Escribe los coeficientes y los términos independientes de las ecuaciones (1) y (2). El sistema de abajo está enlazado con los campos, así que también puedes cambiar los números directamente en él.
Se pueden usar decimales, números negativos y fracciones como 3/4. Un coeficiente de x o de y en blanco se toma como 1 (x equivale a 1x) y un segundo miembro en blanco se toma como 0. Escribe 0 en los términos que no uses.
Resultado y gráfico
Escribe los coeficientes de las dos ecuaciones en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». Aquí aparecerán los pasos y una gráfica.
Índice
-
Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
-
Cómo usar
-
Fórmulas y gráficas
-
Símbolos y términos
-
Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
-
Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Resuelve al instante un sistema de dos ecuaciones lineales, \(ax + by = c,\ dx + ey = f\), con solo escribir los coeficientes y los términos independientes. La calculadora muestra el sistema tal como lo escribirías a mano, y puedes cambiar los números directamente en él
- Elige el método de reducción (igualar los coeficientes y sumar o restar las ecuaciones) o el método de sustitución (despejar \(y\) en una ecuación y sustituir). Los pasos siguen el mismo hilo que un libro de texto de matemáticas
- Los coeficientes pueden ser decimales, números negativos o fracciones como 3/4 (con fracciones y decimales, los pasos empiezan multiplicando los dos miembros para que los coeficientes sean enteros)
- Además de una única solución, detecta cuándo no hay solución (rectas paralelas) y cuándo hay infinitas soluciones (la misma recta), y explica por qué. Las respuestas se muestran como fracciones irreducibles (valores exactos), con el decimal añadido cuando son fracciones. También obtienes la gráfica de las dos rectas (el punto de corte es la solución) y una comprobación que sustituye la solución en las dos ecuaciones
- En esta misma página encontrarás también una explicación sencilla de las fórmulas y las fórmulas listas para copiar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
Esta página resuelve un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (x e y). No admite sistemas con tres o más incógnitas ni con términos al cuadrado.
¿Para qué sirve este cálculo?
Hallar el precio de dos productos (compras y contabilidad)
Supón que tienes dos tickets que solo muestran totales: «1 café y 1 pincho de tortilla por 4,50 €» y «2 cafés y 1 pincho de tortilla por 6 €». Sea \(x\) euros un café e \(y\) euros un pincho. El sistema \(x + y = 4{,}5\), \(2x + y = 6\) da un café a 1,50 € y un pincho a 3 €.
«No se ven los precios sueltos, pero sí los totales de las combinaciones» es el uso más clásico de un sistema de ecuaciones, y también aparece al desglosar facturas y presupuestos en contabilidad.
Hallar dónde se cruzan dos tarifas (móvil, electricidad, suscripciones)
La tarifa A cuesta 15 € al mes más 5 € por GB, y la tarifa B cuesta 30 € al mes más 2 € por GB. Con la factura mensual \(y\) euros y los datos \(x\) GB, son \(y = 5x + 15\) e \(y = 2x + 30\). Al resolver el sistema se obtiene \(x = 5\) GB, donde las dos facturas son iguales, 40 €.
Así que «si usas más de 5 GB, la tarifa B es más barata». Hallar el punto de corte de dos rectas, el punto de cruce, sirve igual para comparar tarifas de electricidad o suscripciones (suponiendo que el precio crece en proporción a lo que usas).
Hallar cuánto has caminado y cuánto has corrido (al colegio o al trabajo)
De casa a la estación hay 1500 m. Caminas a 60 m por minuto y luego corres a 150 m por minuto, y llegas en 15 minutos. Con \(x\) metros caminados e \(y\) metros corridos, la ecuación de la distancia es \(x + y = 1500\) y la del tiempo es \(\dfrac{x}{60} + \dfrac{y}{150} = 15\). Al resolver se obtiene 500 m caminando y 1000 m corriendo.
Siempre que tengas un total y una segunda cantidad que dependa de cómo se reparte el total (tiempo, coste, etc.), obtienes un sistema de ecuaciones. Este tipo de planteamiento es útil mucho más allá de los problemas de velocidad.
Mezclar disoluciones de distinta concentración (cocina, industria, agricultura)
Para preparar 300 g de una disolución de sal al 8 % mezclando una disolución al 5 % y otra al 10 %, sea \(x\) g la del 5 % e \(y\) g la del 10 %. La cantidad total da \(x + y = 300\), y la cantidad de sal disuelta da \(0{,}05x + 0{,}1y = 24\) (el 8 % de 300 g es 24 g). Al resolver se obtienen 120 g de la disolución al 5 % y 180 g de la del 10 %.
Diluir un concentrado de limpieza, mezclar abono, fabricar aleaciones de metal: este cálculo se usa siempre que se mezclan dos ingredientes para conseguir la concentración deseada.
Hallar el punto de equilibrio (tiendas y negocios)
Un producto se vende a 8 €, los materiales cuestan 5 € por unidad y los costes fijos, como el alquiler, son 900 € al mes. Con \(x\) unidades vendidas al mes e \(y\) euros, la ecuación de los ingresos es \(y = 8x\) y la de los costes es \(y = 5x + 900\). Su punto de corte es \(x = 300\) unidades e \(y = 2400\) euros, así que 300 unidades al mes es la frontera entre ganar y perder (el punto de equilibrio).
Es uno de los primeros números que se comprueban en un plan de negocio o al fijar un precio, y en el fondo es un sistema de ecuaciones (suponiendo que el precio y el coste por unidad no cambian con la cantidad).
Fórmulas y gráficas
Un sistema de dos ecuaciones lineales y su solución
Gráfica
Notación matemática
(la notación habitual)
\(ax + by\)
\(=\)
\(c\)
\(dx + ey\)
\(=\)
\(f\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
①
\(ax + by\): primer miembro de (1) (el término en \(x\) más el término en \(y\))
\(=\)
②
\(c\): segundo miembro de (1)
③
\(dx + ey\): primer miembro de (2) (el término en \(x\) más el término en \(y\))
\(=\)
④
\(f\): segundo miembro de (2)
La fórmula en palabras
①
La ecuación cuyo primer miembro es
\(ax + by\): primer miembro de (1) (el término en \(x\) más el término en \(y\))
②
es igual a
\(c\): segundo miembro de (1)
y la ecuación cuyo primer miembro es
③
\(dx + ey\): primer miembro de (2) (el término en \(x\) más el término en \(y\))
④
es igual a
\(f\): segundo miembro de (2)
deben cumplirse las dos a la vez. Un par \(x,\ y\) que hace ciertas las dos se llama «solución»
Un ejemplo sencillo
Para (1) \(x + y = 5\) y (2) \(2x - y = 1\), el único par que hace ciertas las dos es \(x = 2,\ y = 3\)
primer miembro de (1), \(x + y\)
\(=\)
segundo miembro de (1), \(5\)
primer miembro de (2), \(2x - y\)
\(=\)
segundo miembro de (2), \(1\)
\(x = 2,\ y = 3\)
\(2 + 3 = 5\)
\(2 \times 2 - 3 = 1\)
La idea clave
Con la ecuación \(x + y = 5\) sola hay infinitos pares que sirven: \((1\,;\,4)\), \((2\,;\,3)\), \((0{,}5\,;\,4{,}5)\), etc. Al añadir la condición de que también debe cumplirse una segunda ecuación, la respuesta se reduce a un solo par.
En una gráfica, los puntos que cumplen una ecuación forman una recta, y la solución del sistema es el punto donde se cortan las dos rectas (el punto de corte). Por eso, si las dos rectas son paralelas no hay solución, y si están exactamente una encima de la otra hay infinitas soluciones.
Método de reducción (igualar los coeficientes y restar las ecuaciones)
Notación matemática
(la notación habitual)
\((ax + by)\)
\(-\)
\((ax + ey)\)
\(=\)
\(c - f\)
\((b - e)y\)
\(=\)
\(c - f\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
①
\((ax + by)\): primer miembro de (1)
\(-\)
②
\((ax + ey)\): primer miembro de (2) (con el coeficiente de \(x\) igualado al de (1))
\(=\)
③
\(c - f\): diferencia de los segundos miembros
④
\((b - e)y\): \(x\) ha desaparecido y solo queda \(y\)
\(=\)
\(c - f\): diferencia de los segundos miembros
La fórmula en palabras
①
Primero iguala los coeficientes de \(x\) de las dos ecuaciones. A
\((ax + by)\): primer miembro de (1)
②
réstale
\((ax + ey)\): primer miembro de (2) con el coeficiente de \(x\) igualado al de (1)
(resta los segundos miembros del mismo modo)
③
El segundo miembro queda
\(c - f\): diferencia de los segundos miembros
④
y en el primer miembro los términos en \(ax\) se anulan y queda
\((b - e)y\): \(x\) ha desaparecido y solo queda \(y\)
(después divide los dos miembros entre el coeficiente de \(y\) para hallar \(y\))
Un ejemplo sencillo
Elimina \(y\) en (1) \(x + y = 5\) y (2) \(2x - y = 1\). Los coeficientes de \(y\) son \(+1\) y \(-1\) (mismo valor absoluto y signos opuestos), así que puedes sumar las ecuaciones tal cual
primer miembro de (1), \(x + y\)
\(+\)
primer miembro de (2), \(2x - y\)
\(=\)
suma de los segundos miembros, \(5 + 1\)
\((x + y) + (2x - y) = 5 + 1\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
\(y = 5 - 2 = 3\)
La idea clave
Restar o sumar depende de los signos de los coeficientes igualados. Si tienen el mismo signo (como \(+2\) y \(+2\)), resta las ecuaciones; si tienen signos opuestos (como \(+2\) y \(-2\)), súmalas. En los dos casos, esa incógnita desaparece.
Si los coeficientes todavía no coinciden, multiplica los dos miembros de las ecuaciones para igualarlos. Por ejemplo, si los coeficientes de \(x\) son 2 y 3, iguálalos en el mínimo común múltiplo, 6, haciendo (1) × 3 y (2) × 2. «Multiplicar los dos miembros por el mismo número» y «sumar o restar miembro a miembro» se basan en las propiedades de la igualdad (hacer lo mismo en los dos miembros mantiene la igualdad), así que la respuesta no cambia.
Puedes eliminar \(x\) o \(y\), como prefieras. Un buen consejo es eliminar la incógnita cuyos coeficientes sean más fáciles de igualar.
Método de sustitución (despejar \(y\) y sustituir)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(y\)
\(=\)
\(px + q\)
\(dx + e(px + q)\)
\(=\)
\(f\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
①
\(y\): resultado de despejar en (1)
\(=\)
②
\(px + q\): una expresión solo en \(x\)
③
\(dx + e(px + q)\): primer miembro de (2) con \(px + q\) en lugar de \(y\), ahora solo en \(x\)
\(=\)
④
\(f\): segundo miembro de (2)
La fórmula en palabras
①
Despeja en (1), pasando términos y dividiendo, de modo que
\(y\): resultado de despejar en (1)
se escriba como
②
\(px + q\): una expresión solo en \(x\)
③
Pon esto en lugar de \(y\) en (2) (sustitúyelo) y el primer miembro de (2) queda
\(dx + e(px + q)\): primer miembro de (2) solo en \(x\)
④
Iguálalo a
\(f\): segundo miembro de (2)
y resuelve esta ecuación de primer grado con una sola incógnita para hallar \(x\). Después sustituye \(x\) en \(px + q\) para hallar \(y\)
Un ejemplo sencillo
Para (1) \(x + y = 5\) y (2) \(2x - y = 1\), al despejar \(y\) en (1) se obtiene \(y = 5 - x\). Sustituye esto en lugar de \(y\) en (2)
primer miembro de (2) con \(5 - x\) en lugar de \(y\), \(2x - (5 - x)\)
\(=\)
segundo miembro de (2), \(1\)
\(2x - (5 - x) = 1\)
\(3x - 5 = 1\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
\(y = 5 - 2 = 3\)
La idea clave
Puedes elegir libremente qué ecuación resolver y qué incógnita despejar. Elegir una incógnita cuyo coeficiente sea 1 o \(-1\) evita las fracciones y facilita el trabajo (esta calculadora elige del mismo modo).
Al sustituir, pon toda la expresión entre paréntesis. Equivocarse con los signos al quitar los paréntesis de \(2x - (5 - x)\) es el error más frecuente del método de sustitución.
La reducción y la sustitución son dos caminos con el mismo plan: «eliminar una incógnita para obtener una ecuación con una sola incógnita». Por eso siempre dan la misma respuesta. Cuando una ecuación ya tiene la forma \(y = \), como \(y = 2x + 1\), conviene más la sustitución.
Una fórmula para hallar la solución en un solo paso, y cómo detectar que no hay solución o que hay infinitas
Gráfica
Notación matemática
(la notación habitual)
\(x\)
\(=\)
\(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\)
\(y\)
\(=\)
\(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
②
\(x\): solución para \(x\)
\(=\)
①
\(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\): fracción formada con los coeficientes
④
\(y\): solución para \(y\)
\(=\)
③
\(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\): fracción formada con los coeficientes
La fórmula en palabras
①
En el denominador, multiplica en cruz \(a\) por \(e\) y \(b\) por \(d\) y resta. En el numerador, haz lo mismo con \(c\) y \(e\), \(b\) y \(f\). Al calcular
\(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\): fracción formada con los coeficientes
se obtiene
②
\(x\): solución para \(x\)
③
Con el mismo denominador y cambiando solo el numerador por \(af - cd\), al calcular
\(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\): fracción formada con los coeficientes
se obtiene
④
\(y\): solución para \(y\)
Un ejemplo sencillo
Para (1) \(x + y = 5\) y (2) \(2x - y = 1\) (\(a = 1,\ b = 1,\ c = 5,\ d = 2,\ e = -1,\ f = 1\))
\(x\): solución para \(x\)
\(=\)
fracción formada con los coeficientes \(\dfrac{5 \times (-1) - 1 \times 1}{1 \times (-1) - 1 \times 2}\)
\(ae - bd = 1 \times (-1) - 1 \times 2 = -3\)
\(x = \dfrac{ce - bf}{ae - bd} = \dfrac{5 \times (-1) - 1 \times 1}{-3} = \dfrac{-6}{-3} = 2\)
\(y = \dfrac{af - cd}{ae - bd} = \dfrac{1 \times 1 - 5 \times 2}{-3} = \dfrac{-9}{-3} = 3\)
La idea clave
Si el denominador \(ae - bd\) no es 0, hay exactamente una solución. Esta fórmula se llama regla de Cramer. Es el resultado de la reducción, escrito con las letras de los coeficientes en lugar de números.
Si el denominador \(ae - bd = 0\), no se puede dividir y no hay una única solución. Ocurre cuando los primeros miembros de las dos ecuaciones son proporcionales (las dos rectas tienen la misma pendiente). Si los segundos miembros están en la misma proporción, las rectas coinciden (infinitas soluciones); si solo los segundos miembros no lo están, las rectas son paralelas (no hay solución). En fórmulas: si los numeradores \(ce - bf\) y \(af - cd\) también son los dos 0, hay infinitas soluciones; en caso contrario, no hay solución.
La fórmula es útil para comprobar respuestas y para resolver muchos sistemas a la vez en una hoja de cálculo. Sin embargo, en un examen del colegio normalmente se espera que muestres los pasos de la reducción o de la sustitución.
El plan básico para resolver un sistema de ecuaciones es «eliminar una incógnita para obtener una ecuación con una sola incógnita». El método de reducción iguala los coeficientes y suma o resta las ecuaciones; el método de sustitución despeja \(y\) en una ecuación y la sustituye en la otra. Los dos dan la misma respuesta. Cuando no hay una única solución, las dos rectas son paralelas (sin solución) o la misma recta (infinitas soluciones).
Símbolos y términos
Símbolos
| \(x,\ y\) | equis, i griega | Las letras que representan los dos números que quieres hallar (las incógnitas). Por costumbre, las últimas letras del alfabeto, \(x,\ y,\ z\), se usan para números que todavía no conocemos. |
| \(a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f\) | a, b, c, d, e, f | Letras que representan los coeficientes y los términos independientes de la derecha (los números conocidos). Por costumbre, las primeras letras del alfabeto se usan para números fijos. En esta página, (1) es \(ax + by = c\) y (2) es \(dx + ey = f\). |
| (1), (2) | ecuación uno, ecuación dos | Números que se dan a las ecuaciones. Sirven para escribir con brevedad qué operación se ha hecho con qué ecuación, como «(1) × 2» o «(1) + (2)». Los libros de texto y las soluciones resueltas también los usan. |
| \(\{\) | llave | La llave grande a la izquierda de un sistema de ecuaciones. Significa «estas dos ecuaciones deben cumplirse a la vez», y muestra que forman un conjunto. |
| \(ae - bd\) | a por e menos b por d | El valor del denominador de la fórmula de un solo paso, que se obtiene multiplicando en cruz los coeficientes y restando. Que sea 0 o no decide si hay exactamente una solución. En el lenguaje de las matrices, es el determinante de la matriz de coeficientes. |
| \((x,\ y)\) | el par x, y | Una forma de escribir dos valores como un conjunto. La solución de un sistema es un par de valores de \(x\) y de \(y\), así que se escribe como un par ordenado, por ejemplo \((2\,;\,3)\), igual que las coordenadas de un punto en una gráfica. |
Términos
| sistema de ecuaciones | Dos o más ecuaciones tomadas como un conjunto, en el que se buscan los valores de las incógnitas que hacen ciertas todas a la vez. Se estudia en 2.º y 3.º de ESO (13-15 años). |
| ecuación de primer grado con dos incógnitas | Una ecuación con dos incógnitas en la que todos los términos son de primer grado (sin cuadrados ni incógnitas multiplicadas entre sí). \(x + y = 5\) es una ecuación de primer grado con dos incógnitas. Su gráfica es una recta. |
| solución | Los valores de las incógnitas que hacen ciertas las ecuaciones. En un sistema, la solución es un par de valores de \(x\) y de \(y\), que en una gráfica es el punto de corte de las dos rectas. |
| método de reducción | Un modo de resolver que consiste en igualar los coeficientes de las dos ecuaciones y luego sumarlas o restarlas (primer miembro con primer miembro, segundo con segundo) para eliminar una incógnita. También se llama método de eliminación. |
| sumar las ecuaciones | Sumar los primeros miembros entre sí y los segundos miembros entre sí, y unir las dos sumas con «=» para formar una ecuación nueva. Restar las ecuaciones funciona igual. |
| método de sustitución | Un modo de resolver que consiste en despejar una incógnita en una ecuación, en la forma «\(y = \) (una expresión en \(x\))», y sustituirla en lugar de \(y\) en la otra ecuación para eliminar una incógnita. |
| sustituir | Poner un valor o una expresión en lugar de una letra. Al sustituir \(y = 5 - x\) en \(2x - y = 1\) se obtiene \(2x - (5 - x) = 1\). |
| eliminar | Quitar una de las dos incógnitas de las ecuaciones, dejando una ecuación con una sola incógnita. Los métodos de reducción y de sustitución son dos modos de hacerlo. |
| transposición de términos (pasar al otro miembro) | Pasar un término de una ecuación al otro miembro cambiándole el signo. Al pasar el \(3\) de \(x + 3 = 7\) se obtiene \(x = 7 - 3\). Es un atajo de «restar el mismo número en los dos miembros». |
| coeficiente | El número que va delante de una letra. En \(2x\), el coeficiente es 2. Cuando no se escribe ningún número, como en \(x\), el coeficiente es 1, y el coeficiente de \(-y\) es \(-1\). |
| propiedades de la igualdad | Una ecuación sigue siendo cierta si sumas, restas o multiplicas los dos miembros por el mismo número, o los divides entre el mismo número distinto de 0. Es como una balanza que sigue equilibrada cuando se pone el mismo peso en los dos platos. Todos los pasos de la reducción y de la sustitución se basan en estas propiedades. |
| mínimo común múltiplo (MCM) | El menor número que es múltiplo de los dos números. En el método de reducción es el objetivo al igualar coeficientes (para los coeficientes 2 y 3, se igualan en 6). |
| paralela | Dos rectas que nunca se cortan, por muy lejos que lleguen. En un sistema de ecuaciones, si las dos gráficas son paralelas no hay punto de corte, así que «no hay solución». |
| infinitas soluciones | Cuando no hay una única solución sino infinitas. Ocurre cuando las dos ecuaciones describen la misma recta, y entonces todos los puntos de la recta son solución. A un sistema así se le llama compatible indeterminado. |
| punto de corte | El punto donde se cortan dos gráficas. La solución de un sistema de ecuaciones son las coordenadas del punto donde se cortan las gráficas de las dos ecuaciones (dos rectas). |
| comprobación | Sustituir la solución en las dos ecuaciones originales para asegurarse de que el primer y el segundo miembro son realmente iguales. Un sistema se puede comprobar con solo sustituir, así que hacerlo por costumbre ayuda a detectar tus propios errores. |
| regla de Cramer | Una fórmula que calcula la solución directamente a partir de los coeficientes: \(x = \dfrac{ce - bf}{ae - bd},\ y = \dfrac{af - cd}{ae - bd}\). Lleva el nombre del matemático suizo Gabriel Cramer. Suele estudiarse con matrices en Bachillerato o con álgebra lineal en la universidad, pero con dos incógnitas puedes comprobarla con álgebra básica. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiéndolo de verdad, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar estos temas es el camino más rápido.
| Expresiones con letras (1.º–2.º de ESO, 12-14 años) |
|
| Operaciones con números negativos (1.º de ESO, 12-13 años) |
|
| Propiedades de la igualdad y ecuaciones de primer grado (1.º–2.º de ESO, 12-14 años) |
|
| Coordenadas y gráficas (de 5.º de Primaria a 2.º de ESO, 10-14 años) |
|
| Operaciones con fracciones (de 5.º de Primaria a 1.º de ESO, 10-13 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para resolver el sistema
| (1) coeficiente de x, a | 1 |
| (1) coeficiente de y, b | 1 |
| (1) segundo miembro, c | 5 |
| (2) coeficiente de x, d | 2 |
| (2) coeficiente de y, e | -1 |
| (2) segundo miembro, f | 1 |
| Denominador ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Solución x ((ce−bf)÷(ae−bd)) | =(B3*B5-B2*B6)/B7 |
| Solución y ((af−cd)÷(ae−bd)) | =(B1*B6-B3*B4)/B7 |
Tabla para comprobar si no hay solución o hay infinitas soluciones
| (1) coeficiente de x, a | 1 |
| (1) coeficiente de y, b | 1 |
| (1) segundo miembro, c | 3 |
| (2) coeficiente de x, d | 2 |
| (2) coeficiente de y, e | 2 |
| (2) segundo miembro, f | 6 |
| Denominador ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Numerador ce−bf | =B3*B5-B2*B6 |
| Numerador af−cd | =B1*B6-B3*B4 |
| Resultado | =SI(B7<>0;"Una solución";SI(Y(B8=0;B9=0);"Infinitas soluciones";"Sin solución (paralelas)")) |
Tabla para comprobar la solución (sustituir en las dos ecuaciones)
| (1) coeficiente de x, a | 1 |
| (1) coeficiente de y, b | 1 |
| (1) segundo miembro, c | 5 |
| (2) coeficiente de x, d | 2 |
| (2) coeficiente de y, e | -1 |
| (2) segundo miembro, f | 1 |
| Solución x | 2 |
| Solución y | 3 |
| Primer miembro de (1), ax+by (correcto si es igual a c) | =B1*B7+B2*B8 |
| Primer miembro de (2), dx+ey (correcto si es igual a f) | =B4*B7+B5*B8 |
Después de pegar, las filas de arriba (los coeficientes y los segundos miembros) son los datos y las filas de abajo se calculan solas.
La primera tabla resuelve x + y = 5, 2x − y = 1. El denominador ae−bd es −3, y la solución es x = 2, y = 3. Si el denominador es 0, la división da un error de división entre cero (DIV/0), que es la señal de que no hay una única solución.
La segunda tabla es para x + y = 3, 2x + 2y = 6, y el resultado es «Infinitas soluciones». Cambia el segundo miembro f de (2) a 10 y pasa a ser «Sin solución (paralelas)».
La tercera tabla comprueba la solución sustituyéndola en las dos ecuaciones. El primer miembro de (1) vale 5 y el de (2) vale 1, y coinciden con sus segundos miembros.
La primera tabla resuelve x + y = 5, 2x − y = 1. El denominador ae−bd es −3, y la solución es x = 2, y = 3. Si el denominador es 0, la división da un error de división entre cero (DIV/0), que es la señal de que no hay una única solución.
La segunda tabla es para x + y = 3, 2x + 2y = 6, y el resultado es «Infinitas soluciones». Cambia el segundo miembro f de (2) a 10 y pasa a ser «Sin solución (paralelas)».
La tercera tabla comprueba la solución sustituyéndola en las dos ecuaciones. El primer miembro de (1) vale 5 y el de (2) vale 1, y coinciden con sus segundos miembros.
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para resolver el sistema
| (1) coeficiente de x, a | 1 |
| (1) coeficiente de y, b | 1 |
| (1) segundo miembro, c | 5 |
| (2) coeficiente de x, d | 2 |
| (2) coeficiente de y, e | -1 |
| (2) segundo miembro, f | 1 |
| Denominador ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Solución x ((ce−bf)÷(ae−bd)) | =(B3*B5-B2*B6)/B7 |
| Solución y ((af−cd)÷(ae−bd)) | =(B1*B6-B3*B4)/B7 |
Tabla para comprobar si no hay solución o hay infinitas soluciones
| (1) coeficiente de x, a | 1 |
| (1) coeficiente de y, b | 1 |
| (1) segundo miembro, c | 3 |
| (2) coeficiente de x, d | 2 |
| (2) coeficiente de y, e | 2 |
| (2) segundo miembro, f | 6 |
| Denominador ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Numerador ce−bf | =B3*B5-B2*B6 |
| Numerador af−cd | =B1*B6-B3*B4 |
| Resultado | =SI(B7<>0;"Una solución";SI(Y(B8=0;B9=0);"Infinitas soluciones";"Sin solución (paralelas)")) |
Tabla para comprobar la solución (sustituir en las dos ecuaciones)
| (1) coeficiente de x, a | 1 |
| (1) coeficiente de y, b | 1 |
| (1) segundo miembro, c | 5 |
| (2) coeficiente de x, d | 2 |
| (2) coeficiente de y, e | -1 |
| (2) segundo miembro, f | 1 |
| Solución x | 2 |
| Solución y | 3 |
| Primer miembro de (1), ax+by (correcto si es igual a c) | =B1*B7+B2*B8 |
| Primer miembro de (2), dx+ey (correcto si es igual a f) | =B4*B7+B5*B8 |
Se pueden usar las mismas fórmulas que en Excel. Copia toda la tabla, pégala en la celda A1 y cambia los coeficientes y los segundos miembros por tus propios números.
Cómo calcularlo con Python
from fractions import Fraction
# (1): a1*x + b1*y = c1
# (2): a2*x + b2*y = c2 (una fracción como 3/4 se escribe Fraction(3, 4))
a1, b1, c1 = Fraction(1), Fraction(1), Fraction(5)
a2, b2, c2 = Fraction(2), Fraction(-1), Fraction(1)
denominator = a1 * b2 - a2 * b1 # denominador de la fórmula, ae − bd
if denominator != 0:
x = (c1 * b2 - c2 * b1) / denominator
y = (a1 * c2 - a2 * c1) / denominator
print(f"Solución: x = {x}, y = {y}")
print(f"En decimal: x = {float(x)}, y = {float(y)}")
elif c1 * b2 - c2 * b1 == 0 and a1 * c2 - a2 * c1 == 0:
print("Infinitas soluciones (las dos ecuaciones describen la misma recta)")
else:
print("Sin solución (las dos rectas son paralelas y nunca se cortan)")
Con el módulo fractions de la biblioteca estándar puedes calcular con fracciones exactas, sin errores de redondeo decimal. Este ejemplo resuelve x + y = 5, 2x − y = 1, y al ejecutarlo muestra «Solución: x = 2, y = 3». Cambia los coeficientes y los segundos miembros y ejecútalo.
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Un sistema de dos ecuaciones lineales y su solución
ax + by = c, dx + ey = f
\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>{</mo>
<mtable columnalign="left">
<mtr><mtd>
<mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>c</mi>
</mtd></mtr>
<mtr><mtd>
<mi>d</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi>
</mtd></mtr>
</mtable>
</mrow>
</math>
{(ax + by = c),(dx + ey = f):}
Solve[{a*x + b*y == c, d*x + e*y == f}, {x, y}]
solve({a*x + b*y = c, d*x + e*y = f}, {x, y});
S = solve(a*x + b*y == c, d*x + e*y == f, [x, y])
ax + by = c, dx + ey = f
Método de reducción (igualar los coeficientes y restar las ecuaciones)
(ax + by) − (ax + ey) = c − f
(ax + by) - (ax + ey) = c - f
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>y</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mi>y</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>c</mi><mo>−</mo><mi>f</mi>
</mrow>
</math>
(ax + by) - (ax + ey) = c - f
Simplify[(a*x + b*y) - (a*x + e*y) == c - f]
(a*x + b*y) - (a*x + e*y) = c - f;
simplify((a*x + b*y) - (a*x + e*y) == c - f)
(ax + by) − (ax + ey) = c − f
Método de sustitución (despejar \(y\) y sustituir)
y = px + q, dx + e(px + q) = f
y = px + q,\quad dx + e(px + q) = f
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi><mo>=</mo><mi>p</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>q</mi>
<mo>,</mo>
<mi>d</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi>
<mo>(</mo><mi>p</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo><mi>f</mi>
</mrow>
</math>
y = px + q, dx + e(px + q) = f
Solve[{y == p*x + q, d*x + e*y == f}, {x, y}]
subs(y = p*x + q, d*x + e*y = f);
subs(d*x + e*y == f, y, p*x + q)
y = px + q, dx + e(px + q) = f
Una fórmula para hallar la solución en un solo paso, y cómo detectar que no hay solución o que hay infinitas
x = (ce − bf)/(ae − bd), y = (af − cd)/(ae − bd)
x = \frac{ce - bf}{ae - bd},\quad y = \frac{af - cd}{ae - bd}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi><mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>c</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>f</mi></mrow>
<mrow><mi>a</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi><mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mi>f</mi><mo>−</mo><mi>c</mi><mi>d</mi></mrow>
<mrow><mi>a</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
x = (ce - bf)/(ae - bd), y = (af - cd)/(ae - bd)
{x, y} = {(c*e - b*f)/(a*e - b*d), (a*f - c*d)/(a*e - b*d)}
x := (c*e - b*f)/(a*e - b*d); y := (a*f - c*d)/(a*e - b*d);
x = (c*e - b*f)/(a*e - b*d); y = (a*f - c*d)/(a*e - b*d);
x = (ce − bf)/(ae − bd), y = (af − cd)/(ae − bd)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo de matemáticas (sistemas de ecuaciones). Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni adivinando). Resuelve el sistema de ecuaciones x + y = 5, 2x − y = 1. Muestra cada uno de estos puntos: 1. La solución x, y (si son fracciones, da las fracciones irreducibles y también los decimales) 2. Los pasos con el método de reducción (iguala los coeficientes de una incógnita y luego suma o resta las ecuaciones) 3. Una comprobación que sustituya la solución en las dos ecuaciones En Python, calcula con exactitud usando el módulo fractions de la biblioteca estándar, y muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución. Si no hay solución o hay infinitas, explica también por qué.
Cómo usar
-
1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
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