Inserisci i tre semiassi \(a\), \(b\) e \(c\) dell’ellissoide (la distanza dal centro alla superficie). Ottieni il volume \(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\) e la conversione in litri se inserisci i cm.
Inserisci i tre semiassi nella stessa unità, solo con numeri maggiori o uguali a 0 e senza unità (per 10 cm scrivi «10»).
Risultato e figura
Inserisci la lunghezza dei tre semiassi nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compaiono il risultato e la figura 3D.
Indice
-
Cosa puoi fare in questa pagina
-
A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e figure
-
Simboli e termini
-
Cosa conviene sapere prima
-
Come calcolarlo con Excel
-
Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Inserisci i tre semiassi \(a\), \(b\) e \(c\) (la distanza dal centro alla superficie) e ottieni subito il volume dell’ellissoide (\(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\))
- Il risultato è mostrato anche in una figura 3D che puoi ruotare con il mouse, così vedi a colpo d’occhio quale lunghezza corrisponde a quale direzione
- Se metti la stessa lunghezza nei tre campi, serve anche per calcolare il volume di una sfera (\(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\))
- Mostra insieme anche la conversione in litri (L) quando inserisci i cm
- In questa stessa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare per Excel, Fogli Google e Python
Inserisci i tre semiassi nella stessa unità (tutti in cm o tutti in m). Quello che si inserisce è la «distanza dal centro alla superficie» (il semiasse), che è la metà della lunghezza da un estremo all’altro (l’asse).
A cosa serve questo calcolo?
Stimare il volume di un pallone da rugby (sport)
Un pallone da rugby ha una forma vicina a un ellissoide di rotazione allungato. Secondo il regolamento di World Rugby, è lungo tra 28 e 30 cm e ha una circonferenza tra 58 e 62 cm nella parte più larga (cioè un diametro di circa 19 cm). Per un pallone lungo circa 30 cm e largo circa 19 cm, i semiassi sono \(15 \times 9{,}5 \times 9{,}5\,\mathrm{cm}\) e il volume si stima in \(\dfrac{4}{3}\pi \times 15 \times 9{,}5 \times 9{,}5 \approx 5671\,\mathrm{cm^3}\) (circa 5,7 L).
È una formula utile ogni volta che interessa la capacità di qualcosa di tondo che «non è una sfera», come l’aria di un pallone, il suo galleggiamento o lo spazio per riporlo (un pallone vero ha cuciture e rigonfiamenti, quindi è solo un’approssimazione).
Stimare il volume di un organo o di un nodulo in un’ecografia (medicina)
Nelle ecografie si usa molto il metodo di trattare un organo, una cisti o un nodulo come un ellissoide per stimarne il volume. Si misurano i diametri (da un estremo all’altro) in tre direzioni perpendicolari e nella formula si inseriscono i semiassi, cioè ogni diametro diviso per 2.
Per esempio, con diametri di \(4 \times 3 \times 3\,\mathrm{cm}\), i semiassi sono \(2 \times 1{,}5 \times 1{,}5\,\mathrm{cm}\) e il volume è \(\dfrac{4}{3}\pi \times 2 \times 1{,}5 \times 1{,}5 \approx 18{,}8\,\mathrm{mL}\) (1 cm³ = 1 mL). È un calcolo che dà un supporto nella pratica clinica di ogni giorno, per esempio per misurare il volume della prostata o della vescica (gli organi non sono ellissoidi perfetti, quindi si usa come stima; l’interpretazione spetta sempre al personale sanitario).
Stimare il peso di un’anguria o di un melone dal suo volume (agricoltura e alimentazione)
Le angurie e i meloni hanno una forma vicina a un ellissoide, quindi questa formula serve a stimare il loro volume e il loro peso dalla grandezza del raccolto. Per un’anguria con semiassi \(12 \times 10 \times 10\,\mathrm{cm}\), il volume è \(\dfrac{4}{3}\pi \times 12 \times 10 \times 10 \approx 5027\,\mathrm{cm^3}\) (circa 5 L).
La densità dell’anguria è simile a quella dell’acqua (1 g per cm³), quindi il suo peso è di circa 5 kg. È un’idea che aiuta anche a progettare la grandezza delle casse e a stabilire i calibri di vendita.
Calcolare il volume della Terra (geologia e spazio)
La Terra è un ellissoide di rotazione leggermente schiacciato dalla forza centrifuga della sua rotazione. Con un raggio equatoriale di circa 6378 km e un raggio polare di circa 6357 km, il volume è \(\dfrac{4}{3}\pi \times 6378 \times 6378 \times 6357 \approx 1{,}083 \times 10^{12}\,\mathrm{km^3}\) (poco più di mille miliardi di km³).
Coincide praticamente con il volume della Terra riportato nelle schede di dati scientifici (per esempio la NASA Earth Fact Sheet). È la formula che si usa davvero in astronomia per calcolare il volume di corpi che «non sono sfere perfette», come i pianeti schiacciati dalla rotazione.
Stimare il volume di un uovo e di altri alimenti quasi ellissoidali (cucina e alimentazione)
Un uovo di gallina ha una forma vicina a un ellissoide. Per un uovo lungo circa 6 cm e largo circa 4,5 cm, i semiassi sono \(3 \times 2{,}25 \times 2{,}25\,\mathrm{cm}\) e il volume si stima in \(\dfrac{4}{3}\pi \times 3 \times 2{,}25 \times 2{,}25 \approx 64\,\mathrm{cm^3}\) (un uovo vero è un po’ asimmetrico, quindi il valore misurato è un po’ più piccolo).
Serve a calcolare, senza usare una bilancia, il volume approssimativo di un pane, di un frutto o di altri alimenti «più o meno ellissoidali», la grandezza del recipiente o l’acqua che serve per cuocerli a bagnomaria.
Formule e figure
Volume dell’ellissoide
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(a\)
\(\times\)
\(b\)
\(\times\)
\(c\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
⑥
\(V\): volume dell’ellissoide
\(=\)
⑤
costante \(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
④
\(\pi\): pi greco
\(\times\)
①
\(a\): semiasse
\(\times\)
②
\(b\): semiasse
\(\times\)
③
\(c\): semiasse
La formula a parole
①
Prendi il
\(a\): semiasse
,
②
il
\(b\): semiasse
e il
③
\(c\): semiasse
e moltiplicali tra loro,
④
moltiplica per il
\(\pi\): pi greco (circa 3,14)
e
⑤
per la
costante \(\dfrac{4}{3}\)
per ottenere il
⑥
\(V\): volume dell’ellissoide
Un esempio semplice
Il volume di un ellissoide con semiassi di 3 cm, 2 cm e 1 cm è
\(V\): volume dell’ellissoide
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\): pi greco
\(\times\)
semiasse (3 cm)
\(\times\)
semiasse (2 cm)
\(\times\)
semiasse (1 cm)
\(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3 \times 2 \times 1 = 8\pi\)
\(8\pi = 8 \times 3{,}14159\ldots \approx 25{,}13\,\mathrm{cm^3}\)
L’idea chiave
Un ellissoide è «una sfera stirata o compressa in tre direzioni, ciascuna con il proprio fattore». Se stiri una sfera di raggio 1 (di volume \(\dfrac{4}{3}\pi\)) di \(a\) volte in larghezza, di \(b\) volte in profondità e di \(c\) volte in altezza, anche il volume si moltiplica per \(a \times b \times c\), ed è per questo che \(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\). È un parente della formula del volume della sfera, in cui «raggio × raggio × raggio» è sostituito dal «prodotto dei semiassi nelle tre direzioni».
Tutto quello che si inserisce è la «distanza dal centro alla superficie» (il semiasse). Se misuri la lunghezza da un estremo all’altro (l’asse), dividila per 2 prima di inserirla.
Volume della sfera (un caso particolare dell’ellissoide)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(3\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
⑤
\(V\): volume della sfera
\(=\)
④
costante \(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
③
\(\pi\): pi greco
\(\times\)
①
\(r\): raggio
②
al cubo (la lunghezza moltiplicata tre volte)
La formula a parole
①
Parti dal
\(r\): raggio
②
elevalo
al cubo (la lunghezza moltiplicata tre volte)
③
moltiplicalo per il
\(\pi\): pi greco (circa 3,14)
④
e per la
costante \(\dfrac{4}{3}\)
⑤
e ottieni il
\(V\): volume della sfera
Un esempio semplice
Il volume di una sfera con raggio di 3 cm è
\(V\): volume della sfera
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\): pi greco
\(\times\)
raggio (3 cm)
al cubo
\(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = 36\pi\)
\(36\pi = 36 \times 3{,}14159\ldots \approx 113{,}10\,\mathrm{cm^3}\)
L’idea chiave
Una sfera è «un ellissoide particolare in cui i tre semiassi sono uguali». Se nella formula dell’ellissoide \(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\) poni \(a = b = c = r\), ottieni la formula del volume della sfera che si impara a scuola, \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\). Anche in questa calcolatrice puoi trovare il volume di una sfera mettendo lo stesso numero nei tre campi.
Volume: conversione di unità (cm³ → L)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(V_{\mathrm{L}}\): volume in litri
\(=\)
①
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): volume in cm³
\(\div\)
②
\(1000\): cm³ in 1 litro
La formula a parole
①
Parti dal
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): volume in cm³
②
dividilo per
\(1000\): cm³ in 1 litro
③
e ottieni il
\(V_{\mathrm{L}}\): volume in litri
Un esempio semplice
L’acqua che sta in un acquario a forma di ellissoide di 2000 cm³ di volume, in litri, è
volume in litri
\(=\)
volume in cm³ (2000)
\(\div\)
cm³ in 1 litro (1000)
\(2000 \div 1000 = 2\,\mathrm{L}\)
L’idea chiave
\(1\,\mathrm{L}\) è il volume di un cubo di 10 cm di spigolo, \(10 \times 10 \times 10 = 1000\,\mathrm{cm^3}\). Un cartone di latte da 1 litro contiene proprio 1000 cm³.
Per i m³, un’unità più grande, poiché \(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\), vale \(1\,\mathrm{m^3} = 100 \times 100 \times 100 = 1.000.000\,\mathrm{cm^3}\) (= 1000 L). Ciò che confonde di più è che il fattore di conversione del volume è il cubo del fattore della lunghezza.
Il volume di un ellissoide è «4/3 × pi greco × il prodotto dei semiassi a, b e c nelle tre direzioni». Un ellissoide con i tre semiassi uguali è una sfera (V = 4/3 πr³). I semiassi vanno inseriti nella stessa unità e il risultato è in quell’unità al cubo (cm³ se usi i cm). Per passare da cm³ a litri basta dividere per 1000.
Simboli e termini
Simboli
| \(V\) | vu | La lettera che si usa di solito per il volume, dall’iniziale di «volume». In questa pagina indica il volume dell’ellissoide (o della sfera). |
| \(a,\ b,\ c\) | a, bi, ci | La lunghezza dei semiassi dell’ellissoide nelle sue tre direzioni. Sono tutti la «distanza dal centro alla superficie», che nella sfera è il raggio. Sono la metà della lunghezza da un estremo all’altro (l’asse). |
| \(\pi\) | pi greco | Il pi greco. Indica quante volte il diametro sta nella lunghezza della circonferenza e vale \(3{,}14159265\ldots\), un decimale che non finisce e non si ripete (un numero irrazionale). Il 3,14 che si usa a scuola è un’approssimazione. |
| \(r\) | erre | Il raggio della sfera, dall’iniziale di «raggio». Una sfera è un ellissoide i cui tre semiassi valgono tutti \(r\). |
| \(r^3\) | erre al cubo | Il numero \(r\) moltiplicato tre volte per se stesso (\(r \times r \times r\)). Il piccolo 3 in alto a destra è un esponente che indica che il numero compare tre volte come fattore. |
| \(\mathrm{cm^3}\) | centimetro cubo | Un’unità di volume. Un cubo di 1 cm di spigolo ha un volume di 1 cm³. Non confonderlo con i cm² (centimetri quadrati), che sono un’unità di area. |
| \(\mathrm{L}\) | litro | Un’unità di volume (capacità). Vale \(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm^3}\), ciò che sta in un cubo di 10 cm di spigolo. (Si scrive l o L; qui si usa la L maiuscola perché la l minuscola si confonde facilmente con un 1.) |
Termini
| ellissoide | La versione in tre dimensioni dell’ellisse: un solido liscio a forma di uovo. Qualsiasi sezione piana è un’ellisse (o un cerchio). Un pallone da rugby o un’anguria hanno una forma simile. |
| semiasse | La distanza dal centro dell’ellissoide alla sua superficie misurata in ciascuna delle tre direzioni di simmetria (perpendicolari tra loro). La grandezza e la forma dell’ellissoide sono determinate da queste tre lunghezze. È la metà della lunghezza da un estremo all’altro (l’asse). |
| ellisse | La forma che si ottiene stirando (o schiacciando) un cerchio in una direzione. È una curva rotonda e allungata, come l’ombra di un pallone visto di lato. |
| sfera | Un ellissoide particolare in cui i tre semiassi sono uguali. È un solido che da qualsiasi direzione appare come un cerchio della stessa grandezza, e il suo volume è \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\). |
| ellissoide di rotazione | Il solido che si ottiene facendo ruotare di un giro un’ellisse attorno al proprio asse, cioè un ellissoide in cui due dei tre semiassi sono uguali (si chiama anche sferoide). Un pallone da rugby (forma allungata) o un mandarino (forma schiacciata) sono di questo tipo, e anche la Terra è un ellissoide di rotazione leggermente schiacciato. |
| volume | La grandezza di un solido (lo spazio che occupa), espressa con un numero. Si misura contando quanti cubi unitari (per esempio da 1 cm³) ci stanno dentro. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
| Moltiplicazione e moltiplicazione di numeri decimali (classi 3ª–5ª della primaria, 8-11 anni) |
|
| Che cos’è il volume e le sue unità (classi 3ª–5ª della primaria, 8-11 anni) |
|
| Pi greco (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Moltiplicazione di frazioni (classi 4ª–5ª della primaria, 9-11 anni) |
|
| Volume della sfera (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per calcolare il volume di un ellissoide
| Lunghezza del semiasse a | 10 |
| Lunghezza del semiasse b | 5 |
| Lunghezza del semiasse c | 8 |
| Volume dell’ellissoide | =4/3*PI.GRECO()*B1*B2*B3 |
Tabella per calcolare il volume di una sfera
| Raggio | 3 |
| Volume della sfera | =4/3*PI.GRECO()*B1^3 |
Tabella per convertire i cm³ in litri
| Volume in cm³ | 2000 |
| Volume in litri | =B1/1000 |
Dopo averla incollata, nella colonna A trovi i nomi e nella colonna B i numeri. Le righe in alto sono i tuoi dati, e la formula dell’ultima riga calcola il risultato in automatico con quei valori.
«B1» e «B2» in una formula significano «usa il numero di quella cella», «*» è la moltiplicazione, «/» la divisione, «^» la potenza (quante volte si moltiplica) e «PI.GRECO()» la funzione che restituisce il pi greco.
Nella prima tabella, per esempio, B4 mostra 4/3 × π × 10 × 5 × 8 = circa 1675,52 (in cm³, perché hai inserito i cm). La seconda tabella mostra in B2 circa 113,10 e la terza mostra 2 in B2. Ti basta cambiare i dati con le tue lunghezze.
«B1» e «B2» in una formula significano «usa il numero di quella cella», «*» è la moltiplicazione, «/» la divisione, «^» la potenza (quante volte si moltiplica) e «PI.GRECO()» la funzione che restituisce il pi greco.
Nella prima tabella, per esempio, B4 mostra 4/3 × π × 10 × 5 × 8 = circa 1675,52 (in cm³, perché hai inserito i cm). La seconda tabella mostra in B2 circa 113,10 e la terza mostra 2 in B2. Ti basta cambiare i dati con le tue lunghezze.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per calcolare il volume di un ellissoide
| Lunghezza del semiasse a | 10 |
| Lunghezza del semiasse b | 5 |
| Lunghezza del semiasse c | 8 |
| Volume dell’ellissoide | =4/3*PI.GRECO()*B1*B2*B3 |
Tabella per calcolare il volume di una sfera
| Raggio | 3 |
| Volume della sfera | =4/3*PI.GRECO()*B1^3 |
Tabella per convertire i cm³ in litri
| Volume in cm³ | 2000 |
| Volume in litri | =B1/1000 |
Funzionano le stesse formule di Excel (compresa la funzione PI.GRECO()). Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e cambia i dati con le tue lunghezze.
Come calcolarlo con Python
import math
a = 10 # lunghezza del semiasse a (in questo esempio, in cm; distanza dal centro alla superficie)
b = 5 # lunghezza del semiasse b (nella stessa unità di a)
c = 8 # lunghezza del semiasse c (nella stessa unità di a e b)
volume = 4 / 3 * math.pi * a * b * c # volume dell’ellissoide (l’unità inserita al cubo; qui cm3)
volume_l = volume / 1000 # se inserisci i cm, il volume in litri
print(f"Volume dell’ellissoide: {volume} cm3")
print(f"In litri: {volume_l} L")
Funziona con la sola libreria standard. «math.pi» è il pi greco, «*» la moltiplicazione e «/» la divisione. Cambia in alto il valore dei tre semiassi ed esegui il codice. Se i tre valori sono uguali, ottieni il volume di una sfera (la conversione in litri è per un inserimento in cm).
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Volume dell’ellissoide
V = 4/3 × π × a × b × c
V = \dfrac{4}{3} \pi a b c
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mo>⁢</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>a</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>b</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>c</mi>
</mrow>
</math>
V = 4/3 pi a b c
4/3*Pi*a*b*c
V := 4/3*Pi*a*b*c;
V = 4/3*pi*a*b*c;
V = 4/3 πabc
Volume della sfera (un caso particolare dell’ellissoide)
V = 4/3 × π × r³
V = \dfrac{4}{3} \pi r^{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mo>⁢</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>3</mn></msup>
</mrow>
</math>
V = 4/3 pi r^3
4/3*Pi*r^3
V := 4/3*Pi*r^3;
V = 4/3*pi*r^3;
V = 4/3 πr^3
Volume: conversione di unità (cm³ → L)
V[L] = V[cm³] ÷ 1000
V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi>L</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi>cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000</mn>
</mrow>
</math>
V_(L) = V_(cm^3) -: 1000
vCm3/1000
vL := vCm3/1000;
v_L = v_cm3/1000;
V(L) = V(cm³)/1000
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per i calcoli di matematica. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non calcolare a mente e non stimare). Un ellissoide ha semiassi di a = 10 cm, b = 5 cm e c = 8 cm (i semiassi sono la distanza dal centro alla superficie). Calcola: 1. Il volume di questo ellissoide in cm³ (V = 4/3 × π × a × b × c) 2. Quel volume in litri (L) Mostra le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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Uso commerciale gratuito
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
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