Scrivi la media, la deviazione standard e il limite inferiore e superiore dell’intervallo che ti interessa. La calcolatrice trova la probabilità di cadere in quell’intervallo e una tabella di intervalli di confidenza.
Se non c’è un limite inferiore, scrivi «-inf». Se non c’è un limite superiore, scrivi «inf» (stanno per meno infinito e più infinito). Per i decimali usa la virgola (come 62,5).
Risultato e grafico
Scrivi la media, la deviazione standard e l’intervallo nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Il risultato compare qui.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formula e grafico
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
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Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Scrivi la media \(\mu\) e la dispersione (la deviazione standard \(\sigma\)) e ottieni subito la probabilità che un valore cada in un dato intervallo
- Calcola anche la probabilità di ottenere un valore maggiore o uguale (o minore o uguale) a un dato valore, come in «Quale percentuale degli studenti ha preso 80 o più?»
- Mostra anche una tabella degli intervalli più usati in statistica (come l’intervallo che contiene il 95% del totale)
- In questa stessa pagina trovi anche una spiegazione semplice della distribuzione normale e le formule pronte da copiare per Excel, Fogli Google e Python
Usala quando i dati sono distribuiti in modo vicino a una distribuzione normale (una forma a campana simmetrica intorno alla media). Molti dati reali, come i punteggi di un test, le altezze e i pesi dei prodotti, si sa che si avvicinano a questa forma.
A cosa serve questo calcolo?
Leggere bene i punteggi dei test e i percentili (prove INVALSI e test standardizzati)
I punteggi delle prove INVALSI di Italiano e Matematica della scuola secondaria di primo grado sono espressi su una scala in cui la media di riferimento è 200 e una deviazione standard vale 40 punti. In una distribuzione normale solo circa il 16% degli studenti sta a \(+1\sigma\) o più (240 punti o più) e solo circa il 2,3% sta a \(+2\sigma\) o più (280 punti o più).
Quando capisci questa corrispondenza, i percentili dei test standardizzati non sono più un mistero: puoi leggere in numeri, e non solo a sensazione, che cosa rappresentano «20 punti in più» o «il 90º percentile».
Leggere con calma l’«intervallo di riferimento» dei referti (salute)
L’«intervallo di riferimento» delle analisi del sangue e di esami simili è spesso fissato come l’intervallo che contiene il 95% centrale delle misure di persone sane (circa la media \(\pm 2\sigma\)).
Quindi, per qualsiasi esame, circa il 5% delle persone sane (1 su 20) cade fuori dall’intervallo di riferimento. In un controllo con molti esami è anzi normale che una persona sana risulti fuori range in almeno uno. Sapendolo, capisci che «un po’ fuori dall’intervallo» non significa automaticamente che «c’è qualcosa che non va», e puoi ascoltare con calma la spiegazione del medico. È utile soprattutto se i referti tendono a preoccuparti.
Controllo qualità in fabbrica: quanti prodotti restano fuori specifica?
Il peso e le dimensioni dei prodotti variano in un modo che si avvicina a una distribuzione normale. Per esempio, se le confezioni sono riempite con un contenuto medio di 102 g e una deviazione standard di 1 g, con limite minimo di specifica a 100 g, quelle sotto il minimo sono quelle oltre \(-2\sigma\), circa il 2,3%.
Le fabbriche usano questo calcolo per prevedere la percentuale di difetti e per decidere dove fissare il riempimento medio (quanto in più mettere) per bilanciare i reclami dei clienti e il costo.
Decidere i test A/B su siti e app (marketing)
Quando confronti se il design A o il design B ha la percentuale di clic più alta, usi la distribuzione normale (un intervallo di confidenza) per decidere se la differenza è solo casuale o reale.
La riga «0,95» della tabella mostrata nel risultato è proprio l’«intervallo di confidenza al 95%» usato più spesso nella pratica. Dietro le decisioni che muovono grandi somme di denaro, come i budget pubblicitari, questo calcolo si usa ogni giorno.
La matematica che fa funzionare le assicurazioni (matematica attuariale)
I professionisti chiamati attuari stimano come probabilità il rischio di pagare i sinistri e ne ricavano i premi assicurativi.
I singoli incidenti non si possono prevedere, ma il totale su molti assicurati si avvicina a una distribuzione normale (il teorema del limite centrale), quindi il totale dei pagamenti si può prevedere con sorprendente precisione. È grazie a questa matematica che possiamo avere una copertura ampia con un premio accessibile.
Formula e grafico
Probabilità di cadere in un intervallo (con la funzione di ripartizione \(\Phi\))
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(P(a \le X \le b)\)
\(=\)
\(\Phi\!\left(\dfrac{b-\mu}{\sigma}\right)\)
\(-\)
\(\Phi\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
probabilità di cadere tra \(a\) e \(b\)
\(=\)
①
quota fino al limite superiore \(b\)
\(-\)
②
quota fino al limite inferiore \(a\)
La formula a parole
①
Trova la
quota fino al limite superiore \(b\)
con la funzione di ripartizione \(\Phi\) (fi). Tra le parentesi di \(\Phi\) c’è il punteggio z: la distanza dalla media \(\mu\) divisa per la deviazione standard \(\sigma\)
②
trova allo stesso modo la
quota fino al limite inferiore \(a\)
e sottraila
③
per ottenere la
probabilità di cadere tra \(a\) e \(b\)
Un esempio semplice
In un test con media di 62 punti e deviazione standard di 14 punti, la quota dei punteggi tra 50 e 80 è
probabilità di avere da 50 a 80 punti
\(=\)
quota fino a 80 punti \(\Phi((80-62)/14)\)
\(-\)
quota fino a 50 punti \(\Phi((50-62)/14)\)
\(\Phi(1{,}29) - \Phi(-0{,}86) \approx 0{,}90 - 0{,}20 = 0{,}70\ \ (70\%)\)
L’idea chiave
Dividere la distanza dalla media \(\mu\) per la deviazione standard \(\sigma\) si chiama standardizzazione (trasformare un valore in un punteggio z). Qualunque siano la media e la deviazione standard di una distribuzione normale, una volta riscritti i valori come \(z = (x - \mu) \div \sigma\) puoi trovare le probabilità con un’unica distribuzione normale standard, con media 0 e deviazione standard 1 (un metro comune). Anche questa calcolatrice fa internamente questa conversione prima di calcolare. I punteggi delle prove INVALSI si basano sulla stessa idea: sulla scala di riferimento la media è 200 e la deviazione standard è 40, quindi punteggio INVALSI \(= 200 + 40 \times z\).
Formula della curva normale (funzione di densità)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(f(x)\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\)
\(\times\)
\(e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
altezza della curva in \(x\), \(f(x)\)
\(=\)
②
fattore di scala (porta l’area totale a 1)
\(\times\)
①
parte che diminuisce allontanandosi dalla media
La formula a parole
①
La
parte che diminuisce allontanandosi dalla media
cala rapidamente quando \(x\) si allontana dalla media \(\mu\), e questo forma la campana;
②
il
fattore di scala (porta l’area totale a 1)
fa sì che l’area sotto la curva sia esattamente 1
③
e insieme danno
l’altezza della curva in \(x\), \(f(x)\)
(l’area compresa tra la curva e l’asse orizzontale è la probabilità)
Un esempio semplice
Questa formula si calcola raramente a mano. Di solito si passa al punteggio z come nella prima formula, oppure si usa la calcolatrice di questa pagina o Excel.
L’idea chiave
In una distribuzione normale, circa il 68,3% dei dati cade entro la media \(\pm 1\sigma\) (una deviazione standard), circa il 95,4% entro \(\pm 2\sigma\) e circa il 99,7% entro \(\pm 3\sigma\) (la regola 68–95–99,7, detta anche regola empirica). Per esempio, con media di 62 punti e deviazione standard di 14 punti, circa il 68% degli studenti ottiene tra 48 e 76. Tieni a mente questo criterio e capirai a intuito come la forma della curva corrisponde alle probabilità.
Il segreto per calcolare le probabilità della distribuzione normale: qualunque siano la media e la deviazione standard, una volta riscritto un valore come «a quante deviazioni standard dalla media si trova» (il punteggio z), puoi trovare la probabilità con un unico metro comune.
Simboli e termini
Simboli
| \(\mu\) | mi | La media. È la posizione del centro del picco della distribuzione. È una lettera greca che corrisponde alla m. |
| \(\sigma\) | sigma | La deviazione standard. È la grandezza della dispersione dei dati e determina la larghezza del picco. Più è grande, più il picco è basso e largo. È una lettera greca che corrisponde alla s. |
| \(X\) | ics maiuscola (variabile casuale) | Una lettera che indica una grandezza il cui valore può cambiare a ogni misura, come il punteggio di un test o un’altezza. |
| \(\Phi\) | fi maiuscola | La funzione di ripartizione della distribuzione normale standard (media 0, deviazione standard 1). Restituisce la probabilità di ottenere quel valore o meno. |
| \(z\) | zeta (punteggio z) | Un numero che dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore. Si trova con \(z = (x - \mu) \div \sigma\). |
| \(e\) | e (numero di Nepero) | Una costante, circa 2,71828…, la base del logaritmo naturale. È un numero speciale alla base delle funzioni esponenziali. |
| \(\pi\) | pi greco | Una costante, circa 3,14159…, il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro. Nella formula della distribuzione normale compare per rendere l’area totale sotto la curva esattamente 1. |
Termini
| distribuzione normale | Una distribuzione che si sparge in modo simmetrico intorno alla media con una forma a campana. Si usa come modello per dati in cui i valori vicini alla media sono i più comuni e diventano più rari quanto più si allontanano dalla media, come le altezze, i punteggi di un test e i pesi dei prodotti. Si chiama anche distribuzione gaussiana. |
| deviazione standard | Un solo numero che mostra quanto sono dispersi i dati. Due insiemi di dati possono avere la stessa media ma dispersioni diverse. Più la deviazione standard è grande, più il picco della distribuzione è basso e largo. |
| standardizzazione | Riscrivere un valore come «a quante deviazioni standard dalla media si trova» (il punteggio z). Qualunque distribuzione normale, una volta standardizzata, si può trattare con l’unica distribuzione normale standard con media 0 e deviazione standard 1. I punteggi INVALSI usano la stessa idea: punteggio \(= 200 + 40 \times z\). |
| funzione di ripartizione | Una funzione che restituisce la probabilità di ottenere quel valore o meno. Per la distribuzione normale standard si scrive \(\Phi\) (fi). La probabilità di un intervallo è «\(\Phi\) fino al limite superiore» meno «\(\Phi\) fino al limite inferiore». |
| funzione di densità | La formula della curva stessa della distribuzione. L’altezza della curva non è una probabilità ma una densità di probabilità. L’area compresa tra la curva e l’asse orizzontale su un intervallo è la probabilità. Per la distribuzione normale è una curva a campana. |
| intervallo di confidenza | La tabella nel risultato elenca, per ogni percentuale, l’intervallo centrato sulla media che contiene quella parte dell’intera distribuzione (\(\mu \pm z \times \sigma\)) e il suo moltiplicatore \(z\). A rigore, un «intervallo di confidenza al 95%» in statistica è un intervallo per il valore vero (come la media della popolazione) stimato da dati campionari. Ma quando si assume una distribuzione normale si usa lo stesso \(z\) (1,96 per il 95%), quindi i valori di \(z\) di questa tabella valgono direttamente. Si usa spesso per trovare il «margine di errore» dei sondaggi e dei risultati dei test. |
| regola empirica (68–95–99,7) | Un criterio pratico da ricordare: in una distribuzione normale, circa il 68,3% dei dati cade entro la media \(\pm 1\sigma\), circa il 95,4% entro \(\pm 2\sigma\) e circa il 99,7% entro \(\pm 3\sigma\). |
| teorema del limite centrale | Il fatto matematico per cui una grandezza formata da molti piccoli effetti casuali (una somma o una media) si avvicina a una distribuzione normale, qualunque sia la distribuzione di partenza. È il motivo per cui tanti dati reali si avvicinano a una distribuzione normale. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendone il significato, e non solo premendo il pulsante.
| La media (classe 5ª della primaria, 10-11 anni) |
|
| Analisi dei dati e deviazione standard (scuola secondaria di secondo grado, 14-19 anni) |
|
| Leggere le quote come aree (dalla classe 5ª della primaria alla secondaria di primo grado, 10-14 anni) |
|
| Standardizzazione e punteggi z (scuola secondaria di secondo grado, 14-19 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per calcolare la probabilità di un intervallo
| Media μ | 62 |
| Dev. standard σ | 14 |
| Limite inferiore | 50 |
| Limite superiore | 80 |
| Probabilità tra i due limiti | =DISTRIB.NORM.N(B4;B1;B2;VERO)-DISTRIB.NORM.N(B3;B1;B2;VERO) |
Tabella per calcolare la probabilità di un valore o più (quanto sta in alto)
| Media μ | 62 |
| Dev. standard σ | 14 |
| Valore (di cui trovare la quota uguale o superiore) | 80 |
| Probabilità di quel valore o più | =1-DISTRIB.NORM.N(B3;B1;B2;VERO) |
Tabella per calcolare l’altezza della curva in un punto (densità di probabilità)
| Media μ | 62 |
| Dev. standard σ | 14 |
| Punto x | 80 |
| Altezza della curva in quel punto | =DISTRIB.NORM.N(B3;B1;B2;FALSO) |
DISTRIB.NORM.N è la funzione della distribuzione normale. DISTRIB.NORM.N(x; media; dev_standard; VERO) restituisce la probabilità di ottenere x o meno.
La probabilità di un intervallo è «la probabilità del limite superiore o meno» meno «la probabilità del limite inferiore o meno».
Se metti FALSO come ultimo argomento, ottieni l’altezza della curva in quel punto (il valore della funzione di densità) invece di una probabilità.
Dopo l’incolla, la colonna B contiene i tuoi dati e la formula dell’ultima riga si calcola in automatico. La prima tabella mostra circa 0,70 (circa il 70%) e la seconda circa 0,10 (circa il 10%, cioè più o meno il 10% più alto).
La probabilità di un intervallo è «la probabilità del limite superiore o meno» meno «la probabilità del limite inferiore o meno».
Se metti FALSO come ultimo argomento, ottieni l’altezza della curva in quel punto (il valore della funzione di densità) invece di una probabilità.
Dopo l’incolla, la colonna B contiene i tuoi dati e la formula dell’ultima riga si calcola in automatico. La prima tabella mostra circa 0,70 (circa il 70%) e la seconda circa 0,10 (circa il 10%, cioè più o meno il 10% più alto).
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per calcolare la probabilità di un intervallo
| Media μ | 62 |
| Dev. standard σ | 14 |
| Limite inferiore | 50 |
| Limite superiore | 80 |
| Probabilità tra i due limiti | =DISTRIB.NORM(B4;B1;B2;VERO)-DISTRIB.NORM(B3;B1;B2;VERO) |
Tabella per calcolare la probabilità di un valore o più (quanto sta in alto)
| Media μ | 62 |
| Dev. standard σ | 14 |
| Valore (di cui trovare la quota uguale o superiore) | 80 |
| Probabilità di quel valore o più | =1-DISTRIB.NORM(B3;B1;B2;VERO) |
Tabella per calcolare l’altezza della curva in un punto (densità di probabilità)
| Media μ | 62 |
| Dev. standard σ | 14 |
| Punto x | 80 |
| Altezza della curva in quel punto | =DISTRIB.NORM(B3;B1;B2;FALSO) |
In Fogli Google usa la funzione DISTRIB.NORM (funziona come DISTRIB.NORM.N di Excel).
DISTRIB.NORM(x; media; deviazione_standard; VERO) restituisce la probabilità di ottenere x o meno, quindi il valore del limite superiore meno quello del limite inferiore è la probabilità dell’intervallo.
Se metti FALSO come ultimo argomento, ottieni l’altezza della curva in quel punto (la densità di probabilità) invece di una probabilità.
DISTRIB.NORM(x; media; deviazione_standard; VERO) restituisce la probabilità di ottenere x o meno, quindi il valore del limite superiore meno quello del limite inferiore è la probabilità dell’intervallo.
Se metti FALSO come ultimo argomento, ottieni l’altezza della curva in quel punto (la densità di probabilità) invece di una probabilità.
Come calcolarlo con Python
from statistics import NormalDist
mean = 62 # media
standard_deviation = 14 # deviazione standard
lower_bound = 50 # limite inferiore dell’intervallo
upper_bound = 80 # limite superiore dell’intervallo
distribution = NormalDist(mean, standard_deviation)
p_between = distribution.cdf(upper_bound) - distribution.cdf(lower_bound)
print(f"Probabilità tra {lower_bound} e {upper_bound}: {p_between}")
Con Python 3.8 o successivo basta il modulo statistics della libreria standard (non c’è niente da installare). cdf(x) restituisce la probabilità di ottenere x o meno, quindi il codice sottrae il valore del limite inferiore da quello del limite superiore.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Probabilità di cadere in un intervallo (con la funzione di ripartizione \(\Phi\))
P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b − μ)/σ) − Φ((a − μ)/σ)
P(a \le X \le b) = \Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>≤</mo><mi>X</mi><mo>≤</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>Φ</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac><mrow><mi>b</mi><mo>−</mo><mi>μ</mi></mrow><mi>σ</mi></mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>−</mo>
<mi>Φ</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>−</mo><mi>μ</mi></mrow><mi>σ</mi></mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</math>
P(a <= X <= b) = Phi((b - mu)/sigma) - Phi((a - mu)/sigma)
CDF[NormalDistribution[mu, sigma], b] - CDF[NormalDistribution[mu, sigma], a]
with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(mu, sigma)), b) - CDF(RandomVariable(Normal(mu, sigma)), a);
p = normcdf(b, mu, sigma) - normcdf(a, mu, sigma);
P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b-μ)/σ) - Φ((a-μ)/σ)
Formula della curva normale (funzione di densità)
f(x) = 1/(σ√(2π)) · e^(−(x − μ)²/(2σ²))
f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow><mi>σ</mi><msqrt><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></msqrt></mrow>
</mfrac>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow>
<mo>−</mo>
<mfrac>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>μ</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
<mrow><mn>2</mn><msup><mi>σ</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</msup>
</mrow>
</math>
f(x) = 1/(sigma sqrt(2 pi)) e^(-(x - mu)^2 / (2 sigma^2))
PDF[NormalDistribution[mu, sigma], x]
with(Statistics): PDF(RandomVariable(Normal(mu, sigma)), x);
y = normpdf(x, mu, sigma);
f(x) = 1/(σ√(2π)) e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per il calcolo delle probabilità. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero del codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con calcoli a mente o ipotesi). I punteggi di un test seguono una distribuzione normale con media 62 punti e deviazione standard 14 punti. Trova ciascuno dei seguenti valori: 1. La probabilità che un punteggio sia tra 50 e 80 punti 2. La probabilità che un punteggio sia di 80 punti o più (quanto sta in alto, in percentuale) 3. La probabilità che un punteggio sia di 50 punti o meno Usa statistics.NormalDist di Python e mostra il codice che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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Uso commerciale gratuito
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Funzioni correlate
Probabilità di due eventi indipendenti (e, o, nessuno dei due)
Da due probabilità calcola la probabilità che accadano entrambi, che ne accada almeno uno e altro
Probabilità di due eventi (ricava i valori mancanti)
Dalle due probabilità che conosci ricava tutte le altre probabilità
Probabilità di prove ripetute (n volte di fila, almeno una volta)
Calcola la probabilità che qualcosa accada n volte di fila, o almeno una volta in n tentativi
