Calcolatrice di numeri complessi (somma, sottrazione, prodotto e divisione con passaggi, coniugato, modulo e piano complesso)

Scrivi la parte reale e la parte immaginaria dei due numeri complessi z₁ = a + bi e z₂ = c + di e scegli l’operazione (+ − × ÷). L’espressione qui sotto è collegata ai campi, quindi puoi anche modificare i numeri direttamente al suo interno.

Parte reale a di z₁

Parte immaginaria b di z₁

Operazione

Parte reale c di z₂

Parte immaginaria d di z₂

Si possono usare decimali, numeri negativi e frazioni come 3/4. Una parte reale o una parte immaginaria vuota vale 0 (per esempio, se è vuota solo la parte immaginaria di z₁, z₁ è il numero reale a).

Risultato e grafico

Scrivi la parte reale e la parte immaginaria nei campi a sinistra, scegli un’operazione (+ − × ÷) e fai clic su «Calcola». Qui compaiono il risultato e un grafico sul piano complesso.

Indice

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Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formule e figure
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Somma, sottrai, moltiplica o dividi due numeri complessi \(z_1 = a+bi\) e \(z_2 = c+di\) subito. Basta scrivere la parte reale e la parte immaginaria e scegliere l’operazione
La risposta è mostrata in forma \(a+bi\) con le frazioni ridotte ai minimi termini (valori esatti), come \(\dfrac{11}{25} + \dfrac{2}{25}i\). Nella divisione i passaggi mostrano come moltiplicare per il coniugato del denominatore renda reale il denominatore. Nella moltiplicazione mostrano lo sviluppo e come \(i^2\) venga sostituito con \(-1\)
In più si mostrano anche il complesso coniugato \(\overline{z}\) e il modulo \(|z|\) del risultato. Il modulo è dato come valore esatto con il radicale semplificato, come \(|3+4i| = 5\) o \(|1+i| = \sqrt{2}\)
Puoi vedere il risultato anche sul piano complesso (piano di Argand-Gauss), che mostra a colpo d’occhio dove stanno \(z_1\), \(z_2\) e il risultato
La parte reale e la parte immaginaria possono essere decimali, numeri negativi o frazioni come 3/4

Questa pagina tratta le quattro operazioni con i numeri complessi (più il complesso coniugato e il modulo), come si studiano al liceo. La forma trigonometrica (scrivere un numero con il suo modulo e il suo argomento) e la formula di De Moivre non sono trattate qui.

A cosa serve questo calcolo?

Calcoli sui circuiti in corrente alternata (ingegneria elettrica ed elettronica)

La corrente alternata (c.a.) di una presa a muro ha tensione e corrente che oscillano come onde e le diverse parti di un circuito spostano nel tempo l’onda (la fase). In elettrotecnica il metodo standard è riunire questa «grandezza» e questo «sfasamento» in un solo numero complesso (l’impedenza), in modo da risolvere un intero circuito con la sola aritmetica dei numeri complessi.
I calcoli con i numeri complessi fanno parte di ogni corso di elettrotecnica e compaiono anche all’esame di Stato per l’abilitazione alla professione di ingegnere. Ovunque scorra corrente alternata, da un caricabatterie del telefono a una centrale elettrica, il progetto si basa sui numeri complessi.

Analisi dei segnali nelle comunicazioni e nell’audio (trasformata di Fourier)

Le onde come il suono e le onde radio si possono scomporre con la trasformata di Fourier, un calcolo che usa i numeri complessi, in «quanto c’è di ogni altezza (frequenza)». Le reti telefoniche (Wi-Fi, 5G), la compressione musicale, la riduzione del rumore e il riconoscimento vocale eseguono al loro interno un numero enorme di questi calcoli complessi.
La forza dei numeri complessi è che un solo numero porta sia la grandezza sia lo sfasamento di un’onda, quindi nell’elaborazione dei segnali si usano i numeri complessi ancora più dei numeri reali. La trasformata di Fourier in sé è un argomento universitario, ma ciò che avviene al suo interno sono le moltiplicazioni e le addizioni complesse che si vedono su questa pagina.

Controllo di aerei e robot (verifica della stabilità)

Quando si progettano macchine che devono smorzare le oscillazioni e restare stabili, come piloti automatici, droni e robot, gli ingegneri verificano la stabilità guardando dove stanno sul piano complesso le soluzioni (numeri complessi) dell’equazione del sistema. Se le parti reali delle soluzioni sono negative, le oscillazioni si smorzano, se una è positiva, crescono.
In questo campo la posizione delle soluzioni sul piano complesso decide direttamente se una macchina può volare in sicurezza. L’ingegneria del controllo, che comprende questa verifica di stabilità, si studia all’università.

Rotazioni nei videogiochi e nella computer grafica

Se pensi a un punto \((x ; y)\) del piano come al numero complesso \(x+yi\), moltiplicare per un numero complesso di modulo 1 ruota il punto attorno all’origine. Per esempio, moltiplicare per \(i\) lo ruota di 90 gradi. È proprio ciò che serve ai giochi 2D per far girare personaggi o proiettili.
I quaternioni, usati nei giochi 3D e nei telefoni per seguire il proprio orientamento, estendono a tre dimensioni questa idea di «rotazione con i numeri complessi».

Risolvere fino in fondo le equazioni di secondo e terzo grado (matematica)

Un’equazione di secondo grado non ha soluzioni reali quando il suo discriminante \(D = b^2 - 4ac\) è negativo. Ma una volta esteso il sistema numerico ai numeri complessi, anche \(x^2 = -1\) ha le soluzioni \(x = \pm i\) e ogni equazione di secondo o terzo grado ha soluzioni (il teorema fondamentale dell’algebra).
Senza più eccezioni del tipo «nessuna soluzione», non solo la matematica ma anche le teorie della fisica e dell’ingegneria si fondano sui numeri complessi. L’aritmetica complessa di questa pagina è la porta d’ingresso.

Formule e figure

Addizione e sottrazione di numeri complessi

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\((a+bi) + (c+di)\) \(=\) \((a+c)\) \(+\) \((b+d)i\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ somma di \(z_1\) e \(z_2\) \(=\) ① parti reali sommate \(+\) ② parti immaginarie sommate, per \(i\)

La formula a parole

① Le parti reali e le parti con \(i\) si trattano separatamente. Prendi la somma delle parti reali, \(a+c\)

② e aggiungi la somma delle parti immaginarie, \(b+d\) con \(i\) attaccata

③ e ottieni la somma di \(z_1\) e \(z_2\)

Un esempio semplice

Calcolando \((2+3i) + (4-i)\) (la parte immaginaria di \(4-i\) è \(-1\)):

somma \((2+3i)+(4-i)\) \(=\) parti reali \(2+4\) \(+\) parti immaginarie \(3-1\), per \(i\)

\((2+3i) + (4-i) = (2+4) + (3-1)i = 6 + 2i\)

L’idea chiave

La sottrazione funziona esattamente allo stesso modo: si sottraggono separatamente le parti reali e le parti immaginarie, quindi \((a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i\). Il trucco è trattare \(i\) come una lettera, per esempio \(x\), e sommare i monomi simili. Quando sommi \(2x + 3\) e \(4x - 1\), sommi separatamente i termini in \(x\) e i termini numerici. Allo stesso modo si sommano separatamente i termini con \(i\) (la parte immaginaria) e i termini numerici (la parte reale). Sul piano complesso l’addizione è «mettere due frecce una dopo l’altra», e i quattro punti \(0\), \(z_1\), \(z_2\) e \(z_1+z_2\) formano un parallelogramma (vedi la figura sopra).

Moltiplicazione di numeri complessi e \(i^2 = -1\)

Notazione matematica (la notazione abituale)

\((a+bi)(c+di)\) \(=\) \((ac-bd)\) \(+\) \((ad+bc)i\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ prodotto di \(z_1\) e \(z_2\) \(=\) ① parte reale: \(ac\) meno \(bd\) \(+\) ② parte immaginaria: \(ad\) più \(bc\), per \(i\)

La formula a parole

① Sviluppa le parentesi come faresti con le lettere e sostituisci \(i^2\) con \(-1\). Ottieni la parte reale \(ac - bd\)

② e la parte immaginaria \(ad + bc\) con \(i\) attaccata.

③ Sommale e ottieni il prodotto di \(z_1\) e \(z_2\)

Un esempio semplice

Calcolando \((1+2i)(3+4i)\):

prodotto \((1+2i)(3+4i)\) \(=\) parte reale \(1 \times 3 - 2 \times 4\) \(+\) parte immaginaria \(1 \times 4 + 2 \times 3\), per \(i\)

\((1+2i)(3+4i) = 3 + 4i + 6i + 8i^{2}\)

\(= 3 + 10i - 8 = -5 + 10i\)

L’idea chiave

Si sviluppa esattamente come con le lettere, con la proprietà distributiva: \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\). C’è una sola regola speciale per i numeri complessi: ogni volta che compare \(i \times i = i^2\), si sostituisce con \(-1\). Questo succede perché \(i\) è definita come il numero il cui quadrato è \(-1\) (l’unità immaginaria). Tra i numeri reali ogni quadrato è maggiore o uguale a 0, quindi \(x^2 = -1\) non ha soluzioni. Aggiungendo questa \(i\) ai numeri si ottiene un sistema numerico più ampio, i numeri complessi, in cui ogni equazione di secondo grado ha soluzioni. Non serve imparare a memoria la formula. Basta ogni volta «sviluppare e poi trasformare \(i^2\) in \(-1\)» e si ottiene lo stesso risultato.

Divisione di numeri complessi (moltiplicando per il coniugato)

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\dfrac{a+bi}{c+di}\) \(=\) \(\dfrac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}\) \(+\) \(\dfrac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}\,i\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ quoziente di \(z_1\) diviso \(z_2\) \(=\) ① parte reale: \(ac+bd\) diviso \(c^2+d^2\) \(+\) ② parte immaginaria: \(bc-ad\) diviso \(c^2+d^2\), per \(i\)

La formula a parole

① Moltiplica numeratore e denominatore per \(c-di\), il coniugato del denominatore. Il denominatore diventa il numero reale \(c^2+d^2\) e ottieni la parte reale \(\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}\)

② e la parte immaginaria \(\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\) con \(i\) attaccata.

③ Sommale e ottieni il quoziente di \(z_1\) diviso \(z_2\)

Un esempio semplice

Calcolando \(\dfrac{1+2i}{3+4i}\) (si moltiplicano numeratore e denominatore per \(3-4i\), il coniugato del denominatore):

quoziente \(\dfrac{1+2i}{3+4i}\) \(=\) parte reale \(\dfrac{11}{25}\) \(+\) parte immaginaria \(\dfrac{2}{25}\), per \(i\)

\(\dfrac{1+2i}{3+4i} = \dfrac{(1+2i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)} = \dfrac{3 - 4i + 6i - 8i^{2}}{3^{2}+4^{2}}\)

\(= \dfrac{11 + 2i}{25} = \dfrac{11}{25} + \dfrac{2}{25}i\)

L’idea chiave

Perché moltiplicare per il complesso coniugato? Perché \((c+di)(c-di) = c^2 - (di)^2 = c^2 + d^2\), quindi \(i\) sparisce del tutto. Si combinano la differenza di quadrati \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\) e \(i^2 = -1\). Finché \(i\) resta al denominatore non si può leggere la forma \(a+bi\) (la parte reale e la parte immaginaria), quindi il primo compito è togliere \(i\) dal denominatore. È la stessa idea della razionalizzazione del denominatore, in cui si moltiplicano numeratore e denominatore di \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) per \(\sqrt{2}\) per togliere la radice quadrata dal denominatore. Non si può dividere per \(z_2 = 0\) (parte reale e parte immaginaria entrambe 0). La regola «non si può dividere per 0» vale anche per i numeri complessi.

Modulo di un numero complesso \(|z|\)

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(|z|\) \(=\) \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

② modulo di \(z\) \(=\) ① radice quadrata di (parte reale al quadrato + parte immaginaria al quadrato)

La formula a parole

① Per un numero complesso \(z = a+bi\), la radice quadrata della parte reale al quadrato più la parte immaginaria al quadrato, \(\sqrt{a^2+b^2}\)

② è il modulo di \(z\)

Un esempio semplice

Il modulo di \(z = 3+4i\) è

modulo di \(3+4i\) \(=\) \(\sqrt{3^2+4^2}\)

\(|3+4i| = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)

\(|1+i| = \sqrt{1^{2}+1^{2}} = \sqrt{2}\)

L’idea chiave

Il modulo \(|z|\) è la distanza dall’origine a \(z\) sul piano complesso (vedi la figura sopra). Il punto è a \(a\) in orizzontale e \(b\) in verticale, quindi la distanza si ottiene con il teorema di Pitagora. Puoi pensarlo come il valore assoluto di un numero reale (la sua distanza da 0 sulla retta dei numeri) esteso al piano. Con il complesso coniugato \(\overline{z} = a-bi\) vale la relazione \(z \times \overline{z} = a^2 + b^2 = |z|^2\). Per questo, nella divisione, moltiplicare per il coniugato trasforma il denominatore in \(|z_2|^2\), un numero reale positivo. A volte la radice quadrata sparisce, come in \(\sqrt{25} = 5\), e a volte resta, come in \(\sqrt{2}\). Questa calcolatrice semplifica anche i radicali, come \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\), e risponde con valori esatti.

La regola di base per i numeri complessi è trattare \(i\) come una lettera e sostituire \(i^2\) con \(-1\) ogni volta che compare. Solo la divisione richiede un passaggio in più: si moltiplicano numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore per rendere reale il denominatore, poi si divide il risultato in parte reale e parte immaginaria.

Simboli e termini

Simboli

\(i\)	i	L’unità immaginaria. È definita come il numero il cui quadrato è \(-1\) (\(i^2 = -1\)). La lettera viene da «immaginaria». (In elettrotecnica si usa invece \(j\), perché \(i\) indica la corrente.)
\(z\)	zeta	La lettera che di solito indica un numero complesso. Per consuetudine si usano \(z\) e \(w\) per i numeri complessi, per distinguerli dalle variabili reali \(x\) e \(y\).
\(z_1,\ z_2\)	zeta uno, zeta due	Il primo e il secondo numero complesso. Il piccolo numero in basso a destra (il pedice) è solo un’etichetta per «quale dei due». Non è come un esponente, che si scrive in alto a destra.
\(a,\ b,\ c,\ d\)	a, b, c, d	In questa pagina \(a\) è la parte reale e \(b\) la parte immaginaria di \(z_1 = a+bi\), e \(c\) è la parte reale e \(d\) la parte immaginaria di \(z_2 = c+di\). Per consuetudine le lettere dell’inizio dell’alfabeto indicano numeri fissati.
\(\overline{z}\)	zeta con la barra	Il complesso coniugato di \(z\). Per \(z = a+bi\) è \(a-bi\), con il solo segno della parte immaginaria cambiato. La barra sopra indica «il compagno». Alcuni libri lo scrivono \(z^*\).
\(\|z\|\)	modulo di z	Il modulo di \(z\). È la distanza dall’origine a \(z\) sul piano complesso, calcolata come \(\|a+bi\| = \sqrt{a^2+b^2}\). Si scrive con due barre verticali, come il valore assoluto di un numero reale.

Termini

numero complesso	Un numero della forma \(a+bi\), dove \(a\) e \(b\) sono numeri reali. È un sistema numerico più ampio che comprende sia i numeri reali sia i numeri immaginari e in cui ogni equazione di secondo grado ha soluzioni.
numero immaginario	Un numero complesso che non è reale, cioè \(a+bi\) con parte immaginaria \(b\) diversa da zero. (Alcuni libri usano «numero immaginario» solo per i numeri immaginari puri come \(2i\).) Nonostante il nome, questi numeri sono molto utili nei calcoli reali di elettricità e fisica.
unità immaginaria	Il numero \(i\). È definito da \(i^2 = -1\) e ogni numero immaginario si scrive usando \(i\).
parte reale	La \(a\) di \(a+bi\), la «parte numero reale» di un numero complesso. Sul piano complesso è la coordinata lungo l’asse orizzontale (l’asse reale).
parte immaginaria	La \(b\) di \(a+bi\) (senza la \(i\)). Sul piano complesso è la coordinata lungo l’asse verticale (l’asse immaginario). Per esempio la parte immaginaria di \(3-2i\) è \(-2\).
numero immaginario puro	Un numero complesso con parte reale 0 e parte immaginaria diversa da 0, come \(2i\) o \(-3i\). Sul piano complesso sta sull’asse immaginario.
complesso coniugato	Per \(a+bi\), il numero \(a-bi\). Spesso si dice semplicemente «il coniugato». La proprietà chiave è che il prodotto \((a+bi)(a-bi) = a^2+b^2\) è un numero reale maggiore o uguale a 0, ed è per questo che si usa per rendere reale il denominatore nella divisione.
modulo (valore assoluto)	La distanza \(\sqrt{a^2+b^2}\) dall’origine sul piano complesso. Estende al piano il valore assoluto di un numero reale (la sua distanza da 0 sulla retta dei numeri).
piano complesso	Un piano con la parte reale sull’asse orizzontale e la parte immaginaria sull’asse verticale, in cui \(a+bi\) è rappresentato dal punto \((a ; b)\). Si chiama anche piano di Gauss o di Argand-Gauss. Si approfondisce negli ultimi anni del liceo, ma questa pagina lo usa come strumento per «vedere» i numeri complessi.
asse reale	L’asse orizzontale del piano complesso, dove stanno i numeri reali. Un numero reale è un numero complesso con parte immaginaria 0, quindi sta sull’asse reale.
asse immaginario	L’asse verticale del piano complesso, dove stanno i numeri immaginari puri (numeri complessi con parte reale 0, come \(2i\)).
rendere reale il denominatore	Per una frazione con un denominatore complesso, moltiplicare numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore in modo che il denominatore diventi reale. È la versione per i numeri complessi della razionalizzazione del denominatore (togliere una radice quadrata dal denominatore).
sviluppo	Togliere le parentesi da un’espressione e scriverla come somma o differenza di termini. Come in \((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\), ogni termine di una parentesi si moltiplica per ogni termine dell’altra.
monomi simili	Termini con la stessa parte letterale. Quando si sommano o si sottraggono numeri complessi, i termini con \(i\) (la parte immaginaria) e i termini senza \(i\) (la parte reale) si sommano ciascuno come monomi simili.
discriminante	L’espressione \(D = b^2-4ac\), che dice che tipo di soluzioni ha l’equazione di secondo grado \(ax^2+bx+c=0\). Quando \(D < 0\) non ci sono soluzioni reali, ma ci sono soluzioni complesse \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{-D}\,i}{2a}\). Di solito è qui che si incontrano per la prima volta i numeri complessi.

Cosa conviene sapere prima

Ecco che cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare su questi argomenti è la strada più veloce per andare avanti.

Sviluppo di espressioni e monomi simili (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Saper sviluppare un prodotto di parentesi, come in \((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\) Saper usare il prodotto notevole \((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\) (è proprio il motivo per cui moltiplicare per il complesso coniugato dà un numero reale) Saper sommare i monomi simili, come in \(2x + 3x = 5x\)
Radici quadrate e radicali (scuola secondaria di primo grado, 13-14 anni)	Sapere che la radice quadrata è il numero positivo il cui quadrato è il numero sotto radice, come in \(\sqrt{25} = 5\) Saper semplificare un radicale portando fuori i fattori quadrati, come in \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)
Razionalizzazione del denominatore (scuola secondaria di secondo grado, 14-16 anni)	Saper togliere un radicale dal denominatore moltiplicando numeratore e denominatore per lo stesso numero, come in \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) (rendere reale il denominatore è la versione per i numeri complessi di questa idea)
Il piano cartesiano e il teorema di Pitagora (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Saper rappresentare il punto \((a ; b)\) sul piano cartesiano (il piano complesso è un piano cartesiano con la parte reale in orizzontale e la parte immaginaria in verticale) Sapere dal teorema di Pitagora che la distanza tra l’origine e \((a ; b)\) è \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) (è ciò che è davvero il modulo di un numero complesso)
Equazioni di secondo grado e discriminante (scuola secondaria di secondo grado, 14-16 anni)	Saper usare la formula risolutiva \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\) Sapere che quando il discriminante \(D = b^{2}-4ac\) è negativo non ci sono soluzioni reali (è qui che entrano in gioco i numeri immaginari)
Calcolo con le frazioni (scuola primaria e secondaria di primo grado, 10-14 anni)	Saper ridurre le frazioni ai minimi termini e trovare il denominatore comune (i risultati sono mostrati come frazioni ridotte ai minimi termini, come \(\dfrac{11}{25}\)) Saper trasformare una frazione in decimale (\(\dfrac{11}{25}\) in 0,44)

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per le quattro operazioni con i numeri complessi

Parte reale a di z₁	1
Parte immaginaria b di z₁	2
Parte reale c di z₂	3
Parte immaginaria d di z₂	4
Numero complesso z₁	=COMPLESSO(B1;B2)
Numero complesso z₂	=COMPLESSO(B3;B4)
Somma z₁ + z₂	=COMP.SOMMA(B5;B6)
Differenza z₁ − z₂	=COMP.DIFF(B5;B6)
Prodotto z₁ × z₂	=COMP.PRODOTTO(B5;B6)
Quoziente z₁ ÷ z₂	=COMP.DIV(B5;B6)

Tabella per il complesso coniugato e il modulo

Parte reale a	3
Parte immaginaria b	4
Numero complesso z	=COMPLESSO(B1;B2)
Complesso coniugato	=COMP.CONIUGATO(B3)
Modulo \|z\|	=COMP.MODULO(B3)

Tabella per verificare la divisione (moltiplicando per il coniugato)

Parte reale a di z₁	1
Parte immaginaria b di z₁	2
Parte reale c di z₂	3
Parte immaginaria d di z₂	4
Denominatore c²+d²	=B3^2+B4^2
Parte reale del quoziente (ac+bd)÷(c²+d²)	=(B1B3+B2B4)/B5
Parte immaginaria del quoziente (bc−ad)÷(c²+d²)	=(B2B3-B1B4)/B5

Excel ha un insieme completo di funzioni per i numeri complessi. COMPLESSO crea un numero complesso (una stringa di testo come «1+2i») dalla parte reale e dalla parte immaginaria, e lo si passa a COMP.SOMMA (somma), COMP.DIFF (differenza), COMP.PRODOTTO (prodotto) o COMP.DIV (quoziente).
La prima tabella usa z₁ = 1+2i e z₂ = 3+4i. La somma mostra «4+6i», la differenza «-2-2i», il prodotto «-5+10i» e il quoziente «0,44+0,08i» (questi risultati sono testo, non numeri).
La seconda tabella usa z = 3+4i. Il complesso coniugato è «3-4i» e il modulo è 5 (solo COMP.MODULO restituisce un numero ordinario).
La terza tabella verifica la divisione senza le funzioni dei numeri complessi, seguendo direttamente la formula del coniugato. La parte reale del quoziente è 0,44 (= 11/25) e la parte immaginaria è 0,08 (= 2/25), che coincidono con il risultato di COMP.DIV. «^» è la potenza, «*» è la moltiplicazione e «/» è la divisione.

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per le quattro operazioni con i numeri complessi

Parte reale a di z₁	1
Parte immaginaria b di z₁	2
Parte reale c di z₂	3
Parte immaginaria d di z₂	4
Numero complesso z₁	=COMPLESSO(B1;B2)
Numero complesso z₂	=COMPLESSO(B3;B4)
Somma z₁ + z₂	=COMP.SOMMA(B5;B6)
Differenza z₁ − z₂	=COMP.DIFF(B5;B6)
Prodotto z₁ × z₂	=COMP.PRODOTTO(B5;B6)
Quoziente z₁ ÷ z₂	=COMP.DIV(B5;B6)

Tabella per il complesso coniugato e il modulo

Parte reale a	3
Parte immaginaria b	4
Numero complesso z	=COMPLESSO(B1;B2)
Complesso coniugato	=COMP.CONIUGATO(B3)
Modulo \|z\|	=COMP.MODULO(B3)

Tabella per verificare la divisione (moltiplicando per il coniugato)

Parte reale a di z₁	1
Parte immaginaria b di z₁	2
Parte reale c di z₂	3
Parte immaginaria d di z₂	4
Denominatore c²+d²	=B3^2+B4^2
Parte reale del quoziente (ac+bd)÷(c²+d²)	=(B1B3+B2B4)/B5
Parte immaginaria del quoziente (bc−ad)÷(c²+d²)	=(B2B3-B1B4)/B5

Fogli Google ha le stesse funzioni dei numeri complessi di Excel (COMPLESSO, COMP.SOMMA, COMP.DIFF, COMP.PRODOTTO, COMP.DIV, COMP.CONIUGATO e COMP.MODULO), quindi vanno bene le stesse formule. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci la parte reale e la parte immaginaria con i tuoi numeri.

Come calcolarlo con Python

from fractions import Fraction
import math

# Parte reale e parte immaginaria di z1 = a + bi e z2 = c + di (una frazione come 3/4 si scrive Fraction(3, 4))
z1_real, z1_imag = Fraction(1), Fraction(2)
z2_real, z2_imag = Fraction(3), Fraction(4)

# Somma e differenza: si combinano separatamente le parti reali e le parti immaginarie
add_real, add_imag = z1_real + z2_real, z1_imag + z2_imag
sub_real, sub_imag = z1_real - z2_real, z1_imag - z2_imag

# Prodotto: la formula (ac-bd) + (ad+bc)i, ottenuta sviluppando e sostituendo i^2 = -1
mul_real = z1_real * z2_real - z1_imag * z2_imag
mul_imag = z1_real * z2_imag + z1_imag * z2_real

# Quoziente: si moltiplica per il coniugato. Il denominatore diventa il numero reale c^2 + d^2
denominator = z2_real ** 2 + z2_imag ** 2
div_real = (z1_real * z2_real + z1_imag * z2_imag) / denominator
div_imag = (z1_imag * z2_real - z1_real * z2_imag) / denominator

# Modulo del quoziente: radice quadrata di (parte reale al quadrato + parte immaginaria al quadrato)
abs_squared = div_real ** 2 + div_imag ** 2
abs_value = math.sqrt(abs_squared)

# Formattazione a+bi (quando la parte immaginaria è negativa, si mostra come sottrazione, per esempio -2 - 2i)
def to_complex_str(real, imag):
    sign = "-" if imag < 0 else "+"
    return f"{real} {sign} {abs(imag)}i"

print(f"Somma: {to_complex_str(add_real, add_imag)}")
print(f"Differenza: {to_complex_str(sub_real, sub_imag)}")
print(f"Prodotto: {to_complex_str(mul_real, mul_imag)}")
print(f"Quoziente: {to_complex_str(div_real, div_imag)}")
print(f"Quadrato del modulo del quoziente (frazione): {abs_squared}")
print(f"Modulo del quoziente (decimale): {abs_value}")

Con il modulo fractions della libreria standard puoi calcolare con frazioni esatte e senza errori di arrotondamento decimale. Questo esempio usa z₁ = 1+2i e z₂ = 3+4i. Il quoziente viene stampato come «11/25 + 2/25i» e il quadrato del suo modulo come «1/5» (quindi il modulo è √5/5 ≈ 0,447). Cambia la parte reale e la parte immaginaria ed esegui il codice. Se non ti servono valori esatti, Python ha anche il tipo complex integrato, quindi puoi calcolare direttamente con j, come in (1+2j)/(3+4j).

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Addizione e sottrazione di numeri complessi

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mo>)</mo><mi>i</mi>
  </mrow>
</math>

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

ComplexExpand[(a + b I) + (c + d I)]

evalc((a + b*I) + (c + d*I));

z = (a + b*1i) + (c + d*1i);

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

Moltiplicazione di numeri complessi e \(i^2 = -1\)

(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>(</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mi>d</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mi>d</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>)</mo><mi>i</mi>
  </mrow>
</math>

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

ComplexExpand[(a + b I) (c + d I)]

evalc((a + b*I) * (c + d*I));

z = (a + b*1i) * (c + d*1i);

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

Divisione di numeri complessi (moltiplicando per il coniugato)

(a+bi)/(c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + {(bc−ad)/(c²+d²)}i

\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}} + \frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}\,i

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    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi></mrow>
      <mrow><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>i</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
      <mrow><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
    </mfrac>
    <mo>+</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><mi>d</mi></mrow>
      <mrow><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
    </mfrac>
    <mi>i</mi>
  </mrow>
</math>

(a+bi)/(c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + ((bc-ad)/(c^2+d^2))i

ComplexExpand[(a + b I)/(c + d I)]

evalc((a + b*I) / (c + d*I));

z = (a + b*1i) / (c + d*1i);

(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i

Modulo di un numero complesso \(|z|\)

|a+bi| = √(a²+b²)

\lvert a+bi \rvert = \sqrt{a^{2}+b^{2}}

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  <mrow>
    <mo>|</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mo>|</mo>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

|a+bi| = sqrt(a^2+b^2)

ComplexExpand[Abs[a + b I]]

abs(a + b*I);

r = abs(a + b*1i);

|a+bi| = √(a^2+b^2)

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente di calcolo matematico per i numeri complessi. Fai il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con calcoli a mente o a intuito).

Per i due numeri complessi z1 = 1 + 2i e z2 = 3 + 4i, mostra ciascuno dei seguenti risultati:
1. La somma z1 + z2, la differenza z1 − z2 e il prodotto z1 × z2 (in forma a+bi)
2. Il quoziente z1 ÷ z2 (in forma a+bi con le frazioni ridotte ai minimi termini, con i passaggi della moltiplicazione per il coniugato del denominatore)
3. Il complesso coniugato e il modulo del quoziente (il modulo sia come valore esatto con il radicale semplificato sia come decimale)

In Python usa il modulo fractions della libreria standard per calcolare esattamente la parte reale e la parte immaginaria, e mostra le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.

Come si usa

1

Inserisci i numeri

Scrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
2

Calcola

Fai clic sul pulsante «Calcola»
3

Guarda il risultato

Il risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula