Calculadora de estimación de la población (captura y recaptura, muestras aleatorias)

Elige un modo según lo que quieras hallar y escribe los resultados de tu encuesta. «Captura y recaptura» estima el número total, como el de los peces de un estanque. «Número en una población» estima cuántos del total cumplen una condición (como el número total de piezas defectuosas).

Qué estimar

Marcados al principio

2.ª captura

Marcados en la 2.ª captura

Tamaño de la población

Tamaño de la muestra

Cumplen la condición en la muestra

Escribe las cantidades como números enteros. La respuesta a partir de una muestra es una estimación, así que se muestran tanto el resultado exacto de la división (una fracción) como un número aproximado «unos ...».

Resultado y gráfico

Escribe los resultados de tu encuesta en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». La estimación y un diagrama de barras aparecerán aquí.

Índice

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Qué puedes hacer en esta página
¿Para qué sirve este cálculo?
Cómo usar
Fórmula y diagrama
Símbolos y términos
- Símbolos
- Términos
Qué conviene saber de antemano
Cómo calcularlo con Excel
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Cómo calcularlo con Python
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Las ventajas de DataChef
Funciones relacionadas
Todas las calculadoras de NumberChef

Qué puedes hacer en esta página

Haz una estimación del tamaño total de un grupo que no puedes contar uno por uno, como los peces de un estanque, con el método de captura y recaptura (marca algunos, suéltalos, captura un segundo grupo y comprueba el porcentaje que está marcado)
Cuando conoces el tamaño de toda la población (por ejemplo, 3000 productos), estima cuántos cumplen una condición (el número total de piezas defectuosas) a partir de una muestra aleatoria (por ejemplo, 2 defectuosas de 100)
Muestra los pasos con una proporción, igual que en un libro de texto de la ESO (el producto de los medios es igual al producto de los extremos). La respuesta se muestra tanto como el resultado exacto de la división (una fracción) como en forma de número aproximado «unos ...»
Un diagrama de barras te permite comparar el porcentaje de la muestra con el de la población y ver que son iguales

Las estimaciones a partir de una muestra suponen que la muestra se ha elegido sin sesgo, como sacar nombres de un sombrero (muestreo aleatorio). El resultado es solo una estimación y diferirá algo del número real.

¿Para qué sirve este cálculo?

Contar las poblaciones de peces y de fauna silvestre (ecología y conservación)

Para contar animales que no se pueden contar todos, como los peces de un estanque, los ciervos de la montaña o las especies invasoras de un embalse, los investigadores usan de verdad el método de captura y recaptura de esta página. En la gestión de la pesca y en el control de especies invasoras, la estimación de la población es el dato básico para decidir los límites de captura y lo grande que debe ser el esfuerzo de control.
El método supone que las marcas no se caen, que pocos animales llegan o se van (nacen, mueren o se desplazan) durante el estudio y que los marcados se mezclan bien con el resto. Los estudios reales eligen con cuidado el momento y el método para acercarse a estas condiciones.

Inspecciones por muestreo en una fábrica (control de calidad)

Las pruebas que destruyen el producto o lo dejan sin poder venderse, como las de duración de las pilas o la comprobación del contenido de una lata de conserva, no se pueden hacer con todas las unidades. En su lugar, se comprueba una muestra aleatoria y se estima el número total de piezas defectuosas a partir del porcentaje de defectuosas de la muestra.
Estimar «unas 60 en total» a partir de 2 defectuosas en una muestra de 100 es una de las herramientas más básicas del control de calidad.

Encuestas de opinión y audiencias de televisión (encuestas sociales)

Las encuestas de opinión, como las de intención de voto o las que valoran una medida, no preguntan a todos los votantes del país. Estiman el porcentaje del conjunto a partir de una muestra aleatoria de mil a unos pocos miles de personas. Las audiencias de televisión también son porcentajes de toda la audiencia estimados a partir de una muestra de hogares.
La fuerza del muestreo es que, siempre que la muestra se elija al azar, incluso una muestra pequeña puede estimar el conjunto con bastante precisión (lo grande que es el error depende del tamaño de la muestra). Las encuestas reales añaden además pasos para evitar sesgos por región o por grupo de edad, como la ponderación, pero la base es esta idea de estimar el conjunto a partir del porcentaje de una muestra.

La proyección de la noche electoral y los sondeos a pie de urna

Las cadenas de televisión pueden adelantar una proyección cuando solo se ha escrutado una pequeña parte de los votos porque estiman el porcentaje de cada candidatura sobre el total de los votos a partir de muestras: los sondeos a pie de urna (entrevistas a personas que acaban de votar) y la parte de los votos ya escrutada.
Aplicar al conjunto el porcentaje de una muestra es la misma idea que la proporción de esta página. Al adelantar una proyección, las cadenas combinan además datos de elecciones anteriores y teoría estadística, y deciden con cuidado.

Fórmula y diagrama

Captura y recaptura (estimar el total)

Diagrama de barras

Notación matemática (la notación habitual)

\(x\) \(=\) \(m\) \(\times\) \(n\) \(\div\) \(k\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

④ \(x\): total del estanque \(=\) ① \(m\): número de marcados \(\times\) ② \(n\): número de la 2.ª captura \(\div\) ③ \(k\): marcados en la 2.ª captura

La fórmula en palabras

① Toma el \(m\): número capturado primero y marcado

② multiplícalo por el \(n\): número de la 2.ª captura

③ divide entre el \(k\): número de marcados en la 2.ª captura

④ y obtendrás la estimación del \(x\): total del estanque

Un ejemplo sencillo

Si marcas 50 peces, los devuelves al estanque y más tarde capturas 30 peces, de los cuales 6 están marcados, el número total del estanque es

\(x\): total del estanque \(=\) número de marcados (50 peces) \(\times\) número de la 2.ª captura (30 peces) \(\div\) número de marcados en ella (6 peces)

\(x = \dfrac{50 \times 30}{6} = \dfrac{1500}{6} = 250\)

La idea clave

Esta fórmula funciona porque se puede suponer que «el porcentaje de peces marcados en todo el estanque» y «el porcentaje de peces marcados en la segunda captura» son más o menos el mismo. Si los peces marcados se mezclan de manera uniforme por el estanque, la mezcla debería ser más o menos la misma donde quiera que saques la red. Así que sea \(x\) el total del estanque, plantea la proporción \(x : m = n : k\) (total : marcados) y resuélvela con «el producto de los medios es igual al producto de los extremos» de la tarjeta siguiente. Sale esta fórmula. La respuesta es solo una estimación. Contar todos los peces podría dar otro número, pero el valor de este método es que te da una buena idea del total sin vaciar el estanque.

Propiedad de las proporciones (producto de los medios = producto de los extremos)

Notación matemática (la notación habitual)

\(a\) \(:\) \(b\) \(=\) \(c\) \(:\) \(d\)

\(b \times c\) \(=\) \(a \times d\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

extremo \(a\) \(:\) medio \(b\) \(=\) medio \(c\) \(:\) extremo \(d\)

① producto de los medios \(b \times c\) \(=\) ② producto de los extremos \(a \times d\)

La fórmula en palabras

① Cuando se cumple una proporción, el producto de los dos términos de dentro (\(b\) y \(c\)), el producto de los medios \(b \times c\) ,

② y el producto de los dos términos de fuera (\(a\) y \(d\)), el producto de los extremos \(a \times d\) , son siempre iguales

Un ejemplo sencillo

Al resolver la proporción \(x : 50 = 30 : 6\) del ejemplo del estanque se obtiene

producto de los medios \(50 \times 30\) \(=\) producto de los extremos \(x \times 6\)

\(50 \times 30 = x \times 6\)

\(6x = 1500\)

\(x = \dfrac{1500}{6} = 250\)

La idea clave

La proporción \(a : b = c : d\) dice que «la razón de \(a\) a \(b\) es igual a la razón de \(c\) a \(d\)». Escrita como fracciones, es lo mismo que \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\). Si multiplicas los dos lados por \(b \times d\), los denominadores se anulan y queda \(a \times d = b \times c\): el producto de los extremos es igual al producto de los medios. En forma de fracciones es la conocida «multiplicación en cruz» (los productos cruzados son iguales). Cuando una proporción tiene un solo número desconocido \(x\), esta propiedad la convierte en una ecuación en \(x\) que puedes resolver. Estimar a partir de una muestra es una aplicación de esta propiedad.

Estimar el número de la población que cumple una condición

Diagrama de barras

Notación matemática (la notación habitual)

\(x\) \(=\) \(N\) \(\times\) \(k\) \(\div\) \(n\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

④ \(x\): número de la población que cumple la condición \(=\) ① \(N\): tamaño de la población \(\times\) ② \(k\): los que cumplen en la muestra \(\div\) ③ \(n\): tamaño de la muestra

La fórmula en palabras

① Toma el \(N\): tamaño de la población

② multiplícalo por el \(k\): número de los que cumplen en la muestra

③ divide entre el \(n\): tamaño de la muestra que tomaste

④ y obtendrás la estimación del \(x\): número de la población que cumple la condición

Un ejemplo sencillo

Si tomas 100 de 3000 productos al azar, los compruebas y encuentras 2 defectuosos, el número total de piezas defectuosas es

\(x\): total de piezas defectuosas \(=\) tamaño de la población (3000) \(\times\) defectuosas en la muestra (2) \(\div\) tamaño de la muestra (100)

\(x = \dfrac{3000 \times 2}{100} = \dfrac{6000}{100} = 60\)

La idea clave

La idea es la misma que la de la captura y recaptura: supones que «el porcentaje de los que cumplen en la población» y «el porcentaje de los que cumplen en la muestra» son más o menos el mismo. También puedes verlo como multiplicar toda la población \(N\) por \(\dfrac{k}{n}\) (el porcentaje de la muestra). Sea \(x\) el número de los que cumplen, plantea la proporción \(N : x = n : k\) (total : los que cumplen) y resuélvela con «el producto de los medios es igual al producto de los extremos». Sale esta fórmula. Esta estimación solo funciona cuando la muestra se elige sin sesgo, como sacar nombres de un sombrero (muestreo aleatorio). Por ejemplo, si una fábrica comprueba solo «las 100 primeras piezas fabricadas», cualquier rareza de la máquina ese día se nota en el resultado y la estimación saldrá desviada.

Los dos modos se apoyan en la misma idea: «el porcentaje de la población y el porcentaje de una muestra aleatoria son más o menos el mismo». Con solo resolver una proporción (producto de los medios = producto de los extremos), puedes hacer una estimación del total sin contarlo todo. La respuesta es solo una estimación, así que lo habitual es dar un número aproximado «unos ...». Planificar una encuesta, es decir, qué tamaño de muestra necesitas para mantener el error dentro de un límite, lo trata la calculadora del tamaño de la muestra de las páginas relacionadas.

Símbolos y términos

Símbolos

\(x\)	equis	La letra que se usa para un número que todavía no conoces (una incógnita). En esta página, la estimación que quieres, como «el total del estanque» o «el número de la población que cumple la condición», se llama \(x\) para plantear la proporción. La costumbre de usar \(x\) para una incógnita se remonta a los libros de matemáticas del siglo XVII.
\(m\)	eme	En esta página, «el número capturado primero y marcado». Piensa en la m de «marcados». También se usa a menudo como cantidad junto con \(n\).
\(n\)	ene	El número de la muestra (la segunda captura, o el número que se ha extraído y comprobado). Viene de «número» y es la letra habitual para una cantidad. En estadística, el tamaño de la muestra se escribe \(n\) por costumbre.
\(k\)	ka	El número de la muestra que cumplía la condición (los marcados, los defectuosos, etc.). Junto con \(n\) y \(m\), es una letra habitual para cantidades y posiciones.
\(N\)	ene mayúscula	El tamaño de toda la población. Por costumbre en estadística, el grupo mayor se escribe con mayúscula para distinguirlo del tamaño de la muestra \(n\) (minúscula).
\(a : b\)	a es a b	Una forma de escribir una razón. «:» es el signo de la razón y se lee «es a». Una igualdad que une dos razones con un signo igual, como \(a : b = c : d\), es una proporción.
\(\approx\)	aproximadamente igual a	El signo de «casi igual». También se puede leer «unos». Una respuesta a partir de una muestra es una estimación, así que se escribe con este signo o con la palabra «unos» en lugar de un signo igual.

Términos

encuesta por muestreo (muestreo)	Una encuesta que estudia solo una parte de la población (una muestra) y estima cómo es el conjunto (a diferencia de un censo, que las comprueba todas). Se usa para lo que no se puede contar del todo o para lo que se destruye al probarlo. Se estudia en la ESO como población y muestra, y como muestreo aleatorio.
censo	Una encuesta que comprueba a todos los miembros de la población. El Censo de Población y Viviendas del INE es un ejemplo. Comprobarlo todo es preciso, pero cuando lleva demasiado tiempo o dinero, o cuando probar destruye el producto, se usa una encuesta por muestreo.
población	El grupo entero que quieres estudiar, como todos los peces de un estanque, todos los productos que ha fabricado una fábrica o todos los votantes del país.
muestra	La parte tomada de la población que estudias de verdad.
tamaño de la muestra	El número de elementos de la muestra. Cuanto mayor es el tamaño de la muestra, menor es el error de la estimación.
muestreo aleatorio	Tomar una muestra de modo que todos los miembros tengan la misma probabilidad de ser elegidos, como sacar nombres de un sombrero. Nadie elige a propósito. Es la condición básica para que funcionen las estimaciones a partir de una muestra.
captura y recaptura (captura-recaptura)	Un método que marca (con una señal) los animales capturados, los suelta, captura un segundo grupo pasado un tiempo y estima el total a partir del porcentaje que está marcado. Se usa de verdad para contar peces y fauna silvestre.
proporción (igualdad de razones)	Una igualdad que dice que dos razones son iguales, como \(a : b = c : d\). El producto de los medios es igual al producto de los extremos, y esta propiedad te permite hallar un número desconocido.
medios	En la proporción \(a : b = c : d\), los términos de dentro \(b\) y \(c\). El producto de los medios es igual al producto de los extremos. (No tiene que ver con la media.)
extremos	En la proporción \(a : b = c : d\), los términos de fuera \(a\) y \(d\). El producto de los medios es igual al producto de los extremos.
porcentaje (parte del total)	Cuánto ocupa una parte dentro del total, y se halla dividiendo la parte entre el total. Las encuestas por muestreo se basan en la idea de que el porcentaje es el mismo en la población y en la muestra.
valor aproximado (aproximación)	Un número aproximado, recortado en un valor posicional cómodo por redondeo. Una respuesta a partir de una muestra es una estimación, así que lo habitual es dar un valor aproximado como «unos 250».
redondeo	Para redondear a un valor posicional, mira la cifra que queda justo a su derecha. Si es 4 o menos, se redondea hacia abajo; si es 5 o más, hacia arriba.
estimación (estimar)	Juzgar cómo es el conjunto a partir de la parte de la información que tienes. Una respuesta hallada a partir de una muestra se llama estimación en este sentido.
error	La diferencia entre la estimación y el valor real. Los resultados a partir de una muestra siempre tienen algún error, y cuanto mayor es el tamaño de la muestra, menor es el error.

Qué conviene saber de antemano

Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo de verdad lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar los temas de esta tabla es el camino más rápido para avanzar.

Porcentajes y partes del total (5.º y 6.º de Primaria, 10-12 años)	Saber que un porcentaje es lo que ocupa una parte dentro del total, y que se halla dividiendo la parte entre el total Saber escribir «20 %» como un decimal, como 0,2
Razones y proporciones (6.º de Primaria y 1.º de ESO, 11-13 años)	Entender la razón \(a : b\) y saber que multiplicar (o dividir) las dos partes por el mismo número no cambia la razón Saber hallar \(x\) en una proporción como \(x : 4 = 6 : 8\) con la propiedad de las proporciones (producto de los medios = producto de los extremos)
Expresiones algebraicas y ecuaciones sencillas (1.º de ESO, 12-13 años)	Saber llamar \(x\) a un número desconocido y plantear una ecuación a partir de un problema Saber resolver una ecuación como \(6x = 1200\) dividiendo los dos lados entre el mismo número
Redondeo (3.º y 4.º de Primaria, 8-10 años)	Saber redondear a un valor posicional dado (ejemplo: 166,6 redondeado a las decenas es 170) Saber escribir la respuesta de una división que no sale exacta como una fracción o como un valor aproximado

Cómo calcularlo con Excel

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.

Tabla de captura y recaptura (estimar el total)

Marcados al principio m	50
2.ª captura n	30
Marcados en la 2.ª captura k	6
Total estimado x = m×n÷k	=B1*B2/B3
Redondeado a un número entero	=REDONDEAR(B4;0)

Tabla para comprobar la propiedad de las proporciones (producto de los medios = producto de los extremos)

Extremo a (el total; la respuesta del ejemplo del estanque)	250
Medio b (número de marcados)	50
Medio c (2.ª captura)	30
Extremo d (marcados en la 2.ª captura)	6
Producto de los medios b×c	=B2*B3
Producto de los extremos a×d	=B1*B4

Tabla para estimar el número de la población que cumple una condición

Tamaño de la población N	3000
Tamaño de la muestra n	100
Cumplen la condición en la muestra k	2
Número estimado x = N×k÷n	=B1*B3/B2
Redondeado a un número entero	=REDONDEAR(B4;0)

Al pegar la tabla, las filas de arriba (los resultados de tu encuesta) son los datos y las filas de abajo se calculan automáticamente.
La primera tabla es el ejemplo del estanque (50 marcados, 6 marcados de 30 en la segunda captura) y la respuesta es 250. Cuando la división no sale exacta, B4 muestra un decimal, así que lee B5, que pasa por la función REDONDEAR, como la respuesta «unos ...».
La segunda tabla pone la respuesta 250 en lugar de x en la proporción x : 50 = 30 : 6 y comprueba que el producto de los medios (B5) y el producto de los extremos (B6) valen los dos 1500, así que son iguales.
La tercera tabla es el ejemplo de 3000 productos con 2 defectuosos en una muestra de 100, y la respuesta es 60.

Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.

Tabla de captura y recaptura (estimar el total)

Marcados al principio m	50
2.ª captura n	30
Marcados en la 2.ª captura k	6
Total estimado x = m×n÷k	=B1*B2/B3
Redondeado a un número entero	=REDONDEAR(B4;0)

Tabla para comprobar la propiedad de las proporciones (producto de los medios = producto de los extremos)

Extremo a (el total; la respuesta del ejemplo del estanque)	250
Medio b (número de marcados)	50
Medio c (2.ª captura)	30
Extremo d (marcados en la 2.ª captura)	6
Producto de los medios b×c	=B2*B3
Producto de los extremos a×d	=B1*B4

Tabla para estimar el número de la población que cumple una condición

Tamaño de la población N	3000
Tamaño de la muestra n	100
Cumplen la condición en la muestra k	2
Número estimado x = N×k÷n	=B1*B3/B2
Redondeado a un número entero	=REDONDEAR(B4;0)

Puedes usar las mismas fórmulas que en Excel. Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y sustituye los resultados de la encuesta por tus propios números.

Cómo calcularlo con Python

from fractions import Fraction

# Captura y recaptura: estimación del número total de peces del estanque
marked_first = 50       # número capturado primero y marcado, m
caught_second = 30      # número de la segunda captura, n
marked_in_second = 6    # número de marcados en la segunda captura, k

estimated_total = Fraction(marked_first * caught_second, marked_in_second)
# Si sumas Fraction(1, 2) y descartas la parte fraccionaria, el 0,5 se redondea siempre hacia arriba
approx_total = int(estimated_total + Fraction(1, 2))
print(f"Total estimado (fracción): {estimated_total}")
print(f"Total estimado (redondeado): unos {approx_total}")

# Estimación del número de la población que cumple una condición
population = 3000       # tamaño de la población, N
sample_size = 100       # tamaño de la muestra tomada, n
sample_hits = 2         # número de los que cumplen en la muestra, k

estimated_count = Fraction(population * sample_hits, sample_size)
approx_count = int(estimated_count + Fraction(1, 2))
print(f"Número estimado (fracción): {estimated_count}")
print(f"Número estimado (redondeado): unos {approx_count}")

Con el módulo fractions de la biblioteca estándar puedes calcular con fracciones exactas y sin error de redondeo, incluso cuando la división no sale exacta. La primera mitad es el ejemplo del estanque (50 marcados, 6 marcados de 30 en la segunda captura) y muestra 250. La segunda mitad es el ejemplo de 3000 productos con 2 defectuosos de 100, y muestra 60. Cambia los resultados de la encuesta y ejecútalo.

La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)

Captura y recaptura (estimar el total)

x = m × n ÷ k

x = \dfrac{m \times n}{k}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>m</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>n</mi></mrow>
      <mi>k</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (m*n)/k

(m*n)/k

x := m*n/k;

x = m*n/k;

x = (m×n)/k

Propiedad de las proporciones (producto de los medios = producto de los extremos)

a : b = c : d ⇔ a × d = b × c

a : b = c : d \iff ad = bc

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mo>:</mo><mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>c</mi><mo>:</mo><mi>d</mi>
    <mo>&#x21D4;</mo>
    <mi>a</mi><mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>b</mi><mi>c</mi>
  </mrow>
</math>

a : b = c : d <=> a*d = b*c

a*d == b*c

a*d = b*c;

a*d == b*c

a : b = c : d ⇔ a×d = b×c

Estimar el número de la población que cumple una condición

x = N × k ÷ n

x = \dfrac{N \times k}{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>N</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>k</mi></mrow>
      <mi>n</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (N*k)/n

(N*k)/n

x := N*k/n;

x = N*k/n;

x = (N×k)/n

Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo

Eres un asistente de cálculo de matemáticas (muestreo de la ESO). Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni suposiciones).

Estima el número total de peces de un estanque con el método de captura y recaptura.
Primero se capturaron 50 peces, se marcaron y se devolvieron al estanque. Más tarde se capturaron 30 peces y 6 de ellos estaban marcados.
Muestra cada uno de estos resultados:
1. La proporción con x como el total (x : número de marcados = número de la 2.ª captura : número de marcados en ella)
2. Los pasos para resolverla con «el producto de los medios es igual al producto de los extremos»
3. El total estimado del estanque (si la división no sale exacta, da tanto la fracción irreducible como el número redondeado al entero más cercano)

En Python, calcula con exactitud con el módulo fractions de la biblioteca estándar, y muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.

Cómo usar

1

Introduce los números

Escribe en los campos los números con los que quieres calcular
2

Calcula

Haz clic en el botón «Calcular»
3

Consulta el resultado

El resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula