Calcolo TVM (valore del denaro nel tempo)

Tra i cinque campi (numero di periodi N, tasso annuo I/Y, valore attuale PV, rata PMT e valore futuro FV) lascia vuoto solo quello che vuoi trovare e compila gli altri quattro. Il campo vuoto viene ricavato.

Periodi N (numero di rate)

Tasso annuo I/Y (%)

Valore attuale PV (€)

Rata PMT (€)

Valore futuro FV (€)

Scadenza delle rate

P/Y (rate all’anno)

C/Y (capitalizzazioni all’anno)

Convenzione dei segni (come in una calcolatrice finanziaria): il denaro che esce da te è negativo e il denaro che entra è positivo. Per esempio, «prendi in prestito 20.000 € e rimborsi 2000 € all’anno» è PV = 20000 (entrata) e PMT = -2000 (uscita). Scrivi 0 nei campi che non usi (un campo vuoto indica alla calcolatrice di ricavarlo). È un calcolo matematico a tasso costante e non comprende costi, imposte o variazioni di tasso dei prodotti reali.

Risultato e grafico

Lascia vuoto solo il campo che vuoi trovare tra i cinque a sinistra e premi «Calcola». Qui compaiono il risultato e il grafico.

Indice

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Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formule e grafici
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Inserisci quattro tra il numero di periodi \(N\), il tasso annuo \(I/Y\), il valore attuale \(PV\), la rata \(PMT\) e il valore futuro \(FV\) e il quinto viene ricavato (la stessa struttura a cinque tasti del TVM delle calcolatrici finanziarie come la BA II Plus e la HP 12C)
Anche la convenzione dei segni è la stessa di una calcolatrice finanziaria: il denaro che esce da te (versamenti, risparmi, rimborsi) è negativo e il denaro che entra (un prestito che ricevi, incassi) è positivo. Esempio: per risparmiare 2000 € all’anno, PMT = -2000
Puoi impostare quando si pagano le rate (a fine periodo, come nella maggior parte dei prestiti e dei piani di risparmio, o a inizio periodo), P/Y (rate all’anno) e C/Y (capitalizzazioni all’anno)
Insieme al valore ricavato ottieni anche il totale di tutte le rate e gli interessi totali. Se il numero di periodi è un numero intero fino a 20, compare anche una tabella periodo per periodo di interessi e saldo
Include un grafico del saldo. In questa pagina trovi anche la spiegazione chiara delle formule e le formule da copiare e incollare per Excel (funzioni VAL.FUT, VA, RATA, TASSO e NUM.RATE), Fogli Google e Python

Questa pagina è un calcolo matematico (il valore del denaro nel tempo, TVM) che suppone un tasso costante per tutto il periodo. Prestiti, risparmi e investimenti reali hanno costi, imposte e tassi che cambiano: verifica gli importi esatti con il finanziatore o la banca. Questa pagina non consiglia alcun prodotto finanziario. Usala per studiare matematica finanziaria (corsi di economia, ragioneria, ingegneria gestionale) e per capire come funzionano prestiti e rendite.

A cosa serve questo calcolo?

Studiare matematica finanziaria (montante, attualizzazione e rendite)

I fattori che si studiano nei corsi di matematica finanziaria (montante \((1+i)^N\), fattore di attualizzazione, montante e valore attuale di una rendita, rata di ammortamento) sono tutti riscritture di questa unica equazione TVM. Per esempio, il montante di un capitale è semplicemente \((1+i)^N\) e il montante di una rendita unitaria è \(\dfrac{(1+i)^N-1}{i}\).
Verificarli in questa pagina con numeri diversi permette di capire i vari fattori come «un’unica equazione letta in modi diversi» invece di tante formule da memorizzare, e aiuta anche con i problemi più difficili.

Capire la rata mensile di un mutuo

«Un mutuo di 150.000 € a tasso fisso del 3,5% per 25 anni» è PV = +150000, N = 300 (25 anni × 12), rate mensili (P/Y = C/Y = 12) e FV = 0, e si ricava PMT. Il risultato è circa 750,94 € al mese. Le rate sommano circa 225.281 €, quindi gli interessi totali sono circa 75.281 € (il tasso è solo un esempio).
Quando vedi come si costruisce l’importo, puoi controllare da solo quanto pesano importo, tasso e durata. Questo è solo capitale e interessi (ammortamento «alla francese», a rata costante); i costi reali di un mutuo comprendono anche spese di istruttoria, assicurazioni e imposte, quindi verifica l’importo esatto con la banca.

Pianificare i prelievi in pensione (quanto serve all’inizio)

«Voglio integrare la pensione prelevando 12.000 € all’anno per 25 anni. Se i miei risparmi rendono il 4% all’anno, quanto mi serve all’inizio?» è PMT = +12000, N = 25 e FV = 0, e si ricava PV. Il risultato è circa 187.465 € (PV = −187.465, il denaro che versi all’inizio).
In totale ricevi 300.000 €, quindi la crescita dell’investimento copre la differenza di circa 112.535 €. Vedere in numeri quanto cambia la somma necessaria al variare del tasso è un grande aiuto nella pianificazione della pensione (negli investimenti reali i rendimenti non sono fissi e si può perdere denaro).

Stimare quanto tempo serve per raggiungere un obiettivo di risparmio

«Se risparmio 500 € al mese al 3% (capitalizzazione mensile), quando arrivo a 50.000 €?» è PMT = −500, FV = +50000 e P/Y = C/Y = 12, e si ricava N. Il risultato è circa 89,4 mesi (circa 7,4 anni).
Allo 0% ci vorrebbero 100 mesi, quindi gli interessi ti fanno arrivare circa 10 mesi prima. Vedere in numeri quanto aiutano gli interessi è ciò che rende interessante ricavare N.

Trovare gli interessi di un prestito auto o di un pagamento a rate

Per un prestito auto di 30.000 € al TAN del 4% in 60 mesi, imposta PV = +30000, N = 60, P/Y = C/Y = 12 e FV = 0 e ricava PMT. La rata è circa 552,50 € al mese e il totale è circa 33.150 €, quindi circa 3150 € sono interessi.
Nel senso opposto, se conosci solo la rata mensile e il totale, ricavando I/Y scopri il tasso annuo reale. Aiuta a confrontare prestiti auto, leasing, pagamenti rateali «compra ora, paga dopo» e rate del telefono (il TAEG, che comprende anche le spese, è più alto del TAN).

Formule e grafici

L’equazione del TVM (la formula di base del valore del denaro nel tempo, rate a fine periodo)

Grafico

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(PV\) \(\times\) \((1+i)\) \(N\) \(+\) \(PMT\) \(\times\) \(\dfrac{(1+i)^{N}-1}{i}\) \(+\) \(FV\) \(=\) \(0\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

① \(PV\): valore attuale \(\times\) ② fattore di crescita di un periodo ③ \(N\): numero di periodi \(+\) ④ rata di ogni periodo \(\times\) ⑤ fattore di montante della rendita \(+\) ⑥ \(FV\): valore futuro \(=\) \(0\)

La formula a parole

① Prendi il denaro di oggi, il \(PV\): valore attuale

② e moltiplicalo per il fattore di crescita di un periodo \((1+i)\)

③ una volta per ciascuno dei \(N\): numero di periodi

④ Aggiungi \(PMT\): rata di ogni periodo

⑤ moltiplicata per il fattore di montante della rendita (a quanto arriva, con gli interessi, una rata di 1 € per periodo)

⑥ e il \(FV\): valore futuro . Queste tre parti sommate danno 0: il denaro in entrata e in uscita si bilancia esattamente, interessi compresi

Un esempio semplice

Se prendi in prestito 1000 € al 6% annuo (PV = +1000, denaro in entrata) e lo restituisci tutto in una volta dopo 5 anni senza rate intermedie (PMT = 0), la somma che restituisci (FV) è

valore attuale (+1000) \(\times\) fattore di crescita (1,06) periodi (5) \(+\) \(FV\): valore futuro \(=\) \(0\)

\(1000 \times 1{,}06^{5} + FV = 0\)

\(FV = -1000 \times 1{,}06^{5} \approx -1338{,}23\)

L’idea chiave

La chiave di questa equazione è la convenzione dei segni. Il denaro che esce da te è negativo e quello che entra è positivo. Nell’esempio, il segno meno in «FV = −1338,23» dice «dopo 5 anni paghi 1338,23 €». Allo stesso modo, risparmiare 2000 € ogni anno è denaro che esce da te, quindi scrivi PMT = −2000. Questa convenzione è condivisa dalle calcolatrici finanziarie come la BA II Plus e la HP 12C e dalle funzioni VAL.FUT, VA e RATA di Excel. \(i\) è il tasso di interesse per periodo (con rate annuali è il tasso annuo stesso; per il 6%, \(i = 0{,}06\)). Nella forma generale con \(g\), le rate a inizio periodo moltiplicano il termine \(PMT\) per \((1+i)\) una volta in più, perché il denaro pagato prima matura un periodo di interessi in più.

Ricavare il valore futuro FV (rate a fine periodo)

Grafico

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(FV\) \(=\) \(-\) \((\) \(PV\) \(\times\) \((1+i)\) \(N\) \(+\) \(PMT\) \(\times\) \(\dfrac{(1+i)^{N}-1}{i}\) \()\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

⑥ \(FV\): valore futuro \(=\) \(-\) \((\) ① \(PV\): valore attuale \(\times\) ② fattore di crescita di un periodo ③ \(N\): numero di periodi \(+\) ④ rata di ogni periodo \(\times\) ⑤ fattore di montante della rendita \()\)

La formula a parole

① Prendi \(PV\): valore attuale

② e moltiplicalo per il fattore di crescita di un periodo \((1+i)\)

③ una volta per ciascuno dei \(N\): numero di periodi

④ Aggiungi \(PMT\): rata di ogni periodo

⑤ moltiplicata per il fattore di montante della rendita e cambia il segno del totale

⑥ e ottieni \(FV\): valore futuro

Un esempio semplice

Se risparmi 2000 € ogni anno per 5 anni al 3% (PV = 0, PMT = −2000, fine periodo), la somma che ricevi dopo 5 anni (FV) è

\(FV\): valore futuro \(=\) \(-\) \((\) rata (−2000) \(\times\) fattore della rendita (circa 5,31) \()\)

\(\dfrac{1{,}03^{5}-1}{0{,}03} \approx 5{,}3091\)

\(FV = -\left( 0 + (-2000) \times 5{,}3091 \right) \approx 10.618{,}27\)

L’idea chiave

Il denaro che esce da te, scritto come numero negativo (2000 € risparmiati ogni anno), ritorna come denaro che ricevi, un numero positivo (circa 10.618 €). Questo cambio di segno è la chiave per leggere le risposte del TVM. Hai versato 2000 € × 5 anni = 10.000 €, quindi la differenza di circa 618 € sono interessi. Con le rate all’inizio di ogni anno, il termine \(PMT\) si moltiplica per \((1+i)\) una volta in più, quindi \(FV \approx 10.618{,}27 \times 1{,}03 \approx 10.936{,}82\) euro.

Ricavare il numero di periodi N (logaritmi, quando PMT = 0)

Grafico

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(N\) \(=\) \(\ln\!\left(-\dfrac{FV}{PV}\right)\) \(\div\) \(\ln(1+i)\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(N\): numero di periodi \(=\) ① logaritmo del multiplo di crescita \(\div\) ② logaritmo di un periodo

La formula a parole

① Calcola di quante volte cresce il denaro (il multiplo di crescita \(-FV \div PV\)) e prendi il logaritmo del multiplo di crescita \(\ln(-FV \div PV)\)

② dividilo per il logaritmo del fattore di crescita di un periodo \(\ln(1+i)\)

③ e ottieni \(N\): numero di periodi

Un esempio semplice

Se depositi 1000 € all’8% annuo (PV = −1000), il numero di periodi necessari perché diventino 2000 € (FV = +2000, un multiplo di 2) è

\(N\): numero di periodi \(=\) logaritmo del multiplo di crescita (2) \(\div\) logaritmo di un periodo (1,08)

\(-FV \div PV = -2000 \div (-1000) = 2\)

\(N = \ln 2 \div \ln 1{,}08 \approx 0{,}6931 \div 0{,}07696 \approx 9{,}006\)

L’idea chiave

\(N\) sta nell’esponente, quindi si ricava con i logaritmi (\(\ln\)), lo strumento che porta giù un esponente. Prendi il logaritmo di entrambi i membri di \((1+i)^N = -FV \div PV\) per ottenere \(N \ln(1+i) = \ln(-FV \div PV)\), da cui la formula sopra. Quando ci sono anche delle rate (\(PMT \neq 0\)), poni \(K = PMT(1+i \cdot g) \div i\). L’equazione diventa allora \((PV + K)(1+i)^N = K - FV\), che si risolve ancora con i logaritmi (la calcolatrice di questa pagina usa questa forma generale). Se il multiplo di crescita risulta 0 o negativo (per esempio hai fatto un deposito ma hai dato lo stesso segno a entrambe le somme), non c’è soluzione.

La formula speciale per un tasso dello 0% (quando i = 0)

Grafico

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(PV\) \(+\) \(PMT\) \(\times\) \(N\) \(+\) \(FV\) \(=\) \(0\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

① \(PV\): valore attuale \(+\) ② rata di ogni periodo \(\times\) ③ \(N\): numero di periodi \(+\) ④ \(FV\): valore futuro \(=\) \(0\)

La formula a parole

① Aggiungi \(PV\): valore attuale

② la \(PMT\): rata di ogni periodo

③ presa una volta per ciascuno dei \(N\): numero di periodi

④ e il \(FV\): valore futuro . Il totale è 0 (senza interessi si tratta solo di somme e sottrazioni)

Un esempio semplice

Con interesse allo 0%, se depositi prima 1000 € (PV = −1000) e poi risparmi 100 € ogni anno per 12 anni (PMT = −100), la somma che ricevi dopo 12 anni (FV) è

valore attuale (−1000) \(+\) rata (−100) \(\times\) periodi (12) \(+\) \(FV\): valore futuro \(=\) \(0\)

\(-1000 + (-100) \times 12 + FV = 0\)

\(FV = 1000 + 1200 = 2200\)

L’idea chiave

L’equazione del TVM divide per \(i\), quindi non si può usare così com’è quando il tasso è 0% (\(i = 0\)). Ma senza interessi tutto è semplice: tutto il denaro che versi ti ritorna, quindi si tratta di una semplice somma. La calcolatrice di questa pagina passa a questa formula in automatico quando \(i = 0\).

Il TVM (il valore del denaro nel tempo) è un’unica equazione che dice che il denaro di oggi, il denaro di ogni periodo e il denaro futuro si bilanciano, interessi compresi. Se segui la convenzione dei segni (denaro in uscita negativo, denaro in entrata positivo), ognuno dei cinque valori (N, I/Y, PV, PMT, FV) si ricava dagli altri quattro. Solo il tasso annuo I/Y non si può isolare riscrivendo la formula, quindi si trova per via numerica (con la bisezione).

Simboli e termini

Simboli

\(PV\)	P V	Valore attuale. Il denaro che si muove adesso. Positivo se lo prendi in prestito o lo ricevi, negativo se lo depositi o lo investi.
\(FV\)	F V	Valore futuro. Il denaro che si muove alla fine del periodo. Positivo se lo ricevi alla fine, negativo se lo paghi.
\(PMT\)	rata	La rata di ogni periodo. Il denaro che si muove a ogni periodo. Il denaro che esce da te, come risparmi o rate di un prestito, è negativo; il denaro che entra, come un affitto che incassi, è positivo.
\(N\)	N	Il numero di periodi (numero di rate). Con rate annuali è uguale al numero di anni, ma con rate mensili (P/Y = 12) si contano i mesi (10 anni sono \(N = 120\)).
\(I/Y\)	I su Y	Interesse all’anno. Il tasso di interesse annuo in %. Il nome viene direttamente dal tasto di una calcolatrice finanziaria.
\(P/Y\)	P su Y	Rate all’anno. Quante rate \(PMT\) ci sono in un anno: 1 per rate annuali, 12 per rate mensili.
\(C/Y\)	C su Y	Capitalizzazioni all’anno. Quante volte all’anno gli interessi vengono aggiunti al saldo. Di solito è uguale a \(P/Y\); se è diverso, la capitalizzazione viene convertita nel periodo delle rate.
\(i\)	i minuscola	Il tasso di interesse per periodo in forma decimale. Con rate annuali è il tasso annuo stesso (per il 6%, \(i = 0{,}06\)); con rate mensili è il tasso al mese.
\(g\)	g	Un interruttore per la scadenza delle rate: \(g = 1\) per l’inizio del periodo e \(g = 0\) per la fine. Con rate a inizio periodo, il termine \(PMT\) si moltiplica per \((1+i)\) una volta in più.
\(\ln\)	logaritmo naturale	Il logaritmo naturale. Uno strumento che trova quante volte si moltiplica per arrivare a un certo multiplo. Serve per ricavare il numero di periodi \(N\).

Termini

valore del denaro nel tempo (TVM)	L’idea che 10.000 € oggi valgono più di 10.000 € in futuro, perché il denaro che hai adesso può maturare interessi. È la base della finanza, e l’equazione di questa pagina la riassume in un’unica formula.
valore attuale	Quanto vale oggi un denaro futuro. Per esempio, al 2% annuo, 10.200 € tra un anno valgono come 10.000 € oggi.
valore futuro	Quanto varrà in futuro un denaro di oggi, o dei risparmi periodici, interessi compresi (in matematica finanziaria si chiama anche montante).
attualizzazione	Trasformare un denaro futuro nel suo valore attuale. Si divide l’importo futuro per \((1+i)^N\), quindi il valore diminuisce. È l’esatto contrario dell’aggiunta degli interessi (capitalizzazione).
fattore di montante della rendita	Il multiplo \(\dfrac{(1+i)^N - 1}{i}\): a quanto arriva, con gli interessi, una rata di 1 € per periodo. In matematica finanziaria è il montante di una rendita unitaria posticipata, indicato con \(s_{\overline{N}\|i}\). Si moltiplica per la rata di ogni periodo.
fattore di attualizzazione della rendita	Il multiplo \(\dfrac{1-(1+i)^{-N}}{i}\): quanto vale oggi il diritto di ricevere 1 € per periodo (indicato con \(a_{\overline{N}\|i}\)). È la versione al valore attuale del fattore di montante della rendita, usata per le rendite e i mutui (il legame tra l’importo del prestito e ogni rata).
flusso di cassa	Il flusso di denaro in entrata e in uscita. Il TVM guarda solo quando, quanto e in quale direzione si muove il denaro, e mostra la direzione con un segno (più o meno).
convenzione dei segni	La regola per cui il denaro che esce da te (versamenti, risparmi, rimborsi) è negativo e il denaro che entra (un prestito che ricevi, incassi) è positivo. Le calcolatrici finanziarie e le funzioni finanziarie di Excel condividono questa regola, e permette a prestiti, risparmi e rendite di usare la stessa equazione.
rendita posticipata (pagamenti a fine periodo)	Rate (PMT) pagate alla fine di ogni periodo. La maggior parte delle rate dei prestiti e dei piani di risparmio funziona così, ed è l’impostazione predefinita di questa pagina.
rendita anticipata (pagamenti a inizio periodo)	Rate (PMT) pagate all’inizio di ogni periodo. La stessa rata comincia a maturare interessi un periodo prima, quindi il termine \(PMT\) si moltiplica per \((1+i)\) una volta in più. Funzionano così l’affitto pagato in anticipo e i canoni di leasing.
calcolatrice finanziaria	Una calcolatrice con tasti speciali per il TVM (N, I/Y, PV, PMT, FV). La Texas Instruments BA II Plus e la HP 12C sono molto note e si usano in esami come il CFA e il CFP e nel lavoro. Questa pagina è la versione web della stessa struttura a cinque tasti.
metodo di bisezione	Un metodo numerico che trova una risposta approssimata dimezzando più volte l’intervallo che contiene la soluzione, usato quando la risposta non si può isolare riscrivendo la formula. Ricavare il tasso annuo I/Y richiede di risolvere un’equazione di grado N, che non ha una formula generale, quindi questa pagina usa la bisezione.

Cosa conviene sapere prima

Ecco cosa aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendo davvero cosa si fa, e non solo premendo il pulsante.

Numeri positivi e negativi (classi 1ª–2ª della secondaria di primo grado, 11-13 anni)	Leggere un numero negativo come una somma nella direzione opposta (in questa pagina il denaro che esce da te è negativo) Saper moltiplicare numeri negativi, come in \((-2000) \times 5 = -10000\)
Percentuali (classi 5ª della primaria–1ª della secondaria di primo grado, 10-12 anni)	Saper scrivere «6%» come numero decimale 0,06 Sapere che «cresce del 6%» equivale a «× 1,06»
Potenze (classi 1ª–3ª della secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Sapere che \(1{,}06^{5}\) è «1,06 moltiplicato per se stesso 5 volte»
Le basi dell’interesse composto (la pagina «Calcolo dell’interesse composto» di questo sito)	Capire l’interesse composto, in cui gli interessi maturati producono a loro volta interessi
Logaritmi (scuola secondaria di secondo grado, approfondimento)	Usare i logaritmi per trovare quante volte si moltiplica per arrivare a un multiplo (serve quando si ricava N; altrimenti ci pensa la calcolatrice)

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per il valore futuro FV (funzione VAL.FUT)

Tasso per periodo (6% = 0,06)	0,06
Numero di periodi N	10
Rata PMT	-2000
Valore attuale PV	20000
Valore futuro FV	=VAL.FUT(B1;B2;B3;B4;0)

Tabella per la rata PMT (funzione RATA)

Tasso per periodo (6% = 0,06)	0,06
Numero di periodi N	10
Valore attuale PV	20000
Valore futuro FV	0
Rata PMT	=RATA(B1;B2;B3;B4;0)

Tabella per il tasso (funzione TASSO)

Numero di periodi N	5
Rata PMT	0
Valore attuale PV	-1000
Valore futuro FV	1500
Tasso per periodo	=TASSO(B1;B2;B3;B4)

Tabella per il numero di periodi N (funzione NUM.RATE)

Tasso per periodo (8% = 0,08)	0,08
Rata PMT	0
Valore attuale PV	-1000
Valore futuro FV	2000
Numero di periodi N	=NUM.RATE(B1;B2;B3;B4)

Tabella per il valore attuale PV (funzione VA, inizio periodo)

Tasso per periodo (5% = 0,05)	0,05
Numero di periodi N	20
Rata PMT	-100
Valore futuro FV	0
Valore attuale PV	=VA(B1;B2;B3;B4;1)

Excel ha funzioni TVM incorporate (VAL.FUT, RATA, TASSO, NUM.RATE e VA) che usano la stessa convenzione dei segni di questa pagina (denaro in uscita negativo, denaro in entrata positivo).
La prima tabella mostra -9455,36 in B5, la seconda -2717,36, la terza circa 0,0845 (un tasso annuo dell’8,447%; formatta la cella come percentuale per leggerlo meglio), la quarta circa 9,006 e la quinta 1308,53.
L’ultimo argomento di VAL.FUT, RATA e VA è la scadenza delle rate: 0 oppure omesso = fine periodo, 1 = inizio periodo. Per rate mensili, inserisci il tasso mensile (tasso annuo ÷ 12) e N in mesi.

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per il valore futuro FV (funzione VAL.FUT)

Tasso per periodo (6% = 0,06)	0,06
Numero di periodi N	10
Rata PMT	-2000
Valore attuale PV	20000
Valore futuro FV	=VAL.FUT(B1;B2;B3;B4;0)

Tabella per la rata PMT (funzione RATA)

Tasso per periodo (6% = 0,06)	0,06
Numero di periodi N	10
Valore attuale PV	20000
Valore futuro FV	0
Rata PMT	=RATA(B1;B2;B3;B4;0)

Tabella per il tasso (funzione TASSO)

Numero di periodi N	5
Rata PMT	0
Valore attuale PV	-1000
Valore futuro FV	1500
Tasso per periodo	=TASSO(B1;B2;B3;B4)

Tabella per il numero di periodi N (funzione NUM.RATE)

Tasso per periodo (8% = 0,08)	0,08
Rata PMT	0
Valore attuale PV	-1000
Valore futuro FV	2000
Numero di periodi N	=NUM.RATE(B1;B2;B3;B4)

Tabella per il valore attuale PV (funzione VA, inizio periodo)

Tasso per periodo (5% = 0,05)	0,05
Numero di periodi N	20
Rata PMT	-100
Valore futuro FV	0
Valore attuale PV	=VA(B1;B2;B3;B4;1)

Fogli Google usa gli stessi nomi di funzione di Excel in italiano (VAL.FUT, RATA, TASSO, NUM.RATE, VA) e la stessa convenzione dei segni. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i dati della colonna B con i tuoi numeri.

Come calcolarlo con Python

import math

# Imposta a None il valore che vuoi trovare (questo esempio ricava fv)
n = 10            # numero di periodi N (numero di rate)
annual_rate = 6   # tasso annuo I/Y (%)
pv = 20000        # valore attuale PV (denaro in entrata = positivo, denaro in uscita = negativo)
pmt = -2000       # rata PMT
fv = None         # valore futuro FV
is_beginning = False  # True = inizio periodo, False = fine periodo

g = 1 if is_beginning else 0
# Tasso per periodo (rate annuali; per rate mensili dividi per 12 e conta n in mesi). Lascia None quando ricavi il tasso
i = annual_rate / 100 if annual_rate is not None else None

def tvm_left_side(i_, n_, pv_, pmt_, fv_):
    """Primo membro dell’equazione TVM (la soluzione lo rende 0)"""
    if abs(i_) < 1e-12:
        return pv_ + pmt_ * n_ + fv_
    growth = (1 + i_) ** n_
    return pv_ * growth + pmt_ * (1 + i_ * g) * (growth - 1) / i_ + fv_

if fv is None:
    fv = -(pv + pmt * n) if abs(i) < 1e-12 else -(pv * (1 + i) ** n + pmt * (1 + i * g) * ((1 + i) ** n - 1) / i)
    print(f"Valore futuro FV = {fv:.2f} €")
elif pv is None:
    pv = -(fv + pmt * n) if abs(i) < 1e-12 else -(fv + pmt * (1 + i * g) * ((1 + i) ** n - 1) / i) / (1 + i) ** n
    print(f"Valore attuale PV = {pv:.2f} €")
elif pmt is None:
    pmt = -(pv + fv) / n if abs(i) < 1e-12 else -(pv * (1 + i) ** n + fv) / ((1 + i * g) * ((1 + i) ** n - 1) / i)
    print(f"Rata PMT = {pmt:.2f} €")
elif n is None:
    if abs(i) < 1e-12:
        n = -(pv + fv) / pmt
    else:
        k = pmt * (1 + i * g) / i
        n = math.log((k - fv) / (pv + k)) / math.log(1 + i)
    print(f"Numero di periodi N = {n:.3f}")
else:
    # Il tasso annuo non si può isolare riscrivendo la formula, quindi si cerca con la bisezione (alcuni dati non hanno soluzione)
    low, high = -0.9999, 10.0
    if tvm_left_side(low, n, pv, pmt, fv) * tvm_left_side(high, n, pv, pmt, fv) > 0:
        raise SystemExit("Nessuna soluzione in questo intervallo. Controlla la direzione (il segno) del denaro")
    for _ in range(200):
        mid = (low + high) / 2
        if tvm_left_side(low, n, pv, pmt, fv) * tvm_left_side(mid, n, pv, pmt, fv) <= 0:
            high = mid
        else:
            low = mid
    i = (low + high) / 2
    print(f"Tasso annuo I/Y = {i * 100:.3f}%")

total_interest = abs(pv + pmt * n + fv)
print(f"Interessi totali = {total_interest:.2f} €")

Funziona con la sola libreria standard. Imposta a None il valore che vuoi trovare, scrivi i numeri negli altri quattro ed esegui il codice. La convenzione dei segni (denaro in uscita negativo, denaro in entrata positivo) è la stessa della calcolatrice di questa pagina. Solo il tasso annuo non ha una formula, quindi si trova con la bisezione (dimezzando più volte l’intervallo che contiene la soluzione).

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

L’equazione del TVM (la formula di base del valore del denaro nel tempo, rate a fine periodo)

PV(1 + i)ᴺ + PMT × ((1 + i)ᴺ − 1)/i + FV = 0

PV(1+i)^{N} + PMT \cdot \dfrac{(1+i)^{N}-1}{i} + FV = 0

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PV</mi>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mi>N</mi>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mi>PMT</mi>
    <mo>&#x22C5;</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <msup>
          <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
          <mi>N</mi>
        </msup>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mn>1</mn>
      </mrow>
      <mi>i</mi>
    </mfrac>
    <mo>+</mo>
    <mi>FV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
  </mrow>
</math>

PV(1+i)^N + PMT((1+i)^N-1)/i + FV = 0

pv (1 + i)^n + pmt ((1 + i)^n - 1)/i + fv == 0

pv*(1 + i)^n + pmt*((1 + i)^n - 1)/i + fv = 0;

pv*(1 + i)^n + pmt*((1 + i)^n - 1)/i + fv == 0

PV(1+i)^N + PMT((1+i)^N-1)/i + FV = 0

Ricavare il valore futuro FV (rate a fine periodo)

FV = −(PV(1 + i)ᴺ + PMT × ((1 + i)ᴺ − 1)/i)

FV = -\left( PV(1+i)^{N} + PMT \cdot \dfrac{(1+i)^{N}-1}{i} \right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>FV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mi>PV</mi>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>N</mi>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mi>PMT</mi>
      <mo>&#x22C5;</mo>
      <mfrac>
        <mrow>
          <msup>
            <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
            <mi>N</mi>
          </msup>
          <mo>&#x2212;</mo>
          <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mi>i</mi>
      </mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
  </mrow>
</math>

FV = -(PV(1+i)^N + PMT((1+i)^N-1)/i)

fv = -(pv (1 + i)^n + pmt ((1 + i)^n - 1)/i)

fv := -(pv*(1 + i)^n + pmt*((1 + i)^n - 1)/i);

fv = -(pv*(1 + i)^n + pmt*((1 + i)^n - 1)/i);

FV = -(PV(1+i)^N + PMT((1+i)^N-1)/i)

Ricavare il numero di periodi N (logaritmi, quando PMT = 0)

N = ln(−FV/PV) / ln(1 + i)

N = \dfrac{\ln\left(-\dfrac{FV}{PV}\right)}{\ln(1+i)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>N</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mi>ln</mi>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
          <mo>&#x2212;</mo>
          <mfrac><mi>FV</mi><mi>PV</mi></mfrac>
          <mo>)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
        <mi>ln</mi>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

N = ln(-FV/PV) / ln(1+i)

n = Log[-fv/pv]/Log[1 + i]

n := ln(-fv/pv)/ln(1 + i);

n = log(-fv/pv)/log(1 + i);

N = ln(-FV/PV)/ln(1+i)

La formula speciale per un tasso dello 0% (quando i = 0)

PV + PMT × N + FV = 0

PV + PMT \cdot N + FV = 0

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PV</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>PMT</mi>
    <mo>&#x22C5;</mo>
    <mi>N</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>FV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
  </mrow>
</math>

PV + PMT * N + FV = 0

pv + pmt n + fv == 0

pv + pmt*n + fv = 0;

pv + pmt*n + fv == 0

PV + PMT N + FV = 0

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente per i calcoli di finanza (valore del denaro nel tempo, TVM). Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero del codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere a mente né a intuito).

Usa l’equazione TVM standard PV(1+i)^N + PMT(1+i*g)*((1+i)^N - 1)/i + FV = 0 (g=1 per le rate all’inizio di ogni periodo, g=0 per la fine).
La convenzione dei segni è quella di una calcolatrice finanziaria: il denaro che esce da te è negativo e il denaro che entra è positivo.

Prendi in prestito 20.000 € al 6% annuo (PV = +20000) e lo rimborsi con rate uguali alla fine di ogni anno per 10 anni (FV = 0).
Trova ciascuno dei valori seguenti:
1. La rata annuale PMT
2. Il totale di tutte le rate (PMT × 10)
3. Gli interessi totali (|PV + PMT×N + FV|)

Mostra le formule usate e i numeri del risultato dell’esecuzione.

Come si usa

1

Inserisci i numeri

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Il risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula