Calculadora para simplificar radicales (raíces cuadradas, forma simplificada y operaciones +, −, ×, ÷)
Elige «Simplificar un radical» o «Dos radicales», y escribe el número que va delante de la raíz y el que va dentro. La fórmula de abajo está enlazada con los campos, así que también puedes cambiar los números directamente en la fórmula.
Escribe los números con cifras. Un coeficiente en blanco cuenta como 1, y puede ser un decimal, un número negativo o una fracción como 3/4. El número de dentro de la raíz debe ser un número entero de 1 o más.
Resultado y gráfico
Escribe el número que va dentro de la raíz en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». Aquí aparecerán la forma simplificada y una recta numérica.
Índice
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Qué puedes hacer en esta página
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¿Para qué sirve este cálculo?
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Cómo usar
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Fórmulas y figuras
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Qué significan la raíz cuadrada y el signo radical
-
Simplificar un radical (sacar el cuadrado perfecto)
-
Suma y resta de radicales (se combinan los radicales semejantes)
-
Multiplicación de radicales (se multiplican los interiores para formar una sola raíz)
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División de radicales y racionalizar el denominador
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Símbolos y términos
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Qué conviene saber de antemano
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Cómo calcularlo con Excel
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Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
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Cómo calcularlo con Python
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La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
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Funciones relacionadas
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Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Simplifica una raíz cuadrada como \(\sqrt{48}\) a \(4\sqrt{3}\) (la forma con el menor número entero posible dentro de la raíz). Los pasos muestran la descomposición en factores primos del radicando y cómo sale el cuadrado perfecto
- También puedes comprobar que, cuando el radicando es un cuadrado perfecto, la raíz desaparece y queda un número entero, como en \(\sqrt{36} = 6\)
- Suma, resta, multiplica y divide radicales como \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}\) y \(2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2}\), con respuestas exactas en su forma más simple
- Cuando una división deja una raíz en el denominador, la respuesta se da con el denominador racionalizado. Ejemplo: \(6 \div \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)
- La forma exacta es la respuesta principal, junto con su valor decimal y los dos números enteros entre los que está. Una recta numérica también muestra su tamaño
- La calculadora muestra el radical tal como lo escribirías a mano, y puedes cambiar directamente los números de dentro o de delante
Esta página trabaja con raíces cuadradas de números enteros positivos. No admite raíces cuadradas de números negativos, raíces cúbicas u otras raíces de índice mayor, ni radicales dobles como \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\).
¿Para qué sirve este cálculo?
Proporción de los papeles de la serie A (los formatos de tu día a día)
Los papeles de la serie A, como A4 y A3, tienen una proporción entre alto y ancho de \(1 : \sqrt{2}\). Con esta proporción, al doblar por la mitad el lado largo la proporción no cambia, así que un A3 doblado por la mitad es exactamente un A4. De hecho, un A4 mide 210 mm × 297 mm, y \(297 \div 210 \approx 1{,}4143\) casi coincide con \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\).
Si se fija en 1 metro cuadrado el área de A0 y se usa esta proporción, A0 mide 841 mm × 1189 mm. Que en las fotocopiadoras aparezca «A4→A3 141 %» también se debe a este factor \(\sqrt{2}\).
Hallar la longitud de una diagonal (construcción, diseño y topografía)
Cuando se halla una diagonal a partir de dos lados que forman un ángulo recto (el teorema de Pitágoras), la respuesta suele ser un radical. La diagonal de un cuadrado de 1 m de lado es \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) m, y con lados de 3 m y 4 m es \(\sqrt{25} = 5\) m.
Los albañiles y carpinteros miden esta diagonal para comprobar que una esquina está a escuadra (la regla 3-4-5). En un plano, en lugar de escribir un valor como \(\sqrt{18}\) m, escríbelo simplificado como \(3\sqrt{2}\) m y verás enseguida que son 3 veces \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\), unos 4,24 m.
Desviación típica, la dispersión de los datos (estadística y control de calidad)
La desviación típica es la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las distancias a la media (la varianza). Elevar al cuadrado y luego tomar la raíz cuadrada devuelve el resultado a las mismas unidades que los datos originales.
Por ejemplo, los cinco valores 4, 6, 8, 10, 12 tienen una media de 8 y una varianza de 8, así que la desviación típica es \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\). Las notas de un examen, la variación de los productos en una fábrica, los valores de referencia de un análisis clínico: las raíces cuadradas aparecen en cualquier lugar donde se manejan datos.
Cuánto tarda en caer algo y cómo oscila un péndulo (física)
Un objeto que se deja caer desde una altura de \(h\) metros llega al suelo en \(\sqrt{\dfrac{2h}{g}}\) segundos (\(g\), la aceleración de la gravedad, es aproximadamente 9,8). Desde 5 m son unos 1,01 segundos. El tiempo que tarda un péndulo en hacer una oscilación completa también es proporcional a la raíz cuadrada de su longitud (unos 2,0 segundos con un péndulo de 1 m de longitud).
Esta regla, «el tiempo es proporcional a la raíz cuadrada de la distancia», se usa en situaciones cotidianas como el diseño de relojes y juegos infantiles y la investigación de caídas.
Deducir la velocidad a partir de las marcas de frenada (peritaje de accidentes de tráfico)
A partir de la longitud de las marcas de frenada que un coche deja en la calzada, se puede estimar la velocidad al empezar a frenar con \(\sqrt{2\mu g d}\) (\(\mu\) es el coeficiente de rozamiento entre neumático y calzada, \(g\) es la aceleración de la gravedad y \(d\) es la longitud de la marca). En asfalto seco con \(\mu = 0{,}7\) y una marca de 20 m, sale \(\sqrt{274{,}4} \approx 16{,}6\) m/s, es decir, unos 60 km/h.
Esta estimación se usa de verdad en los peritajes de accidentes de tráfico. También explica un dato clave de la conducción segura: al duplicar la velocidad, la distancia de frenado (desde que los frenos empiezan a actuar hasta que el coche se detiene) se multiplica por cuatro, porque la distancia de frenado es proporcional al cuadrado de la velocidad.
Fórmulas y figuras
Qué significan la raíz cuadrada y el signo radical
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(\left(\sqrt{a}\right)^{2}\)
\(=\)
\(a\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
①
\(\sqrt{a}\), el número positivo cuyo cuadrado es \(a\), elevado de nuevo al cuadrado
\(=\)
②
\(a\): número dentro de la raíz
La fórmula en palabras
①
Para un número \(a\) mayor o igual que 0, toma
\(\sqrt{a}\), el número positivo cuyo cuadrado es \(a\), elevado de nuevo al cuadrado
②
y obtienes otra vez
\(a\): número dentro de la raíz
Un ejemplo sencillo
La raíz cuadrada de \(2\), \(\sqrt{2}\), es la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado \(1\). Al elevarla al cuadrado se obtiene
la diagonal \(\sqrt{2}\) al cuadrado
\(=\)
número dentro de la raíz, \(2\)
\(\left(\sqrt{2}\right)^{2} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\)
\(\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\)
La idea clave
Imagina un cuadrado de área \(a\). La longitud de su lado es exactamente \(\sqrt{a}\). Al elevar el lado al cuadrado se recupera el área \(a\), y eso es lo que significa el signo radical.
\(\sqrt{2}\) y \(\sqrt{3}\) no se pueden escribir como fracciones (son números irracionales). En forma decimal no terminan ni se repiten. Por eso, en lugar de escribir \(1{,}41421356\dots\) sin fin, el único símbolo \(\sqrt{2}\) da el valor exacto.
Hay dos números cuyo cuadrado es \(a\): \(+\sqrt{a}\) y \(-\sqrt{a}\). Por convenio, el símbolo \(\sqrt{a}\) significa solo el positivo (la raíz cuadrada principal).
Simplificar un radical (sacar el cuadrado perfecto)
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(\sqrt{a^{2}b}\)
\(=\)
\(a\)
\(\sqrt{b}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
una raíz cuadrada cuyo radicando es un cuadrado perfecto \(a^2\) por el resto \(b\)
\(=\)
①
\(a\): raíz del cuadrado perfecto (sale fuera)
②
\(\sqrt{b}\): raíz cuadrada del resto (se queda dentro)
La fórmula en palabras
①
Para números \(a\) y \(b\) mayores o iguales que 0, descompón el radicando en «cuadrado perfecto × el resto». Saca
\(a\): raíz del cuadrado perfecto
fuera de la raíz
②
deja
\(\sqrt{b}\): raíz cuadrada del resto
dentro y multiplica. El resultado es igual a la
③
raíz cuadrada original \(\sqrt{a^2b}\)
Un ejemplo sencillo
Como \(48 = 2^4 \times 3 = 4^2 \times 3\), \(\sqrt{48}\) se convierte en
raíz cuadrada original \(\sqrt{48}\)
\(=\)
sale \(4\)
se queda \(\sqrt{3}\)
\(48 = 2^{4} \times 3 = 4^{2} \times 3\)
\(\sqrt{48} = \sqrt{4^{2} \times 3} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}9282\)
La idea clave
Para ver por qué puede salir, sepárala como \(\sqrt{a^2b} = \sqrt{a^2} \times \sqrt{b}\). \(\sqrt{a^2}\) es «el número positivo cuyo cuadrado es \(a^2\)», que es simplemente \(a\). Así, solo \(a\) sale fuera de la raíz y \(\sqrt{b}\) se queda dentro.
La descomposición en factores primos es la forma segura de encontrar cuadrados perfectos. Cada pareja del mismo factor primo deja salir una copia de ese primo, y solo se quedan dentro los primos que se quedan sin pareja. Por ejemplo, \(72 = 2^3 \times 3^2\). Hay tres 2, que forman una pareja, así que sale un 2 y se queda un 2 dentro. Hay dos 3, exactamente una pareja, así que sale un 3. Por tanto, \(\sqrt{72} = 2 \times 3 \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).
Hay dos motivos para simplificar. El primero, el tamaño se ve mejor: \(\sqrt{48}\) dice poco a primera vista, pero \(4\sqrt{3}\) es 4 veces \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\), o sea, unos 6,9. El segundo, los valores iguales acaban con la misma forma, así que puedes comprobar respuestas y ordenar expresiones.
Suma y resta de radicales (se combinan los radicales semejantes)
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(p\sqrt{a}\)
\(+\)
\(q\sqrt{a}\)
\(=\)
\(\left(p+q\right)\sqrt{a}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
①
\(p\) veces \(\sqrt{a}\)
\(+\)
②
\(q\) veces \(\sqrt{a}\)
\(=\)
③
\(p+q\) veces \(\sqrt{a}\)
La fórmula en palabras
①
Cuando los radicandos son el mismo \(a\),
\(p\) veces \(\sqrt{a}\)
②
más
\(q\) veces \(\sqrt{a}\)
son trozos del mismo tamaño, así que se suman las cantidades, y da
③
\(p+q\) veces \(\sqrt{a}\)
Un ejemplo sencillo
En \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}\), los dos están formados por trozos de \(\sqrt{2}\), así que
3 veces \(\sqrt{2}\)
\(+\)
5 veces \(\sqrt{2}\)
\(=\)
8 veces \(\sqrt{2}\)
\(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = \left(3+5\right)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \approx 11{,}3137\)
La idea clave
Es la misma idea que «3 manzanas + 5 manzanas = 8 manzanas». Al sumar \(3x + 5x = 8x\) en álgebra, la \(x\) es aquí simplemente \(\sqrt{2}\). Esto se llama combinar radicales semejantes.
En cambio, los radicales con radicandos distintos no se pueden combinar en uno solo. El error más común es sumar los interiores y escribir \(\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a+b}\). Esto no es cierto. Un ejemplo con números enteros lo deja claro: \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\), pero \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), un número completamente distinto. Con la resta pasa igual: \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\) tampoco es \(\sqrt{a-b}\).
Así, \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) no es \(\sqrt{5}\) (de hecho \(\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 3{,}1463\), mientras que \(\sqrt{5} \approx 2{,}2361\)). La respuesta es \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) tal cual. No forzar a juntar lo que no se puede combinar es la manera correcta de responder.
Radicales que parecen distintos pueden pasar a ser radicales semejantes después de simplificar. \(\sqrt{2} + \sqrt{8}\) parece que no se combina, pero \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), así que \(\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\). En la suma y la resta, el primer paso siempre es simplificar los dos radicales.
Multiplicación de radicales (se multiplican los interiores para formar una sola raíz)
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(\sqrt{a}\)
\(\times\)
\(\sqrt{b}\)
\(=\)
\(\sqrt{ab}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
①
raíz cuadrada de \(a\)
\(\times\)
②
raíz cuadrada de \(b\)
\(=\)
③
raíz cuadrada del producto de los interiores, \(ab\)
La fórmula en palabras
①
Para números \(a\) y \(b\) mayores o iguales que 0, multiplicar la
raíz cuadrada de \(a\), \(\sqrt{a}\)
②
por la
raíz cuadrada de \(b\), \(\sqrt{b}\)
multiplica los interiores entre sí, y da la
③
raíz cuadrada de \(ab\), \(\sqrt{ab}\)
Un ejemplo sencillo
En \(\sqrt{3} \times \sqrt{6}\), se multiplican los interiores para obtener \(\sqrt{18}\) y luego se simplifica
\(\sqrt{3}\)
\(\times\)
\(\sqrt{6}\)
\(=\)
\(\sqrt{18}\) (simplificada, \(3\sqrt{2}\))
\(\sqrt{3} \times \sqrt{6} = \sqrt{3 \times 6} = \sqrt{18}\)
\(\sqrt{18} = \sqrt{3^{2} \times 2} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}2426\)
La idea clave
Tiene sentido si piensas en un rectángulo de altura \(\sqrt{a}\) y anchura \(\sqrt{b}\): su área es \(\sqrt{ab}\). A diferencia de la suma, la multiplicación puede combinar radicales en uno solo aunque los radicandos sean distintos.
Si hay números delante de los radicales, multiplica por separado los números de delante y los interiores. Por ejemplo, \(2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2} = (2 \times 3)\sqrt{6 \times 2} = 6\sqrt{12}\). Después simplifica \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) para obtener \(6 \times 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\). Tras multiplicar, el radicando crece y a menudo contiene un cuadrado perfecto, así que no olvides simplificar al final.
Multiplicar un radical por sí mismo elimina la raíz (\(\sqrt{5} \times \sqrt{5} = \sqrt{25} = 5\)). Esto dice lo mismo que la primera fórmula, \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\).
Ten en cuenta que esta fórmula solo vale cuando \(a\) y \(b\) son mayores o iguales que 0. No funciona igual con las raíces cuadradas de números negativos (números imaginarios), así que no la uses cuando haya un número negativo dentro de la raíz.
División de radicales y racionalizar el denominador
Notación matemática
(la notación habitual)
\(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{a} \times \sqrt{b}}{\sqrt{b} \times \sqrt{b}}\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{ab}}{b}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
①
una raíz que queda en el denominador
\(=\)
②
numerador y denominador multiplicados por \(\sqrt{b}\)
\(=\)
③
el denominador es ahora el número entero \(b\)
La fórmula en palabras
①
Para \(a\) mayor o igual que 0 y \(b\) positivo (es un denominador, así que no puede ser 0), escribe la división como una fracción, con
una raíz que queda en el denominador
②
Reescríbela con
numerador y denominador multiplicados por \(\sqrt{b}\)
El denominador pasa a ser \(\sqrt{b} \times \sqrt{b} = b\), así que la raíz desaparece, y queda
③
el denominador es ahora el número entero \(b\)
Un ejemplo sencillo
Al reescribir \(1 \div \sqrt{3}\) sin raíz en el denominador se obtiene
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(=\)
los dos multiplicados por \(\sqrt{3}\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}5774\)
La idea clave
Multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número no cambia el valor de una fracción. Racionalizar el denominador usa esto para quitar la raíz solo del denominador. Cambia el aspecto, no el valor, así que \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) y \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) son el mismo número (unos 0,5774).
Las respuestas se escriben sin raíz en el denominador porque así se juzga mejor el tamaño y es más fácil comparar respuestas. Con \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) habría que dividir 1 entre 1,73…, pero con \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) solo hay que dividir 1,73… entre 3.
Los pasos son los mismos cuando hay números delante de los radicales: divide los números de delante y luego racionaliza la parte con la raíz (ejemplo: \(6\sqrt{6} \div 3\sqrt{2} = 2\sqrt{3}\)). Cuando el denominador tiene dos términos, como \(\sqrt{3} + 1\), hace falta otro método (multiplicar por el conjugado). Esta calculadora solo trata denominadores con una sola raíz.
Simplificar un radical significa descomponer el radicando en factores primos, hallar los cuadrados perfectos y sacar sus raíces fuera de la raíz (\(\sqrt{a^2b} = a\sqrt{b}\)). En la suma y la resta, solo se pueden combinar los radicales con el mismo radicando (radicales semejantes). En la multiplicación y la división, los radicandos se pueden multiplicar o dividir entre sí. Por convenio, un cociente se escribe sin raíz en el denominador (con el denominador racionalizado).
Símbolos y términos
Símbolos
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | raíz cuadrada (signo radical) | El símbolo de una raíz cuadrada, llamado signo radical. Se dice que viene de una r estilizada, la inicial de la palabra latina radix, «raíz». Representa el número positivo cuyo cuadrado es el número de debajo, como en \(\sqrt{9} = 3\). |
| \(\sqrt{a}\) | raíz cuadrada de a | La raíz cuadrada positiva de \(a\). Al elevarla al cuadrado se recupera \(a\) (\(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\)). El número \(a\) de dentro de la raíz debe ser mayor o igual que 0. |
| \(a\sqrt{b}\) | a por raíz de b | \(a\) por \(\sqrt{b}\) (se omite el signo de multiplicar). Un radical simplificado tiene esta forma: \(a\) es el número que ha salido fuera y \(b\) es el número que se ha quedado dentro. |
| \(a^2\) | a al cuadrado | \(a\) multiplicado por sí mismo (\(a \times a\)). El pequeño 2 de arriba a la derecha indica cuántas veces se multiplica. La primera tarea al simplificar un radical es encontrar esta forma dentro de él. |
| \(\approx\) | es aproximadamente igual a | El símbolo de «casi igual». El valor de un radical no sale exacto, así que al escribirlo como decimal se usa este símbolo, como en \(\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\). |
| \(p, q\) | p, q | Letras que se usan a menudo para los números que van delante de los radicales. En esta página, como en \(p\sqrt{a} + q\sqrt{a}\), indican cuántas veces aparece \(\sqrt{a}\). |
| \(<\) | es menor que | El símbolo que significa que el lado izquierdo es menor que el derecho. En esta página muestra entre qué dos números enteros está un radical, como en \(6 < 4\sqrt{3} < 7\). |
Términos
| raíz cuadrada | Un número cuyo cuadrado es el número dado. \(9\) tiene dos raíces cuadradas, \(3\) y \(-3\). La positiva se escribe \(\sqrt{9}\) y la negativa \(-\sqrt{9}\). |
| radical | El símbolo √ de una raíz cuadrada. Una expresión como \(\sqrt{5}\) se llama radical y representa la raíz cuadrada positiva del número de dentro. |
| radicando | El número que va debajo del signo radical. En \(\sqrt{48}\), el radicando es 48. |
| forma simplificada | La forma que se obtiene al simplificar un radical sin cambiar su valor: los cuadrados perfectos salen fuera y el radicando es el menor número entero posible (\(\sqrt{48} \to 4\sqrt{3}\)). Además, no tiene raíz en el denominador. |
| cuadrado perfecto | Un número que se obtiene al elevar un número entero al cuadrado, como \(1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots\). Si el radicando es un cuadrado perfecto, la raíz desaparece y queda un número entero (\(\sqrt{36} = 6\)). |
| factor cuadrado | Un factor de un número que es un cuadrado perfecto. \(48\) tiene el factor cuadrado \(16 = 4^2\), así que \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\). Los números cuyo único factor cuadrado es \(1\) (\(2, 3, 5, 6, 7, 10, \dots\)) no se pueden simplificar más. |
| descomposición en factores primos | Escribir un número entero como producto de solo números primos (\(48 = 2^4 \times 3\)). Cada pareja de un factor primo deja salir una copia fuera de la raíz, así que los primos con exponente par salen del todo y los de exponente impar dejan una copia dentro. Es la forma segura de encontrar cuadrados perfectos. |
| número primo | Un número entero de 2 o más que solo es divisible entre 1 y entre sí mismo, como \(2, 3, 5, 7, 11, \dots\). Los primos son las piezas de la descomposición en factores primos. |
| radicales semejantes | Radicales con el mismo índice y el mismo radicando, como \(3\sqrt{2}\) y \(5\sqrt{2}\). Son como los términos semejantes \(3x\) y \(5x\), y solo estos se pueden combinar en uno. |
| racionalizar el denominador | Reescribir una fracción con una raíz en el denominador multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número, de modo que no quede ninguna raíz en el denominador. El valor no cambia (\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)). |
| número racional | Un número que se puede escribir como una fracción de dos números enteros. Los números enteros, los decimales exactos y los decimales periódicos son todos racionales. «Racional» viene de «razón». |
| número irracional | Un número que no se puede escribir como fracción. En forma decimal no termina ni se repite. \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) y \(\pi\) son irracionales. |
| número real | Todos los números racionales e irracionales juntos, que corresponden a los puntos de la recta numérica. Esta página trabaja con raíces cuadradas dentro de los números reales. |
| aproximación | Un valor cercano al valor exacto, que se usa en su lugar. En \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\), el lado derecho es una aproximación. El valor de un radical no sale exacto, así que cualquier decimal que escribas para él es una aproximación. |
| número imaginario | Un número que no es real. Si \(i\) es el número cuyo cuadrado es \(-1\), las raíces cuadradas de \(-4\) son \(2i\) y \(-2i\). Las raíces cuadradas de números negativos son imaginarias y no se pueden colocar en la recta numérica. Se estudian con los números complejos en 1.º de Bachillerato (16-17 años). |
| radical doble (radical anidado) | Un radical con otro radical dentro, como \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\). Cuando se dan las condiciones, se puede reescribir sin anidar, como \(\sqrt{3} + \sqrt{2}\). Esta calculadora no los trata. |
| recta numérica | Los números colocados como puntos de una recta. Permite ver de qué tamaño es un radical y entre qué dos números enteros está. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiéndolo de verdad, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar estos temas es el camino más rápido.
| Potencias y cuadrados (1.º–2.º de ESO, 12-14 años) |
|
| Descomposición en factores primos (1.º de ESO, 12-13 años) |
|
| El significado de la raíz cuadrada (2.º de ESO, 13-14 años) |
|
| Términos semejantes en álgebra (1.º–2.º de ESO, 12-14 años) |
|
| Fracciones y su simplificación (5.º–6.º de Primaria, 10-12 años) |
|
| El teorema de Pitágoras (2.º–3.º de ESO, 13-15 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para comprobar qué significa una raíz cuadrada
| Número dentro de la raíz a | 3 |
| Valor de √a | =RAIZ(B1) |
| √a al cuadrado (vuelve a B1) | =B2^2 |
Tabla para comprobar un radical simplificado
| Número que sale fuera a | 4 |
| Número que se queda dentro b | 3 |
| Número original a²×b | =B1^2*B2 |
| Valor de √(a²b) | =RAIZ(B3) |
| Valor de a√b (el mismo) | =B1*RAIZ(B2) |
Tabla para comprobar la suma de radicales
| Número dentro de la raíz a | 2 |
| Primer coeficiente p | 3 |
| Segundo coeficiente q | 5 |
| Valor de p√a + q√a | =B2*RAIZ(B1)+B3*RAIZ(B1) |
| Valor de (p+q)√a (el mismo) | =(B2+B3)*RAIZ(B1) |
Tabla para comprobar la multiplicación de radicales
| Primer número dentro de la raíz a | 3 |
| Segundo número dentro de la raíz b | 6 |
| Valor de √a × √b | =RAIZ(B1)*RAIZ(B2) |
| Valor de √(ab) (el mismo) | =RAIZ(B1*B2) |
| Valor de 3√2 simplificado (el mismo) | =3*RAIZ(2) |
Tabla para comprobar cómo racionalizar el denominador
| Número dentro de la raíz b | 3 |
| Valor de 1 ÷ √b | =1/RAIZ(B1) |
| Valor de √b ÷ b (el mismo) | =RAIZ(B1)/B1 |
Copia una tabla y pégala en la celda A1. Las filas de arriba son los datos y las filas de abajo se calculan solas. RAIZ es la función de la raíz cuadrada, y «^» es una potencia.
La primera tabla pone 3 en a: √3 es 1,732050808… y, al elevarla al cuadrado, vuelve a dar 3.
La segunda tabla pone 4 en a y 3 en b. El número original es 48, y √48 y 4√3 dan 6,928203230….
La tercera tabla es 3√2 + 5√2, y los dos cálculos dan 11,31370850…. La cuarta tabla es √3 × √6, y las tres fórmulas dan 4,242640687….
La quinta tabla es 1 ÷ √3, y √3 ÷ 3 racionalizado da lo mismo, 0,5773502692…. Cambia los valores y podrás comprobar que funciona con cualquier combinación.
Ten en cuenta que Excel muestra aproximaciones decimales. Usa la calculadora de esta página para ver formas exactas como 4√3.
La primera tabla pone 3 en a: √3 es 1,732050808… y, al elevarla al cuadrado, vuelve a dar 3.
La segunda tabla pone 4 en a y 3 en b. El número original es 48, y √48 y 4√3 dan 6,928203230….
La tercera tabla es 3√2 + 5√2, y los dos cálculos dan 11,31370850…. La cuarta tabla es √3 × √6, y las tres fórmulas dan 4,242640687….
La quinta tabla es 1 ÷ √3, y √3 ÷ 3 racionalizado da lo mismo, 0,5773502692…. Cambia los valores y podrás comprobar que funciona con cualquier combinación.
Ten en cuenta que Excel muestra aproximaciones decimales. Usa la calculadora de esta página para ver formas exactas como 4√3.
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para comprobar qué significa una raíz cuadrada
| Número dentro de la raíz a | 3 |
| Valor de √a | =RAIZ(B1) |
| √a al cuadrado (vuelve a B1) | =B2^2 |
Tabla para comprobar un radical simplificado
| Número que sale fuera a | 4 |
| Número que se queda dentro b | 3 |
| Número original a²×b | =B1^2*B2 |
| Valor de √(a²b) | =RAIZ(B3) |
| Valor de a√b (el mismo) | =B1*RAIZ(B2) |
Tabla para comprobar la suma de radicales
| Número dentro de la raíz a | 2 |
| Primer coeficiente p | 3 |
| Segundo coeficiente q | 5 |
| Valor de p√a + q√a | =B2*RAIZ(B1)+B3*RAIZ(B1) |
| Valor de (p+q)√a (el mismo) | =(B2+B3)*RAIZ(B1) |
Tabla para comprobar la multiplicación de radicales
| Primer número dentro de la raíz a | 3 |
| Segundo número dentro de la raíz b | 6 |
| Valor de √a × √b | =RAIZ(B1)*RAIZ(B2) |
| Valor de √(ab) (el mismo) | =RAIZ(B1*B2) |
| Valor de 3√2 simplificado (el mismo) | =3*RAIZ(2) |
Tabla para comprobar cómo racionalizar el denominador
| Número dentro de la raíz b | 3 |
| Valor de 1 ÷ √b | =1/RAIZ(B1) |
| Valor de √b ÷ b (el mismo) | =RAIZ(B1)/B1 |
Se pueden usar las mismas fórmulas que en Excel. Copia toda la tabla, pégala en la celda A1 y cambia los números por los tuyos.
Cómo calcularlo con Python
from math import isqrt
def simplify_radical(n):
# Reescribe √n como a√b (b no tiene ningún factor cuadrado perfecto) y devuelve (a, b)
outside = 1
inside = n
d = 2
while d * d <= inside:
while inside % (d * d) == 0:
inside //= d * d
outside *= d
d += 1
return outside, inside
outside, inside = simplify_radical(48)
if inside == 1:
print(f"√48 = {outside}")
else:
print(f"√48 = {outside}√{inside}")
# Comprueba también con valores decimales (son iguales)
print(48 ** 0.5, outside * inside ** 0.5)
# Si el radicando es un cuadrado perfecto, la raíz desaparece
print(simplify_radical(36), isqrt(36))
Usa solo la biblioteca estándar. Prueba d = 2, 3, 4, … por orden. Mientras el número se pueda dividir entre d al cuadrado, sigue dividiendo y saca un d fuera de la raíz cada vez. Al ejecutarlo imprime «√48 = 4√3», luego el valor decimal dos veces (el mismo antes y después de simplificar). La última línea es √36, donde la raíz desaparece, e imprime (6, 1) y 6. Cambia los números y pruébalo.
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Qué significan la raíz cuadrada y el signo radical
(√a)² = a
\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msqrt><mi>a</mi></msqrt><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
</mrow>
</math>
(sqrt(a))^2 = a
Sqrt[a]^2 == a
sqrt(a)^2 = a;
sqrt(a)^2 == a
(√a)^2 = a
Simplificar un radical (sacar el cuadrado perfecto)
√(a²b) = a√b
\sqrt{a^{2}b} = a\sqrt{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msqrt><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>b</mi></mrow></msqrt>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<msqrt><mi>b</mi></msqrt>
</mrow>
</math>
sqrt(a^2 b) = a sqrt(b)
Sqrt[a^2 b] == a Sqrt[b]
sqrt(a^2*b) = a*sqrt(b);
sqrt(a^2*b) == a*sqrt(b)
√(a^2 b) = a√b
Suma y resta de radicales (se combinan los radicales semejantes)
p√a + q√a = (p + q)√a
p\sqrt{a} + q\sqrt{a} = \left(p + q\right)\sqrt{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>p</mi><msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi><msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>p</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mo>)</mo>
<msqrt><mi>a</mi></msqrt>
</mrow>
</math>
p sqrt(a) + q sqrt(a) = (p + q) sqrt(a)
p Sqrt[a] + q Sqrt[a] == (p + q) Sqrt[a]
p*sqrt(a) + q*sqrt(a) = (p + q)*sqrt(a);
p*sqrt(a) + q*sqrt(a) == (p + q)*sqrt(a)
p√a + q√a = (p + q)√a
Multiplicación de radicales (se multiplican los interiores para formar una sola raíz)
√a × √b = √(ab)
\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>×</mo>
<msqrt><mi>b</mi></msqrt>
<mo>=</mo>
<msqrt><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></msqrt>
</mrow>
</math>
sqrt(a) * sqrt(b) = sqrt(a b)
Sqrt[a] Sqrt[b] == Sqrt[a b]
sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(a*b);
sqrt(a)*sqrt(b) == sqrt(a*b)
√a × √b = √(ab)
División de radicales y racionalizar el denominador
√a ÷ √b = √(ab) / b
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac><msqrt><mi>a</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><msqrt><mi>a</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mrow>
<mrow><msqrt><mi>b</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac><msqrt><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></msqrt><mi>b</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
sqrt(a)/sqrt(b) = (sqrt(a) sqrt(b))/(sqrt(b) sqrt(b)) = sqrt(a b)/b
Sqrt[a]/Sqrt[b] == Sqrt[a b]/b
sqrt(a)/sqrt(b) = sqrt(a*b)/b;
sqrt(a)/sqrt(b) == sqrt(a*b)/b
√a/√b = √(ab)/b
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo de matemáticas para raíces cuadradas. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni adivinando). 1. Simplifica √48 de modo que el número de dentro de la raíz sea el menor número entero posible. 2. Muestra también la descomposición en factores primos de 48 que has usado. 3. Da 3√2 + 5√2, 2√6 × 3√2 y 6 ÷ √3, cada uno en su forma más simple (en la división, sin raíz en el denominador). En Python, escribe tu propia función que descomponga el radicando en factores primos y saque los cuadrados perfectos, y comprueba que los valores decimales antes y después de simplificar coinciden. Muestra el código que has usado y los números del resultado de la ejecución.
Cómo usar
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1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
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2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
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3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
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