Calcolatrice del volume della sfera (V = 4/3 × π × r³)

Inserisci il raggio della sfera. Ottieni il volume (4/3 × π × raggio al cubo) e la conversione in L e m³.

Unità

Raggio della sfera

Inserisci solo 0 o un numero positivo per il raggio, senza unità (per un raggio di 12 cm scrivi «12»). Se conosci solo il diametro, inserisci il diametro diviso per 2 (il raggio).

Risultato e figura

Inserisci il raggio della sfera nel campo a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compare il risultato.

Indice

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Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formule e figure
- Volume della sfera (dal raggio)
- Volume della sfera (dal diametro)
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Inserisci il raggio della sfera e ottieni subito il suo volume (volume = \(\dfrac{4}{3} \times \pi \times\) raggio al cubo)
La sfera del risultato è mostrata anche in 3D (puoi ruotarla trascinandola)
Mostra insieme anche la conversione di unità del volume (in litri e m³ quando inserisci i cm)
Spiega inoltre come fare se conosci solo il diametro (raggio = diametro ÷ 2, \(V = \pi d^3 \div 6\))
In questa stessa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare per Excel, Fogli Google e Python

Inserisci il raggio in una sola unità (per esempio in cm). Il volume risulta in quell’unità al cubo (cm³ se inserisci i cm, m³ se inserisci i m). Il volume di altri solidi, come il cilindro o il cono, ha una pagina dedicata.

A cosa serve questo calcolo?

Confrontare la grandezza dei palloni con il volume (sport)

Un pallone da calcio n. 5 ha una circonferenza tra 68 e 70 cm (Regolamento del gioco IFAB), cioè un diametro di circa 22 cm. Con 11 cm di raggio, il suo volume è \(\dfrac{4}{3}\pi \times 11^3 \approx 5575\,\mathrm{cm^3}\) (circa 5,6 L). Una pallina da tennis (tra 6,54 e 6,86 cm di diametro secondo l’ITF; con 6,7 cm di diametro e 3,35 cm di raggio) ha circa \(157{,}5\,\mathrm{cm^3}\), quindi nello spazio di un pallone da calcio ci starebbe il volume di circa 35 palline da tennis (\(5575 \div 157{,}5 \approx 35{,}4\)).
Se il diametro si moltiplica per 3, il volume si moltiplica per \(3^3 = 27\). Questa idea che «il cubo cambia tutto» è la base per stimare le dimensioni, non solo dei palloni.

Stimare la porzione di gelato o di altri alimenti (cucina e alimentazione)

Se il porzionatore rotondo con cui servi il gelato ha 5 cm di diametro, una pallina è una sfera di 2,5 cm di raggio, cioè circa \(65\,\mathrm{cm^3}\) (circa 65 mL). Nelle gelaterie e nei locali si tengono sotto controllo porzioni e costi con calcoli come questo.
Serve anche per stimare la quantità di polpette, di palline di impasto o di palline di melone: qualsiasi alimento modellato in forma tonda.

Conoscere la capacità di un serbatoio sferico per il gas (industria e infrastrutture)

I serbatoi sferici per il gas che si vedono negli impianti industriali hanno questa forma perché la sfera è quella che richiede meno superficie per racchiudere un dato volume (meno materiale e meno dispersione di calore). Un serbatoio di 20 m di diametro ha un volume di \(\dfrac{4}{3}\pi \times 10^3 \approx 4189\,\mathrm{m^3}\), cioè circa 4,2 milioni di litri.
La progettazione e la capacità dichiarata partono proprio dalla formula di questa pagina.

Stimare il volume approssimativo di un nodulo da un’immagine diagnostica (medicina)

In esami come la TAC o l’ecografia, di un nodulo o di una cisti quasi sferici si misura il «diametro di ◯ cm» e a volte si stima il volume approssimativo con la formula della sfera. Con 2 cm di diametro sono circa \(4{,}2\,\mathrm{cm^3}\) e con 4 cm di diametro circa \(33{,}5\,\mathrm{cm^3}\): raddoppiando il diametro, il volume si moltiplica per 8.
Le lesioni reali non sono sfere perfette, quindi è solo una stima, usata come riferimento per il controllo nel tempo (per esempio per vedere se è cresciuto). L’interpretazione di qualsiasi esame spetta sempre al personale sanitario.

Calcolare il volume di corpi celesti come la Terra o la Luna (astronomia)

La Terra è quasi una sfera (a rigore, un ellissoide leggermente schiacciato), quindi con un raggio medio di circa 6371 km il suo volume è \(\dfrac{4}{3}\pi \times 6371^3 \approx 1{,}083 \times 10^{12}\,\mathrm{km^3}\) (poco più di mille miliardi di km³).
Il raggio della Luna è di circa 1737 km e il suo volume è circa \(\dfrac{1}{50}\) di quello della Terra. I confronti tra le dimensioni degli astri che compaiono nei libri di testo e nell’introduzione all’astronomia si calcolano con questa formula.

Formule e figure

Volume della sfera (dal raggio)

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(V\) \(=\) \(\dfrac{4}{3}\) \(\times\) \(\pi\) \(\times\) \(r\) \(3\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

⑤ \(V\): volume della sfera \(=\) ④ costante \(\dfrac{4}{3}\) \(\times\) ③ \(\pi\): pi greco \(\times\) ① \(r\): raggio ② al cubo (il numero moltiplicato tre volte)

La formula a parole

① Parti dal \(r\): raggio

② elevalo al cubo (il numero moltiplicato tre volte)

③ moltiplicalo per il \(\pi\): pi greco

④ e per la costante \(\dfrac{4}{3}\)

⑤ e ottieni il \(V\): volume della sfera

Un esempio semplice

Il volume di una sfera con raggio di 3 cm è

\(V\): volume della sfera \(=\) costante \(\dfrac{4}{3}\) \(\times\) \(\pi\): pi greco \(\times\) raggio (3 cm) al cubo

\(\dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^{3} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 27 = 36\pi\)

\(36\pi \approx 36 \times 3{,}14 = 113{,}04 \approx 113\,\mathrm{cm^3}\)

L’idea chiave

Il perché del fattore \(\dfrac{4}{3}\pi\) si spiega con una relazione scoperta dal matematico greco Archimede. Il volume del cilindro in cui la sfera entra esattamente (con raggio di base \(r\) e altezza \(2r\)) è \(\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3\), e il volume della sfera è esattamente i \(\dfrac{2}{3}\) di quel cilindro. Per questo \(2\pi r^3 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}\pi r^3\). L’errore più frequente è confondere l’elevare il raggio al cubo con il moltiplicarlo per 3: con un raggio di 3, il cubo è \(3^3 = 27\), e non \(3 \times 3 = 9\).

Volume della sfera (dal diametro)

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(V\) \(=\) \(\pi\) \(\times\) \(d\) \(3\) \(\div\) \(6\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

⑤ \(V\): volume della sfera \(=\) ① \(\pi\): pi greco \(\times\) ② \(d\): diametro ③ al cubo (il numero moltiplicato tre volte) \(\div\) ④ costante \(6\)

La formula a parole

① Parti dal \(\pi\): pi greco

② moltiplicalo per il \(d\): diametro

③ elevato al cubo (il numero moltiplicato tre volte)

④ e dividi il risultato per la costante \(6\)

⑤ per ottenere il \(V\): volume della sfera

Un esempio semplice

Il volume di un pallone di 6 cm di diametro (3 cm di raggio) è

\(V\): volume della sfera \(=\) \(\pi\): pi greco \(\times\) diametro (6 cm) al cubo \(\div\) costante \(6\)

\(\pi \times 6^{3} \div 6 = \pi \times 216 \div 6 = 36\pi\)

\(36\pi \approx 113\,\mathrm{cm^3}\)

L’idea chiave

Questa formula si ottiene sostituendo nella prima «raggio = metà del diametro» (\(r = d \div 2\)) e semplificando (\(\dfrac{4}{3}\pi \times \dfrac{d^3}{8} = \dfrac{\pi d^3}{6}\)). È utile per oggetti come un pallone, di cui puoi misurare il diametro ma non direttamente il raggio. Il fatto che l’esempio con 6 cm di diametro dia lo stesso risultato (\(36\pi\)) dell’esempio con 3 cm di raggio della prima formula conferma che le due formule descrivono la stessa sfera. A scuola si usa di solito la prima (quella del raggio), quindi comincia da quella.

Il volume di una sfera si ottiene «elevando il raggio al cubo e moltiplicando per il pi greco e per 4/3». Se conosci solo il diametro, dividilo prima per 2 per ottenere il raggio. Il risultato è nell’unità inserita al cubo (cm³ se usi i cm), e dividendo i cm³ per 1000 ottieni i litri.

Simboli e termini

Simboli

\(V\)	vu	La lettera che si usa di solito per il volume, dall’iniziale di «volume». In questa pagina indica il volume della sfera.
\(r\)	erre	Il raggio della sfera, dall’iniziale di «raggio». È la distanza dal centro della sfera alla sua superficie.
\(d\)	di	Il diametro della sfera, dall’iniziale di «diametro». È la lunghezza che passa per la parte più larga della sfera ed è il doppio del raggio (\(d = 2r\)).
\(\pi\)	pi greco	Il pi greco. È la costante che indica quante volte il diametro sta nella lunghezza della circonferenza. Vale 3,14159… e le sue cifre decimali non finiscono mai; a scuola si calcola di solito con 3,14.
\(r^3\)	erre al cubo	Il numero \(r\) moltiplicato tre volte per se stesso (\(r \times r \times r\)). Il piccolo 3 in alto a destra è un esponente che indica che il numero compare tre volte come fattore. (Esempio: \(3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27\).)
\(\mathrm{cm^3}\)	centimetro cubo	Un’unità di volume. Un cubo di 1 cm di spigolo ha un volume di 1 cm³. Non confonderlo con i cm² (centimetri quadrati), che sono un’unità di area.
\(\mathrm{L}\)	litro	Un’unità che si usa molto per la quantità di acqua e di altri liquidi (volume). Vale \(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm^3}\) (un cartone di latte da 1 litro contiene proprio 1 L). (Si scrive l o L; qui si usa la L maiuscola perché la l minuscola si confonde facilmente con un 1.)
\(\mathrm{m^3}\)	metro cubo	Un’unità di volume. Un cubo di 1 m di spigolo ha un volume di 1 m³, e vale \(1\,\mathrm{m^3} = 1.000.000\,\mathrm{cm^3} = 1000\,\mathrm{L}\).

Termini

sfera	Il solido rotondo formato da tutti i punti che stanno alla stessa distanza da un punto detto centro. Un pallone, una biglia o una bolla di sapone sono esempi; da qualsiasi lato appare come un cerchio.
raggio	La distanza dal centro di una sfera (o di un cerchio) alla sua superficie. È il valore che inserisci in questa calcolatrice. Corrisponde alla metà del diametro.
diametro	La lunghezza di un segmento che passa per il centro di una sfera (o di un cerchio) e va da un punto della superficie a quello opposto. È il doppio del raggio. La grandezza dei palloni si indica spesso con il diametro.
volume	La grandezza di un solido (lo spazio che occupa), espressa con un numero. Si misura contando quanti cubi unitari (per esempio da 1 cm³) ci stanno dentro.
pi greco	Il numero che indica quante volte il diametro sta nella lunghezza della circonferenza (circa 3,14). Si scrive \(\pi\) («pi greco»). Compare non solo nel cerchio, ma anche nelle formule del volume e dell’area della sfera.
potenza	Moltiplicare lo stesso numero più volte. Il numero piccolo scritto in alto a destra, come in \(3^3\) (l’esponente), indica quante volte si moltiplica. Nelle formule del volume compare il cubo perché i solidi si estendono in tre direzioni: lunghezza, larghezza e altezza.
elevare al cubo	Moltiplicare lo stesso numero tre volte (a elevato alla terza). Il risultato si chiama anche cubo del numero. Con un raggio di 3, il cubo è \(3 \times 3 \times 3 = 27\).

Cosa conviene sapere prima

Ecco che cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.

Cerchio e pi greco (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Sapere che π (circa 3,14) è un numero fisso che indica quante volte il diametro sta nella lunghezza della circonferenza Conoscere la relazione tra raggio e diametro (diametro = raggio × 2)
Che cos’è il volume e le sue unità (classi 3ª–5ª della primaria, 8-11 anni)	Sapere che il volume si può misurare contando quanti cubetti di 1 cm di spigolo (1 cm³) ci stanno dentro Saper leggere e scrivere le unità cm³, m³ e L, e sapere che \(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm^3}\)
Moltiplicazione di una frazione per un numero intero (classi 4ª–5ª della primaria, 9-11 anni)	Saper moltiplicare una frazione per un numero intero, come \(\dfrac{4}{3} \times 27\)
Potenze ed esponenti (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Sapere che «elevare al cubo» significa moltiplicare lo stesso numero tre volte, come in \(3^3 = 3 \times 3 \times 3\)
Proprietà della sfera e formula del suo volume (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Sapere che una sfera è l’insieme dei punti che stanno alla stessa distanza dal centro Ricordare la formula del volume della sfera, \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per calcolare il volume di una sfera dal raggio

Raggio della sfera r	5
Volume della sfera	=4/3PI.GRECO()B1^3

Tabella per calcolare il volume di una sfera dal diametro

Diametro della sfera d	10
Volume della sfera	=PI.GRECO()*B1^3/6

Tabella per convertire i cm³ in litri (L)

Volume in cm³	523,6
Volume in litri	=B1/1000

Dopo averla incollata, nella colonna A trovi i nomi e nella colonna B i numeri. Le righe in alto sono i tuoi dati, e la formula dell’ultima riga calcola il risultato in automatico con quei valori.
«PI.GRECO()» è la funzione di Excel che restituisce il pi greco (3,14159…), «*» è la moltiplicazione, «/» la divisione e «^» la potenza (quante volte si moltiplica). «=4/3*PI.GRECO()*B1^3» significa «4/3 × π × B1 al cubo».
Nella prima tabella, per esempio, B2 mostra circa 523,6 (in cm³ se il raggio è di 5 cm). La seconda tabella corrisponde alla stessa sfera (10 cm di diametro), quindi dà anch’essa circa 523,6, e la terza mostra 0,5236 (circa 0,52 L) in B2. Ti basta cambiare i dati con i tuoi valori.

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per calcolare il volume di una sfera dal raggio

Raggio della sfera r	5
Volume della sfera	=4/3PI.GRECO()B1^3

Tabella per calcolare il volume di una sfera dal diametro

Diametro della sfera d	10
Volume della sfera	=PI.GRECO()*B1^3/6

Tabella per convertire i cm³ in litri (L)

Volume in cm³	523,6
Volume in litri	=B1/1000

Funzionano le stesse formule di Excel (compresa la funzione PI.GRECO()). Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e cambia i dati con i tuoi valori.

Come calcolarlo con Python

import math

radius = 5   # raggio della sfera (in questo esempio, in cm)

volume = 4 / 3 * math.pi * radius ** 3   # volume della sfera (l’unità inserita al cubo; qui cm3)
volume_liter = volume / 1000             # se inserisci i cm, il volume in litri

print(f"Volume della sfera: {volume} cm3")
print(f"In litri: {volume_liter} L")

Funziona con la sola libreria standard. «math.pi» è il pi greco, «**» è la potenza (qui il cubo), «*» la moltiplicazione e «/» la divisione. Cambia in alto il valore del raggio ed esegui il codice (l’esempio è per un inserimento in cm).

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Volume della sfera (dal raggio)

V = 4/3 × π × r³

V = \dfrac{4}{3} \pi r^{3}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>V</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac>
    <mo>&#x2062;</mo>
    <mi>&#x3C0;</mi>
    <mo>&#x2062;</mo>
    <msup><mi>r</mi><mn>3</mn></msup>
  </mrow>
</math>

V = 4/3 pi r^3

4/3*Pi*r^3

V := 4/3*Pi*r^3;

V = 4/3*pi*r^3;

V = 4/3 πr^3

Volume della sfera (dal diametro)

V = π × d³ ÷ 6

V = \dfrac{\pi d^{3}}{6}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>V</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mi>&#x3C0;</mi>
        <mo>&#x2062;</mo>
        <msup><mi>d</mi><mn>3</mn></msup>
      </mrow>
      <mn>6</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

V = (pi d^3)/6

Pi*d^3/6

V := Pi*d^3/6;

V = pi*d^3/6;

V = (πd^3)/6

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente per i calcoli di matematica. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non calcolare a mente e non stimare).

Una sfera ha raggio di 5 cm.
Calcola:
1. Il volume di questa sfera in cm³ (V = 4/3 × π × r³)
2. Quel volume in litri

Mostra le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.

Come si usa

1

Inserisci i numeri

Scrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
2

Calcola

Fai clic sul pulsante «Calcola»
3

Guarda il risultato

Il risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula