Calculadora de razones y proporciones (regla de tres, ampliar y reducir)

Halla el único término que falta de la proporción A:B = C:D, o amplía o reduce la razón A:B. Rellena los campos según el cálculo que quieras hacer.

Primer término A

Segundo término B

Primer término C

Segundo término D

Ampliar por (× k)

Reducir a 1/k (÷ k)

[Resolver una proporción] Rellena tres de los términos A a D y deja en blanco solo el que quieres hallar. [Ampliar o reducir una razón] Escribe la razón original en A y en B y rellena solo uno de los dos factores de escala (deja C y D en blanco).

Resultado

Introduce los términos de la razón en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». Aquí aparecerá el resultado.

Índice

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Qué puedes hacer en esta página
¿Para qué sirve este cálculo?
Cómo usar
Fórmula
Símbolos y términos
- Símbolos
- Términos
Qué conviene saber de antemano
Cómo calcularlo con Excel
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Cómo calcularlo con Python
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Las ventajas de DataChef
Funciones relacionadas
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Qué puedes hacer en esta página

Introduce tres cualesquiera de los cuatro términos de la proporción \(A:B=C:D\), y el que falta (por ejemplo, la \(x\) de 3:4 = 600:\(x\)) se calcula al instante
La respuesta se muestra también en las formas «1 : n» y «m : 1», y como el porcentaje que representa el primer término sobre el total
Amplía o reduce una razón solo con introducir el factor de escala (por ejemplo, 3:4 ampliado 5 veces es 15:20, y 250:280 reducido a 1/2,5 es 100:112)
En esta página también tienes una explicación sencilla de las fórmulas y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python

No se puede calcular una combinación en la que el término por el que se divide sea 0 (habría que dividir entre 0). Se pueden introducir números negativos, pero las razones se usan normalmente con números positivos.

¿Para qué sirve este cálculo?

Adaptar una receta al número de personas

Si una receta usa 300 g de arroz para 4 personas, para 6 personas la proporción 4:300 = 6:\(x\) da \(x = 300 \times 6 \div 4 = 450\) g.
En la práctica multiplicas todos los ingredientes por el mismo factor (\(6 \div 4 = 1{,}5\)), que es justo ampliar una razón. Es el cálculo con razones que más se usa en la cocina de cada día.

Hallar distancias reales con la escala de un mapa (senderismo y seguridad)

En un mapa topográfico a escala 1:25.000, como el Mapa Topográfico Nacional del Instituto Geográfico Nacional, un camino que mide 4 cm en el mapa son \(4 \times 25.000 = 100.000\) cm en la realidad, es decir, 1 km.
La escala de un mapa es una de las aplicaciones más habituales de las razones, tanto si planeas una ruta de senderismo como si estimas la distancia hasta un refugio.

Trabajar con la relación de aspecto de pantallas y vídeos (16:9)

La mayoría de los televisores y pantallas de ordenador tienen una razón de ancho a alto de 16:9. En una pantalla de 1920 píxeles de ancho, 16:9 = 1920:\(x\) da una altura de \(x = 9 \times 1920 \div 16 = 1080\) píxeles (Full HD).
Quienes editan vídeo o hacen presentaciones lo usan para hallar la altura correcta una vez fijado el ancho.

Diluir bebidas, limpiadores y productos de jardín

En una bebida concentrada que se mezcla «1 parte de concentrado por 4 de agua», para 50 mL de concentrado hace falta 1:4 = 50:\(x\), es decir, \(x = 4 \times 50 \div 1 = 200\) mL de agua.
El mismo cálculo se usa con los productos fitosanitarios de jardín y con los desinfectantes, donde una mezcla demasiado fuerte o demasiado floja afecta a la seguridad (sigue siempre la dilución que indica la etiqueta del producto).

Convertir divisas (viajes y compras)

Supón que 1 € = 1,10 dólares (un tipo de cambio de ejemplo). Algo que cuesta 55 dólares equivale entonces a 1:1,10 = \(x\):55, así que \(x = 1 \times 55 \div 1{,}10 = 50\) euros.
Un tipo de cambio es una proporción en la que se conoce la cantidad por cada 1. Ayuda a estimar precios cuando viajas o compras en tiendas del extranjero (el pago real puede incluir comisiones).

Calcular el tamaño de una maqueta a escala

Una maqueta a escala 1:100 de un avión de 15 m de largo mide \(15 \div 100 = 0{,}15\) m, es decir, 15 cm.
Todas las medidas se reducen con el mismo factor de escala. Esta reducción es la base de las maquetas y de los planos de arquitectura.

Fórmula

Propiedad de las proporciones (producto de extremos = producto de medios)

Notación matemática (la notación habitual)

\(A\) \(\times\) \(D\) \(=\) \(B\) \(\times\) \(C\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

① \(A\): extremo \(\times\) ② \(D\): extremo \(=\) ③ \(B\): medio \(\times\) ④ \(C\): medio

La fórmula en palabras

① En la proporción \(A:B=C:D\), toma el extremo \(A\): extremo ,

② multiplícalo por el otro extremo \(D\): extremo (el producto de extremos).

③ Ese producto siempre es igual al medio \(B\): medio

④ por el otro medio \(C\): medio (el producto de medios).

Un ejemplo sencillo

Comprobándolo con la proporción 3:4 = 600:800 (los dos productos valen 2400)

extremo (3) \(\times\) extremo (800) \(=\) medio (4) \(\times\) medio (600)

\(3 \times 800 = 2400\)

\(4 \times 600 = 2400\)

La idea clave

¿Por qué se cumple? \(A:B=C:D\) dice que las dos razones son iguales. Escrito con fracciones, es \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\). Si multiplicas los dos lados por \(B \times D\), obtienes \(A \times D = B \times C\). Es el «producto en cruz» que quizá conoces del colegio. Esta única igualdad es el punto de partida para hallar cualquier término que falte en una proporción.

Hallar el término que falta (cuando falta \(D\))

Notación matemática (la notación habitual)

\(D\) \(=\) \(B\) \(\times\) \(C\) \(\div\) \(A\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

④ \(D\): extremo que falta \(=\) ① \(B\): medio \(\times\) ② \(C\): medio \(\div\) ③ \(A\): extremo

La fórmula en palabras

① Multiplica el medio \(B\): medio

② por el otro medio \(C\): medio para obtener el producto de medios,

③ divídelo después entre el extremo conocido \(A\): extremo

④ y obtienes el \(D\): extremo que falta

Un ejemplo sencillo

La \(x\) (es decir, \(D\)) de 3:4 = 600:\(x\) es

\(D\): extremo que falta \(=\) medio (4) \(\times\) medio (600) \(\div\) extremo (3)

\(D = 4 \times 600 \div 3 = 2400 \div 3 = 800\)

La idea clave

La idea es la misma sea cual sea el término que falta. Escribe «producto de extremos = producto de medios» y divide el producto del otro lado entre el término que va emparejado con el que falta. Hay cuatro casos: \(A = B \times C \div D\), \(B = A \times D \div C\), \(C = A \times D \div B\) y \(D = B \times C \div A\). Si el término por el que se divide es 0, no se puede calcular, porque habría que dividir entre 0.

Ampliar una razón (multiplicar por \(k\))

Notación matemática (la notación habitual)

\(a'\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(k\)

\(b'\) \(=\) \(b\) \(\times\) \(k\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ \(a'\): primer término nuevo \(=\) ① \(a\): primer término original \(\times\) ② \(k\): factor de escala

\(b'\): segundo término nuevo \(=\) \(b\): segundo término original \(\times\) \(k\): factor de escala

La fórmula en palabras

① Toma el \(a\): primer término original

② multiplícalo por el \(k\): factor de escala (multiplica también por él el segundo término \(b\)),

③ y obtienes el \(a'\): primer término nuevo de la razón ampliada \(a' : b'\).

Un ejemplo sencillo

Ampliar 3:4 cinco veces (la respuesta es 15:20)

primer término nuevo (15) \(=\) primer término original (3) \(\times\) factor de escala (5)

\(3 \times 5 = 15\)

\(4 \times 5 = 20\)

La idea clave

Si multiplicas los dos términos de una razón por el mismo número (distinto de 0), obtienes unas razones equivalentes: la relación se mantiene. Tanto en 3:4 como en 15:20, el valor de la razón (primero ÷ segundo) es 0,75. Multiplicar una receta para más personas o pasar las medidas de una maqueta al tamaño real es justo este tipo de ampliación.

Reducir una razón (a \(1/k\))

Notación matemática (la notación habitual)

\(a'\) \(=\) \(a\) \(\div\) \(k\)

\(b'\) \(=\) \(b\) \(\div\) \(k\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ \(a'\): primer término nuevo \(=\) ① \(a\): primer término original \(\div\) ② \(k\): factor de escala

\(b'\): segundo término nuevo \(=\) \(b\): segundo término original \(\div\) \(k\): factor de escala

La fórmula en palabras

① Toma el \(a\): primer término original

② divídelo entre el \(k\): factor de escala (divide también entre él el segundo término \(b\)),

③ y obtienes el \(a'\): primer término nuevo de la razón \(a' : b'\) reducida a \(1/k\).

Un ejemplo sencillo

Reducir 250:280 a 1/2,5 (la respuesta es 100:112)

primer término nuevo (100) \(=\) primer término original (250) \(\div\) factor de escala (2,5)

\(250 \div 2{,}5 = 100\)

\(280 \div 2{,}5 = 112\)

La idea clave

Dividir entre \(k\) es lo mismo que multiplicar por \(1/k\), así que una razón reducida también es equivalente a la razón original. Si la división no es exacta, obtienes una razón con decimales (por ejemplo, 7:9 reducido a 1/3 es 2,33…:3). Cuando necesites una razón de números enteros, usa una razón aproximada, redondeada. Ten en cuenta que una razón redondeada no es exactamente igual que la original.

Todos los cálculos con razones se apoyan en un hecho, que si multiplicas los dos términos por el mismo número, o divides los dos entre el mismo número distinto de 0, obtienes unas razones equivalentes. Para resolver una proporción, parte de «producto de extremos = producto de medios». Para ampliar o reducir una razón, multiplica (o divide) los dos términos por el mismo factor de escala.

Símbolos y términos

Símbolos

\(A:B\)	a es a b	Una razón. Muestra cómo se comparan dos cantidades, escrita con dos puntos (:) entre ellas. (Ejemplo: 3:4 se lee «3 es a 4»)
\(A:B=C:D\)	a es a b como c es a d	Una proporción. Una igualdad que dice que las dos razones de la izquierda y de la derecha son iguales.
\(A \times D = B \times C\)	a por d es igual a b por c	Producto de extremos = producto de medios. Toda proporción cumple esta propiedad, que es el punto de partida para hallar un término desconocido.
\(k\)	ka	El factor de escala. El número que indica cuántas veces se amplía una razón (o que se reduce a \(1/k\)). (Ejemplo: para 2,5 veces, \(k = 2{,}5\))
\(a'\)	a prima	Un término de la razón después de ampliarla o reducirla. La pequeña marca de arriba a la derecha (la prima) señala «el valor después del cambio».

Términos

razón	Una comparación de dos cantidades escritas una junto a otra, como «3:4». Es útil porque recoge solo la relación entre ellas, sea cual sea la cantidad total. También se escribe como fracción, 3/4.
proporción	Una igualdad que dice que dos razones son iguales. Se escribe \(A:B=C:D\), y el producto de extremos es igual al producto de medios.
medios	En una proporción \(A:B=C:D\), los dos términos del interior (\(B\) y \(C\)). El producto de medios es igual al producto de extremos.
extremos	En una proporción \(A:B=C:D\), los dos términos de fuera (\(A\) y \(D\)). El producto de medios es igual al producto de extremos.
valor de la razón	En una razón \(A:B\), el número \(A \div B\). Dos razones con el mismo valor son razones equivalentes. La \(m\) de la forma «m : 1» de esta página es justo el valor de la razón.
razones equivalentes	Razones que describen la misma relación. Si multiplicas los dos términos por el mismo número, o divides los dos entre el mismo número distinto de 0, obtienes unas razones equivalentes. (Ejemplo, 3:4 y 15:20)
ampliación	Hacer algo varias veces más grande sin cambiar su forma (sus proporciones). En una razón, es multiplicar los dos términos por el mismo número.
reducción	Hacer algo más pequeño, en cierta fracción, sin cambiar su forma (sus proporciones). En una razón, es dividir los dos términos entre el mismo número.

Qué conviene saber de antemano

Aquí tienes lo que te ayudará a usar el cálculo de esta página entendiendo lo que haces, y no solo pulsando el botón.

Razones (6.º de Primaria, 11-12 años)	Saber escribir una razón como «3:4» y leerla como «3 es a 4» Saber que multiplicar los dos términos por el mismo número, o dividirlos entre el mismo número distinto de 0, da unas razones equivalentes Saber hallar el valor de la razón (primer término ÷ segundo término)
Escalas y planos (6.º de Primaria y 1.º de ESO, 11-13 años)	Saber que, para cambiar el tamaño sin cambiar la forma, se multiplican todas las longitudes por el mismo factor de escala Saber que «reducir a 1/2,5» es lo mismo que «dividir entre 2,5»
Proporciones y proporcionalidad (1.º–2.º de ESO, 12-14 años)	Saber que en una proporción \(A:B=C:D\), el producto de extremos es igual al producto de medios (\(A \times D = B \times C\)) Saber llamar \(x\) al número desconocido y plantear una ecuación
Multiplicar y dividir decimales y fracciones (5.º–6.º de Primaria, 10-12 años)	Saber dividir con decimales, como en \(250 \div 2{,}5\) Saber que la multiplicación y la división se deshacen entre sí

Cómo calcularlo con Excel

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.

Tabla para comprobar «producto de extremos = producto de medios»

Extremo A	3
Medio B	4
Medio C	600
Extremo D	800
Producto de extremos A×D	=B1*B4
Producto de medios B×C	=B2*B3

Tabla para hallar el término D que falta de una proporción

Extremo A	3
Medio B	4
Medio C	600
Extremo D que falta	=B2*B3/B1

Tabla para ampliar una razón

Primer término original	3
Segundo término original	4
Factor de escala k	5
Primer término ampliado	=B1*B3
Segundo término ampliado	=B2*B3

Tabla para reducir una razón

Primer término original	250
Segundo término original	280
Factor de escala k	2,5
Primer término reducido	=B1/B3
Segundo término reducido	=B2/B3

Al pegarla, las celdas de arriba de la columna B son tus datos y las celdas de fórmula de debajo se calculan automáticamente.
En la primera tabla, el producto de extremos (B5) y el producto de medios (B6) valen 2400 los dos, lo que confirma que se cumple la proporción.
La segunda tabla muestra en B4 el término que falta, D = 800. La tercera muestra la razón ampliada (15 y 20) y la cuarta, la razón reducida (100 y 112).
Solo tienes que cambiar los números de la columna B por los tuyos.

Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.

Tabla para comprobar «producto de extremos = producto de medios»

Extremo A	3
Medio B	4
Medio C	600
Extremo D	800
Producto de extremos A×D	=B1*B4
Producto de medios B×C	=B2*B3

Tabla para hallar el término D que falta de una proporción

Extremo A	3
Medio B	4
Medio C	600
Extremo D que falta	=B2*B3/B1

Tabla para ampliar una razón

Primer término original	3
Segundo término original	4
Factor de escala k	5
Primer término ampliado	=B1*B3
Segundo término ampliado	=B2*B3

Tabla para reducir una razón

Primer término original	250
Segundo término original	280
Factor de escala k	2,5
Primer término reducido	=B1/B3
Segundo término reducido	=B2/B3

Las mismas fórmulas de Excel funcionan tal cual. Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y cambia los números de la columna B por los tuyos.

Cómo calcularlo con Python

# Hallar D en la proporción A:B = C:D (producto de medios ÷ A)
ratio_a = 3
ratio_b = 4
ratio_c = 600

ratio_d = ratio_b * ratio_c / ratio_a
print(f"D = {ratio_d}")  # 800.0

# Ampliar o reducir una razón (ejemplo: reducir 250:280 a 1/2,5)
left_term = 250
right_term = 280
scale_factor = 2.5

print(f"Razón reducida = {left_term / scale_factor} : {right_term / scale_factor}")  # 100.0 : 112.0

Funciona solo con la biblioteca estándar. «*» es la multiplicación y «/» es la división. Para ampliar en lugar de reducir, cambia «/ scale_factor» por «* scale_factor». Cambia los números del principio por los tuyos y ejecútalo.

La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)

Propiedad de las proporciones (producto de extremos = producto de medios)

A × D = B × C

A \times D = B \times C

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>A</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>D</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>B</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>C</mi>
  </mrow>
</math>

A xx D = B xx C

a d == b c

a * d = b * c;  # D está reservada en Maple (el operador diferencial), por eso todas las variables van en minúscula

A * D == B * C;

A×D=B×C

Hallar el término que falta (cuando falta \(D\))

D = B × C ÷ A

D = \dfrac{B \times C}{A}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>D</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>B</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>C</mi></mrow>
      <mi>A</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

D = (B xx C)/A

b c / a

d := b * c / a;  # D está reservada en Maple (el operador diferencial), por eso todas las variables van en minúscula

D = B * C / A;

D=(B×C)/A

Ampliar una razón (multiplicar por \(k\))

a′ = a × k,  b′ = b × k

a' = a \times k,\quad b' = b \times k

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>a</mi><mo>&#x2032;</mo></msup>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>k</mi>
    <mo>,</mo>
    <msup><mi>b</mi><mo>&#x2032;</mo></msup>
    <mo>=</mo>
    <mi>b</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>k</mi>
  </mrow>
</math>

a' = a xx k, b' = b xx k

{a k, b k}

aNew := a * k; bNew := b * k;

aNew = a * k; bNew = b * k;

a′=a×k, b′=b×k

Reducir una razón (a \(1/k\))

a′ = a ÷ k,  b′ = b ÷ k

a' = \dfrac{a}{k},\quad b' = \dfrac{b}{k}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>a</mi><mo>&#x2032;</mo></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>k</mi></mfrac>
    <mo>,</mo>
    <msup><mi>b</mi><mo>&#x2032;</mo></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mi>k</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

a' = a/k, b' = b/k

{a/k, b/k}

aNew := a / k; bNew := b / k;

aNew = a / k; bNew = b / k;

a′=a/k, b′=b/k

Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo

Eres un asistente de cálculo de razones. Haz los siguientes cálculos ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni a ojo).

1. Halla D en la proporción 3:4 = 600:D usando «producto de extremos = producto de medios» (A×D = B×C).
2. Reduce la razón 250:280 a 1/2,5 y da la razón resultante.

Muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.

Cómo usar

1

Introduce los números

Escribe en los campos los números con los que quieres calcular
2

Calcula

Haz clic en el botón «Calcular»
3

Consulta el resultado

El resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula