請輸入係數 a，並選擇要計算的內容（模式）。求 y 的範圍或平均變化率時輸入 x 的範圍 p、q，求 y 的值時輸入 x 的值。
請用半形輸入數字。可以使用小數、負數和 1/2 這樣的分數。欄位會依模式自動切換。
計算結果與圖表
在左邊的輸入欄填入係數 a 和 x 的範圍（或 x 的值），按下「計算」，結果和圖形就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 針對二次函數 \(y = ax^{2}\)，可以由 x 的範圍 \(p \le x \le q\) 求出 y 的範圍（值域）。範圍是否包含 0 的分情況討論（最小值或最大值落在頂點的 0 的情形），也會在計算過程中說明
- 計算 x 從 \(p\) 增加到 \(q\) 時的平均變化率，同時用定義 \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)（y 的變化量 ÷ x 的變化量）的計算過程，以及公式 \(a(p+q)\) 兩種方法求出
- 也能由 x 的值求出 y 的值（圖形上的點）
- 係數 a 除了整數、小數，也能輸入像 1/2 這樣的分數
- 會畫出拋物線的圖形：範圍模式會標出對應的那一段和 y 的範圍，平均變化率模式會畫出連接兩點的直線。淺顯易懂的公式解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面
本頁的對象是頂點在原點的 \(y = ax^{2}\)。一般式 \(y = ax^{2} + bx + c\) 的頂點與最大值、最小值，請使用相關頁面的配方法計算機。
這個計算有什麼用？
拋出去的球的軌跡（拋物線名稱的由來）
忽略空氣阻力時，斜斜拋出的球所畫出的曲線就是拋物線（把 \(y = ax^{2}\) 的圖形平移後的形狀）。「拋物線」這個名稱，本身就來自「拋出物體時畫出的線」。
棒球的高飛球、籃球的投籃、噴水池的水柱也都是這個形狀，運動模擬和電玩中球的移動計算，也都會用到這個函數。
落下距離與時間的平方成正比（自由落體）
忽略空氣阻力時，放手後物體落下的距離，與開始落下後經過時間的平方成正比。距離用公尺、時間用秒表示時，係數大約是 4.9，得到二次函數 \(y = 4.9x^{2}\)。
1 秒約落下 4.9 m，2 秒約落下 19.6 m。時間變成 2 倍，落下的距離就變成 4 倍。伽利略發現的這個定律，是物理課學習運動計算的起點。
汽車的煞車距離大約與速度的平方成正比（交通安全）
汽車從踩下煞車到停下來所行駛的距離（煞車距離），大約與速度的平方成正比。速度變成 2 倍，停下來所需的距離大約變成 4 倍。
「為什麼超速很危險」的數學理由，就是這個平方的正比關係。這也是駕照考試和駕訓班會教的觀念，是和行車安全直接相關的應用。
碟型天線與反射鏡（把電波或光集中到一點）
把拋物線繞著對稱軸旋轉得到的形狀（拋物面）有一個性質：與軸平行射入的電波或光，全都會集中到一點（焦點）。
衛星電視的碟型天線和電波望遠鏡，就是利用這個性質收集微弱的電波；手電筒和汽車頭燈的反射鏡則反過來使用，讓光筆直地射出去。
風力大約與風速的平方成正比（颱風、建築）
風推動物體的力（風壓）大約與風速的平方成正比。風速變成 2 倍，力量大約變成 4 倍，這就是颱風的風速只要稍微增強，災情就會急遽擴大的原因。
設計建築物和橋梁時，會根據預想的風速，用這個平方的正比關係估算風壓，再決定結構需要的強度。
公式與圖形
二次函數的式子 \(y = ax^{2}\)
圖形
數學寫法
（一般的數學式）
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
\(y\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(x^{2}\)
③
\(y\) 的值
\(=\)
②
係數 \(a\)
\(\times\)
①
\(x\) 的平方 \(x^{2}\)
用文字讀公式
①
\(x\) 的平方 \(x^{2}\)
乘以
②
係數 \(a\)
，就得到
③
\(y\) 的值
簡單範例
\(y = 2x^{2}\) 在 \(x = 3\) 時，\(y\) 的值是
\(y\) 的值
\(=\)
係數（2）
\(\times\)
3 的平方（9）
\(y = 2 \times 3^{2} = 2 \times 9 = 18\)
思考重點
\(y = ax^{2}\) 是「y 與 x 的平方成正比」的函數。它就是把正比 \(y = ax\) 的 \(x\) 換成 \(x^{2}\) 的形式。
圖形是以原點 (0, 0) 為頂點的平滑曲線（拋物線）。\(a > 0\) 時開口向上，\(a < 0\) 時開口向下。\(a\) 的絕對值越大，開口越小（越陡）。
計算時要注意「先平方、再相乘」的順序。特別是負數的平方，要像 \(\left(-3\right)^{2} = 9\) 這樣加上括號計算。
y 的範圍（x 的範圍包含 \(0\)、\(a > 0\) 時）
圖形
數學寫法
（一般的數學式）
\(0\)
\(\le\)
\(y\)
\(\le\)
\(am^{2}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
頂點的 \(y\) 坐標 \(0\)（最小值）
\(\le\)
③
範圍內 \(y\) 的值
\(\le\)
①
離 \(0\) 較遠的一端 \(m\) 的值 \(am^{2}\)（最大值）
用文字讀公式
①
設範圍兩端 \(p\)、\(q\) 中離 \(0\) 較遠的一端（絕對值較大的一端）為 \(m\)，最大值是
離 \(0\) 較遠的一端 \(m\) 的值 \(am^{2}\)
；
②
最小值不是端點的值，而是
頂點的 \(y\) 坐標 \(0\)
，所以
③
範圍內 \(y\) 的值
會落在「大於或等於 \(0\)、小於或等於 \(am^{2}\)」的範圍
簡單範例
\(y = x^{2}\) 在 x 的範圍為 \(-1 \le x \le 2\) 時（離 \(0\) 較遠的一端是 \(m = 2\)）
頂點的 \(y\) 坐標（0）
\(\le\)
\(y\) 的值
\(\le\)
\(x = 2\) 時的值（4）
\(x = -1 \Rightarrow y = 1, \quad x = 0 \Rightarrow y = 0, \quad x = 2 \Rightarrow y = 4\)
\(0 \le y \le 4\)
思考重點
y 的範圍不能只靠「代入兩端的 x 所得的值」來決定。正確的做法是想像圖形中對應的那一段（\(p \le x \le q\) 這一段拋物線），讀出這一段最低和最高的 y。
x 的範圍包含 \(x = 0\)（頂點）時，圖形會先下降到頂點 (0, 0) 再往上折返，所以最小值不是端點的值，而是 \(0\)。以範例的 \(-1 \le x \le 2\) 來說，只看兩端的值 \(1\) 和 \(4\) 就答「\(1 \le y \le 4\)」，是最常見的錯誤。
x 的範圍不包含 \(0\) 時，圖形在這個區間內只會遞增或只會遞減，所以兩端的值就是最小值和最大值。
範圍兩端的絕對值相等時（例如 \(-2 \le x \le 2\)），兩端的 \(am^{2}\) 都一樣，所以最大值出現在兩端 \(x = \pm 2\)。
\(a < 0\)（開口向下）時大小會反過來：最大值是頂點的 \(0\)，最小值是 \(am^{2}\)。
平均變化率（\(x\) 從 \(p\) 增加到 \(q\) 時）
圖形
數學寫法
（一般的數學式）
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)
\(=\)
\(aq^{2} - ap^{2}\)
\(\div\)
\(q - p\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
平均變化率
\(=\)
①
\(y\) 的變化量 \(\Delta y\)（後的 \(y\) − 前的 \(y\)）
\(\div\)
②
\(x\) 的變化量 \(\Delta x\)（後的 \(x\) − 前的 \(x\)）
用文字讀公式
①
\(y\) 的變化量 \(\Delta y\)（變化後的 \(y\) 減變化前的 \(y\)）
除以
②
\(x\) 的變化量 \(\Delta x\)（變化後的 \(x\) 減變化前的 \(x\)）
，就得到
③
平均變化率
簡單範例
\(y = 2x^{2}\) 中 x 從 \(1\) 增加到 \(3\) 時（\(y\) 從 \(2\) 增加到 \(18\)）
平均變化率
\(=\)
y 的變化量（18 − 2 = 16）
\(\div\)
x 的變化量（3 − 1 = 2）
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{18 - 2}{3 - 1} = \dfrac{16}{2} = 8\)
思考重點
平均變化率的求法（y 的變化量 ÷ x 的變化量）和一次函數一樣，但有一個很大的不同：一次函數 \(y = ax + b\) 的變化率不論在哪裡量都是 \(a\)（斜率），而 \(y = ax^{2}\) 的平均變化率不是固定的，會隨著 x 從哪裡增加到哪裡而改變。
從圖形來看，平均變化率就是連接兩點的直線（割線）的斜率。拋物線是陡峭程度隨位置改變的曲線，所以連接的兩點一變，直線的斜率也跟著改變。
\(y = ax^{2}\) 的平均變化率公式 \(a(p+q)\)
數學寫法
（一般的數學式）
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\((p + q)\)
③
平均變化率
\(=\)
②
係數 \(a\)
\(\times\)
①
變化前與變化後的 \(x\) 的和 \(p + q\)
用文字讀公式
①
變化前與變化後的 \(x\) 的和 \(p + q\)
乘以
②
係數 \(a\)
，就得到
③
平均變化率
簡單範例
\(y = 2x^{2}\) 中 x 從 \(1\) 增加到 \(3\) 時
平均變化率
\(=\)
係數（2）
\(\times\)
1 和 3 的和（4）
\(2 \times (1 + 3) = 2 \times 4 = 8\)
思考重點
這個公式是只有 \(y = ax^{2}\)（頂點在原點）時才能用的捷徑。y 的變化量 \(aq^{2} - ap^{2}\) 可以因式分解成 \(a(q + p)(q - p)\)，除以 x 的變化量 \(q - p\) 後，就只剩下 \(a(p + q)\)。
用定義（\(\Delta y \div \Delta x\)）計算也一定會得到相同的值。建議先用定義理解意義，再把公式用在驗算或節省時間上。另外，一般式 \(y = ax^{2} + bx + c\) 的公式會變成 \(a(p+q)+b\)。
二次函數 \(y = ax^{2}\) 的圖形是以原點 (0, 0) 為頂點的拋物線。y 的範圍不要只用兩端的值決定，要看圖形中對應 x 範圍的那一段。x 的範圍包含 \(x = 0\) 時，最小值（\(a < 0\) 時是最大值）是頂點的 \(0\)。和一次函數不同，平均變化率不是固定的；x 從 \(p\) 增加到 \(q\) 時，平均變化率等於 \(a(p+q)\)。
符號與用語解說
符號
| \(a\) | a | 係數：乘在 \(x^{2}\) 前面的數，決定圖形的開口方向（\(a > 0\) 向上，\(a < 0\) 向下）和開口大小。習慣上會用字母表前面的 \(a,\ b,\ c\) 表示「固定的數」。 |
| \(x,\ y\) | x、y | 變數：表示可以取各種值的數的字母。習慣上會用字母表後面的 \(x,\ y,\ z\) 表示「未知的數、會變的數」。在本頁中，決定了 \(x\)，\(y\) 就跟著決定。 |
| \(p,\ q\) | p、q | x 的範圍的兩端。在範圍模式中是範圍的左端與右端，在平均變化率模式中是變化前與變化後的 x 值。本頁一律設 \(p < q\)（p 是較小的一方）。 |
| \(m\) | m | 本頁說明 y 的範圍時使用的字母，指範圍兩端 \(p\)、\(q\) 中離 \(0\) 較遠的一端（絕對值較大的一端）。最大值（\(a < 0\) 時是最小值）出現在這一端。兩端的絕對值相等時，兩端的值相同。 |
| \(\Delta x,\ \Delta y\) | delta x、delta y | x 的變化量與 y 的變化量。\(\Delta\)（delta）是相當於 difference（差）字首 D 的希臘字母，用來表示「變化後的值 − 變化前的值」。 |
| \(\le\) | 小於或等於 | 包含端點值的不等號。\(-1 \le x \le 3\) 表示「x 大於或等於 −1，且小於或等於 3」，−1 和 3 都包含在內。有些國家（例如日本）會寫成兩條線的 \(\leqq\)，意思相同。 |
| \(x^{2}\) | x 平方 | \(x\) 自乘一次（\(x^{2} = x \times x\)）。右上的小 2（指數）表示相乘的個數。負數的平方要像 \(\left(-3\right)^{2} = 9\) 這樣加上括號計算。 |
用語
| 函數 | 每決定一個 x 的值，就恰好對應一個 y 的值時，我們說「y 是 x 的函數」。\(y = ax^{2}\) 也是決定 x 就恰好決定一個 y 的函數。 |
| 二次函數 | y 可以用 x 的二次式表示的函數。最簡單的形式是頂點在原點的 \(y = ax^{2}\)；一般式 \(y = ax^{2} + bx + c\) 的頂點可以移到原點以外的位置。台灣在國中九年級學習。 |
| 係數 | 乘在變數前面的數，例如 \(y = ax^{2}\) 的 \(a\)（\(x^{2}\) 項的係數）。\(y = ax^{2}\) 表示「y 與 x 的平方成正比」，所以 \(a\) 的角色和正比 \(y = ax\) 的 \(a\) 相同。 |
| 拋物線 | \(y = ax^{2}\) 的圖形，是左右對稱的平滑曲線。名稱的由來是它和把東西斜斜拋出去時的軌跡形狀相同。 |
| 頂點 | 拋物線折返的點。\(y = ax^{2}\) 的頂點是原點 (0, 0)，\(a > 0\) 時是圖形的最低點，\(a < 0\) 時是最高點。 |
| 原點 | 坐標平面的中心，也就是坐標 (0, 0) 的點，是 x 軸與 y 軸的交點。取 origin（起點）的字首，記作 \(O\)。 |
| 定義域與值域 | 變數可以取的值的範圍，用 \(-1 \le x \le 3\) 這樣的不等式表示。x 的範圍叫做定義域，在這個範圍內 y 所取的值的範圍叫做值域。國中通常直接說「x 的範圍」「y 的範圍」。 |
| 平均變化率 | y 的變化量除以 x 的變化量（\(\Delta y \div \Delta x\)），表示「x 每增加 1，y 平均增加多少」。一次函數的變化率是固定的（斜率 a），二次函數則會隨區間而改變。 |
| 變化量 | 用「變化後的值 − 變化前的值」算出的改變量。值變小時，變化量是負的（例如從 18 變成 2，變化量是 −16）。 |
| 開口向上 | \(a > 0\) 時，拋物線呈現像山谷的形狀。 |
| 開口向下 | \(a < 0\) 時，拋物線呈現像山的形狀。 |
| 一次函數 | \(y = ax + b\) 形式的函數（圖形是直線，也叫線型函數）。變化率在哪裡都一樣，是和二次函數最大的不同。台灣在國中八年級學習。 |
建議先了解的基礎知識
為了讓您「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了事先了解會更好懂的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習這些內容是最快的捷徑。
| 正負數（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 正比（國小六年級～國中七年級，11～13 歲） |
|
| 坐標與圖形（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 不等式與範圍（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 一次函數與變化率（國中八年級，13～14 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「x 的範圍 → y 的範圍」的表格
| 係數 a | 2 |
| 範圍的左端 p | -1 |
| 範圍的右端 q | 3 |
| 左端的 y 值 | =B1*B2^2 |
| 右端的 y 值 | =B1*B3^2 |
| y 的最小值 | =IF(AND(B2<=0,B3>=0),MIN(0,B4,B5),MIN(B4,B5)) |
| y 的最大值 | =IF(AND(B2<=0,B3>=0),MAX(0,B4,B5),MAX(B4,B5)) |
求「平均變化率」的表格
| 係數 a | 2 |
| 變化前的 x（p） | 1 |
| 變化後的 x（q） | 3 |
| 變化前的 y | =B1*B2^2 |
| 變化後的 y | =B1*B3^2 |
| 平均變化率（Δy÷Δx） | =(B5-B4)/(B3-B2) |
| 用公式 a(p+q) 驗算 | =B1*(B2+B3) |
求「x 的值 → y 的值」的表格
| 係數 a | 2 |
| x 的值 | 3 |
| y 的值 | =B1*B2^2 |
貼上後，上方的列（係數和 x 的範圍）就是輸入欄，下方的列會自動算出結果。「^」是次方（^2 是平方），「*」是乘法。
第一個表格是 y = 2x²、−1 ≤ x ≤ 3 的例子。左端和右端的 y 值是 2 和 18，求出最小值 0、最大值 18（y 的範圍是 0 ≤ y ≤ 18）。IF(AND(B2<=0,B3>=0),…) 的部分是在判斷「x 的範圍是否包含 0」，包含時會把頂點的 0 也列入最小值、最大值的候選。a 是負數時也能直接使用。
第二個表格是 y = 2x² 中 x 從 1 增加到 3 的例子。用定義（Δy÷Δx）的儲存格和用公式 a(p+q) 的儲存格，結果都是 8。
第三個表格是把 x = 3 代入 y = 2x² 的例子，結果是 18。
第一個表格是 y = 2x²、−1 ≤ x ≤ 3 的例子。左端和右端的 y 值是 2 和 18，求出最小值 0、最大值 18（y 的範圍是 0 ≤ y ≤ 18）。IF(AND(B2<=0,B3>=0),…) 的部分是在判斷「x 的範圍是否包含 0」，包含時會把頂點的 0 也列入最小值、最大值的候選。a 是負數時也能直接使用。
第二個表格是 y = 2x² 中 x 從 1 增加到 3 的例子。用定義（Δy÷Δx）的儲存格和用公式 a(p+q) 的儲存格，結果都是 8。
第三個表格是把 x = 3 代入 y = 2x² 的例子，結果是 18。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「x 的範圍 → y 的範圍」的表格
| 係數 a | 2 |
| 範圍的左端 p | -1 |
| 範圍的右端 q | 3 |
| 左端的 y 值 | =B1*B2^2 |
| 右端的 y 值 | =B1*B3^2 |
| y 的最小值 | =IF(AND(B2<=0,B3>=0),MIN(0,B4,B5),MIN(B4,B5)) |
| y 的最大值 | =IF(AND(B2<=0,B3>=0),MAX(0,B4,B5),MAX(B4,B5)) |
求「平均變化率」的表格
| 係數 a | 2 |
| 變化前的 x（p） | 1 |
| 變化後的 x（q） | 3 |
| 變化前的 y | =B1*B2^2 |
| 變化後的 y | =B1*B3^2 |
| 平均變化率（Δy÷Δx） | =(B5-B4)/(B3-B2) |
| 用公式 a(p+q) 驗算 | =B1*(B2+B3) |
求「x 的值 → y 的值」的表格
| 係數 a | 2 |
| x 的值 | 3 |
| y 的值 | =B1*B2^2 |
和 Excel 相同的公式可以直接使用。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把係數和 x 的範圍改成您自己的數值即可。
用 Python 計算的方法
from fractions import Fraction
coefficient_a = Fraction(2) # 係數 a（像 1/2 這樣的分數可以寫成 Fraction(1, 2)）
left_end = Fraction(-1) # 範圍的左端 p（平均變化率時是變化前的 x）
right_end = Fraction(3) # 範圍的右端 q（平均變化率時是變化後的 x）
y_left = coefficient_a * left_end ** 2
y_right = coefficient_a * right_end ** 2
# y 的範圍：依 x 的範圍是否包含 0（頂點）分情況
if left_end <= 0 <= right_end:
candidates = [Fraction(0), y_left, y_right]
else:
candidates = [y_left, y_right]
y_min = min(candidates)
y_max = max(candidates)
print(f"y 的範圍：{y_min} <= y <= {y_max}")
# 平均變化率（x 從 p 增加到 q）
rate = (y_right - y_left) / (right_end - left_end)
print(f"平均變化率（定義 Δy÷Δx）：{rate}")
print(f"平均變化率（公式 a(p+q)）：{coefficient_a * (left_end + right_end)}")
使用標準函式庫的 fractions 模組，就能用精確的分數計算，不會有小數的捨入誤差。這個例子是 y = 2x²、x 的範圍為 −1 ≤ x ≤ 3。執行後會顯示 y 的範圍「0 <= y <= 18」，以及 x 從 −1 增加到 3 時的平均變化率「4」（用定義和公式都是相同的值）。請改寫係數和範圍後再執行。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
二次函數的式子 \(y = ax^{2}\)
y = ax²
y = ax^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
y = a x^2
a x^2
y := a*x^2;
y = a*x^2;
y = ax^2
y 的範圍（x 的範圍包含 \(0\)、\(a > 0\) 時）
0 ≤ y ≤ am²
0 \le y \le am^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mn>0</mn>
<mo>≤</mo>
<mi>y</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>a</mi>
<msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
0 <= y <= a m^2
{MinValue[{a x^2, p <= x <= q}, x], MaxValue[{a x^2, p <= x <= q}, x]}
minimize(a*x^2, x = p .. q); maximize(a*x^2, x = p .. q);
m = max(abs(p), abs(q)); ymin = 0; ymax = a*m^2;
0 ≤ y ≤ am^2
平均變化率（\(x\) 從 \(p\) 增加到 \(q\) 時）
Δy/Δx = (aq² − ap²)/(q − p)
\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{aq^{2} - ap^{2}}{q - p}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>y</mi></mrow>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>x</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi><msup><mi>q</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<mi>a</mi><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
<mrow><mi>q</mi><mo>−</mo><mi>p</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
(Delta y)/(Delta x) = (a q^2 - a p^2)/(q - p)
(a q^2 - a p^2)/(q - p)
rate := (a*q^2 - a*p^2)/(q - p);
rate = (a*q^2 - a*p^2)/(q - p);
Δy/Δx = (aq^2 − ap^2)/(q − p)
\(y = ax^{2}\) 的平均變化率公式 \(a(p+q)\)
Δy/Δx = a(p + q)
\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = a(p + q)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>y</mi></mrow>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>x</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>(</mo>
<mi>p</mi>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
(Delta y)/(Delta x) = a(p + q)
a (p + q)
rate := a*(p + q);
rate = a*(p + q);
Δy/Δx = a(p + q)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學（函數）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並且只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。 針對二次函數 y = 2x²，請求出以下兩項。 1. x 的範圍為 −1 ≤ x ≤ 3 時，y 的範圍（也請說明為什麼 x 的範圍是否包含 0 很重要） 2. x 從 1 增加到 3 時的平均變化率（請列出「y 的變化量 ÷ x 的變化量」的計算過程，並用公式 a(p+q) 驗算） Python 請使用標準函式庫的 fractions 模組精確計算。請列出使用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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亦無須事先取得商用授權
亦無須事先取得商用授權
相關功能
一次函數計算機（由兩點或斜率與一點求 y=ax+b｜變化率與交點）
求一次函數 y=ax+b 的式子、變化率與交點，附計算過程和圖形。變化率固定不變，是和二次函數最大的不同
配方法計算機（二次函數的頂點、對稱軸、最大值與最小值）
把一般式 y=ax²+bx+c 配方，求頂點、對稱軸、最大值與最小值，附計算過程和圖形
