Optimización de corte de tableros (plano de corte y número de tableros)

Introduce las medidas del tablero, el ancho de corte, la dirección de la veta y el ancho, el alto y la cantidad de las piezas que quieres cortar (hasta 8 tipos de pieza; se ignoran las líneas sin ancho ni alto). El grosor y el precio de un tablero pueden quedar vacíos.

Unidades

Medidas del tablero (ancho × alto, mm)

× mm

Ancho de corte (grosor de la hoja, mm)

Grosor (mm, opcional)

Dirección de la veta (giro de las piezas) Piezas que quieres cortar (ancho, alto, cantidad)

Línea Nombre (opcional) Ancho (mm) Alto (mm) Cant.

Precio de un tablero (€, opcional)

Introduce todas las longitudes en milímetros (mm). Un ancho de corte vacío vale 3 mm y una cantidad vacía vale 1. Las piezas sin nombre se llaman «Pieza A» a «Pieza H».

Resultado y figura

Introduce a la izquierda las medidas del tablero y el ancho, el alto y la cantidad de las piezas que quieres cortar, y pulsa «Calcular». Aquí aparecen el resultado y un dibujo del plano de corte.

Índice

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Qué puedes hacer en esta página
¿Para qué sirve este cálculo?
Cómo usar
Fórmulas y figuras
Símbolos y términos
- Símbolos
- Términos
Qué conviene saber de antemano
Cómo calcularlo con Excel
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Cómo calcularlo con Python
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Las ventajas de DataChef
Funciones relacionadas
Todas las calculadoras de NumberChef

Qué puedes hacer en esta página

Introduce las medidas del tablero (contrachapado o DM de 2440 × 1220 mm, 2500 × 1220 mm, 2800 × 2070 mm… en la lista, o a mano) y el ancho, el alto y la cantidad de las piezas que quieres cortar (hasta 8 tipos): ves enseguida cuántos tableros comprar
El cálculo tiene en cuenta el ancho de corte (el grosor de la hoja, 3 mm por defecto) y la dirección de la veta (si se pueden girar las piezas 90°). Para un solo tipo de pieza, cuenta una cuadrícula «a lo ancho × a lo alto» (comparando también la orientación girada y las piezas giradas en la banda que sobra); para varios tipos, las agrupa con el método por bandas, llenando bandas de la pieza más alta a la más baja
Obtienes un plano de corte en colores para cada tablero, que muestra dónde va cada pieza, y una tabla como «Tablero 1: Tapa×2+Lateral×2, retal 0,62 m²». También indica cuántos tableros se ahorran agrupando las piezas en lugar de cortar cada tipo en sus propios tableros
Muestra la superficie de los retales, el aprovechamiento (superficie total de las piezas ÷ superficie total de los tableros) y el número mínimo teórico de tableros según la superficie (la cota inferior), e indica si el plano la alcanza. Indica el precio de un tablero (opcional) para obtener el coste estimado
También encontrarás una explicación sencilla de las fórmulas y las fórmulas para copiar en Excel, Google Sheets y Python

El plano sale de heurísticas de pasos fijos («alinear un solo tipo de pieza a lo ancho y a lo alto» y «ordenar las piezas por altura y colocarlas en bandas», el método por bandas): no siempre da el menor número posible de tableros (no se garantiza la mejor respuesta). Se supone que cada corte va de un borde del tablero al otro (un corte de guillotina), lo que se corresponde con el servicio de corte de las tiendas de bricolaje (solo cortes rectos; algunas tiendas limitan el número de cortes por tablero). Los programas profesionales de optimización buscan combinaciones más complejas, pero este cálculo basta para comprar y cortar en bricolaje. Para un corte solo a lo largo, como listones, tablas o tubos, usa la «Calculadora de corte de madera».

¿Para qué sirve este cálculo?

Comprar el contrachapado para una estantería, una caja o un escritorio hechos en casa

Por ejemplo, para una estantería con 2 tapas de 1200 × 600 mm, 4 laterales de 900 × 550 mm y 3 baldas de 800 × 450 mm en contrachapado de 2500 × 1220 mm, comprar tableros para cada tipo de pieza requiere 3 tableros, pero agruparlas en bandas por altura solo requiere 2 (tablero 1: tapas×2 + laterales×2; tablero 2: laterales×2 + baldas×3).
Los tableros son voluminosos y difíciles de cargar en el coche, y los restos ocupan sitio: fijar el número de tableros y el plano antes de ir a la tienda evita el desperdicio. Calcula con «Alinear» un contrachapado decorativo cuya veta debe ir alineada, y con «Indiferente» un contrachapado de construcción o un tablero para pintar, para ahorrar tableros.

Dar las indicaciones al servicio de corte de la tienda de bricolaje

El servicio de corte de las tiendas de bricolaje (sierra de paneles) solo corta «de un borde a otro, en línea recta»; el corte suele cobrarse por corte, y algunas tiendas limitan el número de cortes por tablero. El plano de esta página respeta esa forma de cortar (corte de guillotina): siguiendo el dibujo, «corta primero recto a todo lo largo a 600 mm de arriba, y luego vuelve a cortar el trozo de arriba a 1200 mm de la izquierda…», no te perderás en el mostrador (el ancho de corte es la parte que quita la hoja: las medidas de corte son las medidas de las piezas).
Contar los cortes permite estimar el precio del corte y comprobar que se está dentro del límite de la tienda. Ajusta el ancho de corte al grosor de la hoja de la sierra de paneles de la tienda (suele rondar los 3 mm; pregunta allí). Algunas tiendas rechazan las bandas muy estrechas (de unos pocos centímetros) o los cortes en diagonal o que se detienen a mitad: infórmate antes si tienes muchas piezas finas.

Ajustar las medidas desde el diseño para sacar más piezas

Unas piezas de 625 × 610 mm (un cuarto de un tablero de 2500 × 1220 mm) parecen dar 8 piezas sin ancho de corte, pero con 3 mm solo se sacan \(\lfloor 2503 \div 628 \rfloor = 3\) a lo ancho y \(\lfloor 1223 \div 613 \rfloor = 1\) a lo alto, es decir, 3 piezas (4 si se giran). Pasando a 622 × 608 mm, se sacan 4 a lo ancho × 2 a lo alto = 8.
Modificar un poco las medidas desde el diseño puede cambiar mucho el número de tableros. Prueba en esta calculadora, antes de comprar, ajustes como reducir unos milímetros el fondo de una balda o cortar una tapa en dos: ahorrarás material.

Preparar los suministros de un taller de carpintería, de mobiliario o de rótulos (optimización de corte)

En los talleres de carpintería y mobiliario, los fabricantes de rótulos (paneles composite de aluminio, metacrilato) o la chapistería, el material pesa mucho en el coste: allí se sigue a diario el plano de corte (la optimización o «nesting») y el aprovechamiento. El aprovechamiento de esta página, superficie total de las piezas dividida entre superficie total de los tableros, sigue la misma definición que en la empresa.
En un taller se colocan cientos de piezas distintas con programas especializados de optimización de corte. El método por bandas es una heurística de manual para colocar rectángulos, y una de las bases de esos programas.

Metacrilato, vidrio, placas de yeso laminado, paneles decorativos y otros materiales en planchas

Todo lo que consiste en «cortar rectángulos de una plancha de formato estándar» se calcula con las mismas fórmulas que el contrachapado: planchas de metacrilato o de PVC, placas de yeso laminado (a menudo de 2500 × 1200 mm), paneles decorativos, OSB (2440 × 1220 mm), etc. Para un material que se raya y luego se rompe, como el vidrio, pon el ancho de corte en 0 (igual con el azulejo cortado con cortadora manual; con una sierra de agua, cuenta el grosor del disco), y elige «Indiferente» para un material sin veta para ahorrar planchas.
El vidrio y el metacrilato fino se rompen con facilidad, y los paneles con dibujo imponen un sentido: ajusta el ancho de corte y el giro según el material.

Fórmulas y figuras

Piezas por tablero para un solo tipo de pieza

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(c\) \(=\) \(\lfloor\) \((\) \(W\) \(+\) \(k\) \()\) \(\div\) \((\) \(w\) \(+\) \(k\) \()\) \(\rfloor\)

\(r\) \(=\) \(\lfloor\) \((\) \(H\) \(+\) \(k\) \()\) \(\div\) \((\) \(h\) \(+\) \(k\) \()\) \(\rfloor\)

\(m\) \(=\) \(c\) \(\times\) \(r\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

④ \(c\): número a lo ancho \(=\) \(\lfloor\) \((\) ① \(W\): ancho del tablero \(+\) ② \(k\): ancho de corte \()\) \(\div\) \((\) ③ \(w\): ancho de la pieza \(+\) \(k\): ancho de corte \()\) \(\rfloor\)

⑦ \(r\): número a lo alto \(=\) \(\lfloor\) \((\) ⑤ \(H\): alto del tablero \(+\) \(k\): ancho de corte \()\) \(\div\) \((\) ⑥ \(h\): alto de la pieza \(+\) \(k\): ancho de corte \()\) \(\rfloor\)

⑧ \(m\): piezas por tablero \(=\) \(c\): número a lo ancho \(\times\) \(r\): número a lo alto

La fórmula en palabras

① Al \(W\): ancho del tablero se le suma un

② \(k\): ancho de corte , y se divide entre el

③ \(w\): ancho de la pieza más el ancho de corte \(k\), y se redondea hacia abajo (el signo \(\lfloor\ \rfloor\) significa «parte entera») para obtener el

④ \(c\): número a lo ancho . De la misma manera, se divide el

⑤ \(H\): alto del tablero más el ancho de corte entre el

⑥ \(h\): alto de la pieza más el ancho de corte, y se redondea hacia abajo para obtener el

⑦ \(r\): número a lo alto . Al multiplicar los dos, se obtienen las

⑧ \(m\): piezas por tablero

Un ejemplo sencillo

Para cortar baldas de 800 × 500 mm de un tablero de contrachapado de 2500 × 1220 mm con un ancho de corte de 3 mm, el número de piezas por tablero es

\(c\): número a lo ancho \(=\) \(\lfloor\) \((\) ancho del tablero (2500 mm) \(+\) ancho de corte (3 mm) \()\) \(\div\) \((\) ancho de la pieza (800 mm) \(+\) ancho de corte (3 mm) \()\) \(\rfloor\)

\(r\): número a lo alto \(=\) \(\lfloor\) \((\) alto del tablero (1220 mm) \(+\) ancho de corte (3 mm) \()\) \(\div\) \((\) alto de la pieza (500 mm) \(+\) ancho de corte (3 mm) \()\) \(\rfloor\)

\(m\): piezas por tablero \(=\) \(c\): número a lo ancho \(\times\) \(r\): número a lo alto

\(c = \lfloor 2503 \div 803 \rfloor = \lfloor 3{,}11 \cdots \rfloor = 3\)

\(r = \lfloor 1223 \div 503 \rfloor = \lfloor 2{,}43 \cdots \rfloor = 2\)

\(m = 3 \times 2 = 6\)

La idea clave

Para alinear \(n\) piezas a lo ancho, los anchos de las \(n\) piezas más los \(n - 1\) anchos de corte entre ellas deben caber en el ancho del tablero (la última pieza puede llegar hasta el borde: ahí no hay corte). Es \(n \times w + (n - 1) \times k \leqslant W\), y sumando \(k\) a los dos lados se obtiene \(n \times (w + k) \leqslant W + k\). Por tanto, «ancho del tablero + ancho de corte» dividido entre «ancho de la pieza + ancho de corte», con redondeo hacia abajo, da el número a lo ancho. El alto se trata igual: el corte en dos dimensiones es una multiplicación «número a lo ancho × número a lo alto». Esta fórmula usa el borde de fábrica del tablero como borde de las piezas; si los bordes están dañados o no están a escuadra y los recortas, introduce las medidas del tablero menos la tira que quitas. Olvidar el ancho de corte puede falsear el número. Por ejemplo, unas piezas de 625 × 610 mm (un cuarto de un tablero de 2500 × 1220 mm) parecen dar 4 a lo ancho × 2 a lo alto = 8 sin ancho de corte, pero con 3 mm solo se obtienen \(\lfloor 2503 \div 628 \rfloor = 3\) a lo ancho y \(\lfloor 1223 \div 613 \rfloor = 1\) a lo alto, es decir, 3 piezas (4 si se giran 90°). Con piezas de 622 × 608 mm, se vuelve a 4 × 2 = 8. Si la dirección de la veta da igual, esta calculadora repite el mismo cálculo con la pieza girada 90° (ancho y alto intercambiados) y se queda con el número mayor. También prueba a colocar piezas giradas en la banda que sobra a la derecha o abajo de la cuadrícula (por ejemplo 3 a lo ancho × 3 a lo alto = 9, más 1 pieza girada en el ancho que sobra a la derecha, es decir, 10). Este cálculo sencillo vale para un solo tipo de pieza; varios tipos de pieza se agrupan con el método por bandas de más abajo.

Tableros si cada pieza se compra por separado

Notación matemática (la notación habitual)

\(B_i\) \(=\) \(\lceil\) \(q_i\) \(\div\) \(m_i\) \(\rceil\)

\(B_{\text{sep}}\) \(=\) \(B_1 + B_2 + \cdots\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ \(B_i\): tableros necesarios solo para la pieza \(i\) \(=\) \(\lceil\) ① \(q_i\): cantidad de la pieza \(i\) \(\div\) ② \(m_i\): piezas por tablero \(\rceil\)

⑤ \(B_{\text{sep}}\): total de tableros comprando por separado \(=\) ④ suma de los tableros de cada pieza \(B_1,\ B_2,\ \ldots\)

La fórmula en palabras

① Se divide la \(q_i\): cantidad de la pieza \(i\) entre las

② \(m_i\): piezas por tablero y se redondea al entero superior (el signo \(\lceil\ \rceil\) significa «redondeo hacia arriba») para obtener los

③ \(B_i\): tableros necesarios solo para la pieza \(i\) . La

④ suma de los tableros de cada pieza \(B_1,\ B_2,\ \ldots\) da el

⑤ \(B_{\text{sep}}\): total de tableros comprando por separado

Un ejemplo sencillo

En tableros de 2500 × 1220 mm (ancho de corte 3 mm, con giro permitido), cortar 2 tapas de 1200 × 600 mm, 4 laterales de 900 × 550 mm y 3 baldas de 800 × 450 mm, cada tipo en sus propios tableros, requiere

\(\text{Tapa}: \lceil 2 \div 4 \rceil = 1,\quad \text{Lateral}: \lceil 4 \div 5 \rceil = 1,\quad \text{Balda}: \lceil 3 \div 6 \rceil = 1\)

\(B_{\text{sep}} = 1 + 1 + 1 = 3\)

La idea clave

Este cálculo sencillo compra tableros aparte para cada tipo de pieza: «tableros para las tapas», «tableros para los laterales», etc. Un tablero da 4 tapas (2 a lo ancho × 2 a lo alto), así que 2 tapas necesitan 1 tablero (sobraría para 2 más). Un tablero da 5 laterales (2 a lo ancho × 2 a lo alto, más 1 girado en la banda de 694 mm que sobra a la derecha), así que 4 laterales necesitan 1 tablero. Un tablero da 6 baldas (3 a lo ancho × 2 a lo alto), así que 3 baldas necesitan 1 tablero (sobraría para 3 más). En total, 3 tableros. Esta forma de hacerlo es sencilla de pensar y de cortar, pero los tableros de las tapas y de las baldas conservan grandes retales. El método por bandas de más abajo rellena esos restos con otras piezas para usar menos tableros.

Plano por el método por bandas (condición para caber en una banda y para apilar las bandas)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(w_1 + w_2 + \cdots + w_n\) \(+\) \((n - 1)\) \(\times\) \(k\) \(\leqslant\) \(W\)

\(h_1 + h_2 + \cdots + h_s\) \(+\) \((s - 1)\) \(\times\) \(k\) \(\leqslant\) \(H\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

① suma de los anchos \(w_1,\ w_2,\ \ldots,\ w_n\) de las piezas de una banda \(+\) ② número de piezas de la banda \(n\) menos 1 \(\times\) ③ ancho de corte \(k\) \(\leqslant\) ④ ancho del tablero \(W\)

⑤ suma de las alturas de las bandas (alto de la pieza más alta de cada banda) \(h_1,\ h_2,\ \ldots,\ h_s\) \(+\) ⑥ número de bandas \(s\) menos 1 \(\times\) ancho de corte \(k\) \(\leqslant\) ⑦ alto del tablero \(H\)

La fórmula en palabras

① Si la suma de los anchos \(w_1,\ w_2,\ \ldots,\ w_n\) de las piezas de una banda más el producto del

② número de piezas de la banda \(n\) menos 1 por el

③ ancho de corte \(k\) (el total de los cortes entre las piezas) es como mucho igual al

④ ancho del tablero \(W\) , las piezas caben en la banda. De la misma manera, si la

⑤ suma de las alturas de las bandas (alto de la pieza más alta de cada banda) \(h_1,\ h_2,\ \ldots,\ h_s\) más el producto del

⑥ número de bandas \(s\) menos 1 por el ancho de corte \(k\) es como mucho igual al

⑦ alto del tablero \(H\) , las bandas se pueden apilar en ese tablero

Un ejemplo sencillo

Con el ejemplo anterior (2 tapas de 1200 × 600 mm, 4 laterales de 900 × 550 mm y 3 baldas de 800 × 450 mm, ancho de corte 3 mm) colocadas por el método por bandas en tableros de 2500 × 1220 mm, el primer tablero recibe dos bandas, «2 tapas» y «2 laterales»

\(\text{1.ª banda (alto 600)}: 1200 + 1200 + 1 \times 3 = 2403 \leqslant 2500\)

\(\text{2.ª banda (alto 550)}: 900 + 900 + 1 \times 3 = 1803 \leqslant 2500\)

\(\text{Alto total de las bandas}: 600 + 550 + 1 \times 3 = 1153 \leqslant 1220\)

La idea clave

El método por bandas (FFDH, First Fit Decreasing Height) decide el plano siguiendo estos pasos. 1) Ordenar todas las piezas de la más alta a la más baja (a igual altura, de la más ancha a la más estrecha, y luego por el orden de las líneas introducidas). 2) Tomar las piezas por orden y colocar cada una en la primera banda existente «donde el ancho restante basta y cuya altura no es menor que la de la pieza». Si la dirección de la veta da igual, sirve también una banda donde la pieza cabe girada. 3) Si no hay ninguna banda posible, abrir una banda nueva en el primer tablero existente «cuyo alto restante basta para la pieza». Si tampoco lo hay, añadir un tablero nuevo. La altura de una banda es la de la primera pieza colocada (la más alta de la banda). Dentro de una banda se avanza a la derecha «ancho + ancho de corte», y las bandas bajan «alto + ancho de corte»: de ahí las dos desigualdades de arriba. Se corta en bandas para que cada corte vaya recto de un borde del tablero al otro (corte de guillotina), como hace el servicio de corte de una tienda de bricolaje (sierra de paneles). Esta calculadora prueba todas las combinaciones de la orientación de las piezas (si la veta da igual: «lado largo a lo ancho», «lado largo a lo alto», «como se introdujo») y de la orientación de las bandas (bandas horizontales o verticales), y se queda con la que necesita menos tableros; también la compara con los métodos «llenar primero tableros con un solo tipo de pieza y luego colocar el resto en bandas» y «cortar cada pieza por separado», y muestra la mejor. Aun así, el corte en dos dimensiones ofrece un número enorme de combinaciones, y nada garantiza que sea el mínimo. Los programas profesionales de optimización de corte buscan combinaciones más complejas, y cortes que no atraviesan todo el tablero; en bricolaje, es más práctico tomar este resultado como referencia y reutilizar los retales para objetos pequeños.

Superficie de retales y aprovechamiento

Notación matemática (la notación habitual)

\(A_{\text{ret}}\) \(=\) \(B\) \(\times\) \(W\) \(\times\) \(H\) \(-\) \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\)

\(Y\) \(=\) \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\) \(\div\) \((\) \(B\) \(\times\) \(W\) \(\times\) \(H\) \()\) \(\times\) \(100\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

⑤ superficie de retales \(A_{\text{ret}}\) \(=\) ① número de tableros \(B\) \(\times\) ② ancho del tablero \(W\) \(\times\) ③ alto del tablero \(H\) \(-\) ④ suma de las superficies de todas las piezas \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\)

⑥ aprovechamiento \(Y\) (%) \(=\) suma de las superficies de todas las piezas \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\) \(\div\) \((\) número de tableros \(B\) \(\times\) ancho del tablero \(W\) \(\times\) alto del tablero \(H\) \()\) \(\times\) \(100\)

La fórmula en palabras

① Se multiplica el número de tableros \(B\) por el

② ancho del tablero \(W\) y el

③ alto del tablero \(H\) (superficie total de los tableros comprados), y se le resta la

④ suma de las superficies de todas las piezas \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\) para obtener la

⑤ superficie de retales \(A_{\text{ret}}\) . Al dividir la superficie de las piezas entre la superficie total de los tableros y multiplicar por 100, se obtiene el

⑥ aprovechamiento \(Y\) (%)

Un ejemplo sencillo

Para el ejemplo anterior (2 tapas, 4 laterales y 3 baldas colocadas en 2 tableros de 2500 × 1220 mm), la superficie de retales y el aprovechamiento valen

\(\sum q\,w\,h = 2 \times 1200 \times 600 + 4 \times 900 \times 550 + 3 \times 800 \times 450\)

\(= 1{.}440{.}000 + 1{.}980{.}000 + 1{.}080{.}000 = 4{.}500{.}000\ \text{mm}^2\)

\(A_{\text{ret}} = 2 \times 2500 \times 1220 - 4{.}500{.}000 = 1{.}600{.}000\ \text{mm}^2 = 1{,}6\ \text{m}^2\)

\(Y = 4{.}500{.}000 \div 6{.}100{.}000 \times 100 \approx 73{,}8\ \%\)

La idea clave

La superficie de retales es la diferencia entre «la superficie de los tableros comprados» y «la superficie que usan las piezas»: incluye, por tanto, lo que se convierte en serrín con el ancho de corte (con un corte de 3 mm, cortar 1 m de largo hace perder 3000 mm², es decir, 0,003 m², y cuenta más cuantas más piezas haya). Como 1 m² = 1.000.000 mm², se divide entre 1.000.000 un valor en mm² para pasarlo a m². El aprovechamiento es la parte del material realmente usada para las piezas: cuanto más cerca del 100 %, menos pérdida. Depende mucho de que las medidas de las piezas encajen con las del tablero (alto si las piezas dividen el tablero en partes iguales, bajo si las medidas son raras o los tipos son muchos); en bricolaje, es normal tener algo de retal. Los retales suelen servir para baldas pequeñas o refuerzos: el aprovechamiento por sí solo no lo dice todo.

Número mínimo teórico según la superficie (cota inferior)

Notación matemática (la notación habitual)

\(B_{\min}\) \(=\) \(\lceil\) \(\sum_i q_i\,(w_i + k)(h_i + k)\) \(\div\) \((W + k)(H + k)\) \(\rceil\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ número mínimo teórico \(B_{\min}\) \(=\) \(\lceil\) ① suma para todas las piezas de (ancho + ancho de corte) × (alto + ancho de corte) \(\sum_i q_i\,(w_i + k)(h_i + k)\) \(\div\) ② (ancho del tablero + ancho de corte) × (alto del tablero + ancho de corte) \((W + k)(H + k)\) \(\rceil\)

La fórmula en palabras

① Se divide la suma para todas las piezas de (ancho + ancho de corte) × (alto + ancho de corte) \(\sum_i q_i\,(w_i + k)(h_i + k)\) entre

② (ancho del tablero + ancho de corte) × (alto del tablero + ancho de corte) \((W + k)(H + k)\) y se redondea al entero superior para obtener el

③ número mínimo teórico \(B_{\min}\)

Un ejemplo sencillo

Para el ejemplo anterior (2 tapas de 1200 × 600 mm, 4 laterales de 900 × 550 mm y 3 baldas de 800 × 450 mm, tableros de 2500 × 1220 mm, ancho de corte 3 mm), el número mínimo teórico es

\(2 \times 1203 \times 603 + 4 \times 903 \times 553 + 3 \times 803 \times 453\)

\(= 1{.}450{.}818 + 1{.}997{.}436 + 1{.}091{.}277 = 4{.}539{.}531\)

\((2500 + 3) \times (1220 + 3) = 2503 \times 1223 = 3{.}061{.}169\)

\(4{.}539{.}531 \div 3{.}061{.}169 \approx 1{,}48,\quad \lceil 1{,}48 \rceil = 2\)

La idea clave

Por bien que se coloquen, las piezas no caben en tableros de superficie total inferior a la suya. Al contar el ancho de corte, se considera que «una pieza ocupa \((w + k) \times (h + k)\) y un tablero ofrece \((W + k) \times (H + k)\)»: el cociente redondeado hacia arriba es la cota inferior fijada solo por la superficie (no se puede hacer con menos). En el ejemplo, los 2 tableros del método por bandas igualan la cota inferior de 2: es, por tanto, un número óptimo, imposible de reducir. Pero en el corte en dos dimensiones, es frecuente que la superficie baste y que la forma no lo permita. Por ejemplo, con una tapa de 2400 × 600 mm y 2 laterales de caja de 650 × 650 mm en tableros de 2500 × 1220 mm, la cota inferior es de 1 tablero, pero el alto que queda bajo la tapa es \(1220 - 600 - 3 = 617\) mm y los laterales de 650 mm no caben: hacen falta 2 tableros. La diferencia entre la cota y el número real es más frecuente que en el corte de madera en una dimensión: cuando el resultado es «Aproximado», cambiar la combinación no permite necesariamente ahorrar un tablero.

Tableros ahorrados y coste estimado

Notación matemática (la notación habitual)

\(\Delta\) \(=\) \(B_{\text{sep}}\) \(-\) \(B\)

\(T\) \(=\) \(u\) \(\times\) \(B\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ tableros ahorrados \(\Delta\) \(=\) ① tableros comprando por separado \(B_{\text{sep}}\) \(-\) ② tableros al agrupar \(B\)

⑤ coste estimado \(T\) \(=\) ④ precio de un tablero \(u\) \(\times\) tableros al agrupar \(B\)

La fórmula en palabras

① A los tableros comprando por separado \(B_{\text{sep}}\) se les resta los

② tableros al agrupar \(B\) para obtener los

③ tableros ahorrados \(\Delta\) . El

④ precio de un tablero \(u\) multiplicado por el número de tableros al agrupar \(B\) da el

⑤ coste estimado \(T\)

Un ejemplo sencillo

En el ejemplo anterior, con un tablero de contrachapado de 18 mm a 115 € (precio de ejemplo), los tableros ahorrados y el coste son

\(\Delta = 3 - 2 = 1\)

\(T = 115 \times 2 = 230\)

\(115 \times 3 - 230 = 115\)

La idea clave

El coste comprando por separado es \(u \times B_{\text{sep}}\), y el coste agrupando, \(u \times B\): la diferencia es \(u \times \Delta\). Introduce como precio unitario el precio de un tablero. El coste solo cubre los propios tableros, no el corte en tienda (a menudo cobrado por corte), el transporte ni el acabado. Para estimar el precio del corte, cuenta el número de líneas de corte del plano.

Para un solo tipo de pieza, «(ancho del tablero + ancho de corte) ÷ (ancho de la pieza + ancho de corte), con redondeo hacia abajo» × «el mismo cálculo a lo alto» da el número de piezas por tablero. Varios tipos de pieza se agrupan con el método por bandas, que llena bandas de la pieza más alta a la más baja (cada corte atraviesa el tablero de borde a borde: corte de guillotina); si el resultado iguala la cota inferior sacada de la superficie, no se puede hacer mejor. Si no, en el corte en dos dimensiones la forma de las piezas suele impedir alcanzar la cota: el plano de esta calculadora es una referencia que no garantiza la solución óptima.

Símbolos y términos

Símbolos

\(W\)	W	El ancho del tablero (mm), es decir, la longitud horizontal de un tablero comprado. De la palabra inglesa «width» (ancho), en mayúscula para distinguirla del ancho \(w\) de las piezas.
\(H\)	H	El alto del tablero (mm), su longitud vertical. De la palabra inglesa «height» (alto), en mayúscula para distinguirla del alto \(h\) de las piezas. Si la dirección de la veta da igual, intercambiar ancho y alto no cambia el número (con «Alinear», hay que hacerlos coincidir con el sentido de las piezas).
\(w\), \(w_i\)	w, w sub i	El ancho de una pieza (el tablero que quieres cortar, en mm). La \(i\) de \(w_i\) es un número: «el \(i\)-ésimo tipo de pieza» (hay varios tipos, como las tapas, los laterales y las baldas).
\(h\), \(h_i\)	h, h sub i	El alto de una pieza (mm). En la fórmula del método por bandas, \(h_1,\ h_2,\ \ldots\) designan también el alto de cada banda (alto de la banda = alto de la pieza más alta de la banda).
\(k\)	k	El ancho de corte (grosor de la hoja, en mm). Cada corte hace perder ese ancho de madera. De la palabra inglesa «kerf» (ancho de corte).
\(c\)	c	El número de piezas alineadas a lo ancho cuando solo se corta un tipo de pieza. Vale \(\lfloor (W + k) \div (w + k) \rfloor\). De la palabra inglesa «column» (columna).
\(r\)	r	El número de piezas alineadas a lo alto cuando solo se corta un tipo de pieza. Vale \(\lfloor (H + k) \div (h + k) \rfloor\). De la palabra inglesa «row» (fila).
\(m\), \(m_i\)	m, m sub i	El número de piezas que se sacan de un tablero cuando solo se corta un tipo de pieza: \(m = c \times r\).
\(q_i\)	q sub i	La cantidad necesaria de la pieza \(i\). De la palabra inglesa «quantity» (cantidad).
\(B_i\)	B sub i	El número de tableros necesarios solo para la pieza \(i\). Vale \(\lceil q_i \div m_i \rceil\).
\(B_{\text{sep}}\)	B separado	El número total de tableros cuando cada tipo de pieza se corta en sus propios tableros (compra por separado): la suma de los \(B_i\).
\(B\)	B	El número de tableros necesarios agrupando las piezas (plano por el método por bandas, etc.). Es el valor principal de esta página.
\(n\)	n	El número de piezas alineadas en una banda. Hay \(n - 1\) cortes entre ellas, de ahí su papel en la condición para caber en una banda. De «número».
\(s\)	s	El número de bandas apiladas en un tablero. Hay \(s - 1\) cortes entre ellas, de ahí su papel en la condición de apilado. De la palabra inglesa «shelf» (el nombre inglés de las bandas).
\(A_{\text{ret}}\)	A retal	La superficie de los retales (mm², m²): la superficie total de los tableros comprados menos la de las piezas, con el serrín del ancho de corte incluido. \(A\) viene de la palabra inglesa «area» (área).
\(Y\)	Y	El aprovechamiento (%): la superficie total de las piezas dividida entre la de los tableros, multiplicada por 100. De la palabra inglesa «yield» (rendimiento).
\(B_{\min}\)	B mín	El número mínimo teórico según la superficie (la cota inferior). Vale \(\lceil \sum_i q_i (w_i + k)(h_i + k) \div ((W + k)(H + k)) \rceil\); si el número \(B\) al agrupar es igual, el plano es óptimo. «mín» abrevia mínimo.
\(\Delta\)	delta	El número de tableros ahorrados: \(B_{\text{sep}} - B\). La letra griega delta se usa a menudo para anotar una diferencia.
\(u\)	u	El precio de un tablero (€). De la expresión inglesa «unit price» (precio unitario).
\(T\)	T	El coste estimado (€), de la palabra inglesa «total». Solo cubre los tableros, no el corte ni el transporte.
\(\lfloor x \rfloor\)	parte entera	El signo que redondea un número hacia abajo (por ejemplo \(\lfloor 3{,}11 \rfloor = 3\), \(\lfloor 2 \rfloor = 2\)). El número de piezas que se sacan «deja de lado lo que no cabe», de ahí este signo.
\(\lceil x \rceil\)	función techo	El signo que redondea un número hacia arriba (por ejemplo \(\lceil 1{,}48 \rceil = 2\), \(\lceil 2 \rceil = 2\)). El número de tableros que se compran «añade un tablero por lo que falta», de ahí este signo.
\(\sum\)	sigma (sumatorio)	El signo «sumar todo». \(\sum_i q_i w_i h_i\) quiere decir: calcular \(q_i w_i h_i\) (cantidad × ancho × alto) para cada tipo de pieza \(i\) y sumarlo todo. Es la letra griega sigma, que corresponde a la S de «suma».

Términos

tablero	La gran plancha de la que se cortan las piezas. Contrachapado, DM, aglomerado, melamina, metacrilato, chapa… cualquier material que se vende en planchas de formatos estándar. Esta página lo trata como un rectángulo de ancho \(W\) × alto \(H\).
plano de corte	La forma de repartir las piezas en los tableros antes de cortarlas (también se habla de despiece o de optimización de corte). Esta página trata el corte en dos dimensiones (ancho y alto); el corte en una dimensión, solo a lo largo, como listones o tubos, se hace con la «Calculadora de corte de madera».
ancho de corte	El ancho de madera que se pierde en cada corte, igual al grosor de la hoja. Las hojas de sierra circular o de sierra de paneles suelen medir de 1,5 a 3 mm; se cuentan por lo general unos 3 mm para las astillas y la línea del lápiz. Si conoces el grosor de tu hoja (suele estar grabado en ella), introdúcelo. El ancho de corte se suma en cada corte: cuenta más cuanto más pequeñas y numerosas son las piezas.
dirección de la veta	El dibujo de la superficie de la madera, que sigue el sentido de las fibras. En un contrachapado decorativo o en madera maciza, las piezas con la veta desordenada dan un acabado poco natural: entonces no se pueden girar las piezas 90° en el plano de corte. Esta página permite elegir la «Dirección de la veta». Para un contrachapado de construcción o un tablero que se va a pintar, «Indiferente» es lo adecuado.
corte de guillotina	Un corte recto que atraviesa el tablero de un borde al otro; después se vuelven a cortar los trozos de la misma manera. Las sierras de paneles de los servicios de corte de las tiendas solo hacen este tipo de corte, y por eso esta calculadora se limita a los planos que se pueden cortar así (método por bandas). Permitir cortes que se detienen a mitad de camino (cortes en L) a veces permitiría aprovechar más, pero son difíciles incluso con sierra circular.
método por bandas	Un método de colocación que ordena las piezas de la más alta a la más baja y llena el tablero de arriba abajo con «bandas» que lo atraviesan. En inglés FFDH (First Fit Decreasing Height, «en la primera banda que sirva, por altura decreciente»); es una heurística clásica de colocación de rectángulos. Los cortes atraviesan el tablero de borde a borde: se puede entregar el plano tal cual a un servicio de corte. Sencillo y eficaz, no siempre da el menor número posible de tableros.
retal	El material que queda una vez cortadas las piezas, como la banda estrecha del borde del tablero o el trozo que sobra a la derecha de una banda. Cuantos menos retales, menos desperdicio y mayor es el aprovechamiento. Los retales grandes sirven para baldas pequeñas o refuerzos.
aprovechamiento	La parte del material realmente usada para las piezas. En esta página es «superficie total de las piezas ÷ superficie total de los tableros comprados»; se acerca al 100 % cuando disminuyen los retales y el ancho de corte. También se habla de tasa de utilización o de rendimiento del material.
cota inferior	Un valor por debajo del cual no se puede bajar, por ingenioso que seas. El número mínimo teórico de esta página es una cota inferior sacada de la superficie; si el número de tableros del plano es igual, se sabe que el plano es óptimo. Si no, en el corte en dos dimensiones la forma de las piezas suele impedir alcanzarla.
solución óptima	La mejor respuesta entre todas las formas posibles; aquí, el plano que usa menos tableros. Si el número al agrupar iguala la cota inferior, es una solución óptima; si no, esta calculadora no explora todas las combinaciones y no puede confirmarlo.
heurística	Un método que da rápidamente una buena respuesta mediante pasos fijos, sin garantía de alcanzar la solución óptima. En los problemas de combinaciones como el corte de tableros, el número de colocaciones posibles se dispara con el número de piezas y no se puede probar todo: por eso se usan heurísticas, incluso en el ámbito profesional. El método por bandas y el cálculo en cuadrícula de esta página lo son.
contrachapado	Un tablero hecho de finas láminas de madera (chapas) pegadas con la veta cruzada. Se deforma poco y existe en grandes formatos, de ahí su uso habitual en bricolaje para baldas, cajas y soportes. Hay contrachapado de chopo, de okume, de abedul, de construcción, etc.; los grosores habituales son 5, 10, 15, 18 y 22 mm, y los formatos habituales son 2440 × 1220 mm y 2500 × 1220 mm (medidas no verificadas para España).
MDF	El tablero de fibras de densidad media (Medium Density Fiberboard), llamado en España DM o MDF: fibras de madera pegadas bajo presión. Su superficie es lisa y uniforme, ideal para pintar. Los formatos habituales son 2440 × 1220 mm y 2800 × 2070 mm (medidas no verificadas para España).
OSB	El tablero de grandes virutas de madera orientadas y pegadas (Oriented Strand Board). Económico y resistente, se usa sobre todo en construcción (paredes, suelos, cubiertas) y suele venderse en 2440 × 1220 mm (también hay 2500 × 1250 mm, o con canto machihembrado; medidas no verificadas para España).

Qué conviene saber de antemano

Esto es lo que ayuda a usar el cálculo de esta página entendiéndolo de verdad, y no solo pulsando el botón.

División con resto (3.º y 4.º de Primaria, 8-10 años)	Entender que en «2500 entre 800 da 3, resto 100», el cociente dice «cuántas piezas caben» y el resto «lo que sobra»
Aproximaciones y redondeo (4.º y 5.º de Primaria, 9-11 años)	Conocer la diferencia entre redondear hacia abajo, hacia arriba y al más cercano Saber explicar con tus palabras «por qué el número de piezas se redondea hacia abajo y el número de tableros que se compran hacia arriba»
Área del rectángulo (5.º–6.º de Primaria, 10-12 años)	Saber que el área de un rectángulo es ancho × alto, y pasar entre mm² y m² (\(1\,\text{m}^2 = 1{.}000{.}000\,\text{mm}^2\))
Proporciones y porcentajes (6.º de Primaria, 11-12 años)	Saber expresar una proporción en porcentaje (%), como el aprovechamiento «superficie total de las piezas ÷ superficie total de los tableros × 100»
Expresiones algebraicas e inecuaciones (1.º y 2.º de ESO, 12-14 años)	Saber escribir una condición con letras, como «\(n\) piezas caben si \(n \times w + (n-1) \times k \leqslant W\)» Saber que sumar el mismo número a los dos lados de una desigualdad no cambia su sentido (paso a \(n(w + k) \leqslant W + k\))

Cómo calcularlo con Excel

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.

Tabla para las piezas por tablero (un solo tipo de pieza)

Ancho del tablero (mm)	2500
Alto del tablero (mm)	1220
Ancho de la pieza (mm)	800
Alto de la pieza (mm)	500
Ancho de corte (mm)	3
Número a lo ancho	=ENTERO((B1+B5)/(B3+B5))
Número a lo alto	=ENTERO((B2+B5)/(B4+B5))
Piezas por tablero	=B6*B7

Tabla para los tableros comprando por separado

Cantidad de piezas	8
Piezas por tablero	6
Tableros necesarios	=REDONDEAR.MAS(B1/B2;0)

Tabla para la superficie de retales y el aprovechamiento

Número de tableros	2
Ancho del tablero (mm)	2500
Alto del tablero (mm)	1220
Superficie total de las piezas (mm²)	3200000
Superficie de retales (mm²)	=B1B2B3-B4
Superficie de retales (m²)	=B5/1000000
Aprovechamiento (%)	=B4/(B1B2B3)*100

Tabla para el número mínimo teórico según la superficie

Suma para todas las piezas de (ancho + ancho de corte) × (alto + ancho de corte) (mm²)	4539531
(ancho del tablero + ancho de corte) × (alto del tablero + ancho de corte) (mm²)	3061169
Número mínimo teórico	=REDONDEAR.MAS(B1/B2;0)

Tabla para los tableros ahorrados y el coste estimado

Tableros comprando por separado	3
Tableros al agrupar	2
Precio de un tablero (€)	115
Tableros ahorrados	=B1-B2
Coste estimado (€)	=B3*B2

Al pegarla, las filas superiores de la columna B son tus datos y las filas inferiores se calculan automáticamente.
«ENTERO(valor)» redondea hacia abajo (el ⌊ ⌋ de las fórmulas) y «REDONDEAR.MAS(valor;0)» redondea hacia arriba (el ⌈ ⌉ de las fórmulas).
B8 de la primera tabla vale 6 (3 a lo ancho × 2 a lo alto), B3 de la segunda tabla 2 tableros, B6 de la tercera tabla 2,9 m² y B7 aproximadamente 52,5 % (8 piezas de 800 × 500 mm en 2 tableros), B3 de la cuarta tabla 2 tableros, y la quinta tabla da 1 tablero ahorrado para un coste de 230 €.
El plano por el método por bandas exige ordenar las piezas por altura y colocarlas a mano de banda en banda: en una hoja de cálculo, usa las tablas más bien para comprobar el número de piezas, los retales y la cota inferior, y haz el plano en esta página o con el código Python de más abajo.

Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.

Tabla para las piezas por tablero (un solo tipo de pieza)

Ancho del tablero (mm)	2500
Alto del tablero (mm)	1220
Ancho de la pieza (mm)	800
Alto de la pieza (mm)	500
Ancho de corte (mm)	3
Número a lo ancho	=ENTERO((B1+B5)/(B3+B5))
Número a lo alto	=ENTERO((B2+B5)/(B4+B5))
Piezas por tablero	=B6*B7

Tabla para los tableros comprando por separado

Cantidad de piezas	8
Piezas por tablero	6
Tableros necesarios	=REDONDEAR.MAS(B1/B2;0)

Tabla para la superficie de retales y el aprovechamiento

Número de tableros	2
Ancho del tablero (mm)	2500
Alto del tablero (mm)	1220
Superficie total de las piezas (mm²)	3200000
Superficie de retales (mm²)	=B1B2B3-B4
Superficie de retales (m²)	=B5/1000000
Aprovechamiento (%)	=B4/(B1B2B3)*100

Tabla para el número mínimo teórico según la superficie

Suma para todas las piezas de (ancho + ancho de corte) × (alto + ancho de corte) (mm²)	4539531
(ancho del tablero + ancho de corte) × (alto del tablero + ancho de corte) (mm²)	3061169
Número mínimo teórico	=REDONDEAR.MAS(B1/B2;0)

Tabla para los tableros ahorrados y el coste estimado

Tableros comprando por separado	3
Tableros al agrupar	2
Precio de un tablero (€)	115
Tableros ahorrados	=B1-B2
Coste estimado (€)	=B3*B2

Las mismas fórmulas que en Excel (ENTERO y REDONDEAR.MAS tienen el mismo nombre) funcionan tal cual en Google Sheets en español. Copia toda la tabla, pégala en la celda A1 y sustituye los números de la columna B por los tuyos.

Cómo calcularlo con Python

import math

sheet_w, sheet_h = 2500, 1220  # ancho y alto del tablero (mm)
kerf = 3                       # ancho de corte (grosor de la hoja, mm)
rotate = True                  # True si la veta da igual (las piezas se pueden girar 90°)
unit_price = 115               # precio de un tablero (€)
# piezas que cortar: (nombre, ancho mm, alto mm, cantidad)
parts = [("Tapa", 1200, 600, 2), ("Lateral", 900, 550, 4), ("Balda", 800, 450, 3)]

# tableros si cada pieza se compra por separado (cuadrícula a lo ancho × a lo alto; si se permite girar, se prueba también el otro sentido)
def per_sheet(w, h):
    return ((sheet_w + kerf) // (w + kerf)) * ((sheet_h + kerf) // (h + kerf))   # redondeo hacia abajo (el ⌊ ⌋ de las fórmulas)
sheets_separate = 0
for name, w, h, qty in parts:
    m = max(per_sheet(w, h), per_sheet(h, w) if rotate else 0)
    sheets_separate += math.ceil(qty / m)   # redondeo hacia arriba (el ⌈ ⌉ de las fórmulas)

# piezas agrupadas: método por bandas (por altura decreciente, en la primera banda que sirva; si se permite girar, lado largo a lo ancho)
pieces = []
for name, w, h, qty in parts:
    pw, ph = (max(w, h), min(w, h)) if rotate else (w, h)
    pieces += [(name, pw, ph)] * qty
pieces.sort(key=lambda p: (-p[2], -p[1]))
sheets = []   # para cada tablero {"y": posición de la siguiente banda, "shelves": [{"y", "h", "x", "parts"}]}
for name, pw, ph in pieces:
    for sheet in sheets:
        shelf = next((s for s in sheet["shelves"] if ph <= s["h"] and pw <= sheet_w - s["x"]), None)
        if shelf is None and ph <= sheet_h - sheet["y"]:
            shelf = {"y": sheet["y"], "h": ph, "x": 0, "parts": []}
            sheet["shelves"].append(shelf)
            sheet["y"] += ph + kerf
        if shelf is not None:
            shelf["parts"].append((name, shelf["x"], shelf["y"], pw, ph))
            shelf["x"] += pw + kerf
            break
    else:
        sheets.append({"y": ph + kerf, "shelves": [{"y": 0, "h": ph, "x": pw + kerf, "parts": [(name, 0, 0, pw, ph)]}]})

# retales, aprovechamiento y cota inferior según la superficie
parts_area = sum(qty * w * h for name, w, h, qty in parts)
total_area = len(sheets) * sheet_w * sheet_h
lower_bound = math.ceil(sum(qty * (w + kerf) * (h + kerf) for name, w, h, qty in parts) / ((sheet_w + kerf) * (sheet_h + kerf)))

print(f"Compra por separado de cada pieza: {sheets_separate} tableros")
print(f"Piezas agrupadas (método por bandas): {len(sheets)} tableros (cota inferior según la superficie: {lower_bound})")
for i, sheet in enumerate(sheets, 1):
    for shelf in sheet["shelves"]:
        print(f"  Tablero {i} banda (y={shelf['y']}): " + ", ".join(f"{n}@x={x} {pw}x{ph}" for n, x, y, pw, ph in shelf["parts"]))
print(f"Superficie de retales: {(total_area - parts_area) / 1e6:.3f} m²  Aprovechamiento: {parts_area / total_area * 100:.1f} %")
print(f"Coste estimado: {unit_price * len(sheets)} €")

Funciona solo con la biblioteca estándar. «//» es la división con redondeo hacia abajo (el ⌊ ⌋ de las fórmulas) y math.ceil() el redondeo hacia arriba (el ⌈ ⌉). Este código es la forma básica del método por bandas (lado largo a lo ancho, solo bandas horizontales); si la calculadora de esta página encuentra menos tableros con otras combinaciones de orientación de las piezas y de las bandas, o colocando piezas giradas en las bandas que sobran, los números pueden diferir (son idénticos si igualan la cota inferior). El else del bucle for se ejecuta cuando el bucle termina sin break (la pieza no ha encontrado sitio en ningún tablero) y añade un tablero nuevo. Sustituye por tus valores las medidas del tablero, el ancho de corte y la lista de piezas de arriba, y ejecuta el código.

La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)

Piezas por tablero para un solo tipo de pieza

c = ⌊(W + k) ÷ (w + k)⌋,  r = ⌊(H + k) ÷ (h + k)⌋,  m = c × r

c = \left\lfloor \frac{W + k}{w + k} \right\rfloor,\quad r = \left\lfloor \frac{H + k}{h + k} \right\rfloor,\quad m = c \times r

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>c</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x230A;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>W</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
      <mrow><mi>w</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#x230B;</mo>
    <mo>,</mo>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x230A;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>H</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
      <mrow><mi>h</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#x230B;</mo>
    <mo>,</mo>
    <mi>m</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>c</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>r</mi>
  </mrow>
</math>

c = |__ (W + k) / (w + k) __|,  r = |__ (H + k) / (h + k) __|,  m = c * r

c = Floor[(W + k)/(w + k)]; r = Floor[(H + k)/(h + k)]; m = c*r

c := floor((W + k)/(w + k));  r := floor((H + k)/(h + k));  m := c*r;

c = floor((W + k)/(w + k)); r = floor((H + k)/(h + k)); m = c*r;

c = ⌊(W + k)/(w + k)⌋, r = ⌊(H + k)/(h + k)⌋, m = c × r

Tableros si cada pieza se compra por separado

Bᵢ = ⌈qᵢ ÷ mᵢ⌉,  Bsep = B₁ + B₂ + …

B_i = \left\lceil \frac{q_i}{m_i} \right\rceil,\quad B_{\text{sep}} = \sum_i B_i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>B</mi><mi>i</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2308;</mo>
    <mfrac><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>m</mi><mi>i</mi></msub></mfrac>
    <mo>&#x2309;</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>B</mi><mtext>sep</mtext></msub>
    <mo>=</mo>
    <munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder>
    <msub><mi>B</mi><mi>i</mi></msub>
  </mrow>
</math>

B_i = |~ q_i / m_i ~|,  B_"sep" = sum_i B_i

Total[Ceiling[q/m]]

B := add(ceil(q[i]/m[i]), i = 1 .. n);

B = sum(ceil(q ./ m));

B_i = ⌈q_i/m_i⌉, B_sep = ∑_i B_i

Plano por el método por bandas (condición para caber en una banda y para apilar las bandas)

w₁ + w₂ + … + wₙ + (n − 1)k ⩽ W,  h₁ + h₂ + … + hₛ + (s − 1)k ⩽ H

\sum_{j=1}^{n} w_j + (n - 1)k \leqslant W,\quad \sum_{t=1}^{s} h_t + (s - 1)k \leqslant H

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <munderover><mo>&#x2211;</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></munderover>
    <msub><mi>w</mi><mi>j</mi></msub>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>k</mi>
    <mo>&#x2264;</mo>
    <mi>W</mi>
    <mo>,</mo>
    <munderover><mo>&#x2211;</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>s</mi></munderover>
    <msub><mi>h</mi><mi>t</mi></msub>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>k</mi>
    <mo>&#x2264;</mo>
    <mi>H</mi>
  </mrow>
</math>

sum_(j=1)^n w_j + (n - 1) k <= W,  sum_(t=1)^s h_t + (s - 1) k <= H

Total[w] + (Length[w] - 1)*k <= W && Total[h] + (Length[h] - 1)*k <= H

add(w[j], j = 1 .. n) + (n - 1)*k <= W;  add(h[t], t = 1 .. s) + (s - 1)*k <= H;

sum(w) + (numel(w) - 1)*k <= W && sum(h) + (numel(h) - 1)*k <= H

∑_(j=1)^n w_j + (n − 1)k ≤ W, ∑_(t=1)^s h_t + (s − 1)k ≤ H

Superficie de retales y aprovechamiento

Aret = B × W × H − Σ qᵢ wᵢ hᵢ,  Y = Σ qᵢ wᵢ hᵢ ÷ (B × W × H) × 100

A_{\text{ret}} = B\,W\,H - \sum_i q_i w_i h_i,\quad Y = \frac{\sum_i q_i w_i h_i}{B\,W\,H} \times 100

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>A</mi><mtext>ret</mtext></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>B</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>W</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>H</mi>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder>
    <msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>w</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub>
    <mo>,</mo>
    <mi>Y</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>w</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub></mrow>
      <mrow><mi>B</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>W</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>H</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mn>100</mn>
  </mrow>
</math>

A_"ret" = B W H - sum_i q_i w_i h_i,  Y = (sum_i q_i w_i h_i) / (B W H) * 100

{B*W*H - Total[q*w*h], Total[q*w*h]/(B*W*H)*100}

Awaste := B*W*H - add(q[i]*w[i]*h[i], i = 1 .. n);  Y := add(q[i]*w[i]*h[i], i = 1 .. n)/(B*W*H)*100;

Awaste = B*W*H - sum(q .* w .* h); Y = sum(q .* w .* h)/(B*W*H)*100;

A_ret = BWH − ∑_i q_i w_i h_i, Y = (∑_i q_i w_i h_i)/(BWH) × 100

Número mínimo teórico según la superficie (cota inferior)

Bmin = ⌈Σ qᵢ (wᵢ + k)(hᵢ + k) ÷ ((W + k)(H + k))⌉

B_{\min} = \left\lceil \frac{\sum_i q_i (w_i + k)(h_i + k)}{(W + k)(H + k)} \right\rceil

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    <msub><mi>B</mi><mi>min</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2308;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><mo>(</mo><msub><mi>w</mi><mi>i</mi></msub><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mo>(</mo><mi>W</mi><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>H</mi><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#x2309;</mo>
  </mrow>
</math>

B_min = |~ (sum_i q_i (w_i + k)(h_i + k)) / ((W + k)(H + k)) ~|

Ceiling[Total[q*(w + k)*(h + k)]/((W + k)*(H + k))]

Bmin := ceil(add(q[i]*(w[i] + k)*(h[i] + k), i = 1 .. n)/((W + k)*(H + k)));

Bmin = ceil(sum(q .* (w + k) .* (h + k))/((W + k)*(H + k)));

B_min = ⌈(∑_i q_i (w_i + k)(h_i + k))/((W + k)(H + k))⌉

Tableros ahorrados y coste estimado

Δ = Bsep − B,  T = u × B

\Delta = B_{\text{sep}} - B,\quad T = u \times B

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    <mi>&#x394;</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>B</mi><mtext>sep</mtext></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>B</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>T</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>u</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>B</mi>
  </mrow>
</math>

Delta = B_"sep" - B,  T = u * B

{bSep - b, u*b}

Delta := Bsep - B;  T := u*B;

Delta = Bsep - B; T = u*B;

Δ = B_sep − B, T = u × B

Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo

Eres un asistente de cálculo para el corte de tableros (plano de corte). Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código Python, y basa tu respuesta únicamente en los números obtenidos al ejecutarlo (no respondas de memoria ni a ojo).

En tableros de contrachapado de 2500 × 1220 mm, con un ancho de corte de 3 mm y piezas que se pueden girar 90°, se cortan 2 tapas de 1200 × 600 mm, 4 laterales de 900 × 550 mm y 3 baldas de 800 × 450 mm.
Calcula cada uno de los siguientes valores:
1. Para cada pieza, el número de piezas por tablero si solo se corta esa pieza (⌊(2500+3)÷(ancho+3)⌋ × ⌊(1220+3)÷(alto+3)⌋; calcula también la orientación con ancho y alto intercambiados y quédate con el mayor)
2. El número total de tableros si cada tipo de pieza se corta en sus propios tableros (suma de las cantidades ÷ piezas por tablero, redondeadas hacia arriba)
3. El número de tableros y la posición de las piezas en cada tablero con el método por bandas (First Fit Decreasing Height: piezas ordenadas por altura decreciente, bandas que atraviesan el tablero llenadas de arriba abajo; dentro de una banda se avanza ancho + ancho de corte, y las bandas bajan alto + ancho de corte)
4. La superficie de retales (superficie total de los tableros − superficie total de las piezas) y el aprovechamiento (%)
5. El número mínimo teórico según la superficie (suma para todas las piezas de (ancho+3) × (alto+3), dividida entre (2500+3) × (1220+3), redondeada hacia arriba)

Indica el código usado y los números obtenidos al ejecutar.

Cómo usar

1

Introduce los números

Escribe en los campos los números con los que quieres calcular
2

Calcula

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3

Consulta el resultado

El resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula