Escribe las coordenadas xyz del punto 1 y del punto 2 para hallar la distancia entre ellos en el espacio 3D. También se muestran los incrementos de x, y y z.
Escribe las coordenadas como números (se admiten decimales y números negativos). Los seis campos son obligatorios.
Resultado y figura
Escribe las coordenadas xyz de dos puntos en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». El resultado aparecerá aquí.
Índice
-
Qué puedes hacer en esta página
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¿Para qué sirve este cálculo?
-
Cómo usar
-
Fórmulas y figuras
-
Símbolos y términos
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Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
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Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Escribe las coordenadas xyz de dos puntos del espacio (3D) y obtendrás al instante la distancia \(d\) entre ellos
- Junto con la distancia, calcula también el incremento de x, \(\Delta x\), el incremento de y, \(\Delta y\), y el incremento de z, \(\Delta z\)
- El resultado también se muestra en una figura 3D que puedes girar con el ratón, así que puedes ver que la distancia es la longitud del segmento que une los dos puntos (la diagonal de un ortoedro)
- En esta página también encontrarás una explicación clara de las fórmulas y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
Esta página calcula la distancia en línea recta entre dos puntos del espacio (tres dimensiones). Para la distancia en el plano, con solo dos coordenadas (x, y), usa la página relacionada «Calculadora de distancia entre dos puntos». En 3D, una recta no tiene una única «pendiente» ni una ecuación de la forma y = mx + b, así que esta página muestra solo la distancia y los incrementos de las coordenadas.
¿Para qué sirve este cálculo?
Colisiones y comprobaciones de distancia en juegos 3D y realidad virtual (programación)
En un juego 3D, las posiciones de los personajes, las balas y los objetos se guardan como coordenadas (x ; y ; z), y el juego decide que «hay impacto cuando la distancia es menor que una cantidad fijada» o que «un enemigo te detecta cuando te acercas a menos de cierta distancia». Por ejemplo, si tu personaje está en (1 ; 1 ; 1) y un enemigo en (2 ; 3 ; 3), la distancia es \(\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3\). Repetir este cálculo en cada fotograma es la base de las comprobaciones de distancia en los juegos 3D.
Es solo la fórmula de la distancia de los juegos 2D con un término más para \(z\).
Distancia en línea recta hasta un dron (topografía y fotografía aérea)
La posición de un dron se puede dar con tres números: a qué distancia está en horizontal (x e y) y su altura (z). Si un dron está a 60 m al este y 80 m al norte del piloto, a una altura de 50 m, la distancia en línea recta hasta él es \(\sqrt{60^2 + 80^2 + 50^2} = \sqrt{12500} \approx 111{,}8\) m.
Esta distancia en el espacio es la que se usa para pensar en el alcance de la radio y en hasta dónde se puede seguir viendo el dron.
Medir longitudes en diagonal en CAD 3D y en impresión 3D (diseño y fabricación)
En CAD 3D, las posiciones, como los centros de los agujeros y los vértices de una pieza, se dan como coordenadas en el espacio. La distancia entre dos puntos situados en diagonal en el espacio, que muchas veces no está escrita en el plano, se puede hallar a partir de las diferencias de coordenadas con la fórmula de esta página. Por ejemplo, dos puntos separados 30 mm a lo ancho, 40 mm en profundidad y 120 mm en vertical están a \(\sqrt{30^2 + 40^2 + 120^2} = 130\) mm.
Es un cálculo cotidiano al fabricar cosas, por ejemplo para estimar la longitud de un refuerzo o el recorrido más corto de tuberías y cables.
Hallar la distancia entre átomos de una molécula (química y diseño de fármacos)
En química, la posición de cada átomo de una molécula se registra como coordenadas en el espacio (las bases de datos de proteínas también usan este formato). Cuando se conocen las coordenadas de dos átomos, la distancia entre ellos (la longitud de un enlace o lo cerca que están dos átomos) se halla exactamente con la fórmula de esta página.
Es un cálculo básico detrás del diseño de fármacos y del desarrollo de materiales, por ejemplo al comprobar si una molécula candidata a fármaco encaja bien en su diana.
Fórmulas y figuras
Distancia \(d\) entre dos puntos del espacio 3D (la fórmula de la distancia en 3D)
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(d\)
\(=\)
\(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
②
\(d\): distancia entre los puntos
\(=\)
①
raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias
La fórmula en palabras
①
Calcula la
raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias, \((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2\)
(eleva al cuadrado las diferencias de las coordenadas x, y y z, súmalas todas y calcula la raíz cuadrada)
②
y obtienes la
\(d\): distancia entre los puntos
Un ejemplo sencillo
La distancia entre los puntos (1 ; 1 ; 1) y (2 ; 3 ; 3) es
distancia \(d\)
\(=\)
raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias ((2−1)² + (3−1)² + (3−1)² = 9)
\(d = \sqrt{(2-1)^2 + (3-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\)
La idea clave
Es la fórmula de la distancia en el plano (2D) con un solo término más, \((z_2 - z_1)^2\), y los pasos son exactamente los mismos: elevar al cuadrado las diferencias, sumarlas todas y calcular la raíz cuadrada una sola vez, al final.
Un error frecuente es calcular las raíces cuadradas por separado, como en \(\sqrt{(x_2-x_1)^2} + \sqrt{(y_2-y_1)^2} + \sqrt{(z_2-z_1)^2}\). Además, aunque la diferencia de coordenadas sea negativa, su cuadrado es positivo, así que la distancia es la misma sea cual sea el punto que escribas primero. El resultado suele ser un número que no sale exacto, como \(\sqrt{3}\); en ese caso, esta calculadora muestra un decimal (un valor aproximado).
Por qué esta fórmula da la distancia (usando dos veces el teorema de Pitágoras)
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(\Delta x^2\)
\(+\)
\(\Delta y^2\)
\(+\)
\(\Delta z^2\)
\(=\)
\(d^2\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
①
cuadrado del incremento de x, \(\Delta x\)
\(+\)
②
cuadrado del incremento de y, \(\Delta y\)
\(+\)
③
cuadrado del incremento de z, \(\Delta z\)
\(=\)
④
cuadrado de la distancia \(d\)
La fórmula en palabras
①
Suma el
cuadrado del incremento de x, \(\Delta x\) (cuánto se separan los puntos de izquierda a derecha)
②
el
cuadrado del incremento de y, \(\Delta y\) (cuánto se separan de delante hacia atrás)
③
y el
cuadrado del incremento de z, \(\Delta z\) (cuánto se separan de arriba abajo)
④
y obtienes exactamente el
cuadrado de la distancia \(d\) entre los puntos (la diagonal del ortoedro)
(la versión en 3D del teorema de Pitágoras)
Un ejemplo sencillo
Comprobación con los puntos (0 ; 0 ; 0) y (3 ; 4 ; 12) (Δx = 3, Δy = 4, Δz = 12)
Δx al cuadrado (3² = 9)
\(+\)
Δy al cuadrado (4² = 16)
\(+\)
Δz al cuadrado (12² = 144)
\(=\)
distancia al cuadrado (169 = 13²)
\(\ell = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)
\(d = \sqrt{\ell^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)
La idea clave
Imagina una caja rectangular (un ortoedro) con los dos puntos en vértices opuestos. Primero, mira solo el suelo: por el teorema de Pitágoras en el plano, la diagonal del suelo \(\ell\) cumple \(\ell^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2\).
Después, usa el teorema de Pitágoras una vez más, en el triángulo rectángulo formado por esta diagonal del suelo \(\ell\) y la altura \(\Delta z\). Resulta \(d^2 = \ell^2 + \Delta z^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2\).
Así, la fórmula de la distancia en 3D es «el teorema de Pitágoras usado dos veces», y la distancia entre los dos puntos es exactamente la longitud de la diagonal de la caja. Cuando ves que es el mismo cálculo que el problema de la «diagonal de un ortoedro» que se estudia en 2.º de ESO (13-14 años), tienes una cosa menos que memorizar.
Para hallar la distancia entre dos puntos del espacio 3D, eleva al cuadrado las diferencias de las coordenadas x, y y z, súmalas todas y calcula la raíz cuadrada. Es el teorema de Pitágoras usado dos veces, igual que al hallar la diagonal de un ortoedro. Imagina que es la fórmula de la distancia en el plano con un término más, \(\Delta z^2\), y no lo olvidarás.
Símbolos y términos
Símbolos
| \(d\) | de | La distancia entre los dos puntos del espacio; es la inicial de «distancia». |
| \((x_1, y_1, z_1)\), \((x_2, y_2, z_2)\) | x sub uno, i griega sub uno, zeta sub uno | Las coordenadas de los dos puntos del espacio. \(x\) e \(y\) dan la posición en un plano horizontal y \(z\) da la altura. El número pequeño de abajo a la derecha (el subíndice) distingue el primer punto del segundo. |
| \(\Delta x\), \(\Delta y\), \(\Delta z\) | delta equis, delta i griega, delta zeta | El incremento (la diferencia de las coordenadas). \(\Delta\) (delta) es una letra griega que representa «cambio» o «diferencia»: \(\Delta x = x_2 - x_1\), \(\Delta y = y_2 - y_1\) y \(\Delta z = z_2 - z_1\). |
| \(\ell\) | ele | El símbolo que se usa en esta explicación para la longitud de la diagonal del suelo de la caja. \(\ell^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2\); es el paso intermedio al usar dos veces el teorema de Pitágoras. |
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | raíz cuadrada (signo radical) | El signo de la raíz cuadrada (el número que, elevado al cuadrado, da este número). \(\sqrt{9} = 3\) (porque 3² = 9). En la fórmula de la distancia en 3D también se calcula la raíz cuadrada una sola vez, al final. |
Términos
| espacio tridimensional | El espacio en el que a los ejes x e y se añade un eje z para la altura y la posición de un punto se da con tres números (x ; y ; z). Son las coordenadas del plano (2D) con una coordenada más, la de la altura. |
| coordenadas | Los números que dan la posición de un punto. En el espacio son tres, como en el punto (2 ; 3 ; 3): 2 en la dirección x, 3 en la dirección y y 3 en la dirección z (la altura). |
| segmento | Una línea recta que une dos puntos, que son sus extremos. La distancia entre dos puntos es la longitud de este segmento. |
| teorema de Pitágoras | El teorema que dice que, en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los dos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. La fórmula de la distancia en 3D usa este teorema dos veces seguidas. Se estudia en 2.º de ESO (13-14 años). |
| diagonal de un ortoedro | La línea que une vértices opuestos de una caja rectangular (un ortoedro) pasando por el interior. En una caja de largo a, ancho b y alto c, la diagonal mide \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\). La distancia entre dos puntos del espacio es el mismo cálculo. |
| distancia euclídea | El nombre formal de la distancia en línea recta entre dos puntos que calcula esta página. No solo en 3D, sino también en análisis de datos y en inteligencia artificial, este nombre se usa a menudo para la forma básica de medir lo cerca que están los puntos. |
| dimensión | Cuántos números hacen falta para dar una posición. Una recta tiene 1 dimensión (la recta numérica), un plano tiene 2 (x, y) y el espacio tiene 3 (x, y, z). Cada dimensión más añade un solo término bajo la raíz cuadrada; la forma de la fórmula de la distancia no cambia. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo de verdad lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar estos temas es el camino más rápido para avanzar.
| El plano de coordenadas (1.º de ESO, 12-13 años) |
|
| Operaciones con números positivos y negativos (1.º de ESO, 12-13 años) |
|
| Raíces cuadradas (2.º de ESO, 13-14 años) |
|
| El teorema de Pitágoras (2.º de ESO, 13-14 años) |
|
| Cuerpos geométricos y coordenadas en el espacio (1.º de ESO y Bachillerato) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para calcular la distancia d entre dos puntos en 3D
| Coordenada x del punto 1, x₁ | 1 |
| Coordenada y del punto 1, y₁ | 1 |
| Coordenada z del punto 1, z₁ | 1 |
| Coordenada x del punto 2, x₂ | 2 |
| Coordenada y del punto 2, y₂ | 3 |
| Coordenada z del punto 2, z₂ | 3 |
| Distancia entre los puntos, d | =RAIZ((B4-B1)^2+(B5-B2)^2+(B6-B3)^2) |
Tabla para comprobar con el teorema de Pitágoras dos veces
| Coordenada x del punto 1, x₁ | 0 |
| Coordenada y del punto 1, y₁ | 0 |
| Coordenada z del punto 1, z₁ | 0 |
| Coordenada x del punto 2, x₂ | 3 |
| Coordenada y del punto 2, y₂ | 4 |
| Coordenada z del punto 2, z₂ | 12 |
| Incremento de x, Δx | =B4-B1 |
| Incremento de y, Δy | =B5-B2 |
| Incremento de z, Δz | =B6-B3 |
| Diagonal del suelo ℓ=√(Δx²+Δy²) | =RAIZ(B7^2+B8^2) |
| Distancia entre los puntos d=√(ℓ²+Δz²) | =RAIZ(B10^2+B9^2) |
Al pegar, las filas de arriba son tus datos de entrada y las fórmulas de las filas de abajo se calculan solas.
«RAIZ(…)» es la raíz cuadrada y «^2» es elevar al cuadrado.
La primera tabla da la distancia 3. La segunda tabla parte de Δx = 3, Δy = 4 y Δz = 12, halla primero la diagonal del suelo ℓ = 5 y después la distancia d = 13, así que también ves los valores intermedios cuando se usa dos veces el teorema de Pitágoras.
«RAIZ(…)» es la raíz cuadrada y «^2» es elevar al cuadrado.
La primera tabla da la distancia 3. La segunda tabla parte de Δx = 3, Δy = 4 y Δz = 12, halla primero la diagonal del suelo ℓ = 5 y después la distancia d = 13, así que también ves los valores intermedios cuando se usa dos veces el teorema de Pitágoras.
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para calcular la distancia d entre dos puntos en 3D
| Coordenada x del punto 1, x₁ | 1 |
| Coordenada y del punto 1, y₁ | 1 |
| Coordenada z del punto 1, z₁ | 1 |
| Coordenada x del punto 2, x₂ | 2 |
| Coordenada y del punto 2, y₂ | 3 |
| Coordenada z del punto 2, z₂ | 3 |
| Distancia entre los puntos, d | =RAIZ((B4-B1)^2+(B5-B2)^2+(B6-B3)^2) |
Tabla para comprobar con el teorema de Pitágoras dos veces
| Coordenada x del punto 1, x₁ | 0 |
| Coordenada y del punto 1, y₁ | 0 |
| Coordenada z del punto 1, z₁ | 0 |
| Coordenada x del punto 2, x₂ | 3 |
| Coordenada y del punto 2, y₂ | 4 |
| Coordenada z del punto 2, z₂ | 12 |
| Incremento de x, Δx | =B4-B1 |
| Incremento de y, Δy | =B5-B2 |
| Incremento de z, Δz | =B6-B3 |
| Diagonal del suelo ℓ=√(Δx²+Δy²) | =RAIZ(B7^2+B8^2) |
| Distancia entre los puntos d=√(ℓ²+Δz²) | =RAIZ(B10^2+B9^2) |
Sirven las mismas fórmulas que en Excel (RAIZ y ^2). Copia toda la tabla, pégala en la celda A1 y sustituye los números de entrada por tus propias coordenadas.
Cómo calcularlo con Python
import math
x1, y1, z1 = 1.0, 1.0, 1.0 # coordenadas del punto 1
x2, y2, z2 = 2.0, 3.0, 3.0 # coordenadas del punto 2
delta_x = x2 - x1 # incremento de x
delta_y = y2 - y1 # incremento de y
delta_z = z2 - z1 # incremento de z
distance = math.sqrt(delta_x**2 + delta_y**2 + delta_z**2) # distancia entre los puntos
print(f"Incremento de x Δx: {delta_x}")
print(f"Incremento de y Δy: {delta_y}")
print(f"Incremento de z Δz: {delta_z}")
print(f"Distancia entre los puntos d: {distance}")
# El mismo cálculo se puede escribir en una línea con math.dist (Python 3.8 o posterior)
print(f"Comprobación con math.dist: {math.dist((x1, y1, z1), (x2, y2, z2))}")
Funciona solo con la biblioteca estándar. math.sqrt es la raíz cuadrada y «**2» es elevar al cuadrado. La última línea, math.dist, es una función que halla la distancia a partir de las coordenadas de dos puntos en un solo paso, así que también puedes comprobar que las respuestas coinciden. Cambia las coordenadas del principio y ejecútalo.
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Distancia \(d\) entre dos puntos del espacio 3D (la fórmula de la distancia en 3D)
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msub><mi>z</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>z</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
d = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2)
Sqrt[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]
d := sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2);
d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2);
d = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2)
Por qué esta fórmula da la distancia (usando dos veces el teorema de Pitágoras)
Δx² + Δy² + Δz² = d²
\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 = d^2
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>x</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>y</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>z</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
(Delta x)^2 + (Delta y)^2 + (Delta z)^2 = d^2
dx^2 + dy^2 + dz^2 == d^2
dx^2 + dy^2 + dz^2 = d^2;
dx^2 + dy^2 + dz^2 == d^2
Δx^2 + Δy^2 + Δz^2 = d^2
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo matemático. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni a ojo). Para los dos puntos (1 ; 1 ; 1) y (2 ; 3 ; 3) del espacio 3D (espacio de coordenadas), halla lo siguiente: 1. La distancia d entre los dos puntos (usa la fórmula de la distancia en 3D d = √((x2−x1)² + (y2−y1)² + (z2−z1)²)) 2. El incremento de x Δx, el incremento de y Δy y el incremento de z Δz Muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.
Cómo usar
-
1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
Las ventajas de DataChef
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Sin conocimientos técnicos: fácil e intuitivo
Sin conocimientos técnicos: fácil e intuitivo
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Conexión cifrada y segura (SSL)
Los archivos se borran automáticamente tras la descarga
Los archivos se borran automáticamente tras la descarga
Alta velocidad
Carga y conversión rápidas, sin esperas
Sin marcas de agua
Sin marca de agua
Sin necesidad de atribución
Sin necesidad de atribución
Uso comercial permitido
Uso comercial gratuito
Sin necesidad de pedir permiso
Sin necesidad de pedir permiso
Funciones relacionadas
Calculadora de distancia entre dos puntos (fórmula de la distancia, pendiente y ecuación de la recta)
Halla la distancia entre dos puntos del plano (2D), junto con la pendiente y la ecuación de la recta
Calculadora del teorema de Pitágoras (hipotenusa y catetos de un triángulo rectángulo)
Halla el tercer lado, los ángulos y el área de un triángulo rectángulo a partir de dos lados. Es la base de la fórmula de la distancia en 3D
Calculadora del volumen de un prisma rectangular (largo × ancho × alto)
Halla el volumen de una caja rectangular a partir de sus tres aristas. La distancia en el espacio es el mismo cálculo que la longitud de la diagonal de la caja
