Introduce la longitud del listón, el ancho de corte y la longitud y la cantidad de cada pieza (8 tipos como máximo; se ignoran las filas sin longitud). El precio de un listón puede quedar vacío.
Fila
Nombre (opcional)
Longitud (mm)
Cant.
A
B
C
D
E
F
G
H
Introduce todas las longitudes en mm (milímetros). Un ancho de corte vacío vale 3 mm y una cantidad vacía vale 1. Una pieza sin nombre se muestra como «Pieza A» a «Pieza H».
Resultado e ilustración
Introduce a la izquierda la longitud del listón y la longitud y la cantidad de las piezas que necesitas, y haz clic en «Calcular». Aquí aparecerán el resultado y el plan de corte.
Índice
-
Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
-
Cómo usar
-
Fórmulas y esquemas
-
Símbolos y términos
-
Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
-
Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Introduce la longitud del listón (2,4 m, 3 m, 4 m…) y la longitud y la cantidad de cada pieza que hay que cortar (hasta 8 tipos) y sabrás al instante cuántos listones tienes que comprar
- Se cuenta el ancho de corte (el grosor de la hoja de sierra, 3 mm por defecto): así no hay sorpresas del tipo «cuatro piezas de 600 mm en un listón de 2400 mm» (en realidad solo caben tres)
- El reparto coloca primero las piezas más largas (First Fit Decreasing); si hay 60 piezas o menos en total, busca además la combinación que usa menos listones. Obtienes un plan de corte del tipo «Listón 1: Pata × 2, sobrante 394 mm» y un esquema de barras para cada listón
- El cálculo simple (cada tipo de pieza cortado en sus propios listones) se muestra al lado, para ver cuántos listones ahorra el despiece agrupado. La comparación con el mínimo teórico (cota inferior) indica si el reparto es óptimo (no se puede mejorar) o aproximado
- Indica el precio de un listón (opcional) para obtener el coste estimado y el ahorro conseguido. En esta página también tienes las fórmulas explicadas de forma sencilla y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
El reparto sigue primero el método «las piezas más largas primero, cada una en el primer listón donde cabe» (First Fit Decreasing). Si no llega al mínimo teórico y hay 60 piezas o menos en total, se examinan todas las combinaciones posibles y se elige el reparto que usa menos listones (la línea «Comprobación del reparto» del resultado indica si es óptimo o aproximado). Por encima de 60 piezas, el resultado sigue solo el método y no siempre es el menor posible. Prevé un margen si hay que evitar nudos, fibra cortada o partes alabeadas, o si vas a recortar los dos extremos de cada listón. Para contar a partir de una superficie, como en el caso de las baldosas o del suelo, usa las páginas «Calculadora de baldosas y azulejos» o «Calculadora de suelo laminado y parquet».
¿Para qué sirve este cálculo?
Hacer la compra para una mesa, una estantería o un banco
Por ejemplo, para fabricar una mesa alta con cuatro patas de 1000 mm, dos tablas de 600 mm y dos barras de 400 mm (los travesaños inferiores) con listones de 2,4 m, comprar listones separados para cada pieza pide 4, pero el despiece agrupado con las piezas más largas primero solo pide 3 (listón 1: patas × 2, listón 2: patas × 2, listón 3: tablas × 2 + barras × 2, sobrante 388 mm).
Hacer la cuenta antes de ir a la tienda evita una segunda visita porque falta un listón, o restos que no sabes dónde guardar. Si haces cortar en la tienda, el plan de corte permite dar todos los cortes de una vez.
Rastreles, travesaños y postes para tarimas y vallas
En los trabajos que usan «muchas piezas de la misma longitud», como los rastreles de una tarima o los travesaños de una valla, los cortes se acumulan y cambian la cuenta. Por ejemplo, para cortar travesaños de 600 mm de listones de 2400 mm, cuatro caben justos sin ancho de corte, pero con 3 mm \(4 \times 600 + 3 \times 3 = 2409\) mm: faltan 9 mm para el cuarto, y solo caben 3 por listón. Para 40 travesaños, hacen falta \(\lceil 40 \div 3 \rceil = 14\) listones, no 10.
Basta pasar de 600 mm a 597 mm para colocar 4 por listón y volver a 10 listones: comprobar desde el diseño «cuántas piezas de esta longitud caben en un listón» puede ahorrar mucho material.
Cortar tubos, canaletas, perfiles de aluminio y barras de cortina
Los tubos de PVC (por ejemplo, en barras de 3 m), los tubos y canaletas eléctricos, los perfiles de aluminio, las barras de cortina y todo lo que «se vende en longitud fija y se corta a medida» se calculan con las mismas fórmulas que la madera. Por ejemplo, cortar tres trozos de 1200 mm, tres de 900 mm y dos de 600 mm de tubos de PVC de 3 m (con el ancho de corte a 0) pide 3 tubos con el despiece agrupado (4 comprando por separado).
El ancho de corte, en cambio, es casi nulo con un cortatubos y de aproximadamente 1 mm con una sierra de arco, según la herramienta: adapta el ancho de corte a la tuya.
Planificación de material en un aserradero, un taller de muebles o una cerrajería (aprovechamiento)
En un taller, el material pesa mucho en el coste: la parte del material que se convierte en producto se sigue como aprovechamiento. El «Aprovechamiento» de esta página es la longitud total de las piezas dividida entre la longitud total de los listones comprados; se acerca al 100 % cuando disminuyen los sobrantes y los cortes.
Los talleres de verdad reparten cientos de tipos de pieza en miles de listones con programas de optimización de corte que resuelven el mismo «problema del empaquetado» que esta página. First Fit Decreasing, que coloca primero las más largas, es un método clásico para establecer un primer plan de despiece.
Rodapiés, molduras y otros perfiles de interior
Los rodapiés (abajo en las paredes) y las molduras (arriba) se venden en longitudes como 2,4 m y se cortan a la longitud de cada pared. Por ejemplo, para colocar rodapiés de 2,4 m en una habitación cuyas paredes miden 1500 mm, 1300 mm, 1500 mm y 1300 mm (con las puertas ya descontadas), un trozo de 1500 y uno de 1300 no caben en un mismo rodapié: incluso el despiece agrupado pide 4 piezas (la cota inferior es 3, pero no se puede alcanzar).
En cuanto una sola pared supera la mitad de la longitud del listón, ya no se puede reducir la cuenta: esto ayuda a decidir pronto si hay que aceptar empalmes (cortes a inglete) o elegir otra longitud de pieza.
Fórmulas y esquemas
Número de piezas en un listón
Esquema
Notación matemática
(la notación habitual)
\(m\)
\(=\)
\(\lfloor\)
\((\)
\(L\)
\(+\)
\(k\)
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(l\)
\(+\)
\(k\)
\()\)
\(\rfloor\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
④
\(m\): piezas por listón
\(=\)
\(\lfloor\)
\((\)
①
\(L\): longitud del listón
\(+\)
②
\(k\): ancho de corte
\()\)
\(\div\)
\((\)
③
\(l\): longitud de la pieza
\(+\)
\(k\): ancho de corte
\()\)
\(\rfloor\)
La fórmula en palabras
①
Tomamos la
\(L\): longitud del listón
②
le sumamos el
\(k\): ancho de corte
③
, dividimos entre la
\(l\): longitud de la pieza
más el ancho de corte \(k\), y redondeamos al entero inferior (el símbolo \(\lfloor\ \rfloor\) significa «redondear hacia abajo»)
④
para obtener las
\(m\): piezas por listón
Un ejemplo sencillo
Para cortar patas de 1000 mm de un listón de 2400 mm con un ancho de corte de 3 mm, el número de piezas por listón es
\(m\): piezas
\(=\)
\(\lfloor\)
\((\)
listón (2400 mm)
\(+\)
ancho de corte (3 mm)
\()\)
\(\div\)
\((\)
pieza (1000 mm)
\(+\)
ancho de corte (3 mm)
\()\)
\(\rfloor\)
\((2400 + 3) \div (1000 + 3) = 2403 \div 1003 \approx 2{,}40\)
\(\lfloor 2{,}40 \rfloor = 2\)
La idea clave
¿Por qué se suma el ancho de corte tanto al listón como a la pieza? Para cortar \(n\) piezas de un listón solo hacen falta \(n - 1\) cortes, no \(n\) (la última pieza puede llegar hasta el final del listón, sin corte). Así, \(n\) piezas caben si \(n \times l + (n - 1) \times k \leq L\). Al sumar \(k\) en los dos lados, se obtiene \(n \times (l + k) \leq L + k\): basta contar cada pieza como \(l + k\) y el listón como \(L + k\), y dividir.
En la obra también se cuenta de forma más sencilla: se suma «longitud de la pieza + ancho de corte» por cada pieza y se comprueba que cabe en el listón (es decir, \(n\) cortes). Esta calculadora usa el recuento de \(n - 1\) de arriba; por eso puede encontrar una pieza más que el cálculo simplificado. Si vas a recortar los dos extremos de cada listón (extremos inservibles), réstalos de la longitud del listón antes de escribirla.
Olvidar el ancho de corte puede falsear la cuenta. Por ejemplo, una pieza de 600 mm es exactamente la cuarta parte de un listón de 2400 mm: sin ancho de corte, cabrían cuatro piezas. Con 3 mm, \(4 \times 600 + 3 \times 3 = 2409 > 2400\): faltan 9 mm para la cuarta pieza, y solo caben \(\lfloor 2403 \div 603 \rfloor = 3\) piezas.
Listones comprando cada pieza por separado
Notación matemática
(la notación habitual)
\(B_i\)
\(=\)
\(\lceil\)
\(q_i\)
\(\div\)
\(m_i\)
\(\rceil\)
\(B_{\text{sep}}\)
\(=\)
\(B_1 + B_2 + \cdots\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(B_i\): listones necesarios solo para la pieza \(i\)
\(=\)
\(\lceil\)
①
\(q_i\): cantidad de la pieza \(i\)
\(\div\)
②
\(m_i\): piezas por listón
\(\rceil\)
⑤
\(B_{\text{sep}}\): total de listones comprando por separado
\(=\)
④
la suma de los \(B_1,\ B_2,\ \ldots\) de cada pieza
La fórmula en palabras
①
Dividimos la
\(q_i\): cantidad de la pieza \(i\)
②
entre las
\(m_i\): piezas por listón
y redondeamos al entero superior (el símbolo \(\lceil\ \rceil\) significa «redondear hacia arriba»)
③
para obtener los
\(B_i\): listones necesarios solo para la pieza \(i\)
④
Después,
la suma de los \(B_1,\ B_2,\ \ldots\) de cada pieza
da el
⑤
\(B_{\text{sep}}\): total de listones comprando por separado
Un ejemplo sencillo
Para una mesa alta con cuatro patas de 1000 mm, dos tablas de 600 mm (los laterales bajo el tablero) y dos barras de 400 mm (los travesaños inferiores entre las patas) cortados en listones de 2400 mm (ancho de corte 3 mm), si cada tipo de pieza tiene sus propios listones, el número de listones es
\(\text{Patas: } \lceil 4 \div 2 \rceil = 2,\quad \text{Tablas: } \lceil 2 \div 3 \rceil = 1,\quad \text{Barras: } \lceil 2 \div 5 \rceil = 1\)
\(B_{\text{sep}} = 2 + 1 + 1 = 4\)
La idea clave
Comprar listones separados para cada tipo de pieza, «listones para las patas» y «listones para las tablas», corresponde a este cálculo simple. Dos patas caben en un listón, así que cuatro patas piden 2 listones; tres tablas caben en un listón, así que dos tablas piden 1 listón (con sitio para uno más); cinco barras caben en un listón, así que dos piden 1 listón (con sitio para tres más). Son 4 listones en total.
Este método es fácil de razonar y el corte es sencillo, pero los listones de las tablas y de las barras se quedan con mucho resto. El «despiece agrupado» de más abajo reduce el número de listones colocando otras piezas en esos restos.
Despiece agrupado (piezas más largas primero) y sobrantes
Esquema
Notación matemática
(la notación habitual)
\(w\)
\(=\)
\(L\)
\(-\)
\(l_1 + l_2 + \cdots + l_n\)
\(-\)
\(n\)
\(\times\)
\(k\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
⑤
\(w\): sobrante de un listón
\(=\)
①
\(L\): longitud del listón
\(-\)
②
la longitud total \(l_1,\ l_2,\ \ldots,\ l_n\) de las piezas cortadas de este listón
\(-\)
③
\(n\): piezas cortadas de este listón
\(\times\)
④
\(k\): ancho de corte
La fórmula en palabras
①
A la
\(L\): longitud del listón
②
le restamos
la longitud total \(l_1,\ l_2,\ \ldots,\ l_n\) de las piezas cortadas de este listón
, y restamos también
③
\(n\): piezas cortadas de este listón
veces
④
\(k\): ancho de corte
(la madera que se pierde en cada corte)
⑤
para obtener el
\(w\): sobrante de un listón
(si el resultado es negativo, la última pieza llega hasta el final del listón y el sobrante es 0)
Un ejemplo sencillo
Con el despiece agrupado del ejemplo anterior (cuatro patas de 1000 mm, dos tablas de 600 mm, dos barras de 400 mm) en listones de 2400 mm, el listón 3 recibe las dos tablas y las dos barras, y su sobrante es
\(w\): sobrante
\(=\)
listón (2400 mm)
\(-\)
total de las piezas (600 + 600 + 400 + 400 mm)
\(-\)
piezas (4)
\(\times\)
ancho de corte (3 mm)
\(2400 - (600 + 600 + 400 + 400) - 4 \times 3 = 2400 - 2000 - 12 = 388\)
La idea clave
El reparto del despiece agrupado sigue estos tres pasos (First Fit Decreasing, «las más largas primero, en el primer sitio donde caben»):
1) Ordenar todas las piezas de la más larga a la más corta (las piezas de la misma longitud conservan el orden de las filas escritas).
2) Empezando por la primera pieza, colocarla en el primer listón cuyo resto sea al menos igual a su longitud. El resto de ese listón disminuye en «longitud de la pieza + ancho de corte».
3) Si no cabe en ningún listón, añadir un listón nuevo y colocarla en él.
En el ejemplo, ordenadas de la más larga, las piezas son 1000, 1000, 1000, 1000, 600, 600, 400, 400. El listón 1 recibe dos de 1000 (quedan 394 mm, un tercero de 1000 no cabe), el listón 2 dos de 1000, y el listón 3 las dos de 600, lo que deja 1194 mm: caben las dos de 400 y quedan 388 mm. Son 3 listones en total, uno menos que los 4 de la compra por separado.
Este método es sencillo y da buenos resultados, pero no siempre encuentra el menor número de listones. Por ejemplo, para cortar cuatro piezas de 900 mm, dos de 800 mm y dos de 600 mm de listones de 2400 mm (ancho de corte 3 mm), usa 4 listones, mientras que la combinación «900 + 800 + 600» en dos listones y «900 + 900» en un listón solo pide 3. El método «las más largas primero» pone primero dos de 900 en cada listón y se pierde esa combinación. Se demuestra que usa como mucho aproximadamente 1,22 veces el mínimo más 1 listón, y si alcanza el «mínimo teórico» de más abajo, es la prueba de que no se puede mejorar.
Por eso, cuando el método no alcanza el mínimo teórico y hay 60 piezas o menos en total, esta calculadora examina «todas las formas de llenar cada listón poniendo siempre la pieza más larga que queda» (búsqueda por ramificación y poda) y elige el reparto que usa menos listones. El ejemplo de 900, 800 y 600 se muestra así con 3 listones gracias a la búsqueda. La línea «Comprobación del reparto» del resultado indica si la búsqueda ha llegado hasta el final; por encima de 60 piezas, el resultado es el reparto aproximado del método.
Mínimo teórico (cota inferior)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(B_{\min}\)
\(=\)
\(\lceil\)
\(\sum_i q_i\,(l_i + k)\)
\(\div\)
\((L + k)\)
\(\rceil\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(B_{\min}\): mínimo teórico
\(=\)
\(\lceil\)
①
la suma de (longitud + ancho de corte) de todas las piezas, \(\sum_i q_i\,(l_i + k)\)
\(\div\)
②
longitud del listón + ancho de corte, \(L + k\)
\(\rceil\)
La fórmula en palabras
①
Dividimos
la suma de (longitud + ancho de corte) de todas las piezas, \(\sum_i q_i\,(l_i + k)\)
②
entre
longitud del listón + ancho de corte, \(L + k\)
y redondeamos al entero superior
③
para obtener el
\(B_{\min}\): mínimo teórico
Un ejemplo sencillo
Para el ejemplo anterior (cuatro patas de 1000 mm, dos tablas de 600 mm, dos barras de 400 mm, listones de 2400 mm, ancho de corte 3 mm), el mínimo teórico es
\(4 \times (1000 + 3) + 2 \times (600 + 3) + 2 \times (400 + 3) = 4012 + 1206 + 806 = 6024\)
\(6024 \div (2400 + 3) = 6024 \div 2403 \approx 2{,}51\)
\(\lceil 2{,}51 \rceil = 3\)
La idea clave
Como mostraba la fórmula del número de piezas por listón, las piezas de un mismo listón cumplen «suma de (longitud + ancho de corte) de las piezas ≤ longitud del listón + ancho de corte». Sea cual sea el truco de reparto, no se pueden usar menos listones que la suma de (longitud + ancho de corte) de todas las piezas dividida entre \(L + k\). Es la cota inferior (un valor por debajo del cual no se puede bajar).
Si el despiece agrupado alcanza esta cota inferior, se confirma que el número de listones es el menor posible (óptimo). El ejemplo usa 3 listones, igual que la cota inferior de 3: es óptimo. Si no, otra combinación podría usar menos listones, pero la cota inferior solo significa «no menos que esto» y no siempre se puede alcanzar. Por ejemplo, para cortar tres piezas de 1250 mm de listones de 2400 mm (ancho de corte 3 mm), la cota inferior vale \(\lceil 3759 \div 2403 \rceil = 2\), pero en un listón solo cabe una pieza de 1250 mm: cualquier combinación pide 3 listones. Esta calculadora examina las combinaciones hasta 60 piezas: un resultado marcado «comprobado examinando todas las combinaciones» es el mínimo, incluso por encima de la cota inferior.
Listones que se ahorran y coste estimado
Notación matemática
(la notación habitual)
\(\Delta\)
\(=\)
\(B_{\text{sep}}\)
\(-\)
\(B\)
\(T\)
\(=\)
\(u\)
\(\times\)
\(B\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(\Delta\): listones que se ahorran
\(=\)
①
\(B_{\text{sep}}\): listones comprando por separado
\(-\)
②
\(B\): listones con el despiece agrupado
⑤
\(T\): coste estimado
\(=\)
④
\(u\): precio de un listón
\(\times\)
\(B\): listones con el despiece agrupado
La fórmula en palabras
①
A los
\(B_{\text{sep}}\): listones comprando por separado
②
les restamos los
\(B\): listones con el despiece agrupado
③
para obtener los
\(\Delta\): listones que se ahorran
,
④
y multiplicamos el
\(u\): precio de un listón
por los listones del despiece agrupado \(B\)
⑤
para obtener el
\(T\): coste estimado
Un ejemplo sencillo
En el ejemplo anterior, con listones de 2,4 m a 3,50 € la pieza (precio de ejemplo), los listones que se ahorran y el coste son
\(\Delta = 4 - 3 = 1\)
\(T = 3{,}50 \times 3 = 10{,}50\)
\(3{,}50 \times 4 - 10{,}50 = 3{,}50\)
La idea clave
El coste comprando por separado es \(u \times B_{\text{sep}}\) y con el despiece agrupado \(u \times B\): la diferencia vale por tanto \(u \times \Delta\). Escribe el precio de un listón. Si la madera se vende por metro lineal o por m³ en lugar de por pieza, pásalo antes a precio por listón. El precio de 3,50 € es solo un ejemplo (no verificado): varía mucho con la escuadría, la esencia y la tienda. El coste incluye solo la madera, sin el corte en tienda, el transporte ni el acabado.
El número de piezas que se pueden cortar de un listón se calcula con «(longitud del listón + ancho de corte) ÷ (longitud de la pieza + ancho de corte)», redondeado al entero inferior. Con varios tipos de pieza, el despiece agrupado, que coloca primero las piezas más largas en el primer listón donde caben, reduce el número de listones. Si ese número alcanza el «mínimo teórico», no se puede mejorar. Si no, la calculadora examina las combinaciones (hasta 60 piezas) para hallar el reparto que usa menos listones.
Símbolos y términos
Símbolos
| \(L\) | ele mayúscula | La longitud del listón (mm), es decir, la longitud de una pieza de madera comprada. Inicial de «longitud», en mayúscula para distinguirla de la longitud de la pieza \(l\). |
| \(l\), \(l_i\) | ele minúscula, ele sub i | La longitud de una pieza (un trozo que hay que cortar, en mm). La \(i\) de \(l_i\) es el número del \(i\)-ésimo tipo de pieza (hay varios: patas, tablas, barras). |
| \(k\) | ka | El ancho de corte (el grosor de la hoja de sierra, en mm). Cada corte quita esa longitud de madera. Inicial de «kerf», la palabra inglesa para el ancho de corte. |
| \(m\), \(m_i\) | eme, eme sub i | El número de piezas que se pueden cortar de un listón. Se calcula con \(m = \lfloor (L + k) \div (l + k) \rfloor\). |
| \(q_i\) | cu sub i | La cantidad necesaria de la pieza \(i\). Inicial de «cantidad». |
| \(B_i\), \(B_{\text{sep}}\) | be sub i, be sub sep | \(B_i\) es el número de listones necesarios solo para la pieza \(i\) (\(\lceil q_i \div m_i \rceil\)). \(B_{\text{sep}}\) es el total cuando cada pieza se compra por separado (la suma de los \(B_i\)). |
| \(B\) | be | El número de listones necesarios con el despiece agrupado (las piezas más largas primero). Es el valor principal de esta página. |
| \(n\) | ene | El número de piezas cortadas de un listón dado. Inicial de «número». En la fórmula del sobrante, indica cuántos cortes hay que restar. |
| \(w\) | uve doble | El sobrante de un listón (la longitud que no se usa, en mm). Inicial de «waste», la palabra inglesa para el desperdicio. |
| \(B_{\min}\) | be sub mín | El número mínimo teórico de listones (cota inferior). Se calcula con \(\lceil \sum_i q_i (l_i + k) \div (L + k) \rceil\); si el número del despiece agrupado \(B\) es igual, el reparto es óptimo. «mín» es la abreviatura de mínimo. |
| \(\Delta\) | delta | Los listones que se ahorran, \(B_{\text{sep}} - B\). La letra griega delta se usa a menudo para anotar una diferencia (corresponde a la d de «diferencia»). |
| \(u\) | u | El precio de un listón (€). Inicial de «unitario» (precio unitario). |
| \(T\) | te | El coste estimado (€). Inicial de «total». Solo la madera, sin el corte en tienda ni el transporte. |
| \(\lfloor x \rfloor\) | parte entera de x | El símbolo que redondea al entero inferior (parte entera). Ejemplo: \(\lfloor 2{,}40 \rfloor = 2\), \(\lfloor 3 \rfloor = 3\). El número de piezas que se pueden cortar deja fuera lo que no cabe, de ahí este símbolo. |
| \(\lceil x \rceil\) | función techo de x | El símbolo que redondea al entero superior. Ejemplo: \(\lceil 2{,}51 \rceil = 3\), \(\lceil 2 \rceil = 2\). El número de listones que hay que comprar añade un listón en cuanto falta un poco, de ahí este símbolo. |
| \(\sum\) | sigma | El símbolo que significa «sumar todo». \(\sum_i q_i (l_i + k)\) significa calcular \(q_i (l_i + k)\) para cada tipo de pieza \(i\) y sumarlo todo. Es la letra griega sigma, que corresponde a la S de «suma». |
Términos
| longitud del listón | La longitud estándar en que se venden la madera, el acero, los tubos, etc. (también se dice longitud comercial). En España, los listones de pino se venden, por ejemplo, en 2,4 m y en 3 m (según los productos de Leroy Merlin España consultados; otras longitudes, como 2 m o 4 m, dependen del producto). |
| ancho de corte | La anchura de madera que quita la hoja en cada corte. Una hoja de sierra circular suele medir entre 1,5 y 3 mm, y es habitual contar unos 3 mm con las astillas y la raya del lápiz. Si conoces el grosor de tu hoja (suele estar grabado en ella), escríbelo. Se acumula en cada corte, así que cuenta sobre todo cuando se cortan muchas piezas cortas. |
| despiece | En carpintería, la lista de las piezas que hay que cortar con sus medidas y la forma de sacarlas de los listones o de las tablas (lista de despiece, plan de corte). Esta página trata el despiece en una dimensión, solo en longitud, no los cortes en dos dimensiones de los tableros de contrachapado. |
| sobrante | El trozo de material que queda una vez cortadas las piezas, en el extremo de un listón. Cuantos menos sobrantes, menos material se desperdicia y mayor es el aprovechamiento. |
| despiece agrupado | Cortar distintos tipos de pieza del mismo listón, colocando otras piezas en el resto en lugar de tener listones separados «para las patas» y «para los tablas». Suele usar menos listones que comprar por tipo de pieza, y el plan de corte de esta página muestra cómo hacerlo. |
| First Fit Decreasing (FFD) | Un método que coloca los objetos «del más grande al más pequeño (Decreasing), en el primer sitio donde caben (First Fit)». Es un método aproximado clásico del problema del empaquetado, que se usa para el despiece agrupado de esta página. Es sencillo, da buenos resultados y se queda como mucho en aproximadamente 1,22 veces el mínimo más 1, pero no siempre encuentra el mínimo. Cuando no alcanza la cota inferior, esta calculadora busca el menor número de listones por ramificación y poda (hasta 60 piezas). |
| problema del empaquetado (bin packing) | El problema de colocar objetos de tamaños distintos en cajas de tamaño fijo usando el menor número posible de cajas (en inglés, bin packing). Cortar piezas de listones (listones = cajas, piezas = objetos) es su versión en una dimensión. Con muchos objetos, el trabajo para hallar la mejor colocación crece muy deprisa; en la práctica se usan mucho métodos aproximados clásicos como el FFD. |
| ramificación y poda | Un método de búsqueda (branch and bound en inglés) que prueba las combinaciones separándolas en ramas y abandona toda rama que no pueda mejorar el mejor resultado ya hallado: así se encuentra la solución óptima sin probarlo todo. En esta página, cada forma de llenar un listón es una rama, y se abandonan las ramas en las que «listones usados + cota inferior de las piezas restantes» alcanza el mejor resultado. |
| aprovechamiento | La parte del material que acaba en las piezas (rendimiento del material). En esta página es «longitud total de las piezas ÷ longitud total de los listones comprados»; se acerca al 100 % cuando disminuyen los sobrantes y los cortes. |
| cota inferior | Un valor «por debajo del cual no se puede bajar, sea cual sea el truco». El mínimo teórico de esta página es una cota inferior; si el reparto la alcanza, es óptimo. Pero no siempre se puede alcanzar (tres piezas de 1250 mm de listones de 2400 mm dan una cota inferior de 2, pero hacen falta 3 listones). |
| solución óptima | La mejor respuesta entre todas las formas posibles. En esta página es «el reparto que usa menos listones». Si el despiece agrupado alcanza la cota inferior, es óptimo. Si no, también lo es cuando el examen de todas las combinaciones confirma que no se pueden usar menos listones. |
| sección | Las dimensiones del extremo de una pieza de madera, por ejemplo 21 × 44 mm para un listón de pino tratado o 60 × 27 mm para un listón cepillado. La longitud se vende tal como se anuncia (un listón de 2,4 m mide 2400 mm). |
| listón | Una barra de madera de sección pequeña, cuadrada o rectangular (por ejemplo, 21 × 44 mm en pino tratado), la pieza de madera más fácil de encontrar en una tienda de bricolaje para estructuras y muebles pequeños. Se vende sobre todo en 2,4 m y en 3 m. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que ayuda a usar el cálculo de esta página entendiéndolo de verdad, y no solo pulsando el botón.
| División con resto (3.º y 4.º de Primaria, 8-10 años) |
|
| Redondeo (4.º de Primaria, 9-10 años) |
|
| División de decimales (5.º y 6.º de Primaria, 10-12 años) |
|
| Expresiones algebraicas e inecuaciones (1.º y 2.º de ESO, 12-14 años) |
|
| Proporciones y porcentajes (5.º y 6.º de Primaria, 10-12 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para hallar el número de piezas por listón
| Longitud del listón (mm) | 2400 |
| Longitud de la pieza (mm) | 1000 |
| Ancho de corte (mm) | 3 |
| Piezas por listón | =ENTERO((B1+B3)/(B2+B3)) |
Tabla para hallar los listones comprando cada pieza por separado
| Cantidad de la pieza | 4 |
| Piezas por listón | 2 |
| Listones necesarios | =REDONDEAR.MAS(B1/B2;0) |
Tabla para hallar el sobrante de un listón
| Longitud del listón (mm) | 2400 |
| Longitud total de las piezas cortadas del listón (mm) | 2000 |
| Piezas cortadas del listón | 4 |
| Ancho de corte (mm) | 3 |
| Sobrante (mm) | =MAX(0;B1-B2-B3*B4) |
Tabla para hallar el mínimo teórico
| Suma de (longitud + ancho de corte) de todas las piezas (mm) | 6024 |
| Longitud del listón + ancho de corte (mm) | 2403 |
| Mínimo teórico | =REDONDEAR.MAS(B1/B2;0) |
Tabla para hallar los listones que se ahorran y el coste estimado
| Listones comprando por separado | 4 |
| Listones con el despiece agrupado | 3 |
| Precio de un listón (€) | 3,5 |
| Listones que se ahorran | =B1-B2 |
| Coste estimado (€) | =B3*B2 |
Una vez pegada, las primeras celdas de la columna B son tus datos y la última fila se calcula sola.
«ENTERO(valor)» es la función que redondea al entero inferior (⌊ ⌋ en las fórmulas) y «REDONDEAR.MAS(valor; 0)» redondea al entero superior (⌈ ⌉).
B4 de la primera tabla vale 2, B3 de la segunda 2, B5 de la tercera 388 mm, B3 de la cuarta 3, y la quinta da 1 listón ahorrado y un coste de 10,50 €.
El reparto «las más largas primero» en sí consiste en ordenar las piezas de la más larga a la más corta y asignarlas a los listones una a una, un trabajo manual en una hoja de cálculo. Usa la hoja de cálculo para comprobar las piezas por listón, los sobrantes y la cota inferior, y esta página o el código Python de abajo para el plan de corte.
«ENTERO(valor)» es la función que redondea al entero inferior (⌊ ⌋ en las fórmulas) y «REDONDEAR.MAS(valor; 0)» redondea al entero superior (⌈ ⌉).
B4 de la primera tabla vale 2, B3 de la segunda 2, B5 de la tercera 388 mm, B3 de la cuarta 3, y la quinta da 1 listón ahorrado y un coste de 10,50 €.
El reparto «las más largas primero» en sí consiste en ordenar las piezas de la más larga a la más corta y asignarlas a los listones una a una, un trabajo manual en una hoja de cálculo. Usa la hoja de cálculo para comprobar las piezas por listón, los sobrantes y la cota inferior, y esta página o el código Python de abajo para el plan de corte.
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para hallar el número de piezas por listón
| Longitud del listón (mm) | 2400 |
| Longitud de la pieza (mm) | 1000 |
| Ancho de corte (mm) | 3 |
| Piezas por listón | =ENTERO((B1+B3)/(B2+B3)) |
Tabla para hallar los listones comprando cada pieza por separado
| Cantidad de la pieza | 4 |
| Piezas por listón | 2 |
| Listones necesarios | =REDONDEAR.MAS(B1/B2;0) |
Tabla para hallar el sobrante de un listón
| Longitud del listón (mm) | 2400 |
| Longitud total de las piezas cortadas del listón (mm) | 2000 |
| Piezas cortadas del listón | 4 |
| Ancho de corte (mm) | 3 |
| Sobrante (mm) | =MAX(0;B1-B2-B3*B4) |
Tabla para hallar el mínimo teórico
| Suma de (longitud + ancho de corte) de todas las piezas (mm) | 6024 |
| Longitud del listón + ancho de corte (mm) | 2403 |
| Mínimo teórico | =REDONDEAR.MAS(B1/B2;0) |
Tabla para hallar los listones que se ahorran y el coste estimado
| Listones comprando por separado | 4 |
| Listones con el despiece agrupado | 3 |
| Precio de un listón (€) | 3,5 |
| Listones que se ahorran | =B1-B2 |
| Coste estimado (€) | =B3*B2 |
Las mismas fórmulas que en Excel (incluidas ENTERO, REDONDEAR.MAS y MAX) funcionan tal cual en Hojas de cálculo de Google en español. Copia toda la tabla, pégala en la celda A1 y sustituye los números de la columna B por los tuyos.
Cómo calcularlo con Python
import math
stock_length = 2400 # longitud del listón (mm). Un listón de 2,4 m
kerf = 3 # ancho de corte (grosor de la hoja, mm)
unit_price = 3.50 # precio de un listón (€)
# piezas que cortar: (nombre, longitud en mm, cantidad)
parts = [("Pata", 1000, 4), ("Tabla", 600, 2), ("Barra", 400, 2)]
# listones comprando cada pieza por separado (se divide entre las piezas por listón y se redondea hacia arriba)
stocks_separate = 0
for name, length, qty in parts:
per_stock = (stock_length + kerf) // (length + kerf) # redondeo hacia abajo (el ⌊ ⌋ de la fórmula)
stocks_separate += math.ceil(qty / per_stock) # redondeo hacia arriba (el ⌈ ⌉ de la fórmula)
# despiece agrupado: las piezas más largas primero, en el primer listón donde caben (First Fit Decreasing)
items = sorted([(length, name) for name, length, qty in parts for _ in range(qty)], key=lambda t: -t[0])
stocks = [] # un {"parts": [...], "remaining": longitud restante} por listón
for length, name in items:
for stock in stocks:
if length <= stock["remaining"]:
stock["parts"].append((name, length))
stock["remaining"] = max(0, stock["remaining"] - length - kerf)
break
else:
stocks.append({"parts": [(name, length)], "remaining": max(0, stock_length - length - kerf)})
# mínimo teórico (cota inferior)
lower_bound = math.ceil(sum(qty * (length + kerf) for name, length, qty in parts) / (stock_length + kerf))
print(f"Listones comprando cada pieza por separado: {stocks_separate}")
print(f"Listones con el despiece agrupado: {len(stocks)} (mínimo teórico {lower_bound})")
for i, stock in enumerate(stocks, 1):
names = " + ".join(f"{name} {length}" for name, length in stock["parts"])
print(f" Listón {i}: {names} sobrante {stock['remaining']} mm")
print(f"Listones que se ahorran: {stocks_separate - len(stocks)}")
print(f"Coste estimado: {unit_price * len(stocks):.2f} €")
Funciona solo con la biblioteca estándar. «//» es la división redondeada al entero inferior (el ⌊ ⌋ de las fórmulas) y math.ceil() redondea al entero superior (el ⌈ ⌉). Este código aplica solo el método «las más largas primero» (First Fit Decreasing): si la calculadora de esta página halla menos listones al examinar las combinaciones, los resultados pueden diferir (son idénticos cuando el resultado alcanza la cota inferior). El else del bucle for se ejecuta cuando el bucle termina sin break (la pieza no cabe en ningún listón) y añade un listón nuevo. Sustituye por tus valores la longitud del listón, el ancho de corte y la lista de piezas de arriba, y ejecuta el código.
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Número de piezas en un listón
m = ⌊(L + k) ÷ (l + k)⌋
m = \left\lfloor \frac{L + k}{l + k} \right\rfloor
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>m</mi>
<mo>=</mo>
<mo>⌊</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>L</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
<mrow><mi>l</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>⌋</mo>
</mrow>
</math>
m = |__ (L + k) / (l + k) __|
Floor[(L + k)/(l + k)]
m := floor((L + k)/(l + k));
m = floor((L + k)/(l + k));
m = ⌊(L + k)/(l + k)⌋
Listones comprando cada pieza por separado
Bᵢ = ⌈qᵢ ÷ mᵢ⌉, B_sep = B₁ + B₂ + …
B_i = \left\lceil \frac{q_i}{m_i} \right\rceil,\quad B_{\text{sep}} = \sum_i B_i
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>B</mi><mi>i</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mo>⌈</mo>
<mfrac><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>m</mi><mi>i</mi></msub></mfrac>
<mo>⌉</mo>
<mo>,</mo>
<msub><mi>B</mi><mtext>sep</mtext></msub>
<mo>=</mo>
<munder><mo>∑</mo><mi>i</mi></munder>
<msub><mi>B</mi><mi>i</mi></msub>
</mrow>
</math>
B_i = |~ q_i / m_i ~|, B_"sep" = sum_i B_i
Total[Ceiling[q/m]]
B := add(ceil(q[i]/m[i]), i = 1 .. n);
B = sum(ceil(q ./ m));
B_i = ⌈q_i/m_i⌉, B_sep = ∑_i B_i
Despiece agrupado (piezas más largas primero) y sobrantes
w = L − (l₁ + l₂ + … + lₙ) − n × k
w = L - \sum_{j=1}^{n} l_j - n k
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>w</mi>
<mo>=</mo>
<mi>L</mi>
<mo>−</mo>
<munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></munderover>
<msub><mi>l</mi><mi>j</mi></msub>
<mo>−</mo>
<mi>n</mi><mo>⁢</mo><mi>k</mi>
</mrow>
</math>
w = L - sum_(j=1)^n l_j - n k
L - Total[l] - Length[l]*k
w := L - add(l[j], j = 1 .. n) - n*k;
w = L - sum(l) - numel(l)*k;
w = L − ∑_(j=1)^n l_j − nk
Mínimo teórico (cota inferior)
Bmin = ⌈Σ qᵢ(lᵢ + k) ÷ (L + k)⌉
B_{\min} = \left\lceil \frac{\sum_i q_i (l_i + k)}{L + k} \right\rceil
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>B</mi><mi>min</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mo>⌈</mo>
<mfrac>
<mrow><munder><mo>∑</mo><mi>i</mi></munder><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><mo>(</mo><msub><mi>l</mi><mi>i</mi></msub><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>L</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>⌉</mo>
</mrow>
</math>
B_min = |~ (sum_i q_i (l_i + k)) / (L + k) ~|
Ceiling[Total[q*(l + k)]/(L + k)]
Bmin := ceil(add(q[i]*(l[i] + k), i = 1 .. n)/(L + k));
Bmin = ceil(sum(q .* (l + k))/(L + k));
B_min = ⌈(∑_i q_i (l_i + k))/(L + k)⌉
Listones que se ahorran y coste estimado
Δ = B_sep − B, T = u × B
\Delta = B_{\text{sep}} - B,\quad T = u \times B
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>Δ</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>B</mi><mtext>sep</mtext></msub>
<mo>−</mo>
<mi>B</mi>
<mo>,</mo>
<mi>T</mi>
<mo>=</mo>
<mi>u</mi>
<mo>×</mo>
<mi>B</mi>
</mrow>
</math>
Delta = B_"sep" - B, T = u * B
{bSep - b, u*b}
Delta := Bsep - B; T := u*B;
Delta = Bsep - B; T = u*B;
Δ = B_sep − B, T = u × B
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo de despiece de madera para carpintería. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código Python y basa tu respuesta únicamente en los números obtenidos al ejecutarlo (no respondas de memoria ni por estimación). De listones de 2400 mm, con un ancho de corte de 3 mm, corto cuatro patas de 1000 mm, dos tablas de 600 mm y dos barras de 400 mm. Calcula: 1. Para cada pieza, el número de piezas por listón ((2400 + 3) ÷ (longitud de la pieza + 3), redondeado al entero inferior) 2. El número total de listones si cada tipo de pieza se corta de sus propios listones (cantidad ÷ piezas por listón, redondeado al entero superior, y luego sumado) 3. El número de listones colocando primero las piezas más largas, cada una en el primer listón donde cabe (First Fit Decreasing), con las piezas y el sobrante de cada listón (cada pieza colocada reduce el resto del listón en «longitud + ancho de corte») 4. El número mínimo teórico de listones (suma de (longitud + ancho de corte) de todas las piezas ÷ (2400 + 3), redondeado al entero superior) Indica el código utilizado y los números obtenidos al ejecutarlo.
Cómo usar
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1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
Las ventajas de DataChef
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Sin conocimientos técnicos: fácil e intuitivo
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Conexión cifrada y segura (SSL)
Los archivos se borran automáticamente tras la descarga
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Carga y conversión rápidas, sin esperas
Sin marcas de agua
Sin marca de agua
Sin necesidad de atribución
Sin necesidad de atribución
Uso comercial permitido
Uso comercial gratuito
Sin necesidad de pedir permiso
Sin necesidad de pedir permiso
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