Probabilità di prove ripetute (n volte di fila, almeno una volta)

Scrivi la probabilità di una prova e il numero di prove. Gli eventi A e B vengono calcolati insieme e compaiono anche le probabilità delle loro combinazioni.

Probabilità di A in una prova

Numero di prove per A

Probabilità di B in una prova

Numero di prove per B

Scrivi le probabilità come numeri da 0 a 1 (per esempio, il 25% è 0,25) e il numero di prove come numero intero da 1 a 1000. Se ti serve un solo evento, scrivi comunque valori provvisori per l’evento B (per esempio 0,5 e 1).

Risultato

Scrivi le probabilità e il numero di prove nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Il risultato compare qui.

Indice

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Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formula
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Scrivi la probabilità di una prova e il numero di prove e ottieni subito la probabilità che accada \(n\) volte di fila
Calcola anche, tutto insieme, la probabilità che accada almeno una volta e quella che non accada mai
Funziona con due eventi, A e B, contemporaneamente, quindi puoi ottenere anche combinazioni come «A accade almeno una volta e B non accade mai»
In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule pronte da copiare per Excel, Fogli Google e Python

Funziona solo quando la probabilità è la stessa ogni volta e i risultati non si influenzano (sono indipendenti). Vanno bene dadi, monete e loot box con probabilità dichiarate. Non funziona quando la probabilità cambia da un tentativo all’altro, come in «estrarre biglietti senza rimetterli dentro».

A cosa serve questo calcolo?

Stimare le tue probabilità con le loot box e le estrazioni nei giochi

«Se apro 100 volte una loot box con probabilità dell’1% di dare l’oggetto, prima o poi lo otterrò di sicuro.» In realtà la probabilità di ottenere almeno un oggetto è \(1 - 0{,}99^{100} \approx 0{,}634\) (63,4%), quindi circa 1 giocatore su 3 non ottiene nulla nemmeno dopo 100 tentativi.
Conoscere la formula dell’«almeno una volta» ti permette di pianificare la spesa e il numero di tentativi con i numeri invece che a sensazione.

Non farsi prendere dal panico per un «falso positivo» in un esame di screening (salute)

Un esame può risultare «positivo» anche quando non hai la malattia (un falso positivo) e questo accade alcune volte su cento a ogni esame. Se è il 5% a ogni esame, la probabilità di avere almeno un falso positivo in 10 anni di controlli annuali arriva a \(1 - 0{,}95^{10} \approx 0{,}4\) (40%).
Sapere che un risultato segnalato non equivale ad avere la malattia, e che quasi chiunque può trovarne uno se ripete l’esame abbastanza volte, aiuta a restare calmi quando ti chiedono di tornare per un controllo. È uno dei modi più utili in cui questa formula aiuta a ridimensionare una grande preoccupazione con i numeri.

Cosa significa davvero «alluvione con tempo di ritorno di 100 anni» (prevenzione dei rischi)

Un’alluvione con «tempo di ritorno di 100 anni» è un’alluvione che ha l’1% di probabilità di verificarsi in un anno qualsiasi. (Nei piani di gestione del rischio di alluvioni in Italia rientra nello scenario di media pericolosità, con tempo di ritorno tra 100 e 200 anni: D.Lgs. 49/2010, ISPRA.) Nel corso di un mutuo di 30 anni, la probabilità di almeno una di queste alluvioni è \(1 - 0{,}99^{30} \approx 0{,}26\) (26%), più di 1 su 4. (Le valutazioni reali del rischio usano modelli più dettagliati, ma l’idea è la stessa.)
Una volta capita questa formula, si vede che «quest’anno non è successo» non ti mette al sicuro e che la probabilità si accumula via via che il periodo si allunga. Questo aiuta nelle decisioni come stipulare una polizza contro le alluvioni o tenere una scorta di emergenza.

Controllo qualità (la probabilità che tutti i componenti siano buoni)

In un prodotto con 10 componenti, ciascuno con lo 0,5% di difetti, la probabilità che nessun componente sia difettoso è \((1 - 0{,}005)^{10} \approx 0{,}951\) (95,1%).
Più sono i componenti, più bassa è la probabilità che «tutti i componenti siano buoni». Le aziende usano questa formula per stimare la percentuale di prodotti conformi e, al contrario, ricavare il tasso di difetti ammesso per ciascun componente.

Quante volte partecipare a un concorso a premi o a un’estrazione per avere una probabilità realistica

Se partecipi 7 volte a un’estrazione con il 10% di probabilità di vincere, la probabilità di vincere almeno una volta è \(1 - 0{,}9^{7} \approx 0{,}52\) (52%), appena sopra la parità.
Saper calcolare «quanti tentativi servono per avere circa il 50% di probabilità» rende più facile decidere dove mettere il tuo tempo e il tuo impegno.

Formula

Probabilità che accada \(n\) volte di fila

Notazione matematica (la notazione abituale)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

\(P\) \(=\) \(p\) \(n\)

③ \(P\): probabilità di \(n\) volte di fila \(=\) ① \(p\): probabilità in una prova ② \(n\): numero di prove

La formula a parole

① Parti dalla \(p\): probabilità in una prova

② moltiplicala per se stessa tante volte quante indica il \(n\): numero di prove

③ e ottieni la \(P\): probabilità di \(n\) volte di fila

Un esempio semplice

La probabilità che una moneta (probabilità 0,5) esca «testa» 3 volte di fila è

\(P\): 3 volte di fila \(=\) una prova (0,5) prove (3)

\(0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}125\ \ (12{,}5\%)\)

L’idea chiave

Questa formula vale solo quando la probabilità è la stessa ogni volta e non dipende dai risultati precedenti (le prove sono indipendenti). Vanno bene dadi, monete e loot box con probabilità dichiarate. Non vale quando la probabilità cambia da un tentativo all’altro, come in «estrarre biglietti senza rimetterli dentro».

Probabilità che non accada mai in \(n\) prove

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(P\) \(=\) \((1-p)\) \(n\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(P\): probabilità che non accada mai \(=\) ① \((1-p)\): probabilità che non accada in una prova ② \(n\): numero di prove

La formula a parole

① Parti dalla \((1-p)\): probabilità che non accada in una prova

② moltiplicala per se stessa tante volte quante indica il \(n\): numero di prove

③ e ottieni la \(P\): probabilità che non accada mai

Un esempio semplice

Se apri 4 volte una loot box con probabilità 0,25 di dare un oggetto raro, la probabilità di non ottenerlo in nessuna delle 4 volte è

\(P\): mai un oggetto raro in 4 volte \(=\) nessun oggetto raro in una volta (0,75) prove (4)

\(0{,}75 \times 0{,}75 \times 0{,}75 \times 0{,}75 \approx 0{,}316\ \ (31{,}6\%)\)

L’idea chiave

La probabilità che non accada in una prova si ricava dall’evento contrario: 1 − (la probabilità che accada in una prova). Se la probabilità di un oggetto raro è 0,25, quella di non ottenerlo è \(1 - 0{,}25 = 0{,}75\).

Probabilità che accada almeno una volta in \(n\) prove

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(P\) \(=\) \(1\) \(-\) \((1-p)\) \(n\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

④ \(P\): probabilità di almeno una volta \(=\) ③ \(1\): probabilità totale \(-\) ① \((1-p)\): probabilità che non accada in una prova ② \(n\): numero di prove

La formula a parole

① Parti dalla \((1-p)\): probabilità che non accada in una prova

② moltiplicala per se stessa tante volte quante indica il \(n\): numero di prove e ottieni la probabilità che non accada mai

③ sottrai il risultato dalla \(1\): probabilità totale

④ e ottieni la \(P\): probabilità di almeno una volta

Un esempio semplice

Se apri 4 volte una loot box con probabilità 0,25 di dare un oggetto raro, la probabilità di ottenere almeno un oggetto raro è

\(P\): almeno un oggetto raro \(=\) \(1\): probabilità totale \(-\) nessun oggetto raro in una volta (0,75) prove (4)

\(0{,}75 \times 0{,}75 \times 0{,}75 \times 0{,}75 \approx 0{,}316\)

\(1 - 0{,}316 = 0{,}684\ \ (68{,}4\%)\)

L’idea chiave

Se provi a contare direttamente «almeno una volta», devi sommare «esattamente una volta», «esattamente due volte» e così via, e richiede molto lavoro. Il lato opposto (l’evento contrario), «non accade mai», richiede una sola formula. Quindi lo calcoli e lo sottrai dalla probabilità totale, 1. È l’idea chiave della formula. Inoltre, aggiungere prove avvicina la probabilità a 1 (100%), ma non la porta mai a 100%. «Apri 100 volte una loot box con probabilità dell’1% e la probabilità di ottenere almeno un oggetto raro è solo circa il 63%.»

Per le prove ripetute la regola di base è: moltiplica la probabilità di una prova per se stessa tante volte quante sono le prove. Per «almeno una volta» il trucco è trovare l’evento contrario, «non accade mai», e sottrarlo dal totale, 1.

Simboli e termini

Simboli

\(p\)	p	La probabilità che l’evento accada in una prova. (Esempio: una loot box con probabilità 0,25 di dare un oggetto raro)
\(n\)	n	Il numero di prove. (Esempio: con 4 tentativi, \(n = 4\))
\(p^n\)	p alla n	\(p\) moltiplicato per se stesso \(n\) volte. La piccola \(n\) in alto a destra è l’esponente, che significa «moltiplica \(n\) volte». (Esempio: \(0{,}5^3 = 0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}125\))
\(1-p\)	uno meno p	La probabilità che l’evento non accada in una prova (la probabilità dell’evento contrario).
\(P\)	P maiuscola	La probabilità che vuoi trovare. In questa pagina indica cose come la probabilità di \(n\) volte di fila o la probabilità di almeno una volta.

Termini

evento	Qualcosa che accade oppure no, per esempio «ottenere un 6 lanciando un dado» o «vincere alla lotteria». In probabilità questi risultati si chiamano eventi.
prova	Una singola esecuzione di un’azione dall’esito casuale, come un lancio di dado o l’estrazione di un biglietto (detta anche esperimento casuale). Le formule di questa pagina riguardano la ripetizione della stessa prova \(n\) volte.
indipendente	Quando un risultato precedente non cambia la probabilità del successivo. Dadi e monete hanno la stessa probabilità a ogni lancio, quante volte li lanci, quindi i lanci sono indipendenti.
prove ripetute	Fare molte volte la stessa prova nelle stesse condizioni. Se le prove sono indipendenti e hanno due soli esiti (accade o non accade), si chiamano prove di Bernoulli (o schema di Bernoulli) e sono alla base della distribuzione binomiale.
evento contrario	L’evento opposto, quello in cui l’evento non accade. L’evento contrario di «accade almeno una volta» è «non accade mai» e questo passaggio è la chiave della terza formula di questa pagina.
potenza (esponente)	Moltiplicare lo stesso numero per se stesso più volte. In \(0{,}5^3\), il piccolo numero in alto a destra (l’esponente) indica quante volte moltiplicare.

Cosa conviene sapere prima

Ecco cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.

Probabilità di base (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Sapere che una probabilità è un numero da 0 a 1 e che la probabilità che qualcosa accada e quella che non accada hanno come somma 1 Sapere che la probabilità di eventi indipendenti che si verificano uno dopo l’altro si trova moltiplicando
Potenze (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Sapere che «elevato alla \(n\)» vuol dire moltiplicare lo stesso numero \(n\) volte, come in \(0{,}5^3 = 0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5\)
L’evento contrario (scuola secondaria di primo e di secondo grado)	Saper vedere che il contrario di «accade almeno una volta» è «non accade mai» Sapere che, quando una probabilità è difficile da contare direttamente, si può calcolare il lato opposto e sottrarlo da 1
Moltiplicazione di numeri decimali (classi 4ª–5ª della primaria, 9-11 anni)	Saper moltiplicare numeri decimali, come in \(0{,}75 \times 0{,}75\) Avere la sensazione che la risposta diventi sempre più piccola a ogni moltiplicazione per un numero minore di 1

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per trovare la probabilità di n volte di fila

Probabilità in una prova p	0,25
Numero di prove n	4
Probabilità di n volte di fila	=B1^B2

Tabella per trovare la probabilità di non accadere mai in n prove

Probabilità in una prova p	0,25
Numero di prove n	4
Probabilità che non accada mai	=(1-B1)^B2

Tabella per trovare la probabilità di almeno una volta

Probabilità in una prova p	0,25
Numero di prove n	4
Probabilità di almeno una volta	=1-(1-B1)^B2

Dopo aver incollato, B1 e B2 sono i tuoi dati e B3 si calcola da solo.
«^» è il simbolo della potenza (quante volte moltiplicare). «=B1^B2» vuol dire «moltiplica il valore in B1 per se stesso B2 volte».
Nella terza tabella, per esempio, B3 mostra circa 0,684 (circa il 68%). Basta sostituire B1 e B2 con i tuoi numeri.

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per trovare la probabilità di n volte di fila

Probabilità in una prova p	0,25
Numero di prove n	4
Probabilità di n volte di fila	=B1^B2

Tabella per trovare la probabilità di non accadere mai in n prove

Probabilità in una prova p	0,25
Numero di prove n	4
Probabilità che non accada mai	=(1-B1)^B2

Tabella per trovare la probabilità di almeno una volta

Probabilità in una prova p	0,25
Numero di prove n	4
Probabilità di almeno una volta	=1-(1-B1)^B2

Le stesse formule di Excel funzionano così come sono. Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci B1 e B2 con i tuoi numeri.

Come calcolarlo con Python

probability_per_trial = 0.25  # probabilità in una prova
number_of_trials = 4          # numero di prove

p_every_time = probability_per_trial ** number_of_trials        # probabilità di n volte di fila
p_never = (1 - probability_per_trial) ** number_of_trials       # probabilità che non accada mai
p_at_least_once = 1 - p_never                                   # probabilità di almeno una volta

print(f"Probabilità di {number_of_trials} volte di fila: {p_every_time}")
print(f"Probabilità che non accada mai: {p_never}")
print(f"Probabilità di almeno una volta: {p_at_least_once}")

Funziona con la sola libreria standard. «**» è il simbolo della potenza (elevamento alla n-esima potenza). Cambia la probabilità e il numero di prove in alto e avvia il codice.

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Probabilità che accada \(n\) volte di fila

P = pⁿ

P = p^{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>p</mi><mi>n</mi></msup>
  </mrow>
</math>

P = p^n

p^n

P := p^n;

P = p^n;

P = p^n

Probabilità che non accada mai in \(n\) prove

P = (1 − p)ⁿ

P = (1-p)^{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mi>n</mi>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P = (1 - p)^n

(1 - p)^n

P := (1 - p)^n;

P = (1 - p)^n;

P = (1 - p)^n

Probabilità che accada almeno una volta in \(n\) prove

P = 1 − (1 − p)ⁿ

P = 1 - (1-p)^{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>1</mn>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mi>n</mi>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P = 1 - (1 - p)^n

1 - (1 - p)^n

P := 1 - (1 - p)^n;

P = 1 - (1 - p)^n;

P = 1 - (1 - p)^n

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente per il calcolo delle probabilità. Fai il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con calcoli a mente o a caso).

Apro 4 volte una loot box. Ogni volta la probabilità di ottenere un oggetto raro è 0,25. I risultati sono indipendenti.
Trova ciascuna delle probabilità seguenti:
1. La probabilità di ottenere un oggetto raro tutte e 4 le volte
2. La probabilità di non ottenerlo mai in 4 volte
3. La probabilità di ottenere almeno un oggetto raro

Mostra le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.

Come si usa

1

Inserisci i numeri

Scrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
2

Calcola

Fai clic sul pulsante «Calcola»
3

Guarda il risultato

Il risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula