A partire dalle probabilità di due eventi che non si influenzano (eventi indipendenti), calcola la probabilità che accadano entrambi, che ne accada almeno uno e altro ancora. Scrivi ogni probabilità come numero da 0 a 1 (per esempio, il 30% è 0,3).
Scrivi ogni probabilità come numero da 0 a 1 (per esempio, il 30% è 0,3).
Risultato e figura
Scrivi le due probabilità nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Il risultato compare qui.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e figure
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Simboli e termini
-
Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
-
Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Scrivi la probabilità di ciascuno di due eventi e ottieni subito la probabilità che accadano entrambi, \(P(A \cap B)\), e che ne accada almeno uno, \(P(A \cup B)\)
- Calcola anche, tutto insieme, la probabilità che ne accada uno solo, \(P(A \Delta B)\), che non ne accada nessuno, che accada solo A e altro ancora
- Domande come «Il primo giorno del viaggio c’è il 50% di probabilità di sole e il secondo il 30%: qual è la probabilità di sole in entrambi i giorni?» si risolvono in un solo passaggio
- In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule pronte da copiare per Excel, Fogli Google e Python
Funziona solo quando i due eventi non si influenzano (sono indipendenti). Vanno bene un dado e una moneta, dove il risultato dell’uno non c’entra con quello dell’altro. Non funziona quando il risultato di uno cambia la probabilità dell’altro, come in «estrarre due biglietti senza rimettere dentro il primo».
A cosa serve questo calcolo?
Stimare la probabilità di bel tempo in entrambi i giorni di un viaggio o di un evento
Se c’è il 50% di probabilità di sole il primo giorno e il 30% il secondo, la probabilità di sole in entrambi i giorni è soltanto \(0{,}5 \times 0{,}3 = 0{,}15\) (15%). (È una stima approssimativa che considera indipendente il tempo dei due giorni.)
Poiché si moltiplicano le probabilità, la probabilità che «vada bene tutto» è spesso molto più piccola di quanto ti aspetti. Avere un’idea di questo numero cambia il modo di fare i programmi.
La probabilità di essere ammessi ad almeno una di due opzioni (test di ammissione, lavoro, estrazioni)
Se ti candidi al corso che preferisci con il 50% di probabilità di essere ammesso e a un secondo corso con il 30%, la probabilità di essere ammesso ad almeno uno è \(0{,}5 + 0{,}3 - 0{,}15 = 0{,}65\) (65%). (Si suppone che le due decisioni siano indipendenti.)
Per una scelta importante puoi verificare con i numeri, e non solo a sensazione, di quanto una seconda opzione faccia salire la probabilità complessiva di successo.
Verificare con i numeri quanto sono sicuri i tuoi backup (dati e prevenzione)
Se conservi gli stessi dati su due dischi, ciascuno con l’1% di probabilità di guastarsi in un anno, la probabilità di perderli entrambi nello stesso momento scende a \(0{,}01 \times 0{,}01 = 0{,}0001\) (1 su 10.000), purché i guasti siano indipendenti.
«Raddoppia le protezioni e il rischio si riduce per moltiplicazione.» Questa idea è alla base di ogni forma di prevenzione, dal backup delle foto alla scorta di emergenza conservata in più posti.
Capire correttamente le informazioni mediche (rischi combinati di interventi e cure)
Se ti dicono che «l’intervento ha il 90% di probabilità di riuscita e c’è il 95% di probabilità che dopo non ci siano complicanze», la probabilità che vada bene tutto è \(0{,}9 \times 0{,}95 = 0{,}855\) (85,5%). (È un’indicazione che considera indipendenti le due cose.)
Nelle decisioni importanti, come la scelta di una cura, saper calcolare il quadro complessivo quando si combinano più probabilità aiuta a decidere con serenità.
Controllo qualità (la probabilità che tutti i componenti siano buoni)
In un prodotto che usa due componenti, ciascuno buono nel 99% dei casi, la probabilità che siano buoni entrambi è \(0{,}99 \times 0{,}99 = 0{,}9801\) (98,01%).
Chi si occupa di controllo qualità nell’industria ripete questo calcolo per ogni componente per stimare la percentuale di prodotti conformi e, al contrario, ricava il tasso di difetti ammesso per ciascun componente.
Formule e figure
Evento contrario (probabilità che A non accada)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(P(A')\)
\(=\)
\(1\)
\(-\)
\(P(A)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(P(A')\): probabilità che A non accada
\(=\)
①
\(1\): probabilità totale
\(-\)
②
\(P(A)\): probabilità che A accada
La formula a parole
①
Parti dalla
\(1\): probabilità totale
②
sottrai la
\(P(A)\): probabilità che A accada
③
e ottieni la
\(P(A')\): probabilità che A non accada
Un esempio semplice
Se la probabilità di vincere alla lotteria è 0,2, quella di non vincere è
\(P(A')\): non vincere
\(=\)
\(1\): probabilità totale
\(-\)
vincere (0,2)
\(1 - 0{,}2 = 0{,}8\ \ (80\%)\)
L’idea chiave
La probabilità che qualcosa accada e quella che non accada hanno sempre come somma la probabilità totale, cioè 1. Quindi, se sottrai a 1 la probabilità che accada, ottieni la probabilità che non accada. Il simbolo \(A'\) (si legge «non A») indica l’evento «A non accade», detto evento contrario di A. Nei libri di scuola si trova spesso anche \(\overline{A}\) (A con la barra) oppure \(A^c\).
Intersezione (probabilità che accadano sia A sia B)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(P(A \cap B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(\times\)
\(P(B)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(P(A \cap B)\): probabilità che accadano sia A sia B
\(=\)
①
\(P(A)\): probabilità che A accada
\(\times\)
②
\(P(B)\): probabilità che B accada
La formula a parole
①
Parti dalla
\(P(A)\): probabilità che A accada
②
moltiplicala per la
\(P(B)\): probabilità che B accada
③
e ottieni la
\(P(A \cap B)\): probabilità che accadano sia A sia B
Un esempio semplice
Se la probabilità di sole è 0,5 il primo giorno di un viaggio e 0,3 il secondo, la probabilità di sole in entrambi i giorni è
\(P(A \cap B)\): sole in entrambi i giorni
\(=\)
sole il primo giorno (0,5)
\(\times\)
sole il secondo giorno (0,3)
\(0{,}5 \times 0{,}3 = 0{,}15\ \ (15\%)\)
L’idea chiave
Perché «e» diventa una moltiplicazione? A si verifica in una frazione \(P(A)\) di tutti i casi e, dentro quella frazione, si verifica anche B in una frazione \(P(B)\). È «una frazione di una frazione», quindi si moltiplica. Il 30% del 50% è \(0{,}5 \times 0{,}3 = 0{,}15\) (15%).
Il quadrato a destra nella figura qui sopra rappresenta il totale come un quadrato di area 1, con base \(P(A)\) e altezza \(P(B)\). Il caso «accadono sia A sia B» è il rettangolo in basso a sinistra e la sua area è \(P(A) \times P(B)\). Il diagramma di Venn a sinistra mostra solo quale parte è quale: le aree dei suoi cerchi non corrispondono alle grandezze delle probabilità.
Questa formula vale solo quando A e B non si influenzano (sono indipendenti). Non vale quando il risultato di uno cambia la probabilità dell’altro, come in «estrarre due biglietti senza rimettere dentro il primo».
Unione (probabilità che accada almeno uno tra A e B)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(P(A \cup B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(+\)
\(P(B)\)
\(-\)
\(P(A \cap B)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
\(P(A \cup B)\): probabilità che accada almeno uno
\(=\)
①
\(P(A)\): probabilità che A accada
\(+\)
②
\(P(B)\): probabilità che B accada
\(-\)
③
\(P(A \cap B)\): probabilità che accadano entrambi
La formula a parole
①
Parti dalla
\(P(A)\): probabilità che A accada
②
aggiungi la
\(P(B)\): probabilità che B accada
③
sottrai la
\(P(A \cap B)\): probabilità che accadano entrambi
una sola volta
④
e ottieni la
\(P(A \cup B)\): probabilità che accada almeno uno
Un esempio semplice
Se la probabilità di sole è 0,5 il primo giorno e 0,3 il secondo (quindi la probabilità di sole in entrambi i giorni è 0,5 × 0,3 = 0,15), la probabilità di sole in almeno uno dei due giorni è
\(P(A \cup B)\): sole in almeno un giorno
\(=\)
sole il primo giorno (0,5)
\(+\)
sole il secondo giorno (0,3)
\(-\)
sole in entrambi i giorni (0,15)
\(0{,}5 + 0{,}3 - 0{,}15 = 0{,}65\ \ (65\%)\)
L’idea chiave
Perché si sottrae \(P(A \cap B)\)? Se sommi semplicemente \(P(A) + P(B)\), il caso «accadono entrambi» viene contato due volte, una come parte di A e una come parte di B. Sottrarre una volta la parte in comune \(P(A \cap B)\) corregge il doppio conteggio. Questa regola di conteggio si chiama principio di inclusione-esclusione.
Differenza simmetrica (probabilità che accada uno solo dei due)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(P(A \Delta B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(+\)
\(P(B)\)
\(-\)
\(2P(A \cap B)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
\(P(A \Delta B)\): probabilità che accada uno solo dei due
\(=\)
①
\(P(A)\): probabilità che A accada
\(+\)
②
\(P(B)\): probabilità che B accada
\(-\)
③
\(2P(A \cap B)\): il doppio della probabilità che accadano entrambi
La formula a parole
①
Parti dalla
\(P(A)\): probabilità che A accada
②
aggiungi la
\(P(B)\): probabilità che B accada
③
sottrai
\(2P(A \cap B)\): il doppio della probabilità che accadano entrambi
④
e ottieni la
\(P(A \Delta B)\): probabilità che accada uno solo dei due
Un esempio semplice
Se l’evento A ha probabilità 0,5 e l’evento B ha probabilità 0,4 (quindi la probabilità che accadano entrambi è 0,5 × 0,4 = 0,2), la probabilità che accada uno solo dei due è
\(P(A \Delta B)\): accade uno solo dei due
\(=\)
A accade (0,5)
\(+\)
B accade (0,4)
\(-\)
accadono entrambi (0,2), contato due volte
\(0{,}5 + 0{,}4 - 2 \times 0{,}2 = 0{,}5\ \ (50\%)\)
L’idea chiave
Per l’unione (almeno uno) hai sottratto la parte in comune una sola volta, così il caso «accadono entrambi» è rimasto dentro. Per la differenza simmetrica vuoi togliere del tutto il caso «accadono entrambi», quindi la parte in comune, contata due volte, si sottrae due volte.
Per due eventi indipendenti le regole di base sono: «e» (entrambi) è una moltiplicazione, «o» (almeno uno) è una somma meno la parte in comune.
Simboli e termini
Simboli
| \(P(A)\) | P di A | La probabilità che l’evento A accada. P è l’iniziale di «probabilità». |
| \(A'\) | non A (evento contrario) | L’evento «A non accade», detto evento contrario di A. Si scrive anche \(\overline{A}\) o \(A^c\). Si ricava con \(P(A') = 1 - P(A)\). |
| \(\cap\) | intersezione | Il simbolo di «e». \(A \cap B\) è l’evento «accadono sia A sia B». In un diagramma di Venn è la parte in cui i due cerchi si sovrappongono. |
| \(\cup\) | unione | Il simbolo di «o». \(A \cup B\) è l’evento «accade almeno uno tra A e B». In un diagramma di Venn è tutto ciò che sta dentro i due cerchi. |
| \(\Delta\) | delta (differenza simmetrica) | Il simbolo di «uno solo». \(A \Delta B\) è l’evento «accade uno solo tra A e B (non tutti e due)». |
Termini
| evento | Qualcosa che accade oppure no, per esempio «ottenere un 6 lanciando un dado» o «domani piove». In probabilità questi risultati si chiamano eventi e si indicano con nomi come A e B. |
| indipendente | Quando il risultato di un evento non cambia la probabilità dell’altro. Il lancio di un dado e quello di una moneta sono indipendenti. Estrarre un secondo biglietto senza rimettere dentro il primo non lo è, perché il primo risultato cambia la probabilità del secondo. Questa calcolatrice vale solo per eventi indipendenti. |
| evento contrario | L’evento opposto: quello in cui l’evento considerato non accade. Se la probabilità che accada è 0,2, la probabilità che non accada (la probabilità dell’evento contrario) è \(1 - 0{,}2 = 0{,}8\). |
| intersezione | Accadono entrambi i due eventi. Il simbolo è \(A \cap B\) (si legge «A intersecato B»). Per eventi indipendenti, la probabilità è il prodotto \(P(A) \times P(B)\). |
| unione | Accade almeno uno dei due eventi. Il simbolo è \(A \cup B\) (si legge «A unito B»). La probabilità è la somma meno la parte in comune \(P(A \cap B)\), sottratta una volta sola. |
| differenza simmetrica | Accade uno solo dei due eventi (non tutti e due). Il simbolo è \(A \Delta B\). In logica si chiama «o esclusivo» (XOR). |
| incompatibile | Due eventi che non possono accadere insieme. Esempio: lanciando un dado una volta, «esce un numero pari» e «esce un numero dispari» sono incompatibili (si dicono anche mutuamente esclusivi). Attenzione: è un’idea diversa da «indipendenti». |
| principio di inclusione-esclusione | Una regola di conteggio per le probabilità con «o». Sommare e basta conta due volte il caso «accadono entrambi», quindi la parte in comune si sottrae una volta. È alla base della formula dell’unione \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). |
Cosa conviene sapere prima
Ecco cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, ripassare gli argomenti di questo elenco è la via più rapida per andare avanti.
| Probabilità di base (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Percentuali e numeri decimali (classi 4ª–5ª della primaria, 9-11 anni) |
|
| Moltiplicazione di frazioni (classe 5ª della primaria e 1ª della secondaria di primo grado, 10-12 anni) |
|
| Insiemi e diagrammi di Venn (scuola secondaria di secondo grado, biennio) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per trovare la probabilità che A non accada (evento contrario)
| Probabilità di A, P(A) | 0,2 |
| A non accade, P(A') | =1-B1 |
Tabella per trovare la probabilità che accadano sia A sia B
| Probabilità di A, P(A) | 0,5 |
| Probabilità di B, P(B) | 0,3 |
| Accadono entrambi, P(A∩B) | =B1*B2 |
Tabella per trovare la probabilità che accada almeno uno tra A e B
| Probabilità di A, P(A) | 0,5 |
| Probabilità di B, P(B) | 0,3 |
| Accade almeno uno, P(A∪B) | =B1+B2-B1*B2 |
Tabella per trovare la probabilità che accada uno solo dei due (differenza simmetrica)
| Probabilità di A, P(A) | 0,5 |
| Probabilità di B, P(B) | 0,3 |
| Accade uno solo, P(AΔB) | =B1+B2-2*B1*B2 |
Dopo aver incollato, nella colonna A trovi le etichette e nella colonna B i numeri. Le righe in alto sono i tuoi dati e la formula dell’ultima riga calcola il risultato.
Nelle formule «B1» e «B2» vogliono dire «usa il numero di quella cella» e «*» è la moltiplicazione. Basta sostituire i numeri con le tue probabilità (in Excel i decimali si scrivono con la virgola, per esempio 0,5).
Nella seconda tabella, per esempio, B3 mostra 0,5 × 0,3 = 0,15. Solo la prima tabella (l’evento contrario) ha un solo dato, in B1, con il risultato in B2.
Nelle formule «B1» e «B2» vogliono dire «usa il numero di quella cella» e «*» è la moltiplicazione. Basta sostituire i numeri con le tue probabilità (in Excel i decimali si scrivono con la virgola, per esempio 0,5).
Nella seconda tabella, per esempio, B3 mostra 0,5 × 0,3 = 0,15. Solo la prima tabella (l’evento contrario) ha un solo dato, in B1, con il risultato in B2.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per trovare la probabilità che A non accada (evento contrario)
| Probabilità di A, P(A) | 0,2 |
| A non accade, P(A') | =1-B1 |
Tabella per trovare la probabilità che accadano sia A sia B
| Probabilità di A, P(A) | 0,5 |
| Probabilità di B, P(B) | 0,3 |
| Accadono entrambi, P(A∩B) | =B1*B2 |
Tabella per trovare la probabilità che accada almeno uno tra A e B
| Probabilità di A, P(A) | 0,5 |
| Probabilità di B, P(B) | 0,3 |
| Accade almeno uno, P(A∪B) | =B1+B2-B1*B2 |
Tabella per trovare la probabilità che accada uno solo dei due (differenza simmetrica)
| Probabilità di A, P(A) | 0,5 |
| Probabilità di B, P(B) | 0,3 |
| Accade uno solo, P(AΔB) | =B1+B2-2*B1*B2 |
Le stesse formule di Excel funzionano così come sono. Copia l’intera tabella e incollala nella cella A1. Le righe in alto sono i tuoi dati e l’ultima riga è il risultato calcolato.
Basta sostituire i numeri con le tue probabilità.
Basta sostituire i numeri con le tue probabilità.
Come calcolarlo con Python
p_a = 0.5 # probabilità che accada l’evento A
p_b = 0.3 # probabilità che accada l’evento B
p_both = p_a * p_b # accadono entrambi, P(A∩B)
p_at_least_one = p_a + p_b - p_both # almeno uno, P(A∪B)
p_exactly_one = p_a + p_b - 2 * p_both # uno solo, P(AΔB)
p_neither = 1 - p_at_least_one # non accade nessuno dei due
print(f"Accadono entrambi: {p_both}")
print(f"Accade almeno uno: {p_at_least_one}")
print(f"Accade uno solo: {p_exactly_one}")
print(f"Non accade nessuno dei due: {p_neither}")
Funziona con la sola libreria standard. Cambia i valori di p_a e p_b in alto con le probabilità che vuoi e avvia il codice.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Evento contrario (probabilità che A non accada)
P(A′) = 1 − P(A)
P(A') = 1 - P(A)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo>
<msup><mi>A</mi><mo>′</mo></msup>
<mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
<mo>−</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A') = 1 - P(A)
1 - pA
pNotA := 1 - pA;
p_not_a = 1 - p_a;
P(A′) = 1 - P(A)
Intersezione (probabilità che accadano sia A sia B)
P(A∩B) = P(A) × P(B)
P(A \cap B) = P(A) \times P(B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A nn B) = P(A) xx P(B)
pA*pB
pAandB := pA*pB;
p_a_and_b = p_a*p_b;
P(A∩B) = P(A) × P(B)
Unione (probabilità che accada almeno uno tra A e B)
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∪</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A uu B) = P(A) + P(B) - P(A nn B)
pA + pB - pA*pB
pAorB := pA + pB - pA*pB;
p_a_or_b = p_a + p_b - p_a*p_b;
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Differenza simmetrica (probabilità che accada uno solo dei due)
P(AΔB) = P(A) + P(B) − 2P(A∩B)
P(A \Delta B) = P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>Δ</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mn>2</mn>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A Delta B) = P(A) + P(B) - 2 P(A nn B)
pA + pB - 2*pA*pB
pAxorB := pA + pB - 2*pA*pB;
p_a_xor_b = p_a + p_b - 2*p_a*p_b;
P(AΔB) = P(A) + P(B) - 2P(A∩B)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per il calcolo delle probabilità. Fai il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con calcoli a mente o a caso). L’evento A ha probabilità 0,5 e l’evento B ha probabilità 0,3. A e B sono indipendenti. Trova ciascuna delle probabilità seguenti: 1. La probabilità che accadano sia A sia B, P(A∩B) 2. La probabilità che accada A oppure B (almeno uno), P(A∪B) 3. La probabilità che accada uno solo dei due, P(AΔB) 4. La probabilità che non accada nessuno dei due Mostra in una tabella le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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Uso commerciale gratuito
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Funzioni correlate
Probabilità di due eventi (ricava i valori mancanti)
Ricava tutte le altre probabilità a partire da due probabilità note
Probabilità di prove ripetute (n volte di fila, almeno una volta)
Calcola la probabilità che qualcosa accada n volte di fila, o almeno una volta in n tentativi
