Calcolatrice di progressioni geometriche (termine n-esimo e somma)

Scrivi il primo termine (il primo numero della successione), la ragione (il numero per cui moltiplichi a ogni passo) e il numero di termini (fino a dove vuoi arrivare), poi fai clic su «Calcola». Ottieni in un colpo solo i primi termini, il termine n-esimo e la somma dei primi n termini. La formula qui sotto è collegata ai campi, quindi puoi anche modificare il primo termine, la ragione e il numero di termini direttamente dentro la formula. Quando il valore assoluto della ragione è minore di 1, mostra anche la somma che si ottiene sommando all’infinito (la somma della serie geometrica infinita).

Primo termine a

Ragione r

Numero di termini n

Il primo termine e la ragione possono essere decimali o numeri negativi. Scrivi il numero di termini n come numero intero positivo (da 1 a 1000).

Risultato e grafico

Scrivi il primo termine, la ragione e il numero di termini nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compariranno il risultato e un grafico.

Indice

[ Chiudi X ]

Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formule e grafici
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Inserisci solo tre valori, il primo termine, la ragione (il numero per cui moltiplichi a ogni passo) e il numero di termini, per ottenere in un colpo solo il termine \(n\)-esimo e la somma dei primi \(n\) termini
Va bene per problemi come «La successione 3, 6, 12, 24, … raddoppia ogni volta. Quanto vale il 10º numero? Quanto fanno i primi 10 numeri messi insieme?»
Il primo termine e la ragione possono essere decimali o numeri negativi (per una successione che si dimezza a ogni passo usa la ragione «0,5», e una ragione negativa per una successione i cui segni si alternano)
Quando il valore assoluto della ragione è minore di 1, mostra anche la somma che si ottiene sommando all’infinito (la somma della serie geometrica infinita)
Insieme al risultato, un grafico mostra come i termini raddoppiano di continuo (salendo lungo una curva). In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare e incollare per Excel, Fogli Google e Python

Questa pagina vale solo per le progressioni geometriche (successioni in cui il rapporto tra due termini consecutivi è sempre lo stesso, quindi a ogni passo si moltiplica per lo stesso numero). Per le successioni che crescono sommando lo stesso numero, come 5, 8, 11, … (progressioni aritmetiche), usa la calcolatrice delle progressioni aritmetiche.

A cosa serve questo calcolo?

Capire come cresce il denaro con l’interesse composto (pianificazione del denaro)

Con l’interesse composto, in cui anche gli interessi producono interessi, il saldo cresce ogni anno dello stesso fattore, quindi forma una progressione geometrica. Se investi 10.000 € al 3% annuo con capitalizzazione annuale, il saldo viene moltiplicato per 1,03 ogni anno. Dopo 10 anni vale \(10.000 \times 1{,}03^{10} \approx 13.439\) euro (supponendo che il tasso resti lo stesso per tutti i 10 anni).
«Quanto avrò tra k anni?» è esattamente il calcolo del termine \(n\)-esimo di una progressione geometrica. La differenza rispetto all’interesse semplice, che cresce della stessa quantità ogni anno (una progressione aritmetica), è «crescere sommando o crescere moltiplicando».

Stimare come si moltiplicano batteri o cellule (biologia e sicurezza alimentare)

I batteri che si moltiplicano dividendosi raddoppiano di numero a ogni divisione, quindi formano una progressione geometrica di ragione 2. Se un batterio si divide una volta ogni 20 minuti, dopo 6 ore (18 divisioni) ce ne sono \(2^{18} = 262.144\), più di 260.000 (è un caso ideale, con cibo e spazio a sufficienza e senza batteri che muoiono).
Questo raddoppiare continuo (crescita esponenziale) è anche il motivo per cui si consiglia di non lasciare il cibo a temperatura ambiente.

Piegando un foglio lo spessore raddoppia (per capire la crescita esponenziale)

Piega a metà un foglio di carta da fotocopie spesso circa 0,1 mm e lo spessore raddoppia. A ogni piega raddoppia ancora, quindi lo spessore forma una progressione geometrica di ragione 2. Sulla carta, 10 pieghe danno \(0{,}1 \times 2^{10} = 102{,}4\) mm (circa 10 cm) e 23 pieghe danno circa 839 m, più del Burj Khalifa (828 m), il grattacielo più alto del mondo.
Nella realtà un foglio si può piegare solo 7 o 8 volte. Eppure «bastano 23 raddoppi per superare il grattacielo più alto del mondo» mostra quanto la crescita geometrica vada oltre la nostra intuizione dell’addizione.

Calcolare come una palla che rimbalza perde altezza (fisica e sport)

Supponi che una palla rimbalzi ogni volta fino al 60% dell’altezza da cui è caduta. Lasciala cadere da 2 m e le altezze dei rimbalzi diminuiscono come una progressione geometrica di ragione 0,6. Al 5º rimbalzo sale solo \(2 \times 0{,}6^{5} \approx 0{,}16\) m (circa 16 cm).
Le cose che diminuiscono ogni volta della stessa percentuale, come le vibrazioni e i suoni che si smorzano o la concentrazione di un farmaco nel sangue, si descrivono con progressioni geometriche di ragione minore di 1.

Le scale musicali sono progressioni geometriche di frequenze (musica e strumenti)

La scala temperata usata dal pianoforte e da altri strumenti è una progressione geometrica: ogni semitono in su moltiplica la frequenza per circa 1,0595 (esattamente la radice dodicesima di 2). Salendo di 12 semitoni dal La (440 Hz) si ottiene \(440 \times (\sqrt[12]{2})^{12} = 880\) Hz, il La esattamente un’ottava sopra.
Poiché ogni semitono ha lo stesso rapporto, la musica suona uguale in qualunque tonalità la sposti. Le progressioni geometriche sono incorporate nelle fondamenta della musica.

Formule e grafici

Formula del termine \(n\)-esimo (termine generale)

Grafico

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(a_n\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(r\) \(n-1\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

④ \(a_n\): termine \(n\)-esimo \(=\) ① \(a\): primo termine \(\times\) ② \(r\): ragione ③ \((n-1)\): numero di passi

La formula a parole

① Parti da \(a\): primo termine e moltiplica per

② \(r\): ragione più volte di seguito, tante volte quanti sono i

③ \((n-1)\): numero di passi ,

④ e ottieni \(a_n\): termine \(n\)-esimo

Un esempio semplice

Per la progressione geometrica con primo termine 3 e ragione 2 (3, 6, 12, 24, …), il termine 5 è

\(a_5\): termine 5 \(=\) primo termine (3) \(\times\) ragione (2) passi (5 − 1 = 4)

\(3 \times 2^{4} = 3 \times 16 = 48\)

L’idea chiave

L’errore più comune è moltiplicare \(n\) volte invece di \(n-1\) volte. Per andare dal termine 1 al termine \(n\) si moltiplica per la ragione una volta per ogni passo, e i passi sono \(n-1\), uno in meno di \(n\). Per esempio, dal termine 1 al termine 3 si moltiplica solo due volte (\(3-1\) volte). Se la ragione \(r\) è un numero positivo minore di \(1\) (per esempio 0,5), i termini diventano sempre più piccoli e si avvicinano a \(0\). Se è negativa (per esempio \(-2\)), i segni dei termini si alternano. In entrambi i casi la formula funziona così com’è.

Formula della somma dei primi \(n\) termini (quando la ragione non è \(1\))

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(S_n\) \(=\) \(a\) \(\times\) \((1 - r^{n})\) \(\div\) \((1 - r)\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

④ \(S_n\): somma dei primi \(n\) termini \(=\) ① \(a\): primo termine \(\times\) ② \((1 - r^n)\): 1 meno la ragione elevata alla \(n\) \(\div\) ③ \((1 - r)\): 1 meno la ragione

La formula a parole

① Moltiplica \(a\): primo termine per

② \((1 - r^n)\): 1 meno la ragione elevata alla \(n\) ,

③ poi dividi per \((1 - r)\): 1 meno la ragione ,

④ e ottieni \(S_n\): somma dei primi \(n\) termini

Un esempio semplice

Per la progressione geometrica con primo termine 3 e ragione 2 (3, 6, 12, 24, …), la somma dei primi 5 termini è

\(S_5\): somma fino al termine 5 \(=\) primo termine (3) \(\times\) 1 meno la ragione alla quinta (\(1 - 2^5 = -31\)) \(\div\) 1 meno la ragione (\(1 - 2 = -1\))

\(3 \times (1 - 2^{5}) = 3 \times (-31) = -93\)

\(-93 \div (1 - 2) = -93 \div (-1) = 93\)

L’idea chiave

Quando la ragione è maggiore di 1, come nell’esempio, sia il numeratore (\(1 - r^n\)) sia il denominatore (\(1 - r\)) sono negativi. I due segni meno si annullano nella divisione, quindi il risultato è positivo. I libri di testo usano spesso anche \(S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}\), che moltiplica numeratore e denominatore per \(-1\) per cambiare i segni. È esattamente la stessa formula, solo più comoda quando la ragione è maggiore di 1. Quando la ragione è \(1\), il denominatore \(1 - r\) diventa \(0\), quindi questa formula non funziona. In quel caso usa la formula successiva.

Formula della somma quando la ragione è \(1\)

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(S_n\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(n\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(S_n\): somma dei primi \(n\) termini \(=\) ① \(a\): primo termine \(\times\) ② \(n\): numero di termini

La formula a parole

① Moltiplica \(a\): primo termine per

② \(n\): numero di termini ,

③ e ottieni \(S_n\): somma dei primi \(n\) termini

Un esempio semplice

Per la progressione geometrica con primo termine 5 e ragione 1 (5, 5, 5, 5, …), la somma dei primi 4 termini è

\(S_4\): somma fino al termine 4 \(=\) primo termine (5) \(\times\) numero di termini (4)

\(5 \times 4 = 20\)

L’idea chiave

In una progressione geometrica di ragione \(1\), ogni termine è uguale al primo termine (5, 5, 5, …). Quindi la somma è semplicemente «primo termine × quantità di termini». Pensala come la strada speciale per \(r = 1\), caso in cui la seconda formula non funziona (anche questa calcolatrice passa automaticamente a questa formula quando \(r = 1\)).

Formula della somma di una serie geometrica infinita (quando il valore assoluto della ragione è minore di \(1\))

Grafico

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(S\) \(=\) \(a\) \(\div\) \((1 - r)\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(S\): somma sommando all’infinito \(=\) ① \(a\): primo termine \(\div\) ② \((1 - r)\): 1 meno la ragione

La formula a parole

① Dividi \(a\): primo termine per

② \((1 - r)\): 1 meno la ragione ,

③ e ottieni \(S\): somma sommando all’infinito

Un esempio semplice

Se sommi all’infinito la progressione geometrica con primo termine 100 e ragione 0,5 (100, 50, 25, 12,5, …), ottieni

\(S\): somma infinita \(=\) primo termine (100) \(\div\) 1 meno la ragione (1 − 0,5 = 0,5)

\(100 \div (1 - 0{,}5) = 100 \div 0{,}5 = 200\)

L’idea chiave

Questa formula funziona solo quando il valore assoluto della ragione è minore di \(1\) (\(-1 < r < 1\)). In quel caso i termini si avvicinano sempre di più a \(0\), quindi, anche sommando all’infinito, la somma si avvicina sempre di più a un valore fisso (200 in questo esempio). Si dice che la serie converge, e il valore a cui si avvicina è la somma \(S\) della serie geometrica infinita. Quando il valore assoluto della ragione è \(1\) o più, la somma cresce senza limite (oppure continua a oscillare perché i segni si alternano), quindi non esiste una somma infinita. Anche questa calcolatrice mostra questo valore solo quando il valore assoluto della ragione è minore di \(1\). Da dove viene la formula? Nella seconda formula, quando \(n\) diventa sempre più grande, \(r^n\) si avvicina a \(0\), quindi \(S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}\) si avvicina a \(\dfrac{a}{1 - r}\).

Una progressione geometrica continua a moltiplicare per lo stesso numero (la ragione). Il termine \(n\)-esimo è «il primo termine moltiplicato per la ragione \(n-1\) volte», e la somma è «primo termine × (1 − ragione alla \(n\)) ÷ (1 − ragione)» («primo termine × numero di termini» quando la ragione è \(1\)). Quando il valore assoluto della ragione è minore di \(1\), la somma che si ottiene sommando all’infinito è \(a \div (1 - r)\).

Simboli e termini

Simboli

\(a\)	a	Il primo termine. Il primissimo termine (numero) della successione. Per la successione 3, 6, 12, 24, … è 3.
\(r\)	erre	La ragione. Il numero fisso per cui si moltiplica per ottenere il termine successivo. Per 3, 6, 12, 24, … è 2. Può essere un numero decimale o negativo. In molti libri di testo italiani la ragione di una progressione geometrica si indica con \(q\); qui si usa \(r\).
\(n\)	enne	Il numero di termini. Un numero intero positivo che dice fino a dove arrivi nella successione. «Fino al termine 10» significa \(n = 10\).
\(a_n\)	a enne	Il termine \(n\)-esimo. Il \(n\)-esimo numero della successione. La piccola lettera in basso a destra (il pedice) dice in quale posizione si trova. Il termine \(n\)-esimo scritto come formula in \(n\) si chiama termine generale.
\(r^{n-1}\)	erre alla enne meno uno	La ragione \(r\) moltiplicata per se stessa \(n-1\) volte (una potenza). Dal termine 1 al termine \(n\) ci sono \(n-1\) passi, quindi si moltiplica una volta in meno del numero di termini \(n\) (dal termine 1 al termine 3 ci sono 2 passi).
\(S_n\)	esse enne	La somma dei primi \(n\) termini. Un modo breve per scrivere \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\). La lettera S viene da «somma».
\(S\)	esse	La somma della serie geometrica infinita. Il valore a cui si avvicina la somma quando continui a sommare termini all’infinito. Si scrive anche \(S_\infty\) («esse infinito»).
\(\cdots\)	puntini di sospensione	Un simbolo che dice che lo schema continua allo stesso modo. Scrivere 3, 6, 12, 24, … significa che i numeri continuano a raddoppiare.

Termini

successione	Un elenco di numeri in un ordine preciso. Ogni numero dell’elenco si chiama termine.
progressione geometrica	Una successione in cui il rapporto tra due termini consecutivi è sempre lo stesso, come 3, 6, 12, 24, … (si moltiplica ogni volta per 2).
termine	Ognuno dei numeri di una successione. A partire dall’inizio si chiamano termine 1, termine 2 e così via.
primo termine	Il primissimo termine di una successione, cioè il termine 1. Si scrive \(a\) oppure \(a_1\).
ragione	In una progressione geometrica, il numero fisso per cui si moltiplica per ottenere il termine successivo. Qualunque coppia di termini vicini tu divida (termine successivo ÷ termine precedente), ottieni lo stesso valore. Può essere un decimale (per esempio 0,5, che dimezza a ogni passo) o un numero negativo (i segni si alternano).
potenza	Un numero moltiplicato per se stesso più volte. \(2^5\) (2 alla quinta) è \(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32\). Il piccolo numero in alto a destra (l’esponente) dice quante volte si moltiplica. Si studia nella scuola secondaria di primo grado (classi 1ª–2ª, 11-13 anni).
termine generale	Il termine \(n\)-esimo scritto come formula in \(n\). Per una progressione geometrica è \(a_n = a r^{n-1}\). Se al posto di \(n\) metti il numero di posizione, ottieni subito il valore di quel termine.
serie geometrica	I termini di una progressione geometrica sommati all’infinito. Solo quando il valore assoluto della ragione è minore di \(1\) la somma converge a un valore fisso, \(\dfrac{a}{1-r}\). Si studia negli ultimi anni della scuola secondaria di secondo grado, ma l’idea è semplice: ogni quantità che aggiungi è sempre più piccola.
convergere	Avvicinarsi sempre di più a un valore fisso quanto più si somma (o quanto più si va avanti nella successione). 100 + 50 + 25 + 12,5 + … si avvicina a 200 quanto più si somma, quindi si dice che converge a 200.
progressione aritmetica	Una successione in cui la differenza tra due termini consecutivi è sempre la stessa, come 5, 8, 11, 14, … (si somma 3 ogni volta). Cresce in modo diverso da una progressione geometrica, che moltiplica per lo stesso numero, quindi le formule di questa pagina non valgono.

