Inserisci il raggio di base e l’altezza del cono. Ottieni il volume (1/3 × π × raggio² × altezza), il volume del cilindro con la stessa base e la stessa altezza e la conversione tra cm³, L e m³.
Usa la stessa unità per raggio e altezza e scrivi solo numeri uguali o maggiori di 0, senza unità (per 3 cm scrivi «3»).
Risultato e figura
Inserisci il raggio di base e l’altezza nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compaiono il risultato e una figura 3D che puoi ruotare con il mouse.
Indice
-
Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e figure
-
Simboli e termini
-
Cosa conviene sapere prima
-
Come calcolarlo con Excel
-
Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Inserisci il raggio di base e l’altezza e ottieni subito il volume del cono (volume = \(\dfrac{1}{3}\) × π × raggio² × altezza)
- Il risultato è mostrato anche come figura 3D. Ruotala con il mouse per vedere con i tuoi occhi quale lunghezza è quale
- Mostra anche il volume del cilindro con la stessa base e la stessa altezza (il cono ne è esattamente un terzo), così capisci che cosa dice la formula
- Mostra anche la conversione di unità del volume (in litri e m³ se inserisci i cm)
- In questa stessa pagina trovi anche una spiegazione semplice del perché è un terzo e le formule da copiare per Excel, Fogli Google e Python
Inserisci raggio e altezza nella stessa unità (entrambi in cm o entrambi in m). Questa pagina tratta il cono retto, il cui vertice sta proprio sopra il centro del cerchio di base. Il volume di altri solidi, come il cilindro, la sfera e la piramide, ha una pagina dedicata.
A cosa serve questo calcolo?
Sapere quanto sta in un cono gelato (cibo)
La cialda di un cono gelato è un cono. Per un cono con raggio del bordo di 3 cm e profondità di 10 cm, la quantità che ci sta dentro fino all’orlo è \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 10 \approx 94\,\mathrm{cm^3}\) (circa 94 mL).
I numeri mostrano che, tolta la parte di gelato sopra, dentro la cialda ce n’è meno di quanto si pensi. Il cibo è pieno di coni: dalle cialde ai cartocci di carta per le patatine e le caldarroste fino ai coni di cioccolato.
Quanta acqua sta in un bicchiere di carta conico (ufficio ed emergenze)
I bicchierini di carta conici accanto ai distributori d’acqua hanno spesso un raggio del bordo di circa 3,5 cm e una profondità di circa 9 cm, e contengono \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 3{,}5^2 \times 9 \approx 115\,\mathrm{cm^3}\) (circa 115 mL).
Con questa sola formula puoi fare stime come «a quante persone posso dare un bicchiere con questa scorta d’acqua?».
Quanta acqua sta in un filtro conico per il caffè (a casa)
L’interno di un filtro conico per il caffè (quello in cui si versa l’acqua calda a mano) si può considerare più o meno un cono con raggio del bordo di 5 cm e profondità di 8 cm. Fino all’orlo contiene \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 8 \approx 209\,\mathrm{cm^3}\) (circa 210 mL).
Puoi così farti un’idea di quanta acqua calda versare per volta e se riesci a preparare due tazze in un colpo solo.
Stimare un mucchio di sabbia o di ghiaia (edilizia e cantieri)
Quando si scarica sabbia o ghiaia da un camion, si forma da solo un mucchio vicino a un cono (l’inclinazione massima che il materiale mantiene senza franare si chiama angolo di riposo, o di natural declivio). Se il raggio del mucchio alla base è di 1,5 m e l’altezza è di 1 m, la quantità è circa \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 1{,}5^2 \times 1 \approx 2{,}4\,\mathrm{m^3}\).
Un mucchio vero non è un cono perfetto, quindi è una stima. Ma in cantiere e nel giardinaggio questa formula dà una risposta rapida a «quanti viaggi di camion servono?» e «ci sta nello spazio che ho?».
Il volume sotto il tetto conico di un trullo (architettura)
I trulli della Valle d’Itria, in Puglia, sono costruzioni in pietra a secco con il tetto a forma di cono (quelli di Alberobello sono patrimonio mondiale dell’UNESCO dal 1996). Per fare un esempio di calcolo, se consideri lo spazio sotto il tetto un cono con raggio di base di 3 m e altezza di 4 m, il suo volume è \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4 \approx 37{,}7\,\mathrm{m^3}\) (le misure sono inventate per l’esempio, non quelle di un trullo reale).
Un tetto vero non è un cono perfetto, quindi è solo una stima; ma è così che si valuta, per esempio, quanta aria c’è da scaldare in una stanza sotto un tetto a cono.
Formule e figure
Volume del cono
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
\(\times\)
\(h\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
⑥
\(V\): volume del cono
\(=\)
⑤
\(\dfrac{1}{3}\): un terzo
\(\times\)
①
\(\pi\): pi greco (circa 3,14)
\(\times\)
②
\(r\): raggio di base
③
al quadrato (il numero moltiplicato per se stesso)
\(\times\)
④
\(h\): altezza
La formula a parole
①
Parti dal
\(\pi\): pi greco (circa 3,14)
②
moltiplicalo per il
\(r\): raggio di base
③
elevato
al quadrato (il numero moltiplicato per se stesso)
④
e per l’
\(h\): altezza
. Ottieni il volume del cilindro con la stessa base e la stessa altezza.
⑤
Poi moltiplica per
\(\dfrac{1}{3}\): un terzo
(cioè dividi per 3)
⑥
e ottieni il
\(V\): volume del cono
Un esempio semplice
Il volume di un cono gelato (un cono con raggio di base di 3 cm e altezza di 10 cm) è
\(V\): volume del cono
\(=\)
\(\dfrac{1}{3}\): un terzo
\(\times\)
\(\pi\): pi greco
\(\times\)
raggio (3 cm)
al quadrato
\(\times\)
altezza (10 cm)
\(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^{2} \times 10 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 90 = 30\pi\)
\(30\pi \approx 30 \times 3{,}14 = 94{,}2\,\mathrm{cm^3}\)
L’idea chiave
Perché un terzo? Prendi un contenitore a forma di cilindro e uno a forma di cono con la stessa base e la stessa altezza. Riempi il cono d’acqua e versala nel cilindro: servono esattamente 3 coni per riempirlo (è un esperimento che si fa spesso a scuola). Quindi il volume del cono è esattamente \(\dfrac{1}{3}\) del volume del cilindro \(\pi r^2 h\). Per dimostrarlo con rigore serve il calcolo integrale, che si studia alle superiori; alla scuola secondaria di primo grado si impara come regola: un cono o una piramide è un terzo del cilindro o del prisma con la stessa base e la stessa altezza.
Un’altra cosa a cui fare attenzione è come si misura l’altezza. L’altezza \(h\) si misura in linea retta dalla base al vertice, ad angolo retto con la base. Non è la lunghezza lungo il lato inclinato (l’apotema).
Il legame con il volume del cilindro (un modo per ricordarla)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(V\)
\(=\)
\(\pi r^{2} h\)
\(\div\)
\(3\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(V\): volume del cono
\(=\)
①
\(\pi r^2 h\): volume del cilindro con la stessa base e la stessa altezza
\(\div\)
②
\(3\): divisione in 3 parti uguali
La formula a parole
①
Parti dal
\(\pi r^2 h\): volume del cilindro con la stessa base e la stessa altezza
②
dividilo per
\(3\): divisione in 3 parti uguali
③
e ottieni il
\(V\): volume del cono
Un esempio semplice
Con un raggio di base di 3 cm e un’altezza di 10 cm, ricavando il volume del cono da quello del cilindro con la stessa base e la stessa altezza si ottiene
\(V\): volume del cono
\(=\)
volume del cilindro (90π ≈ 282,6 cm³)
\(\div\)
3
\(\pi \times 3^{2} \times 10 = 90\pi \approx 90 \times 3{,}14 = 282{,}6\,\mathrm{cm^3}\)
\(90\pi \div 3 = 30\pi \approx 94{,}2\,\mathrm{cm^3}\)
L’idea chiave
A parole: «volume del cono = area di base × altezza ÷ 3». L’area di base (l’area del cerchio, \(\pi r^2\)) per l’altezza dà il volume del cilindro, e il cono ne è una delle 3 parti uguali. La stessa forma «area di base × altezza ÷ 3» vale esattamente allo stesso modo per le piramidi, la cui base è un triangolo o un quadrilatero (piramidi a base triangolare e quadrangolare).
Conversione di unità di volume (cm³ → L)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(V_{\mathrm{L}}\): volume in litri
\(=\)
①
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): volume in cm³
\(\div\)
②
\(1000\): cm³ in 1 litro
La formula a parole
①
Parti dal
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): volume in cm³
②
dividilo per
\(1000\): cm³ in 1 litro
③
e ottieni il
\(V_{\mathrm{L}}\): volume in litri
Un esempio semplice
Il volume del cono gelato, 94,2 cm³, in litri è
volume in litri
\(=\)
volume in cm³ (94,2)
\(\div\)
cm³ in 1 litro (1000)
\(94{,}2 \div 1000 = 0{,}0942\,\mathrm{L}\ \ (94{,}2\,\mathrm{mL})\)
L’idea chiave
\(1\,\mathrm{L}\) è il volume di un cubo di 10 cm di spigolo, quindi \(1\,\mathrm{L} = 10 \times 10 \times 10 = 1000\,\mathrm{cm^3}\). Il fattore di conversione del volume è il cubo del fattore di conversione della lunghezza. Se \(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\), allora \(1\,\mathrm{m^3} = 100 \times 100 \times 100 = 1.000.000\,\mathrm{cm^3}\) (cioè 1000 L). L’errore più frequente è pensare a «100 volte» o a «10.000 volte» invece di un milione di volte.
Il volume del cono è «\(\dfrac{1}{3}\) × π × raggio al quadrato × altezza», cioè «area di base × altezza ÷ 3», ed è esattamente un terzo di quello del cilindro con la stessa base e la stessa altezza. Usa la stessa unità per raggio e altezza; il risultato è nell’unità al cubo (cm³ se usi i cm). Per passare da cm³ a litri basta dividere per 1000.
Simboli e termini
Simboli
| \(V\) | vu | La lettera che si usa di solito per il volume, dall’iniziale di «volume». In questa pagina indica il volume del cono. |
| \(r\) | erre | Il raggio del cerchio di base, dall’iniziale di «raggio». È la lunghezza dal centro del cerchio al suo bordo e misura la metà del diametro. |
| \(h\) | acca | L’altezza del cono. La lettera h viene dall’inglese «height» ed è quella che si usa nei libri di testo. Si misura in linea retta e perpendicolare dalla base al vertice, e non coincide con la lunghezza lungo il lato inclinato (l’apotema). |
| \(r^2\) | erre al quadrato | Il numero \(r\) moltiplicato per se stesso (\(r \times r\)). Il piccolo 2 in alto a destra è un esponente che indica quante volte il numero compare come fattore. |
| \(\pi\) | pi greco | Il pi greco: il numero che indica quante volte il diametro sta nella circonferenza. Vale circa 3,14159… e i suoi decimali non finiscono mai. Nei calcoli a mano si usa 3,14; più avanti si lascia la lettera \(\pi\) nel risultato, come in \(30\pi\). |
| \(\mathrm{cm^3}\) | centimetro cubo | Un’unità di volume. Un cubo di 1 cm di spigolo ha un volume di 1 cm³. Non confonderlo con cm² (centimetro quadrato), l’unità dell’area. Vale 1 cm³ = 1 mL. |
| \(\mathrm{m^3}\) | metro cubo | Un’unità di volume. Un cubo di 1 m di spigolo ha un volume di 1 m³, e vale \(1\,\mathrm{m^3} = 1.000.000\,\mathrm{cm^3} = 1000\,\mathrm{L}\). |
| \(\mathrm{L}\) | litro | Un’unità di volume (capacità) che conosci dalle bevande. Un cubo di 10 cm di spigolo ha un volume di 1 L, e vale \(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm^3} = 1000\,\mathrm{mL}\). (Si scrive l o L; qui si usa la L maiuscola perché la l minuscola si confonde facilmente con un 1.) |
Termini
| cono | Un solido con la base circolare che si restringe in modo regolare fino a un solo punto, il vertice. Il cono gelato, il cappello da festa e il birillo stradale hanno la forma di un cono. |
| cono retto | Un cono il cui vertice sta proprio sopra il centro del cerchio di base. I coni dei libri di testo della scuola sono di solito di questo tipo, e anche questa calcolatrice tratta il cono retto. Un cono il cui vertice non è sopra il centro si chiama cono obliquo. |
| base | Il cerchio che fa da fondo al cono. La sua area (\(\pi r^2\) nel cono) si chiama area di base. |
| area di base | L’area della base. Nel cono la base è un cerchio, quindi l’area di base è \(\pi r^2\) (\(\pi\) × raggio × raggio). |
| vertice | Il punto appuntito in cima al cono. L’altezza si misura dal vertice fino alla base, in linea retta e perpendicolare alla base. |
| apotema | Il segmento che va dal vertice al bordo del cerchio di base lungo il lato inclinato del cono. Con il teorema di Pitagora la sua lunghezza è \(\sqrt{r^2 + h^2}\). Fai attenzione a non confonderlo con l’altezza. |
| volume | La grandezza di un solido (lo spazio che occupa), espressa con un numero. Si misura contando quanti cubi unitari (per esempio da 1 cm³) ci stanno dentro. |
| pi greco | Il numero che indica quante volte il diametro sta nella lunghezza della circonferenza (circa 3,14). Compare in tutti i calcoli di figure che hanno un cerchio, come il cerchio stesso, il cono e il cilindro. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
| Che cos’è il volume e le sue unità (classi 3ª–5ª della primaria, 8-11 anni) |
|
| Area del cerchio (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Espressioni con le lettere e pi greco (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Solidi (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Moltiplicazione e divisione di numeri decimali (classi 4ª–5ª della primaria, 9-11 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per calcolare il volume di un cono
| Raggio di base | 3 |
| Altezza | 10 |
| Volume del cono | =PI.GRECO()*B1^2*B2/3 |
Tabella per verificare il legame con il volume del cilindro
| Raggio di base | 3 |
| Altezza | 10 |
| Cilindro con la stessa base e la stessa altezza | =PI.GRECO()*B1^2*B2 |
| Volume del cono (un terzo del cilindro) | =B3/3 |
Tabella per convertire i cm³ in litri
| Volume in cm³ | 94,25 |
| Volume in litri | =B1/1000 |
Dopo averla incollata, nella colonna A trovi i nomi e nella colonna B i numeri. Le righe in alto sono i tuoi dati, e la formula dell’ultima riga calcola il risultato in automatico con quei valori.
In una formula, «B1» e «B2» significano «usa il numero di quella cella», «PI.GRECO()» è la funzione di Excel che restituisce il pi greco (3,14159…), «^» è la potenza (quante volte si moltiplica), «*» la moltiplicazione e «/» la divisione.
Nella prima tabella, per esempio, B3 mostra circa 94,25 (= 1/3 × π × 3² × 10), in cm³ perché hai inserito i cm. Nella seconda tabella B3 mostra circa 282,74 e B4 un terzo di quel valore, circa 94,25: così puoi verificare che il cono è un terzo del cilindro. La terza tabella mostra circa 0,09425 in B2. Ti basta cambiare i dati con le misure del tuo cono.
In una formula, «B1» e «B2» significano «usa il numero di quella cella», «PI.GRECO()» è la funzione di Excel che restituisce il pi greco (3,14159…), «^» è la potenza (quante volte si moltiplica), «*» la moltiplicazione e «/» la divisione.
Nella prima tabella, per esempio, B3 mostra circa 94,25 (= 1/3 × π × 3² × 10), in cm³ perché hai inserito i cm. Nella seconda tabella B3 mostra circa 282,74 e B4 un terzo di quel valore, circa 94,25: così puoi verificare che il cono è un terzo del cilindro. La terza tabella mostra circa 0,09425 in B2. Ti basta cambiare i dati con le misure del tuo cono.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per calcolare il volume di un cono
| Raggio di base | 3 |
| Altezza | 10 |
| Volume del cono | =PI.GRECO()*B1^2*B2/3 |
Tabella per verificare il legame con il volume del cilindro
| Raggio di base | 3 |
| Altezza | 10 |
| Cilindro con la stessa base e la stessa altezza | =PI.GRECO()*B1^2*B2 |
| Volume del cono (un terzo del cilindro) | =B3/3 |
Tabella per convertire i cm³ in litri
| Volume in cm³ | 94,25 |
| Volume in litri | =B1/1000 |
Funzionano le stesse formule di Excel (compresa la funzione PI.GRECO()). Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e cambia i dati con le misure del tuo cono.
Come calcolarlo con Python
import math
radius = 3 # raggio di base (in questo esempio, in cm)
height = 10 # altezza (nella stessa unità del raggio)
volume = math.pi * radius ** 2 * height / 3 # volume del cono (l’unità inserita al cubo; qui cm3)
volume_l = volume / 1000 # se inserisci i cm, il volume in litri
print(f"Volume del cono: {volume} cm3")
print(f"In litri: {volume_l} L")
Funziona con la sola libreria standard. «math.pi» è il pi greco (3,14159…), «**» è la potenza (radius ** 2 è il raggio al quadrato), «*» la moltiplicazione e «/» la divisione. Cambia in alto i valori del raggio e dell’altezza ed esegui il codice (l’esempio è per un inserimento in cm; se inserisci i m, il risultato è in m³ e, per passare ai litri, devi moltiplicare per 1000).
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Volume del cono
V = (1/3)πr²h
V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
V = 1/3 pi r^2 h
Pi*r^2*h/3
V := (1/3)*Pi*r^2*h;
V = (1/3)*pi*r^2*h;
V = (1/3)πr^2 h
Il legame con il volume del cilindro (un modo per ricordarla)
V = πr²h ÷ 3
V = \frac{\pi r^{2} h}{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>π</mi><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mi>h</mi></mrow>
<mn>3</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
V = (pi r^2 h)/3
Pi*r^2*h/3
V := Pi*r^2*h/3;
V = pi*r^2*h/3;
V = πr^2 h/3
Conversione di unità di volume (cm³ → L)
V[L] = V[cm³] ÷ 1000
V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">L</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000</mn>
</mrow>
</math>
V_(L) = V_(cm^3) -: 1000
vCm3/1000
vL := vCm3/1000;
v_l = v_cm3/1000;
V(L) = V(cm³)/1000
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per i calcoli di matematica. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non calcolare a mente e non stimare). Un cono ha raggio di base di 3 cm e altezza di 10 cm. Calcola: 1. Il volume di questo cono in cm³ (V = 1/3 × π × raggio² × altezza) 2. Quel volume in litri Mostra le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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Nessun obbligo di attribuzione
Nessun obbligo di attribuzione
Uso commerciale consentito
Uso commerciale gratuito
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
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La base del cono è un cerchio. Ricava l’area di base (πr²) dal raggio e passa da una misura all’altra del cerchio
