Scrivi la frazione così come la vedi (campo in alto = numeratore, campo in basso = denominatore). Per un numero misto come \(2\dfrac{21}{98}\), usa anche il campo dell’intero a sinistra della frazione. Per una frazione normale, lascia vuoto il campo dell’intero.
Per una frazione negativa, metti il segno meno nel campo dell’intero. Vanno bene anche i numeri decimali come 1,5; numeratore e denominatore vengono moltiplicati per 10, 100 e così via per ottenere numeri interi prima di semplificare. Il denominatore non può essere 0.
Risultato
Scrivi il numeratore e il denominatore a sinistra e fai clic su «Calcola». Il risultato comparirà qui.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
-
Formula
-
Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
-
Come calcolarlo con Excel
-
Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Scrivi il numeratore e il denominatore e la frazione viene semplificata fino a una frazione ridotta ai minimi termini (la forma che non si può semplificare ulteriormente)
- Anche i numeri misti (con una parte intera) come \(2\dfrac{21}{98}\) si possono semplificare così come sono, e il risultato è mostrato sia come frazione impropria (numeratore uguale o maggiore del denominatore) sia come numero misto
- Funzionano anche le frazioni negative e quelle con numeri decimali, come \(\dfrac{1{,}5}{2}\). Vengono mostrati anche il valore in forma decimale e ogni passaggio del calcolo
- In questa pagina trovi anche la spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare e incollare per Excel, Fogli Google e Python
Semplificare non cambia il valore di una frazione. Si dividono numeratore e denominatore per lo stesso numero (il loro massimo comun divisore) in modo che la frazione abbia l’aspetto più semplice possibile.
A cosa serve questo calcolo?
Evitare di perdere punti per una frazione non semplificata nelle verifiche (matematica a scuola)
Nelle verifiche di matematica, il risultato di una frazione si scrive di norma ridotto ai minimi termini, e dimenticare di semplificare fa spesso perdere punti.
«Quando ottieni un risultato, controlla alla fine che numeratore e denominatore non abbiano più divisori comuni.» Questa abitudine è una mossa di base dalle frazioni della scuola primaria fino agli esami più avanzati. Dividendo per il massimo comun divisore si finisce in un solo passaggio, quindi anche il controllo è veloce.
Il «16:9» degli schermi e dei televisori nasce dalla semplificazione
Uno schermo Full HD è di 1920 × 1080 pixel, ma il suo rapporto si chiama 16:9: \(\dfrac{1920}{1080}\) semplificato per il massimo comun divisore 120 è \(\dfrac{16}{9}\).
Scrivere un rapporto ridotto ai minimi termini permette di vedere a colpo d’occhio se due forme sono uguali, quindi questa idea si usa ogni giorno nel video, nel design e nella stampa.
Leggere il rapporto di trasmissione di una bicicletta o di una macchina
Su una bicicletta con 48 denti sulla corona anteriore e 18 sul pignone posteriore, il rapporto di trasmissione è \(\dfrac{48}{18}\), che semplificato diventa \(\dfrac{8}{3}\). Vedi subito che «un giro dei pedali fa girare la ruota posteriore \(\dfrac{8}{3}\) volte (circa 2,67 giri)».
Nella progettazione di macchine con ingranaggi, il rapporto semplificato è il linguaggio di base per descrivere le caratteristiche.
Ricordare una ricetta come rapporto per fare la quantità che vuoi
Sulla bottiglia di uno sciroppo da diluire c’è scritto, per esempio, di mescolare 12 cl di sciroppo con 36 cl di acqua. Semplifica \(\dfrac{12}{36}\) in \(\dfrac{1}{3}\) e ricordalo come «1 parte di sciroppo ogni 3 parti di acqua»: potrai preparare lo stesso gusto per 2 persone o per 10.
Le ricette professionali sono spesso scritte come rapporti, del tipo «1:3», perché sono state ridotte al rapporto più semplice.
Leggere una probabilità come «una volta ogni tante»
La probabilità che due dadi sommino 3 è \(\dfrac{2}{36}\) se conti e basta, ma semplificata in \(\dfrac{1}{18}\) puoi leggerla come «circa una volta ogni 18 lanci».
Le probabilità spesso escono da un calcolo non semplificate e, dalle probabilità di vincita nelle lotterie alla pianificazione assicurativa, semplificare è essenziale ogni volta che devi spiegare una probabilità a qualcuno.
Formula
Semplificazione (dividi numeratore e denominatore per il MCD)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(N\)
\(=\)
\(n\)
\(\div\)
\(g\)
\(D\)
\(=\)
\(d\)
\(\div\)
\(g\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(N\): numeratore semplificato
\(=\)
①
\(n\): numeratore di partenza
\(\div\)
②
\(g\): massimo comun divisore
⑥
\(D\): denominatore semplificato
\(=\)
④
\(d\): denominatore di partenza
\(\div\)
⑤
\(g\): massimo comun divisore
La formula a parole
①
Dividi il
\(n\): numeratore di partenza
②
per il
\(g\): massimo comun divisore
③
per ottenere il
\(N\): numeratore semplificato
④
Dividi il
\(d\): denominatore di partenza
⑤
per lo stesso
\(g\): massimo comun divisore
⑥
per ottenere il
\(D\): denominatore semplificato
Un esempio semplice
Semplificando \(\dfrac{12}{18}\) (il massimo comun divisore di 12 e 18 è 6)
\(N\): numeratore semplificato
\(=\)
numeratore di partenza (12)
\(\div\)
MCD (6)
\(D\): denominatore semplificato
\(=\)
denominatore di partenza (18)
\(\div\)
MCD (6)
\(12 \div 6 = 2,\quad 18 \div 6 = 3\)
\(\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}\)
L’idea chiave
Una frazione mantiene lo stesso valore se si moltiplicano o si dividono numeratore e denominatore per lo stesso numero. Semplificare usa questa proprietà.
Se dividi per il massimo comun divisore, con una sola divisione arrivi direttamente alla forma che non si può semplificare ulteriormente (ridotta ai minimi termini). Dividere per un divisore comune più piccolo (per esempio 2) non è sbagliato, ma poi devi semplificare di nuovo.
Come trovare il massimo comun divisore \(g\)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(g\)
\(=\)
\(\mathrm{MCD}(\)
\(n\)
\(,\)
\(d\)
\()\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(g\): massimo comun divisore
\(=\)
\(\mathrm{MCD}(\)
①
\(n\): numeratore
\(,\)
②
\(d\): denominatore
\()\)
La formula a parole
①
Tra i numeri che dividono senza resto sia il
\(n\): numeratore
②
sia il
\(d\): denominatore
(i divisori comuni), il più grande è il
③
\(g\): massimo comun divisore
Un esempio semplice
Il massimo comun divisore di 12 e 18 (scomponi ciascuno in fattori primi e moltiplica i fattori primi che hanno in comune, presi con l’esponente più piccolo)
\(g\): massimo comun divisore
\(=\)
\(\mathrm{MCD}(\)
numeratore (12)
\(,\)
denominatore (18)
\()\)
\(12 = 2 \times 2 \times 3,\quad 18 = 2 \times 3 \times 3\)
\(g = 2 \times 3 = 6\)
L’idea chiave
Per numeri piccoli basta elencare i divisori e cercare il più grande in comune (i divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6, 12 e i divisori di 18 sono 1, 2, 3, 6, 9, 18, quindi il più grande in comune è 6).
Per numeri grandi puoi usare la scomposizione in fattori primi e moltiplicare i fattori primi comuni (con l’esponente più piccolo), oppure l’algoritmo di Euclide (dividi il numero più grande per il più piccolo e continua a sostituire con il resto). In Excel la funzione MCD lo trova in un solo passaggio, e in Python lo fa math.gcd.
Trasformare un numero misto in una frazione impropria
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(N\)
\(=\)
\(w\)
\(\times\)
\(d\)
\(+\)
\(n\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
\(N\): numeratore della frazione impropria
\(=\)
①
\(w\): parte intera
\(\times\)
②
\(d\): denominatore
\(+\)
③
\(n\): numeratore
La formula a parole
①
Moltiplica la
\(w\): parte intera
②
per il
\(d\): denominatore
③
e aggiungi il
\(n\): numeratore
④
per ottenere il
\(N\): numeratore della frazione impropria
(il denominatore resta lo stesso)
Un esempio semplice
Trasformando il numero misto \(2\dfrac{21}{98}\) (due e ventuno novantottesimi) in una frazione impropria
\(N\): numeratore della frazione impropria
\(=\)
parte intera (2)
\(\times\)
denominatore (98)
\(+\)
numeratore (21)
\(2 \times 98 + 21 = 217\)
\(2\dfrac{21}{98} = \dfrac{217}{98}\)
L’idea chiave
Un numero misto è difficile da semplificare così com’è, quindi prima trasformalo in una frazione impropria (una frazione con il numeratore uguale o maggiore del denominatore). Per capire perché la formula funziona, pensa alla parte intera come altrettante frazioni uguali a 1 con lo stesso denominatore (2 sono due volte \(\dfrac{98}{98}\), cioè \(\dfrac{196}{98}\)).
Trasformare una frazione impropria in un numero misto
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(N\)
\(=\)
\(q\)
\(\times\)
\(D\)
\(+\)
\(r\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
①
\(N\): numeratore della frazione impropria
\(=\)
③
\(q\): quoziente (la parte intera)
\(\times\)
②
\(D\): denominatore
\(+\)
④
\(r\): resto (il nuovo numeratore)
La formula a parole
①
Dividi il
\(N\): numeratore della frazione impropria
②
per il
\(D\): denominatore
③
Il
\(q\): quoziente
diventa la parte intera del numero misto, e
④
il
\(r\): resto
diventa il numeratore della parte frazionaria (il denominatore resta \(D\))
Un esempio semplice
Trasformando la frazione impropria \(\dfrac{31}{14}\) in un numero misto (31 ÷ 14 = 2 con resto 3)
numeratore della frazione impropria (31)
\(=\)
quoziente (2)
\(\times\)
denominatore (14)
\(+\)
resto (3)
\(31 = 2 \times 14 + 3\)
\(\dfrac{31}{14} = 2\dfrac{3}{14}\)
L’idea chiave
Con il quoziente e il resto di «numeratore ÷ denominatore» puoi trasformare una frazione impropria in un numero misto. Per una frazione negativa, togli il segno, fai lo stesso calcolo e rimetti il segno davanti a tutto il numero misto alla fine (per esempio \(-\dfrac{31}{14}\) → \(-2\dfrac{3}{14}\)).
Per semplificare una frazione basta dividere numeratore e denominatore per il loro massimo comun divisore. Trasforma un numero misto in una frazione impropria prima di semplificare, poi riscrivi il risultato come numero misto o come numero decimale, se ti serve.
Simboli e termini
Simboli
| \(n\) | n minuscola | Il numeratore (il numero in alto) della frazione prima di semplificare. (Esempio - il 21 in \(\dfrac{21}{98}\)) |
| \(d\) | d minuscola | Il denominatore (il numero in basso) della frazione prima di semplificare. (Esempio - il 98 in \(\dfrac{21}{98}\)) |
| \(g\) | g | Il massimo comun divisore di numeratore e denominatore. Per semplificare, dividi per questo numero sia il numeratore sia il denominatore. (Esempio - per 21 e 98 è 7) |
| \(N\) | N maiuscola | Il nuovo numeratore dopo un calcolo. In questa pagina è il numeratore semplificato, oppure il numeratore che ottieni trasformando un numero misto in una frazione impropria. |
| \(D\) | D maiuscola | Il nuovo denominatore dopo aver semplificato. (Esempio - il 14 in \(\dfrac{3}{14}\), la forma semplificata di \(\dfrac{21}{98}\)) |
| \(w\) | w | La parte intera di un numero misto (la lettera è l’iniziale dell’inglese «whole»). (Esempio - il 2 in \(2\dfrac{3}{14}\)) |
| \(q\) | q | Il quoziente della divisione del numeratore per il denominatore, dall’iniziale di «quoziente». Diventa la parte intera del numero misto. |
| \(r\) | r | Il resto della divisione del numeratore per il denominatore, dall’iniziale di «resto». Diventa il numeratore della parte frazionaria del numero misto. |
| \(\mathrm{MCD}(n, d)\) | MCD di n e d | La notazione per «il massimo comun divisore di \(n\) e \(d\)». MCD è l’abbreviazione di massimo comun divisore (in inglese si usa gcd, da greatest common divisor). |
Termini
| semplificare | Dividere il numeratore e il denominatore di una frazione per un divisore comune per renderla più semplice. Si dice anche ridurre ai minimi termini. Il valore non cambia. |
| frazione ridotta ai minimi termini | Una frazione è ridotta ai minimi termini quando non si può semplificare ulteriormente. Il massimo comun divisore del suo numeratore e del suo denominatore è 1. Quando in una verifica si dice «semplifica il risultato», questa è la forma da usare. |
| divisore comune | Un divisore che due o più numeri hanno in comune. (Esempio - i divisori comuni di 12 e 18 sono 1, 2, 3 e 6) |
| massimo comun divisore (MCD) | Il più grande tra i divisori comuni. In inglese si chiama greatest common divisor (GCD). |
| frazione impropria | Una frazione come \(\dfrac{31}{14}\) il cui numeratore è uguale o maggiore del denominatore. Il suo valore è 1 o più. |
| numero misto | Un numero come \(2\dfrac{3}{14}\) scritto come una parte intera seguita da una parte frazionaria. Ha lo stesso valore di una frazione impropria ma fa vedere meglio quanto vale. |
| frazione propria | Una frazione come \(\dfrac{3}{14}\) il cui numeratore è minore del denominatore. Il suo valore è minore di 1. La parte frazionaria di un numero misto è sempre una frazione propria. |
| scomposizione in fattori primi | Scrivere un numero come prodotto di numeri primi (per esempio \(12 = 2 \times 2 \times 3\)). Moltiplicando i fattori primi che due numeri hanno in comune (con l’esponente più piccolo) si ottiene il loro massimo comun divisore. |
| algoritmo di Euclide | Un modo per trovare il massimo comun divisore dividendo il numero più grande per il più piccolo e ripetendo poi con la coppia «divisore e resto». È veloce anche con numeri grandi. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendo davvero che cosa stai facendo, e non solo premendo il pulsante.
| Il significato di frazione (classi 3ª–4ª della primaria, 8-10 anni) |
|
| Divisori, divisori comuni e MCD (classe 5ª della primaria – classe 1ª della secondaria di primo grado, 10-12 anni) |
|
| Frazioni equivalenti, semplificazione, frazioni improprie e numeri misti (classi 1ª–2ª della secondaria di primo grado, 11-13 anni) |
|
| Divisione con resto (classi 3ª–4ª della primaria, 8-10 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per semplificare (dividi numeratore e denominatore per il MCD)
| Numeratore di partenza n | 21 |
| Denominatore di partenza d | 98 |
| Massimo comun divisore g | =MCD(B1;B2) |
| Numeratore semplificato N | =B1/B3 |
| Denominatore semplificato D | =B2/B3 |
Tabella per trovare il massimo comun divisore
| Primo numero (numeratore) | 12 |
| Secondo numero (denominatore) | 18 |
| Massimo comun divisore g | =MCD(B1;B2) |
Tabella per trovare il numeratore trasformando un numero misto in una frazione impropria
| Parte intera w | 2 |
| Numeratore n | 21 |
| Denominatore d | 98 |
| Numeratore della frazione impropria N | =B1*B3+B2 |
Tabella per trasformare una frazione impropria in un numero misto
| Numeratore della frazione impropria N | 31 |
| Denominatore D | 14 |
| Parte intera (quoziente) q | =QUOZIENTE(B1;B2) |
| Resto (numeratore della parte frazionaria) r | =RESTO(B1;B2) |
Dopo averla incollata, le righe in alto sono i dati da inserire e le celle che iniziano con «=» si calcolano da sole.
MCD trova il massimo comun divisore, QUOZIENTE trova il quoziente (la parte intera) e RESTO trova il resto.
Nella prima tabella, per esempio, B3 mostra il massimo comun divisore 7, B4 il numeratore semplificato 3 e B5 il denominatore semplificato 14 (\(\dfrac{21}{98}\) → \(\dfrac{3}{14}\)).
Per trasformare una frazione negativa in un numero misto, calcola senza il segno e aggiungi il segno alla fine.
MCD trova il massimo comun divisore, QUOZIENTE trova il quoziente (la parte intera) e RESTO trova il resto.
Nella prima tabella, per esempio, B3 mostra il massimo comun divisore 7, B4 il numeratore semplificato 3 e B5 il denominatore semplificato 14 (\(\dfrac{21}{98}\) → \(\dfrac{3}{14}\)).
Per trasformare una frazione negativa in un numero misto, calcola senza il segno e aggiungi il segno alla fine.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per semplificare (dividi numeratore e denominatore per il MCD)
| Numeratore di partenza n | 21 |
| Denominatore di partenza d | 98 |
| Massimo comun divisore g | =MCD(B1;B2) |
| Numeratore semplificato N | =B1/B3 |
| Denominatore semplificato D | =B2/B3 |
Tabella per trovare il massimo comun divisore
| Primo numero (numeratore) | 12 |
| Secondo numero (denominatore) | 18 |
| Massimo comun divisore g | =MCD(B1;B2) |
Tabella per trovare il numeratore trasformando un numero misto in una frazione impropria
| Parte intera w | 2 |
| Numeratore n | 21 |
| Denominatore d | 98 |
| Numeratore della frazione impropria N | =B1*B3+B2 |
Tabella per trasformare una frazione impropria in un numero misto
| Numeratore della frazione impropria N | 31 |
| Denominatore D | 14 |
| Parte intera (quoziente) q | =QUOZIENTE(B1;B2) |
| Resto (numeratore della parte frazionaria) r | =RESTO(B1;B2) |
Le stesse formule di Excel funzionano così come sono (MCD, QUOZIENTE e RESTO esistono anche in Fogli Google).
Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri della colonna B con la tua frazione.
Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri della colonna B con la tua frazione.
Come calcolarlo con Python
from fractions import Fraction
from math import gcd
whole = 2 # parte intera del numero misto (0 per una frazione normale)
numerator = 21 # numeratore
denominator = 98 # denominatore
improper_numerator = whole * denominator + numerator # numeratore dopo averla trasformata in frazione impropria
g = gcd(improper_numerator, denominator) # massimo comun divisore di numeratore e denominatore
simplified = Fraction(improper_numerator, denominator) # frazione ridotta ai minimi termini (Fraction semplifica da solo)
q, r = divmod(abs(simplified.numerator), simplified.denominator) # parte intera e resto per il numero misto
print(f"Come frazione impropria: {improper_numerator}/{denominator}")
print(f"Massimo comun divisore: {g}")
print(f"Ridotta ai minimi termini: {simplified}")
print(f"Come numero misto: {q} {r}/{simplified.denominator}")
print(f"In forma decimale: {float(simplified)}")
Funziona con la sola libreria standard. Fraction è un tipo che semplifica da solo le frazioni e math.gcd è una funzione che trova il massimo comun divisore. Cambia i tre numeri all’inizio ed esegui il codice.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Semplificazione (dividi numeratore e denominatore per il MCD)
n/d = (n ÷ g)/(d ÷ g)
\dfrac{n}{d} = \dfrac{n \div g}{d \div g}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac><mi>n</mi><mi>d</mi></mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>÷</mo><mi>g</mi></mrow>
<mrow><mi>d</mi><mo>÷</mo><mi>g</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
n/d = (n -: g)/(d -: g)
(n/g)/(d/g)
(n/g)/(d/g);
N = n/g; D = d/g;
n/d = (n/g)/(d/g)
Come trovare il massimo comun divisore \(g\)
g = gcd(n, d)
g = \gcd(n,\ d)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>g</mi>
<mo>=</mo>
<mi>gcd</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>n</mi>
<mo>,</mo>
<mi>d</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</math>
g = gcd(n, d)
GCD[n, d]
g := gcd(n, d);
g = gcd(n, d);
g = gcd(n, d)
Trasformare un numero misto in una frazione impropria
N = w × d + n
N = w \times d + n
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mi>w</mi>
<mo>×</mo>
<mi>d</mi>
<mo>+</mo>
<mi>n</mi>
</mrow>
</math>
N = w xx d + n
w*d + n
N := w*d + n;
N = w*d + n;
N = w × d + n
Trasformare una frazione impropria in un numero misto
N = q × D + r
N = q \times D + r
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mi>q</mi>
<mo>×</mo>
<mi>D</mi>
<mo>+</mo>
<mi>r</mi>
</mrow>
</math>
N = q xx D + r
q*d + r (* d minuscola perché D (l’operatore di derivata) è riservata in Mathematica *)
N := q*d + r; # d minuscola perché D (l’operatore di derivata) è riservata in Maple
N = q*D + r;
N = q × D + r
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per il calcolo con le frazioni. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero del codice Python e basa la risposta solo sui numeri ottenuti dall’esecuzione (non rispondere a mente né a stima). Semplifica il numero misto «2 e 21/98» fino alla forma più semplice. Trova ciascuna delle cose seguenti: 1. Il numero misto scritto come frazione impropria 2. Il massimo comun divisore di numeratore e denominatore 3. La frazione ridotta ai minimi termini (sia come frazione impropria sia come numero misto) 4. Il valore in forma decimale Mostra le formule usate e i numeri ottenuti dall’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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Nessun obbligo di attribuzione
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Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Funzioni correlate
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Calcola addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione di due frazioni e mostra il risultato ridotto ai minimi termini
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Calcola addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione di numeri misti (frazioni con una parte intera)
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Calcolatrice per divisioni in colonna con resto (passo passo)
Mostra una divisione in colonna, con la spiegazione di ogni passaggio e la verifica, e può proseguire anche con i decimali
