Calculadora del teorema de Pitágoras (hipotenusa y catetos de un triángulo rectángulo)

De los tres lados a, b y c de un triángulo rectángulo (c es la hipotenusa), introduce solo los dos que conozcas. El teorema de Pitágoras da el lado que falta, y también se muestran los dos ángulos agudos, el área, el perímetro y la altura sobre la hipotenusa.

Cateto a

Cateto b

Hipotenusa c

Introduce solo dos lados (deja vacío el que falta). Las longitudes deben ser números mayores que 0 (se admiten decimales), todas en la misma unidad (por ejemplo, todas en cm).

Resultado y figura

Introduce en los campos de la izquierda las longitudes de los dos lados que conozcas y pulsa «Calcular». El resultado aparecerá aquí.

Índice

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Qué puedes hacer en esta página
¿Para qué sirve este cálculo?
Cómo usar
Fórmulas y figuras
Símbolos y términos
- Símbolos
- Términos
Qué conviene saber de antemano
Cómo calcularlo con Excel
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Cómo calcularlo con Python
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Las ventajas de DataChef
Funciones relacionadas
Todas las calculadoras de NumberChef

Qué puedes hacer en esta página

Introduce dos cualesquiera de los tres lados de un triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras \(a^2 + b^2 = c^2\) te da el tercero al instante
Preguntas como «solo sé que mide 3 m de alto y 4 m de ancho, ¿cuánto mide la diagonal?» se resuelven de una sola vez
Además del lado que falta, calcula también los dos ángulos agudos, el área, el perímetro y la altura sobre la hipotenusa, con los pasos a la vista
En esta misma página encontrarás también una explicación sencilla de las fórmulas y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python

Solo sirve para triángulos rectángulos (triángulos con un ángulo de exactamente 90°). La hipotenusa c es el lado más largo, el opuesto al ángulo recto. No se puede usar para los lados de un triángulo sin ángulo recto.

¿Para qué sirve este cálculo?

Calcular hasta qué altura llega una escalera (bricolaje y obras)

Si apoyas una escalera de 5 m contra una pared con el pie a 1,5 m de la pared, llega hasta \(\sqrt{5^2 - 1{,}5^2} = \sqrt{22{,}75} \approx 4{,}77\) m de altura (unos 4,8 m).
La escalera se coloca con el pie separado de la pared para que no vuelque, así que nunca llega tan alto como su longitud. En España, el Real Decreto 2177/2004 pide que las escaleras de mano simples se coloquen, en la medida de lo posible, formando un ángulo aproximado de 75° con la horizontal: con una escalera de 5 m, el pie queda a unos 1,3 m de la pared. Calcular el alcance de esta manera antes del trabajo es un hábito básico en la construcción y en las instalaciones eléctricas.

Cuadrar una esquina con 3-4-5 (carpintería y cimentaciones)

Mide 3 m a lo largo de un lado y 4 m a lo largo del otro. Si la distancia entre esas dos marcas es exactamente 5 m, la esquina está a escuadra (como \(3^2 + 4^2 = 5^2\), el recíproco del teorema de Pitágoras asegura que es un ángulo recto). Para replanteos más grandes, los carpinteros usan otras ternas pitagóricas como 6-8-10 o 9-12-15.
Este «método 3-4-5» se usa desde hace miles de años, desde los tensadores de cuerda del antiguo Egipto hasta los replanteos actuales de cimentaciones y suelos. Es el uso cotidiano más práctico del teorema de Pitágoras.

Distancia en línea recta en un mapa (y en programación)

Un lugar situado 300 m al este y 400 m al norte de ti está a \(\sqrt{300^2 + 400^2} = 500\) m en línea recta.
Hallar la distancia entre dos puntos a partir de la diferencia este-oeste y la diferencia norte-sur (la fórmula de la distancia) es el teorema de Pitágoras en sí. Funciona dentro de casi todos los programas que manejan posiciones, como los navegadores GPS, las aplicaciones de mapas y los videojuegos.

Hallar la longitud inclinada de escaleras y rampas (diseño y reformas)

Una escalera que avanza 3,6 m en horizontal y sube 2,7 m tiene una longitud inclinada de \(\sqrt{3{,}6^2 + 2{,}7^2} = \sqrt{20{,}25} = 4{,}5\) m.
La longitud de cualquier pieza inclinada, como el pasamanos de una escalera o el tablón de una rampa, se obtiene a partir de las dimensiones horizontal y vertical del plano con el teorema de Pitágoras. Puedes usarla directamente para calcular los materiales antes de ir a comprarlos.

Fórmulas y figuras

El teorema de Pitágoras (la relación entre los tres lados)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(a^2\) \(+\) \(b^2\) \(=\) \(c^2\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

① \(a^2\): cateto \(a\) al cuadrado \(+\) ② \(b^2\): cateto \(b\) al cuadrado \(=\) ③ \(c^2\): hipotenusa \(c\) al cuadrado

La fórmula en palabras

① Suma \(a^2\): cateto \(a\) al cuadrado

② y \(b^2\): cateto \(b\) al cuadrado

③ y la suma es exactamente igual a \(c^2\): hipotenusa \(c\) al cuadrado

Un ejemplo sencillo

Comprobémoslo con un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5

cateto a al cuadrado (3² = 9) \(+\) cateto b al cuadrado (4² = 16) \(=\) hipotenusa c al cuadrado (5² = 25)

\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)

La idea clave

La hipotenusa \(c\) es el lado opuesto al ángulo recto y el más largo de un triángulo rectángulo. Esta relación solo se cumple en los triángulos rectángulos. Y también funciona al revés: cualquier triángulo cuyos tres lados cumplan esta igualdad es siempre un triángulo rectángulo (el recíproco del teorema de Pitágoras). Es la propiedad que se usa en las obras para comprobar que una esquina está a escuadra.

Fórmula de la hipotenusa \(c\)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(c\) \(=\) \(\sqrt{a^2 + b^2}\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

② \(c\): hipotenusa \(=\) ① raíz cuadrada de la suma de cuadrados \(a^2 + b^2\)

La fórmula en palabras

① Halla la raíz cuadrada de la suma de cuadrados \(a^2 + b^2\) (eleva al cuadrado cada cateto, súmalos y toma la raíz cuadrada)

② y obtienes la \(c\): hipotenusa

Un ejemplo sencillo

Cuando los dos catetos miden 3 y 4, la hipotenusa es

\(c\): hipotenusa \(=\) raíz cuadrada de la suma de cuadrados (3² + 4² = 25)

\(c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

La idea clave

Es la relación \(a^2 + b^2 = c^2\) despejada para \(c\). Un error frecuente es escribir \(\sqrt{a^2} + \sqrt{b^2}\) (que es simplemente \(a + b\)). Primero hay que hacer toda la suma que está dentro de la raíz cuadrada y tomar la raíz cuadrada una sola vez, al final. El resultado correcto es \(\sqrt{9 + 16} = 5\), no \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7\).

Fórmula de un cateto que falta

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(b\) \(=\) \(\sqrt{c^2 - a^2}\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

② \(b\): cateto que falta \(=\) ① raíz cuadrada de la diferencia de cuadrados \(c^2 - a^2\)

La fórmula en palabras

① Halla la raíz cuadrada de la diferencia de cuadrados \(c^2 - a^2\) (resta al cuadrado de la hipotenusa el cuadrado del cateto conocido y toma la raíz cuadrada)

② y obtienes el \(b\): cateto que falta

Un ejemplo sencillo

Cuando la hipotenusa mide 13 y un cateto mide 5, el otro cateto es

\(b\): cateto que falta \(=\) raíz cuadrada de la diferencia de cuadrados (13² − 5² = 144)

\(b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\)

La idea clave

Cuidado con el orden de la resta. Siempre hay que restar al cuadrado de la hipotenusa, el lado más largo, el cuadrado del cateto conocido. Para hallar en cambio el cateto \(a\), se usa la misma forma: \(a = \sqrt{c^2 - b^2}\). Si la resta da 0 o un número negativo, el lado que has llamado hipotenusa no lo es (la hipotenusa siempre es más larga que cualquiera de los catetos).

Altura sobre la hipotenusa

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(h\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(b\) \(\div\) \(c\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

④ \(h\): altura sobre la hipotenusa \(=\) ① \(a\): cateto \(\times\) ② \(b\): cateto \(\div\) ③ \(c\): hipotenusa

La fórmula en palabras

① Multiplica \(a\): cateto

② por \(b\): cateto

③ divide entre la \(c\): hipotenusa

④ y obtienes la \(h\): altura sobre la hipotenusa

Un ejemplo sencillo

En un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5, la altura tomando como base la hipotenusa (el lado de longitud 5) es

altura \(h\) \(=\) cateto a (3) \(\times\) cateto b (4) \(\div\) hipotenusa c (5)

\(h = 3 \times 4 \div 5 = 12 \div 5 = 2{,}4\)

La idea clave

Esta fórmula sale de escribir el área de dos maneras. Con los dos catetos, el área de un triángulo rectángulo es \(a \times b \div 2\). Tomando la hipotenusa como base, es \(c \times h \div 2\). El área es la misma, así que \(a \times b = c \times h\). Si despejas \(h\), obtienes \(h = a \times b \div c\).

El teorema de Pitágoras dice que la suma de los cuadrados de los dos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, y solo se cumple en los triángulos rectángulos. Si conoces dos lados, obtienes el tercero en dos pasos, elevar al cuadrado y sumar (para la hipotenusa) o restar (para un cateto), y después tomar la raíz cuadrada.

Símbolos y términos

Símbolos

\(a\), \(b\)	a, be	Las longitudes de los dos catetos, los lados que forman el ángulo recto. Da igual cuál llames a; el resultado es el mismo.
\(c\)	ce	La longitud de la hipotenusa, el lado más largo de un triángulo rectángulo, el opuesto al ángulo recto.
\(a^2\)	a al cuadrado	Un número multiplicado por sí mismo (\(a^2 = a \times a\)). El 2 pequeño de arriba es un exponente que indica «úsalo como factor dos veces». (Ejemplo: \(3^2 = 3 \times 3 = 9\))
\(\sqrt{\phantom{x}}\)	raíz cuadrada (signo radical)	El símbolo de la raíz cuadrada. \(\sqrt{25}\) es el número positivo que elevado al cuadrado da 25, es decir, 5. También puede ser un número con infinitas cifras decimales, como \(\sqrt{2}\) (aproximadamente 1,414).
\(\alpha\), \(\beta\)	alfa, beta	Letras griegas que se usan mucho para nombrar ángulos. En esta página, \(\alpha\) es el ángulo opuesto al cateto a y \(\beta\) el ángulo opuesto al cateto b, y \(\alpha + \beta = 90°\).
\(\arcsin\)	arcoseno	La función inversa de la razón trigonométrica seno \(\sin\) (cateto opuesto ÷ hipotenusa). Pasa de la razón al ángulo. Esta calculadora halla los ángulos con ella. En una calculadora científica es la tecla sin⁻¹ (o «arcsen»).
\(h\)	hache	La altura sobre la hipotenusa, es decir, la altura desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa tomada como base. Es la inicial de «height», «altura» en inglés.

Términos

teorema de Pitágoras	El teorema que dice que los tres lados de un triángulo rectángulo cumplen \(a^2 + b^2 = c^2\) (c es la hipotenusa). Lleva el nombre del matemático griego Pitágoras (hacia el siglo VI a. C.). Se estudia en Matemáticas de la ESO (2.º–3.º de ESO, 13-15 años).
cateto	Cada uno de los dos lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto. Los dos catetos suelen llamarse a y b, y siempre son más cortos que la hipotenusa.
triángulo rectángulo	Un triángulo en el que uno de los tres ángulos mide exactamente 90° (un ángulo recto). El teorema de Pitágoras solo funciona con esta forma.
hipotenusa	El lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto. Es el más largo de los tres lados y, en el teorema de Pitágoras, su cuadrado siempre está solo en un lado de la igualdad.
raíz cuadrada	El número que, elevado al cuadrado, da el número original. La raíz cuadrada positiva de 25 es 5, y la de 2 es \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\). Las raíces cuadradas se estudian en la ESO (2.º–3.º de ESO, 13-15 años).
terna pitagórica	Un conjunto de tres números enteros que cumplen el teorema de Pitágoras. Son muy conocidas (3, 4, 5), (5, 12, 13) y (8, 15, 17). Aparecen a menudo en los ejercicios y cuando en las obras se replantea una esquina a escuadra.
recíproco del teorema de Pitágoras	El teorema que dice que un triángulo cuyos tres lados cumplen \(a^2 + b^2 = c^2\) es un triángulo rectángulo. Midiendo solo los lados se puede comprobar si un ángulo es recto, así que se usa de verdad en las obras de construcción.

Qué conviene saber de antemano

Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo lo que haces, y no solo pulsando el botón.

Cuadrados y potencias (1.º–2.º de ESO, 12-14 años)	Saber que elevar un número al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo, como en \(3^2 = 3 \times 3 = 9\) Saber elevar al cuadrado también un decimal (por ejemplo, \(1{,}5^2 = 2{,}25\))
Raíces cuadradas (2.º–3.º de ESO, 13-15 años)	Saber expresar «el número positivo que elevado al cuadrado da 25» como \(\sqrt{25} = 5\) Saber que una raíz cuadrada puede ser un número con infinitas cifras decimales, como \(\sqrt{2}\)
Nociones básicas de triángulos (5.º–6.º de Primaria y 1.º de ESO, 10-13 años)	Saber encontrar en una figura cuál es el ángulo recto (90°) Saber que el área de un triángulo es «base × altura ÷ 2»
El teorema de Pitágoras (2.º–3.º de ESO, 13-15 años)	Saber distinguir cuál es la hipotenusa de un triángulo rectángulo (el lado opuesto al ángulo recto y el más largo) Tener presente que \(c\) en \(a^2 + b^2 = c^2\) es siempre la hipotenusa

Cómo calcularlo con Excel

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.

Tabla para comprobar si un triángulo es un triángulo rectángulo

Cateto a	3
Cateto b	4
Hipotenusa c	5
Valor de a²+b²	=B1^2+B2^2
Valor de c²	=B3^2

Tabla para hallar la hipotenusa c

Cateto a	3
Cateto b	4
Hipotenusa c	=RAIZ(B1^2+B2^2)

Tabla para hallar el cateto b que falta

Hipotenusa c	13
Cateto a conocido	5
Cateto b que falta	=RAIZ(B1^2-B2^2)

Tabla para hallar la altura h sobre la hipotenusa

Cateto a	3
Cateto b	4
Hipotenusa c	5
Altura h	=B1*B2/B3

Al pegar la tabla, las filas de arriba son los datos que introduces y la fórmula de la última fila se calcula automáticamente.
«^2» eleva un número al cuadrado y «RAIZ(…)» es la función de Excel para la raíz cuadrada.
En la primera tabla, si el valor de a²+b² (B4) y el de c² (B5) son iguales, el triángulo es un triángulo rectángulo (en el ejemplo 3, 4, 5, ambos valen 25).
En la segunda tabla, B3 muestra la hipotenusa, 5. Solo tienes que sustituir los números de entrada por las longitudes de tus propios lados.

Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.

Tabla para comprobar si un triángulo es un triángulo rectángulo

Cateto a	3
Cateto b	4
Hipotenusa c	5
Valor de a²+b²	=B1^2+B2^2
Valor de c²	=B3^2

Tabla para hallar la hipotenusa c

Cateto a	3
Cateto b	4
Hipotenusa c	=RAIZ(B1^2+B2^2)

Tabla para hallar el cateto b que falta

Hipotenusa c	13
Cateto a conocido	5
Cateto b que falta	=RAIZ(B1^2-B2^2)

Tabla para hallar la altura h sobre la hipotenusa

Cateto a	3
Cateto b	4
Hipotenusa c	5
Altura h	=B1*B2/B3

Las mismas fórmulas de Excel (la función RAIZ y ^2) funcionan tal cual. Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y sustituye los números de entrada por las longitudes de tus propios lados.

Cómo calcularlo con Python

import math

side_a = 3.0   # cateto a
side_b = 4.0   # cateto b

hypotenuse = math.sqrt(side_a ** 2 + side_b ** 2)   # hipotenusa c (math.hypot(side_a, side_b) da lo mismo)
area = side_a * side_b / 2                          # área
perimeter = side_a + side_b + hypotenuse            # perímetro
height = side_a * side_b / hypotenuse               # altura sobre la hipotenusa
angle_alpha = math.degrees(math.asin(side_a / hypotenuse))   # ángulo opuesto al cateto a (en grados)

print(f"Hipotenusa c: {hypotenuse}")
print(f"Área: {area}")
print(f"Perímetro: {perimeter}")
print(f"Altura sobre la hipotenusa: {height}")
print(f"Ángulo alfa: {angle_alpha}")

# Si conoces la hipotenusa c y el cateto a, el cateto b que falta se halla con
# side_b = math.sqrt(hypotenuse ** 2 - side_a ** 2)

Funciona solo con la biblioteca estándar math. «**» eleva a una potencia (aquí, al cuadrado) y «math.sqrt» es la raíz cuadrada. Cambia las longitudes de los dos lados del principio y ejecútalo.

La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)

El teorema de Pitágoras (la relación entre los tres lados)

a² + b² = c²

a^2 + b^2 = c^2

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

a^2 + b^2 = c^2

a^2 + b^2 == c^2

a^2 + b^2 = c^2;

a^2 + b^2 == c^2

a^2 + b^2 = c^2

Fórmula de la hipotenusa \(c\)

c = √(a² + b²)

c = \sqrt{a^2 + b^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>c</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

c = sqrt(a^2 + b^2)

Sqrt[a^2 + b^2]

c := sqrt(a^2 + b^2);

c = sqrt(a^2 + b^2);

c = √(a^2 + b^2)

Fórmula de un cateto que falta

b = √(c² − a²)

b = \sqrt{c^2 - a^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

b = sqrt(c^2 - a^2)

Sqrt[c^2 - a^2]

b := sqrt(c^2 - a^2);

b = sqrt(c^2 - a^2);

b = √(c^2 - a^2)

Altura sobre la hipotenusa

h = a × b ÷ c

h = \frac{ab}{c}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>h</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow>
      <mi>c</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

h = (a b)/c

a*b/c

h := a*b/c;

h = a*b/c;

h = ab/c

Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo

Eres un asistente de cálculo de geometría. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni con suposiciones).

En un triángulo rectángulo, los dos catetos miden a = 3 y b = 4.
Halla cada uno de estos valores:
1. La longitud de la hipotenusa c (teorema de Pitágoras c = √(a² + b²))
2. El ángulo α (opuesto al cateto a) y el ángulo β (opuesto al cateto b), en grados
3. El área y el perímetro
4. La altura sobre la hipotenusa h = ab ÷ c

Muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.

Cómo usar

1

Introduce los números

Escribe en los campos los números con los que quieres calcular
2

Calcula

Haz clic en el botón «Calcular»
3

Consulta el resultado

El resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula