Scrivi il primo termine (il primo numero della successione), la ragione (di quanto aumenta ogni termine) e il numero di termini (fino a dove vuoi arrivare), poi fai clic su «Calcola». Ottieni in un colpo solo i primi termini, il termine n-esimo e la somma dei primi n termini. La formula qui sotto è collegata ai campi, quindi puoi anche modificare il primo termine, la ragione e il numero di termini direttamente dentro la formula.
Il primo termine e la ragione possono essere decimali o numeri negativi. Scrivi il numero di termini n come numero intero positivo (da 1 a 100.000).
Risultato e grafico
Scrivi il primo termine, la ragione e il numero di termini nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compariranno il risultato e un grafico.
Indice
-
Cosa puoi fare in questa pagina
-
A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e grafici
-
Simboli e termini
-
Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
-
Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Inserisci solo tre valori, il primo termine, la ragione (di quanto aumenta ogni termine) e il numero di termini, per ottenere in un colpo solo il termine \(n\)-esimo e la somma dei primi \(n\) termini
- Va bene per problemi come «La successione 2, 7, 12, 17, … aumenta di 5 ogni volta. Quanto vale il 20º numero? Quanto fanno i primi 20 numeri messi insieme?»
- Il primo termine e la ragione possono essere decimali o numeri negativi (per una successione decrescente, la ragione è negativa)
- Insieme al risultato, un grafico mostra come i termini si dispongono lungo una retta (la ragione dice quanto velocemente salgono)
- In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare e incollare per Excel, Fogli Google e Python
Questa pagina vale solo per le progressioni aritmetiche (successioni in cui la differenza tra due termini consecutivi è sempre la stessa). Non vale per le successioni che crescono moltiplicando per lo stesso numero, come 2, 6, 18, … (progressioni geometriche).
A cosa serve questo calcolo?
Stimare il totale di un piano di risparmio crescente (pianificazione del denaro)
Un piano di risparmio come «il primo mese metti da parte 50 €, poi ogni mese 25 € in più» è una progressione aritmetica con primo termine 50 e ragione 25. Al mese 12 metti da parte \(50 + 11 \times 25 = 325\) euro e il totale dell’anno è \(12 \times (50 + 325) \div 2 = 2250\) euro. Con due formule vedi molto in là.
Ogni piano che aumenta (o diminuisce) della stessa quantità a ogni passo, e le domande «quanto è la k-esima volta?» e «quanto fa in totale?», sono calcoli su una progressione aritmetica.
Contare i posti di un teatro o di uno stadio (progettazione e organizzazione di eventi)
Le sale con i posti a ventaglio hanno spesso file del tipo «20 posti nella prima fila e 2 posti in più in ogni fila successiva». Con 30 file, l’ultima fila ha \(20 + 29 \times 2 = 78\) posti e tutta la sala ha \(30 \times (20 + 78) \div 2 = 1470\) posti.
Senza contare fila per fila, la formula della somma dà subito il numero totale di posti e il massimo di biglietti vendibili.
Sommare numeri consecutivi in un istante (l’aneddoto del giovane Gauss)
«Quanto fa la somma di tutti i numeri interi da 1 a 100?» Secondo il famoso aneddoto, il matematico Gauss, da bambino, rispose subito: \(100 \times (1 + 100) \div 2 = 5050\). È esattamente la somma della progressione aritmetica con primo termine 1, ragione 1 e 100 termini.
I totali di numeri consecutivi, come sommare i numeri di una serie di fatture o impilare «1 il giorno 1, 2 il giorno 2, …», si ottengono in un istante con questa formula.
Pianificare un allenamento o un carico di studio che cresce poco alla volta (allenamento)
Se pianifichi le corse come «2 km nella settimana 1, poi 0,5 km in più ogni settimana», nella settimana 12 corri \(2 + 11 \times 0{,}5 = 7{,}5\) km e il totale delle 12 settimane è \(12 \times (2 + 7{,}5) \div 2 = 57\) km.
Prima di cominciare puoi controllare, con i numeri, dove ti porta un piano del tipo «un po’ di più ogni volta» e quanto fa in tutto.
Interesse semplice (basi di finanza)
Con l’interesse semplice, in cui gli interessi si calcolano solo sulla somma iniziale (il capitale), il saldo aumenta della stessa quantità ogni anno, quindi forma una progressione aritmetica. Con 10.000 € al 3% annuo di interesse semplice, il saldo cresce di 300 € all’anno e dopo 5 anni vale \(10.000 + 5 \times 300 = 11.500\) euro.
Con l’interesse composto, in cui anche gli interessi producono interessi, il saldo forma una progressione geometrica (una successione che cresce moltiplicando). La differenza tra interesse semplice e composto è «crescere sommando o crescere moltiplicando». Guardarlo in termini di successioni rende molto più facili da capire i prodotti finanziari.
Formule e grafici
Formula del termine \(n\)-esimo (termine generale)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(a_n\)
\(=\)
\(a_1\)
\(+\)
\((n-1)\)
\(\times\)
\(d\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
\(a_n\): termine \(n\)-esimo
\(=\)
①
\(a_1\): primo termine
\(+\)
②
\((n-1)\): numero di passi
\(\times\)
③
\(d\): ragione
La formula a parole
①
Parti da
\(a_1\): primo termine
, aggiungi
②
\((n-1)\): numero di passi
volte
③
\(d\): ragione
(cioè somma la ragione \(n-1\) volte)
④
e ottieni
\(a_n\): termine \(n\)-esimo
Un esempio semplice
Per la progressione aritmetica con primo termine 2 e ragione 5 (2, 7, 12, 17, …), il termine 20 è
\(a_{20}\): termine 20
\(=\)
primo termine (2)
\(+\)
passi (20 − 1 = 19)
\(\times\)
ragione (5)
\(2 + (20 - 1) \times 5 = 2 + 95 = 97\)
L’idea chiave
L’errore più comune è moltiplicare per \(n\) invece che per \(n-1\). Per andare dal termine 1 al termine \(n\) si somma la ragione una volta per ogni passo, e i passi sono \(n-1\), uno in meno di \(n\). Per esempio, dal termine 1 al termine 3 si somma solo due volte (\(3-1\) volte).
La formula funziona così com’è anche quando la ragione \(d\) è negativa. In quel caso i valori diminuiscono a ogni passo.
Formula della somma dei primi \(n\) termini
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(S_n\)
\(=\)
\(n\)
\(\times\)
\((\)
\(a_1\)
\(+\)
\(a_n\)
\()\)
\(\div\)
\(2\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
⑤
\(S_n\): somma dei primi \(n\) termini
\(=\)
③
\(n\): numero di termini
\(\times\)
\((\)
①
\(a_1\): primo termine
\(+\)
②
\(a_n\): termine \(n\)-esimo (ultimo termine)
\()\)
\(\div\)
④
\(2\): si prende la metà
La formula a parole
①
Somma
\(a_1\): primo termine
e
②
\(a_n\): termine \(n\)-esimo (ultimo termine)
,
③
moltiplica per
\(n\): numero di termini
,
④
poi dividi per
\(2\): si prende la metà
,
⑤
e ottieni
\(S_n\): somma dei primi \(n\) termini
Un esempio semplice
Per la progressione aritmetica con primo termine 2 e ragione 5, la somma dei primi 20 termini (il termine 20 vale 97) è
\(S_{20}\): somma fino al termine 20
\(=\)
numero di termini (20)
\(\times\)
\((\)
primo termine (2)
\(+\)
termine 20 (97)
\()\)
\(\div\)
si prende la metà (2)
\(20 \times (2 + 97) = 20 \times 99 = 1980\)
\(1980 \div 2 = 990\)
L’idea chiave
\((a_1 + a_n) \div 2\) è la media del primo termine e dell’ultimo termine. Una progressione aritmetica aumenta della stessa quantità a ogni passo, quindi la media di tutti i suoi termini coincide esattamente con la media del primo e dell’ultimo termine. Per questo la somma è «media × quantità di termini». Tutta l’idea della formula è qui.
I libri di testo la scrivono come frazione, \(S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}\). È la stessa formula di sopra.
«Quanto fa la somma di tutti i numeri interi da 1 a 100?» è la somma di una progressione aritmetica con primo termine 1, ultimo termine 100 e 100 termini, quindi la risposta arriva subito: \(100 \times (1 + 100) \div 2 = 5050\).
Formula della somma direttamente dal primo termine e dalla ragione
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(S_n\)
\(=\)
\(n\)
\(\times\)
\(\{\)
\(2a_1\)
\(+\)
\((n-1)\)
\(\times\)
\(d\)
\(\}\)
\(\div\)
\(2\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
⑥
\(S_n\): somma dei primi \(n\) termini
\(=\)
④
\(n\): numero di termini
\(\times\)
\(\{\)
①
\(2a_1\): il doppio del primo termine
\(+\)
②
\((n-1)\): numero di passi
\(\times\)
③
\(d\): ragione
\(\}\)
\(\div\)
⑤
\(2\): si prende la metà
La formula a parole
①
Parti da
\(2a_1\): il doppio del primo termine
, aggiungi
②
\((n-1)\): numero di passi
volte
③
\(d\): ragione
(il risultato è uguale a primo termine + ultimo termine),
④
moltiplica per
\(n\): numero di termini
,
⑤
poi dividi per
\(2\): si prende la metà
,
⑥
e ottieni
\(S_n\): somma dei primi \(n\) termini
Un esempio semplice
Con primo termine 2, ragione 5 e 20 termini, la somma calcolata direttamente, senza prima ricavare il termine 20, è
\(S_{20}\): somma fino al termine 20
\(=\)
numero di termini (20)
\(\times\)
\(\{\)
il doppio del primo termine (2 × 2 = 4)
\(+\)
passi (19)
\(\times\)
ragione (5)
\(\}\)
\(\div\)
take half (2)
\(2 \times 2 + (20 - 1) \times 5 = 4 + 95 = 99\)
\(20 \times 99 \div 2 = 990\)
L’idea chiave
È la prima formula (il termine generale) sostituita al posto di \(a_n\) nella seconda formula. Poiché \(a_1 + a_n = a_1 + a_1 + (n-1)d = 2a_1 + (n-1)d\), puoi ottenere la somma direttamente dal primo termine e dalla ragione, senza dover prima ricavare l’ultimo termine \(a_n\).
I libri di testo la scrivono come frazione, \(S_n = \dfrac{n\{2a_1 + (n-1)d\}}{2}\). Le due formule danno lo stesso risultato. Usa la seconda formula quando conosci l’ultimo termine, e questa quando conosci solo il primo termine e la ragione.
Una progressione aritmetica continua a sommare lo stesso numero (la ragione). Il termine \(n\)-esimo è «il primo termine più la ragione sommata \(n-1\) volte», e la somma è «(primo termine + ultimo termine) × numero di termini ÷ 2», cioè la media del primo e dell’ultimo termine moltiplicata per il numero di termini.
Simboli e termini
Simboli
| \(a_1\) | a uno | Il primo termine. Il primissimo termine (numero) della successione. Per la successione 2, 7, 12, 17, … è 2. |
| \(d\) | di | La ragione. La differenza tra due termini consecutivi (di quanto aumenta ogni termine). Per 2, 7, 12, 17, … è 5. Può essere un numero negativo. |
| \(n\) | enne | Il numero di termini. Un numero intero positivo che dice fino a dove arrivi nella successione. «Fino al termine 20» significa \(n = 20\). |
| \(a_n\) | a enne | Il termine \(n\)-esimo. Il \(n\)-esimo numero della successione. La piccola lettera in basso a destra (il pedice) dice in quale posizione si trova. Il termine \(n\)-esimo scritto come formula in \(n\) si chiama termine generale. |
| \(n-1\) | enne meno uno | Il numero di passi dal termine 1 al termine \(n\), cioè quante volte si somma la ragione. È uno in meno del numero di termini \(n\) (dal termine 1 al termine 3 ci sono 2 passi). |
| \(S_n\) | esse enne | La somma dei primi \(n\) termini. Un modo breve per scrivere \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\). La lettera S viene da «somma». |
| \(\cdots\) | puntini di sospensione | Un simbolo che dice che lo schema continua allo stesso modo. Scrivere 2, 7, 12, 17, … significa che i numeri continuano ad aumentare di 5. |
Termini
| successione | Un elenco di numeri in un ordine preciso. Ogni numero dell’elenco si chiama termine. |
| progressione aritmetica | Una successione in cui la differenza tra due termini consecutivi è sempre la stessa, come 2, 7, 12, 17, … (la differenza è sempre 5). |
| termine | Ognuno dei numeri di una successione. A partire dall’inizio si chiamano termine 1, termine 2 e così via. |
| primo termine | Il primissimo termine di una successione, cioè il termine 1. Si scrive \(a_1\). |
| ragione | In una progressione aritmetica, la differenza tra due termini consecutivi. Qualunque coppia di termini vicini tu sottragga, ottieni lo stesso valore. Può essere negativa (per una successione decrescente) o decimale. |
| ultimo termine | L’ultimo termine dell’intervallo che stai considerando. Per la somma dei primi \(n\) termini, l’ultimo termine è \(a_n\). |
| termine generale | Il termine \(n\)-esimo scritto come formula in \(n\). Per una progressione aritmetica è \(a_n = a_1 + (n-1)d\). Se al posto di \(n\) metti il numero di posizione, ottieni subito il valore di quel termine. |
| progressione geometrica | Una successione in cui il rapporto tra due termini consecutivi è sempre lo stesso, come 2, 6, 18, 54, … (si moltiplica ogni volta per 3). Cresce in modo diverso da una progressione aritmetica, che somma lo stesso numero, quindi le formule di questa pagina non valgono. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendo davvero cosa fai, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a rivedere questi argomenti è la strada più rapida.
| Regolarità e successioni di numeri (classi 3ª–5ª della primaria, 8-11 anni) |
|
| Numeri relativi (classi 1ª–2ª della secondaria di primo grado, 11-13 anni) |
|
| Lettere ed espressioni (classi 2ª–3ª della secondaria di primo grado, 12-14 anni) |
|
| Ordine delle operazioni (classi 4ª–5ª della primaria, 9-11 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per ricavare il termine n-esimo (primo termine 2, ragione 5, 20 termini)
| Primo termine a1 | 2 |
| Ragione d | 5 |
| Numero di termini n | 20 |
| Termine n-esimo | =B1+(B3-1)*B2 |
Tabella per ricavare la somma dei termini da 1 a n (usando il termine n-esimo)
| Primo termine a1 | 2 |
| Ragione d | 5 |
| Numero di termini n | 20 |
| Termine n-esimo | =B1+(B3-1)*B2 |
| Somma dei termini da 1 a n | =B3*(B1+B4)/2 |
Tabella per ricavare la somma direttamente dal primo termine e dalla ragione
| Primo termine a1 | 2 |
| Ragione d | 5 |
| Numero di termini n | 20 |
| Somma dei termini da 1 a n | =B3*(2*B1+(B3-1)*B2)/2 |
Dopo l’incollaggio, le celle da B1 a B3 sono i campi di input e la cella in fondo mostra il risultato calcolato.
Nelle formule, «B1» e «B3» significano «usa il numero che si trova in quella cella», «*» è la moltiplicazione e «/» è la divisione. «=B1+(B3-1)*B2» è la formula vera e propria: «primo termine più (numero di termini − 1) × ragione».
Per esempio, la prima tabella mostra 97 (termine 20) in B4 e la seconda mostra 990 (la somma) in B5. Basta sostituire B1–B3 con i tuoi numeri.
Nelle formule, «B1» e «B3» significano «usa il numero che si trova in quella cella», «*» è la moltiplicazione e «/» è la divisione. «=B1+(B3-1)*B2» è la formula vera e propria: «primo termine più (numero di termini − 1) × ragione».
Per esempio, la prima tabella mostra 97 (termine 20) in B4 e la seconda mostra 990 (la somma) in B5. Basta sostituire B1–B3 con i tuoi numeri.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per ricavare il termine n-esimo (primo termine 2, ragione 5, 20 termini)
| Primo termine a1 | 2 |
| Ragione d | 5 |
| Numero di termini n | 20 |
| Termine n-esimo | =B1+(B3-1)*B2 |
Tabella per ricavare la somma dei termini da 1 a n (usando il termine n-esimo)
| Primo termine a1 | 2 |
| Ragione d | 5 |
| Numero di termini n | 20 |
| Termine n-esimo | =B1+(B3-1)*B2 |
| Somma dei termini da 1 a n | =B3*(B1+B4)/2 |
Tabella per ricavare la somma direttamente dal primo termine e dalla ragione
| Primo termine a1 | 2 |
| Ragione d | 5 |
| Numero di termini n | 20 |
| Somma dei termini da 1 a n | =B3*(2*B1+(B3-1)*B2)/2 |
Le stesse formule di Excel funzionano così come sono. Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci B1–B3 con i tuoi numeri.
Come calcolarlo con Python
first_term = 2 # primo termine
common_difference = 5 # ragione
number_of_terms = 20 # numero di termini
# termine n-esimo = primo termine + (n - 1) * ragione
nth_term = first_term + (number_of_terms - 1) * common_difference
# somma dei termini da 1 a n = n * (primo termine + termine n-esimo) / 2
sum_of_terms = number_of_terms * (first_term + nth_term) / 2
# primi 10 termini della successione (per controllo)
sequence = [first_term + k * common_difference for k in range(min(number_of_terms, 10))]
print(f"Primi termini: {sequence}")
print(f"Termine {number_of_terms}: {nth_term}")
print(f"Somma dei termini da 1 a {number_of_terms}: {sum_of_terms}")
Funziona con la sola libreria standard. Cambia i tre numeri in alto (primo termine, ragione, numero di termini) ed esegui il codice. In questo esempio stampa 97 per il termine 20 e la somma 990 con il decimale finale «.0», perché «/» dà sempre un risultato decimale. Per mostrare la somma come numero intero, cambia «/ 2» in «// 2» (divisione intera) quando il primo termine e la ragione sono numeri interi.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Formula del termine \(n\)-esimo (termine generale)
aₙ = a₁ + (n − 1)d
a_n = a_1 + (n-1)d
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow>
<mi>d</mi>
</mrow>
</math>
a_n = a_1 + (n-1) d
a1 + (n - 1)*d
an := a1 + (n - 1)*d;
a_n = a1 + (n - 1)*d;
a_n = a_1 + (n - 1)d
Formula della somma dei primi \(n\) termini
Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2
S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>(</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
S_n = (n(a_1 + a_n))/2
n*(a1 + an)/2
Sn := n*(a1 + an)/2;
S_n = n*(a1 + a_n)/2;
S_n = n(a_1 + a_n)/2
Formula della somma direttamente dal primo termine e dalla ragione
Sₙ = n{2a₁ + (n − 1)d} ÷ 2
S_n = \dfrac{n\{2a_1 + (n-1)d\}}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>{</mo>
<mn>2</mn>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow>
<mi>d</mi>
<mo>}</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
S_n = (n(2 a_1 + (n-1) d))/2
n*(2*a1 + (n - 1)*d)/2
Sn := n*(2*a1 + (n - 1)*d)/2;
S_n = n*(2*a1 + (n - 1)*d)/2;
S_n = n(2a_1 + (n - 1)d)/2
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per il calcolo delle progressioni aritmetiche. Esegui i calcoli seguenti eseguendo davvero codice Python e rispondi basandoti soltanto sui numeri ottenuti dall’esecuzione (non rispondere a mente né a intuito). Calcola il termine n-esimo con a_n = a_1 + (n-1)d e la somma con S_n = n(a_1 + a_n)/2. 1. Il termine 20 e la somma dei termini da 1 a 20 della progressione aritmetica con primo termine 2 e ragione 5 2. Il termine 10 e la somma dei termini da 1 a 10 della progressione aritmetica con primo termine -3 e ragione 4 3. Il termine 15 e la somma dei termini da 1 a 15 della progressione aritmetica con primo termine 100 e ragione -7 Mostra le formule che hai usato e i numeri ottenuti dall’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
I punti di forza di DataChef
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Nessuna filigrana
Nessun obbligo di attribuzione
Nessun obbligo di attribuzione
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Uso commerciale gratuito
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Funzioni correlate
Calcolatrice di progressioni geometriche (termine n-esimo e somma)
Calcola il termine n-esimo e la somma dal primo termine, dalla ragione e dal numero di termini (si va avanti moltiplicando per lo stesso numero, mentre nella progressione aritmetica si va avanti sommando)
Calcolatrice del coefficiente angolare (pendenza di una retta, distanza e angolo)
Calcola il coefficiente angolare, la distanza, l’angolo e l’equazione di una retta passante per due punti (nel grafico, la ragione di una progressione aritmetica è il coefficiente angolare di una retta)
Calcolatrice della media aritmetica
Calcola la media aritmetica, la mediana e altro a partire da un elenco di numeri (la somma di una progressione aritmetica è la media del primo e dell’ultimo termine moltiplicata per il numero di termini)
Calcolatrice della successione di Fibonacci (termine n-esimo e somma)
Calcola il termine n-esimo e la somma della successione di Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, …), in cui ogni termine è la somma dei due precedenti e non si aggiunge un numero fisso