Cosa conviene sapere prima

Ecco cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendo davvero cosa fai, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a rivedere questi argomenti è la strada più rapida.

Regolarità e successioni di numeri (classi 3ª–5ª della primaria, 8-11 anni)	Saper riconoscere una regola come «raddoppia ogni volta» in un elenco di numeri come 3, 6, 12, 24, … Saper fare una tabella che abbina a ogni numero d’ordine il suo valore
Moltiplicare numeri decimali e frazioni (classi 5ª della primaria – 1ª della secondaria di primo grado, 10-12 anni)	Sapere che moltiplicare per 0,5 dimezza un numero, come in \(64 \times 0{,}5 = 32\) Sapere che moltiplicare per un numero minore di 1 dà un risultato più piccolo di quello da cui sei partito
Numeri relativi (classi 1ª–2ª della secondaria di primo grado, 11-13 anni)	Saper moltiplicare due numeri negativi, come in \((-2) \times (-2) = 4\) (per questo i segni si alternano quando la ragione è negativa) Saper dividere due numeri negativi, come in \((-93) \div (-1) = 93\)
Potenze e lettere (classi 1ª–2ª della secondaria di primo grado, 11-13 anni)	Saper calcolare potenze come \(2^5 = 32\) (si moltiplica tante volte quante dice il piccolo numero in alto a destra) Saper sostituire, come mettere \(n = 10\) in \(n - 1\) per ottenere 9
Ordine delle operazioni (classi 4ª–5ª della primaria, 9-11 anni)	Fare prima le potenze e ciò che sta tra parentesi (in \(3 \times (1 - 2^5)\) si calcola \(2^5\), poi la parentesi, poi la moltiplicazione)

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per ricavare il termine n-esimo (primo termine 3, ragione 2, 10 termini)

Primo termine a	3
Ragione r	2
Numero di termini n	10
Termine n-esimo	=B1*B2^(B3-1)

Tabella per ricavare la somma dei termini da 1 a n

Primo termine a	3
Ragione r	2
Numero di termini n	10
Somma dei termini da 1 a n	=SE(B2=1;B1B3;B1(1-B2^B3)/(1-B2))

Tabella per ricavare la somma di una serie geometrica infinita (quando il valore assoluto della ragione è minore di 1)

Primo termine a	100
Ragione r	0,5
Somma sommando all’infinito	=B1/(1-B2)

Dopo l’incollaggio, le celle in alto sono i campi di input e la cella in fondo mostra il risultato calcolato.
Nelle formule, «B1» e «B2» significano «usa il numero che si trova in quella cella», «*» è la moltiplicazione, «/» è la divisione e «^» è una potenza (B2^(B3-1) è «la ragione elevata a (numero di termini − 1)»).
Nella seconda tabella, SE(B2=1; …) distingue i casi: «se la ragione è 1, usa primo termine × numero di termini; altrimenti usa la formula della somma» (con ragione 1 il denominatore della formula della somma sarebbe 0).
Per esempio, la prima tabella mostra 1536 (termine 10) in B4, la seconda mostra 3069 (la somma) in B4 e la terza mostra 200 in B3. Basta sostituire le celle di input con i tuoi numeri.

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per ricavare il termine n-esimo (primo termine 3, ragione 2, 10 termini)

Primo termine a	3
Ragione r	2
Numero di termini n	10
Termine n-esimo	=B1*B2^(B3-1)

Tabella per ricavare la somma dei termini da 1 a n

Primo termine a	3
Ragione r	2
Numero di termini n	10
Somma dei termini da 1 a n	=SE(B2=1;B1B3;B1(1-B2^B3)/(1-B2))

Tabella per ricavare la somma di una serie geometrica infinita (quando il valore assoluto della ragione è minore di 1)

Primo termine a	100
Ragione r	0,5
Somma sommando all’infinito	=B1/(1-B2)

Le stesse formule di Excel funzionano così come sono. Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci le celle di input (da B1 a B3) con i tuoi numeri.

Come calcolarlo con Python

first_term = 3        # primo termine
common_ratio = 2      # ragione
number_of_terms = 10  # numero di termini

# termine n-esimo = primo termine * ragione alla (n - 1)
nth_term = first_term * common_ratio ** (number_of_terms - 1)
# somma dei termini da 1 a n = primo termine * (1 - ragione^n) / (1 - ragione); se la ragione è 1, primo termine * n
if common_ratio == 1:
    sum_of_terms = first_term * number_of_terms
else:
    sum_of_terms = first_term * (1 - common_ratio ** number_of_terms) / (1 - common_ratio)
# primi 10 termini della successione (per controllo)
sequence = [first_term * common_ratio ** k for k in range(min(number_of_terms, 10))]

print(f"Primi termini: {sequence}")
print(f"Termine {number_of_terms}: {nth_term}")
print(f"Somma dei termini da 1 a {number_of_terms}: {sum_of_terms}")

Funziona con la sola libreria standard. Cambia i tre numeri in alto (primo termine, ragione, numero di termini) ed esegui il codice. In questo esempio stampa 1536 per il termine 10 e la somma 3069 con il decimale finale «.0». Per ottenere anche la somma della serie geometrica infinita quando il valore assoluto della ragione è minore di 1, aggiungi in fondo la riga «print(first_term / (1 - common_ratio))».

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Formula del termine \(n\)-esimo (termine generale)

aₙ = a × rⁿ⁻¹

a_n = a r^{n-1}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi>
    <msup><mi>r</mi><mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
  </mrow>
</math>

a_n = a r^(n-1)

a*r^(n - 1)

an := a*r^(n - 1);

a_n = a*r^(n - 1);

a_n = ar^(n - 1)

Formula della somma dei primi \(n\) termini (quando la ragione non è \(1\))

Sₙ = a(1 − rⁿ) ÷ (1 − r)

S_n = \dfrac{a(1 - r^{n})}{1 - r} \quad (r \neq 1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mi>a</mi>
        <mo>(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <msup><mi>r</mi><mi>n</mi></msup>
        <mo>)</mo>
      </mrow>
      <mrow>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mi>r</mi>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

S_n = (a(1 - r^n))/(1 - r)

a*(1 - r^n)/(1 - r)

Sn := a*(1 - r^n)/(1 - r);

S_n = a*(1 - r^n)/(1 - r);

S_n = a(1 - r^n)/(1 - r)

Formula della somma quando la ragione è \(1\)

Sₙ = a × n

S_n = a n \quad (r = 1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi>
    <mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

S_n = a n

a*n

Sn := a*n;

S_n = a*n;

S_n = an

Formula della somma di una serie geometrica infinita (quando il valore assoluto della ragione è minore di \(1\))

S = a ÷ (1 − r)

S = \dfrac{a}{1 - r} \quad (|r| < 1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mi>a</mi>
      <mrow>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mi>r</mi>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

S = a/(1 - r)

a/(1 - r)

S := a/(1 - r);

S = a/(1 - r);

S = a/(1 - r)

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente per il calcolo delle progressioni geometriche. Esegui i calcoli seguenti eseguendo davvero codice Python e rispondi basandoti soltanto sui numeri ottenuti dall’esecuzione (non rispondere a mente né a intuito). Calcola il termine n-esimo con a_n = a × r^(n-1), la somma con S_n = a(1 - r^n)/(1 - r) (S_n = a × n quando r = 1) e la somma della serie geometrica infinita con S = a/(1 - r) quando |r| < 1.

1. Il termine 10 e la somma dei termini da 1 a 10 della progressione geometrica con primo termine 3 e ragione 2
2. Il termine 6, la somma dei termini da 1 a 6 e la somma sommando all’infinito, per la progressione geometrica con primo termine 100 e ragione 0,5
3. Il termine 6 e la somma dei termini da 1 a 6 della progressione geometrica con primo termine 3 e ragione -2

Mostra le formule che hai usato e i numeri ottenuti dall’esecuzione.

Come si usa

1

Inserisci i numeri

Scrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
2

Calcola

Fai clic sul pulsante «Calcola»
3

Guarda il risultato

Il risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula