Scrivi i coefficienti e i secondi membri delle equazioni (1) e (2). Il sistema qui sotto è collegato ai campi, quindi puoi anche modificare i numeri direttamente al suo interno.
Puoi usare numeri decimali, numeri negativi e frazioni come 3/4. Un coefficiente di x o di y lasciato vuoto vale 1 (x significa 1x), un secondo membro lasciato vuoto vale 0. Per un termine che non ti serve scrivi 0.
Risultato e grafico
Scrivi i coefficienti delle due equazioni nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compaiono i passaggi e il grafico.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e grafici
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Un sistema di due equazioni lineari e la sua soluzione
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Metodo di riduzione (si rendono uguali i coefficienti e si sottrae membro a membro)
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Metodo di sostituzione (si ricava \(y = \) e si sostituisce)
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Una formula per la soluzione in un solo passaggio e come riconoscere un sistema impossibile o indeterminato
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
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Come calcolarlo con Python
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La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
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Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
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I punti di forza di DataChef
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Funzioni correlate
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Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Risolvi subito un sistema di due equazioni lineari, \(ax + by = c,\ dx + ey = f\), scrivendo solo i coefficienti e i secondi membri. La calcolatrice mostra il sistema scritto come a mano e puoi modificare i numeri direttamente al suo interno
- Puoi scegliere il metodo di riduzione (si rendono uguali i coefficienti e si somma o si sottrae membro a membro) oppure il metodo di sostituzione (si ricava \(y = \) da un’equazione e si sostituisce). I passaggi seguono lo stesso percorso dei libri di testo
- I coefficienti possono essere numeri decimali, negativi o frazioni come 3/4 (con frazioni e decimali i passaggi partono dal moltiplicare entrambi i membri per rendere interi i coefficienti)
- Oltre al caso con una sola soluzione (sistema determinato), riconosce il sistema impossibile (nessuna soluzione: rette parallele) e il sistema indeterminato (infinite soluzioni: la stessa retta), e ne spiega il motivo. Le risposte sono frazioni ridotte ai minimi termini (valori esatti), con il decimale accanto quando il risultato è una frazione. Vedi anche il grafico delle due rette (il punto di intersezione è la soluzione) e una verifica che sostituisce la soluzione in entrambe le equazioni
- In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare e incollare in Excel, Fogli Google e Python
Questa pagina risolve sistemi di due equazioni lineari in due incognite (x e y). I sistemi con tre o più incognite o con termini al quadrato non sono supportati.
A cosa serve questo calcolo?
Trovare i prezzi di due prodotti (acquisti e contabilità)
Immagina di avere due scontrini che riportano solo i totali: «1 caffè e 1 cornetto: 2,70 €» e «2 caffè e 1 cornetto: 3,90 €». Chiama \(x\) euro il prezzo di un caffè e \(y\) euro quello di un cornetto. Il sistema \(x + y = 2{,}7\), \(2x + y = 3{,}9\) dà un caffè a 1,20 € e un cornetto a 1,50 €.
«I prezzi singoli non sono scritti, ma si conoscono i totali di alcune combinazioni» è l’uso più classico di un sistema di equazioni, e si presenta anche quando si scompongono fatture e preventivi in contabilità.
Trovare il punto in cui due piani tariffari si incontrano (telefonia, energia, abbonamenti)
Il piano A costa 15 € al mese più 5 € per ogni GB, il piano B costa 30 € al mese più 2 € per ogni GB. Se la spesa mensile è \(y\) euro e i dati sono \(x\) GB, si scrivono \(y = 5x + 15\) e \(y = 2x + 30\). Risolvendo il sistema si ottiene \(x = 5\) GB, dove le due spese sono uguali, 40 €.
Quindi «se usi più di 5 GB, il piano B costa meno». Trovare il punto di intersezione di due rette, il punto di pareggio, funziona allo stesso modo per confrontare le offerte di luce e gas o gli abbonamenti (se il prezzo cresce in proporzione a quanto si consuma).
Trovare quanta strada hai fatto a piedi e quanta di corsa (tragitto casa-scuola o casa-lavoro)
Da casa alla stazione ci sono 1500 m. Cammini a 60 metri al minuto, poi corri a 150 metri al minuto e arrivi in 15 minuti. Se \(x\) metri sono a piedi e \(y\) metri di corsa, l’equazione delle distanze è \(x + y = 1500\) e quella dei tempi è \(\dfrac{x}{60} + \dfrac{y}{150} = 15\). Risolvendo si ottiene: 500 m a piedi e 1000 m di corsa.
Ogni volta che hai un totale e una seconda quantità decisa da come si divide il totale (tempo, costo e così via), ottieni un sistema di equazioni. Questo schema è utile ben oltre i problemi di velocità.
Mescolare liquidi di concentrazione diversa (cucina, produzione, agricoltura)
Per ottenere 300 mL di una soluzione salina all’8% mescolando una soluzione al 5% e una al 10%, chiama \(x\) mL la quantità di quella al 5% e \(y\) mL quella al 10%. La quantità totale dà \(x + y = 300\) e la quantità di sostanza disciolta dà \(0{,}05x + 0{,}1y = 24\) (l’8% di 300 mL è 24 mL). Risolvendo si ottengono 120 mL della soluzione al 5% e 180 mL di quella al 10%.
Diluire un detersivo concentrato, preparare un concime, fare leghe di metalli: questo calcolo si usa ovunque si mescolano due ingredienti per ottenere una concentrazione voluta.
Trovare il punto di pareggio (negozi e attività)
Un prodotto si vende a 8 €, i materiali costano 5 € al pezzo e i costi fissi come l’affitto sono 900 € al mese. Se \(x\) sono i pezzi venduti al mese e \(y\) gli euro, l’equazione dei ricavi è \(y = 8x\) e quella dei costi è \(y = 5x + 900\). Il loro punto di intersezione è \(x = 300\) pezzi e \(y = 2400\) euro, quindi 300 pezzi al mese sono il confine tra utile e perdita (il punto di pareggio).
È uno dei primi numeri da controllare in un piano d’impresa o quando si fissa un prezzo, ed è un sistema di equazioni a tutti gli effetti (se il prezzo e il costo unitario non cambiano con la quantità).
Formule e grafici
Un sistema di due equazioni lineari e la sua soluzione
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(ax + by\)
\(=\)
\(c\)
\(dx + ey\)
\(=\)
\(f\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
①
\(ax + by\): primo membro di (1) (il termine in \(x\) più il termine in \(y\))
\(=\)
②
\(c\): secondo membro di (1)
③
\(dx + ey\): primo membro di (2) (il termine in \(x\) più il termine in \(y\))
\(=\)
④
\(f\): secondo membro di (2)
La formula a parole
①
L’equazione in cui
\(ax + by\): primo membro di (1) (il termine in \(x\) più il termine in \(y\))
②
è uguale a
\(c\): secondo membro di (1)
e l’equazione in cui
③
\(dx + ey\): primo membro di (2) (il termine in \(x\) più il termine in \(y\))
④
è uguale a
\(f\): secondo membro di (2)
devono essere vere nello stesso tempo. Una coppia \(x,\ y\) che le rende vere entrambe si chiama «soluzione»
Un esempio semplice
Per (1) \(x + y = 5\) e (2) \(2x - y = 1\), l’unica coppia che le rende vere entrambe è \(x = 2,\ y = 3\)
primo membro di (1), \(x + y\)
\(=\)
secondo membro di (1), \(5\)
primo membro di (2), \(2x - y\)
\(=\)
secondo membro di (2), \(1\)
\(x = 2,\ y = 3\)
\(2 + 3 = 5\)
\(2 \times 2 - 3 = 1\)
L’idea chiave
Con la sola equazione \(x + y = 5\) le coppie che vanno bene sono infinite: \((1\,;\,4)\), \((2\,;\,3)\), \((0{,}5\,;\,4{,}5)\) e così via. Aggiungendo la condizione che sia vera anche una seconda equazione, la risposta si riduce a una sola coppia.
Sul grafico, i punti che soddisfano un’equazione formano una retta e la soluzione del sistema è il punto in cui le due rette si incontrano (il punto di intersezione). Quindi, se le due rette sono parallele, non c’è nessuna soluzione (sistema impossibile); se sono perfettamente sovrapposte, le soluzioni sono infinite (sistema indeterminato).
Metodo di riduzione (si rendono uguali i coefficienti e si sottrae membro a membro)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\((ax + by)\)
\(-\)
\((ax + ey)\)
\(=\)
\(c - f\)
\((b - e)y\)
\(=\)
\(c - f\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
①
\((ax + by)\): primo membro di (1)
\(-\)
②
\((ax + ey)\): primo membro di (2) (coefficiente di \(x\) reso uguale a quello di (1))
\(=\)
③
\(c - f\): differenza dei secondi membri
④
\((b - e)y\): \(x\) è sparita e resta solo \(y\)
\(=\)
\(c - f\): differenza dei secondi membri
La formula a parole
①
Per prima cosa rendi uguali i coefficienti di \(x\) delle due equazioni. Da
\((ax + by)\): primo membro di (1)
②
sottrai
\((ax + ey)\): primo membro di (2) con il coefficiente di \(x\) reso uguale a quello di (1)
(sottrai allo stesso modo i secondi membri)
③
Il secondo membro diventa
\(c - f\): differenza dei secondi membri
④
e nel primo membro i termini \(ax\) si eliminano, lasciando
\((b - e)y\): \(x\) è sparita e resta solo \(y\)
(poi dividi entrambi i membri per il coefficiente di \(y\) per trovare \(y\))
Un esempio semplice
Elimina \(y\) da (1) \(x + y = 5\) e (2) \(2x - y = 1\). I coefficienti di \(y\) sono \(+1\) e \(-1\) (stesso valore assoluto, segni opposti), quindi puoi sommare le equazioni membro a membro così come sono
primo membro di (1), \(x + y\)
\(+\)
primo membro di (2), \(2x - y\)
\(=\)
somma dei secondi membri, \(5 + 1\)
\((x + y) + (2x - y) = 5 + 1\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
\(y = 5 - 2 = 3\)
L’idea chiave
Se sottrarre o sommare dipende dai segni dei coefficienti resi uguali. Se hanno lo stesso segno (per esempio \(+2\) e \(+2\)), sottrai le equazioni; se hanno segni opposti (per esempio \(+2\) e \(-2\)), sommale. In entrambi i casi l’incognita viene eliminata.
Se i coefficienti non sono ancora uguali, moltiplica entrambi i membri delle equazioni per renderli uguali. Per esempio, se i coefficienti di \(x\) sono 2 e 3, portali al minimo comune multiplo, 6, facendo (1) × 3 e (2) × 2. «Moltiplicare entrambi i membri per lo stesso numero» e «sommare o sottrarre primo membro con primo membro e secondo membro con secondo membro» si basano entrambi sui principi di equivalenza (se fai la stessa operazione a entrambi i membri l’uguaglianza resta), quindi la risposta non cambia.
Puoi eliminare indifferentemente \(x\) o \(y\). Il consiglio è di eliminare quella i cui coefficienti sono più facili da rendere uguali.
Metodo di sostituzione (si ricava \(y = \) e si sostituisce)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(y\)
\(=\)
\(px + q\)
\(dx + e(px + q)\)
\(=\)
\(f\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
①
\(y\): ricavata da (1)
\(=\)
②
\(px + q\): un’espressione solo in \(x\)
③
\(dx + e(px + q)\): primo membro di (2) con \(px + q\) al posto di \(y\), ora solo in \(x\)
\(=\)
④
\(f\): secondo membro di (2)
La formula a parole
①
Ricava \(y\) da (1) con il trasporto e la divisione, così che
\(y\): ricavata da (1)
si scriva come
②
\(px + q\): un’espressione solo in \(x\)
③
Mettila al posto di \(y\) in (2) (sostituisci) e il primo membro di (2) diventa
\(dx + e(px + q)\): primo membro di (2) solo in \(x\)
④
Uguaglialo a
\(f\): secondo membro di (2)
e risolvi questa equazione di primo grado in una sola incognita per trovare \(x\). Poi sostituisci \(x\) in \(px + q\) per trovare \(y\)
Un esempio semplice
Per (1) \(x + y = 5\) e (2) \(2x - y = 1\), ricavando \(y\) da (1) si ottiene \(y = 5 - x\). Sostituiscilo al posto di \(y\) in (2)
primo membro di (2) con \(5 - x\) al posto di \(y\), \(2x - (5 - x)\)
\(=\)
secondo membro di (2), \(1\)
\(2x - (5 - x) = 1\)
\(3x - 5 = 1\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
\(y = 5 - 2 = 3\)
L’idea chiave
Puoi scegliere liberamente da quale equazione e per quale incognita ricavare. Scegliere un’incognita il cui coefficiente è 1 o \(-1\) evita le frazioni e rende il calcolo più facile (anche questa calcolatrice sceglie così).
Quando sostituisci, metti tutta l’espressione tra parentesi. Sbagliare i segni quando togli le parentesi in \(2x - (5 - x)\) è l’errore più comune del metodo di sostituzione.
Riduzione e sostituzione sono due strade con lo stesso piano: «eliminare un’incognita per ottenere un’equazione in una sola incognita». Quindi danno sempre la stessa risposta. Quando un’equazione è già nella forma \(y = \), come \(y = 2x + 1\), conviene la sostituzione.
Una formula per la soluzione in un solo passaggio e come riconoscere un sistema impossibile o indeterminato
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(x\)
\(=\)
\(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\)
\(y\)
\(=\)
\(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
\(x\): soluzione per \(x\)
\(=\)
①
\(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\): frazione costruita con i coefficienti
④
\(y\): soluzione per \(y\)
\(=\)
③
\(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\): frazione costruita con i coefficienti
La formula a parole
①
Per il denominatore, moltiplica in croce \(a\) per \(e\) e \(b\) per \(d\) e sottrai. Per il numeratore, fai lo stesso con \(c\) ed \(e\), \(b\) ed \(f\). Calcolando
\(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\): frazione costruita con i coefficienti
si ottiene
②
\(x\): soluzione per \(x\)
③
Tenendo lo stesso denominatore e cambiando solo il numeratore in \(af - cd\), calcolando
\(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\): frazione costruita con i coefficienti
si ottiene
④
\(y\): soluzione per \(y\)
Un esempio semplice
Per (1) \(x + y = 5\) e (2) \(2x - y = 1\) (\(a = 1,\ b = 1,\ c = 5,\ d = 2,\ e = -1,\ f = 1\))
\(x\): soluzione per \(x\)
\(=\)
frazione costruita con i coefficienti \(\dfrac{5 \times (-1) - 1 \times 1}{1 \times (-1) - 1 \times 2}\)
\(ae - bd = 1 \times (-1) - 1 \times 2 = -3\)
\(x = \dfrac{ce - bf}{ae - bd} = \dfrac{5 \times (-1) - 1 \times 1}{-3} = \dfrac{-6}{-3} = 2\)
\(y = \dfrac{af - cd}{ae - bd} = \dfrac{1 \times 1 - 5 \times 2}{-3} = \dfrac{-9}{-3} = 3\)
L’idea chiave
Se il denominatore \(ae - bd\) non è 0, esiste esattamente una soluzione (sistema determinato). Questa formula si chiama regola di Cramer: è il risultato della riduzione scritto con le lettere dei coefficienti al posto dei numeri.
Se il denominatore \(ae - bd = 0\), non puoi dividere e non c’è una sola soluzione. Succede quando i primi membri delle due equazioni sono proporzionali (le due rette hanno lo stesso coefficiente angolare). Se anche i secondi membri sono nello stesso rapporto, le rette coincidono (sistema indeterminato, infinite soluzioni); se sono fuori proporzione solo i secondi membri, le rette sono parallele (sistema impossibile, nessuna soluzione). In formule: se anche i numeratori \(ce - bf\) e \(af - cd\) sono entrambi 0, il sistema è indeterminato; altrimenti è impossibile.
La formula è comoda per controllare le risposte e per risolvere molti sistemi in una volta sola in un foglio di calcolo. In un compito in classe, però, di solito si richiede di mostrare i passaggi della riduzione o della sostituzione.
Il piano di base per risolvere un sistema di equazioni è «eliminare un’incognita per ottenere un’equazione in una sola incognita». Il metodo di riduzione rende uguali i coefficienti e somma o sottrae le equazioni membro a membro; il metodo di sostituzione ricava \(y = \) da un’equazione e la sostituisce. Entrambi danno la stessa risposta. Quando non c’è una sola soluzione, le due rette sono parallele (sistema impossibile, nessuna soluzione) oppure coincidono (sistema indeterminato, infinite soluzioni).
Simboli e termini
Simboli
| \(x,\ y\) | ics, ipsilon | Le lettere che indicano i due numeri da trovare (le incognite). Per convenzione, per i numeri che non conosciamo ancora si usano le lettere di fine alfabeto \(x,\ y,\ z\). |
| \(a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f\) | a, b, c, d, e, f | Le lettere che indicano in generale i coefficienti e i termini noti dei secondi membri (i numeri conosciuti). Per convenzione, per i numeri fissati si usano le lettere di inizio alfabeto. In questa pagina (1) è \(ax + by = c\) e (2) è \(dx + ey = f\). |
| (1), (2) | equazione uno, equazione due | I numeri che si danno alle equazioni. Servono a scrivere in breve quale operazione è stata fatta su quale equazione, come in «(1) × 2» o «(1) + (2)». Si usano anche nei libri di testo e nelle soluzioni svolte. |
| \(\{\) | graffa | La grande parentesi graffa a sinistra di un sistema di equazioni. Significa «queste due equazioni devono essere vere nello stesso tempo» e mostra che formano un insieme. |
| \(ae - bd\) | a e meno b d | Il valore che compare al denominatore della formula in un solo passaggio, ottenuto moltiplicando in croce i coefficienti e sottraendo. Il fatto che sia 0 o no decide se c’è esattamente una soluzione. Nel linguaggio delle matrici è il determinante della matrice dei coefficienti. |
| \((x\,;\,y)\) | la coppia x, y | Un modo di scrivere due valori come insieme. La soluzione di un sistema è una coppia di \(x\) e \(y\), quindi si scrive come coppia ordinata, per esempio \((2\,;\,3)\), nello stesso modo delle coordinate di un punto sul grafico (in italiano, con il punto e virgola, perché la virgola è la virgola decimale). |
Termini
| sistema di equazioni | Due o più equazioni prese insieme, per cercare i valori delle incognite che le rendono vere tutte nello stesso tempo. Si studia nella scuola secondaria di primo grado (11-14 anni). |
| equazione lineare in due incognite | Un’equazione con due incognite in cui ogni termine è di primo grado (niente quadrati e niente prodotti tra incognite). \(x + y = 5\) è un’equazione lineare in due incognite. Il suo grafico è una retta. |
| soluzione | I valori delle incognite che rendono vere le equazioni. Per un sistema, la soluzione è una coppia di valori di \(x\) e \(y\), che sul grafico corrisponde al punto di intersezione delle due rette. |
| metodo di riduzione | Un modo di risolvere che rende uguali i coefficienti delle due equazioni e poi le somma o le sottrae (primo membro con primo membro, secondo membro con secondo membro) per eliminare un’incognita. Si chiama anche metodo di addizione e sottrazione. |
| somma membro a membro | Sommare i primi membri tra loro e i secondi membri tra loro e unire le due somme con «=» per formare una nuova uguaglianza. La sottrazione membro a membro funziona allo stesso modo. |
| metodo di sostituzione | Un modo di risolvere che scrive un’equazione nella forma «\(y = \) (un’espressione in \(x\))» e la sostituisce al posto di \(y\) nell’altra equazione per eliminare un’incognita. |
| sostituire | Mettere un valore o un’espressione al posto di una lettera. Sostituendo \(y = 5 - x\) in \(2x - y = 1\) si ottiene \(2x - (5 - x) = 1\). |
| eliminare | Far sparire una delle due incognite dalle equazioni, ottenendo un’equazione con una sola incognita. Il metodo di riduzione e il metodo di sostituzione sono entrambi modi per farlo. |
| trasporto | Spostare un termine di un’equazione all’altro membro cambiandogli il segno. Trasportando il \(3\) di \(x + 3 = 7\) si ottiene \(x = 7 - 3\). È una forma abbreviata di «sottrai lo stesso numero a entrambi i membri». |
| coefficiente | Il numero scritto davanti a una lettera. In \(2x\) il coefficiente è 2. Se non c’è nessun numero, come in \(x\), il coefficiente è 1, e il coefficiente di \(-y\) è \(-1\). |
| principi di equivalenza | Un’equazione resta equivalente se aggiungi o sottrai lo stesso numero a entrambi i membri, o se li moltiplichi o li dividi per lo stesso numero diverso da 0. È come una bilancia a due piatti che resta in equilibrio se metti lo stesso peso su entrambi i piatti. Ogni passaggio della riduzione e della sostituzione si basa su questi principi. |
| minimo comune multiplo (mcm) | Il più piccolo numero che è multiplo di entrambi i numeri. Nel metodo di riduzione è il numero a cui si portano i coefficienti per renderli uguali (per i coefficienti 2 e 3 si usa 6). |
| rette parallele | Due rette che non si incontrano mai, per quanto si prolunghino. In un sistema di equazioni, se i due grafici sono rette parallele non c’è nessun punto di intersezione, quindi non ci sono soluzioni (il sistema è impossibile). |
| sistema indeterminato | Quando non c’è una sola soluzione ma ce ne sono infinite. Succede quando le due equazioni descrivono la stessa retta e quindi ogni punto della retta è una soluzione. Se invece non ce ne sono affatto, il sistema si dice impossibile; se ce n’è una sola, determinato. |
| punto di intersezione | Il punto in cui due grafici si incontrano. La soluzione di un sistema di equazioni coincide con le coordinate del punto in cui si incontrano i grafici delle due equazioni (due rette). |
| verifica | Sostituire la soluzione in entrambe le equazioni di partenza per controllare che il primo e il secondo membro siano davvero uguali. Un sistema si verifica con la sola sostituzione, quindi farlo per abitudine ti aiuta a trovare da solo gli errori di calcolo. |
| regola di Cramer | Una formula che calcola la soluzione direttamente dai coefficienti: \(x = \dfrac{ce - bf}{ae - bd},\ y = \dfrac{af - cd}{ae - bd}\). Prende il nome dal matematico svizzero Gabriel Cramer. Di solito si studia con le matrici alle superiori o con l’algebra lineare all’università, ma con due incognite la si può verificare con la sola algebra di base. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a ripassare questi argomenti è la strada più veloce.
| Espressioni con le lettere (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Calcoli con i numeri relativi (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Principi di equivalenza ed equazioni di primo grado (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Coordinate e grafici (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Calcoli con le frazioni (scuola primaria e scuola secondaria di primo grado) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per risolvere il sistema
| (1) coefficiente di x, a | 1 |
| (1) coefficiente di y, b | 1 |
| (1) secondo membro, c | 5 |
| (2) coefficiente di x, d | 2 |
| (2) coefficiente di y, e | -1 |
| (2) secondo membro, f | 1 |
| Denominatore ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Soluzione x ((ce−bf)÷(ae−bd)) | =(B3*B5-B2*B6)/B7 |
| Soluzione y ((af−cd)÷(ae−bd)) | =(B1*B6-B3*B4)/B7 |
Tabella per riconoscere un sistema impossibile o indeterminato
| (1) coefficiente di x, a | 1 |
| (1) coefficiente di y, b | 1 |
| (1) secondo membro, c | 3 |
| (2) coefficiente di x, d | 2 |
| (2) coefficiente di y, e | 2 |
| (2) secondo membro, f | 6 |
| Denominatore ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Numeratore ce−bf | =B3*B5-B2*B6 |
| Numeratore af−cd | =B1*B6-B3*B4 |
| Esito | =SE(B7<>0;"Una sola soluzione (determinato)";SE(E(B8=0;B9=0);"Indeterminato (infinite soluzioni)";"Impossibile (rette parallele)")) |
Tabella per la verifica della soluzione (sostituzione in entrambe le equazioni)
| (1) coefficiente di x, a | 1 |
| (1) coefficiente di y, b | 1 |
| (1) secondo membro, c | 5 |
| (2) coefficiente di x, d | 2 |
| (2) coefficiente di y, e | -1 |
| (2) secondo membro, f | 1 |
| Soluzione x | 2 |
| Soluzione y | 3 |
| Primo membro di (1) ax+by (corretto se uguale a c) | =B1*B7+B2*B8 |
| Primo membro di (2) dx+ey (corretto se uguale a f) | =B4*B7+B5*B8 |
Dopo averla incollata, le righe in alto (i coefficienti e i secondi membri) sono i dati da inserire e le righe in basso si calcolano da sole.
La prima tabella risolve x + y = 5, 2x − y = 1. Il denominatore ae−bd è −3 e la soluzione è x = 2, y = 3. Se il denominatore è 0, la divisione dà un errore (#DIV/0!), che è il segnale che non c’è una sola soluzione.
La seconda tabella è per x + y = 3, 2x + 2y = 6 e l’esito è «Indeterminato (infinite soluzioni)». Cambia il secondo membro f di (2) in 10 e diventa «Impossibile (rette parallele)».
La terza tabella verifica la soluzione sostituendola in entrambe le equazioni. Il primo membro di (1) vale 5 e quello di (2) vale 1, e coincidono con i rispettivi secondi membri.
La prima tabella risolve x + y = 5, 2x − y = 1. Il denominatore ae−bd è −3 e la soluzione è x = 2, y = 3. Se il denominatore è 0, la divisione dà un errore (#DIV/0!), che è il segnale che non c’è una sola soluzione.
La seconda tabella è per x + y = 3, 2x + 2y = 6 e l’esito è «Indeterminato (infinite soluzioni)». Cambia il secondo membro f di (2) in 10 e diventa «Impossibile (rette parallele)».
La terza tabella verifica la soluzione sostituendola in entrambe le equazioni. Il primo membro di (1) vale 5 e quello di (2) vale 1, e coincidono con i rispettivi secondi membri.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per risolvere il sistema
| (1) coefficiente di x, a | 1 |
| (1) coefficiente di y, b | 1 |
| (1) secondo membro, c | 5 |
| (2) coefficiente di x, d | 2 |
| (2) coefficiente di y, e | -1 |
| (2) secondo membro, f | 1 |
| Denominatore ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Soluzione x ((ce−bf)÷(ae−bd)) | =(B3*B5-B2*B6)/B7 |
| Soluzione y ((af−cd)÷(ae−bd)) | =(B1*B6-B3*B4)/B7 |
Tabella per riconoscere un sistema impossibile o indeterminato
| (1) coefficiente di x, a | 1 |
| (1) coefficiente di y, b | 1 |
| (1) secondo membro, c | 3 |
| (2) coefficiente di x, d | 2 |
| (2) coefficiente di y, e | 2 |
| (2) secondo membro, f | 6 |
| Denominatore ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Numeratore ce−bf | =B3*B5-B2*B6 |
| Numeratore af−cd | =B1*B6-B3*B4 |
| Esito | =SE(B7<>0;"Una sola soluzione (determinato)";SE(E(B8=0;B9=0);"Indeterminato (infinite soluzioni)";"Impossibile (rette parallele)")) |
Tabella per la verifica della soluzione (sostituzione in entrambe le equazioni)
| (1) coefficiente di x, a | 1 |
| (1) coefficiente di y, b | 1 |
| (1) secondo membro, c | 5 |
| (2) coefficiente di x, d | 2 |
| (2) coefficiente di y, e | -1 |
| (2) secondo membro, f | 1 |
| Soluzione x | 2 |
| Soluzione y | 3 |
| Primo membro di (1) ax+by (corretto se uguale a c) | =B1*B7+B2*B8 |
| Primo membro di (2) dx+ey (corretto se uguale a f) | =B4*B7+B5*B8 |
Le formule sono le stesse di Excel e funzionano così come sono. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i coefficienti e i secondi membri con i tuoi numeri.
Come calcolarlo con Python
from fractions import Fraction
# (1): a1*x + b1*y = c1
# (2): a2*x + b2*y = c2 (una frazione come 3/4 si scrive Fraction(3, 4))
a1, b1, c1 = Fraction(1), Fraction(1), Fraction(5)
a2, b2, c2 = Fraction(2), Fraction(-1), Fraction(1)
denominator = a1 * b2 - a2 * b1 # denominatore della formula, ae − bd
if denominator != 0:
x = (c1 * b2 - c2 * b1) / denominator
y = (a1 * c2 - a2 * c1) / denominator
print(f"Soluzione: x = {x}, y = {y}")
print(f"In decimali: x = {float(x)}, y = {float(y)}")
elif c1 * b2 - c2 * b1 == 0 and a1 * c2 - a2 * c1 == 0:
print("Infinite soluzioni (le due equazioni descrivono la stessa retta)")
else:
print("Nessuna soluzione (le due rette sono parallele e non si incontrano mai)")
Con il modulo fractions della libreria standard puoi calcolare con frazioni esatte, senza errori di arrotondamento dei decimali. Questo esempio risolve x + y = 5, 2x − y = 1 ed eseguendolo stampa «Soluzione: x = 2, y = 3». Cambia i coefficienti e i secondi membri ed eseguilo.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Un sistema di due equazioni lineari e la sua soluzione
ax + by = c, dx + ey = f
\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>{</mo>
<mtable columnalign="left">
<mtr><mtd>
<mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>c</mi>
</mtd></mtr>
<mtr><mtd>
<mi>d</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi>
</mtd></mtr>
</mtable>
</mrow>
</math>
{(ax + by = c),(dx + ey = f):}
Solve[{a*x + b*y == c, d*x + e*y == f}, {x, y}]
solve({a*x + b*y = c, d*x + e*y = f}, {x, y});
S = solve(a*x + b*y == c, d*x + e*y == f, [x, y])
ax + by = c, dx + ey = f
Metodo di riduzione (si rendono uguali i coefficienti e si sottrae membro a membro)
(ax + by) − (ax + ey) = c − f
(ax + by) - (ax + ey) = c - f
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>y</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mi>y</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>c</mi><mo>−</mo><mi>f</mi>
</mrow>
</math>
(ax + by) - (ax + ey) = c - f
Simplify[(a*x + b*y) - (a*x + e*y) == c - f]
(a*x + b*y) - (a*x + e*y) = c - f;
simplify((a*x + b*y) - (a*x + e*y) == c - f)
(ax + by) − (ax + ey) = c − f
Metodo di sostituzione (si ricava \(y = \) e si sostituisce)
y = px + q, dx + e(px + q) = f
y = px + q,\quad dx + e(px + q) = f
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi><mo>=</mo><mi>p</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>q</mi>
<mo>,</mo>
<mi>d</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi>
<mo>(</mo><mi>p</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo><mi>f</mi>
</mrow>
</math>
y = px + q, dx + e(px + q) = f
Solve[{y == p*x + q, d*x + e*y == f}, {x, y}]
subs(y = p*x + q, d*x + e*y = f);
subs(d*x + e*y == f, y, p*x + q)
y = px + q, dx + e(px + q) = f
Una formula per la soluzione in un solo passaggio e come riconoscere un sistema impossibile o indeterminato
x = (ce − bf)/(ae − bd), y = (af − cd)/(ae − bd)
x = \frac{ce - bf}{ae - bd},\quad y = \frac{af - cd}{ae - bd}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi><mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>c</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>f</mi></mrow>
<mrow><mi>a</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi><mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mi>f</mi><mo>−</mo><mi>c</mi><mi>d</mi></mrow>
<mrow><mi>a</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
x = (ce - bf)/(ae - bd), y = (af - cd)/(ae - bd)
{x, y} = {(c*e - b*f)/(a*e - b*d), (a*f - c*d)/(a*e - b*d)}
x := (c*e - b*f)/(a*e - b*d); y := (a*f - c*d)/(a*e - b*d);
x = (c*e - b*f)/(a*e - b*d); y = (a*f - c*d)/(a*e - b*d);
x = (ce − bf)/(ae − bd), y = (af − cd)/(ae − bd)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente di calcolo per la matematica (sistemi di equazioni). Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con il calcolo a mente né a intuito). Risolvi il sistema di equazioni x + y = 5, 2x − y = 1. Mostra ciascuno dei punti seguenti: 1. La soluzione x, y (se sono frazioni, dai sia le frazioni ridotte ai minimi termini sia i decimali) 2. I passaggi con il metodo di riduzione (si rendono uguali i coefficienti di un’incognita, poi si sommano o si sottraggono le equazioni membro a membro) 3. Una verifica che sostituisce la soluzione in entrambe le equazioni In Python calcola in modo esatto con il modulo fractions della libreria standard e mostra le formule usate e i numeri del risultato dell’esecuzione. Se non ci sono soluzioni o ce ne sono infinite, spiega anche il motivo.
Come si usa
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1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
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2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
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3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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