Scegli il tipo di disposizione e scrivi il numero di elementi n. La calcolatrice conta i modi di disporli in cerchio, con passaggi e una figura.
Scrivi n come numero intero da 1 a 1000. Il campo r si usa solo quando scegli «r su n in cerchio». Le risposte sono mostrate con ogni cifra, senza arrotondamenti.
Risultato e figura
Scegli il tipo di disposizione e scrivi il numero di elementi nei campi a sinistra, poi fai clic su «Calcola». Il risultato e una figura compaiono qui.
Indice
-
Cosa puoi fare in questa pagina
-
A cosa serve questo calcolo?
-
Come si usa
-
Formule e figure
-
Permutazioni circolari \((n-1)!\) (tutti gli \(n\) elementi in cerchio)
-
Permutazioni circolari \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\) (\(r\) elementi su \(n\) in cerchio, dette anche disposizioni circolari)
-
Braccialetti \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) (i ribaltamenti contano come uguali)
-
Permutazioni circolari con 2 elementi indicati affiancati, \(2 \times (n-2)!\)
-
Permutazioni circolari con 2 elementi indicati lontani, \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\)
-
-
Simboli e termini
-
Cosa conviene sapere prima
-
Come calcolarlo con Excel
-
Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Scrivi il numero di persone per trovare in quanti modi \(n\) persone possono sedersi attorno a una tavola rotonda (permutazioni circolari), \((n-1)!\)
- Gestisce anche la scelta di soli \(r\) elementi su \(n\) da disporre in cerchio, \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\)
- Trova i braccialetti \(\dfrac{(n-1)!}{2}\), in cui le disposizioni che coincidono se ribaltate contano come uguali, come in una collana (gestisce correttamente anche \(n = 1,\ 2\), dove dividere semplicemente dà una risposta sbagliata)
- Conta le disposizioni in cui 2 persone indicate siedono vicine, o no, con passaggi che trattano i 2 come un unico blocco
- Le risposte sono mostrate con ogni cifra, senza arrotondamenti. Per le risposte lunghe viene aggiunto un valore approssimato come \(1{,}23\times10^{35}\), così vedi la grandezza a colpo d’occhio
- Le figure di cerchi che ruotano mostrano perché \(n!\) si divide per \(n\). In questa pagina trovi anche le formule pronte da copiare per Excel, Fogli Google e Python
Questa pagina presuppone che tutti gli elementi siano diversi tra loro (nessun elemento uguale). Per le disposizioni \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) e le combinazioni \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) di elementi in fila, vedi le pagine correlate in fondo.
A cosa serve questo calcolo?
Organizzare i posti a tavola rotonda (pranzi, riunioni e matrimoni)
A una tavola rotonda, far girare l’intero tavolo non cambia chi siede accanto a chi. Quindi il numero di piani dei posti non è l’\(n!\) di una fila ma le permutazioni circolari \((n-1)!\). Sono 120 modi per 6 persone e 5040 modi per 8 persone.
Richieste come «metti questi 2 vicini (o lontani)» cambiano molto il conteggio. Con 6 persone ci sono 48 modi con 2 persone indicate affiancate e 72 con loro lontane. Invece di tirare a indovinare, puoi sapere esattamente da quanti piani dei posti deve scegliere chi organizza un evento.
Stimare il numero di percorsi di consegna (logistica e problema del commesso viaggiatore)
Pensa a un percorso che visita \(n\) luoghi una volta ciascuno e torna al punto di partenza, contando il deposito come una delle tappe. Lo stesso percorso è lo stesso anello a prescindere da dove parti (rotazione) e, se ogni strada ha la stessa distanza nei due sensi, percorrerlo al contrario dà la stessa distanza (ribaltamento). Quindi il numero di percorsi diversi è uguale ai braccialetti, \(\dfrac{(n-1)!}{2}\).
Con 10 tappe compreso il deposito ci sono 181.440 percorsi e con 15 tappe circa \(4{,}36\times10^{10}\). Provarli tutti per trovare il più breve non è realistico, quindi i programmi di pianificazione dei percorsi usano scorciatoie intelligenti (metodi di ottimizzazione). Questo conteggio è il motivo per cui «basta controllare tutti i percorsi» non funziona.
Progettare braccialetti e collane (bigiotteria)
Il numero di modelli per infilare \(n\) perline di colori o forme diverse in un anello è dato dai braccialetti, \(\dfrac{(n-1)!}{2}\). Un anello è lo stesso pezzo sia che lo giri sia che lo ribalti, quindi le permutazioni circolari si dividono ancora per \(2\). Sono 12 modelli per 5 perline e 60 per 6 perline.
Ma se il pezzo ha un davanti e un dietro distinguibili e non si può indossare ribaltato, per esempio perline decorate solo su un lato, i ribaltamenti non possono contare come uguali. Allora non si divide per \(2\) e si contano le permutazioni circolari \((n-1)!\) (120 per 6 perline). Il fatto che si possa ribaltare o no raddoppia da solo il numero di modelli.
L’ordine dei turni nei giochi da tavolo e di carte
In molti giochi i turni girano attorno al tavolo in un solo verso. Lo schema di «chi gioca dopo chi» non cambia se ruoti tutti i posti, quindi è una permutazione circolare, \((n-1)!\). Sono 6 schemi per 4 giocatori e 24 per 5 giocatori.
Nei giochi in cui partire per primi è un vantaggio, può servire distinguere anche chi comincia. Allora moltiplica i \((n-1)!\) schemi di turno per le \(n\) scelte del primo giocatore e ottieni \(n!\) (24 per 4 giocatori). Tenere separati «solo l’ordine dei posti» e «compreso il primo giocatore» rende più facile pensare a modi equi per decidere.
Organizzare turni a rotazione per i compiti e i turni di lavoro (scuola e lavoro)
Una rotazione che scorre l’elenco in ordine e torna in cima alla fine è lo stesso ciclo a prescindere da chi parte, quindi si conta come una permutazione circolare. Una rotazione di 5 persone ha \((5-1)! = 24\) possibilità.
Aggiungi la condizione «questi 2 non devono essere uno dopo l’altro (affiancati)» e sottrai dal totale i casi in cui sono affiancati: \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\). Per 5 persone si scende a 24 − 12 = 12. La formula mostra chiaramente come una sola condizione dimezzi le scelte.
Formule e figure
Permutazioni circolari \((n-1)!\) (tutti gli \(n\) elementi in cerchio)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(N\)
\(=\)
\(\dfrac{n!}{n}\)
\(=\)
\((n-1)!\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(N\): numero di permutazioni circolari
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{modi di disporre }n\text{ elementi in fila, }n!}{\text{disposizioni che coincidono per rotazione, }n}\)
\(=\)
②
\((n-1)!\): fattoriale di \(n-1\), uno in meno
La formula a parole
①
Il
numero di modi di disporre \(n\) elementi in fila, \(n!\), diviso per le \(n\) disposizioni che coincidono per rotazione
è uguale al
②
\((n-1)!\): fattoriale di \(n-1\), uno in meno
③
e così ottieni il
\(N\): numero di permutazioni circolari
Un esempio semplice
Il numero di modi in cui \(4\) persone possono sedersi attorno a una tavola rotonda è
permutazioni circolari di 4 persone
\(=\)
\(\dfrac{\text{4 persone in fila, }24\text{ modi}}{\text{coincidono per rotazione, }4\text{ modi}}\)
\(=\)
fattoriale di \(3\), \(3!\)
\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)
\(\dfrac{24}{4} = 6\)
\((4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)
L’idea chiave
Quando disponi degli elementi in cerchio, la regola è che le disposizioni che coincidono dopo una rotazione contano come lo stesso 1 modo. Se fai girare una tavola rotonda con tutti seduti, chi siede accanto a chi non cambia affatto.
Il modo più rapido per capire perché si divide per \(n\) è provare con \(4\) persone A, B, C e D. Le file ABCD, BCDA, CDAB e DABC sono tutte diverse come stringhe di lettere. Ma mettendole in cerchio e leggendo in senso orario dall’alto, formano tutte esattamente lo stesso anello: «B è a destra di A, C a destra di B, D a destra di C e A a destra di D». Ognuna sposta semplicemente la prima lettera in fondo.
Quindi ogni anello coincide con esattamente \(n\) file (in un giro completo puoi spostare \(n\) volte, né più né meno). Le \(n!\) file contano ogni anello \(n\) volte, quindi dividere per \(n\) elimina i doppioni e lascia il numero di anelli diversi.
Un altro modo di pensarci è fissare un elemento. Una volta deciso per primo il posto di una persona, non puoi più ruotare la disposizione in un’altra. Le restanti \(n-1\) persone si dispongono semplicemente e si ottengono \((n-1)!\) modi. Arrivi alla stessa risposta senza dividere.
Permutazioni circolari \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\) (\(r\) elementi su \(n\) in cerchio, dette anche disposizioni circolari)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(N\)
\(=\)
\(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
\(N\): numero di modi di disporre in cerchio
\(=\)
①
\(\dfrac{r\text{ elementi su }n\text{ in fila, }{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{\text{disposizioni che coincidono per rotazione, }r}\)
La formula a parole
①
Il
numero di modi di disporre \(r\) elementi su \(n\) in fila, \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\), diviso per le \(r\) disposizioni che coincidono per rotazione
è il
②
\(N\): numero di modi di disporre in cerchio
Un esempio semplice
Il numero di modi di scegliere \(3\) persone su \(8\) e farle sedere a una tavola rotonda per 3 è
permutazioni circolari di 3 persone su 8
\(=\)
\(\dfrac{\text{3 persone su 8 in fila, }336\text{ modi}}{\text{coincidono per rotazione, }3\text{ modi}}\)
\({}_{8}\mathrm{P}_{3} = 8 \times 7 \times 6 = 336\)
\(\dfrac{336}{3} = 112\)
L’idea chiave
Immagina una tavola rotonda con solo \(r\) posti, occupati da persone scelte tra \(n\) candidati. Nel cerchio ci sono solo \(r\) elementi, quindi le disposizioni che coincidono per rotazione si presentano a gruppi di \(r\). Attenzione a non dividere per \(n\) per errore.
Quando \(r = n\), \({}_{n}\mathrm{P}_{n} = n!\), quindi \(\dfrac{n!}{n} = (n-1)!\), che coincide esattamente con la formula precedente. In altre parole, questa è la forma generale e \((n-1)!\) ne è un caso particolare.
Braccialetti \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) (i ribaltamenti contano come uguali)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(M\)
\(=\)
\(\dfrac{(n-1)!}{2}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
\(M\): numero di braccialetti
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{permutazioni circolari, }(n-1)!}{\text{disposizioni che coincidono per ribaltamento, }2}\)
La formula a parole
①
Il
numero di permutazioni circolari \((n-1)!\), diviso per le \(2\) disposizioni che coincidono per ribaltamento
è il
②
\(M\): numero di braccialetti
(quando \(n\) è \(3\) o più)
Un esempio semplice
Il numero di modi di infilare \(5\) perline di colori diversi in un braccialetto è
braccialetti di 5 perline
\(=\)
\(\dfrac{\text{circolari, 5 perline, }24\text{ modi}}{\text{coincidono per ribaltamento, }2\text{ modi}}\)
\((5-1)! = 4! = 24\)
\(\dfrac{24}{2} = 12\)
L’idea chiave
Se ribalti una collana o un braccialetto su un tavolo, destra e sinistra si scambiano. Che tu ruoti l’anello o lo ribalti, è sempre lo stesso gioiello, quindi dividiamo le permutazioni circolari ancora per \(2\). Puoi anche pensarla così: «\(n\) coincidono per rotazione e \(2\) per ribaltamento, quindi le disposizioni si presentano a gruppi di \(2n\)», e scrivere \(\dfrac{n!}{2n}\). È la stessa cosa.
Ciò che separa le permutazioni circolari dai braccialetti è se puoi prendere l’anello e girarlo. Non puoi rovesciare una tavola rotonda con le persone sedute, quindi la disposizione a tavola è una permutazione circolare. Puoi prendere un braccialetto e ribaltarlo, quindi è un braccialetto nel senso del calcolo combinatorio. Se un problema parla di anello, collana, braccialetto, portachiavi o ghirlanda, controlla se i ribaltamenti contano. Questa abitudine evita di confonderli.
Attenzione a \(n = 1\) e \(n = 2\). Un anello di 1 o 2 perline è esattamente uguale se lo ribalti. Le disposizioni non si presentano a coppie, quindi usando la formula così com’è si ottiene \(\dfrac{1}{2}\) modo. La risposta giusta è \(1\) modo in entrambi i casi (questa calcolatrice gestisce questi casi in automatico).
Per \(n = 3\) o più, ogni disposizione si accoppia sempre con la sua versione ribaltata, quindi dividere per \(2\) le conta correttamente.
Permutazioni circolari con 2 elementi indicati affiancati, \(2 \times (n-2)!\)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(A\)
\(=\)
\((n-2)!\)
\(\times\)
\(2\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(A\): disposizioni con i 2 affiancati
\(=\)
①
\((n-2)!\): permutazioni circolari di \(n-1\) cose, con il blocco come una
\(\times\)
②
\(2\): ordini dei 2 dentro il blocco
La formula a parole
①
Prendi le
\((n-2)!\): permutazioni circolari di \(n-1\) cose, considerando come un blocco i 2 che devono stare vicini
②
moltiplicale per i
\(2\): ordini dei 2 dentro il blocco
③
e ottieni le
\(A\): disposizioni con i 2 affiancati
Un esempio semplice
Quando \(6\) persone siedono attorno a una tavola rotonda, il numero di modi in cui Marco e Giulia siedono vicini è
modi con i 2 affiancati
\(=\)
circolari, 5 cose con i 2 come blocco, \(4!\)
\(\times\)
ordini dei 2 nel blocco, \(2\)
\((6-2)! = 4! = 24\)
\(24 \times 2 = 48\)
L’idea chiave
Per la condizione «devono stare affiancati», la mossa standard è legare i 2 insieme in un unico blocco. Se 2 persone su 6 diventano un blocco, ci sono 5 cose da disporre in cerchio, «il blocco più le altre 4 persone». È una permutazione circolare di 5 cose, quindi \((5-1)! = 4!\) modi.
Infine, moltiplica per i \(2\) ordini dentro il blocco, «Marco poi Giulia» o «Giulia poi Marco». L’insidia più grande è dimenticare di moltiplicare per l’ordine dentro il blocco una volta che lo hai formato.
\(n = 2\) è l’unica eccezione. Con solo 2 persone, sono sempre vicine, quindi la risposta è \(1\) modo. Ma la formula del blocco così com’è dà \(2 \times 0! = 2\) modi (questa calcolatrice gestisce questo caso in automatico).
Permutazioni circolari con 2 elementi indicati lontani, \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(B\)
\(=\)
\((n-1)!\)
\(-\)
\((n-2)!\)
\(\times\)
\(2\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
\(B\): disposizioni con i 2 lontani
\(=\)
①
\((n-1)!\): permutazioni circolari senza condizioni
\(-\)
②
\((n-2)!\): permutazioni circolari di \(n-1\) cose, con il blocco come una
\(\times\)
③
\(2\): ordini dei 2 dentro il blocco
La formula a parole
①
Dalle
\((n-1)!\): permutazioni circolari senza condizioni
②
sottrai le
\((n-2)!\): permutazioni circolari di \(n-1\) cose, considerando i 2 come un blocco
③
per i
\(2\): ordini dei 2 dentro il blocco
(questo prodotto è il numero di disposizioni con i 2 affiancati)
④
e ottieni le
\(B\): disposizioni con i 2 lontani
Un esempio semplice
Quando \(6\) persone siedono attorno a una tavola rotonda, il numero di modi in cui Marco e Giulia non siedono vicini è
modi con i 2 lontani
\(=\)
circolari, 6 persone, \(5!\)
\(-\)
circolari, 5 cose con i 2 come blocco, \(4!\)
\(\times\)
ordini dei 2 nel blocco, \(2\)
\((6-1)! = 5! = 120\)
\(2 \times (6-2)! = 2 \times 24 = 48\)
\(120 - 48 = 72\)
L’idea chiave
Contare «non affiancati» di petto vuol dire molti casi su dove può andare ciascuna persona. Invece, sottrai «le disposizioni in cui sono affiancati» da «tutte le disposizioni». Contare l’opposto di ciò che vuoi (l’evento contrario) e sottrarlo dal totale è una tecnica standard.
Semplificando, puoi scrivere anche \((n-1)! - 2(n-2)! = (n-1)(n-2)! - 2(n-2)! = (n-3) \times (n-2)!\). Con \(n = 3\) si ottiene \(0 \times 1! = 0\) modi. A una tavola rotonda per 3 ogni coppia è sempre affiancata, quindi \(0\) modi è proprio corretto.
In un cerchio, le disposizioni che coincidono dopo una rotazione contano come lo stesso 1 modo, quindi gli \(n!\) modi in fila si dividono per \(n\), e si ottengono \((n-1)!\) modi. Se anche il ribaltamento conta come uguale, come in una collana o in un braccialetto (braccialetti), si divide ancora per \(2\) e si ottengono \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) modi (l’unica eccezione è \(n \le 2\), che dà \(1\) modo).
Simboli e termini
Simboli
| \(n\) | enne | Il numero totale di elementi da disporre. Viene da «numero» ed è usato spesso per le quantità. In questa pagina è il numero di persone a una tavola rotonda o il numero di perline su un anello. |
| \(r\) | erre | Il numero di elementi scelti tra gli \(n\) e davvero disposti. Si usa insieme a \(n\), come in \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\), che si legge «\(r\) su \(n\)». |
| \(n!\) | enne fattoriale | Il fattoriale, \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\), il numero di modi di disporre tutti gli \(n\) elementi in fila. Si dice che il punto esclamativo sia stato introdotto nel 1808 dal matematico francese Christian Kramp. Per definizione, \(0! = 1\). |
| \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) | enne P erre | Le disposizioni. Il numero di modi di scegliere \(r\) elementi su \(n\) e disporli in fila, calcolato come \({}_{n}\mathrm{P}_{r} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)\). \(\mathrm{P}\) è l’iniziale dell’inglese «permutation». Si scrive anche \(D_{n,r}\) o \(P(n, r)\). |
| \(N\) | N maiuscola | La lettera usata in questa pagina per il numero di permutazioni circolari. È l’iniziale maiuscola di «numero» ed è spesso usata per una quantità da trovare. |
| \(M\) | emme maiuscola | La lettera usata in questa pagina per il numero di braccialetti. È la lettera vicina a \(N\), usata quando serve un’altra quantità distinta da \(N\). |
| \(A,\ B\) | A, B | In questa pagina, \(A\) è il numero di disposizioni con 2 elementi indicati affiancati e \(B\) è il numero di quelle con i 2 lontani. Le lettere dell’inizio dell’alfabeto si usano per convenzione per le quantità fisse che vuoi trovare. |
| \((n-1)!\) | n meno 1 fattoriale | L’espressione del numero di permutazioni circolari. È ciò che resta dopo aver tolto i doppioni di \(n\) volte dovuti alle rotazioni quando \(n\) elementi sono disposti in cerchio. Pensando «fissa un elemento e disponi gli altri \(n-1\)» si ottiene la stessa espressione. |
Termini
| numero di modi | Quanti modi diversi ci sono in tutto per fare qualcosa che rispetta una condizione. Ogni domanda che chiede «in quanti modi?» chiede un numero di modi (calcolo combinatorio). |
| disposizione | Una disposizione di elementi in cui l’ordine conta, o il numero di tali disposizioni. Disporre in fila si chiama permutazione semplice (lineare) quando si usano tutti gli elementi, e si conta con \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) quando se ne scelgono \(r\). |
| permutazione semplice | Una normale permutazione in una fila retta, chiamata così per distinguerla da una permutazione circolare. Una fila ha delle estremità, quindi spostandola si ottiene una disposizione diversa. |
| permutazione circolare | Una disposizione di elementi in cerchio (un anello). Per regola, le disposizioni che coincidono dopo una rotazione contano come lo stesso 1 modo, quindi \(n\) elementi danno \((n-1)!\) modi. Se se ne scelgono solo \(r\) su \(n\) si parla di disposizioni circolari. |
| braccialetto (collana) | Una permutazione circolare in cui anche le disposizioni che coincidono dopo un ribaltamento contano come lo stesso 1 modo. Si usa per gli anelli che si possono rovesciare, come braccialetti e collane, e dà \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) modi quando \(n\) è \(3\) o più. (In combinatoria in senso stretto la collana considera uguali solo le rotazioni, mentre il braccialetto considera uguali anche i ribaltamenti.) |
| fattoriale | Il prodotto di tutti i numeri interi da \(1\) a \(n\) (si scrive \(n!\)). È uguale al numero di modi di disporre \(n\) elementi in fila e cresce in modo esplosivo al crescere di \(n\) (\(10! = 3.628.800\)). |
| coincidenza per rotazione | Quando girare un anello così com’è lo rende esattamente uguale a un’altra disposizione. Nelle permutazioni circolari tali disposizioni non si distinguono e contano come lo stesso 1 modo. Un giro completo dà \(n\) disposizioni coincidenti. |
| coincidenza per ribaltamento | Quando rovesciare un anello (invertendo destra e sinistra, come in uno specchio) lo rende uguale a un’altra disposizione. Nei braccialetti anche queste contano come lo stesso 1 modo. |
| blocco | Legare insieme gli elementi che devono stare affiancati e trattarli come un unico elemento. Il numero totale scende di 1 e alla fine si moltiplica per il numero di ordini dentro il blocco. |
| evento contrario | Tutti i casi in cui una condizione non si verifica, indicato con \(A^c\). Una condizione difficile da contare direttamente, come «non affiancati», si trova sottraendo dal totale i casi «affiancati». |
| doppio conteggio | Contare la stessa cosa due o più volte. Nelle permutazioni circolari ogni anello è contato \(n\) volte, quindi alla fine si divide per \(n\) per eliminare i doppioni. |
| fissare un elemento | Un modo standard di pensare alle permutazioni circolari. Una volta deciso per primo il posto di una persona, la disposizione non si può più ruotare in un’altra, quindi è come disporre in fila gli altri \(n-1\) elementi. |
| principio fondamentale del calcolo combinatorio | La regola di conteggio per cui, se ci sono \(a\) modi di decidere A e, per ciascuno, \(b\) modi di decidere B, in tutto ci sono \(a \times b\) modi. Si chiama anche principio della moltiplicazione. Moltiplicare le permutazioni circolari del blocco per i \(2\) ordini usa questa regola. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, ripassare gli argomenti di questa tabella è la via più rapida per andare avanti.
| Calcolo combinatorio di base (scuola secondaria di secondo grado) |
|
| Disposizioni, permutazioni e fattoriali (scuola secondaria di secondo grado) |
|
| Usare la divisione per eliminare i doppioni (classi 3ª–5ª della primaria, 8-11 anni) |
|
| Rotazioni e simmetrie delle figure (classe 5ª della primaria e secondaria di primo grado, 10-14 anni) |
|
| L’evento contrario (scuola secondaria di secondo grado) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per trovare le permutazioni circolari (n−1)!
| Numero di elementi n | 8 |
| Permutazioni circolari (n−1)! | =FATTORIALE(B1-1) |
Tabella per trovare le permutazioni circolari di r elementi su n
| Elementi totali n | 8 |
| Numero in cerchio r | 3 |
| Modi in fila nPr | =PERMUTAZIONE(B1;B2) |
| Permutazioni circolari nPr÷r | =B3/B2 |
Tabella per trovare i braccialetti (n−1)!÷2
| Numero di elementi n | 5 |
| Numero di braccialetti | =SE(B1<=2;1;FATTORIALE(B1-1)/2) |
Tabella per trovare le permutazioni circolari con 2 elementi indicati affiancati o lontani
| Numero di elementi n | 6 |
| Senza condizioni (n−1)! | =FATTORIALE(B1-1) |
| 2 affiancati 2×(n−2)! | =2*FATTORIALE(B1-2) |
| 2 lontani | =B2-B3 |
Dopo aver incollato, le righe in alto (i numeri di elementi) sono i tuoi dati e le righe in basso si calcolano da sole.
FATTORIALE calcola il fattoriale (n!) e PERMUTAZIONE calcola le disposizioni (nPr).
La prima tabella è 8 persone a una tavola rotonda e la risposta è 5040.
La seconda tabella fa sedere 3 persone su 8 a una tavola rotonda: nPr è 336 e dividendo per r si ottiene 112.
La funzione SE della terza tabella gestisce il caso in cui n è 2 o meno, quando non si deve dividere per 2. Scrivi 5 per n e ottieni 12.
La quarta tabella è l’esempio di 6 persone a una tavola rotonda: 120 senza condizioni, 48 affiancati e 72 lontani.
FATTORIALE calcola il fattoriale (n!) e PERMUTAZIONE calcola le disposizioni (nPr).
La prima tabella è 8 persone a una tavola rotonda e la risposta è 5040.
La seconda tabella fa sedere 3 persone su 8 a una tavola rotonda: nPr è 336 e dividendo per r si ottiene 112.
La funzione SE della terza tabella gestisce il caso in cui n è 2 o meno, quando non si deve dividere per 2. Scrivi 5 per n e ottieni 12.
La quarta tabella è l’esempio di 6 persone a una tavola rotonda: 120 senza condizioni, 48 affiancati e 72 lontani.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per trovare le permutazioni circolari (n−1)!
| Numero di elementi n | 8 |
| Permutazioni circolari (n−1)! | =FATTORIALE(B1-1) |
Tabella per trovare le permutazioni circolari di r elementi su n
| Elementi totali n | 8 |
| Numero in cerchio r | 3 |
| Modi in fila nPr | =PERMUTAZIONE(B1;B2) |
| Permutazioni circolari nPr÷r | =B3/B2 |
Tabella per trovare i braccialetti (n−1)!÷2
| Numero di elementi n | 5 |
| Numero di braccialetti | =SE(B1<=2;1;FATTORIALE(B1-1)/2) |
Tabella per trovare le permutazioni circolari con 2 elementi indicati affiancati o lontani
| Numero di elementi n | 6 |
| Senza condizioni (n−1)! | =FATTORIALE(B1-1) |
| 2 affiancati 2×(n−2)! | =2*FATTORIALE(B1-2) |
| 2 lontani | =B2-B3 |
Le stesse formule di Excel (FATTORIALE, PERMUTAZIONE e SE) funzionano così come sono. Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri di elementi con i tuoi.
Come calcolarlo con Python
from math import factorial, perm
n = 8 # numero di elementi
r = 3 # numero da disporre in cerchio (quando se ne scelgono r su n)
# permutazioni circolari: tutti gli n elementi in cerchio
circular = factorial(n - 1)
# permutazioni circolari: r elementi su n in cerchio
circular_select = perm(n, r) // r
# braccialetti: i ribaltamenti contano come uguali
# quando n è 1 o 2, ribaltando non cambia la disposizione, quindi è 1 modo senza dividere per 2
necklace = 1 if n <= 2 else factorial(n - 1) // 2
# permutazioni circolari con 2 elementi indicati affiancati / lontani (per n di 3 o più)
adjacent = 2 * factorial(n - 2)
not_adjacent = factorial(n - 1) - adjacent
print(f"Permutazioni circolari: {circular}")
print(f"Permutazioni circolari di {r} su {n}: {circular_select}")
print(f"Braccialetti: {necklace}")
print(f"Affiancati: {adjacent} Lontani: {not_adjacent}")
Funziona con la sola libreria standard math (perm richiede Python 3.8 o successivo). Per dividere numeri interi usa «//», che non trasforma il risultato in un decimale. Avviando questo esempio compaiono permutazioni circolari 5040, permutazioni circolari di 3 su 8 = 112, braccialetti 2520, affiancati 1440 e lontani 3600. Cambia n e r e avvia il codice.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Permutazioni circolari \((n-1)!\) (tutti gli \(n\) elementi in cerchio)
N = n! ÷ n = (n−1)!
N = \frac{n!}{n} = (n-1)!
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</math>
N = (n!)/n = (n-1)!
N = (n - 1)!
N := (n-1)!;
N = factorial(n-1);
N = n!/n = (n-1)!
Permutazioni circolari \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\) (\(r\) elementi su \(n\) in cerchio, dette anche disposizioni circolari)
N = ₙPᵣ ÷ r
N = \frac{{}_{n}P_{r}}{r}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mmultiscripts><mi>P</mi><mi>r</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts></mrow>
<mi>r</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
N = (nPr)/r
N = (n!/(n - r)!)/r
N := numbperm(n, r)/r;
N = nchoosek(n,r)*factorial(r)/r;
N = nPr/r
Braccialetti \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) (i ribaltamenti contano come uguali)
M = (n−1)! ÷ 2
M = \frac{(n-1)!}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>M</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
M = ((n-1)!)/2
M = (n - 1)!/2
M := (n-1)!/2;
M = factorial(n-1)/2;
M = (n-1)!/2
Permutazioni circolari con 2 elementi indicati affiancati, \(2 \times (n-2)!\)
A = 2 × (n−2)!
A = 2 \times (n-2)!
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>A</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</math>
A = 2 * (n-2)!
A = 2 (n - 2)!
A := 2*(n-2)!;
A = 2*factorial(n-2);
A = 2(n-2)!
Permutazioni circolari con 2 elementi indicati lontani, \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\)
B = (n−1)! − 2 × (n−2)!
B = (n-1)! - 2 \times (n-2)!
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>B</mi>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
<mo>−</mo>
<mn>2</mn>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</math>
B = (n-1)! - 2 * (n-2)!
B = (n - 1)! - 2 (n - 2)!
B := (n-1)! - 2*(n-2)!;
B = factorial(n-1) - 2*factorial(n-2);
B = (n-1)! - 2(n-2)!
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per il calcolo di matematica (calcolo combinatorio). Fai il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con calcoli a mente o a caso). 8 persone siedono attorno a una tavola rotonda. Trova queste 4 cose: 1. Le permutazioni circolari di tutte e 8 le persone (le disposizioni che coincidono dopo una rotazione contano come lo stesso 1 modo) 2. Il numero di modi di scegliere 3 persone su 8 e farle sedere a una tavola rotonda per 3 3. I braccialetti di 8 perline infilate in un anello (le disposizioni che coincidono dopo una rotazione o un ribaltamento contano come 1 modo) 4. Alla tavola rotonda di 8, il numero di disposizioni in cui 2 persone indicate siedono vicine e quello in cui non siedono vicine In Python calcola in modo esatto con il modulo math della libreria standard (factorial e perm) e mostra le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione. Spiega anche perché ogni formula ha quella forma.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
I punti di forza di DataChef
Semplice e gratuito
Conversioni gratuite e illimitate
Nessuna competenza richiesta, semplice e intuitivo
Nessuna competenza richiesta, semplice e intuitivo
Senza registrazione
Pronto all'uso appena apri la pagina
Nessun dato personale richiesto
Nessun dato personale richiesto
Sicuro e affidabile
Connessione fortemente crittografata (SSL)
Il file viene eliminato automaticamente dopo il download
Il file viene eliminato automaticamente dopo il download
Veloce
Visualizzazione e conversione rapide, senza attese
Senza filigrana
Nessuna filigrana
Nessun obbligo di attribuzione
Nessun obbligo di attribuzione
Uso commerciale consentito
Uso commerciale gratuito
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Funzioni correlate
Calcolatrice di disposizioni e combinazioni (nPr, nCr)
Trova le disposizioni nPr per ordinare in fila e le combinazioni nCr per scegliere senza ordine
Calcolatrice di disposizioni e combinazioni con ripetizione
Conta i modi quando lo stesso elemento si può scegliere più volte e le permutazioni con elementi uguali
