約分計算機（化成最簡分數）

請照分數原本的樣子（上面的欄＝分子，下面的欄＝分母）輸入要約分的分數。像 \(2\dfrac{21}{98}\)（2 又 98 分之 21）這樣的帶分數，也要用到分數左邊的整數欄。約分一般的分數時，整數欄空著就可以了。

負分數請在整數欄加上負號輸入。也可以輸入 1.5 這樣的小數，計算機會先把分子、分母同時乘以 10 倍、100 倍……化成整數再約分。分母不能輸入 0。

計算結果

在左邊的輸入欄輸入分子和分母，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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這個頁面可以做什麼

只要輸入分子和分母，就能把分數約分，化成最簡分數（不能再約分的形式）
像 \(2\dfrac{21}{98}\)（2 又 98 分之 21）這樣的帶分數（含整數部分）也能直接約分，答案會同時以假分數（分子大於或等於分母的分數）和帶分數顯示
也支援負分數，以及像 \(\dfrac{1.5}{2}\) 這種含小數的分數，並顯示化成小數的值和計算過程
淺顯易懂的公式解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面

約分後分數的值不會改變。把分子和分母同時除以同一個數（最大公因數），讓分數變成最簡單的樣子，這就是約分。

這個計算有什麼用？

避免考試時因「忘記約分」被扣分（數學）

數學考試中，分數的答案原則上要寫成最簡分數，忘記約分常常會被扣分。
「算出答案後，最後確認分子和分母是否還有共同的因數」——這個習慣從國小的分數一直到會考、學測都用得到。用最大公因數來除，一次就能完成，檢查也更快。

螢幕和電視的「16:9」——長寬比是約分出來的

Full HD 螢幕的解析度是 1920 × 1080 像素，但說到比例時，會把 \(\dfrac{1920}{1080}\) 用最大公因數 120 約分，稱為 \(\dfrac{16}{9}\)（16:9）。
把比例化成最簡分數，就能一眼比較「形狀是否相同」，這是影像、設計、印刷現場每天都在用的觀念。

看懂腳踏車和機械的齒輪比

前齒盤 48 齒、後飛輪 18 齒的腳踏車，齒輪比是把 \(\dfrac{48}{18}\) 約分後的 \(\dfrac{8}{3}\)。馬上就能看出「踩踏板 1 圈，後輪轉 \(\dfrac{8}{3}\) 圈（約 2.67 圈）」。
在使用齒輪的機械設計中，約分後的比是傳達規格的基本語言。

用「比」記住飲料和料理的比例，份量隨意調整

像「可爾必思原液 100 mL 加水 400 mL」這樣的份量，把 \(\dfrac{100}{400}\) 約分成 \(\dfrac{1}{4}\)（原液 1：水 4）來記，不管泡 1 杯還是 1 大壺，都能調出同樣的味道。
專業食譜常用「○:○」的比來寫，就是因為已經約分成最簡單的比了。

把機率化成「幾次中有 1 次」，直覺看懂

擲 2 顆骰子點數和為 3 的機率，直接數是 \(\dfrac{2}{36}\)，約分成 \(\dfrac{1}{18}\) 就能直覺看出「大約 18 次中有 1 次」。
機率的計算結果常常是約分前的形式，從彩券的中獎機率到保險的設計，向別人說明機率時都少不了約分。

公式

約分的公式（分子和分母同時除以最大公因數）

數學寫法（一般的數學式）

\(N\) \(=\) \(n\) \(\div\) \(g\)

\(D\) \(=\) \(d\) \(\div\) \(g\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 約分後的分子 \(N\) \(=\) ① 原本的分子 \(n\) \(\div\) ② 最大公因數 \(g\)

⑥ 約分後的分母 \(D\) \(=\) ④ 原本的分母 \(d\) \(\div\) ⑤ 最大公因數 \(g\)

用文字讀公式

① 把原本的分子 \(n\)

② 除以最大公因數 \(g\) ，

③ 就得到約分後的分子 \(N\) ；

④ 把原本的分母 \(d\) 也

⑤ 除以同一個最大公因數 \(g\) ，

⑥ 就得到約分後的分母 \(D\)

簡單範例

把 \(\dfrac{12}{18}\) 約分（12 和 18 的最大公因數是 6）：

約分後的分子 \(N\) \(=\) 原本的分子（12） \(\div\) 最大公因數（6）

約分後的分母 \(D\) \(=\) 原本的分母（18） \(\div\) 最大公因數（6）

\(12 \div 6 = 2,\quad 18 \div 6 = 3\)

\(\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}\)

思考重點

分數有「分子和分母同時乘以或除以同一個數，值都不會改變」的性質，約分就是利用這個性質。除數選用最大公因數，只要除一次就能化成不能再約分的形式（最簡分數）。用比最大公因數小的公因數（例如 2）來除也沒有錯，只是之後還得再約分一次。

最大公因數 \(g\) 的求法

數學寫法（一般的數學式）

\(g\) \(=\) \(\gcd(\) \(n\) \(,\) \(d\) \()\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 最大公因數 \(g\) \(=\) \(\gcd(\) ① 分子 \(n\) \(,\) ② 分母 \(d\) \()\)

用文字讀公式

① 能同時整除分子 \(n\) 和

② 分母 \(d\) 的數（公因數）之中，最大的那一個就是

③ 最大公因數 \(g\)

簡單範例

12 和 18 的最大公因數（分別做質因數分解，再把共同的質因數相乘）：

最大公因數 \(g\) \(=\) \(\gcd(\) 分子（12） \(,\) 分母（18） \()\)

\(12 = 2 \times 2 \times 3,\quad 18 = 2 \times 3 \times 3\)

\(g = 2 \times 3 = 6\)

思考重點

數字小的時候，把因數列出來，找出共同的最大因數就夠了（12 的因數是 1, 2, 3, 4, 6, 12；18 的因數是 1, 2, 3, 6, 9, 18；共同的最大因數是 6）。數字大的時候，可以用質因數分解把共同的質因數相乘，或用輾轉相除法（用大的數除以小的數，再換成餘數繼續除的方法）。台灣課本常用的短除法也是同樣的道理。在 Excel 用 GCD 函數、在 Python 用 math.gcd，一次就能求出來。

把帶分數化成假分數的公式

數學寫法（一般的數學式）

\(N\) \(=\) \(w\) \(\times\) \(d\) \(+\) \(n\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 假分數的分子 \(N\) \(=\) ① 整數部分 \(w\) \(\times\) ② 分母 \(d\) \(+\) ③ 分子 \(n\)

用文字讀公式

① 把整數部分 \(w\)

② 乘以分母 \(d\) ，

③ 再加上分子 \(n\) ，

④ 就得到假分數的分子 \(N\) （分母還是原本的分母，不會改變）

簡單範例

把帶分數 \(2\dfrac{21}{98}\)（2 又 98 分之 21）化成假分數：

假分數的分子 \(N\) \(=\) 整數部分（2） \(\times\) 分母（98） \(+\) 分子（21）

\(2 \times 98 + 21 = 217\)

\(2\dfrac{21}{98} = \dfrac{217}{98}\)

思考重點

帶分數直接約分不好計算，所以先化成假分數（分子大於或等於分母的分數）。只要想成「整數部分就是有那麼多個『分母和分子相同的分數』」，就能理解這個公式的意思（2 就是 2 個 \(\dfrac{98}{98}\)＝\(\dfrac{196}{98}\)）。

把假分數化成帶分數的公式

數學寫法（一般的數學式）

\(N\) \(=\) \(q\) \(\times\) \(D\) \(+\) \(r\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

① 假分數的分子 \(N\) \(=\) ③ 商 \(q\)（帶分數的整數部分） \(\times\) ② 分母 \(D\) \(+\) ④ 餘數 \(r\)（分數部分的分子）

用文字讀公式

① 把假分數的分子 \(N\)

② 除以分母 \(D\) 時，

③ 商 \(q\) 就是帶分數的整數部分，

④ 餘數 \(r\) 就是分數部分的分子（分母仍然是 \(D\)）

簡單範例

把假分數 \(\dfrac{31}{14}\) 化成帶分數（31 ÷ 14 = 2…3）：

假分數的分子（31） \(=\) 商（2） \(\times\) 分母（14） \(+\) 餘數（3）

\(31 = 2 \times 14 + 3\)

\(\dfrac{31}{14} = 2\dfrac{3}{14}\)

思考重點

利用「分子 ÷ 分母」的商和餘數，就能把假分數化成帶分數。如果是負分數，先把負號拿掉做同樣的計算，最後再把負號加在整個分數前面（例：\(-\dfrac{31}{14}\) → \(-2\dfrac{3}{14}\)）。

約分就只是「把分子和分母同時除以它們的最大公因數」。帶分數要先化成假分數再約分，結果再依需要化成帶分數或小數來看。

符號與用語解說

符號

\(n\)	n（小寫）	約分前分數的分子（上面的數）。（例：\(\dfrac{21}{98}\) 的 21）
\(d\)	d（小寫）	約分前分數的分母（下面的數）。（例：\(\dfrac{21}{98}\) 的 98）
\(g\)	g	分子和分母的最大公因數。約分時用這個數同時除分子和分母。（例：21 和 98 就是 7）
\(N\)	N（大寫）	計算後的新分子。在這個頁面代表「約分後的分子」或「把帶分數化成假分數時的分子」。
\(D\)	D（大寫）	約分後的新分母。（例：把 \(\dfrac{21}{98}\) 約分成 \(\dfrac{3}{14}\) 的 14）
\(w\)	w	帶分數的整數部分。（例：\(2\dfrac{3}{14}\)（2 又 14 分之 3）的 2。取自英文 whole number 的字首）
\(q\)	q	分子除以分母的商，化成帶分數時就是整數部分。（取自英文 quotient 的字首）
\(r\)	r	分子除以分母的餘數，化成帶分數時就是分數部分的分子。（取自英文 remainder 的字首）
\(\gcd(n, d)\)	gcd	表示「\(n\) 和 \(d\) 的最大公因數」的符號，取自英文 greatest common divisor 的縮寫。台灣的課本常寫成 \((n, d)\)。

用語

約分	把分數的分子和分母同時除以共同的因數（公因數），讓分數變得更簡單。分數的值不會改變。
最簡分數	不能再約分的分數，分子和分母的最大公因數是 1。考試題目要求「答案請化成最簡分數」時，就要寫成這個形式。
公因數	2 個以上的數共同的因數。（例：12 和 18 的公因數是 1, 2, 3, 6）
最大公因數	公因數中最大的一個。英文稱為 GCD（greatest common divisor）或 GCF（greatest common factor）。
假分數	像 \(\dfrac{31}{14}\) 這樣，分子大於或等於分母的分數，值會大於或等於 1。
帶分數	像 \(2\dfrac{3}{14}\)（2 又 14 分之 3）這樣，把整數部分和分數部分（真分數）並排寫的分數。用比較容易看出大小的形式，表示和假分數相同的值。
真分數	像 \(\dfrac{3}{14}\) 這樣，分子小於分母的分數，值會小於 1。帶分數的分數部分一定要是真分數。
質因數分解	把數寫成只有質數相乘的形式（例：\(12 = 2 \times 2 \times 3\)）。把共同的質因數相乘，就能求出最大公因數。
輾轉相除法	用大的數除以小的數，再用「除數」和「餘數」這一組重複同樣的步驟，來求最大公因數的方法，又稱 Euclid 演算法。再大的數也能很快算出來。

建議先了解的基礎知識

為了能「理解意思」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。

分數的意義（國小三～四年級，8～10 歲）	知道分數表示「把 1 平分成幾份，取其中的幾份」知道分子（上面的數）和分母（下面的數）的名稱與作用
因數、公因數、最大公因數（國小五～六年級，10～12 歲）	能把一個數的因數全部列出來（例：12 的因數是 1, 2, 3, 4, 6, 12）知道兩個數共同的因數（公因數）中最大的那一個，就是最大公因數
分數的性質與約分、假分數、帶分數（國小四～五年級，9～11 歲）	知道分子和分母同時乘以或除以同一個數，分數的值不會改變能把假分數和帶分數互相轉換（例：\(\dfrac{31}{14} = 2\dfrac{3}{14}\)）
除法與餘數（國小三～四年級，8～10 歲）	會算「31 ÷ 14 = 2…3」這種有商和餘數的除法

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

「約分（分子和分母同時除以最大公因數）」的計算表

原本的分子 n	21
原本的分母 d	98
最大公因數 g	=GCD(B1,B2)
約分後的分子 N	=B1/B3
約分後的分母 D	=B2/B3

「最大公因數」的計算表

第 1 個數（分子）	12
第 2 個數（分母）	18
最大公因數 g	=GCD(B1,B2)

「把帶分數化成假分數的分子」的計算表

整數部分 w	2
分子 n	21
分母 d	98
假分數的分子 N	=B1*B3+B2

「把假分數化成帶分數」的計算表

假分數的分子 N	31
分母 D	14
整數部分（商）q	=QUOTIENT(B1,B2)
餘數（分數部分的分子）r	=MOD(B1,B2)

貼上後，上面幾列是輸入欄，以「=」開頭的儲存格會自動算出結果。
GCD 是求最大公因數的函數，QUOTIENT 求商（整數部分），MOD 求餘數。
以第 1 個表為例，B3 會顯示最大公因數 7，B4 顯示約分後的分子 3，B5 顯示約分後的分母 14（\(\dfrac{21}{98}\) → \(\dfrac{3}{14}\)）。
把負分數化成帶分數時，請用拿掉負號的數計算，最後再加上負號。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

「約分（分子和分母同時除以最大公因數）」的計算表

原本的分子 n	21
原本的分母 d	98
最大公因數 g	=GCD(B1,B2)
約分後的分子 N	=B1/B3
約分後的分母 D	=B2/B3

「最大公因數」的計算表

第 1 個數（分子）	12
第 2 個數（分母）	18
最大公因數 g	=GCD(B1,B2)

「把帶分數化成假分數的分子」的計算表

整數部分 w	2
分子 n	21
分母 d	98
假分數的分子 N	=B1*B3+B2

「把假分數化成帶分數」的計算表

假分數的分子 N	31
分母 D	14
整數部分（商）q	=QUOTIENT(B1,B2)
餘數（分數部分的分子）r	=MOD(B1,B2)

可以直接使用和 Excel 相同的公式（Google 試算表也有 GCD、QUOTIENT、MOD 函數）。
把表格整個複製，貼到 A1 儲存格，再把 B 欄的數值改成您自己的分數。

用 Python 計算的方法

from fractions import Fraction
from math import gcd

whole = 2          # 帶分數的整數部分（一般分數就填 0）
numerator = 21     # 分子
denominator = 98   # 分母

improper_numerator = whole * denominator + numerator    # 把帶分數化成假分數後的分子
g = gcd(improper_numerator, denominator)                # 分子和分母的最大公因數
simplified = Fraction(improper_numerator, denominator)  # 約分後的最簡分數（Fraction 會自動約分）
q, r = divmod(abs(simplified.numerator), simplified.denominator)  # 帶分數的整數部分和餘數

print(f"化成假分數: {improper_numerator}/{denominator}")
print(f"最大公因數: {g}")
print(f"約分後的最簡分數: {simplified}")
print(f"化成帶分數: {q} 又 {r}/{simplified.denominator}")
print(f"化成小數: {float(simplified)}")

只用標準函式庫就能執行。Fraction 是會自動把分數約分的型別，math.gcd 是求最大公因數的函式。請改寫開頭的 3 個數值後執行。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

約分的公式（分子和分母同時除以最大公因數）

n/d = (n ÷ g)/(d ÷ g)

\dfrac{n}{d} = \dfrac{n \div g}{d \div g}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac><mi>n</mi><mi>d</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>n</mi><mo>&#x00F7;</mo><mi>g</mi></mrow>
      <mrow><mi>d</mi><mo>&#x00F7;</mo><mi>g</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

n/d = (n -: g)/(d -: g)

(n/g)/(d/g)

(n/g)/(d/g);

N = n/g; D = d/g;

n/d = (n/g)/(d/g)

最大公因數 \(g\) 的求法

g = gcd(n, d)

g = \gcd(n,\ d)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>g</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>gcd</mi>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mi>n</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>d</mi>
    <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
</math>

g = gcd(n, d)

GCD[n, d]

g := gcd(n, d);

g = gcd(n, d);

g = gcd(n, d)

把帶分數化成假分數的公式

N = w × d + n

N = w \times d + n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>N</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>w</mi>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <mi>d</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

N = w xx d + n

w*d + n

N := w*d + n;

N = w*d + n;

N = w × d + n

把假分數化成帶分數的公式

N = q × D + r

N = q \times D + r

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>N</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>q</mi>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <mi>D</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>r</mi>
  </mrow>
</math>

N = q xx D + r

q*d + r  (* D（微分運算子）是 Mathematica 的保留字，所以改用小寫 *)

N := q*d + r;  # D（微分運算子）是 Maple 的保留字，所以改用小寫

N = q*D + r;

N = q × D + r

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是分數計算的助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只以執行結果的數值作為回答的根據（不要用心算或推測回答）。

請把帶分數「2 又 21/98」約分，化成最簡單的形式。
請分別求出下列的值：
1. 化成假分數後的分數
2. 分子和分母的最大公因數
3. 約分後的最簡分數（假分數和帶分數兩種形式）
4. 化成小數的值

請列出計算用的公式，以及執行結果的數值。