Convertitore tra coordinate polari e cartesiane (r e θ, correzione del quadrante e grafico)

Scegli il verso della conversione e scrivi i numeri. Per «cartesiane → polari» scrivi l’ascissa e l’ordinata. Per «polari → cartesiane» scrivi il raggio polare r e l’angolo θ (e scegli la sua unità).

Conversione

Ascissa x

Ordinata y

Raggio polare r

Angolo θ

Unità dell’angolo

Scrivi solo numeri. Vanno bene numeri decimali, numeri negativi e frazioni come 3/4. Una x o una y lasciata vuota vale 0.

Risultato e figura

Scrivi i numeri nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compaiono il risultato e una figura del piano cartesiano.

Indice

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Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formule e figure
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Converti le coordinate cartesiane \(P(x ;\ y)\) in coordinate polari \(P(r ;\ \theta)\) subito. Il raggio polare è dato come valore esatto con la radice semplificata, come \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), e per gli angoli notevoli l’angolo è dato in modo esatto come frazione di π
L’angolo \(\theta\) è dato soprattutto nell’intervallo \(0 \le \theta < 2\pi\), con anche il valore per \(-\pi < \theta \le \pi\), così puoi controllare la tua risposta qualunque intervallo usi il tuo libro
Puoi convertire anche nel verso opposto (da polari a cartesiane). Scrivi il raggio polare \(r\) e l’angolo \(\theta\) (in gradi, come frazione di π o in radianti come numero decimale) e ottieni \(x = r\cos\theta\) e \(y = r\sin\theta\) come valori esatti, per esempio \(\left(-2 ;\ 2\sqrt{3}\right)\)
I passaggi mostrano, uno alla volta, come l’angolo si decide da \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\) e dal quadrante in cui si trova il punto (la correzione del quadrante)
Puoi controllare il risultato in una figura del piano cartesiano. Cerchi concentrici chiari (una scala per il raggio polare) e semirette (una scala per l’angolo) mostrano a colpo d’occhio dove stanno il raggio \(r\) e l’angolo \(\theta\)

Questa pagina riguarda le coordinate polari nel piano, come si studiano alla scuola secondaria di secondo grado. Per \(x\) e \(y\) cartesiane puoi scrivere frazioni e numeri decimali (numeri razionali), ma non numeri irrazionali come √3. Con questi dati l’angolo viene come frazione esatta di π solo quando il punto è su un asse o su un angolo della famiglia dei 45°. (Per gli angoli di 30° e 60°, tanθ è irrazionale, come 1/√3, quindi non possono venire da \(x\) e \(y\) razionali.) Nel verso opposto, da polari a cartesiane, ogni angolo notevole multiplo di 30° o di 45° si calcola in modo esatto. Molti testi italiani indicano il raggio polare con \(\rho\) e l’angolo con \(\theta\); qui il raggio è \(r\).

A cosa serve questo calcolo?

Controllo del traffico aereo e radar delle navi (posizione con distanza e rotta)

Il radar di un aeroporto e il radar di una nave misurano «la distanza da qui» con il tempo che impiega un impulso radio a tornare indietro e «la rotta» con la direzione in cui punta l’antenna. Quindi ciò che misurano sono fin dall’inizio coordinate polari \(\left(r ;\ \theta\right)\).
Ma lo schermo del controllore e le carte nautiche sono costruiti su coordinate orizzontali e verticali, quindi dentro l’apparecchio la distanza e la rotta misurate sono convertite in coordinate cartesiane con \(x = r\cos\theta\) e \(y = r\sin\theta\). La conversione di questa pagina è ciò che collega un dispositivo che misura con distanza e direzione a uno schermo che disegna in orizzontale e in verticale.

I sensori di distanza delle auto a guida autonoma e dei robot aspirapolvere

I sensori laser di distanza (LiDAR) delle auto a guida autonoma e dei robot aspirapolvere ruotano e fanno un numero enorme di misure del tipo «qualcosa ha riflesso il raggio a questa distanza in questa direzione». Ogni misura è una coppia di direzione (angolo) e distanza, cioè coordinate polari.
Per costruire una mappa dai punti raccolti, ogni punto viene convertito in coordinate cartesiane e poi combinato. Mappare l’ambiente e poi pianificare un percorso è il flusso di base della guida autonoma, e questa conversione di coordinate è il punto di partenza.

Il radar meteorologico e le mappe del percorso delle perturbazioni

Anche il radar meteorologico emette onde radio mentre ruota l’antenna e riceve i riflessi della pioggia e della neve come «direzione e distanza». Le immagini della pioggia nelle previsioni in TV sono questi dati polari convertiti nelle coordinate orizzontali e verticali di una mappa.
Dire la posizione di una perturbazione come «150 km a sud-sudest di Palermo» è anch’esso il modo di pensare polare, e la conversione in coordinate cartesiane avviene quando il punto viene segnato su una mappa.

Progettare macchine e giostre che girano in tondo

Per le cose che girano attorno a un centro, come le cabine di una ruota panoramica, i denti di un ingranaggio o le pale di un ventilatore, il progetto diventa più semplice se pensi «la distanza dal centro è fissa e cambia solo la direzione». Nelle coordinate polari basta fissare la distanza \(r\) e cambiare l’angolo \(\theta\), il che rende molto facile posizionare i pezzi.
Ma i disegni e le macchine utensili a controllo numerico (CNC) prendono coordinate orizzontali e verticali, quindi alla fine ogni posizione viene convertita in coordinate cartesiane prima di essere consegnata.

Disposizioni e movimenti circolari nella computer grafica e nei giochi

Disporre dei nemici in modo uniforme attorno all’eroe, sparare proiettili in tutte le direzioni, far orbitare una telecamera attorno a un bersaglio: sono cose che si pensano più naturalmente con «distanza dal centro» e «angolo», e dividere l’angolo in parti uguali decide la disposizione.
Lo schermo è disegnato in coordinate orizzontali e verticali, quindi a ogni fotogramma le posizioni sono convertite con \(x = r\cos\theta\) e \(y = r\sin\theta\). Questa conversione è il motivo per cui il moto circolare è facile da programmare.

Formule e figure

Da coordinate polari a cartesiane (due modi di dare la posizione di un punto)

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(x\) \(=\) \(r\) \(\cos\theta\)

\(y\) \(=\) \(r\) \(\sin\theta\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ ascissa \(x\) \(=\) ① \(r\): raggio polare ② coseno dell’angolo \(\theta\)

④ ordinata \(y\) \(=\) \(r\): raggio polare seno dell’angolo \(\theta\)

La formula a parole

① Prendi la distanza dal polo (l’origine), il raggio polare \(r\)

② moltiplicalo per il coseno dell’angolo \(\theta\), \(\cos\theta\)

③ e ottieni l’ ascissa \(x\)

④ Moltiplica lo stesso raggio polare per il seno \(\sin\theta\) e ottieni l’ ordinata \(y\)

Un esempio semplice

Convertendo le coordinate polari \(P\left(2 ;\ \dfrac{\pi}{3}\right)\) (distanza 2 dal polo, direzione di 60° dall’asse polare) in coordinate cartesiane si ottiene

ascissa \(x\) \(=\) raggio polare \(2\) \(\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}\)

ordinata \(y\) \(=\) raggio polare \(2\) \(\sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(x = 2\cos\dfrac{\pi}{3} = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1\)

\(y = 2\sin\dfrac{\pi}{3} = 2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\)

\(P\left(2 ;\ \dfrac{\pi}{3}\right) \rightarrow P\left(1 ;\ \sqrt{3}\right)\)

L’idea chiave

Sono due modi di descrivere la posizione dello stesso punto. «Vai di \(x\) verso destra e di \(y\) verso l’alto» sono le coordinate cartesiane \((x ;\ y)\). «Vai a distanza \(r\) da un punto di riferimento, nella direzione ruotata di \(\theta\) rispetto a una direzione di riferimento» sono le coordinate polari \((r ;\ \theta)\). Quando ti dai appuntamento con un amico, è la differenza tra «300 metri a est e 400 metri a nord della stazione» e «a 500 metri dalla stazione, più o meno verso nord-est». Il punto di riferimento delle coordinate polari si chiama polo e la direzione di riferimento (la semiretta che parte dal polo verso destra) si chiama asse polare. Quando sovrapponi le coordinate polari al piano cartesiano, il polo va sull’origine e l’asse polare sul semiasse positivo delle \(x\). Per capire perché \(x = r\cos\theta\) e \(y = r\sin\theta\), pensa alla circonferenza di raggio 1 (la circonferenza goniometrica). Sulla circonferenza goniometrica, il punto nella direzione dell’angolo \(\theta\) ha posizione orizzontale \(\cos\theta\) e posizione verticale \(\sin\theta\). Se il raggio è \(r\), tutta la figura è ingrandita \(r\) volte, quindi entrambe le posizioni sono moltiplicate per \(r\).

Raggio polare \(r\) (distanza dal polo)

Notazione matematica (la notazione abituale)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

\(r\) \(=\) \(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\)

② \(r\): raggio polare \(=\) ① radice quadrata della somma dei quadrati di \(x\) e \(y\)

La formula a parole

① La radice quadrata di \(x\) al quadrato più \(y\) al quadrato, \(\sqrt{x^2 + y^2}\),

② è il raggio polare \(r\)

Un esempio semplice

Il raggio polare del punto \(P\left(3 ;\ 4\right)\) è

raggio polare \(r\) \(=\) \(\sqrt{3^2 + 4^2}\)

\(r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

L’idea chiave

È proprio il teorema di Pitagora della scuola secondaria di primo grado. Unisci l’origine, il punto \((x ;\ 0)\) e \(P\) e ottieni un triangolo rettangolo con cateti \(x\) e \(y\). La distanza dall’origine a \(P\) (l’ipotenusa) è \(\sqrt{x^2 + y^2}\). La radice nel risultato si scrive di solito in forma semplificata, portando fuori i fattori quadrati, come in \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). Anche questa calcolatrice mostra la forma semplificata. Nelle coordinate polari il raggio polare \(r\) è considerato maggiore o uguale a 0. Una distanza non è mai negativa, quindi la \(r\) che ottieni dalla conversione non è mai negativa.

Angolo \(\theta\) (da tanθ e dal quadrante)

Notazione matematica (la notazione abituale)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

\(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{y}{x}\)

② tangente dell’angolo \(\theta\) \(=\) ① \(y\) diviso \(x\)

La formula a parole

① Il rapporto tra l’ordinata e l’ascissa, \(y\) diviso \(x\)

② è la tangente dell’angolo \(\theta\), \(\tan\theta\) (da solo questo non fissa \(\theta\), quindi lo restringi con il quadrante in cui si trova \(P\))

Un esempio semplice

L’angolo del punto \(P\left(-1 ;\ 1\right)\) (\(x\) è negativo e \(y\) è positivo, quindi il punto è nel secondo quadrante) è

tangente \(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\tan\theta = \dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\theta = \dfrac{3}{4}\pi \quad \left(x < 0,\ y > 0\right)\)

L’idea chiave

Nell’intervallo \(0 \le \theta < 2\pi\) ci sono due angoli con \(\tan\theta = -1\): \(\dfrac{3}{4}\pi\) (135°) e \(\dfrac{7}{4}\pi\) (315°). Quale è giusto dipende dal quadrante del punto \(P\). \(P(-1 ;\ 1)\) ha \(x\) negativa e \(y\) positiva, quindi è nel secondo quadrante (in alto a sinistra) e scegliamo \(\theta = \dfrac{3}{4}\pi\). Questa è la correzione del quadrante. L’\(\arctan\) (arcotangente) di una calcolatrice o di un foglio di calcolo restituisce solo angoli tra \(-\dfrac{\pi}{2}\) e \(\dfrac{\pi}{2}\), quindi per i punti nel secondo e nel terzo quadrante non dà direttamente l’angolo. Devi correggere l’angolo che esce da \(\arctan\), per esempio aggiungendo \(\pi\) a seconda del quadrante. (Questa calcolatrice mostra la correzione nei passaggi.) Per un punto con \(x = 0\) (sull’asse \(y\)), \(\dfrac{y}{x}\) non si può calcolare. In quel caso decidi dalla figura che \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) oppure \(\dfrac{3}{2}\pi\). Se vuoi un metodo che funzioni per ogni punto, scegli la \(\theta\) che soddisfa insieme \(\cos\theta = \dfrac{x}{r}\) e \(\sin\theta = \dfrac{y}{r}\). Così non devi distinguere i casi dei quadranti.

Lo stesso punto ha più di una coppia di coordinate polari

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(P\left(r,\ \theta\right)\) \(=\) \(P\left(r,\ \theta + 2n\pi\right)\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

① punto \(P\) di coordinate polari \(\left(r ;\ \theta\right)\) \(=\) ② punto con \(n\) giri interi \(2\pi\) aggiunti all’angolo

La formula a parole

① Il punto \(P\) di coordinate polari \(\left(r ;\ \theta\right)\)

② e il punto con \(n\) giri interi \(2\pi\) aggiunti all’angolo sono lo stesso punto (\(n\) è un numero intero)

Un esempio semplice

Altre coordinate polari dello stesso punto \(P\left(2 ;\ \dfrac{\pi}{3}\right)\) sono

\(P\left(2 ;\ \dfrac{\pi}{3}\right)\) \(=\) \(P\left(2 ;\ \dfrac{7}{3}\pi\right)\) \(=\) \(P\left(2 ;\ -\dfrac{5}{3}\pi\right)\)

\(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{6}{3}\pi = \dfrac{7}{3}\pi\)

\(\dfrac{\pi}{3} - 2\pi = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{6}{3}\pi = -\dfrac{5}{3}\pi\)

L’idea chiave

Nelle coordinate cartesiane ogni punto ha esattamente una coppia \((x ;\ y)\), ma le coordinate polari sono diverse. Dopo un giro intero (\(2\pi\) = 360°) si guarda di nuovo nella stessa direzione, quindi aggiungere o togliere \(2\pi\) all’angolo un numero qualsiasi di volte dà lo stesso punto. Poiché la risposta così com’è non è fissata, quando la dai concordi un intervallo. I due più comuni sono \(0 \le \theta < 2\pi\) (0° o più e meno di 360°) e \(-\pi < \theta \le \pi\) (più di −180° e fino a 180°), e i testi differiscono su quale usano. Questa calcolatrice mostra entrambe le risposte. Il polo (l’origine) è speciale. La sua distanza è 0, quindi \(r = 0\), ma non ha una direzione, quindi l’angolo non è fissato. Le coordinate polari del polo si scrivono \(\left(0 ;\ \theta\right)\) (\(\theta\) è un valore qualsiasi), di solito \(\left(0 ;\ 0\right)\).

Un punto del piano si può scrivere in coordinate cartesiane \(\left(x ;\ y\right)\) (posizione orizzontale e verticale) o in coordinate polari \(\left(r ;\ \theta\right)\) (distanza dal polo e direzione dall’asse polare). Da polari a cartesiane si usano \(x = r\cos\theta\) e \(y = r\sin\theta\). Nel verso opposto si usano \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) e \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\), più la correzione del quadrante che sceglie l’angolo in base al quadrante del punto. Un angolo spostato di giri interi dà lo stesso punto, quindi le risposte si danno in un intervallo fissato come \(0 \le \theta < 2\pi\).

Simboli e termini

Simboli

\(P\)	pi	Una lettera usata spesso per un punto del piano, dall’iniziale di «punto». Le coordinate del punto si scrivono tra parentesi dopo la lettera, come in \(P\left(1 ;\ 2\right)\).
\(O\)	o	La lettera dell’origine (il polo). Nelle coordinate polari le distanze si misurano da questo punto.
\(x,\ y\)	ics, ipsilon	Le posizioni orizzontale (direzione dell’asse \(x\)) e verticale (direzione dell’asse \(y\)) nelle coordinate cartesiane. Entrambe possono essere negative.
\(r\)	erre	La lettera del raggio polare (la distanza dal polo al punto), dall’iniziale di «raggio». Nelle coordinate polari è un numero reale maggiore o uguale a 0. Molti testi italiani usano la lettera greca \(\rho\) (ro).
\(\theta\)	teta	La lettera greca usata per l’angolo. In matematica è la lettera abituale per un angolo.
\(\left(r ;\ \theta\right)\)	erre teta	Come si scrivono le coordinate polari: prima la distanza (il raggio polare), poi la direzione (l’angolo). Ha lo stesso aspetto delle coordinate cartesiane \(\left(x ;\ y\right)\), quindi dì sempre di quale tipo di coordinate parli.
\(\cos\theta,\ \sin\theta\)	coseno teta, seno teta	Le funzioni goniometriche. Sulla circonferenza di raggio 1 (la circonferenza goniometrica), il punto nella direzione dell’angolo \(\theta\) ha posizione orizzontale \(\cos\theta\) e posizione verticale \(\sin\theta\). Sono la chiave per convertire da polari a cartesiane.
\(\tan\theta\)	tangente teta	Una delle funzioni goniometriche, definita come \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\). Sul piano cartesiano \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\) (il coefficiente angolare della retta per l’origine e il punto), che è l’indizio per trovare l’angolo.
\(\arctan\)	arcotangente	L’inversa della tangente (si scrive anche \(\tan^{-1}\)). Restituisce l’angolo \(\theta\) con \(\tan\theta = k\). Gli angoli che restituisce sono limitati tra \(-\dfrac{\pi}{2}\) e \(\dfrac{\pi}{2}\), quindi serve una correzione del quadrante per gli angoli nel secondo e nel terzo quadrante.
\(\pi\)	pi greco	Il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio (circa 3,14159). Nella misura in radianti un angolo piatto, \(180^{\circ}\), è esattamente \(\pi\). Si dice che la lettera greca \(\pi\) derivi dall’iniziale della parola greca per «perimetro».
\(n\)	enne	Una lettera usata spesso per un numero intero, dall’iniziale di «numero». In questa pagina è quanti giri interi è spostato l’angolo, compresi i numeri interi negativi (si gira nel verso opposto) e 0 (nessun giro).

Termini

coordinate cartesiane	Un modo di dare la posizione di un punto come coppia \(\left(x ;\ y\right)\): quanto sei lontano in orizzontale e quanto in verticale. Sono le coordinate di tutti i giorni usate fin dalla scuola secondaria di primo grado.
coordinate polari	Un modo di dare la posizione di un punto come coppia \(\left(r ;\ \theta\right)\): la distanza \(r\) da un punto di riferimento e l’angolo \(\theta\) rispetto a una direzione di riferimento. Si studiano nella scuola secondaria di secondo grado (14-19 anni).
polo	Il punto di riferimento da cui si misurano le distanze nelle coordinate polari. Sul piano cartesiano si mette nell’origine \(O\).
asse polare	La semiretta di riferimento da cui si misurano gli angoli nelle coordinate polari. Parte dal polo e sul piano cartesiano sta lungo il semiasse positivo delle \(x\).
raggio polare	La distanza \(r\) dal polo al punto \(P\) (detta anche coordinata radiale). In senso stretto si intende anche il segmento (o la semiretta) che unisce il polo e \(P\), di lunghezza \(r\). È maggiore o uguale a 0.
anomalia	L’angolo \(\theta\) della direzione dal polo al punto \(P\), misurato in senso antiorario dall’asse polare (detto anche anomalia o angolo polare). Aggiungere un giro intero (\(2\pi\)) dà la stessa direzione, quindi le risposte si danno di solito in un intervallo come \(0 \le \theta < 2\pi\) o \(-\pi < \theta \le \pi\).
quadrante	Una delle quattro regioni in cui i due assi dividono il piano cartesiano. In alto a destra c’è il primo quadrante e, contando in senso antiorario, il secondo, il terzo e il quarto. Sapere in quale quadrante si trova un punto è l’indizio per fissare l’angolo.
correzione del quadrante	Entro un giro intero ci sono due angoli che soddisfano \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\), quindi scegli quello che corrisponde al quadrante del punto (per esempio aggiungendo \(\pi\) all’angolo acuto trovato con \(\arctan\)). Questa sistemazione è la correzione del quadrante.
circonferenza goniometrica	La circonferenza di raggio 1 con il centro nell’origine. Il punto di essa nella direzione dell’angolo \(\theta\) è \(\left(\cos\theta ;\ \sin\theta\right)\), che è la base delle formule di conversione polare.
radiante	Misurare un angolo con la lunghezza dell’arco su una circonferenza di raggio 1. \(180^{\circ} = \pi\) radianti. Dalle funzioni goniometriche in poi, nella scuola secondaria di secondo grado i radianti sono l’unità standard al posto dei gradi.
angoli notevoli	\(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\) e gli angoli collegati (questi più multipli di \(90^{\circ}\)). I loro valori goniometrici si possono scrivere in modo esatto, come \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) e \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), e la maggior parte dei problemi dei libri e delle verifiche li usa.
equazione polare	Un’equazione di una curva scritta come relazione tra \(r\) e \(\theta\). Per esempio, \(r = 2\) è la circonferenza di raggio 2 con il centro nell’origine e \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\) è la semiretta uscente dall’origine con coefficiente angolare 1. Le figure determinate dalla distanza da un centro, come circonferenze e spirali, hanno equazioni molto più semplici che nelle coordinate cartesiane.

Cosa conviene sapere prima

Ecco che cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a ripassare questi argomenti è la strada più veloce.

Il piano cartesiano (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Saper scrivere la posizione di un punto come coppia \(\left(x ;\ y\right)\) Sapere dove stanno il primo, il secondo, il terzo e il quarto quadrante e i segni di \(x\) e \(y\) in ciascuno
Radici quadrate e radicali (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Sapere che \(\sqrt{2}\) è il numero positivo il cui quadrato è 2 Saper semplificare una radice portando fuori i fattori quadrati, come in \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
Il teorema di Pitagora (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Sapere che l’ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti \(a\) e \(b\) è \(\sqrt{a^2 + b^2}\) Sapere che la distanza dall’origine a un punto del piano cartesiano si trova con il teorema di Pitagora
Funzioni goniometriche e circonferenza goniometrica (scuola secondaria di secondo grado, 14-19 anni)	Sapere che \(\sin\), \(\cos\) e \(\tan\) sono la posizione verticale, la posizione orizzontale e il coefficiente angolare di un punto della circonferenza goniometrica Conoscere i valori goniometrici di \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\) e \(60^{\circ}\) (\(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)) Saper trovare i valori goniometrici di angoli maggiori di \(90^{\circ}\) con la circonferenza goniometrica (per esempio, \(\cos 135^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\))
Misura degli angoli in radianti (scuola secondaria di secondo grado, 14-19 anni)	Saper passare da gradi a radianti e viceversa con \(180^{\circ} = \pi\) radianti (per esempio, \(60^{\circ} = \dfrac{\pi}{3}\))
Coordinate polari (scuola secondaria di secondo grado, 14-19 anni)	Sapere a che cosa si riferiscono le parole polo, asse polare, raggio polare e angolo Sapere che lo stesso punto ha più di una coppia di coordinate polari (spostare l’angolo di \(2\pi\) dà lo stesso punto)

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per cartesiane → polari

Ascissa x	3
Ordinata y	4
Raggio polare r	=RADQ(B1^2+B2^2)
Angolo θ (radianti, 0 ≤ θ < 2π)	=RESTO(ARCTAN.2(B1;B2);2*PI.GRECO())
Angolo θ (gradi)	=GRADI(RESTO(ARCTAN.2(B1;B2);2*PI.GRECO()))

Tabella per polari → cartesiane

Raggio polare r	2
Angolo θ (gradi)	60
Ascissa = r cosθ	=B1*COS(RADIANTI(B2))
Ordinata = r senθ	=B1*SEN(RADIANTI(B2))

Tabella per un altro angolo dello stesso punto

Angolo θ (gradi)	60
Numero di giri n (intero, anche negativo)	1
Angolo spostato (gradi)	=B1+360*B2

Dopo averla incollata, le righe in alto sono i dati da inserire e le righe in basso si calcolano da sole.
Nella prima tabella, ARCTAN.2(ascissa; ordinata) restituisce l’angolo con la correzione del quadrante già fatta (più di −π e fino a π). Prendendo RESTO con 2π diventa un angolo da 0 fino a 2π escluso. Per il punto dell’esempio (3 ; 4), r = 5 e θ ≈ 0,9273 (circa 53,13 gradi).
Nella seconda tabella RADIANTI converte i gradi in radianti. Per l’esempio r = 2 e θ = 60 gradi, x = 1 e y ≈ 1,7320508 (= √3). Excel dà risposte decimali, quindi usa la calcolatrice di questa pagina quando vuoi valori esatti come √3 o frazioni di π.
La terza tabella costruisce altre coordinate polari dello stesso punto. Aggiungendo un giro intero, 360 gradi, ai 60 gradi dell’esempio si ottengono 420 gradi. Con n = −1 si ottengono −300 gradi, e sono tutti lo stesso punto.

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per cartesiane → polari

Ascissa x	3
Ordinata y	4
Raggio polare r	=RADQ(B1^2+B2^2)
Angolo θ (radianti, 0 ≤ θ < 2π)	=RESTO(ARCTAN.2(B1;B2);2*PI.GRECO())
Angolo θ (gradi)	=GRADI(RESTO(ARCTAN.2(B1;B2);2*PI.GRECO()))

Tabella per polari → cartesiane

Raggio polare r	2
Angolo θ (gradi)	60
Ascissa = r cosθ	=B1*COS(RADIANTI(B2))
Ordinata = r senθ	=B1*SEN(RADIANTI(B2))

Tabella per un altro angolo dello stesso punto

Angolo θ (gradi)	60
Numero di giri n (intero, anche negativo)	1
Angolo spostato (gradi)	=B1+360*B2

Le formule sono le stesse di Excel e funzionano così come sono (ARCTAN.2 prende gli argomenti nello stesso ordine, «ascissa; ordinata»). Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri con i tuoi.

Come calcolarlo con Python

import math

# Da cartesiane a polari
x_coordinate = 3
y_coordinate = 4
radius = math.sqrt(x_coordinate ** 2 + y_coordinate ** 2)
argument = math.atan2(y_coordinate, x_coordinate)   # include la correzione del quadrante (−π < θ ≤ π)
if argument < 0:
    argument += 2 * math.pi                         # porta nell’intervallo 0 ≤ θ < 2π
print(f"Raggio r = {radius}")
print(f"Angolo θ = {argument} rad ({math.degrees(argument)} gradi)")

# Da polari a cartesiane
r = 2
theta_degree = 60
theta = math.radians(theta_degree)
print(f"Ascissa = {r * math.cos(theta)}")
print(f"Ordinata = {r * math.sin(theta)}")

math.atan2(y, x) restituisce l’angolo con la correzione del quadrante già fatta, quindi a differenza di arctan dà la direzione giusta anche per i punti nel secondo e nel terzo quadrante. I suoi argomenti sono nell’ordine «y, x», l’opposto di come si scrivono le coordinate, ed è un punto in cui è facile sbagliare. La prima metà di questo esempio converte il punto (3, 4): eseguendola mostra r = 5 e θ circa 0,9273 rad (circa 53,13 gradi). La seconda metà è la conversione inversa con r = 2 e θ = 60°, che dà x circa 1 e y circa 1,7321 (= √3). x non è esattamente 1 per l’errore di arrotondamento dei numeri decimali (in virgola mobile); per ottenere valori esatti bisogna calcolare con i simboli, come fa la calcolatrice di questa pagina. Con il modulo cmath della libreria standard anche cmath.polar(complex(3, 4)) dà in un solo passaggio il raggio e l’angolo (−π < θ ≤ π).

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Da coordinate polari a cartesiane (due modi di dare la posizione di un punto)

x = r cosθ, y = r sinθ

x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mtable columnalign="left">
    <mtr><mtd>
      <mi>x</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>cos</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    </mtd></mtr>
    <mtr><mtd>
      <mi>y</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>sin</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    </mtd></mtr>
  </mtable>
</math>

x = r cos theta, y = r sin theta

{x, y} = {r Cos[theta], r Sin[theta]}

x := r*cos(theta); y := r*sin(theta);

[x, y] = pol2cart(theta, r);

x = r cos θ, y = r sin θ

Raggio polare \(r\) (distanza dal polo)

r = √(x² + y²)

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

r = sqrt(x^2 + y^2)

r = Sqrt[x^2 + y^2]

r := sqrt(x^2 + y^2);

r = hypot(x, y);

r = √(x^2 + y^2)

Angolo \(\theta\) (da tanθ e dal quadrante)

tanθ = y/x

\tan\theta = \dfrac{y}{x}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>tan</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>y</mi><mi>x</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

tan theta = y/x

theta = ArcTan[x, y]

theta := arctan(y, x);

theta = atan2(y, x);

tan θ = y/x

Lo stesso punto ha più di una coppia di coordinate polari

(r ; θ) = (r ; θ + 2nπ)

\left(r ;\ \theta\right) = \left(r ;\ \theta + 2n\pi\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>(</mo><mi>r</mi><mo>;</mo><mi>&#x3B8;</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo><mi>r</mi><mo>;</mo>
    <mi>&#x3B8;</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>n</mi><mi>&#x3C0;</mi>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

(r, theta) = (r, theta + 2 n pi)

theta + 2 n Pi

theta + 2*n*Pi;

theta2 = theta + 2*n*pi;

(r ; θ) = (r ; θ + 2nπ)

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente di matematica per le coordinate polari nel piano. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con il calcolo a mente né a intuito).

1. Converti il punto (3, 4) in coordinate cartesiane nelle coordinate polari (r, θ). Mostra il raggio r e l’angolo θ (nell’intervallo 0 ≤ θ < 2π, sia in radianti sia in gradi).
2. Converti il punto (2, 60°) in coordinate polari nelle coordinate cartesiane (x, y). Mostra x e y come numeri decimali e, se possibile, come valori esatti con √.

In Python usa math.atan2 e math.sqrt e mostra le formule usate e i numeri del risultato dell’esecuzione.

Come si usa

1

Inserisci i numeri

Scrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
2

Calcola

Fai clic sul pulsante «Calcola»
3

Guarda il risultato

Il risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula