台灣課本的主輻角範圍 \(0 \le \theta < 2\pi\) 為主，也同時列出 \(-\pi < \theta \le \pi\) 範圍的值（不管哪一種寫法都能對答案）
- 也能反過來轉換（極式 → 直角坐標形式）。輸入絕對值 \(r\) 和輻角 \(\theta\)（度、π 的分數或弧度的小數），就會以 \(1 + \sqrt{3}i\) 這樣的精確值顯示 \(a + bi\)
- 可以用計算過程一步一步確認由 \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) 和點所在的象限求出輻角的「象限修正」
- 結果也能用複數平面的圖確認，絕對值 \(r\)（與原點的距離）和輻角 \(\theta\)（從實軸轉過的角）在圖上的位置一目了然
適用於高三數學甲學到的複數平面與極式。實部、虛部可以輸入分數、小數（有理數），不能直接輸入 √3 這樣的無理數。因此輻角會是 π 的分數的精確值的，只有點在坐標軸上和 45° 系列的角（30°、60° 系列的角 tanθ 會是 1/√3 這樣的無理數，不會由有理數的實部、虛部得到）。另外，反方向的「極式 → 直角坐標形式」，30°、45° 的倍數的特殊角全都能以精確值計算。
這個計算有什麼用？
交流電路的計算（電機、電子工程）
家裡插座的交流電，電壓和電流像波一樣振動，帶有「波的大小」和「波的時間錯開（相位）」兩項資訊。電學的標準做法，是用 1 個複數表示這兩項（絕對值＝波的大小、輻角＝相位），直接用極式做乘除來計算電路。
從發電廠到家庭的輸電網設計，到手機充電器裡的電路設計，都靠這種「絕對值與輻角」的計算支撐。這也是電機技師考試會出現、實務上最常用到的複數用途。
聲音與電波的分析（傅立葉轉換、訊號處理）
用電腦處理聲音或電波時，會用一種叫傅立葉轉換的計算，分解成「含有多少各種高低的波」。結果是一串複數，每個成分的絕對值表示該波的強度（振幅），輻角表示波的錯開（相位）。
音樂 App 的等化器、耳機的主動降噪、語音辨識等，許多處理聲音和電波的技術，都以這種「用絕對值和輻角解讀複數」的想法為基礎。
圖形旋轉的計算（遊戲、電腦繪圖）
極式的乘法「絕對值相乘、輻角相加」，從圖形來看就是「縮放與旋轉」。例如乘上 \(i\)（絕對值 1、輻角 90°），點就會繞原點剛好旋轉 90°。2D 遊戲中轉動角色或子彈方向的計算，可以用和複數乘法相同的原理來寫。
3D 電腦繪圖和機器人控制使用的四元數，也是把這種「用複數表示旋轉」的想法推廣到三維空間。
雷達與聲納的「距離與方位」（航空、船舶）
機場的雷達和船上的聲納，是用「離自己的距離」和「在哪個方位」這一組資訊掌握目標的位置。這正是用 \(r\) 和 \(\theta\) 表示點的極式（極坐標）的想法，在它和顯示在螢幕上的位置（縱橫坐標）之間，進行的就是和這個頁面相同的轉換計算。
凡是用「距離與方向」掌握位置比較自然的場合，和直角坐標之間的轉換隨時都會登場。
公式與圖形
極式（複數的另一種表示法）
圖
數學寫法
（一般的數學式）
\(z\)
\(=\)
\(r\)
\(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
複數 \(z\)
\(=\)
①
絕對值 \(r\)（與原點的距離）
②
表示輻角 \(\theta\) 方向的部分
用文字讀公式
①
與原點距離的
絕對值 \(r\)
乘以
②
表示輻角 \(\theta\) 方向的部分 \(\cos\theta + i\sin\theta\)
，就是
③
複數 \(z\)
。
簡單範例
把 \(z = 1 + \sqrt{3}i\) 化成極式（絕對值 \(r = 2\)，輻角 \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\)（60°））
複數 \(1 + \sqrt{3}i\)
\(=\)
絕對值 \(2\)
\(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\)
\(r = \sqrt{1^{2} + \left(\sqrt{3}\right)^{2}} = \sqrt{4} = 2\)
\(1 + \sqrt{3}i = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)
思考重點
同一個複數有兩種表示法。讀成「橫向走 \(a\)、縱向走 \(b\) 的點」的是直角坐標形式 \(a + bi\)；讀成「離原點距離 \(r\)、在從實軸轉 \(\theta\) 角的方向上的點」的是極式。用指路來比喻，直角坐標形式是「往東 1、往北 √3」，極式則是「從正東方向往北轉 60°，再走 2」這樣的指定方式。
加減法用直角坐標形式比較輕鬆，乘除法和乘方用極式比較輕鬆（原因會在下面「極式的乘法」的公式說明）。
絕對值 \(r\)（與原點的距離）
數學寫法
（一般的數學式）
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
\(r\)
\(=\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
②
絕對值 \(r\)
\(=\)
①
實部 \(a\) 與虛部 \(b\) 的平方和的平方根
用文字讀公式
①
實部 \(a\) 的平方加虛部 \(b\) 的平方，再開平方根 \(\sqrt{a^2 + b^2}\)
就是
②
絕對值 \(r\)
。
簡單範例
\(z = 3 + 4i\) 的絕對值是
絕對值 \(r\)
\(=\)
\(\sqrt{3^2 + 4^2}\)
\(r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)
思考重點
這就是國中學的畢氏定理。在複數平面上，點 \(z = a + bi\) 位於「橫 \(a\)、縱 \(b\)」的位置，所以連接原點、點 \((a,\ 0)\) 和點 \(z\) 會形成直角三角形，從原點到 \(z\) 的距離（斜邊）就是 \(\sqrt{a^2 + b^2}\)。
答案的根號習慣寫成像 \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) 這樣把平方因數提出來的最簡根式（這個計算機也以最簡根式顯示）。
輻角 \(\theta\)（由 tanθ 和象限求出）
數學寫法
（一般的數學式）
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
\(\tan\theta\)
\(=\)
\(\dfrac{b}{a}\)
②
輻角 \(\theta\) 的正切
\(=\)
①
虛部 \(b\) 除以實部 \(a\)
用文字讀公式
①
虛部 \(b\) 除以實部 \(a\)
就是
②
輻角 \(\theta\) 的正切 \(\tan\theta\)
（但是只靠這個式子無法決定唯一的 \(\theta\)，要看點 \(z\) 在哪個象限來決定）
簡單範例
\(z = -1 + i\) 的輻角（實部為負、虛部為正，所以點在第二象限）
正切 \(\tan\theta\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{-1} = -1\)
\(\tan\theta = \dfrac{1}{-1} = -1\)
\(\theta = \dfrac{3}{4}\pi \quad \left(a < 0,\ b > 0\right)\)
思考重點
在 \(0 \le \theta < 2\pi\) 的範圍內，滿足 \(\tan\theta = -1\) 的角有 \(\dfrac{3}{4}\pi\)（135°）和 \(\dfrac{7}{4}\pi\)（315°）兩個。哪一個才對，要看點 \(z\) 所在的象限決定。\(z = -1 + i\) 的實部為負、虛部為正，在第二象限（左上），所以選 \(\theta = \dfrac{3}{4}\pi\)。這就是象限修正。
計算機或試算表的 \(\arctan\)（正切的反運算）只會傳回 \(-\dfrac{\pi}{2}\) 到 \(\dfrac{\pi}{2}\) 之間的角，所以第二、第三象限的點直接用它算不出輻角。要把用 \(\arctan\) 求出的銳角，依象限加上 \(\pi\) 等來修正（這個計算機會在計算過程中顯示這個修正）。
極式的乘法（絕對值相乘、輻角相加）
數學寫法
（一般的數學式）
\(z_{1} z_{2}\)
\(=\)
\(r_{1} r_{2}\)
\(\left\{\cos\left(\theta_{1} + \theta_{2}\right) + i\sin\left(\theta_{1} + \theta_{2}\right)\right\}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
兩個複數的積
\(=\)
①
絕對值的積
②
表示輻角和的方向的部分
用文字讀公式
①
絕對值的積 \(r_1 r_2\)
乘以
②
表示輻角和 \(\theta_1 + \theta_2\) 方向的部分
，就是
③
兩個複數的積 \(z_1 z_2\)
（乘上 \(z_2\) 後，長度變成 \(r_2\) 倍，方向旋轉 \(\theta_2\)）
簡單範例
\(z_1 = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\) 與 \(z_2 = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\) 的積是
積 \(z_1 z_2\)
\(=\)
絕對值的積 \(2 \times 3\)
\(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)
\(z_1 z_2 = 2 \times 3\left\{\cos\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right)\right\}\)
\(z_1 z_2 = 6\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right) = 6i\)
思考重點
這就是極式最大的好處。直角坐標形式的乘法要用分配律展開成 4 項，用極式則只要「絕對值相乘、輻角相加」就完成了。
從圖形來看，乘上 \(z_2\) 就是「以原點為中心旋轉 \(\theta_2\)，再放大成 \(r_2\) 倍」的操作。例如乘上 \(i\)（絕對值 1、輻角 90°），點就會繞原點剛好旋轉 90°。
把這個性質用在同一個數連乘 \(n\) 次，就得到棣美弗定理 \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\)，進一步發展成複數的 \(n\) 次方和 \(n\) 次方根的計算（高三數學甲）。
複數 \(z = a + bi\) 也可以用絕對值 \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\)（與原點的距離）和輻角 \(\theta\)（從實軸正向逆時針量的角），寫成極式 \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)。輻角由 \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) 和點所在的象限求出。化成極式後，複數的乘法就變成「絕對值相乘、輻角相加」這種簡單的操作。
符號與用語解說
符號
| \(i\) | i | 虛數單位，平方後等於 \(-1\) 的數（\(i^2 = -1\)）。名稱來自 imaginary number（想像的數）的字首。 |
| \(z\) | z | 常用來表示複數的文字。為了和實數變數用的 \(x,\ y\) 區分，複數習慣用 \(z\) 或 \(w\) 表示。 |
| \(a,\ b\) | a、b | \(z = a + bi\) 的實部（\(a\)）和虛部（\(b\)），兩者都是實數。在複數平面上，\(a\) 是橫向（實軸方向）的位置，\(b\) 是縱向（虛軸方向）的位置。 |
| \(r\) | r | 表示絕對值（從原點到點 \(z\) 的距離）的文字，名稱來自 radius（半徑）的字首。在極式中是大於或等於 0 的實數。 |
| \(|z|\) | z 的絕對值 | 表示複數 \(z\) 的絕對值的符號。和實數的絕對值一樣用兩條直線表示，\(|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\)。 |
| \(\theta\) | theta | 用來表示輻角的希臘字母，在數學中習慣用來表示角度。 |
| \(\arg z\) | arg z | 表示 \(z\) 的輻角的符號，取自英文 argument（輻角）的前 3 個字母。台灣的課本也會用大寫的 \(\operatorname{Arg} z\) 表示主輻角（\(0 \le \theta < 2\pi\)）。 |
| \(\cos\theta,\ \sin\theta\) | cosine theta、sine theta | 三角比（三角函數）。在半徑 1 的圓（單位圓）上，往角 \(\theta\) 的方向前進的點，橫向位置是 \(\cos\theta\)，縱向位置是 \(\sin\theta\)。在極式中扮演「表示方向的零件」的角色。 |
| \(\tan\theta\) | tangent theta | 三角比之一，定義為 \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)。在複數平面上 \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\)（縱 ÷ 橫＝斜率），是求輻角的線索。 |
| \(\arctan\) | arctangent | 正切的反運算，傳回「滿足 \(\tan\theta = x\) 的角 \(\theta\)」。傳回的角只在 \(-\dfrac{\pi}{2}\) 到 \(\dfrac{\pi}{2}\) 之間，所以求第二、第三象限的輻角時需要象限修正。 |
| \(\pi\) | pi | 圓周率（約 3.14159）。在弧度法中，轉半圈的角 \(180^{\circ}\) 剛好是 \(\pi\)。表示圓周率的希臘字母 \(\pi\)，據說來自希臘文中表示「周長、周圍」的詞（perimetros）的字首。 |
用語
| 複數 | 可以寫成 \(a + bi\)（\(a,\ b\) 是實數）形式的數，是把實數和虛數合在一起的數系。台灣在高三選修數學中學習。 |
| 虛數單位 | 平方後等於 \(-1\) 的數 \(i\)。因為實數中沒有平方後變成負數的數，所以引進了這個新的數。 |
| 實部 | 複數 \(z = a + bi\) 的 \(a\) 的部分，在複數平面上相當於橫坐標。 |
| 虛部 | 複數 \(z = a + bi\) 的 \(b\) 的部分。是「\(i\) 前面的實數」，要注意不含 \(i\) 本身（\(1 + 2i\) 的虛部是 \(2\)，不是 \(2i\)）。 |
| 複數平面 | 把複數 \(a + bi\) 表示成點 \((a,\ b)\) 的平面。橫軸稱為實軸，縱軸稱為虛軸。也稱為高斯平面，台灣在高三數學甲中學習。 |
| 直角坐標形式 | 把複數寫成 \(a + bi\) 形式（橫 \(a\)、縱 \(b\) 的坐標）的表示法。加減法用這個形式比較好算。 |
| 極式 | 用「與原點的距離 \(r\)」和「從實軸轉過的角 \(\theta\)」表示複數的表示法 \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\)。乘除法和乘方用這個形式比較好算。 |
| 絕對值 | 從原點到點 \(z\) 的距離，用 \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) 計算。是把實數的絕對值（數線上與 0 的距離）推廣到平面上。 |
| 輻角 | 從實軸正向逆時針量到「原點往點 \(z\) 的方向」的角，符號是 \(\arg z\)。加上一圈（\(2\pi\)）仍是同一個方向，所以習慣把範圍定為 \(0 \le \theta < 2\pi\)（台灣課本稱為主輻角）或 \(-\pi < \theta \le \pi\) 來回答。 |
| 象限 | 用兩條坐標軸把坐標平面分成的 4 個區域。右上是第一象限，從那裡逆時針依序是第二、第三、第四象限。決定輻角的值時，點在哪個象限是關鍵。 |
| 弧度法 （弧度） |
用半徑 1 的圓的弧長來量角的大小的方法，也稱為弧度量。\(180^{\circ} = \pi\) 弧度。高二學三角函數之後，標準的單位就是弧度而不是度。 |
| 特殊角 | \(30^{\circ}\)、\(45^{\circ}\)、\(60^{\circ}\) 和同類的角（再加上 \(90^{\circ}\) 的倍數的角）。三角比的值能寫成 \(\dfrac{1}{2}\)、\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)、\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 這樣的精確值，課本和考試的題目幾乎都用這些角出題。 |
| 象限修正 | 一圈之內滿足 \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) 的角有 2 個，所以要選出符合點所在象限的那一個（例如在用 \(\arctan\) 求出的銳角加上 \(\pi\)）的修正。 |
| 棣美弗定理 | \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\) 這個定理。是把「乘法＝輻角相加」重複 \(n\) 次的結果，用來計算複數的 \(n\) 次方和 \(n\) 次方根（高三數學甲）。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意思」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
卡住的時候，回到這裡的內容複習是最快的方法。
| 平方根與根號的計算（國中八年級，13～14 歲） |
|
| 畢氏定理（國中八年級，13～14 歲） |
|
| 複數（高三選修數學，17～18 歲） |
|
| 三角比與廣義角（高一～高二，15～17 歲） |
|
| 弧度法（高二，16～17 歲） |
|
| 複數平面（高三數學甲，17～18 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「直角坐標形式 → 極式」的表
| 實部 a | 3 |
| 虛部 b | 4 |
| 絕對值 r | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 輻角 θ（弧度，0 ≤ θ < 2π） | =MOD(ATAN2(B1,B2),2*PI()) |
| 輻角 θ（度） | =DEGREES(MOD(ATAN2(B1,B2),2*PI())) |
求「極式 → 直角坐標形式」的表
| 絕對值 r | 2 |
| 輻角 θ（度） | 60 |
| 實部 a = r cosθ | =B1*COS(RADIANS(B2)) |
| 虛部 b = r sinθ | =B1*SIN(RADIANS(B2)) |
貼上後，上面幾列是輸入欄，下面幾列會自動算出結果。
第 1 個表的 ATAN2（x 坐標，y 坐標）是傳回已完成象限修正的輻角（大於 −π、小於或等於 π）的函數。用 MOD 換成除以 2π 的餘數，就變成 0 以上、未滿 2π 範圍的輻角。例子 z = 3 + 4i 的結果是 r = 5、θ ≈ 0.9273（約 53.13 度）。
第 2 個表的 RADIANS 是把度換成弧度的函數。例子 r = 2、θ = 60 度的結果是 a = 1、b ≈ 1.7320508（= √3）。Excel 的答案是小數，想用 √2 或 π 的分數這類精確值回答時，請使用這個頁面的計算機。
第 1 個表的 ATAN2（x 坐標，y 坐標）是傳回已完成象限修正的輻角（大於 −π、小於或等於 π）的函數。用 MOD 換成除以 2π 的餘數，就變成 0 以上、未滿 2π 範圍的輻角。例子 z = 3 + 4i 的結果是 r = 5、θ ≈ 0.9273（約 53.13 度）。
第 2 個表的 RADIANS 是把度換成弧度的函數。例子 r = 2、θ = 60 度的結果是 a = 1、b ≈ 1.7320508（= √3）。Excel 的答案是小數，想用 √2 或 π 的分數這類精確值回答時，請使用這個頁面的計算機。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「直角坐標形式 → 極式」的表
| 實部 a | 3 |
| 虛部 b | 4 |
| 絕對值 r | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 輻角 θ（弧度，0 ≤ θ < 2π） | =MOD(ATAN2(B1,B2),2*PI()) |
| 輻角 θ（度） | =DEGREES(MOD(ATAN2(B1,B2),2*PI())) |
求「極式 → 直角坐標形式」的表
| 絕對值 r | 2 |
| 輻角 θ（度） | 60 |
| 實部 a = r cosθ | =B1*COS(RADIANS(B2)) |
| 虛部 b = r sinθ | =B1*SIN(RADIANS(B2)) |
可以直接使用和 Excel 相同的公式（ATAN2 引數的順序也一樣是「x 坐標，y 坐標」）。把表格整個複製，貼到 A1 儲存格，再把數值改成您自己的值。
用 Python 計算的方法
import math
# 直角坐標形式 -> 極式
real_part = 3 # 實部 a
imaginary_part = 4 # 虛部 b
absolute_value = math.sqrt(real_part ** 2 + imaginary_part ** 2)
argument = math.atan2(imaginary_part, real_part) # 已包含象限修正（-π < θ ≤ π）
if argument < 0:
argument += 2 * math.pi # 換成 0 ≤ θ < 2π 的範圍
print(f"絕對值 r = {absolute_value}")
print(f"輻角 θ = {argument} rad（{math.degrees(argument)} 度）")
# 極式 -> 直角坐標形式
r = 2
theta_degree = 60
theta = math.radians(theta_degree)
print(f"實部 a = {r * math.cos(theta)}")
print(f"虛部 b = {r * math.sin(theta)}")
math.atan2(y, x) 是傳回已完成象限修正的輻角的函數，和 arctan 不同，第二、第三象限的點也能得到正確的方向。這個例子的前半是 z = 3 + 4i 的轉換，執行後會顯示 r = 5.0、θ ≈ 0.9272952180016122 rad（約 53.13 度）。後半是 r = 2、θ = 60° 的反向轉換，得到 a ≈ 1.0000000000000002、b ≈ 1.7320508075688772（= √3）。a 不剛好是 1，是因為小數（浮點數）的捨入誤差；需要精確值時，要像這個頁面的計算機一樣用符號來計算。用標準函式庫 cmath 模組的 cmath.polar(complex(3, 4))，也能一次求出絕對值和輻角（−π < θ ≤ π）。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
極式（複數的另一種表示法）
z = r(cosθ + i sinθ)
z = r(\cos\theta + i\sin\theta)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>z</mi>
<mo>=</mo>
<mi>r</mi>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>θ</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
z = r(cos theta + i sin theta)
z == r (Cos[theta] + I Sin[theta])
z := r*(cos(theta) + I*sin(theta));
z = r*(cos(theta) + 1i*sin(theta));
z = r(cos θ + i sin θ)
絕對值 \(r\)（與原點的距離）
r = |z| = √(a² + b²)
r = |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<mo>|</mo><mi>z</mi><mo>|</mo>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
r = |z| = sqrt(a^2 + b^2)
Abs[a + b I]
r := abs(a + b*I);
r = abs(a + b*1i);
r = √(a^2 + b^2)
輻角 \(\theta\)（由 tanθ 和象限求出）
tanθ = b/a
\tan\theta = \dfrac{b}{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>tan</mi><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mi>a</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
tan theta = b/a
theta = Arg[a + b I]
theta := argument(a + b*I);
theta = angle(a + b*1i);
tan θ = b/a
極式的乘法（絕對值相乘、輻角相加）
z₁z₂ = r₁r₂{cos(θ₁+θ₂) + i sin(θ₁+θ₂)}
z_{1}z_{2} = r_{1}r_{2}\{\cos(\theta_{1}+\theta_{2}) + i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>z</mi><mn>1</mn></msub>
<msub><mi>z</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>r</mi><mn>1</mn></msub>
<msub><mi>r</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>{</mo>
<mi>cos</mi>
<mo>(</mo>
<msub><mi>θ</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>θ</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi>
<mi>sin</mi>
<mo>(</mo>
<msub><mi>θ</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>θ</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>)</mo>
<mo>}</mo>
</mrow>
</math>
z_1 z_2 = r_1 r_2 (cos(theta_1 + theta_2) + i sin(theta_1 + theta_2))
r1 r2 (Cos[theta1 + theta2] + I Sin[theta1 + theta2])
z1z2 := r1*r2*(cos(theta1 + theta2) + I*sin(theta1 + theta2));
z12 = r1*r2*(cos(t1 + t2) + 1i*sin(t1 + t2));
z_1 z_2 = r_1 r_2 (cos(θ_1+θ_2) + i sin(θ_1+θ_2))
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學（複數平面）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只以執行結果的數值作為回答的根據（不要用心算或推測回答）。 1. 請把複數 z = 3 + 4i 化成極式 r(cosθ + i sinθ)。請列出絕對值 r，以及輻角 θ（0 ≤ θ < 2π 的範圍，同時以弧度和度表示）。 2. 請把絕對值 r = 2、輻角 θ = 60° 的複數化成直角坐標形式 a + bi。a、b 除了小數，可以的話也請以含根號的精確值表示。 請在 Python 中使用 math.atan2 和 math.sqrt，並列出計算用的公式和執行結果的數值。
使用方法
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1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
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2計算按下「計算」按鈕
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3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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