Calculadora de composición de funciones trigonométricas (a sen θ + b cos θ como R sen(θ + α), con máximo y mínimo)
Introduce los coeficientes a y b de la expresión a sen θ + b cos θ. La fórmula de abajo está ligada a los campos de entrada, así que también puedes editar directamente los coeficientes en ella.
Valen los decimales, los números negativos, las fracciones como 3/4 y los valores con raíces cuadradas como √3, √3/2 o 2√3 (en la fórmula de abajo, al escribir sqrt se obtiene √). Un coeficiente vacío cuenta como 1 (sen θ significa 1 sen θ).
Resultado y gráfico
Introduce los coeficientes de sen θ y cos θ en los campos de la izquierda y pulsa «Calcular». Aquí aparecerán el resultado y una gráfica.
Índice
-
Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
-
Cómo usar
-
Fórmulas y gráficas
-
Símbolos y términos
-
Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
-
Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Escribe una expresión de la forma \(a\sin\theta + b\cos\theta\) como una sola onda senoidal \(R\sin(\theta + \alpha)\) (composición de funciones trigonométricas)
- La amplitud \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) se muestra a la vez como valor exacto simplificado, como \(\sqrt{2}\), y como decimal. El ángulo \(\alpha\) se muestra como fracción exacta de π cuando es un ángulo notable como \(\dfrac{\pi}{4}\). Si no, se muestra con los valores exactos de \(\cos\alpha\) y \(\sin\alpha\), y con valores aproximados en radianes y en grados
- También muestra la forma con coseno \(R\cos(\theta - \beta)\) (más abajo se explica cuándo usar cada forma)
- Halla también el máximo \(R\), el mínimo \(-R\) y los valores de \(\theta\) en los que se alcanzan (una pregunta clásica de examen)
- Los coeficientes pueden ser números enteros, decimales, fracciones o valores con raíces cuadradas como √3 o √3/2. Una gráfica muestra las dos ondas originales, la onda combinada y su amplitud
Sirve para \(\sin\theta\) y \(\cos\theta\) del mismo ángulo \(\theta\), cada uno elevado a 1 (\(a\sin\theta + b\cos\theta\)). Los términos con ángulos distintos, como \(\sin 2\theta\) y \(\cos\theta\), o con potencias, como \(\sin^{2}\theta\), no se pueden combinar de esta manera.
¿Para qué sirve este cálculo?
Combinar las ondas de tensión y de corriente de los circuitos de corriente alterna (electricidad)
La corriente alterna de un enchufe doméstico en España es una tensión de 230 V que oscila como una onda senoidal 50 veces por segundo (50 Hz). En los cálculos de circuitos, las bobinas y los condensadores desplazan las ondas, y su suma aparece en la forma \(a\sin\theta + b\cos\theta\). Al combinarla se ve qué onda única se tiene en realidad: su amplitud (la tensión de pico) y cuánto está desplazada su fase (el desfase).
Este cálculo es habitual en los estudios de ingeniería eléctrica y en los ciclos formativos de electricidad.
Sumar sonidos del mismo tono (sonido y acústica)
El sonido es una onda de vibración del aire. Cuando se superponen dos sonidos del mismo tono (la misma frecuencia), la suma de sus ecuaciones de onda se combina en una sola onda. Cuanto mayor es la amplitud combinada \(R\), más fuerte suena. Cuando las ondas están en fase, se refuerzan. Cuando están en oposición, se anulan.
Los auriculares con cancelación de ruido reducen el ruido emitiendo una onda opuesta a él, lo que se basa en esta idea de sumar ondas.
Analizar el temblor de edificios y máquinas (terremotos e ingeniería de vibraciones)
Al analizar los terremotos o las vibraciones de las máquinas, los ingenieros suelen dividir el movimiento en una parte con seno y otra con coseno, calcular cada una y combinarlas al final para hallar el tamaño real del temblor (la amplitud). Cuando el movimiento se puede tratar como una vibración simple de un solo periodo, el mayor desplazamiento se estima con la amplitud combinada \(R\).
Las ondas de un terremoto real son una mezcla compleja de muchos periodos, pero la base de su análisis es esta suma de ondas senoidales.
Por qué la cobertura del móvil cambia de un lugar a otro (comunicaciones)
Un móvil recibe la onda de radio que llega directamente de la antena superpuesta a las ondas reflejadas en edificios y otros objetos. Las ondas de la misma frecuencia se combinan en una sola onda y, según la diferencia de recorrido, se refuerzan o se debilitan entre sí (a esto se le llama desvanecimiento o «fading»).
Moverte solo un poco puede cambiar el número de barras de cobertura porque esta amplitud combinada es distinta en cada lugar.
Fórmulas y gráficas
Composición de funciones trigonométricas (escrita con seno)
Gráfica
Notación matemática
(la notación habitual)
\(a\sin\theta\)
\(+\)
\(b\cos\theta\)
\(=\)
\(R\sin(\theta + \alpha)\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
①
\(a\sin\theta\): el término en \(\sin\theta\) con coeficiente \(a\)
\(+\)
②
\(b\cos\theta\): el término en \(\cos\theta\) con coeficiente \(b\)
\(=\)
③
\(R\sin(\theta + \alpha)\): una onda senoidal de amplitud \(R\) y ángulo \(\alpha\)
La fórmula en palabras
①
La suma del
término en \(\sin\theta\) con coeficiente \(a\)
②
y el
término en \(\cos\theta\) con coeficiente \(b\)
③
se puede escribir como
una onda senoidal de amplitud \(R\) y ángulo \(\alpha\)
Un ejemplo sencillo
Al combinar \(\sin\theta + \cos\theta\) (\(a = 1,\ b = 1\)):
término en \(\sin\theta\) (coeficiente 1)
\(+\)
término en \(\cos\theta\) (coeficiente 1)
\(=\)
onda senoidal de amplitud \(\sqrt{2}\) y ángulo \(\dfrac{\pi}{4}\)
\(R = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\)
\(\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}},\ \ \sin\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \ \Rightarrow\ \alpha = \dfrac{\pi}{4}\)
\(\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\,\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)\)
La idea clave
Cuando en una misma expresión se mezclan sen y cos, no es fácil ver cuándo vale lo máximo ni qué valores puede tomar. La composición de funciones trigonométricas reescribe las dos ondas como una sola onda senoidal de amplitud \(R\), desplazada el ángulo \(\alpha\) (el desfase), y así se ve lo que es de verdad la expresión.
Funciona gracias a la fórmula de adición \(\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha\), usada al revés, de derecha a izquierda. Si piensas en \(a\) de \(a\sin\theta + b\cos\theta\) como \(R\cos\alpha\) y en \(b\) como \(R\sin\alpha\), toda la expresión se pliega en \(R\sin(\theta + \alpha)\).
También puedes escribirlo con coseno, \(R\cos(\theta - \beta)\). Las dos formas son correctas. En los libros de Bachillerato suele usarse la forma con seno, mientras que en física e ingeniería eléctrica se usa a menudo la forma con coseno. Si un problema pide «la forma \(R\sin(\theta + \alpha)\)» o «la forma \(R\cos(\theta - \beta)\)», usa esa forma.
Cómo hallar la amplitud \(R\) y el ángulo \(\alpha\)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(R\)
\(=\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
\(\cos\alpha\)
\(=\)
\(\dfrac{a}{R}\)
\(\sin\alpha\)
\(=\)
\(\dfrac{b}{R}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
②
\(R\): amplitud (la altura de la onda combinada)
\(=\)
①
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\): raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de \(a\) y \(b\)
\(\cos\alpha\): coseno del ángulo \(\alpha\)
\(=\)
③
\(\dfrac{a}{R}\): el coeficiente \(a\) de \(\sin\theta\) dividido entre la amplitud \(R\)
\(\sin\alpha\): seno del ángulo \(\alpha\)
\(=\)
④
\(\dfrac{b}{R}\): el coeficiente \(b\) de \(\cos\theta\) dividido entre la amplitud \(R\)
La fórmula en palabras
①
Eleva al cuadrado los coeficientes \(a\) y \(b\), súmalos y toma la raíz cuadrada. Este valor
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
②
es la
amplitud \(R\)
③
Después elige el ángulo \(\alpha\) para que el
coeficiente \(a\) dividido entre la amplitud \(R\)
sea su coseno
④
y el
coeficiente \(b\) dividido entre la amplitud \(R\)
sea su seno
Un ejemplo sencillo
Para \(\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta\) (\(a = \sqrt{3},\ b = 1\)):
amplitud \(R = 2\)
\(=\)
raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de \(\sqrt{3}\) y \(1\), \(\sqrt{4}\)
\(R = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2\)
\(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \ \sin\alpha = \dfrac{1}{2} \ \Rightarrow\ \alpha = \dfrac{\pi}{6}\)
\(\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{6}\right)\)
La idea clave
La amplitud \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) es la distancia del origen al punto \((a ; b)\) del plano de coordenadas, es decir, el teorema de Pitágoras en sí. Si dibujas el punto \((a ; b)\), \(\alpha\) es el ángulo entre el eje \(x\) y la flecha que va del origen a \((a ; b)\). Si dudas, dibuja el punto \((a ; b)\) y lee la distancia y el ángulo.
Es importante comprobar tanto \(\cos\alpha\) como \(\sin\alpha\). Uno solo no determina el ángulo (por ejemplo, \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\) por sí solo deja dos opciones, \(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\) y \(-\dfrac{\pi}{3}\)).
\(\alpha\) es un ángulo notable como \(\dfrac{\pi}{6}\) o \(\dfrac{\pi}{4}\) solo cuando la pareja de coeficientes tiene una forma especial, como \((1 ; 1)\) o \((\sqrt{3} ; 1)\). Si no es un ángulo notable, escríbelo como una condición, por ejemplo «el ángulo \(\alpha\) con \(\cos\alpha = \dfrac{3}{5},\ \sin\alpha = \dfrac{4}{5}\)» (esta calculadora lo muestra igual).
Máximo y mínimo de la expresión combinada
Gráfica
Notación matemática
(la notación habitual)
\(-R\)
\(\le\)
\(a\sin\theta + b\cos\theta\)
\(\le\)
\(R\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
②
\(-R\): mínimo
\(\le\)
①
\(a\sin\theta + b\cos\theta\): la expresión (\(= R\sin(\theta + \alpha)\))
\(\le\)
③
\(R\): máximo
La fórmula en palabras
①
El valor de la
expresión \(a\sin\theta + b\cos\theta\)
②
oscila entre el
mínimo \(-R\)
③
y el
máximo \(R\)
(cuando \(\theta\) recorre todos los números reales)
Un ejemplo sencillo
Para \(3\sin\theta + 4\cos\theta\) (\(R = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5\)):
mínimo \(-5\)
\(\le\)
\(3\sin\theta + 4\cos\theta\)
\(\le\)
máximo \(5\)
\(R = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)
\(-5 \le 3\sin\theta + 4\cos\theta \le 5\)
La idea clave
Después de combinar, \(a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)\). Un seno siempre está entre \(-1\) y \(1\), así que toda la expresión solo puede tomar valores de \(-R\) a \(R\). La pregunta clásica de examen «halla el máximo y el mínimo de una expresión que mezcla sen y cos» se resuelve en esta sola línea en cuanto sabes combinar.
El máximo se alcanza cuando \(\sin(\theta + \alpha) = 1\), es decir, cuando \(\theta + \alpha = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi\) (\(n\) entero), luego \(\theta = \dfrac{\pi}{2} - \alpha + 2n\pi\). El mínimo se alcanza donde el seno vale \(-1\), en \(\theta = -\dfrac{\pi}{2} - \alpha + 2n\pi\).
Si \(\theta\) está restringido (por ejemplo, \(0 \le \theta < 2\pi\)), halla primero el intervalo de \(\theta + \alpha\) y busca después, en ese intervalo, los ángulos en los que el seno es mayor y menor. Ten en cuenta que el máximo o el mínimo también pueden alcanzarse en un extremo del intervalo.
La composición de funciones trigonométricas reescribe \(a\sin\theta + b\cos\theta\) como una sola onda senoidal \(R\sin(\theta + \alpha)\) de amplitud \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) y ángulo \(\alpha\) (\(\cos\alpha = \dfrac{a}{R},\ \sin\alpha = \dfrac{b}{R}\)). Una vez combinada, puedes leer al instante el máximo \(R\) y el mínimo \(-R\).
Símbolos y términos
Símbolos
| \(a,\ b\) | a, be | Los coeficientes de la expresión. \(a\) es el número que multiplica a \(\sin\theta\) y \(b\), el que multiplica a \(\cos\theta\). Por costumbre, las primeras letras del alfabeto, \(a,\ b,\ c\), se usan para números fijos. |
| \(\theta\) | theta | Una letra griega que se usa mucho para los ángulos. No es la palabra griega para «ángulo»; simplemente se ha hecho costumbre usarla para ángulos. En esta página es el ángulo que varía en la expresión. |
| \(R\) | erre | La amplitud (la altura) de la onda senoidal combinada. Se dice que la letra viene de «radio». Es igual a \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\), la distancia del origen al punto \((a ; b)\), y es el valor máximo de la expresión. |
| \(\alpha\) | alfa | El ángulo del desfase en la forma con seno. Es la primera letra del alfabeto griego, siguiendo la costumbre de nombrar con letras griegas los ángulos adicionales. Coincide con el ángulo entre el eje \(x\) y la flecha que va del origen al punto \((a ; b)\). |
| \(\beta\) | beta | El ángulo del desfase en la forma con coseno, la segunda letra del alfabeto griego. Se cumple \(\beta = \dfrac{\pi}{2} - \alpha\) (los ángulos que se diferencian en \(2\pi\), una vuelta completa, están en la misma posición, así que se puede sumar o restar \(2\pi\) para que quede \(-\pi < \beta \le \pi\)). |
| \(\sin\) | seno | Una de las funciones trigonométricas (el seno). En la circunferencia goniométrica, \(\sin\theta\) es la coordenada \(y\) del punto que está en el ángulo \(\theta\). En español se escribe «sen» y en las calculadoras y los programas, «sin». |
| \(\cos\) | coseno | Una de las funciones trigonométricas (el coseno). En la circunferencia goniométrica, \(\cos\theta\) es la coordenada \(x\) del punto que está en el ángulo \(\theta\). |
| \(\pi\) | pi | El número pi (aproximadamente 3,14). En radianes, \(\pi\) es exactamente 180°, así que \(\dfrac{\pi}{4}\) es 45° y \(\dfrac{\pi}{6}\) es 30°. |
| \(2n\pi\) | dos ene pi | Una forma de escribir «un múltiplo entero de \(2\pi\) (una vuelta completa)». \(n\) es un número entero. Un ángulo vuelve a la misma posición después de cada vuelta completa (\(2\pi\)), así que hay infinitos \(\theta\) que dan el máximo o el mínimo, separados \(2\pi\). |
| \(\sqrt{\phantom{2}}\) | raíz cuadrada | El signo de la raíz cuadrada (signo radical). \(\sqrt{2}\) es el número positivo cuyo cuadrado es 2. Aparece en la amplitud \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\). |
| \(\le\) | menor o igual que | El signo de desigualdad de «menor o igual que». \(-R \le f(\theta) \le R\) significa que \(f(\theta)\) es como mínimo \(-R\) y como máximo \(R\). |
Términos
| composición de funciones trigonométricas | Reescribir una expresión de la forma \(a\sin\theta + b\cos\theta\) como una sola onda senoidal \(R\sin(\theta + \alpha)\). Se consigue usando la fórmula de adición al revés. En España suele verse en 1.º de Bachillerato (16-17 años), a menudo sin nombre especial («expresar como un único seno»). |
| onda senoidal | Una onda que sube y baja suavemente una y otra vez, como la gráfica de \(y = \sin\theta\). También se llama sinusoide. Muchas ondas de nuestro entorno, como el sonido, la luz y la corriente alterna, tienen esta forma. |
| amplitud | La «altura» de una onda: la distancia desde el centro de la onda (0 en esta página) hasta su punto más alto. La amplitud de \(y = R\sin(\theta + \alpha)\) es \(R\), y la onda oscila entre \(-R\) y \(R\). |
| periodo | La longitud que tarda una onda en completar un ciclo y volver a empezar. El periodo de \(\sin\theta\) es \(2\pi\) (360°), y al combinar no cambia. |
| desfase | Cuánto está desplazada una onda hacia un lado. \(R\sin(\theta + \alpha)\) es la onda \(R\sin\theta\) desplazada \(\alpha\) hacia la izquierda, y este desplazamiento se llama desfase. |
| fórmula de adición | Una fórmula como \(\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha\) que expresa una razón trigonométrica de una suma de dos ángulos con las razones trigonométricas de cada ángulo. También se llama fórmula del seno de una suma. La composición de funciones trigonométricas la usa al revés, de derecha a izquierda. |
| ángulo notable | Un ángulo como \(30°\) (\(\dfrac{\pi}{6}\)), \(45°\) (\(\dfrac{\pi}{4}\)) o \(60°\) (\(\dfrac{\pi}{3}\)) cuyas razones trigonométricas son valores exactos sencillos como \(\dfrac{1}{2}\) o \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Los problemas de libros de texto y de examen sobre este tema casi siempre están hechos para que \(\alpha\) sea un ángulo notable. |
| radián | La unidad que mide un ángulo por la longitud del arco en una circunferencia de radio 1. \(180° = \pi\) radianes, así que \(45°\) es \(\dfrac{\pi}{4}\). En las funciones trigonométricas de Bachillerato, los radianes son la norma y no los grados. |
| circunferencia goniométrica | La circunferencia de radio 1 con centro en el origen. El punto de ella que está en el ángulo \(\theta\) tiene coordenadas \((\cos\theta ; \sin\theta)\), lo que la convierte en una herramienta para ver los valores de las razones trigonométricas. |
| máximo | El mayor valor que puede tomar una función. En \(R\sin(\theta + \alpha)\), el seno no pasa de \(1\), así que el máximo \(R\) se ve al instante. |
| mínimo | El menor valor que puede tomar una función. En \(R\sin(\theta + \alpha)\), el seno no baja de \(-1\), así que el mínimo \(-R\) se ve al instante. |
| cuadrante | Cada una de las cuatro regiones en que el eje \(x\) y el eje \(y\) dividen el plano de coordenadas. El de arriba a la derecha es el primer cuadrante, y el segundo, el tercero y el cuarto siguen en sentido contrario a las agujas del reloj. El cuadrante en que está el ángulo (el punto de la circunferencia goniométrica) decide los signos de \(\cos\) y \(\sin\). |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, volver a estos temas es el camino más rápido para avanzar.
| Cálculo con raíces cuadradas (2.º–3.º de ESO, 13-15 años) |
|
| El teorema de Pitágoras (2.º–3.º de ESO, 13-15 años) |
|
| Trigonometría del triángulo rectángulo (3.º–4.º de ESO, 14-16 años) |
|
| La circunferencia goniométrica y los radianes (1.º de Bachillerato, 16-17 años) |
|
| Gráficas de las funciones trigonométricas (1.º de Bachillerato, 16-17 años) |
|
| Las fórmulas de adición (1.º de Bachillerato, 16-17 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para hallar la amplitud R y el ángulo α
| Coeficiente a de sen θ | 1 |
| Coeficiente b de cos θ | 1 |
| Amplitud R | =RAIZ(B1^2+B2^2) |
| Ángulo α (radianes) | =ATAN2(B1;B2) |
| Ángulo α (grados) | =GRADOS(B4) |
Tabla para la forma con coseno (ángulo β)
| Coeficiente a de sen θ | 1 |
| Coeficiente b de cos θ | 1 |
| Amplitud R | =RAIZ(B1^2+B2^2) |
| Ángulo β (radianes) | =ATAN2(B2;B1) |
| Ángulo β (grados) | =GRADOS(B4) |
Tabla para hallar el máximo, el mínimo y el θ del máximo
| Coeficiente a de sen θ | 3 |
| Coeficiente b de cos θ | 4 |
| Amplitud R | =RAIZ(B1^2+B2^2) |
| Máximo | =B3 |
| Mínimo | =-B3 |
| θ del máximo (radianes) | =PI()/2-ATAN2(B1;B2) |
Al pegar la tabla, las filas de arriba (los coeficientes) son los datos que introduces y las filas de abajo se calculan automáticamente.
«^» es una potencia, RAIZ es la raíz cuadrada y ATAN2(x; y) da el ángulo de la dirección del punto (x, y). α es la dirección del punto (a, b), así que es =ATAN2(B1;B2), mientras que β es la dirección del punto (b, a), así que es =ATAN2(B2;B1). Ojo con el orden intercambiado de los argumentos.
La primera tabla es para sen θ + cos θ: R vale 1,41421… (= √2) y α vale 0,78539… (= π/4) = 45°.
La tercera tabla es para 3 sen θ + 4 cos θ: el máximo es 5, el mínimo es −5 y el máximo se alcanza en θ = 0,64350… (radianes).
«^» es una potencia, RAIZ es la raíz cuadrada y ATAN2(x; y) da el ángulo de la dirección del punto (x, y). α es la dirección del punto (a, b), así que es =ATAN2(B1;B2), mientras que β es la dirección del punto (b, a), así que es =ATAN2(B2;B1). Ojo con el orden intercambiado de los argumentos.
La primera tabla es para sen θ + cos θ: R vale 1,41421… (= √2) y α vale 0,78539… (= π/4) = 45°.
La tercera tabla es para 3 sen θ + 4 cos θ: el máximo es 5, el mínimo es −5 y el máximo se alcanza en θ = 0,64350… (radianes).
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para hallar la amplitud R y el ángulo α
| Coeficiente a de sen θ | 1 |
| Coeficiente b de cos θ | 1 |
| Amplitud R | =RAIZ(B1^2+B2^2) |
| Ángulo α (radianes) | =ATAN2(B1;B2) |
| Ángulo α (grados) | =GRADOS(B4) |
Tabla para la forma con coseno (ángulo β)
| Coeficiente a de sen θ | 1 |
| Coeficiente b de cos θ | 1 |
| Amplitud R | =RAIZ(B1^2+B2^2) |
| Ángulo β (radianes) | =ATAN2(B2;B1) |
| Ángulo β (grados) | =GRADOS(B4) |
Tabla para hallar el máximo, el mínimo y el θ del máximo
| Coeficiente a de sen θ | 3 |
| Coeficiente b de cos θ | 4 |
| Amplitud R | =RAIZ(B1^2+B2^2) |
| Máximo | =B3 |
| Mínimo | =-B3 |
| θ del máximo (radianes) | =PI()/2-ATAN2(B1;B2) |
Las mismas fórmulas de Excel funcionan tal cual. Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y sustituye los coeficientes por tus propios números.
Cómo calcularlo con Python
import math
sin_coefficient = 1 # a (coeficiente de sen θ)
cos_coefficient = 1 # b (coeficiente de cos θ)
# Amplitud R = √(a² + b²) (hypot devuelve la raíz cuadrada de la suma de cuadrados)
amplitude = math.hypot(sin_coefficient, cos_coefficient)
# Ángulo α (la dirección del punto (a, b), en radianes)
alpha = math.atan2(cos_coefficient, sin_coefficient)
print(f"Amplitud R = {amplitude}")
print(f"Ángulo α = {alpha} radianes = {math.degrees(alpha)} grados")
print(f"Máximo = {amplitude}, mínimo = {-amplitude}")
print(f"θ del máximo = {math.pi / 2 - alpha} radianes (+ 2nπ)")
Funciona solo con el módulo math de la biblioteca estándar. Este ejemplo combina sen θ + cos θ. Al ejecutarlo se imprimen la amplitud (aproximadamente 1,4142, es decir, √2) y el ángulo (aproximadamente 0,7854 radianes, es decir, π/4 = 45 grados); Python escribe los decimales con punto. No puede dar valores exactos como el propio √2, así que usa la calculadora de esta página cuando necesites la forma exacta. Cambia los coeficientes y vuelve a ejecutarlo.
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Composición de funciones trigonométricas (escrita con seno)
a·sinθ + b·cosθ = R·sin(θ + α)
a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo>
<mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
a sin(theta) + b cos(theta) = R sin(theta + alpha)
a Sin[t] + b Cos[t] == Sqrt[a^2 + b^2] Sin[t + ArcTan[a, b]]
a*sin(theta) + b*cos(theta) = sqrt(a^2 + b^2)*sin(theta + arctan(b, a));
R = sqrt(a^2 + b^2); alpha = atan2(b, a); f = R*sin(theta + alpha);
a sin(θ) + b cos(θ) = R sin(θ + α)
Cómo hallar la amplitud \(R\) y el ángulo \(\alpha\)
R = √(a² + b²), cosα = a/R, sinα = b/R
R = \sqrt{a^{2} + b^{2}},\quad \cos\alpha = \frac{a}{R},\quad \sin\alpha = \frac{b}{R}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi><mo>=</mo>
<msqrt><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt>
<mo>,</mo>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mi>R</mi></mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mi>R</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
R = sqrt(a^2 + b^2), cos(alpha) = a/R, sin(alpha) = b/R
R = Sqrt[a^2 + b^2]; alpha = ArcTan[a, b]
R := sqrt(a^2 + b^2); alpha := arctan(b, a);
R = sqrt(a^2 + b^2); alpha = atan2(b, a);
R = √(a^2 + b^2), cos(α) = a/R, sin(α) = b/R
Máximo y mínimo de la expresión combinada
−R ≤ a·sinθ + b·cosθ ≤ R
-R \le a\sin\theta + b\cos\theta \le R
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>−</mo><mi>R</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>a</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>R</mi>
</mrow>
</math>
-R <= a sin(theta) + b cos(theta) <= R
MaxValue[a Sin[t] + b Cos[t], t]
maximize(a*sin(theta) + b*cos(theta), theta = 0 .. 2*Pi);
[tmin, fneg] = fminbnd(@(t) -(a*sin(t) + b*cos(t)), 0, 2*pi); fmax = -fneg;
−R ≤ a sin(θ) + b cos(θ) ≤ R
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo de matemáticas para las funciones trigonométricas. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni con suposiciones). Escribe 3 sen θ + 4 cos θ en la forma R sen(θ + α). Muestra cada uno de estos valores: 1. La amplitud R (también como valor exacto con raíz cuadrada, si se puede escribir así) 2. Los valores de cos α y sen α (como fracciones) y valores aproximados de α (en radianes y en grados) 3. El máximo y el mínimo de esta expresión, y el θ en el que es mayor (en radianes) En Python, usa math.hypot y math.atan2. Muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.
Cómo usar
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1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
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2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
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