Calculadora de la forma polar de un número complejo (módulo, argumento y pasos con el cuadrante, con plano complejo)

Elige el sentido de la conversión e introduce los números. Para pasar de binómica a polar, introduce la parte real a y la parte imaginaria b. Para pasar de polar a binómica, introduce el módulo r y el argumento θ (y elige su unidad).

Conversión

Parte real a

Parte imaginaria b

Módulo r

Argumento θ

Unidad del argumento

Se admiten decimales, números negativos y fracciones como 3/4. Una parte real o imaginaria en blanco se trata como 0.

Resultado y figura

Introduce los números en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». Aquí aparecerán el resultado y un gráfico en el plano complejo.

Índice

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Qué puedes hacer en esta página
¿Para qué sirve este cálculo?
Cómo usar
Fórmulas y figuras
Símbolos y términos
- Símbolos
- Términos
Qué conviene saber de antemano
Cómo calcularlo con Excel
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Cómo calcularlo con Python
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Las ventajas de DataChef
Funciones relacionadas
Todas las calculadoras de NumberChef

Qué puedes hacer en esta página

Pasa un número complejo \(z = a + bi\) (forma binómica) al instante a forma polar \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\), usando el módulo \(r\) y el argumento \(\theta\). El módulo se da como valor exacto con el radical simplificado, como \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), y, para los ángulos notables, el argumento es una fracción exacta de π
El argumento \(\theta\) se da principalmente en el intervalo \(0 \le \theta < 2\pi\), y también se muestra el valor en el intervalo \(-\pi < \theta \le \pi\) (el argumento principal), así que puedes comprobar tu respuesta con el criterio de tu libro de texto
También convierte en sentido contrario (de forma polar a forma binómica). Introduce el módulo \(r\) y el argumento \(\theta\) (en grados, como fracción de π o como decimal en radianes) y \(a + bi\) se muestra como valor exacto, por ejemplo \(1 + \sqrt{3}i\)
Los pasos muestran, uno a uno, cómo se halla el argumento a partir de \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) y del cuadrante en el que está el punto (la corrección del cuadrante)
También puedes ver el resultado en el plano complejo, que muestra de un vistazo dónde están el módulo \(r\) (la distancia al origen) y el argumento \(\theta\) (el ángulo girado desde el eje real)

Esta página trata la forma polar de los números complejos que se estudia en 1.º de Bachillerato (16-17 años). Las partes real e imaginaria pueden ser fracciones o decimales (números racionales); no se pueden introducir directamente números irracionales como √3. Por eso el argumento solo sale como fracción exacta de π cuando el punto está sobre un eje o el ángulo es múltiplo de 45° (para los ángulos basados en 30° y 60°, tan θ es un número irracional como 1/√3, que no puede salir de partes real e imaginaria racionales). En sentido contrario, de forma polar a forma binómica, todos los ángulos notables que son múltiplos de 30° o de 45° se calculan de forma exacta.

¿Para qué sirve este cálculo?

Cálculos de circuitos eléctricos de corriente alterna (ingeniería eléctrica y electrónica)

La corriente alterna (CA) de un enchufe tiene una tensión y una intensidad que oscilan como ondas y que llevan dos datos: el tamaño de la onda y el desplazamiento de su momento (la fase). En ingeniería eléctrica, ambos se guardan en un solo número complejo (módulo = tamaño de la onda, argumento = fase), y el método habitual es multiplicar y dividir en forma polar para resolver el circuito. Los ingenieros llaman a esto notación fasorial.
El diseño de la red eléctrica, de la central a tu casa, y del circuito del cargador de un móvil se apoya en estos cálculos de «módulo y argumento». Es el uso cotidiano más habitual de los números complejos en el trabajo de ingeniería, y aparece en las asignaturas de circuitos de los grados de ingeniería eléctrica y electrónica.

Análisis de sonido y ondas de radio (transformada de Fourier y procesamiento de señales)

Cuando un ordenador trata el sonido o las ondas de radio, las descompone con un cálculo llamado transformada de Fourier en «cuánto hay de cada tono de onda». El resultado es una lista de números complejos: el módulo de cada uno es la intensidad de esa onda (la amplitud) y el argumento es su desfase (la fase).
Muchas tecnologías que tratan sonido y ondas de radio, como los ecualizadores de las aplicaciones de música, la cancelación de ruido de los auriculares y el reconocimiento de voz, se basan en esta idea de leer un número complejo por su módulo y su argumento.

Giro de figuras (videojuegos y gráficos por ordenador)

La regla de la forma polar «multiplica los módulos y suma los argumentos» es, geométricamente, solo «escalar y girar». Por ejemplo, multiplicar por \(i\) (módulo 1, argumento 90°) gira un punto exactamente 90° alrededor del origen. En los juegos en 2D, las matemáticas para girar un personaje o una bala se pueden escribir como una multiplicación de complejos.
Los cuaterniones, usados en gráficos 3D y en el control de robots, extienden esta idea de «rotación con números complejos» a tres dimensiones.

La «distancia y el rumbo» del radar y el sonar (aviación y navegación)

El radar de un aeropuerto y el sonar de un barco localizan un objetivo con un par de datos: «a qué distancia está» y «en qué dirección». Es la misma idea que la forma polar (las coordenadas polares), que describe un punto con \(r\) y \(\theta\). Para convertirlo en la posición que se ve en la pantalla (coordenadas horizontal y vertical) se hace el mismo tipo de conversión que en esta página.
Siempre que «distancia y dirección» sea la manera natural de describir una posición, aparece esta conversión de ida y vuelta con las coordenadas cartesianas.

Fórmulas y figuras

Forma polar (otra manera de escribir un número complejo)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(z\) \(=\) \(r\) \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ número complejo \(z\) \(=\) ① módulo \(r\) (distancia al origen) ② dirección dada por el argumento \(\theta\)

La fórmula en palabras

① Toma el módulo \(r\) (la distancia del origen al punto)

② y multiplícalo por la parte de dirección \(\cos\theta + i\sin\theta\) del argumento \(\theta\)

③ y obtienes el número complejo \(z\)

Un ejemplo sencillo

Al escribir \(z = 1 + \sqrt{3}i\) en forma polar (el módulo es \(r = 2\) y el argumento es \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\), o 60°):

número complejo \(1 + \sqrt{3}i\) \(=\) módulo \(2\) \(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\)

\(r = \sqrt{1^{2} + \left(\sqrt{3}\right)^{2}} = \sqrt{4} = 2\)

\(1 + \sqrt{3}i = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)

La idea clave

Hay dos maneras de escribir el mismo número complejo. Si lo lees como «el punto \(a\) a la derecha y \(b\) arriba», obtienes la forma binómica \(a + bi\). Si lo lees como «el punto a distancia \(r\) del origen, en la dirección del ángulo \(\theta\) desde el eje real», obtienes la forma polar. Es como dar indicaciones: la forma binómica dice «ve 1 al este y √3 al norte», mientras que la forma polar dice «gira 60° desde el este hacia el norte y avanza 2». En muchos libros de texto de Bachillerato la forma polar se escribe también como \(r_{\theta}\) (módulo y argumento; por ejemplo, \(2_{60^{\circ}}\)). La suma y la resta son más fáciles en forma binómica, mientras que la multiplicación, la división y las potencias son más fáciles en forma polar (la fórmula del producto en forma polar de más abajo muestra por qué).

Módulo \(r\) (distancia al origen)

Notación matemática (la notación habitual)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

\(r\) \(=\) \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)

② módulo \(r\) \(=\) ① raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la parte real \(a\) y la parte imaginaria \(b\)

La fórmula en palabras

① La raíz cuadrada de la parte real \(a\) al cuadrado más la parte imaginaria \(b\) al cuadrado, \(\sqrt{a^2 + b^2}\)

② es el módulo \(r\)

Un ejemplo sencillo

El módulo de \(z = 3 + 4i\) es

módulo \(r\) \(=\) \(\sqrt{3^2 + 4^2}\)

\(r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)

La idea clave

Esto es justo el teorema de Pitágoras de ESO. En el plano complejo, el punto \(z = a + bi\) está \(a\) a la derecha y \(b\) arriba. Al unir el origen, el punto \((a\,;\,0)\) y \(z\) se forma un triángulo rectángulo, y la distancia del origen a \(z\) (la hipotenusa) es \(\sqrt{a^2 + b^2}\). Por convención, una raíz cuadrada en la respuesta se escribe simplificada, sacando los factores cuadrados, como en \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) (esta calculadora también la muestra así).

Argumento \(\theta\) (se halla con tan θ y el cuadrante)

Notación matemática (la notación habitual)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

\(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{b}{a}\)

② tangente del argumento \(\theta\) \(=\) ① parte imaginaria \(b\) dividida entre la parte real \(a\)

La fórmula en palabras

① La parte imaginaria \(b\) dividida entre la parte real \(a\)

② es la tangente del argumento, \(\tan\theta\) (esta fórmula sola no determina un único \(\theta\), así que se usa el cuadrante del punto \(z\) para elegir uno)

Un ejemplo sencillo

El argumento de \(z = -1 + i\) (la parte real es negativa y la parte imaginaria es positiva, así que el punto está en el segundo cuadrante):

tangente \(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\tan\theta = \dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\theta = \dfrac{3}{4}\pi \quad \left(a < 0,\ b > 0\right)\)

La idea clave

En el intervalo \(0 \le \theta < 2\pi\) hay dos ángulos con \(\tan\theta = -1\): \(\dfrac{3}{4}\pi\) (135°) y \(\dfrac{7}{4}\pi\) (315°). Cuál es el correcto depende del cuadrante del punto \(z\). Para \(z = -1 + i\), la parte real es negativa y la parte imaginaria es positiva, es decir, el segundo cuadrante (arriba a la izquierda), así que elegimos \(\theta = \dfrac{3}{4}\pi\). Esto es la corrección del cuadrante. La tecla \(\arctan\) (arcotangente) de una calculadora o de una hoja de cálculo solo devuelve ángulos entre \(-\dfrac{\pi}{2}\) y \(\dfrac{\pi}{2}\), así que para los puntos del segundo y el tercer cuadrante su respuesta no es directamente el argumento. Hay que corregir el ángulo agudo que da \(\arctan\), por ejemplo sumando \(\pi\), según el cuadrante (esta calculadora muestra la corrección en los pasos).

Multiplicación en forma polar (se multiplican los módulos y se suman los argumentos)

Notación matemática (la notación habitual)

\(z_{1} z_{2}\) \(=\) \(r_{1} r_{2}\) \(\left\{\cos\left(\theta_{1} + \theta_{2}\right) + i\sin\left(\theta_{1} + \theta_{2}\right)\right\}\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ producto de los dos números complejos \(=\) ① producto de los módulos ② dirección dada por la suma de los argumentos

La fórmula en palabras

① Toma el producto de los módulos, \(r_1 r_2\)

② y multiplícalo por la parte de dirección de la suma de los argumentos, \(\theta_1 + \theta_2\)

③ y obtienes el producto de los dos números complejos, \(z_1 z_2\) (multiplicar por \(z_2\) cambia la longitud en un factor \(r_2\) y gira la dirección \(\theta_2\))

Un ejemplo sencillo

El producto de \(z_1 = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\) y \(z_2 = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\) es

producto \(z_1 z_2\) \(=\) módulos multiplicados, \(2 \times 3\) \(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)

\(z_1 z_2 = 2 \times 3\left\{\cos\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right)\right\}\)

\(z_1 z_2 = 6\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right) = 6i\)

La idea clave

Esta es la mayor ventaja de la forma polar. Multiplicar en forma binómica exige la propiedad distributiva para desarrollar cuatro términos, pero en forma polar basta con «multiplicar los módulos y sumar los argumentos». Geométricamente, multiplicar por \(z_2\) es «girar \(\theta_2\) alrededor del origen y multiplicar la longitud por \(r_2\)». Por ejemplo, multiplicar por \(i\) (módulo 1, argumento 90°) gira un punto exactamente 90° alrededor del origen. Si se usa esta regla para multiplicar el mismo número \(n\) veces, se obtiene la fórmula de De Moivre, \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\), que lleva a las potencias \(n\)-ésimas y a las raíces \(n\)-ésimas de números complejos (1.º de Bachillerato).

Un número complejo \(z = a + bi\) también se puede escribir en forma polar \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\), usando el módulo \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) (la distancia al origen) y el argumento \(\theta\) (el ángulo medido en sentido contrario a las agujas del reloj desde el semieje real positivo). El argumento se halla con \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) y el cuadrante del punto. En forma polar, multiplicar números complejos se convierte en una regla sencilla: se multiplican los módulos y se suman los argumentos.

Símbolos y términos

Símbolos

\(i\)	i	La unidad imaginaria, el número cuyo cuadrado es \(-1\) (\(i^2 = -1\)). La letra viene de «imaginario».
\(z\)	z	La letra que se usa normalmente para un número complejo. Por costumbre, \(z\) y \(w\) se usan para números complejos, para distinguirlos de las variables reales \(x\) e \(y\).
\(a,\ b\)	a, b	La parte real (\(a\)) y la parte imaginaria (\(b\)) de \(z = a + bi\). Ambas son números reales. En el plano complejo, \(a\) es la posición horizontal (sobre el eje real) y \(b\) es la posición vertical (sobre el eje imaginario).
\(r\)	r	La letra del módulo (la distancia del origen al punto \(z\)). Viene de «radio». En la forma polar es un número real mayor o igual que 0.
\(\|z\|\)	módulo de z	El símbolo del módulo (valor absoluto) de \(z\). Se escribe con dos barras verticales, igual que para un número real, y \(\|a + bi\| = \sqrt{a^2 + b^2}\).
\(\theta\)	theta	La letra griega que se usa para el argumento. En matemáticas es la letra habitual para un ángulo.
\(\arg z\)	arg de z	El símbolo del argumento de \(z\), formado por las tres primeras letras de «argumento». Se usa así: \(\arg z = \theta\).
\(\cos\theta,\ \sin\theta\)	coseno de theta, seno de theta	Funciones trigonométricas. En la circunferencia de radio 1 (la circunferencia goniométrica), el punto en la dirección del ángulo \(\theta\) tiene posición horizontal \(\cos\theta\) y posición vertical \(\sin\theta\). En la forma polar son la parte que da la dirección.
\(\tan\theta\)	tangente de theta	Una función trigonométrica definida por \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\). En el plano complejo, \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) (la variación vertical entre la horizontal, es decir, la pendiente), que es la clave para hallar el argumento.
\(\arctan\)	arcotangente	La inversa de la tangente (también se escribe \(\tan^{-1}\) o arctg). Devuelve «el ángulo \(\theta\) con \(\tan\theta = x\)». El ángulo que devuelve está siempre entre \(-\dfrac{\pi}{2}\) y \(\dfrac{\pi}{2}\), así que hace falta la corrección del cuadrante para los argumentos del segundo y el tercer cuadrante.
\(\pi\)	pi	La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro (aprox. 3,14159). En radianes, un giro de media vuelta, \(180^{\circ}\), es exactamente \(\pi\). La letra griega \(\pi\) viene de la primera letra de la palabra griega para «perímetro».

Términos

número complejo	Un número de la forma \(a + bi\), donde \(a\) y \(b\) son números reales. Es un sistema numérico que reúne los números reales y los imaginarios, y se estudia en 1.º de Bachillerato (16-17 años).
unidad imaginaria	El número \(i\) cuyo cuadrado es \(-1\). Ningún número real tiene cuadrado negativo, así que se introdujo como un número nuevo.
parte real	La \(a\) del número complejo \(z = a + bi\). En el plano complejo, es la coordenada horizontal.
parte imaginaria	La \(b\) del número complejo \(z = a + bi\). Es el número real que acompaña a \(i\), sin la propia \(i\) (la parte imaginaria de \(1 + 2i\) es \(2\), no \(2i\)).
plano complejo	El plano en el que \(a + bi\) se representa como el punto \((a\,;\,b)\). El eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario. Su dibujo también se llama diagrama de Argand. Se estudia en 1.º de Bachillerato.
forma binómica	Escribir un número complejo como \(a + bi\) (las coordenadas \(a\) a la derecha y \(b\) arriba). La suma y la resta son más fáciles en esta forma.
forma polar	Escribir un número complejo con su distancia \(r\) al origen y su ángulo de giro \(\theta\) desde el eje real, como \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\). También se llama forma trigonométrica, y se abrevia \(r_{\theta}\). La multiplicación, la división y las potencias son más fáciles en esta forma.
módulo (valor absoluto)	La distancia del origen al punto \(z\), que se calcula como \(\|z\| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Extiende el valor absoluto de un número real (su distancia a 0 en la recta numérica) al plano.
argumento	El ángulo de la dirección del origen al punto \(z\), medido en sentido contrario a las agujas del reloj desde el semieje real positivo. Su símbolo es \(\arg z\). Sumar una vuelta completa (\(2\pi\)) da la misma dirección, así que por convención la respuesta se da en un intervalo fijo, como \(0 \le \theta < 2\pi\) o \(-\pi < \theta \le \pi\) (el argumento principal).
cuadrante	Cada una de las cuatro regiones en que los dos ejes dividen el plano cartesiano. Arriba a la derecha está el primer cuadrante (I) y, contando en sentido contrario a las agujas del reloj, vienen el segundo, el tercero y el cuarto. El cuadrante en el que está un punto es la clave para determinar su argumento.
medida en radianes (radián)	Medir un ángulo por la longitud del arco que abarca en una circunferencia de radio 1. \(180^{\circ} = \pi\) radianes. A partir de las funciones trigonométricas de Bachillerato, los radianes son la unidad habitual en lugar de los grados.
ángulo notable	\(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\) y los ángulos relacionados (estos más múltiplos de \(90^{\circ}\)). Sus razones trigonométricas se pueden escribir de forma exacta, como \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) y \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), y la mayoría de los problemas de libros de texto y de examen usan estos ángulos.
corrección del cuadrante	Dentro de una vuelta completa hay dos ángulos con \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\), así que se elige el que corresponde al cuadrante del punto (por ejemplo, sumando \(\pi\) al ángulo agudo que da \(\arctan\)).
fórmula de De Moivre	La fórmula \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\). Es el resultado de repetir \(n\) veces «multiplicar suma los argumentos», y se usa para hallar potencias \(n\)-ésimas y raíces \(n\)-ésimas de números complejos (1.º de Bachillerato).

Qué conviene saber de antemano

Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página comprendiéndolo de verdad y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar estos temas es el camino más rápido.

Raíces cuadradas y radicales (3.º–4.º de ESO, 14-16 años)	Saber que \(\sqrt{2}\) es «el número positivo cuyo cuadrado es 2» Saber simplificar un radical sacando factores cuadrados, como en \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
El teorema de Pitágoras (2.º de ESO, 13-14 años)	Saber que la hipotenusa de un triángulo rectángulo es \(\sqrt{a^2 + b^2}\) cuando los otros dos lados son \(a\) y \(b\) Saber hallar la distancia entre dos puntos del plano cartesiano con el teorema de Pitágoras
Números complejos (1.º de Bachillerato, 16-17 años)	Saber que la unidad imaginaria \(i\) es el número con \(i^2 = -1\) Saber leer la parte real \(a\) y la parte imaginaria \(b\) de \(a + bi\)
Trigonometría y circunferencia goniométrica (4.º de ESO y 1.º de Bachillerato, 15-17 años)	Saber que \(\sin\), \(\cos\) y \(\tan\) son la altura, la posición horizontal y la pendiente de un punto de la circunferencia goniométrica Saber las razones trigonométricas de \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\) y \(60^{\circ}\) (\(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) y \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)) Saber hallar las razones trigonométricas de ángulos mayores de \(90^{\circ}\) con la circunferencia goniométrica (ejemplo: \(\cos 135^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\))
Medida en radianes (4.º de ESO y 1.º de Bachillerato, 15-17 años)	Saber pasar de grados a radianes y al revés con \(180^{\circ} = \pi\) radianes (ejemplo: \(60^{\circ} = \dfrac{\pi}{3}\))
El plano complejo (1.º de Bachillerato, 16-17 años)	Saber representar un número complejo \(a + bi\) como el punto \((a\,;\,b)\) del plano Saber que el eje horizontal se llama eje real y el eje vertical eje imaginario

Cómo calcularlo con Excel

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.

Tabla de forma binómica a forma polar

Parte real a	3
Parte imaginaria b	4
Módulo r	=RAIZ(B1^2+B2^2)
Argumento θ (radianes, 0 ≤ θ < 2π)	=RESIDUO(ATAN2(B1;B2);2*PI())
Argumento θ (grados)	=GRADOS(RESIDUO(ATAN2(B1;B2);2*PI()))

Tabla de forma polar a forma binómica

Módulo r	2
Argumento θ (grados)	60
Parte real a = r cos θ	=B1*COS(RADIANES(B2))
Parte imaginaria b = r sen θ	=B1*SENO(RADIANES(B2))

Después de pegar, las filas de arriba son tus datos y las filas de abajo se calculan automáticamente.
En la primera tabla, ATAN2(coordenada x; coordenada y) devuelve el argumento con la corrección del cuadrante ya hecha (mayor que −π y hasta π). Al aplicar RESIDUO con 2π se convierte en un argumento de 0 hasta 2π (sin incluirlo). Para el ejemplo z = 3 + 4i, r = 5 y θ ≈ 0,9273 (unos 53,13 grados).
En la segunda tabla, RADIANES convierte grados en radianes. Para el ejemplo r = 2 y θ = 60 grados, a = 1 y b ≈ 1,7320508 (= √3). Excel da decimales, así que si quieres valores exactos como √2 o fracciones de π, usa la calculadora de esta página.

Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.

Tabla de forma binómica a forma polar

Parte real a	3
Parte imaginaria b	4
Módulo r	=RAIZ(B1^2+B2^2)
Argumento θ (radianes, 0 ≤ θ < 2π)	=RESIDUO(ATAN2(B1;B2);2*PI())
Argumento θ (grados)	=GRADOS(RESIDUO(ATAN2(B1;B2);2*PI()))

Tabla de forma polar a forma binómica

Módulo r	2
Argumento θ (grados)	60
Parte real a = r cos θ	=B1*COS(RADIANES(B2))
Parte imaginaria b = r sen θ	=B1*SENO(RADIANES(B2))

Las mismas fórmulas de Excel funcionan tal cual (ATAN2 también toma sus datos en el mismo orden, «coordenada x; coordenada y»). Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y sustituye los números por los tuyos.

Cómo calcularlo con Python

import math

# Forma binómica -> forma polar
real_part = 3        # parte real a
imaginary_part = 4   # parte imaginaria b
absolute_value = math.sqrt(real_part ** 2 + imaginary_part ** 2)
argument = math.atan2(imaginary_part, real_part)   # incluye la corrección del cuadrante (-π < θ ≤ π)
if argument < 0:
    argument += 2 * math.pi                        # lo pasa al intervalo 0 ≤ θ < 2π
print(f"Módulo r = {absolute_value}")
print(f"Argumento θ = {argument} rad ({math.degrees(argument)} grados)")

# Forma polar -> forma binómica
r = 2
theta_degree = 60
theta = math.radians(theta_degree)
print(f"Parte real a = {r * math.cos(theta)}")
print(f"Parte imaginaria b = {r * math.sin(theta)}")

math.atan2(y, x) devuelve el ángulo con la corrección del cuadrante ya hecha, así que, a diferencia de arctan, da la dirección correcta incluso para los puntos del segundo y el tercer cuadrante. La primera mitad de este ejemplo convierte z = 3 + 4i, y al ejecutarla imprime r = 5,0 y θ ≈ 0,9272952180016122 rad (unos 53,13 grados). La segunda mitad convierte de vuelta desde r = 2 y θ = 60°, y da a ≈ 1,0000000000000002 y b ≈ 1,7320508075688772 (= √3). El valor de a no es exactamente 1 por los errores de redondeo de los decimales (números de coma flotante); para obtener valores exactos hay que calcular con símbolos, como hace la calculadora de esta página. También puedes obtener a la vez el módulo y el ángulo (−π < θ ≤ π) con cmath.polar(complex(3, 4)) del módulo estándar cmath. (Python escribe el separador decimal con punto.)

La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)

Forma polar (otra manera de escribir un número complejo)

z = r(cosθ + i sinθ)

z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>z</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>r</mi>
    <mo>(</mo>
    <mi>cos</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

z = r(cos theta + i sin theta)

z == r (Cos[theta] + I Sin[theta])

z := r*(cos(theta) + I*sin(theta));

z = r*(cos(theta) + 1i*sin(theta));

z = r(cos θ + i sin θ)

Módulo \(r\) (distancia al origen)

r = |z| = √(a² + b²)

r = |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo><mi>z</mi><mo>|</mo>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

r = |z| = sqrt(a^2 + b^2)

Abs[a + b I]

r := abs(a + b*I);

r = abs(a + b*1i);

r = √(a^2 + b^2)

Argumento \(\theta\) (se halla con tan θ y el cuadrante)

tanθ = b/a

\tan\theta = \dfrac{b}{a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>tan</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mi>a</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

tan theta = b/a

theta = Arg[a + b I]

theta := argument(a + b*I);

theta = angle(a + b*1i);

tan θ = b/a

Multiplicación en forma polar (se multiplican los módulos y se suman los argumentos)

z₁z₂ = r₁r₂{cos(θ₁+θ₂) + i sin(θ₁+θ₂)}

z_{1}z_{2} = r_{1}r_{2}\{\cos(\theta_{1}+\theta_{2}) + i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>z</mi><mn>1</mn></msub>
    <msub><mi>z</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>=</mo>
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    <mi>cos</mi>
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    <mo>)</mo>
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    <mi>i</mi>
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    <mo>)</mo>
    <mo>}</mo>
  </mrow>
</math>

z_1 z_2 = r_1 r_2 (cos(theta_1 + theta_2) + i sin(theta_1 + theta_2))

r1 r2 (Cos[theta1 + theta2] + I Sin[theta1 + theta2])

z1z2 := r1*r2*(cos(theta1 + theta2) + I*sin(theta1 + theta2));

z12 = r1*r2*(cos(t1 + t2) + 1i*sin(t1 + t2));

z_1 z_2 = r_1 r_2 (cos(θ_1+θ_2) + i sin(θ_1+θ_2))

Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo

Eres un asistente de cálculo de matemáticas para el plano complejo. Haz el cálculo siguiente ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni con suposiciones).

1. Pasa el número complejo z = 3 + 4i a forma polar r(cos θ + i sen θ). Muestra el módulo r y el argumento θ (en el intervalo 0 ≤ θ < 2π, tanto en radianes como en grados).
2. Pasa a forma binómica a + bi el número complejo de módulo r = 2 y argumento θ = 60°. Muestra a y b como decimales y, si es posible, también como valores exactos con raíces cuadradas.

En Python, usa math.atan2 y math.sqrt, y muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.

Cómo usar

1

Introduce los números

Escribe en los campos los números con los que quieres calcular
2

Calcula

Haz clic en el botón «Calcular»
3

Consulta el resultado

El resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula