Calculadora del área de un sector circular (a partir del radio y el ángulo central)

Introduce el radio y el ángulo central del sector circular. Se calcula el área (πr² × ángulo central ÷ 360) y se dibuja el sector circular.

Unidades

Radio r

Ángulo central (grados)

Ángulo central (radianes)

Introduce el ángulo central en un solo campo, en grados o en radianes. Introduce solo números, sin unidades (si introduces el radio en cm, el área sale en cm²; con m, en m²).

Resultado y figura

Introduce en los campos de la izquierda el radio y el ángulo central (en grados o en radianes, solo uno de los dos) y haz clic en «Calcular». Aquí aparecerán el resultado y un dibujo del sector circular.

Índice

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Qué puedes hacer en esta página
¿Para qué sirve este cálculo?
Cómo usar
Fórmulas y dibujos
- Área de un sector circular (ángulo central en grados)
- Área de un sector circular (ángulo central en radianes)
Símbolos y términos
- Símbolos
- Términos
Qué conviene saber de antemano
Cómo calcularlo con Excel
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Cómo calcularlo con Python
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
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Funciones relacionadas
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Qué puedes hacer en esta página

Introduce el radio y el ángulo central y obtienes al instante el área del sector circular (\(\pi r^2 \times\) ángulo central \(\div\, 360\))
El ángulo central se puede introducir en grados (°) o en radianes (rellena solo uno de los dos campos)
Si la operación sale exacta, también se muestra la forma exacta con \(\pi\) (con radio 30 y un ángulo central de 90°: \(225\pi\))
Junto al resultado se dibuja el sector circular, así que ves de un vistazo de qué parte del círculo completo has calculado el área
En esta misma página también encontrarás una explicación sencilla de las fórmulas y fórmulas para copiar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python

El cálculo usa \(\pi = 3{,}14159\ldots\) (el «3,14» que se usa en el colegio es una aproximación). Introduce solo números, sin unidades. Si introduces el radio en cm, el área sale en cm²; con m, en m².

¿Para qué sirve este cálculo?

Comparar el tamaño de una porción de pizza o de tarta (repartir la comida a partes iguales)

Si cortas una pizza de 30 cm de diámetro (radio 15 cm) en 8 porciones, cada porción es un sector circular con un ángulo central de \(360^\circ \div 8 = 45^\circ\). Su área es \(\pi \times 15^2 \times \dfrac{45}{360} = \dfrac{225\pi}{8} \approx 88{,}4\,\mathrm{cm^2}\).
Preguntas como «¿qué porción es mayor: una de una pizza mediana cortada en 8 o una de una pizza grande cortada en 12?» también se responden con números si calculas las áreas con esta fórmula.

Estimar el alcance de un aspersor de riego (jardín y agricultura)

Un aspersor giratorio riega un sector circular cuyo radio es el alcance del agua y cuyo ángulo central es el ángulo de giro. Un aspersor con 10 m de alcance que gira 180° riega \(\pi \times 10^2 \times \dfrac{180}{360} = 50\pi \approx 157{,}1\,\mathrm{m^2}\).
Si lo comparas con la superficie de tu césped o de tu huerto, puedes planificar antes de comprar cuántos aspersores necesitas y dónde colocarlos (el viento y la presión del agua cambian el alcance real, así que es solo una referencia).

Calcular la superficie que limpia un limpiaparabrisas (diseño y mantenimiento de automóviles)

Un limpiaparabrisas se mueve en un sector circular alrededor de la base de su brazo. Si la punta llega a 60 cm y el limpiaparabrisas gira 90°, el sector circular que barre es \(\pi \times 60^2 \times \dfrac{90}{360} = 900\pi \approx 2827\,\mathrm{cm^2}\) (unos 0,28 m²).
En realidad, solo se limpia ese sector circular menos el pequeño sector interior al que no llega la escobilla (una forma como un trozo de corona circular). Por eso se aplica esta fórmula dos veces: «sector circular grande − sector circular pequeño».

Calcular la superficie de un parterre o una plaza en forma de abanico (paisajismo y jardinería)

En las esquinas de las calles y delante de los edificios se hacen a menudo parterres y zonas de césped en forma de abanico. Un parterre de 3 m de radio y un ángulo central de 120° tiene un área de \(\pi \times 3^2 \times \dfrac{120}{360} = 3\pi \approx 9{,}4\,\mathrm{m^2}\).
El césped en rollo, la tierra y la corteza se venden según la superficie que cubren (un saco para tantos m²), así que puedes estimar la cantidad que hay que comprar en cuanto conoces el área.

Comprobar la zona que cubre una cámara de vigilancia o un sensor (seguridad y vigilancia)

Las fichas técnicas de las cámaras de vigilancia y los detectores de movimiento dicen, por ejemplo, «ángulo de visión 90°, alcance 8 m». Si consideras la zona cubierta en horizontal como un sector circular, sale \(\pi \times 8^2 \times \dfrac{90}{360} = 16\pi \approx 50{,}3\,\mathrm{m^2}\).
Si lo superpones al plano de un aparcamiento o de una tienda, puedes comprobar antes de instalarlo si hay puntos ciegos y cuántos equipos necesitas (los obstáculos y la inclinación de la cámara cambian la zona que se ve realmente).

Fórmulas y dibujos

Área de un sector circular (ángulo central en grados)

Dibujo

Notación matemática (la notación habitual)

\(S\) \(=\) \(\pi\) \(\times\) \(r\) \(2\) \(\times\) \(\theta\) \(\div\) \(360\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

⑥ \(S\): área del sector circular \(=\) ③ \(\pi\): número π \(\times\) ① \(r\): radio ② al cuadrado (la longitud multiplicada por sí misma) \(\times\) ④ \(\theta\): ángulo central (grados) \(\div\) ⑤ \(360^\circ\): ángulo del círculo completo

La fórmula en palabras

① Toma el \(r\): radio

② y elévalo al cuadrado (la longitud multiplicada por sí misma)

③ multiplica después por el \(\pi\): número π (aprox. 3,14) , y obtienes primero el área del círculo completo, \(\pi r^2\). A continuación

④ multiplica por el \(\theta\): ángulo central (grados)

⑤ y divide entre el \(360^\circ\): ángulo del círculo completo (así multiplicas por la fracción del círculo que representa el ángulo central)

⑥ y obtienes el \(S\): área del sector circular

Un ejemplo sencillo

El área de un sector circular con un radio de 30 cm y un ángulo central de 90° es

\(S\): área del sector circular \(=\) \(\pi\): número π \(\times\) radio (30 cm) al cuadrado \(\times\) ángulo central (90°) \(\div\) círculo completo (360°)

\(\pi \times 30^2 \times \dfrac{90}{360} = 900\pi \times \dfrac{1}{4} = 225\pi\)

\(225\pi = 225 \times 3{,}14159\ldots \approx 706{,}86\,\mathrm{cm^2}\)

La idea clave

Un sector circular es un trozo que se corta de un círculo, como una porción de pizza, según el ángulo central. Por eso su área es simplemente el área del círculo completo, \(\pi r^2\), por la fracción del círculo (360°) que representa el ángulo central, \(\left(\dfrac{\theta}{360}\right)\). Un ángulo central de 90° es \(\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}\) del círculo, 180° es la mitad y 360° es justo el círculo entero. Si el ángulo central es un divisor de 360° (90°, 60°, 45° y así sucesivamente), el cálculo es más fácil si simplificas primero \(\dfrac{\theta}{360}\).

Área de un sector circular (ángulo central en radianes)

Dibujo

Notación matemática (la notación habitual)

\(S\) \(=\) \(\pi\) \(\times\) \(r\) \(2\) \(\times\) \(\theta\) \(\div\) \(2\pi\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

⑥ \(S\): área del sector circular \(=\) ③ \(\pi\): número π \(\times\) ① \(r\): radio ② al cuadrado (la longitud multiplicada por sí misma) \(\times\) ④ \(\theta\): ángulo central (radianes) \(\div\) ⑤ \(2\pi\): ángulo del círculo completo

La fórmula en palabras

① Toma el \(r\): radio

② y elévalo al cuadrado (la longitud multiplicada por sí misma)

③ multiplica después por el \(\pi\): número π (aprox. 3,14) , y obtienes primero el área del círculo completo, \(\pi r^2\). A continuación

④ multiplica por el \(\theta\): ángulo central (radianes)

⑤ y divide entre el \(2\pi\): ángulo del círculo completo (radianes) (así multiplicas por la fracción del círculo que representa el ángulo central)

⑥ y obtienes el \(S\): área del sector circular

Un ejemplo sencillo

El área de un sector circular con un radio de 10 cm y un ángulo central de 1,5708 radianes (unos 90°) es

\(S\): área del sector circular \(=\) \(\pi\): número π \(\times\) radio (10 cm) al cuadrado \(\times\) ángulo central (1,5708 radianes) \(\div\) círculo completo (\(2\pi\) radianes)

\(\pi \times 10^2 \times \dfrac{1{,}5708}{2\pi} = 10^2 \times \dfrac{1{,}5708}{2}\)

\(100 \times 1{,}5708 \div 2 = 78{,}54\,\mathrm{cm^2}\)

La idea clave

El radián es una forma de medir ángulos que se estudia en Bachillerato (la medida en radianes): \(180^\circ = \pi\) radianes y \(360^\circ = 2\pi\) radianes. La idea es exactamente la misma que con los grados: multiplica el área del círculo completo, \(\pi r^2\), por la fracción del círculo (\(2\pi\) radianes) que representa el ángulo central. En esta fórmula, el \(\pi\) del numerador y el \(\pi\) del denominador se simplifican, y queda la forma corta de los libros de texto, \(S = \dfrac{1}{2} r^2 \theta\) (radio al cuadrado × ángulo central ÷ 2).

El área de un sector circular es «el área del círculo completo \(\pi r^2\) × la fracción del círculo que representa el ángulo central». Si el ángulo central está en grados, se divide entre 360; en radianes, entre \(2\pi\) (y se simplifica a \(S = \dfrac{1}{2} r^2 \theta\)). Si introduces el radio en cm, el resultado sale en cm².

Símbolos y términos

Símbolos

\(S\)	ese	Una letra que se usa a menudo para el área (de «superficie»). En esta página es el área del sector circular. (Los libros de texto españoles suelen escribir \(A\).)
\(r\)	erre	El radio, por la inicial de «radio». Es la distancia desde el centro del círculo hasta el arco.
\(r^2\)	erre al cuadrado	El número \(r\) multiplicado por sí mismo (\(r \times r\)). El pequeño 2 de arriba a la derecha es un exponente que indica que el número se multiplica por sí mismo.
\(\theta\)	theta	Una letra griega que se usa a menudo para la medida de un ángulo (se lee «theta»). En esta página es el ángulo central del sector circular. (Los libros de texto españoles suelen escribir \(\alpha\) o \(n^\circ\), por ejemplo \(A = \pi r^2 \cdot \dfrac{\alpha}{360^\circ}\).)
\(\pi\)	pi	El número π, que indica cuántas veces cabe el diámetro en la longitud de una circunferencia. Vale \(3{,}14159265\ldots\), un decimal que continúa sin fin y sin repetirse (un número irracional). En el colegio se calcula a menudo con 3,14.
\(^\circ\)	grado	Una unidad de medida de ángulos. Si divides una vuelta completa en 360 partes iguales, cada parte mide 1°. Es la forma más familiar de expresar un ángulo, la que mides con el transportador (la medida en grados).
\(\mathrm{rad}\)	radián	Una unidad de medida de ángulos que se estudia en Bachillerato (la medida en radianes). El ángulo central que abarca un arco de la misma longitud que el radio mide 1 radián, y se cumple \(180^\circ = \pi\) radianes (1 radián ≈ 57,3°).

Términos

sector circular	Una figura que se corta de un círculo con dos radios, como una porción de pizza o un abanico abierto. Está limitada por dos radios y un arco.
ángulo central	El ángulo en la punta del sector circular, es decir, en el centro del círculo. Indica cuánto se abre el sector circular; cuanto mayor es, mayores son el área y el arco.
arco	Una parte del borde del círculo. Es el borde curvo exterior del sector circular.
número π	El valor de longitud de la circunferencia ÷ diámetro. Es el mismo en cualquier círculo (\(3{,}14159\ldots\)). Su símbolo es \(\pi\).
medida en grados	Una forma de medir ángulos en la que una vuelta completa son 360°. Es la medida en grados (°) que usas desde Primaria.
medida en radianes	Una forma de medir ángulos a partir de la longitud del arco (la unidad es el radián). Una vuelta completa son \(2\pi\) radianes. Se usa a partir de Bachillerato.
fracción del círculo	Un número que indica qué parte del total representa algo. En esta página, «ángulo central ÷ ángulo del círculo completo» indica qué fracción del círculo entero es el sector circular.

Qué conviene saber de antemano

Esto es lo que conviene saber para usar el cálculo de esta página entendiéndolo de verdad, y no solo pulsando el botón.

Fracciones de un total y multiplicación de fracciones (5.º–6.º de Primaria, 10-12 años)	Saber expresar «qué parte del total» con una fracción, como \(\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}\) Saber simplificar fracciones y multiplicar un número por una fracción
Área del círculo (6.º de Primaria–1.º de ESO, 11-13 años)	Saber que el área de un círculo es «radio × radio × π (3,14)» Saber leer y escribir unidades de área como cm² y m²
Expresiones con letras y el número π (1.º de ESO, 12-13 años)	Saber dejar el número π escrito como la letra \(\pi\) y escribir una respuesta como \(225\pi\)
Arcos y sectores circulares (2.º–3.º de ESO, 13-15 años)	Conocer el significado de los términos sector circular, ángulo central y arco Poder imaginar un sector circular como «un trozo que se corta de un círculo en la proporción del ángulo central»
Medida en radianes (1.º de Bachillerato, 16-17 años; solo si usas el campo de radianes)	Saber qué es un radián y que \(180^\circ = \pi\) radianes (una vuelta completa = \(2\pi\) radianes)

Cómo calcularlo con Excel

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.

Tabla para calcular el área de un sector circular (ángulo central en grados)

Radio	30
Ángulo central (grados)	90
Área del sector circular	=PI()B1^2B2/360

Tabla para calcular el área de un sector circular (ángulo central en radianes)

Radio	10
Ángulo central (radianes)	1,5708
Área del sector circular	=B1^2*B2/2

Al pegarla, la columna A contiene los nombres y la columna B los números. Las filas de arriba son tus datos, y la fórmula de la última fila calcula el resultado automáticamente.
«B1» y «B2» en una fórmula significan «el número de esa celda». «*» es la multiplicación, «/» la división y «^» la potencia (cuántas veces se multiplica). «PI()» es una función que devuelve el número π (3,14159…).
En la primera tabla, por ejemplo, B3 muestra π × 30² × 90 ÷ 360 ≈ 706,86 (en cm², porque has introducido cm). La segunda tabla (la versión en radianes, radio² × ángulo central ÷ 2) muestra en B3 el valor 78,54. Solo tienes que cambiar los datos por los números de tu propio sector circular.

Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.

Tabla para calcular el área de un sector circular (ángulo central en grados)

Radio	30
Ángulo central (grados)	90
Área del sector circular	=PI()B1^2B2/360

Tabla para calcular el área de un sector circular (ángulo central en radianes)

Radio	10
Ángulo central (radianes)	1,5708
Área del sector circular	=B1^2*B2/2

Funcionan las mismas fórmulas que en Excel (la función PI() también es la misma). Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y cambia los datos por los números de tu propio sector circular.

Cómo calcularlo con Python

import math

radius = 30    # radio (en este ejemplo, en cm)
degrees = 90   # ángulo central (grados)

area = math.pi * radius ** 2 * degrees / 360   # área del sector circular (la unidad introducida al cuadrado; aquí cm2)

print(f"Área del sector circular: {area} cm2")

# Si el ángulo central está en radianes, se usa «radio al cuadrado x ángulo central / 2»
radians = 1.5708
area_by_radians = radius ** 2 * radians / 2
print(f"Con un ángulo central de {radians} radianes: {area_by_radians} cm2")

Funciona solo con la biblioteca estándar. «math.pi» es el número π, «**» es la potencia (aquí, el cuadrado), «*» es el signo de multiplicar y «/» el de dividir. Cambia arriba el radio y el ángulo central y ejecuta el código.

La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)

Área de un sector circular (ángulo central en grados)

S = πr² × θ ÷ 360

S = \pi r^{2} \times \dfrac{\theta}{360}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>&#x03C0;</mi>
    <msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mfrac><mi>&#x03B8;</mi><mn>360</mn></mfrac>
  </mrow>
</math>

S = pi r^2 xx theta/360

Pi r^2 theta/360

S := Pi*r^2*theta/360;

S = pi*r^2*theta/360;

S = πr^2 × θ/360

Área de un sector circular (ángulo central en radianes)

S = πr² × θ ÷ (2π)

S = \pi r^{2} \times \dfrac{\theta}{2\pi}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>&#x03C0;</mi>
    <msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mfrac><mi>&#x03B8;</mi><mrow><mn>2</mn><mi>&#x03C0;</mi></mrow></mfrac>
  </mrow>
</math>

S = pi r^2 xx theta/(2 pi)

Pi r^2 theta/(2 Pi)

S := Pi*r^2*theta/(2*Pi);

S = pi*r^2*theta/(2*pi);

S = πr^2 × θ/(2π)

Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo

Eres un asistente de cálculo matemático. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no calcules de cabeza ni estimes).

Un sector circular tiene un radio de 30 cm y un ángulo central de 90°.
Calcula:
1. El área de este sector circular en cm² (como número decimal)
2. Esa misma área escrita de forma exacta con pi (π)

Muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.

Cómo usar

1

Introduce los números

Escribe en los campos los números con los que quieres calcular
2

Calcula

Haz clic en el botón «Calcular»
3

Consulta el resultado

El resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula