Hay tres formas de usar esta calculadora. 1) Hallar el valor z a partir de un valor, la media y la desviación típica. 2) Convertir entre un valor z y una probabilidad (rellena un solo campo). 3) Hallar la probabilidad entre dos valores z. Rellena solo los campos del grupo que quieras usar.
Rellena los campos de una sola forma de uso y deja los demás en blanco. Escribe las probabilidades como números de 0 a 1 (por ejemplo, 0,975 para el 97,5 %).
Resultado y gráfico
Escribe los números en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». El resultado y un gráfico aparecerán aquí.
Índice
-
Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
-
Cómo usar
-
Fórmula y gráfico
-
Símbolos y términos
-
Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
-
Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Escribe un valor \(x\), la media \(\mu\) y la desviación típica \(\sigma\) y obtendrás de una vez el valor z (puntuación típica) y la probabilidad de un valor menor que él
- En lugar de buscar en una tabla de la normal estándar (tabla z), convierte entre valores z y probabilidades en cualquier sentido (de valor z a probabilidad, o de probabilidad a valor z)
- Halla también al instante la probabilidad entre dos valores z (por ejemplo, entre −1,96 y 1,96)
- En esta misma página encontrarás también una explicación sencilla de las fórmulas y las fórmulas listas para copiar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
Esta calculadora supone que los datos siguen una distribución normal (una campana simétrica alrededor de la media). No sirve para datos cuya distribución está muy sesgada.
¿Para qué sirve este cálculo?
Saber en qué punto te encuentras: notas y percentiles (colegio y exámenes)
En un examen con una media de 65 y una desviación típica de 5, un 75 es \(z = 2\). Si las notas siguen una distribución normal, eso te sitúa en aproximadamente el 2,3 % superior (\(1 - \Phi(2) \approx 0{,}0228\)), que es más o menos el percentil 97,7. Las puntuaciones de CI se construyen directamente a partir de valores z (CI \(= 100 + 15 \times z\)), así que un CI de 130 es la misma posición.
Este es el uso más conocido de los valores z: convertir una nota en bruto en un percentil y ver lo grande que es de verdad una diferencia de unos pocos puntos, incluso entre pruebas con puntuaciones máximas y medias distintas.
Comparar en la misma regla notas de asignaturas o pruebas distintas
«Un 80 en inglés (media 70, desviación típica 10)» y «un 65 en matemáticas (media 50, desviación típica 15)» parecen indicar que inglés es más alto en las notas en bruto, pero como valores z los dos son \(z = 1\), la misma posición.
Aunque las unidades, las puntuaciones máximas o la severidad de la corrección sean distintas, los valores z permiten comparar con justicia por «lo por encima del grupo» que está una nota. La misma idea se usa para ajustar las puntuaciones entre distintas versiones de una prueba y para normalizar las valoraciones en las evaluaciones de desempeño.
Leer la curva de crecimiento de un niño (crianza y salud)
Las curvas de crecimiento pediátricas, como las de la OMS que se usan con los niños pequeños, valoran la talla y el peso con valores z (también llamados puntuaciones DE), que indican a cuántas desviaciones típicas (DE) está un niño del promedio.
Alrededor del 2,3 % de los niños queda fuera de cada una de las líneas de ±2 DE (\(z = \pm 2\)). Esas líneas, que corresponden a los percentiles 2,3 y 97,7, son una de las referencias que usan los médicos para decidir si conviene vigilar el crecimiento (los niños crecen a ritmos distintos y el médico decide después de seguir la tendencia). Saber qué representa la línea de «−2 DE» hace más fáciles de entender las explicaciones de las revisiones.
Control de calidad en una fábrica: cuántos productos no cumplen la especificación (industria)
Los tamaños y los pesos de los productos suelen variar de forma parecida a una distribución normal, así que si conviertes los límites superior e inferior de la especificación en valores z puedes estimar la tasa de defectos. Si los límites están en la media \(\pm 3\sigma\), quedan fuera alrededor del 0,3 % (\(2 \times (1 - \Phi(3)) \approx 0{,}0027\)).
El nombre del método de mejora de la calidad «Seis Sigma» también viene de esta idea del valor z (a cuántas σ está).
Gestión del riesgo en finanzas: «con un 99 % de probabilidad la pérdida no pasará de aquí» (banca e inversión)
Los bancos y las gestoras de activos miden el riesgo de pérdidas de sus carteras con una medida llamada valor en riesgo (VaR). Si se supone que las rentabilidades siguen una distribución normal, el límite en el que «la pérdida se mantiene dentro de este intervalo con un 99 % de probabilidad» es el valor z \(\Phi^{-1}(0{,}99) \approx 2{,}33\), es decir, 2,33 desviaciones típicas por encima de la media.
Esta conversión de «probabilidad a valor z» está en la base de los cálculos de riesgo de las instituciones financieras de todo el mundo.
Fórmula y gráfico
Definición del valor z (a cuántas desviaciones típicas está de la media)
Gráfico
Notación matemática
(la notación habitual)
\(z\)
\(=\)
\((\)
\(x\)
\(-\)
\(\mu\)
\()\)
\(\div\)
\(\sigma\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
④
\(z\): valor z
\(=\)
\((\)
①
\(x\): valor
\(-\)
②
\(\mu\): media
\()\)
\(\div\)
③
\(\sigma\): desviación típica
La fórmula en palabras
①
Toma el
\(x\): valor
②
réstale la
\(\mu\): media
③
divide entre la
\(\sigma\): desviación típica
④
y obtendrás el
\(z\): valor z
Un ejemplo sencillo
Para alguien que ha sacado un 75 en un examen con una media de 65 y una desviación típica de 5, el valor z es
\(z\): valor z
\(=\)
\((\)
nota (75)
\(-\)
media (65)
\()\)
\(\div\)
desviación típica (5)
\((75 - 65) \div 5 = 10 \div 5 = 2\)
La idea clave
El valor z (puntuación típica) indica a cuántas desviaciones típicas de la media está un valor. Un valor z positivo está por encima de la media, uno negativo está por debajo y 0 es exactamente la media.
Incluso datos con unidades distintas o con puntuaciones máximas distintas se pueden comparar con la misma regla una vez convertidos en valores z (la tipificación). Las puntuaciones de CI usan esta idea: CI \(= 100 + 15 \times z\) (el \(z = 2\) del ejemplo equivale a un CI de 130); en psicología también se usa la puntuación T (50 + 10 z).
De un valor z a «la probabilidad de un valor menor que \(Z\)»
Gráfico
Notación matemática
(la notación habitual)
\(P(x<Z)\)
\(=\)
\(\Phi(Z)\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
②
probabilidad de un valor menor que \(Z\)
\(=\)
①
área a la izquierda, \(\Phi(Z)\)
La fórmula en palabras
①
Introduce el valor z \(Z\) en la función de distribución \(\Phi\) (fi) para obtener el
valor \(\Phi(Z)\)
(\(\Phi(Z)\) es el área bajo la curva normal estándar a la izquierda de \(Z\))
②
y esa es la
probabilidad de un valor menor que \(Z\), \(P(x<Z)\)
Un ejemplo sencillo
Cuando el valor z es 2, la probabilidad de un valor menor que 2 es
probabilidad de un valor menor que 2
\(=\)
valor de la función de distribución, \(\Phi(2)\)
\(\Phi(2) \approx 0{,}97725\ \ (97{,}7\,\%)\)
La idea clave
Antes, los valores de \(\Phi\) se buscaban en la «tabla de la normal estándar (tabla z)» que venía al final de un libro de texto. Esta calculadora sirve como sustituta de esa tabla.
El lado contrario, «la probabilidad de un valor mayor que \(Z\)», es la probabilidad total 1 menos esa: \(1 - \Phi(Z)\). Para volver de una probabilidad a un valor z, usa la función inversa \(\Phi^{-1}\) (ejemplo: \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\)). Esta calculadora convierte en los dos sentidos.
Probabilidad entre \(-Z\) y \(Z\) (los dos lados juntos)
Gráfico
Notación matemática
(la notación habitual)
\(P(-Z<x<Z)\)
\(=\)
\(2\)
\(\times\)
\(\Phi(Z)\)
\(-\)
\(1\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
④
probabilidad entre \(-Z\) y \(Z\)
\(=\)
②
por 2 (los dos lados)
\(\times\)
①
área a la izquierda, \(\Phi(Z)\)
\(-\)
③
probabilidad total \(1\)
La fórmula en palabras
①
Toma el
valor \(\Phi(Z)\) (el área a la izquierda de \(Z\))
②
multiplícalo
por 2 (la curva es simétrica, así que hay dos iguales)
③
réstale la
probabilidad total \(1\)
④
y obtendrás la
probabilidad entre \(-Z\) y \(Z\)
Un ejemplo sencillo
Cuando el valor z es 1,96 (\(\Phi(1{,}96) \approx 0{,}975\)), la probabilidad entre −1,96 y 1,96 es
probabilidad entre −1,96 y 1,96
\(=\)
por 2
\(\times\)
valor de la función de distribución (0,975)
\(-\)
probabilidad total (1)
\(2 \times 0{,}975 - 1 = 1{,}95 - 1 = 0{,}95\ \ (95\,\%)\)
La idea clave
Esta fórmula funciona cuando \(Z\) es 0 o más. La distribución normal estándar es simétrica respecto al 0, así que el área «de \(-Z\) a \(Z\)» es el área a la izquierda de \(Z\), \(\Phi(Z)\), duplicada, menos el 1 entero que se ha contado dos veces.
La probabilidad de caer fuera (en las dos colas) es el suceso contrario, \(1 - (2\Phi(Z) - 1)\). Con \(Z = 1{,}96\), como en el ejemplo, el 95 % queda dentro y el 5 % fuera. Este valor z es el límite del «nivel de significación del 5 %» que aparece tantas veces en los contrastes de hipótesis.
Probabilidad entre dos valores z \(Z_1\) y \(Z_2\)
Gráfico
Notación matemática
(la notación habitual)
\(P(Z_1<x<Z_2)\)
\(=\)
\(\Phi(Z_2)\)
\(-\)
\(\Phi(Z_1)\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
probabilidad entre \(Z_1\) y \(Z_2\)
\(=\)
①
área a la izquierda, \(\Phi(Z_2)\)
\(-\)
②
área a la izquierda, \(\Phi(Z_1)\)
La fórmula en palabras
①
Toma el
área a la izquierda del límite superior \(Z_2\), \(\Phi(Z_2)\)
②
réstale el
área a la izquierda del límite inferior \(Z_1\), \(\Phi(Z_1)\)
③
y obtendrás la
probabilidad entre \(Z_1\) y \(Z_2\)
Un ejemplo sencillo
Cuando \(Z_1 = -1\) y \(Z_2 = 0\) (\(\Phi(0) = 0{,}5\), \(\Phi(-1) \approx 0{,}15866\)), la probabilidad entre −1 y 0 es
probabilidad entre −1 y 0
\(=\)
área a la izquierda del límite superior, \(\Phi(0)\)
\(-\)
área a la izquierda del límite inferior, \(\Phi(-1)\)
\(0{,}5 - 0{,}15866 = 0{,}34134\ \ (34{,}1\,\%)\)
La idea clave
Solo se hace «el área hasta el mayor menos el área hasta el menor», así que sirve para cualquier \(Z_1\) y \(Z_2\) (incluso cuando los dos son negativos).
Escribe \(Z_1 = -1\) y \(Z_2 = 1\) y obtendrás aproximadamente 0,683 (68,3 %). Así puedes comprobar la conocida regla práctica de la distribución normal, «alrededor del 68 % queda a menos de una desviación típica de la media» (la regla 68-95-99,7).
El valor z es una regla común para saber dónde está un valor entre los datos: a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una vez que los valores son valores z, puedes comparar datos con unidades distintas, y la función de distribución \(\Phi\) convierte un valor z en «la probabilidad (el área) hasta ese valor».
Símbolos y términos
Símbolos
| \(z\) | zeta (valor z) | Un número que indica a cuántas desviaciones típicas de la media está un valor, y se halla con \(z = (x - \mu) \div \sigma\). Un valor positivo está por encima de la media y uno negativo, por debajo. En esta página, un valor z que tú indicas, como en 2) y 3), se escribe con una \(Z\) mayúscula. |
| \(x\) | equis | El valor que mediste, como la nota de un examen o una estatura. Es el valor original que quieres convertir en un valor z. |
| \(\mu\) | mi | La media. Es donde está el centro del pico de la distribución. Una letra griega que corresponde a la m. |
| \(\sigma\) | sigma | La desviación típica, el tamaño de la dispersión de los datos. Cuanto mayor es, más bajo y más ancho es el pico. Una letra griega que corresponde a la s. |
| \(\Phi(Z)\) | fi de Z | La función de distribución de la distribución normal estándar (media 0, desviación típica 1). Devuelve la probabilidad de un valor menor que \(Z\), que es el área bajo la curva a la izquierda de \(Z\). |
| \(\Phi^{-1}\) | fi inversa (inversa de Φ) | La función que va en sentido contrario a \(\Phi\). Toma una probabilidad (un área) y devuelve el valor z que la da. (Ejemplo: \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\)) |
| \(Z_1,\ Z_2\) | Z sub 1, Z sub 2 | Los dos valores z que introduces en 3). \(Z_1\) es el límite izquierdo (el menor) y \(Z_2\) es el límite derecho (el mayor). |
Términos
| valor z (puntuación típica) | Un número sin unidades que indica a cuántas desviaciones típicas de la media está un valor. También se llama puntuación típica, puntuación estándar o valor tipificado. Su mayor ventaja es que pone en la misma regla datos con unidades distintas o con puntuaciones máximas distintas. |
| tipificación | Convertir un valor original en un valor z. Una vez tipificados, los datos de cualquier distribución normal se pueden tratar con la única distribución normal estándar de media 0 y desviación típica 1. |
| distribución normal estándar | La distribución normal de media 0 y desviación típica 1, N(0, 1). Es la distribución de los valores z y sirve de regla común para los cálculos de probabilidad con cualquier distribución normal. |
| distribución normal | Una distribución repartida simétricamente alrededor de la media en forma de campana. Muchos datos reales, como las notas de un examen, las estaturas y los pesos de los productos, se parecen a esta forma. |
| función de distribución (función de distribución acumulada) | Una función que devuelve la probabilidad de obtener ese valor o menos. En la distribución normal estándar se escribe \(\Phi\) (fi). Recibe ese nombre porque suma (acumula) el área del lado izquierdo de la curva. |
| tabla de la normal estándar (tabla z) | Una tabla que recoge los valores z y los valores (áreas) correspondientes de \(\Phi\). Se imprime al final de los libros de texto de estadística. La forma 2) de esta página puede usarse en lugar de una tabla z. |
| puntuación T | Un valor z reescalado para que la media sea 50 y una desviación típica sean 10 (puntuación T \(= 50 + 10 \times z\)). Se usa en algunas pruebas psicológicas y educativas. Las puntuaciones de CI funcionan igual, con una media de 100 y 15 por cada desviación típica. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo de verdad lo que haces, y no solo pulsando el botón.
| La media (6.º de Primaria, 11-12 años) |
|
| Operaciones con números negativos (1.º de ESO, 12-13 años) |
|
| Estadística y desviación típica (4.º de ESO y 1.º de Bachillerato, 15-17 años) |
|
| La distribución normal y cómo leer áreas (2.º de Bachillerato, 17-18 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para hallar el valor z
| Valor x | 75 |
| Media μ | 65 |
| Desv. típica σ | 5 |
| Valor z | =(B1-B2)/B3 |
Tabla para hallar la probabilidad de un valor menor que el valor z, P(x<Z)
| Valor z Z | 2 |
| P(x<Z) | =DISTR.NORM.ESTAND.N(B1;VERDADERO) |
Tabla para hallar la probabilidad entre −Z y Z
| Valor z Z | 1,96 |
| Φ(Z) | =DISTR.NORM.ESTAND.N(B1;VERDADERO) |
| Probabilidad entre −Z y Z | =2*B2-1 |
Tabla para hallar la probabilidad entre dos valores z Z1 y Z2
| Izquierda Z1 | -1 |
| Derecha Z2 | 0 |
| Φ(Z1) | =DISTR.NORM.ESTAND.N(B1;VERDADERO) |
| Φ(Z2) | =DISTR.NORM.ESTAND.N(B2;VERDADERO) |
| Probabilidad entre Z1 y Z2 | =B4-B3 |
Al pegar la tabla, los números de la columna B funcionan como campos de entrada. «DISTR.NORM.ESTAND.N(valor; VERDADERO)» es la función de la función de distribución \(\Phi\), y VERDADERO le indica que «devuelva el valor acumulado (el área a la izquierda)».
En la primera tabla, cambia el valor, la media y la desviación típica (B1 a B3) y B4 muestra el valor z (con los valores del ejemplo, B4 es 2). La segunda tabla halla la probabilidad (B2) a partir del valor z (B1); con el valor del ejemplo, B2 es aproximadamente 0,97725 (97,7 %).
En la tercera tabla, escribe el valor z 1,96 y obtendrás la probabilidad entre −1,96 y 1,96 (B3), aproximadamente 0,95 (95 %). La cuarta tabla es la probabilidad entre dos valores z; con los valores del ejemplo (−1 y 0), B5 es aproximadamente 0,34134 (34,1 %).
Para ir en el otro sentido, «de una probabilidad a un valor z», usa «=INV.NORM.ESTAND(probabilidad)» (ejemplo: `=INV.NORM.ESTAND(0,975)` es aproximadamente 1,95996).
En la primera tabla, cambia el valor, la media y la desviación típica (B1 a B3) y B4 muestra el valor z (con los valores del ejemplo, B4 es 2). La segunda tabla halla la probabilidad (B2) a partir del valor z (B1); con el valor del ejemplo, B2 es aproximadamente 0,97725 (97,7 %).
En la tercera tabla, escribe el valor z 1,96 y obtendrás la probabilidad entre −1,96 y 1,96 (B3), aproximadamente 0,95 (95 %). La cuarta tabla es la probabilidad entre dos valores z; con los valores del ejemplo (−1 y 0), B5 es aproximadamente 0,34134 (34,1 %).
Para ir en el otro sentido, «de una probabilidad a un valor z», usa «=INV.NORM.ESTAND(probabilidad)» (ejemplo: `=INV.NORM.ESTAND(0,975)` es aproximadamente 1,95996).
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para hallar el valor z
| Valor x | 75 |
| Media μ | 65 |
| Desv. típica σ | 5 |
| Valor z | =(B1-B2)/B3 |
Tabla para hallar la probabilidad de un valor menor que el valor z, P(x<Z)
| Valor z Z | 2 |
| P(x<Z) | =DISTR.NORM.ESTAND(B1) |
Tabla para hallar la probabilidad entre −Z y Z
| Valor z Z | 1,96 |
| Φ(Z) | =DISTR.NORM.ESTAND(B1) |
| Probabilidad entre −Z y Z | =2*B2-1 |
Tabla para hallar la probabilidad entre dos valores z Z1 y Z2
| Izquierda Z1 | -1 |
| Derecha Z2 | 0 |
| Φ(Z1) | =DISTR.NORM.ESTAND(B1) |
| Φ(Z2) | =DISTR.NORM.ESTAND(B2) |
| Probabilidad entre Z1 y Z2 | =B4-B3 |
En Hojas de cálculo de Google, calcula la función de distribución \(\Phi\) con «DISTR.NORM.ESTAND(valor)» (funciona igual que «DISTR.NORM.ESTAND.N(valor; VERDADERO)» en Excel, pero no hace falta VERDADERO). Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y cambia los números de la columna B.
Los resultados son los mismos que en la versión de Excel: la primera tabla da un valor z de 2 a partir de 75, 65 y 5, y la segunda da una probabilidad de aproximadamente 0,97725 a partir de un valor z de 2.
Para hallar un valor z a partir de una probabilidad, usa «=DISTR.NORM.ESTAND.INV(probabilidad)» (ejemplo: `=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,975)` es aproximadamente 1,95996).
Los resultados son los mismos que en la versión de Excel: la primera tabla da un valor z de 2 a partir de 75, 65 y 5, y la segunda da una probabilidad de aproximadamente 0,97725 a partir de un valor z de 2.
Para hallar un valor z a partir de una probabilidad, usa «=DISTR.NORM.ESTAND.INV(probabilidad)» (ejemplo: `=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,975)` es aproximadamente 1,95996).
Cómo calcularlo con Python
import math
def phi(z):
# función de distribución de la distribución normal estándar, Φ(z) (se calcula con la función de error erf)
return 0.5 * (1 + math.erf(z / math.sqrt(2)))
x = 75 # valor
mean = 65 # media
sd = 5 # desviación típica
z_score = (x - mean) / sd # valor z
p_less_than_z = phi(z_score) # probabilidad de un valor menor que el valor z, P(x<Z)
z = 1.96
p_between_minus_z_and_z = 2 * phi(z) - 1 # probabilidad entre -z y z
z1, z2 = -1, 0
p_between_z1_z2 = phi(z2) - phi(z1) # probabilidad entre z1 y z2
print(f"Valor z: {z_score}")
print(f"P(x<Z): {p_less_than_z}")
print(f"Probabilidad entre -z y z: {p_between_minus_z_and_z}")
print(f"Probabilidad entre z1 y z2: {p_between_z1_z2}")
Te basta math.erf (la función de error) de la biblioteca estándar para calcular la función de distribución \(\Phi\). Si necesitas el otro sentido (de probabilidad a valor z), usa NormalDist().inv_cdf() del módulo statistics de la biblioteca estándar (ejemplo: `statistics.NormalDist().inv_cdf(0.975)` es aproximadamente 1,95996).
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Definición del valor z (a cuántas desviaciones típicas está de la media)
z = (x − μ) ÷ σ
z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>z</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>μ</mi></mrow>
<mi>σ</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
z = (x - mu)/sigma
(x - mu)/sigma
z := (x - mu)/sigma;
z = (x - mu)/sigma;
z = (x-μ)/σ
De un valor z a «la probabilidad de un valor menor que \(Z\)»
P(x<Z) = Φ(Z)
P(x<Z) = \Phi(Z)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(x<Z) = Phi(Z)
CDF[NormalDistribution[0, 1], Z]
with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z);
p = normcdf(Z);
P(x<Z) = Φ(Z)
Probabilidad entre \(-Z\) y \(Z\) (los dos lados juntos)
P(−Z<x<Z) = 2Φ(Z) − 1
P(-Z<x<Z) = 2\Phi(Z) - 1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>Z</mi><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn><mi>Φ</mi><mo>(</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>1</mn>
</mrow>
</math>
P(-Z<x<Z) = 2 Phi(Z) - 1
2 CDF[NormalDistribution[0, 1], Z] - 1
with(Statistics): 2*CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z) - 1;
p = 2*normcdf(Z) - 1;
P(-Z<x<Z) = 2Φ(Z) - 1
Probabilidad entre dos valores z \(Z_1\) y \(Z_2\)
P(Z₁<x<Z₂) = Φ(Z₂) − Φ(Z₁)
P(Z_1<x<Z_2) = \Phi(Z_2) - \Phi(Z_1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><msub><mi>Z</mi><mn>2</mn></msub><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>2</mn></msub><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(Z_1<x<Z_2) = Phi(Z_2) - Phi(Z_1)
CDF[NormalDistribution[0, 1], Z2] - CDF[NormalDistribution[0, 1], Z1]
with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z2) - CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z1);
p = normcdf(Z2) - normcdf(Z1);
P(Z1<x<Z2) = Φ(Z2) - Φ(Z1)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo estadístico. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni suposiciones). Alguien ha sacado 75 puntos en un examen con una media de 65 puntos y una desviación típica de 5 puntos. 1. Halla el valor z de esta persona. 2. Halla la probabilidad de sacar menos que ese valor, P(x<Z) (usa la función de distribución Φ de la distribución normal estándar; puedes usar la biblioteca estándar de Python, como math.erf o statistics.NormalDist). 3. Halla también la probabilidad de que un valor z caiga entre −1,96 y 1,96. Muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.
Cómo usar
-
1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
Las ventajas de DataChef
Fácil y gratis
Conversiones gratis e ilimitadas
Sin conocimientos técnicos: fácil e intuitivo
Sin conocimientos técnicos: fácil e intuitivo
Sin registro
Disponible nada más entrar
Sin necesidad de dar datos personales
Sin necesidad de dar datos personales
Seguro y protegido
Conexión cifrada y segura (SSL)
Los archivos se borran automáticamente tras la descarga
Los archivos se borran automáticamente tras la descarga
Alta velocidad
Carga y conversión rápidas, sin esperas
Sin marcas de agua
Sin marca de agua
Sin necesidad de atribución
Sin necesidad de atribución
Uso comercial permitido
Uso comercial gratuito
Sin necesidad de pedir permiso
Sin necesidad de pedir permiso
Funciones relacionadas
Calculadora de probabilidad de la distribución normal
A partir de la media y la desviación típica, calcula la probabilidad de caer en un intervalo o qué porcentaje queda por encima
Calculadora de desviación típica de población y muestra
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